tehnicka mehanika 2 - grf.bg.ac.rs · pdf filekoli£ina kretanja i momenat oli£inek...
TRANSCRIPT
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢
email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2017/18
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Materijalna ta£ka
Posmatra se mat. ta£ka mase m koja se kre¢e sa brzinom ~v
Koli£ina kretanja materijalne ta£ke je de�nisana sa
~K = m~v
Momenat koli£ine kretanja mat. ta£ke u odnosu na nepokretnuta£ku O (koordinatni po£etak inercijalnog sistema) je
~D(O) = ~r × ~K = ~r ×m~v
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Posmatra se sistem od N materijalnih ta£ka Pk, masa mk,koje se kre¢u sa brzinama ~vkKoli£ina kretanja sistema mat. ta£aka je de�nisana sa
~K =
N∑k=1
mk ~vk
Za sistem sa konstantnom masom mk = const se dobija
~K =d
dt
N∑k=1
mk ~rk (1)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Uvodi se pojami ukupne mase i sredi²ta mase sistemamaterijalnih ta£aka:
m =
N∑k=1
mk ~rS =1
m
N∑k=1
mk ~rk (2)
Iz de�nicije sredi²ta mase sledi
m~rS =
N∑k=1
mk ~rk odn.N∑k=1
mk (~rk − ~rS) = 0 (3)
(momenat mase prvog reda za osu kroz sredi²te je nula)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Imaju¢i u vidu pojam sredi²ta mase, koli£ina kretanja sistemaprikazana sa (1) postaje
~K =d
dt(m~rS) odn. ~K = m~vS (4)
Momenat koli£ine kretanja sistema mat. ta£aka za nepokretnuta£ku O je de�nisan sa
~D(O) =
N∑k=1
~rk × (mk~vk) (5)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Sredi²te sistema mat. ta£aka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Imaju¢i u vidu pojam sredi²ta mase, vektor poloºaja bilo kojeta£ke sistema Pk moºe da se prikaºe kao:
~rk = ~rS + ~ρk
gde je S sredi²te mase sistema, a ~ρk =−→SP k
Tako�e je i, diferenciranjem,
~vk = ~vS + ~̇ρk
Sa ovim, momenat koli£ine kretanja postaje
~D(O) =
N∑k=1
(~rS + ~ρk)×mk(~vS + ~̇ρk) (6)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Razvijanjem binoma dobijaju se 4 zbira
~D(O) =
N∑k=1
~rS ×mk~vS +
N∑k=1
~rS ×mk ~̇ρk
+
N∑k=1
~ρk ×mk~vS +
N∑k=1
~ρk ×mk ~̇ρk
Prvi zbir postaje (~rS i ~vS ne zavise od sabiranja)
N∑k=1
~rS ×mk~vS = ~rS ×
(N∑k=1
mk
)~vS = ~rS ×m~vS = ~rS × ~K
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Drugi zbir je nula
N∑k=1
~rS ×mk ~̇ρk = ~rS ×d
dt
(N∑k=1
mk~ρk
)= 0
jer je momenat mase prvog reda za sredi²te mase jednak nuli:
N∑k=1
mk~ρk = 0
(vektor ~ρk se meri iz sredi²ta mase)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Tre¢i zbir je tako�e nula:
N∑k=1
~ρk ×mk~rS =
(N∑k=1
mk~ρk
)× ~rS = 0
jer je momenat mase prvog reda za sredi²te mase jednak nuli
�etvrti zbir je jednak:
N∑k=1
~ρk ×mk ~̇ρk = ~D(S)
i pretstavlja momenat koli£ine kretanja sistema za sredi²temase (po de�niciji): ~̇ρk je brzina Pk u odnosu na S
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£ka
Prema tome, relacija (6) dobija kona£an izraz:
~D(O) = ~rS × ~K + ~D(S) (7)
gde je ~D(S) momenat koli£ine kretanja za sredi²te sistema
Izraz (7) pretstavlja vezu izme�u momenta koli£ine kretanja zasredi²te mase sistema i momenta koli£ine kretanja zanepokretnu ta£ku u prostoru
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - koli£ina kretanja
Koli£ina kretanja krutog tela se de�ni²e kao:
~K =
∫m~v dm
Kako je brzina ta£ke tela ~v = ~vA + ~ω × ~ρ, to se dobija
~K = m~vA + ~ω ×∫m~ρ dm
Drugi £lan je nula- za translatorno kretanje: ~ω = 0- za op²te kretanje tela: referentna ta£ka je sredi²te mase
(A ≡ S), pa je∫m~ρdm = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - koli£ina kretanja
Prema tome, koli£ina kretanja za kruto telo je data sa
~K = m~vS
Momenat koli£ine kretanja krutog tela u odnosu nakoordinatni po£etak prostornog sistema Oxyz se de�ni²e kao
~D(O) =
∫m~r × ~v dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Kako je, imaju¢i u vidu sredi²te mase kao referentnu ta£ku,
~r = ~rS + ~ρ ~v = ~vS + ~ω × ~ρ
onda je momenat koli£ine kretanja tela jednak
~D(O) =
∫m(~rS + ~ρ)× [~vS + (~ω × ~ρ)]dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Rastavljanjem na 4 integrala se dobija
~D(O) =
∫m~rS × ~vSdm+
∫m~rS × (~ω × ~ρ)dm
+
∫m~ρ× ~vSdm+
∫m~ρ× (~ω × ~ρ)dm
(8)
Prvi integral je jednak:∫m~rS × ~vSdm = ~rS ×m~vS = ~rS × ~K
(vektori ~rS i ~vS ne zavise od integracije po masi)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Drugi integral je jednak nuli, jer je momenat mase prvog redaza osu kroz srediste mase jednak nuli∫
m~rS × (~ω × ~ρ)dm = ~rS × (~ω ×
∫m~ρdm) = 0
Tako�e je i tre¢i integral jednak nuli iz istog razloga:∫m~ρ× ~vSdm =
(∫m~ρdm
)× ~vS = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
�etvrti integral je momenat koli£ine kretanja tela za sredi²temase (po de�niciji):∫
m~ρ× (~ω × ~ρ)dm = ~D(S)
Prema tome, momenat koli£ine kretanja (8) se dobija u obliku
~D(O) = ~rS × ~K + ~D(S)
Relacija je veza izme�u momenta koli£ine kretanja za sredi²temase tela i momenta koli£ine kretanja za nepokretnu ta£ku uprostoru (ista relacija kao i za sistem mat. ta£aka)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Ako telo vr²i sferno kretanje, onda je momenat koli£inekretanja za nepokretnu ta£ku A de�nisan kao
~D(A) =
∫m~ρ× (~ω × ~ρ) dm
Kako je ~ρ× (~ω × ~ρ) = (~ρ)2 ~ω − (~ω~ρ) ~ρ, momenat koli£inekretanja je jednak
~D(A) =
∫m[(~ρ)2 ~ω − (~ω~ρ) ~ρ] dm (9)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Vektori ~ρ i ~ω, kao i ~D(A) se izraºavaju u odnosu namaterijalan koordinatni sistem Aξηζ
~ρ = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν ~ω = p~λ+ q~µ+ r~ν
tako da je:
(~ρ)2 = ξ2 + η2 + ζ2 ~ω · ~ρ = pξ + qη + rζ
dok je vektor momenta koli£ine kretanja:
~D(A) = D(A)ξ~λ+D(A)
η ~µ+D(A)ζ ~ν
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Unose¢i sve ovo u izraz (9), dobija se
~D(A) = ~λ
∫m
[(ξ2 + η2 + ζ2) p− (pξ + qη + rζ) ξ
]dm
+ ~µ
∫m
[(ξ2 + η2 + ζ2) q − (pξ + qη + rζ) η
]dm
+ ~ν
∫m
[(ξ2 + η2 + ζ2) r − (pξ + qη + rζ) ζ
]dm
(10)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Skra¢ivanjem se dobija
~D(A) = ~λ
[∫m(η2 + ζ2)dmp−
∫mξηdmq −
∫mξζdmr
]+ ~µ
[∫m(ξ2 + ζ2)dmq −
∫mξηdmp−
∫mηζdmr
]+ ~ν
[∫m(ξ2 + η2)dmr −
∫mξζdmp−
∫mηζdmq
]
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Imaju¢i u vidu de�nicije momenata inercije mase tela,aksijalnih i centrifugalnih, dobija se izraz za vektor momentakoli£ine kretanja
~D(A) = ~λ(JAξ p+ JAξη q + JAξζ r
)+ ~µ
(JAξη p+ JAη q + JAηζ r
)+ ~ν
(JAξζ p+ JAηζ q + JAζ r
) (11)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Izraz (11) za vektor momenta koli£ine kretanja ~D(A) moºe dase prikaºe u matri£nom obliku:
~D(A) =
Dξ
Dη
Dζ
(A)
=
Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ
(A)pqr
Materijalne koordinate vektora ~D(A) se dobijaju kao proizvodmatrice inercije za ta£ku A i vektora ugaone brzine
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Vektor momenta koli£ine kretanja u odnosu na sredi²te mase Sje dat sa:
~D(S) =
∫m~ρ× (~ω × ~ρ) dm
odn. u istom obliku kao i za nepokretnu ta£ku A u slu£ajusfernog kretanja (jedino se vektor ~ρ meri od sredi²ta mase, ane od ta£ke A)
Prema tome, ako je A ≡ S, materijalne koordinate vektoramomenta koli£ine kretanja za sredi²te mase se dobijaju kaoproizvod matrice inercije za ta£ku S i vektora ugaone brzine
{D}(S) = [J ](S){ω}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Ako su u referentnoj ta£ki A, za sferno kretanje, ili ta£ki S, uslu£aju op²teg kretanja, za referentne ose izabrane glavne oseinercije, onda je matrica inercije dijagonalna matrica(centrifugalni momenti su nula)
Vektor momenta koli£ine kretanja u takvom slu£aju (recimo zata£ku S) je dat u obliku
D1
D2
D3
(S)
=
J1J2
J3
(S)ω1
ω2
ω3
=
J1ω1
J2ω2
J3ω3
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Posmatra se telo koje vr²i op²te kretanje
Materijalni sistem je Aξηζ (ta£ka A je proizvoljna referentnata£ka)
Poloºaj sredi²ta mase S u odnosu na referentnu ta£ku A je datsa−→AS = ~aS = {a, b, c}
Vektor poloºaja proizvoljne ta£ke P u odnosu na materijalansistem Aξηζ je
−→AP = ~ρ
Vektor poloºaj iste ta£ke P u odnosu na ‖ materijalan sistemsa po£etkom u sredi²tu mase S je
−→SP = ~ρS
Vaºi geometrijska relacija−→AP =
−→AS +
−→SP , odnosno
~ρ = ~aS + ~ρS
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Promena koli£ine kretanja sa promenom ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja
Kruto telo - momenat koli£ine kretanja
Vektor momenta koli£ine kretanja u odnosu na referentnuta£ku A je de�nisan sa
~D(A) =
∫m~ρ× (~ω × ~ρ) dm
Moºe da se pokaºe da se posle transformacija i sre�ivanjadobija
{D}(A) = [J ](A){ω}
gde je [J ](A) matrica inercije za ta£ku A, koja se dobija, uskladu sa Hajgens-�tajnerovom teoremom, u obliku
[J ](A) = [J ]sop + [J ]pol
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Materijalna ta£ka
Zakon o promeni koli£ine kretanja za materijalnu ta£ku jeDrugi Njutnov zakon (Drugi aksiom)
Osnovni oblik zakona (za neslobodno kretanje ta£ke) je
d ~K
dt= ~FR gde je ~FR = ~F + ~R
Zakon o promeni koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku je
d ~K = d~IR gde je d~IR = ~FR dt
Veli£ina d~IR je elementarni impuls sile ~FR
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Materijalna ta£ka
Zakon o promeni koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku seintegrali po vremenu u kona£nom intervalu [t1, t2]
d ~K = d~IR /
∫ 2
1
Dobija se Zakon o promeni koli£ine kretanja kona£nom(integralnom) obliku je:
~K2 − ~K1 = ~IR(t1, t2)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Materijalna ta£ka
gde su ~K1 i ~K2 koli£ine kretanja ta£ke u trenucima vremena t1i t2
~K1 = m~v(t1) ~K2 = m~v(t2)
dok je ~IR(t1, t2) kona£an impuls sile ~FR u intervalu vremena[t1, t2]
~IR(t1, t2) =
∫ t2
t1
~FR dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Uklone se sve veze kod sistema i za svaku materijalnu ta£kuPk se primeni Drugi Njutnov zakon
mk ~ak = ~Fk + ~Rk,sp + ~Rk,un gde je (k = 1, 2, . . . , N)
gde su razdvojene reakcije spolja²nih ~Rk,sp i unutra²njih ~Rk,unveza
Ako se sve jedna£ine saberu, ukupan zbir reakcija unutra²njihveza je jednak nuli, zbog principa akcije i reakcije, tako da sedobija
N∑k=1
mk ~ak =
N∑k=1
~Fk +
N∑k=1
~Rk,sp
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Ako se uvede oznaka za ukupnu spolja²nju silu koja deluje nata£ku Pk: ~Fk = ~Fk + ~Rk,sp, onda je glavni vektor spolja²njihsila koje deluju na sistem dat sa:
~FR =
N∑k=1
(~Fk + ~Rk,sp) =
N∑k=1
~Fk
Za sistem sa konstantnom masom je
∑mk~ak =
d
dt
∑mk~vk =
d ~K
dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Time se dobija Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem uosnovnom obliku:
d ~K
dt= ~FR
Alternativno, kako je za sistem ~K = m~vS , pa je
d ~K
dt=
d
dt(m~vS) = m~aS
to se dobija Zakon o promeni koli£ine kretanja u obliku Zakonao kretanju centra mase:
m~aS = ~FRS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Zakon o kretanju centra mase:Sredi²te sistema materijalnih ta£aka se kre¢e u prostoru kaomaterijalna ta£ka mase m na koju deluje sila koja je jednakaglavnom vektoru svih spolja²njih sila koje deluju na sistem
Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem u diferenijalnomobliku:
d ~K = d~IR = ~FR dt
Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem u integralnomobliku:
~K2 − ~K1 = ~IR(t1, t2)S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Izraz ~IR(t1, t2) je rezultuju¢i impus spolja²njih sila u intervaluvremena (t1, t2):
~IR(t1, t2) =∫ t2
t1
~FR dt
Ako je sistem materijalnih ta£aka mehani£ki izolovan, ²to zna£ida ne deluju nikakve spolja²nje sile, niti reakcije spolja²njihveza, onda je ~FR = 0
U tom slu£aju vaºi Zakon o odrºanju koli£ine kretanja:
~FR = 0 ⇒ d ~K = 0 ⇒ ~K = const
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Materijalna ta£aka
Posmatra se Zakon o promeni koli£ine kretanja za materijalnuta£ku u osnovnom obliku
Relacija se vektorski mnoºi sa leve strane sa vektorompoloºaja ~r
d ~K
dt= ~FR /~r × (12)
Kako je ~K = m~v to je izraz (12) dat sa
~r × d(m~v)
dt= ~r × ~FR
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Materijalna ta£aka
Posmatra se diferenciranje po vremenu izraza ~r × (m~v):
d
dt[~r × (m~v)] =
d~r
dt× (m~v) + ~r × d
dt(m~v)
Prvi £lan na desnoj strani je jednak nuli (kolinearnosti vektora):
d~r
dt× (m~v) = ~v × (m~v) = 0
Prema tome, vaºi relacija:
~r × d
dt(m~v) =
d
dt[~r × (m~v)] =
d
dt(~r × ~K)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Materijalna ta£aka
Prema tome, leva strana relacije (12) postaje:
~r × d ~K
dt= ~r × d
dt(m~v) =
d
dt(~r × ~K) =
d ~D(O)
dt
Desna strana relacije (12) je momenat sile ~FR za ta£ku O(iz koje se meri vektor ~r)
Time se dolazi se do Zakona o promeni momenta koli£inekretanja (u osnovnom obliku):
d ~D(O)
dt= ~M
(O)R (13)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Materijalna ta£aka
Iz Osnovnog oblika (mnoºenjem relacije sa dt) se dobija Zakono promeni momenta koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku:
d ~D(O) = d ~H(O)R
gde je d ~H(O)R elementarni impulsni momenat sile ~FR za ta£ku
O:d ~H
(O)R = ~M
(O)R dt = ~r × ~F dt = ~r × d~IR
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Materijalna ta£aka
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja u integralnomobliku se dobija integracijom zakona u diferencijalnom obliku:
~D(O)2 − ~D
(O)1 = ~H
(O)R (t1, t2)
gde je ~H(O)R (t1, t2) impulsni momenat sile ~F za ta£ku O u
intervalu vremena (t1, t2):
~H(O)R (t1, t2) =
∫ t2
t1
d ~H(O)R =
∫ t2
t1
~M(O)R dt =
∫ t2
t1
~r × ~FR dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Materijalna ta£aka
U slu£aju mehani£ki izolovane materijalne ta£ke (sila ~F = 0),dobija se Zakon o odrºanju momenta koli£ine kretanja:
~FR = 0 ⇒ d ~D(O) = 0 ⇒ ~D(O) = const
U slu£aju posmatranja kretanja materijalne ta£ke obi£no sekoristi samo Zakon o promeni koli£ine kretanja, odn. uglavnomnema potrebe da se posmatra Zakon o promeni momentakoli£ine kretanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Polazi se od Drugog Njutnovog zakona napisanog za svakuta£ku sistema oslobo�enog od veza, mnoºenjem sa leve stranesa vektorom poloºaja ~rk posmatrane ta£ke:
mk~ak = ~Fk + ~Rk,sp + ~Rk,un /~rk×
Ako je masa konstantna, mk = const, onda vaºi transformacija
~rk ×mk~ak = ~rk ×d
dt(mk~vk) =
d
dt(~rk ×mk~vk)
(u transformaciji je uzeta u obzir kolinearnost vektora ~vk imk~vk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Time se dobija
d
dt
N∑k=1
(~rk ×mk~vk) =
N∑k=1
~rk × (~Fk + ~Rk,sp)
jer jeN∑k=1
~rk × ~Rk,un = 0
zbog Aksioma akcije i reakcije (ili teoreme o pomeranju sile)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Dobija se Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja zasistem materijalnih ta£aka, za nepokretnu ta£ku O kaoredukcionu ta£ku:
d ~D(O)
dt= ~M(O)
R
Uvedena je oznaka za ukupnu spolja²nju silu koja deluje nata£ku Pk
~Fk = ~Fk + ~Rk,sp
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Tako�e je glavni vektor spolja²njih sila dat sa
~FR =
N∑k=1
(~Fk + ~Rk,sp)
dok je glavni vektor momenata spolja²njih sila koje deluju nasistem materijalnih ta£aka, za ta£ku O, dat sa
~M(O)R =
N∑k=1
~rk × ~Fk =N∑k=1
~rk × (~Fk + ~Rk,sp)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Iz Osnovnog oblika se dobija i Zakon o promeni momentakoli£ine kretanja za sistem materijalnih ta£akau diferencijalnom obliku (mnoºenjem sa dt):
d ~D(O) = d ~H(O)R
gde je d ~H(O)R elementarni rezultuju¢i impulsni momenat:
d ~H(O)R = ~M(O)
R dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Integracijom Zakona o promeni momenta koli£ine kretanja zasistem materijalnih ta£aka u diferencijalnom obliku u nekomkona£nom intervalu vremena [t1, t2], dobija se Zakon opromeni momenta koli£ine kretanja u integralnom obliku:
~D(O)2 − ~D
(O)1 = ~H(O)
R (t1, t2)
Vektori ~D(O)2 i ~D(O)
1 su momenti koli£ine kretanja sistema u
trenucima t2 i t1, dok je ~H(O)R (t1, t2) rezultuju¢i impulsni
momenta sistema u intervalu vremena [t1, t2]:
~H(O)R (t1, t2) =
∫ t2
t1
~M(O)R dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Kako vaºi relacija (koja vaºi za sistem i za kruto telo)
~D(O) = ~D(S) + ~rS × ~K
diferenciranjem po vremenu se dobija:
d ~D(O)
dt=d ~D(S)
dt+d~rSdt× ~K + ~rS ×
d ~K
dt
Pri tome je srednji £lan na desnoj strani jednak nuli (vektorskiproizvod dva kolinearna vektora: ~vS ×m~vS = 0)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Prema tome, u osnovni oblik Zakona o promeni momentakoli£ine kretanja za sistem materijalnih ta£aka, za ta£ku O kaoredukcionu ta£ku,
d ~D(O)
dt= ~M(O)
R
na levu stranu se unosi relacija
d ~D(O)
dt=d ~D(S)
dt+ ~rS ×
d ~K
dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Dobija se:
d ~D(S)
dt+ ~rS ×
d ~K
dt=
N∑k=1
(~rS + ~ρk)× ~Fk
gde je uneto da je ~rk = ~rS + ~ρk
Vektor ~rS ne zavisi od sabiranja, tako da je
d ~D(S)
dt+ ~rS ×
d ~K
dt= ~rS × ~FR +
N∑k=1
~ρk × ~Fk (14)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Imaju¢i u vidu Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem
d ~K
dt= ~FR
£lanovi levo i desno od znaka jednakosti u relaciji (14) seme�usobno skrate
Uvodi se oznaka za glavni vektor spolja²njih sila za sredi²te Ssistema mat. ta£aka:
~M(S)R =
N∑k=1
~ρk × ~Fk
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
Sistem materijalnih ta£aka
Sa ovim relacija (14) postaje
d ~D(S)
dt= ~M(S)
R (15)
Relacija (15) pretstavlja Zakon o promeni momenta koli£inekretanja sistema materijalnih ta£aka za sredi²te mase S kaoredukcionu ta£ku (a ne za nepokretnu ta£ku O)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Imaju¢i u vidu Op²tu jedna£inu dinamike za sistemmaterijalnih ta£aka, napisanu u obliku:
N∑k=1
mk ~ak δ~rk =
N∑k=1
~Fk δ~rk
za kruto telo (kao sistem sa ∞ mat. ta£aka) je, analogno:
∫m~a δ~r dm =
N∑k=1
~Fk δ~rk
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Kako je virtuelno pomeranje proizvoljne ta£ke tela dato saδ~r = δ~rA + δ~θ × ~ρ to se dobija:∫
m~a (δ~rA + δ~θ × ~ρ) dm =
N∑k=1
~Fk (δ~rA + δ~θ × ~ρk)
Sre�ivanjem, npr. ~a · (δ~θ × ~ρ) = δ~θ · (~ρ× ~a), se dobija
δ~rA ·∫m~a dm+δ~θ·
∫m(~ρ×~a) dm = δ~rA ·
N∑k=1
~Fk+δ~θ·N∑k=1
~ρk× ~Fk
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Kako je
N∑k=1
~Fk = ~FR kao iN∑k=1
~ρk × ~Fk = ~M(A)R
relacija se pi²e u obliku:
δ~rA ·(∫
m~a dm− ~FR
)+ δ~θ ·
(∫m(~ρ× ~a) dm− ~M(A)
R
)= 0
(16)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Integral po masi ∫m~a dm se dobija u obliku (m = const)∫m~a dm =
d
dt
∫m~v dm =
d ~K
dt= m~aS (17)
Imaju¢i u vidu relaciju ~r = ~rA + ~ρ, sledi
~a = ~aA + ~̈ρ
pa se integral ∫m(~ρ× ~a) dm transformi²e na dva integrala∫m(~ρ× ~a) dm =
∫m~ρ× ~aA dm+
∫m~ρ× ~̈ρ dm (18)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
U prvom integralu u izrazu (18) ~aA ne zavisi od integracije
U drugi integral izraza (18) se unosi identitet
d
dt(~ρ× ~̇ρ) = ~ρ× ~̈ρ
tako da izraz (18) postaje∫m(~ρ×~a) dm =
(∫m~ρ dm
)×~aA+
d
dt
(∫m~ρ× ~̇ρ dm
)(19)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Kako je, na osnovu de�nicije sredi²ta mase, kao i momentakoli£ine kretanja za ta£ku A,∫
m~ρ dm = m~ρS kao i
∫m~ρ× ~̇ρ dm = ~D(A)
to integral (19) postaje∫m(~ρ× ~a) dm = m~ρS × ~aA +
d ~D(A)
dt
Ako je ta£ka A nepokretna, onda je ~vA = ~aA = 0, a za op²tekretanje za referentnu ta£ku moºe da se usvoji sredi²te mase(A ≡ S), pa je ~ρSm = ∫m ~ρ dm = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Integral ∫m(~ρ× ~a) dm se dobija, prema tome, u obliku:∫m(~ρ× ~a) dm =
{za sferno kretanje ⇒ d ~D(A)
dt
za op²te kretanje ⇒ d ~D(S)
dt
Sa ovim se dobija Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo, zaop²te kretanje tela:
δ~rS ·
(d ~K
dt− ~FR
)+ δ~θ ·
(d ~D(S)
dt− ~M(S)
R
)= 0 (20)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
Alternativno, Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo, zaproizvoljno kretanje tela, moºe da se pi²e i u obliku:
δ~rS ·(m~aS − ~FR
)+ δ~θ ·
(d ~D(S)
dt− ~M(S)
R
)= 0 (21)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo
U slu£aju sfernog kretanja, referentna ta£ka je nepokretnata£ka A, pa Op²ta jedna£ina dinamike, za sferno kretanje,moºe da se pi²e kao:
δ~θ ·
(d ~D(A)
dt− ~M(A)
R
)= 0 (22)
jer je za nepokretnu ta£ku A: ~aA = 0, odn. δ~rA = 0
Jedna£ine (20), odn. (21), ili (22), pretstavljaju jednu skalarnujedna£inu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
U Op²toj jedna£ini dinamike za kruto telo, za proizvoljnokretanje tela, varijacije δ~rS i δ~θ su nezavisne varijacije, odn.proizvoljni ∞ mali i me�usobno nezavisni vektori:
δ~rS ·
(d ~K
dt− ~FR
)+ δ~θ ·
(d ~D(S)
dt− ~M(S)
R
)= 0 (23)
Jedna£ina (23) je zbir dva skalarna proizvoda
U svakom od skalarnih proizvoda �guri²e po jedan proizvoljni∞ mali vektor i kona£an vektor (prikazan u zagradama)
Da bi skalrana jedna£ina (23) bila zadovoljena, moraju vektoriuz δ~rS i δ~θ, svaki za sebe, da budu jednaki nuli
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Prema tome, jedna£ina (23) se svodi na dve vektorskejedna£ine:
d ~K
dt− ~FR = 0 kao i
d ~D(S)
dt− ~M(S)
R = 0 (24)
U slu£aju prikaza Op²te jedn. dinamike u obliku (21), dobija se
m~aS − ~FR = 0 kao id ~D(S)
dt− ~M(S)
R = 0 (25)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo je jedna skalarnajedna£ina, ali u njoj �guri²e 6 proizvoljnih ∞ malihparametara:
- Virtuelno pomeranje referentne ta£ke A ili S (recimo S) . . . 3:
δ~rS = {δxS , δyS , δzS}
- Virtuelna rotacija tela . . . 3:
δ~θ = {δθξ, δθη, δθζ}
Kako su δ~rS i δ~θ proizvoljni vektori, u skalarnim proizvodimavektori uz δ~rS i δ~θ moraju da budu jednaki nuli, svaki za sebe
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.
Time se dobija Zakon o promeni koli£ine kretanja
d ~K
dt= ~FR
ili, alternativno, Zakon o kretanju centra mase tela
m~aS = ~FR
kao i Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
d ~D(S)
dt= ~M(S)
R
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.
U slu£aju sfernog kretanja Op²ta jedna£ina dinamike je data sa(22): nepokretna ta£ka A je redukciona ta£ka
Dobija se Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja zata£ku A:
d ~D(A)
dt= ~M(A)
R
Kao i za materijalnu ta£ku i sistem materijalnih ta£aka, moguda se, iz osnovnih oblika zakona, izvedu diferencijalni iintegralni oblici
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.
Mnoºenjem zakona u Osnovnom obliku sa dt dobija sediferencijalni oblik
Integracijom zakona u diferencijalnom obliku dobija seintegralni oblikZakon o promeni koli£ine kretanja:
- diferencijalni oblik d ~K = d~IR = ~FR dt- integralni oblik ~K2 − ~K1 = ~IR(t1, t2)
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja:
- diferencijalni oblik d ~D(S) = d ~HR = ~M(S)R dt
- integralni oblik ~D(S)2 − ~D
(S)1 = ~H(S)
R (t1, t2)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.
Za mehani£ki izolovan sistem je ~FR = 0 i ~M(S)R = 0
Tada vaºe Zakon o odrºanju koli£ine kretanja:
~FR = 0 ⇒ ~K = const
kao i Zakon o odrºanju momenta koli£ine kretanja:
~M(S)R = 0 ⇒ ~D
(S)R = const
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Dalamberov princip za kruto telo
Dalamberov princip:Tokom kretanja slobodnog krutog tela, aktivne, reaktivne iinercijalne sile su u "ravnoteºi"
De�nisanjem inercijalnih sila problem kretanja se transformi²eu problem ravnoteºe sila
Stati£ka analiza je jednostavnija od dinami£ke
Inercijalne sile su �ktivne sile (nemaju izvor u drugim telima)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Dalamberov princip za kruto telo
Iz Zakona o promeni koli£ine kretanja i momenta koli£inekretanja moºe da se formuli²e Dalamberov princip za kruto telo
m~aS = ~FR ⇒ ~FR + (−m~aS) = 0d ~D(S)
dt = ~M(S)R ⇒ ~M(S)
R + (−d ~D(S)
dt ) = 0
gde su −m~aS i −d~D(S)
dt, redom, glavni vektor inercijalnih
sila i glavni vektor momenata inercijalnih sila, odn. glavnivektor inercijalnih spregova
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
d'Alembert-ov princip, raspodeljeno inercijalnooptere¢enje
�tap (jednodimenzionalno telo)
Elementarna inercijalna sila:
d~f in = −~adm = −~a(s)µ(s)ds
gde je µ(s) - masa po jedinici duºine.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
d'Alembert-ov princip, raspodeljeno inercijalnooptere¢enje
�tap (jednodimenzionalno telo)
Raspodeljeno inercijalno optere¢enje po jedinici duºine ²tapa:
~pin(s) =d~f in
ds== −~a(s)µ(s)
~pin(s) = −~a(s)mL
kod homogenih ²tapova.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
d'Alembert-ov princip, raspodeljeno inercijalnooptere¢enje
�tap (jednodimenzionalno telo)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Sadrºaj
1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo
2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Ojlerove jedna£ine - sferno kretanje
U slu£aju sfernog kretanja Zakon o promeni momenta koli£inekretanja za nepokretnu ta£ku A predstavlja diferencijalnejedna£ine kretanja
Pogodnija (skalarna) forma ovih jedna£ina su Ojlerovejedna£ine
Vektor momenta koli£ine kretanja tela za nepokretnu ta£ku Aje dat (u materijalnim koordinatama) sa
~D(A) = D(A)ξ
~λ+D(A)η ~µ+D
(A)ζ ~ν ili {D}(A) = [J ](A) {ω}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Ojlerove jedna£ine - sferno kretanje
Izvod po vremenu momenta koli£ine kretanja je dat sa(difereciranje u sistemu pokretnih osa)
d ~D(A)
dt=
∗~D + ~ω × ~D(A)
Vektor ugaone brzine je u materijalnim koordinatama dat sa~ω = {p, q, r}Za materijalne ose u nepokretnoj ta£ki A se biraju glavne oseinercije (1), (2) i (3) sa ortovima ~I, ~J, ~K
Matrica inercije za glavne ose je dijagonalna matrica
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Ojlerove jedna£ine - sferno kretanje
Vektor ugaone brzine u odnosu na glavne ose je~ω = {ω1, ω2, ω3}Vektor momenta koli£ine kretanja je ~D(A) = {D1, D2, D3} iliu matri£nom obliku {D} = [J ]{ω} (podrazumeva seredukciona ta£ka A):
D1
D2
D3
=
J1J2
J3
ω1
ω2
ω3
=
J1ω1
J2ω2
J3ω3
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Ojlerove jedna£ine - sferno kretanje
Izvod po vremenu momenta koli£ine kretanja je dat kao zbirlokalnog izvoda i izvoda usled rotacije materijalnog sistema:
d ~D(A)
dt=
∗~D + ~ω × ~D(A)
pa se izra£unavanjem dobija:
d ~D(A)
dt= J1ω̇1
~I + J2ω̇2~J + J3ω̇3
~K
+ ω2ω3(J3 − J2)~I + ω3ω1(J1 − J3) ~J+ ω1ω2(J2 − J1) ~K
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje
Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela
Ojlerove jedna£ine - sferno kretanje
Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja
d ~D(A)
dt= ~M(A)
R / ·~I~J~K
se projektuje na glavne ose u ta£ki A, pa se dobijaju Ojlerovediferencijalne jedna£ine za sferno kretanje krutog tela:
J1ω̇1 − ω2ω3(J2 − J3) =M(A)R1
J2ω̇2 − ω3ω1(J3 − J1) =M(A)R2
J3ω̇3 − ω1ω2(J1 − J2) =M(A)R3
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2