TÉCNICAS DE CONTEO

Los conteos en las probabilidades que se pueden dar al considerar una serie de alternativas u opciones relacionadas con una circunstancia particular, se fundamentan en dos principios que son: principio de multiplicación y principio de la adición.

Principio de multiplicación Supongamos que una primera acción

puede concluir de n1 formas diferentes; una segunda acción puede concluir de n2 formas diferentes y así sucesivamente hasta una acción k que puede concluir de nk formas diferentes; entonces, las k acciones pueden concluir conjuntamente (simultáneamente) por:

n1*n2*…*nk formas diferentes

Ejercicios

1. Suponga que se desea formar una terna para elegir presidente, vicepresidente y secretario de una junta directiva. Hay tres candidatos para presidente, 5 para vicepresidente y 4 para secretario ¿ De cuantas formas se puede elaborar la terna?

2. Una profesora de pedagogía desea exibir tre carteles en el vestíbulo del colegio uno a continuación del otro ¿DE cuantas formas puede colocar los carteles?

El club de teatro de la ciudad realiza ensayos para una obra que se montará en primavera. Si 6 hombres y 8 mujeres ensayan para los papeles principales ¿De cuantas formas el director puede elgir a la pareja principal?

En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito. ¿Cuántas bolitas hay al interior de la bolsa?, ¿Cuantas bolitas hay con un número par? ¿Cuántas bolitas hay con un número menor que 20 000?

¿Cuántas placas de automóviles diferentes se pueden formar que constan de 2 letras seguidas por 4 dígitos?

¿Cuántas placas de automóviles diferentes se pueden formar que constan de 2 letras seguidas por 4 dígitos sin que se repita alguna letra o algún digito?

Una familia desea adquirir una vivienda en un balneario y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuantos tipos posibles de vivienda tiene a disposición?

Principio de la adición

Suponga que una primera acción se puede realizar de n1 formas diferentes; una segunda acción de n2 formas diferentes y así sucesivamente hasta llegar a una acción k que puede realizarse de nk formas diferentes.

Si sólo una de estas k acciones se puede realizar entonces el número de formas como puede concluir la primera o la segunda ,..., k esima acción está dada por

n1+n2+…+nk formas diferentes

Ejercicios

Una persona puede viajar de una ciudad a otra por tres carreteras disponibles o por dos líneas férrea ¿ De cuantas formas esta persona puede hacer el viaje entre estas dos ciudades?

La Biblioteca de una universidad tiene 40 libros de Sicología y 50 de antropología ¿De cuantas formas un estudiante puede elegir alguno de estos textos?

Por el principio de la multiplicación hay 4 modalidades como pueden recolectarse los datos:

Ordenados con repetición (n upla)

Ordenados sin repetición ( permutación)

No ordenado sin repetición (combinación)

No ordenado con repetición

Muestras ordenadas con repetición (n-upla) Se obtienen cuando cada observación puede

darse tantas veces como sea posible, bien porque la unidad observada se retorna a la población o porque hay un número grande de unidades que poseen la misma medida y el orden en que suceden tales observaciones es de importancia.

Este tipo de muestra se llama n-upla El número de observaciones ordenadas con

repetición está dada por: Nn

N: número de elementos distintos disponibles (población)

n: número de elementos escogidos

Ejercicios

Un examen de tipo verdadero y falso es respondido por una persona que carece de todo conocimiento sobre el tema.

Si la persona debe responder 10 preguntas ¿de cuantas formas distintas puede responder el examen?

Cuantos resultados posibles se pueden obtener al lanzar 3 dados?

Muestras ordenadas sin repetición ( Permutación) Resulta cuando cada observación solo

se da una vez porque cada unidad una vez observada no se retorna ala población. Este tipo de muestras se llaman permutaciones. El número de observaciones ordenadas sin repetición esta dada por:

  N: Numero de elementos disponibles K: número de elementos escogidos

Ejercicios

Un conferencista dispone de 8 temas sobre los que puede disertar. Se le pide que presente una serie de 5 conferencias¿ De cuantas formas puede organizar sus disertaciones?

De cuantas maneras  se pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 8 personas, suponiendo que cada una no puede recibir mas  de un premio?

¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco personas en una fila de ocho sillas?

Van a asignarse asientos contiguos en una mesa de banquete a las 5 personas invitadas a una fiesta Determinar el número de arreglos

distintos que son posibles para 5 personas

Suponga que sólo 3 de los 5 invitados asisten a la fiesta Cuantos arreglos distintos son posibles en la mesa considerando que pueden llegar 3 personas cualquiera de entre las 5?

Los números de teléfono de la empresa tienen un prefijo seguido de cuatro cifras, como por ejemplo 678-XXXX. La empresa necesita instalar 10 001 teléfonos. ¿Tendrá números suficientes para asignar uno diferente a cada teléfono?

Muestras no ordenadas sin repetición ( Combinación) Se obtiene cuando cada observación seda

solo una vez y el orden en que aparecen no es de importancia.

Este tipo de muestreo se llama combinación

El número de observaciones no ordenadas sin repetición esta dada por

Donde: n: Número de elementos disponibles k: número de elementos escogidos

Ejercicios

Suponga que hay 20 personas para formar un comité de 3 ¿De cuantas personas se puede formar este comite?

Suponga que en un departamento hay 10 hombres y 5 mujeres y que se necesita un grupo se cuatro personas para llevar a cabo un proyecto. Determine. El numero de formas como se puede elegir 2

hombres y dos mujeres para dicho grupo El número de formas para elegir sea 4 hombres,

sea 4 mujeres.  

Muestras no ordenas con repetición A veces se presenta el caso de hacer

permutaciones a partir de elementos; cuando esto sucede el n° de permutaciones está dado por

Donde N: Cantidad total nk : Cantidad de cada

repetición

Ejercicio

Ejercicio Cuantas permutaciones distintas se

pueden hacer a partir de la palabra ABRACADABRA

Experimentos aleatorios

Un experimento es aleatorio cuando: • Se puede repetir indefinidamente

pudiéndose obtener resultados distintos en cada repetición.

• En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

• Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede predecir el resultado que se obtendrá.

Ejemplos de experimentos aleatorios Lloverá la próxima semana Lanzar una moneda al aire Lanzar 5 monedas al aire Extraer una carta de una baraja

inglesa

Probabilidades en estadística Pueden proveer modelos que ayuden a la toma

de decisiones en situaciones con incertidumbre. “Al estudiar probabilidades consideramos

experimentos aleatorios” Cada experimento termina en un resultado que no puede predecirse con certeza antes de la realización del experimento.

Sin embargo el experimento es tal que se puede hacer una lista de cada uno de los resultados posibles; esta colección de todos los resultados posibles recibe el nombre de Espacio muestral U

Ejercicios

Determina el espacio muestral de: Lanzar una moneda Lanzar dos monedas Lanzar 3 monedas Lanzar un dado Lanzar dos dados Sacar una carta de una baraja

inglesa.

Definición

Un espacio muestral U, asociado a un experimento aleatorio, es un conjunto que para ser un modelo útil debe cumplir las condiciones siguientes:

Cada elemento u de U representa un resultado del experimento.

Cada resultado del experimento tiene 1 y sólo 1 representante en el espacio muestral U

Sucesos

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio:

Suceso elemental, suceso simple es cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio luego los sucesos elementales son subconjuntos de E con sólo un elemento

Suceso compuesto es aquel que consta de dos o más sucesos elementales

Suceso seguro, cierto o universal es aquel que consta de todos los sucesos elementales del espacio muestral E, es decir, coincide con E. Se le denomina seguro o cierto porque ocurre siempre

Suceso imposible es aquel que no tiene ningún elemento del espacio muestral E y por tanto no ocurrirá nunca. Se denota por Ø

Sucesos mutuamente excluyentes:· Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro.

P(A∩B)=P(AyB)=P(AB)=0

Definición clásica de probabilidadLa probabilidad de un evento A está dada

por: 

La condición necesaria para aplicar esta regla es que el espacio muestral asociado al experimento sea equiprobable.

Cuando usamos esta regla para calcular probabilidades, las técnicas de conteo resultan de mucha utilidad

Ejercicios

Se lanzan dos dados legales y se observa la suma de los números que aparecen. Calcular la probabilidad de los eventos siguientes:

a)    A={La suma es siete}. b)    B={La suma es mayor que ocho}. c)    C={Los números que aparecen

son diferentes}. d)    D={La suma es un número par

mayor que siete}

En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial con los hábitos de fumar, se reúnen los siguientes datos de 180 individuos.

Si se selecciona un individuo al azar, encuentra la probabilidad de que la

persona sea no fumador es :

En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito.a) ¿Cuántas bolitas hay al interior de la bolsa?b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número par?c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número menor que 20 000?d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número que termine en 1 ó en 5?

Una urna contiene tres canicas amarillas y siete verdes. Si se extrae una canica al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarilla?

Álgebra de Eventos

Diagrama de Venn Al trabajar con relaciones y operaciones de

conjuntos, es útil disponer de un sistema gráfico de representación que permita visualizar lo que ocurre e interpretar mediante diagramas las deducciones lógicas correspondientes.

  El diagrama de Venn, es un dibujo mediante el cual se pueden ilustrar las relaciones y operaciones que hay entre los eventos.

 

En las aplicaciones de la teoría de probabilidades trataremos más frecuentemente con dos o más eventos relacionados entre sí, que con un solo evento independiente, por lo que es conveniente ver las siguientes relaciones.

Evento Unión

 Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La unión de los eventos A y B es el evento que consta de los elementos que pertenecen tanto a A como a B y se representa por (A B).

La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la unión es:

Ejemplo . Sea el evento A formado por las vocales {a, e, i, o, u} y el B por las letras {a, b, e}, entonces  .

Evento Intersección

Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La intersección de los eventos A y B es el evento que contiene los elementos que simultáneamente pertenecen a A y a B y se represente por (A B).

            La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la intersección es:

Ejemplo . Si el evento B está formado por los aficionados al basquetbol y el conjunto C por los aficionados al ciclismo, el evento (B C) estará formado por los que sean aficionados a los dos deportes.

Eventos Mutuamente Excluyentes

Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, o ajenos, o disjuntos, si no tienen ningún elemento en común, esto es, si  .

Evento Complemento

  El complemento del evento A es el

evento de aquellos elementos que no pertenecen a A y se simboliza por  .

Diferencia de Eventos.

  Sean A y B dos eventos cualesquiera

del espacio de eventos. La diferencia de los eventos es el evento que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B.

Definición de probabilidad mediante axiomas y teoremas Los primeros trabajos sobre una construcción

axiomática de la teoría de probabilidades fueron desarrollados en 1917 por S. N. Bernstein. Posteriormente A. N. Kolmogorov hizo una presentación diferente, la cual relaciona la teoría de probabilidades con la teoría de conjuntos. Los principios de tal construcción se originan en la definición clásica de probabilidad y de frecuencia relativa.

            Dado un experimento con espacio muestral S y un espacio de eventos a, la probabilidad del evento A, representada por P(A), será el valor numérico que debe cumplir con los 3 axiomas de Kolmogorov:

 

Axioma 1. Para cualquier evento A se cumple que P(A 1)

  Axioma 2. Para el

espacio muestral S, se cumple que P(S)=1

  Axioma 3. Si A y B son dos eventos

mutuamente excluyentes de S, entonces