Tcnicas de conteo.

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1. TCNICAS DE CONTEO Son aquellas que se utilizan para enumerar eventos difciles de cuantificar, el objetivo de verlas es para comprender mejor la teora de probabilidad. Las tcnicas de conteo pueden ser: diagrama de rbol, permutaciones y combinaciones. Las bases para entender las tcnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo. 1.1 Principio multiplicativo. Si una actividad se debe realizar de r pasos, donde el primero a realizar se puede hacerse de N1 maneras, el segundo paso de N2 formas y el r-simo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede realizarse de:

N1 x N2 x. x Nr maneras o formas. Ejemplo 1. Un ingeniero desea construir una casa donde las paredes pueden ser de ladrillo, block o concreto; el techo puede ser de cemento o lmina de asbesto y los acabados de una sola manera. Cuntas formas tiene esta persona de construir su casa? r = 3 N1 = 3 maneras de construir la pared. N2 = 2 maneras de hacer el techo. N3 = 1 maneras de hacer el acabado. Por lo tanto, el total de maneras en que puede construir la casa este ingeniero es:

N1 x N2 x N3 = 3 x 2 x 1 = 6

Ejemplo 2. Si se lanza un dado bien balanceado al aire tres veces, cuntos posibles resultados tendr el experimento? r = 3 Primer lanzamiento = 6 formas. Segundo lanzamiento = 6 formas. Tercer lanzamiento = 6 formas. El total de resultados posibles que tendr el experimento es 6 x 6 x 6 = 216. Ejemplo 3. Cuntos nmeros telefnicos es posible disear, si estos deben contar con seis dgitos tomados del 0 al 9 si: a) El cero no puede ir al inicio de los nmeros y es posible repetir dgitos. b) El cero no debe ir en la primera posicin y no es posible repetir los nmeros.

Tcnicas de conteo.

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a) Como se permite repetir nmeros estos son: El primer dgito puede ser cualquier de los nueve (el cero no esta permitido). El 2, 3, 4, 5 y 6 nmero puede ser cualquiera de los diez dgitos. Por lo tanto, el total de los nmeros que pueden formarse son:

9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 b) No se permite repetir los nmeros. El primer nmero puede ser cualquiera de los nueve (menos el cero). El Segundo nmero puede ser cualquiera de los nueve (menos el utilizado como primer dgito). El tercer nmero puede ser cualquiera de los ocho (menos los utilizados como 1 y 2 dgito). El cuarto nmero puede ser cualquiera de los siete (menos los utilizados como 1, 2 y 3er dgito). El quinto nmero puede ser cualquiera de los seis (menos los utilizados como 1, 2 3o y 40 dgito). El sexto nmero puede ser cualquiera de los cinco (menos los utilizados como cinco primeros dgitos). Por lo tanto, el total de los nmeros que pueden hacerse son:

9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080

Ejemplo 4. Cuntas placas de automvil pueden ser diseadas, si stas deben contar con tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben ser tomadas del abecedario (27) y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9? No se permite que se repitan las letras y los nmeros.

27 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 = 88, 452,000 1.2 Principio aditivo. Si una actividad debe ser realizada y sta tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera alternativa puede realizarse de M maneras, la segunda de N formas...y la ltima de O maneras o formas, esta actividad puede ser llevada acabo por:

M + N + + O maneras o formas. Ejemplo 1. Una seora desea comprar una lavadora de ropa teniendo las siguientes alternativas: la marca Acros con dos tipos de carga (8 y 12 kg.) puede ser automtica y semiautomtica; la marca Easy presenta tres tipos de carga (8, 11, 15 kg.) y puede ser automtica y semiautomtica; mientras que la marca Samsung es de un solo tipo de carga (11 kg.) y solo hay semiautomtica. De cuntas maneras puede esta persona comprar la lavadora?

Tcnicas de conteo.

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A = 2 x 2 = 4 E = 3 x 2 = 6 S = 1 x 1 = 1 El nmero de maneras que tiene de seleccionar la lavadora es: A + E + S = 4 + 6 + 1 = 11. Ejemplo 2. Pablo desea comprar una computadora y tiene las siguientes alternativas: la marca Dell con un disco duro de (80,120 y 200Gb), con memoria de (256 y 512Mb). La marca Hp con un disco duro de (120 y 200Gb), una memoria de 512Mb y con un procesador Pentium 4. La marca Compac con solo un disco duro de 80Gb, una memoria de 256Mb y un procesador Athlon. De cuntas formas puede realizar su compra? D = 3 x 2 = 6 H = 2 x 1 x 1 = 2 C = 1 x 1 x 1 = 1 El nmero de maneras en que Pablo puede comprar su computadora es: D + H + C = 6 + 2 + 1 = 9. Ejemplo 3. Mnica se va a comprar pantalones y tiene las siguientes alternativas: la marca GGI en color azul, blanco y rosado, con tela de mezclilla y de vestir, puede ser de botones o de sierre. La marca STOP de color negro y azul, de mezclilla, con botones y de sierre. La marca TOMY de color negro, con una forma de vestir y mezclilla y con botones. De cuntas formas puede hacer su compra? G = 3 x 2 x 2 = 12 S = 2 x 1 x 2 = 4 T = 1 x 2 x 1 = 2 Las maneras como puede hacer su compra es: G + S + T = 12 + 4 + 2 = 18. Cmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Cuando se trata de una sola actividad, la cual para ser llevada a cabo requiere de una serie de pasos, se trata del principio multiplicativo. Si la actividad a desarrollar tiene alternativas para ser llevada a cabo, se hace uso del principio aditivo. 1.3 Diagrama de rbol. Un diagrama de rbol es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo. En experimentos simples, un diagrama de rbol puede ser muy til en la enumeracin del espacio muestral (S), por ejemplo.

Tcnicas de conteo.

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1. Considere el experimento de lanzar una moneda al aire tres veces, cules son todos los resultados posibles que pueden tenerse? A A S A A S S A A S S A S S Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el nmero de resultados posibles (espacio muestral) son ocho, siendo estos:

S = (AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS)

2. Se seleccionan en forma aleatoria tres artculos de un proceso de manufactura, se examinan cada uno de ellos y se califican como defectuoso (D), o no defectuoso (N). Enliste todos los elementos del espacio muestral. D D N D D N N D D N N N D N

S = (DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN)

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3. Un experimento consiste en lanzar primero un dado, si la cara superior cae par se lanza una moneda; si el resultado cae non la moneda se lanza dos veces. Dibuje un diagrama de rbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral. A A S 1 A S S A 2 S A A S 3 A S S A 4 S A A S 5 A S S A 6 S

Tcnicas de conteo.

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1.3.1 Ejemplos propuestos de diagrama de rbol. 1. Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipos de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (normal, alta y baja). Mediante un diagrama de rbol indique en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este mdico. R = 24 2. Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como mximo, l empieza a jugar con un dlar, apuesta cada vez un dlar. El se va a retirar de jugar si: pierde todo su dinero, si gana tres dlares (esto si completa un total de cuatro dlares), o si completa los cinco juegos. Mediante un diagrama de rbol indique: a) Cuntas maneras hay de que se efecte el juego de este hombre? R = 11 b) Cul es la probabilidad de que pierda todo su dinero? R = 0.3636 c) Cul es la probabilidad de que gane cuatro dlares? R = 0.2727 3. Sea el experimento de lanzar dos dados bien balanceados al aire una sola vez, mediante la utilizacin de un diagrama de rbol, enliste todos los elementos que componen el espacio muestral de este experimento. R = 36 4. Un millonario excntrico clasifica sus autos por marca, color y polarizado y sin polarizar. Teniendo este Ferrari, Alfa Romeo y Porche, desea pintarlos en color rojo, gris, blanco, polarizarlos o no, mediante un diagrama de rbol indique en cuantas formas pueden quedar sus autos. R = 18 5. Una pareja planea tener tres hijos y desean saber la probabilidad de que los tres sean nios en tres partos, mediante un diagrama de rbol obtenga la probabilidad correspondiente. R = 0.125 1.4 Permutaciones. Para obtener la probabilidad de un evento es necesario contar con todos los resultados posibles del experimento, as como el nmero de eventos que son de inters para nosotros. Para conocer el nmero de resultados posibles de un experimento, el proceso de conteo puede realizarse mediante la tcnica de permutaciones o combinaciones. Una permutacin es un arreglo de elementos, donde si interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituye dicho arreglo. Por ejemplo de cuntas maneras pueden arreglarse las letras a, b, c?, para elegir la primera posicin en el arreglo pueden elegirse cualquiera de las tres letras; para la segunda se pueden escoger cualquiera de las otras dos letras restantes y para la tercera debe emplearse la letra que no se ha utilizado. As existen 3 x 2 x 1 = 6 maneras en que pueden arreglarse las letras. Los arreglos o permutaciones de tamao tres son:

Tcnicas de conteo.

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a b c b c a c a b

a c b b a c c b a

Empleando el mismo razonamiento, si se tienen los libros de qumica, fsica, matemticas y probabilidad, de cuntas maneras se pueden ordenar? La manera como pueden ordenarse es de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 formas distintas. En general el nmero de permutaciones de n objetos diferentes es:

n (n - 1) (n - 2) (2)(1) Por lo que el producto de un entero positivo por todos los que le preceden se denota por n! y se lee n factorial. Por ejemplo, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Como n! = n (n - 1) (n - 2) (2) (1), tambin lo podemos expresar por:

n! = n (n - 1)! Si despejamos (n - 1)! tenemos que:

n

nn

!!1

Cuando n = 1, queda definido que 0! = 1 Definicin. El nmero de permutaciones diferentes que pueden hacerse de n objetos distintos, tomando r a la vez es:

!

!

rn

nPnr

Ejemplo. Se tienen cuatro chips distintos denominados a, b, c, d y deseamos considerar todos los arreglos posibles de tamao dos, donde si nos interesa el orden. Datos: n = 4 r = 2

Los arreglos que pueden obtenerse son:

1212

1234

!24

!442

P

Los arreglos correspondientes son:

a b, b a, b c, c b, a c, c a, b d, d b, a d, d a, c d, d c.

Tcnicas de conteo.

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Las permutaciones ab y ba son diferentes en cuanto a orden, mientras que ab y dc son diferentes en cuanto a contenido. 1.4.1 Ejemplos de permutaciones. 1. Cuntas palabras diferentes de tamao tres se pueden formar con las vocales del abecedario? La primera palabra que se tiene con las cinco vocales es a e i. Si cambiamos el orden de una letra por ejemplo i e a, esta es otra palabra, por lo que el orden de los elementos si interesa, por lo tanto debemos tratarlo como una permutacin. n = 5 r = 3

Por lo que el total de palabras diferentes son: 60

!35

!553

p

2. Una agencia de publicidad desea poner seis artculos diferentes en un folleto de venta. En cuntas formas distintas lo puede hacer? n = 6 r = 6

720

!66

!666

p formas.

3. De cuntas maneras se pueden acomodar una reunin de siete personas en fila? n = 7 r = 7

5040

!77

!777

p

4. El Departamento de Trnsito del Estado de Veracruz, desea saber cuantas placas para automvil es posible disear, si stas deben contar con tres letras seguidas de cuatro nmeros (donde las letras ni los nmeros pueden repetirse ms de una ocasin), si las letras deben ser tomadas del abecedario (27) y los nmeros entre los dgitos 0 al 9. La primera placa a obtener es ABC0123, si se cambia el orden a las letras de esta placa es otra placa?, la respuesta es s. Por lo que en este caso el orden de los elementos si interesa, por lo tanto se trata de una permutacin. El nmero de arreglos de tamao tres que pueden realizarse con 27 letras es:

17550273 p

Tcnicas de conteo.

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El nmero de arreglos de tamao cuatro que pueden realizarse con 10 nmeros es:

5040104 p Por lo tanto, el nmero total de placas que pueden disearse son:

8845200010427

3 PP

5. Queremos acomodar en un librero una enciclopedia de matemticas con cuatro tomos, otra de fsica con seis libros y una ms de qumica con dos volmenes. De cuntas maneras posibles podemos ordenarlos, si los libros de cada asignatura deben estar todos juntos? Al analizar el problema nos damos cuenta de que la enciclopedia de matemticas la podemos ordenar I, II, III, IV. Si modificamos el orden de los tomos vemos que es otra manera de ordenarlos, por lo que el orden si interesa y se trata de una permutacin. Como los libros de cada asignatura deben permanecer juntos, entonces hay que pensar en el nmero de arreglos que se tiene que realizar en cada materia. Finalmente ver la manera en que pueden ser ordenadas las tres enciclopedias, as:

El nmero de formas que pueden arreglarse cuatro tomos de matemticas es: !444 P

El nmero de formas que pueden arreglarse seis libros de fsica es: !666 P

El nmero de formas que pueden arreglarse dos volmenes de qumica son: !222 P

El nmero de formas que pueden arreglarse las tres enciclopedias son: !333 P

Por lo tanto el total de formas en que pueden ordenarse estos libros en el librero son:

4! X 6! X 2! X 3! = 207 360 maneras 6. Suponga que hay ocho mquinas distintas disponibles pero solo tres espacios en el piso del taller donde sern instaladas, de cuntos modos diferentes pueden colocarse las ocho mquinas en los tres espacios? n = 8 r = 3

336

!38

!883

p formas

7. Cuntos puntos de tres coordenadas (x, y, z) ser posible generar con los dgitos, 0,1, 2 ,3 ,4 ,5 y 9? n = 7 r = 3

Tcnicas de conteo.

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10

El total de puntos que se tendrn son:

210!37

!773

p

8. Una empresa desea colocar a tres nuevos gerentes en diez de sus plantas. De cuntas maneras diferentes puede hacerlo? Al analizar el problema vemos que cada gerente trabajar de forma diferente en cada planta, por lo que este problema debe ser tratado como una permutacin. n = 10 r = 3

El total de maneras en que pueden colocarse los gerentes es:

720!310

!10103

p

9. Deseamos identificar placas para automviles con tres letras del alfabeto y tres nmeros del 000 al 999, donde ninguna letra puede utilizarse ms de una ocasin en la misma placa. Cuntas placas ser posible disear? El nmero de arreglos de tamao tres que pueden hacerse con las 27 letras del

abecedario son: 17550273 P

Como a cada placa se le puede asignar los nmeros 000 al 999 (mil nmeros), por lo que el total de placas que pueden disearse son:

17,550 (1,000) = 17, 550,000 10. De un grupo de nueve ejecutivos que trabajan en una empresa, se tiene que seleccionar un director, un gerente y un jefe de departamento, de cuntas maneras es posible hacerlo? Como cada ejecutivo trabajar de manera diferente en cada puesto directivo, el orden de los elementos si interesa, por lo que el total de formas que puede hacerse es:

504

!39

!993

p

1.4.2 Ejemplos propuestos de permutaciones. 1. De cuntas maneras puede escogerse un comit compuesto por cuatro hombres y tres mujeres? de un grupo de ocho hombres y seis mujeres. R = 201,600 2. De cuntas maneras tres americanos, cuatro franceses y dos italianos pueden sentarse en una fila? de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos. R = 1728 3. Cuntas seales diferentes se pueden hacer con cuatro banderas de los siguientes colores? Rojo, blanco, azul y amarillo. R = 24

Tcnicas de conteo.

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4. Si el alfabeto cuenta con 27 letras de las cuales cinco son vocales, cuntas palabras de cinco letras se pueden formar si stas deben tener tres consonantes y dos vocales? R = 184,800 5. La empresa Sanrram S. A. tiene ocho tornos distintos pero solo hay tres espacios disponibles en la zona de produccin. En cuntas formas diferentes se pueden colocar los tornos en los espacios disponibles? R = 336 6. Cuntos nmeros diferentes de tamao dos se pueden formar con los nmeros del uno al nueve? R = 72 7. Un grupo de tres partes electrnicas puede ensamblarse en cualquier orden. De cuntas maneras diferentes se puede ensamblar? R = 6 8. Un estado tiene un milln de vehculos registrados y est considerando emplear placas de licencia con seis smbolos, de los cuales los tres primeros sern letras y los ltimos tres nmeros. Si las letras son tomadas de las vocales del abecedario y los nmeros de los dgitos del 0 al 9. Es factible este esquema? R = 43,200, no. 1.5 Combinaciones. Una combinacin es un arreglo de elementos donde no interesa el orden, lugar o posicin que ocupa cada uno de los miembros que constituyen el arreglo. Definicin. El nmero de combinaciones diferentes que se pueden hacer a partir de n elementos distintos, tomando a r a la vez es:

Ejemplo. Se tienen cuatro chips distintos denominados a, b, c, d, cules son todos los posibles arreglos de tamao dos que se pueden tener, si no nos interesa el orden de los elementos?

6

1212

1234

!24!2

!4

2

44

2

C

Las combinaciones son: a b, a c, ad, b c, b d, c d.

En el ejemplo anterior observe que las nrC tiene exactamente r factores en el

numerador como en el denominador, por lo que:

)1(

)1(

rr

nnC nr

!!!

! rnr

n

r

PC

r

n nrn

r

Tcnicas de conteo.

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Ejemplo: 1*2

3*442 C

1*2*3

88*89*90903 C

1.5.1 Ejemplos de combinaciones. 1. Si un saln de clases est constituido por 30 alumnos y se desean formar comisiones para vigilancia, donde cada comisin debe estar integrada por cinco personas, cuntas comisiones es posible realizar? Al reflexionar sobre el problema, nos damos cuenta de que la primer comisin puede estar integrada por las cinco primeras personas, si cambiamos uno de estos nombres de lugar o posicin nos damos cuenta que la comisin sigue siendo la misma, por lo que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo que nos interesa es el

contenido, por lo tanto aqu se trata de una combinacin de 142506305 C

Suponga ahora que de este grupo de 30 alumnos se pretende sacar un comit integrado por: un presidente, un secretario y un tesorero. De cuntas formas se pueden lograr? Al analizar el problema, nos damos cuenta de que cada individuo en cada una de las representaciones trabajar de manera diferente, por lo que el orden o la forma de los elementos si interesa, por lo tanto este caso debe ser tratado como una permutacin

de 24360303 P

2. Se van a enviar cinco jueces federales a un estado, para ello el senado estatal enva una lista al presidente con los nombres de 10 hombres y cuatro mujeres, el ejecutivo decide que de los cinco jueces tres sean hombres y dos mujeres. De cuntas maneras se puede lograr lo anterior? El nmero de maneras distintas que pueden seleccionarse tres hombres de un total de

10 es: 120103 C

El nmero de maneras diferentes que pueden seleccionarse dos mujeres de entre

cuatro son: 642 C

El nmero total de maneras en que pueden ser enviados los cinco jueces es:

7204210

3 CC

3. Una delegacin de cuatro estudiantes del ITSM se debe seleccionar para asistir a un congreso. a) De cuntas maneras se puede componer la delegacin si hay doce elegibles. b) De cuntas maneras si dos de los elegibles no asisten al mismo tiempo.

a) 495)!412(!4

!12124

C b) 210

)!410(!4

!10104

C

Tcnicas de conteo.

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4. A un departamento de mercadeo se le ha solicitado que disee cdigos de color para 42 lneas de discos compactos. Se han de utilizar tres colores en cada lnea, pero una combinacin de tres colores empleados para una de ellas no puede reordenarse y ser utilizada para identificar una nueva lnea de CD. Sern suficientes siete colores tomados tres a la vez para codificar las 42 lneas? Al analizar el problema nos damos cuenta que una combinacin de tres colores no puede reordenarse, por lo que el orden no interesa, tratndose en este caso de la

combinacin 3573 C

Por lo tanto los siete colores no son suficientes para codificar por color las 42 lneas, ya que solo permite hacerlo a 35. 5. Un estudiante tiene que resolver ocho problemas de un total de 12 en un examen. a) Cuntas maneras tiene de escogerlos? Para saber si los arreglos a realizar son permutaciones o combinaciones, suponga que el alumno toma los ocho primeros problemas, si se cambia el orden de stos vemos que siguen siendo los mismos, por lo que el orden de los elementos no interesa y se trata de una combinacin. a) El total de maneras en que puede seleccionar los ocho problemas es:

495)!812(!8

!12128

C

b) Cuntas maneras si tiene que escoger exactamente tres de los primeros cinco?

210755

3 CC

6. Se cuenta con 14 alumnos que estn dispuestos a colaborar en una campaa pro limpieza del ITSM. a) Cuntos grupos pueden formarse si se desea que consten de cinco alumnos cada uno de ellos? b) Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuntos de los grupos de limpieza tendrn a tres mujeres? c) Cuntos de los grupos de limpieza constarn con cuatro hombres por lo menos?

a) 2002145 C

b) 8406

2

8

3 CC

c) En este caso nos interesan grupos donde haya cuatro hombres o ms, por lo tanto los grupos de inters son: grupos con cuatro hombres ms grupos con cinco hombres.

126806

5

8

1

6

4 CCCC 7. El gerente de una pequea planta desea determinar el nmero de maneras que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que pueden servir

Tcnicas de conteo.

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como operadores del equipo de produccin, 8 que pueden desempearse como personal de mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores. Si el turno requieres 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor, de cuntas maneras pueden integrar el primer turno?

560560418

2

15

6 CCC

8. Una firma de transporte tiene un contrato para enviar una carga de mercanca de la ciudad W a la ciudad Z. No hay rutas directas que enlacen W con Z pero hay seis carreteras de W a X y cinco de X a Z. Cuntas rutas en total deben considerarse?

30516

1 CC 1.5.2 Ejemplos propuestos de combinaciones. 1. De cuntas formas se puede hacer jugada con cinco cartas de una baraja mexicana (40 cartas)? R = 658,008 2. Cuntas formas hay de seleccionar tres candidatos de un total de ocho recin graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? R = 56 3. Cuntas comisiones de tres personas se pueden formar con ocho ciudadanos? R = 56 4. En un puesto del mercado se tiene una reja con 50 frutas. De las 50 en existencia 20 son manzanas y el resto son duraznos, el dueo decide hacer montones de fruta donde cada montn debe tener dos manzanas y tres duraznos, cuntos montones de fruta puede formar esta persona? R = 771,400 5. Un estudiante de primer ao de la carrera de ingeniera industrial, debe tomar obligatoriamente un curso de matemticas, uno de computacin y uno de ingls. Si puede escoger entre cualquiera de seis cursos de matemticas y cuatro de computacin. Cuntas maneras tiene de seleccionar los cursos, si hay tambin cinco de ingls? R = 120 6. Una empresa requiere la contratacin de tres hombres y dos mujeres, para lo cual presentan solicitud diez hombres y siete mujeres. Si el jefe de personal decide escoger a los trabajadores al azar, cuntas opciones tiene para llevar a cabo su eleccin? R = 2520 7. Una empresa cuenta con 20 personas para colaborar en una campaa de divulgacin, si del total hay 11 hombres, cuntas comisiones de cuatro personas tendrn tres varones? R = 1485

Tcnicas de conteo.

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2. TEORA DE CONJUNTOS La teora de conjuntos es una parte importante de las matemticas, sin embargo nosotros nos limitaremos a unos cuantos conceptos bsicos y su aplicacin, con el fin de comprender mejor la teora de probabilidad. Qu es un conjunto? Es un arreglo o coleccin de objetos con una caracterstica comn observable. Conjunto universal es el arreglo que contiene a todos los elementos en discusin y se

representa por lo general con la letra U. Conjunto nulo o vaco es aquel que no contiene elemento alguno y su smbolo es . 2.1 Caractersticas de los conjuntos. Por lo general se representan con letras maysculas. Para denotar un conjunto se emplean los parntesis en forma de llaves { }, el diagonal dentro de ellos se emplea como sinnimo del termino tal que. A los componentes de un conjunto se les denomina elementos y se escriben con

minsculas o nmeros. Si x es un elemento de A se escribe x A, si x no es un

elemento de A se escribe x A. Cada elemento del conjunto va separado por una coma. Para representar los elementos de un conjunto se puede hacer por: regla de la enumeracin, regla de la definicin o un diagrama de Venn Euler, ejemplos: 1. Sea el conjunto A = {a, e, i, o, u} definido por la regla de la enumeracin, utilizando la regla de la definicin ser.

A = {x x son las vocales del abecedario}

Podemos ver que e A y j A. 2. Si decimos que el conjunto E son todos los nmeros reales entre cero y uno, lo podemos definir mediante la regla de la definicin de la manera siguiente.

E = {xx R, o x 1} 3. Si J = {2, 3, 5, 7,11} lo podemos presentar por la regla de la definicin por:

J = {xx, son los primeros cinco nmeros primos} Si tenemos dos conjuntos A y B se dice que A es un subconjunto de B, si cada

elemento de A es tambin un elemento de B y se denota por A B. Donde el smbolo

debe leerse como est incluido.

Tcnicas de conteo.

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Dos conjuntos son iguales A = B si y solo si A B y B A. 2.2 Operaciones con conjuntos. Unin. Sean A y B dos conjuntos no vacos, su unin se denota por:

A U B = {xx A o x B} Grficamente en un diagrama de Venn con eventos comunes su presentacin es:

U Interaccin. Sean A y B dos conjuntos no vacos, su interaccin se denota por:

A B = {xx A y x B} Vista esta operacin en un diagrama de Venn es:

U

Diferencia. Si A y B dos conjuntos no vacos, su diferencia se denota por:

A - B = {xx A y x B} En un diagrama de Venn su figura ser:

U

A

B

A

B

Tcnicas de conteo.

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Complemento. El complemento del conjunto A se define por:

AC = {xx U y x A} Grficamente se representa por:

U 2.3 Leyes de operaciones de conjuntos. Identidad: 1. AA 2. AUA 3. A 4. UUA Idempotencia: 1. AAA

2. AAA

Complementacin: 1. UAA c

2. AA c

3. AA cc Conmutatividad: 1. ABBA 2. ABBA

Asociatividad: 1. CBACBA 2. CBACBA )(

Distributividad: 1. CABACBA 2. CABACBA

Morgan: 1. ccc BABA )(

2. ccc BABA

AC A

Tcnicas de conteo.

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2.4 Ejemplos de operaciones con conjuntos.

1. Sea U = {xx son las letras del abecedario}, A = {a, e, i, o, u} y B = {a, b, c}. Con dichos valores encuentre: A U B = {a, e, i, o, u, b, c} A B = {a} Ac = {Es el conjunto de las consonantes} Bc = {d, e, f,, z} A B = {e, i, o, u,} B A = {b, c} (Ac)c = {Es el conjunto de las vocales} (A B)c = {b, c, d,, z} Estos conjuntos vistos en un diagrama de Venn se presentan como:

U

2. Sea el conjunto S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), A = (xx, son los nmeros primos)

B = (xx, son los nmeros pares) y C = (xx, son los nmeros divisibles exactamente entre tres). Con dichos valores encuentre las operaciones indicadas a continuacin. Primero obtenemos los subconjuntos descritos A, B y C por la regla de la enumeracin y posteriormente hacemos las operaciones solicitadas.

A = (2, 3, 5, 7) B = (2, 4, 6, 8) C = (3, 6, 9) A U B = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) A U C = (2, 3, 5, 6, 7, 9) B U C = (2, 3, 4, 6, 8, 9) A B = (2) A C = (3) B C = (6) A B = (3, 5, 7) A C = (2, 5, 7) B C = (2, 4, 8) AC = (1, 4, 6, 8, 9) BC = (1, 3, 5, 7, 9) CC = (1, 2, 4, 5, 7, 8)

d, f, g, h, j, pt, v, w, x, y, z

e i o

u a

b

c A B

Tcnicas de conteo.

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(A U B)c = (1, 9) (A B)c = (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (A B)c = (1, 2, 4, 6, 8, 9) (AC)c = (A) (Ac Bc) = (1, 9) (A U B) (A B)= (2) 3. Si U = (1, 2, 3, 4, a, b, c), A = (1, 2, 3), B = (2, 4, b) y C = (1, 3, a, c) encuentre: A U B = (1, 2, 3, 4, b) A U C = (1, 2, 3, a, c) B U C = (U) A B = (2) A C = (1, 3)

B C = () A - B = (1, 3) A - C = (2,) B - C = (2, 4, b) AC = (4, a, b, c) BC = (1, 3, a, c) CC = (2, 4, b) Ac U Bc = (1, 3, 4, a, b, c) Ac U Cc = (2, 4, a, b, c) Ac Bc = (a, c) Bc (A C) = (1, 3) (A U B)c = (a, c) (AC)c = (A) (A Cc)c = (1, 3, 4, a, b, c) (A C) (B C)c = (2) ((A Cc)c)c = (2)

Tcnicas de conteo.

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3. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS. 3.1 Espacio muestral. Un espacio muestral son todos los resultados posibles de un experimento y se representa generalmente por la letra S. Un experimento es un proceso basado en el mtodo cientfico que genera un conjunto de datos. Un espacio muestral puede ser presentado mediante dos formas, la regla de la enumeracin y de la definicin. Ser descrito mediante la regla de la enumeracin si el nmero de elementos es finito y es posible enlistarlos dentro de unos parntesis. Se emplear la regla de la definicin cuando se tenga un nmero grande o infinito de elementos. Debiendo describir de manera clara y precisa los elementos que integran el conjunto. Ejemplo 1. Sea el experimento de lanzar un dado una sola vez y observar el nmero que aparece en la cara superior de l. Descrito por la regla de la enumeracin es S = (1, 2, 3, 4, 5, 6) y por la regla de la definicin ser:

S = {xx son los puntos de la cara superior de un dado al ser lanzado una sola vez}. Ejemplo 2. Si los resultados posibles de un experimento son todas las ciudades con ms de 10,000 habitantes en el Estado de Mxico, el espacio muestral descrito por la regla de la definicin ser:

S = {xx, es una ciudad con ms de 10,000 habitantes en el Estado de Mxico} Ejemplo 3. Si el espacio muestral es S = (2, 3, 5, 7, 11), para describirlo por la regla de la definicin ser:

S = {x x son los primeros cinco nmeros primos} En algunos experimentos simples es posible obtener el espacio muestral mediante un diagrama de rbol, visto al principio del tema de tcnicas de conteo. 3.1.1 Ejemplos propuestos de espacio muestral. 1. Se lanza una moneda al aire una sola vez y dos veces en caso de que caiga guila, si la primera ocasin se obtiene sol se arroja un dado una sola vez, cul es su espacio muestral?

Tcnicas de conteo.

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2. Se seleccionan aleatoriamente tres tornillos de un proceso de manufactura, se examina cada uno de ellos clasificndose como defectuosos (D) o no defectuosos (N), cul es su espacio muestral? 3. Sea el experimento de lanzar al aire una moneda dos veces, cul es su espacio muestral? 4. Sea el experimento de lanzar dos dados al aire una sola vez, cul es su espacio muestral? 5. Un millonario excntrico clasifica sus autos por marca, color y polarizado o sin polarizar. Teniendo este Ferrari, Alfa Romeo y Porche, desea pintarlos en color rojo, gris y blanco, as como polarizarlos o no. Mediante un diagrama de rbol indique en cuantas formas pueden quedar sus autos. R = 18 6. Una pareja planea tener tres hijos y desean saber la probabilidad de que los tres sean nios en tres partos, con el auxilio de un diagrama de rbol obtenga la probabilidad correspondiente. R = 1/8 3.2 Eventos. Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos utilizando las diferentes operaciones de conjuntos. Dentro de las operaciones ms comunes tenemos:

Unin A U B = {xx A o x B} si A y B son conjuntos no vacos.

Interaccin A B = {xx A y x B} si A y B son conjuntos no vacos.

Diferencia A B = {xx A y x B} si A y B son conjuntos no vacos.

Complemento Ac = {xx U y x A} Ejemplo 1. Sea S el espacio muestral de lanzar un dado una sola una vez, sea A el evento de que sea nmero par, B el evento que sea impar y C el evento que sea divisible exactamente entre tres.

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6) A = (2 ,4 ,6) B = (1, 3, 5) C = (3, 6)

Con estos eventos podemos formar nuevos eventos tales como: A U C = (2, 3, 4, 6). Es el evento de que sea par sea divisible exactamente entre tres. B C = (3). Es el evento de que sea impar y divisible exactamente entre tres. A C = (2, 4). Es el evento que sea nmero par y no divisible exactamente entre tres.

Tcnicas de conteo.

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Cc = (1, 2, 4, 5). Es el evento de que el nmero no sea divisible exactamente entre tres. Ejemplo 2. Sea el experimento de lanzar dos dados al mismo tiempo, sea A el evento de obtener cinco puntos, B el evento de obtener nmeros iguales y C el evento de obtener ms de diez puntos.

1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 = S 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

Los conjuntos A, B y C expresados por la regla de la enumeracin son:

A = (1 4, 2 3, 3 2, 4 1) B = (1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6) C = (5 6, 6 5, 6 6) Con estos eventos obtenga las probabilidades siguientes: P (A) = 4/36 P (B) = 6/36 P (C) = 3/36 P (A U C) = 7/36 P (Bc) = 30/36 P (A B) = 0 P (B - C) = 5/36 P (Bc A) = 4/36 P (Ac)c = 4/36