separacion de variables

7/18/2019 Separacion de Variables

http://slidepdf.com/reader/full/separacion-de-variables-56d4e3f532ea0 1/9

44 ● CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

36. Considere la ED dydx y2 – y – 6. Use sus ideas del pro-

blema 35 para encontrar los intervalos en el eje y para los

que las curvas solución son cóncavas hacia arriba y en los que

las curvas solución son cóncavas hacia abajo. Analice por

qué cada curva solución de un problema con valores ini-

ciales dydx y2 y – 6, y(0) y0, donde 2 y

0

3, tiene un punto de inflexión con la misma coordenada

y. ¿Cuál es la coordenada y? Con cuidado dibuje la curvasolución para la que y(0) 1. Repita para y(2) 2.

37. Suponga que la ED autónoma en la ecuación (1) no tiene

puntos críticos. Analice el comportamiento de las solu-

ciones.

Modelos matemáticos

38. Modelo de población La ecuación diferencial en el

ejemplo 3 es un muy conocido modelo de población.

Suponga que la ED se cambia por

,dP

dt P(aP b)

donde a y b son constantes positivas. Analice qué le pasa

a la población P conforme pasa el tiempo.

39. Modelo de población Otro modelo de población está

dado por

,dP

dt kP h

donde h y k son constantes positivas. ¿Para qué valor ini-

cial P(0) P0 este modelo predice que la población des-

aparecerá?

40. Velocidad terminal En la sección 1.3 vimos que la

ecuación diferencial autónoma

.mdv

dt mg kv

donde k es una constante positiva y g es la aceleración

de la gravedad, es un modelo para la velocidad v de un

cuerpo de masa m que está cayendo bajo la influencia de

la gravedad. Debido a que el término –kv representa la

resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae de

una gran altura no aumenta sin límite conforme pasa el

tiempo t . Utilice un esquema de fase de la ecuación dife-

rencial para encontrar la velocidad límite o terminal del

cuerpo. Explique su razonamiento.

41. Suponga que el modelo del problema 40 se modifica de talmanera que la resistencia del aire es proporcional a v2, es

decir

.mdv

dt mg kv2

Vea el problema 17 de los ejercicios 1.3. Utilice un es-

quema de fase para determinar la velocidad terminal del

cuerpo. Explique su razonamiento.

42. Reacciones químicas Cuando se combinan ciertas cla-

ses de reacciones químicas, la razón con la que se forman

los nuevos componentes se modela por la ecuación dife-

rencial autónomadX

dt k ( X )( X ),

donde k 0 es una constante de proporcionalidad y b

a 0. Aquí X (t ) denota el número de gramos del nuevo

componente al tiempo t .

a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial

para predecir el comportamiento de X (t ) conforme

t : .

b) Considere el caso en que a b. Utilice un esquema

de fase de la ecuación diferencial para predecir el

comportamiento de X (t ) conforme t :

cuando X (0)

a. Cuando X (0) a.

c) Compruebe que una solución explícita de la ED en

el caso en que k 1 y a b es X (t ) a 1(t

c). Determine una solución que satisfaga que X (0)

a2. Después determine una solución que satisfaga

que X (0) 2a. Trace la gráfica de estas dos solucio-

nes. ¿El comportamiento de las soluciones conforme

t : concuerdan con sus respuestas del inciso b)?

2.2 VARIABLES SEPARABLES

REPASO DE MATERIAL● Fórmulas básicas de integración (véase al final del libro).● Técnicas de integración: integración por partes y por descomposición en fracciones parciales.

INTRODUCCIÓN Comenzaremos nuestro estudio de cómo resolver las ecuaciones diferenciales

con las más simple de todas las ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales de primer orden con

variables separables. Debido a que el método que se presenta en esta sección y que muchas de las técni-

cas para la solución de ecuaciones diferenciales implican integración, consulte su libro de cálculo para

recordar las fórmulas importantes (como duu) y las técnicas (como la integración por partes).



SOLUCIÓN POR INTEGRACIÓN Considere la ecuación diferencial de prim

orden dydx f ( x, y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f ( x, y) g( x

la ecuación diferencial

d y

dx g( x) (

se puede resolver por integración. Si g( x) es una función continua, al integrar ambo

lados de la ecuación (1) se obtiene y

g( x ) dx = G( x ) c, donde G( x) es una antderivada (integral indefinida) de g( x). Por ejemplo, si dydx 1 e2 x, entonces

solución es .1

2e2 x c y (1 e2 x) dx o y x

UNA DEFINICIÓN La ecuación (l) así como su método de solución, no son má

que un caso especial en el que f , en la forma normal dydx f ( x, y) se puede factor

zar como el producto de una función de x por una función de y.

DEFINICIÓN 2.2.1 Ecuación separable

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

d y

d x g( x)h( y)

Se dice que es separable o que tiene variables separables.

Por ejemplo, las ecuaciones

d y

d x y2 xe3 x4 y

d y

d x y y sen x

son respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos fa

torizar f ( x, y) y2 xe3 x4 y como

g( x) h( y)

p p, f ( x, y) y2 x e3 x4 y ( x e3 x )( y2e4 y )

pero en la segunda ecuación no hay forma de expresar a y sen x como un produc

de una función de x por una función de y.

Observe que al dividir entre la función h( y), podemos escribir una ecuación sep

rable dydx g( x)h( y) como

, p( y)d y

dx g( x) (

donde, por conveniencia p( y) representa a lh( y). Podemos ver inmediatamente que

ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h( y) 1.

Ahora si y

f( x) representa una solución de la ecuación (2), se tiene qu p(f( x))f ( x) g( x), y por tanto

. p( ( x)) ( x) dx g( x) dx (

Pero dy f ( x)dx, por lo que la ecuación (3) es la misma que

, p( y) dy g( x) dx o H ( y) G( x) c (

donde H ( y) y G( x) son antiderivadas de p( y) 1h( y) y g( x), respectivamente.

2.2 VARIABLES SEPARABLES ● 4




MÉTODO DE SOLUCIÓN La ecuación (4) indica el procedimiento para resolver

ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p( y) dy g( x) dx, se obtiene una fa-

milia uniparamétrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera implícita.

NOTA No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación

separable, porque si escribimos H ( y) c1 G( x) c

2, entonces la diferencia c

2 – c

1 se

puede reemplazar con una sola constante c, como en la ecuación (4). En muchos casos

de los capítulos siguientes, sustituiremos las constantes en la forma más convenientepara una ecuación dada. Por ejemplo, a veces se pueden reemplazar los múltiplos o las

combinaciones de constantes con una sola constante.

EJEMPLO 1 Solución de una ED separable

Resuelva (1 x) dy y dx 0.

SOLUCIÓN Dividiendo entre (1 x) y, podemos escribir dy y dx(1 x), de

donde tenemos que

ec1(1 x).

1 x ec1

y eln1 xc1 eln1 x ec1

ln y ln 1 x c1

d y

y

d x

1 x

; 1 x 1 x,

1 x (1 x),

x 1

x <1

; leyes de exponentes

Haciendo c igual a ec1 se obtiene y c(1 x).

SOLUCIÓN ALTERNATIVA Como cada integral da como resultado un logaritmo, la

elección más prudente para la constante de integración es lnc, en lugar de c. Rees-

cribiendo el segundo renglón de la solución como ln y ln1 x lnc nos permi-te combinar los términos del lado derecho usando las propiedades de los logaritmos.

De ln y lnc(1 x) obtenemos inmediatamente que y c(1 x). Aun cuando no

todas las integrales indefinidas sean logaritmos, podría seguir siendo más conveniente

usar lnc. Sin embargo, no se puede establecer una regla firme.

En la sección 1.1 vimos que una curva solución puede ser sólo un tramo o un arco

de la gráfica de una solución implícita G( x, y) 0.

EJEMPLO 2 Curva solución

Resuelva el problema con valores iniciales .d y

d x

x

y, y(4) 3

SOLUCIÓN Si reescribe la ecuación como y dy x dx, obtiene

. y d y y2

2

x2

c12

x d x y

Podemos escribir el resultado de la integración como x2 y2 c2, sustituyendo a la

constante 2c1 por c2. Esta solución de la ecuación diferencial representa una familia de

circunferencias concéntricas centradas en el origen.

Ahora cuando x 4, y 3, se tiene 16 9 25 c2. Así, el problema con valo-

res iniciales determina la circunferencia x2 y2 25 de radio 5. Debido a su sencillez

podemos escribir de esta solución implícita como una solución explícita que satisfaga la



condición inicial. Vimos en el ejemplo 3 de la sección 1.1, esta solución como y

f2( x) o 25 x2, 5 x 5 y 1 . Una curva solución es la gráfica de una fun

ción derivable. En este caso la curva solución es la semicircunferencia inferior, que

muestra en azul oscuro en la figura 2.2.1 que contiene al punto (4, 3).

PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN Se debe tener cuidado al separar las variables y

que las variables que sean divisores podrían ser cero en un punto. Concretament

si r es una raíz de la función h( y), entonces sustituyendo y r en dydx g( x)h(

se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y r es una solució

constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables se separa

el lado izquierdo de gd y

h( y) ( x) dx está indefinido en r . Por tanto, y r podría n

representar a la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integració

y simplificación. Recuerde que una solución de este tipo se llama solución singula

EJEMPLO 3 Pérdida de una solución

Resuelva .d y

dx

y2 4

SOLUCIÓN Poniendo la ecuación en la forma

.d y

y2 4 dx o

1

4

y 2

1

4

y 2 d y dx (

La segunda ecuación en la ecuación (5) es el resultado de utilizar fracciones parcial

en el lado izquierdo de la primera ecuación. Integrando y utilizando las leyes de lo

logaritmos se obtiene

.o

ln y 2 y 2

4 x c2 o

y 2 y 2

e4 x c2

1

4 ln y 2

1

4 ln y 2 x c1

Aquí hemos sustituido 4c1 por c

2. Por último, después de sustituir ec2 por c y desp

jando y de la última ecuación, obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones

. y 21 ce4 x

1 ce4 x (6

Ahora, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial como dydx

( y 2)( y 2), sabemos del análisis de puntos críticos de la sección 2.1 que y 2 y

2 son dos soluciones constantes (de equilibrio). La solución y 2 es un miemb

de la familia de soluciones definida por la ecuación (6) correspondiendo al valoc 0. Sin embargo, y 2 es una solución singular; ésta no se puede obtener de

ecuación (6) para cualquier elección del parámetro c. La última solución se perdió

inicio del proceso de solución. El examen de la ecuación (5) indica claramente qu

debemos excluir y 2 en estos pasos.

EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales

Resuelva (e2 y y) cos xd y

d x y e sen 2 x, y(0) 0.

FIGURA 2.2.1 Curvas solución para

el PVI del ejemplo 2.

x

y

(4, −3)





SOLUCIÓN Dividiendo la ecuación entre e y cos x se obtiene

.e2 y y

e y d y

cos xdx

sen 2 x

Antes de integrar se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad

trigonométrica sen 2 x 2 sen x cos x en el lado derecho. Entonces tenemos que

(e y ye y) dy 2 sen x dxintegración de partes

se obtiene e y ye y e y 2 cos x c. (7)

La condición inicial y 0 cuando x 0 implica que c 4. Por tanto una solución del

problema con valores iniciales es

e y ye y e y 4 2 cos x. (8)

USO DE COMPUTADORA Los Comentarios al final de la sección 1.1 mencionan

que puede ser difícil utilizar una solución implícita G( x, y) 0 para encontrar una solu-

ción explícita y f( x). La ecuación (8) muestra que la tarea de despejar y en términos

de x puede presentar más problemas que solamente el aburrido trabajo de presionarsímbolos; ¡en algunos casos simplemente no se puede hacer! Las soluciones implícitas

tales como la ecuación (8) son un poco frustrantes; ya que no se aprecia ni en la gráfica

de la ecuación ni en el intervalo una solución definida que satisfaga que y(0) 0. El

problema de “percibir” cuál es la solución implícita en algunos casos se puede resol-

ver mediante la tecnología. Una manera* de proceder es utilizar la aplicación contour

plot de un sistema algebraico de computación (SAC). Recuerde del cálculo de varias

variables que para una función de dos variables z G( x, y) las curvas bi-dimensionales

definidas por G( x, y) c, donde c es una constante, se llaman las curvas de nivel de la

función. En la figura 2.2.2 se presentan algunas de las curvas de nivel de la función G( x,

y) e y ye y e y 2 cos x que se han reproducido con la ayuda de un SAC. La fa-

milia de soluciones definidas por la ecuación (7) son las curvas de nivel G( x, y) c. En

la figura 2.2.3 se muestra en color azul la curva de nivel G( x, y) 4, que es la solución

particular de la ecuación (8). La otra curva de la figura 2.2.3 es la curva de nivel G( x, y) 2, que es miembro de la familia G( x, y) c que satisface que y(p 2) 0.

Si al determinar un valor específico del parámetro c en una familia de soluciones

de una ecuación diferencial de primer orden llegamos a una solución particular, hay una

inclinación natural de la mayoría de los estudiantes (y de los profesores) a relajarse y estar

satisfechos. Sin embargo, una solución de un problema con valores iniciales podría no ser

única. Vimos en el ejemplo 4 de la sección 1.2 que el problema con valores iniciales

d y

dx x y1/2, y(0) 0 (9)

tiene al menos dos soluciones, y 0 y y 116 x

4. Ahora ya podemos resolver esa ecua-

ción. Separando las variables e integrando y12

dy

x dx obtenemos

.2 y1/2 x2

2c1 o

y x2

4c

2

Cuando x 0, entonces y 0, así que necesariamente, c 0. Por tanto y 116 x

4. Se

perdió la solución trivial y 0 al dividir entre y12. Además, el problema con valores

iniciales, ecuación (9), tiene una cantidad infinitamente mayor de soluciones porque

para cualquier elección del parámetro a 0 la función definida en tramos

x

y

2_2_2

_1

1

2

_1 1

FIGURA 2.2.2 Curvas de nivel

G( x, y) c, donde

G( x, y) e y ye y e y 2 cos x.

FIGURA 2.2.3 Curvas de nivel

c 2 y c 4.

(0, 0) /2,0)(πx

y

2_2

_2

_1

1

2

_1 1

c=4

c=2

*En la sección 2.6 analizaremos algunas otras maneras de proceder que están basadas en el concepto de una

solución numérica.



y 0,1

16( x2 a2)2,

x a

x a

satisface tanto a la ecuación diferencial como a la condición inicial. Véase la fi

gura 2.2.4.

SOLUCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES Si g es una función continua eun intervalo abierto I que contiene a a, entonces para toda x en I ,

d

dx x

a

g(t ) dt g( x).

Usted podría recordar que el resultado anterior es una de las dos formas del teorem

fundamental del cálculo. Es decir, x a g(t ) dt es una antiderivada de la función g. E

ocasiones esta forma es conveniente en la solución de ED. Por ejemplo, si g es continu

en un intervalo I que contiene a x0 y a x, entonces una solución del sencillo problem

con valores iniciales dydx g( x), y( x0) y

0, que está definido en I está dado por

y( x) y0

x

x0

g(t ) dt

Usted debería comprobar que y( x) definida de esta forma satisface la condición inicia

Puesto que una antiderivada de una función continua g no siempre puede expresar

en términos de las funciones elementales, esto podría ser lo mejor que podemos hac

para obtener una solución explícita de un PVI. El ejemplo siguiente ilustra esta idea

EJEMPLO 5 Un problema con valores iniciales

Resuelvad y

dx e x2

, y(3) 5.

SOLUCIÓN La función g( x ) e− x 2 es continua en (, ), pero su antiderivad

no es una función elemental. Utilizando a t como una variable muda de integració

podemos escribir

y( x) y(3) x

3

et 2 dt .

y( x) y(3) x

3

et 2 dt

y(t )] x

3 x

3

et 2 dt

x

3

d y

dt dt x

3

et 2 dt

Utilizando la condición inicial y(3) 5, obtenemos la solución

y( x) 5 x

3

et 2 dt .

El procedimiento que se mostró en el ejemplo 5 también funciona bien en las ecu

ciones separables dydx g( x) f ( y) donde, f ( y) tiene una antiderivada elemental pero g(

no tiene una antiderivada elemental. Véanse los problemas 29 y 30 de los ejercicios 2.2

a = >0 a 0

(0, 0) x

y

FIGURA 2.2.4 Soluciones de la

ecuación (9) definida en tramos.





COMENTARIOS

i) Como acabamos de ver en el ejemplo 5, algunas funciones simples no tienen

una antiderivada que es una función elemental. Las integrales de estas clases de

funciones se llaman no elementales. Por ejemplo x 3 e−t

2dt y sen x 2 dx son integra-

les no elementales. Retomaremos nuevamente este concepto en la sección 2.3.

ii) En algunos de los ejemplos anteriores vimos que la constante de la familiauniparamétrica de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden se

puede redefinir cuando sea conveniente. También se puede presentar con faci-

lidad el caso de que dos personas obtengan distintas expresiones de las mismas

respuestas resolviendo correctamente la misma ecuación. Por ejemplo, sepa-

rando variables se puede demostrar que familias uniparamétricas de soluciones

de la ED (l y2) dx (1 x2) dy 0 son

.arctan x arctan y c o

x y

1 x y c

Conforme avance en las siguientes secciones, considere que las familias de so-

luciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de

otra, ya sea por redefinición de la constante o utilizando álgebra o trigonometría.

Vea los problemas 27 y 29 de los ejercicios 2.2.

EJERCICIOS 2.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1.

En los problemas 1 a 22 resuelva la ecuación diferencial dada

por separación de variables.

1. dy

dxsen 5 x 2.

dy

dx( x 1)2

3. dx e3 xdy 0 4. dy ( y 1)2dx 0

5. xdy

dx4 y

6.

dy

dx2 xy2 0

7. dy

dxe3 x 2 y 8. e x y

dy

dxe y e 2 x y

9. y ln xdx

dy

y 1

x

2

10. dy

dx

2 y 3

4 x 5

2

11. csc y dx sec2 x dy 0

12. sen 3 x dx 2 y cos33 x dy 0

13. (e y 1)2e y dx (e x 1)3e x dy 0

14. x(1 y2)12 dx y(1 x2)12 dy

15. dS

dr kS

16.

dQ

dt k (Q 70)

17. dP

dt P P2 18.

dN

dt N Ntet 2

19. dy

dx

xy 3 x y 3

xy 2 x 4 y 8 20.

dy

dx

xy 2 y x 2

xy 3 y x 3

21. d y

dx x1 1 y2 22. (e x e x)

d y

dx y2

En los problemas 23 a 28 encuentre una solución explícita del

problema con valores iniciales dado.

23.

24.

25.

26.

27. 1 1 y2 dx 1 1 x2 d y 0, y(0) 1 3

2

d y

dt 2 y 1, y(0)

5

2

x2 d y

dx y x y, y(1) 1

d y

dx

y2 1

x2 1, y(2) 2

dx

dt 4( x2 1), x( >4) 1

28. (1 x4) dy x(1 4 y2) dx 0, y(1) 0

En los problemas 29 y 30 proceda como en el ejemplo 5 y de-termine una solución explícita del problema con valores ini-

ciales dado.

29.

30. d y

dx y2 2 1

3

d y

dx ye x2

, y(4) 1

sen x , y(2)

31. a) Encuentre una solución al problema con valores inicia-

les que consiste en la ecuación diferencial del ejemplo

3 y de las condiciones iniciales y(0) 2, y(0) 2,

y . y(1

4) 1



b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en el

ejemplo 4 cuando se utiliza In c1 como la constante de

integración del lado izquierdo en la solución y 4 In c1

se sustituye por In c. Después resuelva los mismos pro-

blemas con valores iniciales que en el inicio a).

32. Encuentre una solución de xd y

dx y2 y que pase por

los puntos indicados. a) (0, 1) b) (0, 0) c) d) (2, 1

4)(1

2, 1

2)33. Encuentre una solución singular del problema 21 y del

problema 22.

34. Demuestre que una solución implícita de

2 2 10)

cos y d y 02 x

sen y dx ( x

está dada por ln( x2 10) csc y c. Determine las so-

luciones constantes si se perdieron cuando se resolvió la

ecuación diferencial.

Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución

de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy

pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En

los problemas 35 a 38 determine una solución explícita del

problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de

graficación para dibujar la gráfica de cada solución. Compare

cada curva solución en una vecindad de (0, 1).

35.

36.

37.

38. d y

dx ( y 1)2 0.01, y(0) 1

d y

dx ( y 1)2 0.01, y(0) 1

d y

dx ( y 1)2, y(0) 1.01

d y

dx ( y 1)2, y(0) 1

39. Toda ecuación autónoma de primer orden dydx f( y) es

separable. Encuentre las soluciones explícitas y1( x), y

2( x),

y3( x) y y

4( x) de la ecuación diferencial dydx y – y3, que

satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales y1(0)

2, y2(0) 1

2 , y

3(0) 1

2 y y

4(0) 2. Utilice un programa

de graficación para cada solución. Compare estas gráficas

con las bosquejadas en el problema 19 de los ejercicios 2.1.

Dé el intervalo de definición exacto para cada solución.

40. a) La ecuación diferencial autónoma de primer orden

dydx 1( y 3) no tiene puntos críticos. No obs-tante, coloque 3 en la recta de fase y obtenga un es-

quema de fase de la ecuación. Calcule d 2 ydx2 para

determinar dónde las curvas solución son cóncavas

hacia arriba y dónde son cóncavas hacia abajo (vea

los problemas 35 y 36 de los ejercicios 2.1). Utilice

el esquema de fase y la concavidad para que, a mano,

dibuje algunas curvas solución típicas.

b) Encuentre las soluciones explícitas y1( x), y

2( x), y

3( x)

y y4( x) de la ecuación diferencial del inciso a) que

satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales

y1(0) 4, y

2(0) 2, y

3(1) 2 y y

4(1) 4. Trac

la gráfica de cada solución y compare con sus dib

jos del inciso a). Indique el intervalo de definició

exacto de cada solución.

41. a) Determine una solución explícita del problema co

valores iniciales

.

dy

dx

2 x 1

2 y ,

y( 2) 1

b) Utilice un programa de graficación para dibujar

gráfica de la solución del inciso a). Use la gráfica pa

estimar el intervalo I de definición de la solución.

c) Determine el intervalo I de definición exacto m

diante métodos analíticos.

42. Repita los incisos a) al c) del problema 41 para el PVI qu

consiste en la ecuación diferencial del problema 7 y de

condición inicial y(0) 0.

Problemas para analizar43. a) Explique por qué el intervalo de definición de la sol

ción explícita y f2( x) del problema con valores in

ciales en el ejemplo 2 es el intervalo abierto (5, 5).

b) ¿Alguna solución de la ecuación diferencial pued

cruzar el eje x? ¿Usted cree que x2 y2 1 es un

solución implícita del problema con valores inicial

dydx x y, y(1) 0?

44. a) Si a 0 analice las diferencias, si existen, entre l

soluciones de los problemas con valores iniciale

que consisten en la ecuación diferencial dydx xy de cada una de las condiciones iniciales y(a)

y(a) a, y(a) a y y(a) a.

b) ¿Tiene una solución el problema con valores inicialdydx x y, y(0) 0?

c) Resuelva dydx x y, y(1) 2 e indique el inte

valo de definición exacto de esta solución.

45. En los problemas 39 y 40 vimos que toda ecuación d

ferencial autónoma de primer orden dydx f ( y) es s

parable. ¿Ayuda este hecho en la solución del problem

con valores inicialesd y

dx 1 2 2 1

21 y sen y, y(0)

Analice. A mano, dibuje una posible curva solución d

problema.

46. Sin usar tecnología. ¿Cómo podría resolver

?(1 x x) d y

dx 1 y y

Lleve a cabo sus ideas.

47. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrad

de su derivada es igual a 1.

48. a) La ecuación diferencial del problema 27 es equiv

lente a la forma normal

d y

dx B

1 y2

1 x2





en la región cuadrada del plano xy definida por x

1, y 1. Pero la cantidad dentro del radical es no ne-

gativa también en las regiones definidas por x 1,

y 1. Dibuje todas las regiones del plano xy para las

que esta ecuación diferencial tiene soluciones reales.

b) Resuelva la ED del inciso a) en las regiones definidas

por x 1, y 1. Después determine una solución

implícita y una explícita de la ecuación diferencial su- jeta a y(2) 2.

Modelo matemático

49. Puente suspendido En la ecuación (16) de la sección

1.3 vimos que un modelo matemático para la forma de un

cable flexible colgado de dos postes es

,d y

dx

W

T 1 (10)

donde W denota la porción de la carga vertical total entre

los puntos P1 y P

2 que se muestran en la figura 1.3.7. La

ED, ecuación (10) es separable bajo las siguientes condi-

ciones que describen un puente suspendido.

Supongamos que los ejes x y y están como se mues-

tra en la figura 2.2.5, es decir, el eje x va a lo largo de la

superficie de la carretera y el eje y pasa por (0, a), que

es el punto más bajo de un cable en la región que abarca

el puente, que coincide con el intervalo [ L2, L2]. En el

caso de un puente suspendido, la suposición usual es que la

carga vertical en (10) es sólo una distribución uniforme de

la superficie de la carretera a lo largo del eje horizontal. En

otras palabras, se supone que el peso de todos los cables es

despreciable en comparación con el peso de la superficie de

la carretera y que el peso por unidad de longitud de la super-ficie de la carretera (digamos, libras por pie horizontal) es

una constante r . Utilice esta información para establecer y

resolver un adecuado problema con valores iniciales a par-

tir del cual se determine la forma (una curva con ecuación

y f( x)) de cada uno de los dos cables en un puente sus-

pendido. Exprese su solución del PVI en términos del pan-

deo h y de la longitud L. Véase la figura 2.2.5.

de la familia de soluciones de la ecuación diferencial

.

dy

dx

8 x 5

3 y2 1 Experimente con diferentes números

de las curvas de nivel así como con diferentes regiones

rectangulares definidas por a x b, c y d .

b) En diferentes ejes coordenados dibuje las gráficas

de las soluciones particulares correspondientes a las

condiciones iniciales: y(0) 1; y(0) 2; y(1)

4; y(1) 3.

51. a) Determine una solución implícita del PVI

(2 y 2) d y (4 x3 6 x) d x 0, y(0) 3.

b) Utilice el inciso a) para encontrar una solución explí-

cita y f( x) del PVI.

c) Considere su respuesta del inciso b) como una sola

función. Use un programa de graficación o un SAC

para trazar la gráfica de esta función y después utilice

la gráfica para estimar su dominio.

d) Con la ayuda de un programa para determinar raícesde un SAC, determine la longitud aproximada del in-

tervalo de definición más grande posible de la solu-

ción y f( x) del inciso b). Utilice un programa de

graficación o un SAC para trazar la gráfica de la curva

solución para el PVI en este intervalo.

52. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para

dibujar las gráficas representativas de los miembros

de la familia de soluciones de la ecuación diferencial

d y

dx

x(1 x)

y(2 y). Experimente con diferentes núme-

ros de curvas de nivel así como en diferentes regionesrectangulares del plano xy hasta que su resultado se

parezca a la figura 2.2.6.

b) En diferentes ejes coordenados, dibuje la gráfica de

la solución implícita correspondiente a la condición

inicial y(0) 32. Utilice un lápiz de color para indicar

el segmento de la gráfica que corresponde a la curva

solución de una solución f que satisface la condición

inicial. Con ayuda de un programa para determinar raí-

ces de un SAC, determine el intervalo I de definición

aproximado más largo de la solución f. [Sugerencia:

Primero encuentre los puntos en la curva del inciso a)

donde la recta tangente es vertical.]c) Repita el inciso b) para la condición inicial y(0) 2.

FIGURA 2.2.5 Forma de un cable del problema 49.

L /2 L longitud

cable

superficie de la carretera (carga)

x

(0, a)

L /2

y

h (pandeo)

x

y

FIGURA 2.2.6 Curvas de nivel del problema 52.

Tarea para el laboratorio de computación

50. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para

dibujar las gráficas representativas de los miembros

separacion de variables

Documents