segura 2013 -- criterios de solución - dominancia - v2

Teoría de los Juegos - Dominancia // @JackFlash

Principios Solución: Conceptos de Dominancia Una GuíaGeneral

J.C.Segura Ms.Sc.

Universidad de La Salle Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela Colombiana de Ingeniería

Facultad de Economía

[email protected] / [email protected] / [email protected] URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter: @JackFlash

Bogotá, D.C., Febrero de 2013


Forma Estratégica de un Juego Finito Definición.— Forma Estratégica de un Juego Finito: Un juego en forma estratégica o normal puede ser representado mediante una tupla que describe los agentes involucrados, las estrategias disponibles para cada uno de ellos y los pagos que cada jugador recibe por cada combinación de estrategias posible. Borel [1921], Von Neumman [1928] resumen esta información en una tupla como:

Γ = ��, �� , � �� En este conjunto de datos fundamentales que caracterizan a un juego: � � es el número de jugadores que se enfrentan en el juego Γ. � �� es el conjunto de estrategias puras correspondiente al �-ésimo jugador, y � � es una función que relaciona los pagos que para cada jugador representa cada perfil

de estrategias puras, es decir, �: ∏ �� ⟶ ℝ�� , y el producto cartesiano ∏ �� =�� × �� ⋯ × �� × ⋯ × ��


Juegos con Información simétrica.—Se dice que el juego representado mediante Γ = ��, �� , � �� es un de información simétrica o información completa si resulta que los datos en Γ son de conocimiento común. “Cuando todos los jugadores conocen en su totalidad la estructura del juego (sus oponentes, cada una de sus estrategias y los pagos de cada combinación posible de estrategias) diremos que el juego tiene información completa. En caso de que alguna de las anteriores condiciones falle, el juego tiene” (Manrique, Villa, Junca y Monsalve, 1999: 175).

Common Knowledge.— Todos los jugadores conocen Γ , cada jugador sabe que los

demás conocen Γ, cada uno sabe que los demás saben que él conoce Γ, etc.1 Si el jugador � = 1, … , � está consciente y tiene noticia de las decisiones tomadas previamente, o aún en el mismo momento del juego, si dirá que el juego presenta información completa. En caso contrario, el juego tiene información incompleta.

1 Cfr Monsalve & Arevalo (2005) quienes atribuyen el termino a D.K. Lewis. Ver Lewis, D. K. (1969): Convention: A Philosophical Study. Cambridge Mass.: Harvard University

Press.


Una forma flexible de representar los elementos en Γ es una bi-matriz como aquellas a continuación que se refieren a (izq) la Batalla de los Sexos y el Dilema del Prisionero (derecha):

Esposa

Boxeo Ballet

Esposo Boxeo 2,1 0,0

Ballet 0,0 1,2

Preso 1

Confesar Callar

Preso 2

Confesar -4,-4 0,-5

Callar -5,0 -1,-1


Principios Solución2 El problema de resumir la información relativa a los fundamentales del juego es una primera labor a adelantar. El segundo paso tiene que ver con la solución del juego, cuestión que involucra definir el conjunto de criterios que los agentes adoptarán para elegir las alternativas y estrategias a su disposición Todo agente se tiene por racional y por consiguiente, � debe representar un preorden completo

de preferencias sobre el conjunto ×�� . [Ver Segura, 2008: “Preferencias y Elección” <Slideshow>] La racionalidad de los agentes implica que los agentes buscarán estrategias con pagos altos y las preferirán sobre aquellas que tienen menores pagos.

2 Cfr: Monsalve & Arevalo (2005: 35+)


Dominancia Ejemplo 1.— Considere el juego de la matriz a continuación3 :

Note las siguientes circunstancias en el juego propuesto: � Si el Jugador I juega � (arriba) la mejor respuesta del Jugador II es jugar L (izquierda); � Si el Jugador I juega D (abajo), la mejor respuesta del Jugador II es jugar R (derecha); � La mayor ganancia para el Jugador I surge cuando juega U y es independiente de lo que

el Jugador II haga (es decir, independiente de que II juegue L o R) � Por consiguiente, I deberá jugar U y, en respuesta, II deberá jugar L.

3 Tomado de Jehle & Reny, 2001, p. 270. Varian (1993: 320) presenta un juego similar.

Jugador II

L R

Jugador I U 3,0 0,-4

D 2,4 -1,8


En este caso, el jugador fila (Jugador I) tiene una estrategia que domina las demás estrategias a su disposición (sus pagos son estrictamente mayores que los de las estrategias alternativas). Se dice entonces que para un jugador determinado una estrategia �� domina estrictamente a la estrategia �� si dadas las estrategias disponibles para los demás jugadores, el pago correspondiente a �� es estrictamente mayor que el que reportaría jugar �� . Al mismo tiempo, se dirá que �� está estrictamente dominada por ��. Un jugador racional NUNCA adoptará una estrategia estrictamente dominada ni esperará que un oponente racional lo haga.4 En términos formales:

4 Cfr Bierman and Fernandez, 1998, p.9 y ss.


Ejemplo 1A [ Manrique, Villa, Junca, Monsalve (1999): 175]: Peatón (�) y Conductor (�) se enfrentan en la calle y sus alternativas son transitar con cuidado (�) ó sin cuidado (��). En este caso, Γ contiene los siguientes datos: � � = �, �! � �" = �# = ��, ��!

La matriz de pagos es:

Conductor

NC CC

Peatón NC -100,0 -100,-10

CC -110,0 -20,-10


Comience por considerar al Peatón. Si el conductor transita sin cuidado, el máximo pago a que aquel jugador puede aspirar, es el que reporta transitar sin cuidado: $-100. Si el conductor transita con cuidado, la ganancia del peaton aumenta a $-20. Para el conductor, transitar con cuidado implica un pago de $-10 en tanto que transitar sin cuidado, le reporta pago $0. Si el conductor es racional, debería elegir la estrategia “��” puesto que esta le supone mayores pagos absolutos que aquellos asociados a la estrategia “��”. En este sentido, la estrategia �� ≻% �� y por tanto �� domina a � en el caso del conductor (�). El peatón sabe esto (Common Knowledge Assumption), por lo que, deberá elegir, siendo él mismo racional, entre transitar con cuidado o sin cuidado, dado que el conductor debe transitar sin cuidado. El mayor pago a que el peatón aspira es la que aparece asociada a transitar sin cuidado, dado que el conductor racional deberá transitar sin cuidado).


Ejemplo 1B [ Elecciones <Juego de Suma Cero>]: Considere dos Políticos que deben repartirse el electorado total, dadas su ofertas de bienes de desarrollo, contenidas en tres distintos Planes de Gobierno. En este juego, � = ��, ��!, �"& = �"' = (, ((, (((!. La matriz de pagos contiene las proporciones del electorado ganadas por el Jugador fila: Para el político 1, prometer el Plan de Gobierno I, le reporta mayores ganancias absolutas que el Plan de Gobierno III. En este caso, una estrategia domina a otra, si bien no a otras. El político 2 no observa ganancias absolutas o relativas entre las distintas estrategias de las que dispone.

P2

I II III

P1

I 10% 20% 40%

II 10% - 50%

III - 10% -


Estrategias Estrictamente Dominantes [Dominancia Estricta en Estrategias Puras].— En un juego Γ = ��, �� , � �� se dice que una estrategia pura �� a disposición del jugador i-ésimo domina estrictamente a una segunda estrategia ��) también a disposición de este jugador siempre que:

��, �� > ��), ��

Para cualquier estrategia �� correspondiente a “todos los jugadores a excepción del jugador �”


Ejemplo 2 [ Jehle & Reny (2001): 271]. Considere la siguiente payoffs matrix:

La presencia de estrategias Estrictamente Dominantes es altamente inusual de modo que si no es posible encontrar una estrategia cuyo pago sea estrictamente mayor que las demás estrategias disponibles, independientemente de lo que los demás [“−�”] jugadores elijan, todavía es posible reducir las dimensiones del juego detectando estrategias menos deseables o Estrategias Dominadas por otras estrategias disponibles para el jugador �. Jehle y Reny (2005: 217) ofrecen como ejemplo la matriz supra (que es versión original del juego del primer ejemplo).

Jugador II

L M R

Jugador I

U 3,0 0,-5 0,-4

C 1,-1 3,3 -2,4

D 2,4 4,1 -1,8


En el ejemplo, para el Jugador I no resulta clara la existencia de una estrategia estrictamente dominante, pero si resulta que la estrategia � aparece dominada por la estrategia D que tiene pagos mayores. Dado que un jugador racional nunca elegirá estrategias dominadas, esta estrategia no será elegida por I. Tras su eliminación, la matriz de pagos queda:

Para el Jugador II, tampoco hay una estrategia pura estrictamente dominante. No obstante, es de notar que la estrategia , esta dominada por la estrategia - y puede ser por tanto eliminada. La eliminación secuencial (iterada) de estrategias dominadas conduce a la versión del juego que se pudor resolver mediante la identificación de estrategias estrictamente dominantes. En el presente ejemplo, sin embargo, se ha otorgado especial énfasis en la dominancia de una estrategia respecto de otra, en lugar de en la dominancia de una estrategia sobre todas las demás.

Jugador II

L M R

Jugador I U 3,0 0,-5 0,-4

D 2,4 4,1 -1,8


Estrategias Estrictamente Dominadas.— En un juego Γ = ��, �� , � �� se dice que una estrategia pura �̂� domina estrictamente a otra de sus estrategias, por ejemplo �/� si resulta que:

��̂�, �� > ��/�, �� ∀�� ∈ ��

Entonces �/� se dice Estrictamente Dominada en �


Estrategias Débilmente Dominantes [Dominancia Estricta en Estrategias Puras].— En un juego Γ = ��, �� , � �� se dice que una estrategia pura �� a disposición del jugador i-ésimo domina débilmente a una segunda estrategia ��) también a disposición de este jugador siempre que:

��, �� ≥ ��), ��

Para cualquier estrategia �� correspondiente a “todos los jugadores a excepción del jugador �”


Ejemplo 3 [ Jehle & Reny (2005: 272) Estrategias Débilmente Dominadas ]. Considere la siguiente matriz de pagos:

Aquí ningún jugador tiene estrategias estrictamente dominadas. Sin embargo 3 y - están débilmente dominadas por 4 y � . Aislar las estrategias débilmente dominadas puede dar lugar a la detección del equilibrio del juego.

Jugador II

L R

Jugador I U 1,1 0,0

D 0,0 0,0


Ejemplo 4 [ Bierman & Fernández (1998: 8) ]. Considere el Juego de la perforación de pozos entre las firmas Clampett y TEXplor (un juego del tipo dilema del prisionero)

Si TEXplor decide perforar angosto sus ganancias son menores que si decide perforar Ancho. Note que Ancho domina estrictamente a Angosto para el jugador Fila. Luego, eliminando las estrategias dominadas para TEXplor, queda para Clampett elegir entre perforar Angosto o perforar Ancho, dado que se sabe que TEXplor es recional y que perforará Ancho. Si Clampett perfora Angosto pierde 1 (billón). Si perfora Ancho, gana 1. En este caso, Angosto está estrictamente dominada para TEXPlor. En consecuencia, la solución del juego es (Ancho, Ancho), caso en el cual, cada jugador gana $1 (billón).

Clampett

Angosto Ancho

TEXplor Angosto 14,14 -1,16

Ancho 16,-1 1,1


No deje de notar que si los dos hubieran elegido (Angosto, Angosto) los dos habrían podido ganar $14 (billones). Es decir, hay un resultado del juego en el cual los dos podrían estar mejor que en el equilibrio encontrado bajo eliminación de estrategias [estrictamente] dominadas. Se dice que el resultado obtenido en este caso [ así como en los juegos básicos de Dilema de Prisionero ], es Pareto Dominado. Definición (Dominancia en el Sentido de Pareto).— Sea 5 el resultado de un juego. Se dice que este resultado es Pareto Dominado si hay un resultado alternativo 56 tal que:

�7568 ≥ ��5 ∀� = 1, … , � y

�7568 > ��5 9 : ∈ � Se dice además que un resultado 5 de un juego es Pareto Óptimo si ∄56 respecto del cual el resultado 5 resulte Pareto Dominado.


Dominancia Iterada.— Hay situaciones en las que si bien un jugador no dispone de estrategias dominantes, —estrategias de ventaja absoluta, independientemente de lo que haga(n) el (los) otro(s) jufador(es)—, podría disponer de estrategias que individualmente puedan presentar ventajas sobre otras en su conjunto de elección en un sentido de preferencia débil ≿�. Considere el juego a continuación, que no presenta estrategias estrictamente dominantes (Bauman, 2009: 101).

Jugador II

L C R

Jugador I

U 1,10 3,20 40,0

L 10,20 50,-10 6,0

D 2,20 4,40 10,0


Es de notar, sin embargo, que para el jugador columna jugar 4 es claramente más ventajoso que jugar - (en tanto que respecto de � no es posible obtener una decisión concreta) y, por tanto 4 ≻== - o bien, que - está estrictamente dominada por 4. El supuesto Conocimiento Común (Common Knowledge) hace posible anticipar que el Jugador I reconoce la situación del Jugador II. En esta situación, el juego, luego de eliminar la estrategia dominada del Jugador II, queda:

Jugador II

L C

Jugador I

U 1,10 3,10

L 10,20 50,-10

D 2,20 4,40


Luego de eliminar - se descubre que entre las estrategias del Jugador I, la estrategia 4 domina estrictamente a las demás. Su eliminación da como resultado la siguiente matriz de pagos: Una nueva ronda de eliminación permite llegar a la conclusión de que la solución del juego es la dupla �4, 4 = �10,20

Jugador II

L C

L 10,20 50,-10


Ejemplo 5 [ Manrique, Villa, Junca y Monsalve (1999: 177) ]: Considere de nuevo el juego que involucra a un conductor (Jugador II) y a un peatón (Jugador I) en una situación en la que las estrategias disponibles son transitar sin cuidado, con algún cuidado y con cuidado (sc, c, ac): El Jugador I no tiene estrategias dominantes (en sentido débil o fuerte). El jugador II, en contraste, observa que la estrategia transitar con cuidado domina estrictamente a las otras dos, que pueden ser eliminadas, dado que se supone que el agente es racional y escogerá aquellas estrategias que le reporten los mayores retornos, independientemente de lo que haga(n) el (los) otro(s) jugador(es):

Jugador II

sc ac c

Jugador I

sc 50,-3 -99,-2 -100,-3

ac -2,-99 -51,-51 -101,-3

c -50,-100 -3,-101 -3,-3


En una siguiente ronda de eliminación, el Jugador I, reconociendo lo que el Jugador II habrá de elegir, deberá escoger aquella estrategia que, dado lo que el conductor juega, le reporte el mayor pago (o la menor pérdida) que es, justamente, transitar con cuidado. La solución del Juego es la dupla ��, � = �−3, −3

c

Jugador I

sc -100,-3

ac -101,-3

c -3,-3


Una nota sobre Productos Cartesianos. Considere de nuevo la función de pagos del i-ésimo jugador en juego finito típico: �: ∏ �� ⟶ ℝ�� . Se ha expresado el conjunto de salida en esta función como:

A ��

��= �� × �� ⋯ × �� × ⋯ × ��

Para comprender este basta recordar (Sydsaeter & Hammond, 1996: 621) que si B y C son dos conjuntos, su Producto Cartesiano se define B × C = �D, E | D ∈ C, E ∈ B!, es decir, es el conjunto de los pares ordenados �D, E en los cuales D ∈ C y E ∈ B. Ejemplo: Suponga B = E�, E�, EG! y C = D�, D�, DG!. Entonces:

B × C = �E�, D�, �E�, D�, �E�, DG, �E�, D��E�, D�, �E�, DG, �EG, D��EG, D�, �EG, DG!


Referencias

[1.] Bauman., Y. (2009): Quantum Micro, Class Notes. Whitman College. [2.] Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): Game Theory. Cambridge: MIT press. [3.] Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Antoni Bosch. [4.] Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory. N.Y.: Addison-Wesley. [5.] Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (1999): Competencia Imperfecta I:

Equilibrio de Nash en Juegos Estaticos. Capítulo IV En: Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

[6.] Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

[7.] Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá: Universidad Externado de Colombia.

[8.] Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.

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