12.1 Giri 37112.2 Bir Kuvvetin ve Bir Momentin i 37112.3 Virtel lkesi 37312.4 Genelletirilmi Koordinatlar 376

rnekler 37712.5 Potansiyel Enerji 38412.6 Srtnmeli Makinalar ve Mekanik Verim 38812.7 Denge 389

rnekler 391 PROBLEMLER 395

Fransz matematikinin saylar kuramna, analitik mekanie ve gk mekaniine ciddi katklar olmutur. Lagrangen gelitirdii deiimler hesabyla, bir mekanik sistemin gerekte izledii yola gre kavramsal olarak olanakl (virtel) yer deitir-melerden doan deiimleri bir integral (ya da toplam) yapya getirilebildi ve siste-min baz davranlar belirlenebildi. Bylece Lagrange denklemleri ve genelleti-rilmi koordinatlar denen bamsz koordinatlarn kullanlmas gerekleti. Sesin yaylmas, duraanlk (maksimum ve minimum) kavram zerinde aratrmalar yapt ve makaleler yazd. Dneminin en mehur matematikileri arasnda yer ald, Torino Bilimler Akademisinin kurucusu oldu, Paris Bilimler Akademisinden dl ald. 1776 da Berlin Bilimler Akademisinde Eulerden boalan yere getirildi. 1789 daki Fransz Devrimi srasnda byk kimyac Antoine-Laurent Lavoisierin giyotinle idamnn arkasndan, Onun kafasn drmek iin bir saniye yetti, ama o kafann bir benzerini ortaya karabilmek iin belki bir yzyl akn sre yetmeyecektir demitir.

Joseph-Louis LAGRANGE (1736-1813)

12.1 GR

Bir tayc sistemi oluturan paralara, onun ba koullar ile uyumlu olacak biimde bir takm kk hareketler vermek mmkndr. O zaman bunlarn zmnde denge denklemleri,

=F 0 ve =M 0

yerine, kuvvet ve kuvvet iftlerinin yapaca ii hesaplayarak sonuca git-mek bazen daha kolay olabilir. ok paral bir sistem i yntemi ile z-lrken, onu tek bir para gibi ele alnr ve daha sonra sisteme giren ve kan enerji tanmlanr.

Enerji yntemleriyle zm, yap mekaniinde ok byk neme sahip-tir. yle ki; zellikle inaat, makine, gemi ve uak mhendislii alann-daki uygulamalar bilgisayar ortamnda zlrken kullanlan paket prog-ram yazlmlarnn dayand "sonlu eleman" yntemi esas itibariyle enerji tabanldr. O nedenle bu blm mhendislik eitiminde ileriye dnk bilgi birikimi asndan yararl bir balangtr. 12.2 BR KUVVETN VE BR MOMENTN

Skaler bir byklk olan ii, hesaplayabilmek iin, ekil (12.1) de konu-mu r vektryle tanmlanm ve F kuvvetinin etkisi ile harekete zorlanan P noktasn inceleyelim.

Bir Kuvvetin i: Bir cismin bir noktadan bir baka noktaya hareket etmesine sebep olan ya da bu hareketten etkilenen her kuvvet bir i yapar. u halde ekil (12.1) de P noktasndaki maddesel noktaya etkiyen F kuvvetinin, rd kadar yer deitirerek P noktasna giderken yapaca i,

372 STATK

d dU= F r (12.1)

olur ve skaler arpm kuralna gre,

d d cosU F s = , ( )0 (12.2)

yazlr. Skaler bir byklk olan enerjinin bir iareti vardr. nk; her ne kadar 0F > ve d 0s> ise de, F ve rd vektrleri arasnda llen as (12.2) den hesaplanacak enerjinin iaretini belirler. yle ki,

12

12

12

0 iin d 0iin d 0iin d 0

UUU

< > = = < < (12.3)

olur. (12.1) de eitliin sandaki vektrler, bileenleri cinsinden,

d d d d

x y zF F F

x y z

= + += + +

F i j kr i j k

dir. Bunlar (12.1) de yerletirilip, denklem integre edilirse,

( )d d dx y zL

U F x F y F z= + + (12.4)

elde edilir.

Bir Kuvvet iftinin i: Bir cisimde dnmeye sebep olan ya da bu dn-meden etkilenen her kuvvet ifti ( , )-F F bu cisimde bir i yapar. u hal-de ekil (12.2) deki kuvvet ifti ( , )-F F ye edeer = M r F momen-tinin ii,

d dU = M (12.5)

dir. (12.5) de skaler arpm kural uygulanrsa,

d d cosU M = (12.6)

biiminde yazlr. Burada as, M ve d vektrleri arasnda llr. (12.6) dan hesaplanacak enerjinin iareti, (12.3) de belirtildii gibi, asna baldr. (12.5) deki eitliin sandaki vektrler, bileenleri cin-sinden,

d d d dx y z

x y z

M M M

= + += + +

M i j k

i j k

dir. Bunlar (12.5) de yerletirilip, nokta arpm ilemi yapldktan sonra ifade integre edilirse,

376 STATK

(12.14) n zde olarak salatlabilmesi, ancak parantez iindeki ifadenin sfra eit olmas ile mmkndr. u halde,

0U = ( )cos 0

ve 0AFL M

- + =

cos 0AFL M- + = cosAM FL =

olur. Bu moment deeri iin sistem dengededir ve 0yC = olur. Ayrca dikkat edilirse (12.14) de parantez iindeki ifade A noktasna gre yaz-lacak moment denge denklemidir. Virtel i ilkesinde hesaplar doru sonulandrabilmek iin serbestlik derecesi kavram iyi bilinmelidir. 12.4 GENELLETRLM KOORDNATLAR

Virtel i kapsamnda serbestlik derecesinin tanm, bir tayc sistemde-ki tm noktalarn konumlar belirlenirken gerekli olan bamsz koordinat says diye yaplabilir. Bir baka tanm ise; sistemdeki bamsz virtel yer deitirmelerin says biiminde olabilir. Bunlara ayn zamanda genelletirilmi koordinatlarlar stnden de ulalabilir.

En basit sistemler tek serbestlik derecelidir. ekil (12.6a) daki mekaniz-mada kol boylar AB ve BC belli ise, sadece AB kolunun yatayla yap-t asn kullanarak tm noktalarn konumlarnn kolayca belirlen-diini yukarda grdk. kinci rnek olarak ekil (12.7a) daki makara sis-temini inceleyelim. Burada T kuvvetinin uyguland uzamasz kablonun serbest ucuna verilecek bir yatay Tx yer deitirmesi sonucu, W arl-nn deydeki yeni konumu Wy yi Tx cinsinden hesaplanabilir. Tek ser-bestlikli sistemlere son bir rnek vermek iin ekil (12.7b) deki mekaniz-may ele alalm. Burada AB , BC ve CD kol boylar belli olmak koulu ile, rnein AB koluna ait as biliniyorsa dier iki kola ait btn konumlar, asna bal olarak hesaplanabilir. Bu rnekten de aka belli olduu gibi, tek serbestlik dereceli sistemlerde, uygun seilmi bir koordinat yardmyla tm sistemin konumu tam olarak belirlenir.

ki serbestlik dereceli sistemlere de iki rnek verelim. ekil (12.7c) deki makara sisteminde W arlnn dey konumu, ancak uzamasz kablo-nun serbest ularnda birbirlerinden tamamen bamsz her iki yer dei-tirmenin de belli olmas halinde mmkndr. ekil (12.7d) deki mafsal-larla bal drt ubuun oluturduu mekanizmada ubuk boylar bilin-sin. imdi B, C ve D noktalarna ait konumlarn tam olarak belirlenebil-mesi, ancak herhangi iki kola ait dnme asnn, rnein AB ve DE kollar iin ve alarnn belli olmas ile mmkndr.

12. VRTEL YNTEM 389

( )giri ii sin cos dsW W s = + (12.42)

olur. W arln d sin dh s= kadar yukarya kartmak iin yaplmas gereken yararl i ( )d sinW s , ya da,

( )k ii sin dW s= (12.43)

olur. Buna gre; (12.39) de (12.42) ile (12.43) yerletirilirse, eik dzle-min verimi,

( )sin d 1

sin cos d 1tan

ss

W sW W s

= =+ + (12.44)

bulunur. Dikkat edilirse, (12.44) de 0s = iin 1 = ve 0s > iin 1 < olur.

12.7 DENGE

Denge ve potansiyel enerji arasndaki iliki, (12.18) de, / 0iX = , ( 1, , )i n= biiminde kurulmutu. Tek serbestlik dereceli sistemlerde salatlmas gereken koul,

1

0 = (12.45)

olup, (12.45) deki 1 , sistemin konumunu tanmlamakta kullanlan bir genelletirilmi koordinat olup, bunun says sistemin serbestlik derecesi-ne baldr. Denge hali iin seenek sz konusudur.

Kararl Denge: ekil (12.12a) daki i bkey kap iinde duran topu ele alalm. Eer topa ufak bir dokunula ok kk bir sapma verirsek, top bu sapma miktarn amayacak biimde kk salanmlar yapar ve daha teye de gitmez. Eer kapla top arasnda ok az miktarda srtn-me varsa, o zaman salanmlar yavaa sner. Her iki halde kararl den-geye iarettir.

Kararsz Denge: ekil (12.12b) deki d bkey kabn stnde dur-makta olan topa ufak bir dokunu sonrasnda, top bir daha geri gelme-mek zere gider.

Tarafsz Denge: ekil (12.12c) deki dzlemde durmakta olan topa ufak bir donu yaptmzda, eer topla yzey arasnda da az miktar-da srtnme varsa, top biraz teye gider ve orada tekrar durur. Top hi