Processo de Capitalização

Processo que leva a que determinado capital gere juro através de um

processo de acumulação, ou seja, Cn > C1 > C0.

J = f (C, n, i)

Juro (J) – é função crescente do montante de capital e do tempo

durante o qual se faz cedência desse capital;

Capital (C);

Unidade de tempo (n);

Taxa de juro (i) – é o juro produzido por uma unidade de capital numa

unidade de tempo.

1

C0 C1 … Cn

Regimes de Capitalização

Capitalização: operação através da qual se adiciona ao capital inicial o

juro produzido por esse mesmo capital.

Como regimes de capitalização existe:

Regime de juro simples: o juro é pago no final de cada período,

saindo do “processo” não indo acrescer ao capital para

contagem do juro (este é sempre constante);

Regime de juro composto: o juro é adicionado ao capital, ou

seja, este altera-se ao longo de todo o processo, assim: Cn = Cn-1

+ jn

O capital acumulado em qualquer momento do processo dá-se o nome

de capital acumulado, designa-se por M.

1. Bases de Calendário

Considera-se três bases de calendário:

Ano Comercial: ano de 360 dias (12 x 30);

Ano Civil: ano de 365 dias;

Ano Actual: ano de 365/6 dias.

Estas bases são importantes para fazer a diarização dos dias.

Esquematicamente podemos ter:

BC (Actual;360)

Significa que para a contagem de dias (primeira parcela), utilizamos o

tipo de calendário o actual, para a diarização da taxa de juro (dividir a taxa

de juro pelo número de dias), utilizamos a segunda parcela, neste caso, é o

calendário comercial.

2

DiarizaçãoContagem de dias

Capitalização em Regime de Juro Simples

1. Cálculo do valor acumulado

Como o juro produzido por um capital durante um determinado

período, contado a partir do momento inicial 0, é directamente

proporcional a C X n e mantém-se constante durante todo o processo de

capitalização, temos então:

2. Taxas equivalentes

A taxa de um subperíodo correspondente à taxa do período obtém-se

dividindo a taxa efectiva pelo número de capitalizações em cada período.

Assim:

12% ao ano 6% ao semestre 3% ao trimestre

3. Taxas brutas e taxas líquidas

3

C0 M1 M2 M3 Mn…

0 1 2 3 n

4. Valor actual e desconto

A actualização será o processo que determina o valor de um

determinado capital num momento anterior ao prazo de vencimento, a uma

dada taxa de juro.

A diferença entre o crédito inicial e o montante pago, antes do

vencimento, dá-se o nome de desconto.

M – valor nominal de uma divida, exigível na data de vencimento;

V – valor actual de uma dividia, acrescido da taxa de juro

correspondente ao tempo que falta para o vencimento, perfaz o valor

nominal;

D – desconto. A diferença entre valor nominal e valor actual. É

calculado em função de V ou de M Vni ou Mni.

Desconto por dentro ou racional

É feito em função de V.

Desconto por dentro ou comercial

É feito em função de M.

4

V V V V M…

0 1 2 3 n

Capitalização

Actualização

O desconto por dentro é superior ao desconto por fora.

5. Equivalência de capitais

Por exemplo, tem-se X letras de valores diferentes que se vendem em

momentos diferentes e quer-se transformá-las numa sucessão de X letras

de mesmo valor e que se vencem entre períodos contastes.

A equação de valor em RJS traduz que: o somatório dos valores

nominais menos o produto da taxa com o somatório dos valores nominais

com n (desconto por dentro dos respectivos capitais) equivale ao somatório

do novo valor nominal X vezes menos o somatório do desconto do valor

nominal vencido às respectivas datas.

6. Capital comum, vencimento comum e vencimento médio

Pegando no caso anterior, há uma situação particular em que se

pretende transformar vários capitais vencíveis em datas distintas num só

capital vencível no final do prazo. Criando-se, assim, a noção de capital

comum, vencimento comum e vencimento médio.

Capital comum

Valor do capital M vencível ao fim do prazo

5

Vencimento comum

Vencimento do capital M

Vencimento médio

7. Taxa média

Pretende-se calcular uma taxa única para um grupo de capitais

diferentes que se vencem a momentos diferentes e a taxas diferentes, de

tal modo que os mesmos capitais aplicados durante os mesmos prazos,

produzem exactamente o mesmo juro total que produziriam aplicadas as

diferentes taxas, aos respectivos capitais.

Como:

Então:

8. Operações financeiras em RJS

Desconto bancário de letras

O juro é calculado em função do desconto por dentro, sendo assim:

6

Sendo os dias calculados desde a data do desconto até à do

vencimento, mais dois, e acresce-se de dias até calhar em dia útil.

A taxa de juro utilizada é a diária.

A base de calendário é o ano civil.

A comissão de cobrança incide sobre o valor nominal da letra:

O imposto de selo incide sobre o somatório do juro com a comissão de

cobrança:

O juro, comissão de cobrança, imposto de selo e outras despesas

formam os encargos da operação de desconto. O portador ao receber

antecipadamente o valor da letra deve de os suportar, ou seja, receber o

valor nominal da letra deduzindo os encargos, formando o produto líquido

do desconto (PLD).

Nota: considerando o IS=0,04

No caso de várias letras de mesmo valor nominal:

Livranças

Feito com base no desconto por dentro.

Não há comissão de cobrança.

7

+ M+J-IS-M

O cálculo de juros e imposto de selo é semelhante ao do desconto de

letras.

Contas Correntes

Factoring

8

Capitalização em Regime de Juro Composto

1. Cálculo valor acumulado

Ao contrário do RJS, em que o juro incidia sempre sobre o valor do

capital inicial, em RJC os juros produzidos num determinado período são

adicionados ao capital para produzirem também juros nos períodos

seguintes, ou seja, os juros de cada período são adicionados ao capital

inicial indo constituir a base de calculo de juros para o período seguinte.

Juro do período:

Valor acumulado:

Juros acumulados até ao momento n:

2. Valor actual e desconto

9

C0 M1 M2 M3 Mn…

0 1 2 3 n

V M…

0 n

Capitalização

Actualização

Valor actual:

Valor acumulado:

Desconto por dentro:

Desconto por fora:

O valor actual de um capital é tanto maior quanto menor for o tempo

que falta para o seu vencimento.

3. Equação de valor

10

0

0

n1 n2

n1’ n2’ np’

nk

M1 M2 Mk

M1’ M2’ Mp’

Um conjunto de capitais de um determinado valor nominal, a uma

determinada taxa i e que vencem ao fim do período np é igual a outro

conjunto de capitais, de um determinado valor nominal, taxa i e vencido ao

fim do período n, se se verificar a condição:

Se quisermos transformar um conjunto de capitais que vencem a uma

determinada data a uma taxa comum, pode-se considerar a primeira

parcela da expressão anterior como um único capital, ou seja: ,

de onde se pode tirar as seguintes expressões:

Capital comum:

Vencimento comum:

Para chegar ao valor de n, recorre-se ao uso de logaritmo.

Vencimento médio:

Mesma expressão que vencimento comum, mas .

4. Taxa média

Na situação em que existem um conjunto de capitais, que vendem ao

fim de um determinado n e cada um com a sua taxa de juro, o juro total

será a soma das várias capitalizações.

11

A taxa média representa a taxa que aplicada aos mesmos capitais

durante os mesmos prazos, produzirá o mesmo juro. Analiticamente:

Em que i representa a taxa média.

5. Taxas equivalentes

A conversão de uma taxa real efectiva anual numa taxa nominal

referente a um subperíodo da efectiva, em regime de juro composto, não

deve ser calculada da mesma forma como em regime de juro simples, ou

seja, através da proporção.

Deve-se recorrer à fórmula:

E quem m representa o numero de capitalizações durante o período

efectivo.

Da expressão retira-se:

Conversão de uma taxa nominal em taxa efectiva:

Conversão de uma taxa efectiva em taxa nominal:

6. Comparação RJS e RJC

Por equivalência conclui-se que, considerando i’ referente ao RJS e o i

referente ao RJC:

12

Se n for entre 0 e o 1º período de capitalização, a capitalização em

RJS é superior à em RJC. Igualam-se no final do 1º período de

capitalização. A partir daqui a capitalização em RJC é superior à em RJS.

7. Preenchimento de quadros

Período de referência

(m)EURIBOR Spreed TANB TANL

Taxa efectiva de

mDado no enunciado

Dado no enunciado

EURIBOR + Spreed + restantes taxas

TANB (1-0,20)

TANL / m

Fornecidos os dados do enunciado, faz-se este quadro para determinar

a taxa efectiva correspondente ao período em causa, de modo a ter-se em

conta a EURIBOR, o Spreed e outras taxas para o cálculo de valores

acumulados em RJC.

13

Rendas

Dá-se o nome de renda a um conjunto de capitais vencíveis em

momentos equidistantes.

O período de renda será o tempo que decorre entre dois termos

consecutivos.

Quanto à classificação temos:

Termos de renda.

Certas: não dependem de acontecimentos para existirem;

Incertas;

Número de termos:

Temporárias: número finito de termos;

Perpétuas;

Valor dos termos:

Constantes: são todos iguais;

Variáveis: podem ser em progressão geométrica ou

aritmética;

Quanto aos períodos:

Inteiras: o período da renda é igual ao período da taxa;

Fraccionadas: o período da renda é inferior ao período da

taxa;

Momento de referência dos termos:

Imediatas: as rendas são recebidas desde a origem, ou

seja, o momento de referência coincide com o inicio do

primeiro período;

Diferidas: o serviço de renda começa ao fim de um certo

número de períodos;

Momento de vencimento:

Postecipada ou normais: os seus termos estão disponíveis

no fim de cada período;

Antecipada: quando os seus termos se vencem no inicio

de cada período.

14

An - Valor actual de renda, que é igual à soma dos valores actual de

todos os termos de renda.

Sn - valor acumulado de renda, que é igual à soma dos valores

acumulados de todos os termos de renda.

1. Rendas certas, inteiras, com termos constantes, temporárias,

imediatas

a. Termos postecipados ou normais

15

0 1 … K K + 1 … K (n-1) K + n K (n+1)

An Sn

T T T1º P Último P

b. Termos antecipados

2. Rendas certas, inteiras, com termos constantes, temporárias,

diferidas

a. Termos postecipados ou normais

Sendo k o prazo de diferimento

16

0 1 … K K + 1 … K (n-1) K + n K (n+1)

An Sn

T T T1º P Último P

0 1 … K K + 1 … K (n-1) K + n K (n+1)

An ¨Sn

T T T

Än

b. Termos antecipados

Em termos de cálculos, o cálculo de rendas actuais diferidas ou

postecipadas vai originar o mesmo resultado.

3. Rendas inteiras

Capitalização em subperíodo da renda

Quando a renda ocorre de ano a ano, mas a taxa dada corresponde a

uma taxa nominal, esta deve ser convertida em efectiva ou real:

Pois, neste caso, a taxa nominal não é capitalizada.

17

0 1 … K K + 1 … K (n-1) K + n K (n+1)

An ¨Sn

T T T

Än

4. Rendas fraccionadas

Quando o período de renda é inferior ao período da taxa dada.

Neste caso, a taxa efectiva ou real deve ser convertida para a taxa

nominal correspondente ao período.

5. Rendas de termos variáveis

a. Renda de termos variáveis numa qualquer proporção

i. Imediata Postecipada

O valor actual será a soma da actualização de todos os termos da

renda.

O valor acumulado será a soma das capitalizações de todos os termos

da renda.

ii. Imediata antecipada

18

0 1 2 3 … … n - 1 n

T1 T2 T3 Tn-1

V Sn + 1

T0

0 1 2 3 … … n - 1 n

T1 T2 T3 Tn-1 Tn

V S

b. Renda de termos variáveis numa progressão aritmética

i. Postecipada

O termo Tn será da forma: T1(Tr) + (n - 1)h, sendo h a razão.

Imediata

Antecipada

Diferida

Postecipada

Diferida

Antecipada

Valor Actual

Valor Acumulado

c. Renda de termos variáveis numa progressão geométrica

i. Postecipada

O termo Tn será da forma: T1 x hn-1, sendo h a razão.

19

0 1 2 3 … … n - 1 n

T1 T2 T3 Tn-1 Tn

(IA)n (SA)n

0 1 2 3 … … n - 1 n

T1 T2 T3 Tn-1 Tn

(GA)n (GA)n

Imediata

Antecipada

Diferida

Postecipada

Diferida

Antecipada

Valor Actual

Valor Acumulado

6. Rendas perpétuas

Nas rendas perpétuas não tem significado calcular o valor da renda

acumulada, nesta situação apenas se calcula o valor actual de renda,

fazendo-se o limite quando n∞.

a. Termos constantes

i. Imediata Postecipada

ii. Imediata antecipada

iii. Diferida postecipada

iv. Diferida antecipada

b. Termos variáveis

i. Progressão geométrica

20

7. Empréstimos de médio e longo prazo

A restituição de capital pode ser feita de duas formas:

M1 – pela totalidade no final do empréstimo;

M2 – feita ao longo do empréstimo.

Quanto ao pagamento de juros, este pode ser:

J1 – de uma só vez no final do período;

J2 – de uma só vez no inicio da operação;

J3 – de forma escalonada.

a. M 1J1

21

V -V-J

b. M 1J2

c. M 1J3 (ou sistema Americano)

d. M 2J1

Se antecipada

e. M 2J2

22

V -V-J

V -V-J -J -J -J

V -V/n-V/n -V/n -V/n …

0 n

-J

f. M 2J3 (Método Francês ou método progressivo de

amortização)

Amortização por meio de quotas constantes:

Cada termo é constituído pelo juro (j) e pelo capital amortizado (m).

A quantia paga periodicamente é constante.

Os pagamentos verificam-se no final do período.

R representa o capital em divida no momento após pago T do período.

j1 > j2 > j3 > … > jn

m1 < m2 < m3 < … < mn

23

V -V/n-V/n -V/n -V/n …

0 n

-J

V …T1 T2 … Tk

0

Tn-1 Tn

1 2 k n-1 n

R1

M – valor acumulado de capital já retribuído.

J – valor acumulado de juros

24

Nota: Preenchimento de quadros

K Rk-1 jk Jk mk T Mk Rk

Termo 1 (a)

Termo n-

1(b)

Termo n (c) (b) (a) 0

Total - (c) - (a) - -

1. Calcular T e preencher a respectiva coluna;

2. Calcular j1 e preencher a 1ª linha do quadro obtendo assim m1;

3. Preencher a coluna de mk a partir de m1;

4. Efectuar somas de controlo para completar o resto do quadro.

i. 1ª Variante. Carência de Capital.

Quando se está perante esta situação, é elaborado o mesmo quadro,

só que m e M não são preenchidos nos períodos em que há carência de

capital.

ii. 2ª Variante: Carência de Capital e Juros.

Mesma coisa que o anterior, mas j e J não são preenchidos também.

Ao não se pagar juros, este é calculado na mesma mais vai acumular ao

capital em divida para o período seguinte.

g. Variante do método francês: Amortização do contrato de

locação financeira (leasing)

K Rk-1 jk mk T IVATk +

IVA

Termo

Total

25

h. Método Hamburguês (capital constante ou quotas variadas)

Enquanto no método francês T era constante, no método hamburguês

o elemento constante é o capital amortizado.

K Rk-1 jk Jk m Tk Mk Rk

Termo

Total

No método hamburguês, a primeira coluna a ser completada é a de m.

26

V …T1 T2 … Tk

0

Tn-1 Tn

1 2 k n-1 n