em Matemtica em Rede Nacional

Mestrado Profissional

Iniciao Matemtica

Autores: Krerley Oliveira Adn J. Corcho

Unidade IV: Captulos VII e VIII

7Desigualdades

Neste captulo estudaremos algumas desigualdades clssicas que so usadas frequentemente na resoluo de problemas matemticos, sendo estas aplicadas em contextos que variam desde o nvel mais simples at o mais complexo. Uma vez que uma inequao em uma ou mais variveis resolvida, o resultado d lugar a uma desigualdade que vlida para um certo conjunto de valores. Alguns exemplos simples de desigualdades so os seguintes: (a) (b) (c) (d)

x |x|, x2 < x,

para qualquer se

1 < x < 1;

x < 1;para quaisquer

(x y)2 0,x y

x

e

y

reais;

+

y x

2,

para quaisquer

x, y > 0.233

234

7

Desigualdades

7.1

Desigualdade Triangular

A desigualdade triangular arma o seguinte

comprimento de um dos lados sempre inferior soma dos comprimentos dos outros dois lados, ou seja,AB < AC + CB, AC < AB + BC

Teorema 7.1 (Desigualdade Triangular). Dado um tringulo ABC o

e BC < BA + AC.

C

AFigura 7.1:

B

Desigualdade Triangular

Em outras palavras, a desigualdade triangular a formulao matemtica da ideia intuitiva de que o caminho reto mais curto entre os pontos A e B. Em analogia com a geometria plana temos uma verso da desigualdade triangular para nmeros reais, que provamos a seguir.

Proposio 7.2. Sejam a e b nmeros reais quaisquer, ento|a + b| |a| + |b|.

Demonstrao.contrrio, se

a + b 0, ento |a + b| = a + b |a| + |b|. a + b < 0, ento |a + b| = a b |a| + |b|.Se

Caso

7.1

Desigualdade Triangular

235

Corolrio 7.3. As seguintes desigualdades valem|a b| |a| + |b|(7.1) (7.2) (7.3)

|a b| |a| |b|,

|a b| |a| |b|

Demonstrao.

Para a primeira, escrevemos

|a| + | b| = |a| + |b|. A segunda |b + (a b)| |b| + |a b|. A ltima desigualdade segunda, trocando os papis de a e b. D

|a b| = |a + (b)| desigualdade decorre de |a| = consequncia da

C A O P BFigura 7.2:

Problema da central de energia

Exemplo 7.4. Quatro cidades rurais, A, B , C e D, esto situadas

geogracamente formando um quadriltero convexo. Deseja-se construir uma central de distribuio de energia para as quatro cidades de modo que a soma total das distncias da central a cada uma das quatro cidades seja a mnima possvel. Onde dever ser construda a central? Soluo.Mostraremos que a central de energia dever ser colocada

no ponto

O

de interseco das diagonais do polgono

ABCD.

Com

236

7

Desigualdades

efeito, considerando um ponto

P,

diferente de

O,

(veja Figura 7.2) a

desigualdade triangular nos garante que

OA + OC = AC < P A + P Ce

OB + OD = BP < P B + P D,de onde se segue que

OA + OC + OB + OD < P A + P C + P B + P D,como espervamos.

separadas a uma distncia d. As torres so amarradas por uma corda AP B que vai do topo A da primeira torre para um ponto P no cho, entre as torres, e ento at o topo B da segunda torre, como na Figura 7.3. Qual a posio do ponto P que nos d o comprimento mnimo da corda a ser utilizada?A B

Exemplo 7.5. Duas torres de alturas h1 e h2 , respectivamente, esto

PFigura 7.3:

Problema das Torres

7.1

Desigualdade Triangular

237

Soluo.

Imaginemos que a superfcie do cho um espelho e que re-

etimos o ponto atravs deste, obtendo assim o ponto a Figura 7.4.

B

como mostra

A B

C P

P

D

BFigura 7.4:

Soluo geomtrica do problema das torresABque intercepta o cho no ponto

Consideremos o segmento

P

e para nossa surpresa vericaremos que este o ponto que nos d o comprimento mnimo das cordas. Com efeito, suponhamos que existe outro

P

situado entre as torres que nos d um comprimento menor

para a corda, ento da Figura 7.4 fcil ver que os tringulos e

B PD

so congruentes, assim como os tringulos

BP D

e

BP D BP D

tambm so congruentes. Logo, as seguintes igualdades seguem diretamente das congruncias:

BP = B P

e

BP = B P . AB Pe as igual-

Agora, usando a desigualdade triangular no tringulo dades acima, temos que

AP + P B = AP + P B AB = AP + P B = AP + P B,

238

7

Desigualdades

chegando assim concluso de que mento mnimo desejado.

AP + P B P

nos oferece o compri-

Agora calcularemos a que distncia est que

da base

D.

Lembremos

AC = h1 , BD = h2tang(

e

CD = d

e observamos que

BP D) =

Da tem-se

PD =

dh2 . h1 + h2

h1 h2 = . PD d PD

7.2

Desigualdade das Mdias

As quantidades

Denio 7.6. Sejam a1 , a2 , . . . , an1 e an nmeros reais positivos.mh (a1 , a2 , . . . , an ) = n , 1/a1 + 1/a2 + + 1/an n a1 a2 an ,(7.4)

mg (a1 , a2 , . . . , an ) =

(7.5)

ma (a1 , a2 , . . . , an ) =

a1 + a2 + + an , n a2 + a2 + + a2 1 2 n n

(7.6)

mq (a1 , a2 , . . . , an ) =

(7.7)

so chamadas, respectivamente, de mdia harmnica, mdia geomtrica, mdia aritmtica e mdia quadrtica dos nmeros ai , i = 1, 2, . . . , n.A seguir provaremos alguns resultados que estabelecem relaes de desigualdades entre as mdias denidas acima.

7.2

Desigualdade das Mdias

239

Proposio 7.7 (Desigualdade das Mdias Aritmtica e Quadrtica).Dados a1 , a2 , . . . , an nmeros reais positivos tem-sea1 + a2 + + an n a2 + a2 + + a2 2 1 n , n

ou seja, ma (a1 , a2 , . . . , an ) mq (a1 , a2 , . . . , an ). Alm disso, a igualdade vale se, e somente se, a1 = a2 = = an . Demonstrao.Usando a igualdade

n

1i