Resolução e

Formulação de Problemas

O. E.: ARIANNA Prefeitura de Jundiaí

06/10/2014

CADERNO 4

Mudança de concepção: PROBLEMA

ANTES: PROBLEMAS MATEMÁTICOS ERAM UTILIZADOS COMO FORMA DE TREINAR O USO DE ALGORITMOS.

X

HOJE: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DEVE DESENCADEAR A ATIVIDADE MATEMÁTICA, POSSIBILITANDO QUE OS ALUNOS ESTABELEÇAM DIFERENTES TIPOS DE RELAÇÕES ENTRE OBJETOS, AÇÕES E EVENTOS A PARTIR DO MODO DE PENSAR DE CADA UM ESTABELECENDO LÓGICAS PRÓPRIAS, A PARTIR DAS QUAIS, OS ALUNOS PODEM SIGNIFICAR OS PROCEDIMENTOS DA RESOLUÇÃO E CONSTUIR OU CONSOLIDAR CONCEITOS MATEMÁTICOS PERTINENTES À SOLUÇÃO.

CAMPOS CONCEITUAIS – VERGNAUDemaranhado de conceitos

Nunca um conceito aparece isolado

As crianças poderão

estabelecer relações entre o que a situação

propõe pelo enunciado e os conhecimentos

matemáticos a ela pertinentes.

• Não se pode descolar a adição da subtração, assim como não se separa a multiplicação da divisão, e não há somente um caminho para solucionar os problemas.

• Primeiro você apresenta a situação-problema. Só depois de ela ser elaborada pelos alunos é possível começar a discussão sobre as possíveis estratégias para resolvê-la.

• O aluno pode não ter familiaridade com o algoritmo nem perceber que a adição repetida faz parte do caminho para a multiplicação, mas vai se apropriando da operação com as ferramentas que já possui.

• Relações matemáticas que podem ser trabalhadas nas séries iniciais – a proporcionalidade (direta e inversa), a organização espacial e a combinatória.

• A tendência é que a diversidade de questões e de resoluções cresça, assim como a rede de saberes do próprio aluno.

• Fonte Nova Escola: Caderno Especial Teoria Campo Multiplicativo

Conclusão

• É importante lembrar que a compreensão dos conceitos próprios das operações requer coordenação com os diferentes sistemas de representação.

• Como afirmam Nunes, Campos, Magina e Bryant: “[...] enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o cálculo na resolução de problemas: significa calcular compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e das operações de adição e subtração.” (2005, p. 56)

O QUE É ALGORITMO?

SÃO PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO QUE ENVOLVEM TÉCNICAS COM PASSOS OU SEQUÊNCIAS DETERMINADAS QUE CONDUZEM A UM RESULTADO (é uma das maneiras de se “fazer contas”).

AS OPERAÇÕES DEVEM ESTAR IMERSAS EM SITUAÇÕES-PROBLEMA PARA QUE HAJA UM ENTENDIMENTO SOBRE SEUS USOS EM DIFERENTES CONTEXTOS E PRÁTICAS SOCIAIS

POR ISSO:

IMPORTANTE: O Cálculo deve estar fundamentado na compreensão das propriedades do SND que sustentam o algoritmo (COMPREENSÃO CONCEITUAL).

Problema

É definido aqui como qualquer tarefa ou atividade na qual os estudantes não tenham nenhum método ou regra já receitados ou memorizados e nem haja uma percepção por parte dos estudantes de que haja um método “correto” específico de solução.

(Hiebert et al., 1997)

Os estudantes devem resolver problemas não para aplicar

matemática, mas para aprender nova matemática. (Van de Walle,

2009)

SITUAÇÕES-PROBLEMA: RESOLVA MENTALMENTE

Tenho R$400,00 e vou gastar R$48,00. Com quantos reais vou ficar?

Meu irmão tinha R$ 2699,00 e ganhou mais R$50,00 da nossa avó. Quantos reais ele tem agora?

Quanto devo pagar por oito metros e meio de fita sendo que o metro custa R$1,50?

TÉCNICA OPERATÓRIA• Resolva do seu jeito, usando lápis e papel:

400 – 48 =

2699 + 50 =

VÍDEO: CÁLCULO MENTAL – FÁCIL OU DIFÍCIL?

Estratégias de cálculo não surgem do nada, precisam ser trabalhadas em sala de

aula.

ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

CONTAGEM: Procedimento natural e bastante útil na resolução de cálculos pelas crianças. Algumas contagens importantes:

•contar para a frente;•contar para trás;•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;•contar a partir de um determinado número;

Exemplo: Jogos de percurso.

PROPRIEDADE COMUTATIVA A propriedade comutativa da multiplicação é definida por “a x b = b x a”, ou

seja, a ordem dos fatores não altera o produto. É válida para qualquer número natural. Por exemplo, 3 x 4 = 4 x 3, pois facilita a memorização e a realização dos cálculos. Exemplo:

Um professor trabalha 4 horas por dia, de segunda-feira à sexta-feira. Quantas horas ela trabalha nesse período da semana?

SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA4 horas 4 horas 4 horas 4 horas 4 horas

• Joana precisa tomar 4 comprimidos por dia, durante 7 dias. Quantos comprimidos Joana terá tomado durante esse período?

• Se Joana tomar 7 comprimidos em 4 dias, terá o mesmo efeito?

Houve a propriedade comutativa?

1 dia 2 dias 3 dias 4 dias 5 dias 6 dias 7 dias

1 dia 2 dias 3 dias 4 dias

PROPRIEDADE COMUTATIVA

MEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOS

A tabuada pode agilizar processos de cálculos a partir da memorização de resultados entre os fatores, desde que:

A memorização deve ser consequência da adoção de estratégias metodológicas que permitam a

construção/estruturação de regularidades entre os fatos numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos

diferentes da “decoreba” destituída de significado.

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NA TABUADA

João Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de atividades investigativas, nas quais os alunos são convidados a analisar padrões e regularidades existentes nas operações. Observe:

•Construa a tabuada do 3. •O que encontra de curioso nesta tabuada? •Prolongue-as calculando 11 × 3, 12 × 3, 13 × 3.... E formule algumas conjecturas.

• Construção de recursos cognitivos que auxiliam a memorização;

• Estabelecer relações entre os fatos;

• Perceber regularidades por processos investigativos.

Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em forma de textos das suas descobertas para que expressem as relacionem com as propriedades do SND.

CONSTRUÇÃO DA TÁBUA DE CONSTRUÇÃO DA TÁBUA DE PITÁGORASPITÁGORAS

DOBROS E METADES

• Dobros e metades são fáceis de memorizar e podem ser um recurso bastante interessante para o cálculo mental. O reagrupamento em torno de um dobro pela decomposição de uma das parcelas e o apoio da propriedade associativa da adição permitem relacionar os números de modo a facilitar o cálculo.

REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS

1. Leitura Deleite: “A reunião geral dos ratos” – Fábula de Esopo

2. SOBRE CÁLCULOS E ALGORÍTMOS (Caderno 4, P. 43 - 58).   Explorar as estratégias inventadas pelos alunos como procedimentos de cálculo mental. (vídeo “Cálculo Mental) Utilizar recursos didáticos como ábaco, material dourado, jogos e o quadro de centenas (Van de Walle).

Apresentar atividades que promovem o desenvolvimento de conceitos de valor posicional e de base 10, envolvendo contagem.

Promover o estabelecimento de padrões e relações com números de múltiplos algarismos.

Explorar o cálculo envolvendo as operações de adição e subtração e suas propriedades. Explorar relações de dobros e metades.

ATIVIDADES:

1. Em pequenos grupos, leitura do texto “Sobre Cálculos e Algorítmos”, pp. 43-46

2. Análise do jogo de percurso “Coelhinho procurando a toca”, pp. 46-47

3. Elaboração de jogos de percurso para o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo. Apresentação e exposição do material elaborado.

ALGORITMOS TRADICIONAIS (Cad. 4, p. 59)

A expressão “fazer contas” faz parte do cotidiano escolar. Até o momento mostramos que o “fazer contas” pode ser realizado de diferentes maneiras. O algoritmo tradicional é uma dessas maneiras e é sobre ele que trataremos a seguir. O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética principalmente quando envolve números altos. Possibilita, também, ampliar a compreensão sobre o Sistema de Numeração Decimal (SND).

O ábaco é considerado, historicamente, como o precursor da calculadora e conhecido como a primeira máquina de calcular construída pelo homem. Há diferentes modelos de ábaco, todos eles com o mesmo princípio constitutivo do SND que permite o trabalho centrado no valor posicional do número.

O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor Lugar (QVL), são recursos que podem ser utilizados, para favorecer a compreensão dos algoritmos tradicionais.

Por razões didáticas, para o ciclo de alfabetização, sugerimos atividades com o ábaco aberto e apenas até a ordem das unidades de milhar. Isto porque, a ideia é que depois disso, o algoritmo já esteja consolidado, não sendo mais necessário o uso de materiais manipuláveis. (p. 59)

Como podemos trabalhar os algoritmos tradicionais com o material dourado e com o ábaco, tendo como base o trabalho sugerido com agrupamentos em base dez? (Ver p. 59-60, Cad. 4)

Inicialmente sugerimos que as crianças joguem o Jogo “Nunca Dez” utilizando as peças do Material Dourado. Deste modo, se familiarizarão com as trocas e destrocas possíveis.

Também sugerimos que realizem o mesmo jogo com o Ábaco. Nesse caso, as trocas e destrocas assumirão características diferentes, uma vez que unidades, dezenas e centenas são determinadas pela posição que ocupam no ábaco.

Tarefa para casa

Leitura/estudo do texto iniciado com o item: “Adição sem agrupamento ou reserva”, seguido dos demais itens. (pp. 61-69)

Objetivo: Analisar as situações propostas para cada item e avaliar as possibilidades do uso do material dourado e do ábaco em sala de aula.

Intencionalidade Pedagógica Explorar habilidades de leitura no quadro de centenas. Valorizar os procedimentos pessoais dos alunos em relação ao cálculo mental. Explorar as relações de regularidades que aparecem no quadro de centenas. Trabalhar estratégias de cálculo, utilizando os recursos didático: ábaco, material dourado, jogo e quadro de centenas. Explorar as relações numéricas da adição e subtração e evidenciar as propriedades dessas operações

1.Leitura Deleite: “Brincar de pensar” – Clarice Lispector

2. No caderno 4, o autor Van de Walle (2009) refere-se às diversas “formas de calcular como estratégias ‘inventadas’ e as define como métodos pessoais e flexíveis de calcular que são compreendidos pela pessoa que os usa. São estratégias que podem ser feitas mentalmente ou por escrito, mais rápidas e menos sujeita a erros do que os algoritmos tradicionais, uma vez que fazem sentido para quem as utiliza.”

“Para o autor o desenvolvimento dessas estratégias inventadas, além de proporcionar fluência no cálculo e possibilitar que se tornem mais ágeis e cometam menos erros, expressam uma compreensão rica e profunda do sistema numérico, fornecendo uma base sólida para o cálculo mental e por estimativas e contribuem para o envolvimento num processo de “fazer matemática”. (Cad. 4, p. 44) 

Estratégias de cálculo diferentes das tradicionais são construídas a partir da compreensão das propriedades das operações e do Sistema de Numeração Decimal de quem as “inventa”. Por exemplo, cálculos realizados por decomposição de números são utilizados com frequência por facilitar e tornar mais ágil o processo e estão apoiados na compreensão do princípio aditivo do sistema de numeração decimal.

Atividades importantes para o desenvolvimento do cálculo mental, da percepção de regularidades e outras potencialidades, podem ser elaboradas a partir do quadro de centenas como veremos adiante inspirados nas propostas de Van de Walle. (Vide slides 97 a 108)

Podemos usar também ábaco de pinos ou material dourado

Relações com números referênciaGeralmente os marcos numéricos são decompostos nos cálculos. A

próxima atividade é dirigida ao marco numérico talvez mais importante, a centena

Reagrupar em dezenas ou centenasCaderno 4, pp. 56 –58

• Relacionar as continhas com o quadro de centenas

• Analisar as operações de : Luis, Carlos, Gabriel , Margarida

Retomada de alguns temas do Caderno 4 para discussões e aprofundamentos

A proposta didática de Parra (1996) é que os alunos possam articular o que sabem com o que têm que aprender diante de situações partindo da análise dos dados, buscando os procedimentos que lhes pareçam mais úteis, discutindo suas escolhas e analisando sua pertinência e sua validade. Nessa perspectiva, cada cálculo é um problema novo e o caminho a ser seguido é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais complexo. (p. 45) 

Contagem

A contagem é um procedimento natural e bastante útil na resolução de cálculos pelas crianças. Alguns procedimentos que auxiliam no desenvolvimento de estratégias de cálculo são: contar para frente; contar para trás; contar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10; contar a partir de um determinado número.

Dentre os procedimentos possíveis de serem estimulados e propostos pelos professores sugerimos alguns que descreveremos a seguir.

Exemplo de uma situação lúdica Coelhinho procurando a toca

Objetivo do jogo: Contagem de 2 em 2 Materiais:•1 tabuleiro; •1 dado com três faces azuis e com três faces vermelhas, contendo apenas o número 2 nas faces; 3 peões (coelhinhos). Número de jogadores: 3 jogadores

Recurso à propriedade comutativa (p. 48)A propriedade comutativa da adição e da multiplicação é um recurso importante para o cálculo, uma vez que facilita a memorização e também a realização dos cálculos.

Memorização de fatos numéricos (p.49)Quando falamos em memorização como recurso aos cálculos mentais, logo vem à mente a questão da tabuada: decorar ou não decorar? Leitura: O USO DA TABUADA EM SALA DE AULAMarina de Fátima Dolata – professora regente 2º. e 3º. Anos.

Dobros e metades (p.54)

Dobros e metades são fáceis de memorizar e podem ser um recurso bastante interessante para o cálculo mental. O reagrupamento em torno de um dobro pela decomposição de uma das parcelas e o apoio da propriedade associativa da adição permitem relacionar os números de modo a facilitar o cálculo.

O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética principalmente quando envolve números altos. Possibilita, também, ampliar a compreensão sobre o Sistema de Numeração Decimal (SND). P. 59.

E os matérias como ábaco, quadro QVL e o material dourado são recursos que podem ajudar na compreensão dos algoritmos tradicionais.

ALGORITMOS TRADICIONAIS

• 24+15=

•

• 24-11=

• 25+16 =

11= 10 + 1 = 1d + 1u

=

D U 1 2 5 + 1 6 4 1

• 26 – 18=

=

D U

21 16

– 1 8

0 8

• O professora precisa estar atento aos recursos disponíveis em seu meio, como reportagens, filmes, propagandas, visitas ao supermercado, dialogo em sala de situações que acontecem com eles, o uso da calculadora de forma direcionada, são meios que podem ajudar no planejamento da matemática em sala de aula de forma significativa.

AS OPERAÇÕES, AS PRÁTICAS SOCIAIS E A CALCULADORA

EMEF Profº João Alcindo Vieira – Professora Claudia Simone – 3º ano

SEÇÃO COMPARTILHANDO

Atividade 6:•Lembre-se das suas aulas e procure uma situação em que você almejou a realização de cálculo com objetivo apenas algorítmico e de cálculo com objetivo de compreensão conceitual. Com os conhecimentos adquiridos nesta formação, você modificaria as atividades relatadas? Em que as modificaria? No caso de não modificá-las, justifique por que as manteria como realizou.

SEÇÃO COMPARTILHANDO

•Atividade 7 Reflita sobre as considerações da professora Denise Balão e registre as proposta para esta tarefa. Pag. 78-79

TAREFA

• Entregue a ficha de cálculos para os alunos resolverem.

• Entregue a ficha de problemas para os alunos resolverem.

• Crie um problema cuja solução pertença ao campo conceitual multiplicativo. Escreva um problema decorrente dessa situação.

• Elabore atividades problematizadoras para serem trabalhadas com seus alunos, em sua sala de aula, a partir do jogo “Contas e mais contas”.

• OBS: CADA ATIVIDADE TEM ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A SEREM FEITAS, DA PAGINA 84 A 86.