resistencia de materiales ingenieria civil vigas

MECNICA DE MATERIALES

RESISTENCIA DE MATERIALESNDICE

Fuerzas InternasPag.

4

Anlisis de Fuerzas Internas5

Esfuerzo8

Concepto Fundamental9

Tipos de Esfuerzos9

Introduccin al Concepto de Esfuerzos9

Hiptesis Bsicas de la Resistencia de Materiales12

Conceptos y Definiciones12

Deformacin Axial y de Corte14

Traccin y Compresin19

Materiales Dctiles y Frgiles20

Ley de Hooke20

Modulo de Elasticidad21

Propiedades Mecnicas de los Materiales21

Limite de Proporcionalidad21

Limite Elstico21

Zona Elstica22

Zona Plstica22

Limite Elstico Aparente o De Fluencia22

Resistencia a Traccin22

Resistencia de Rotura22

Modulo de Resiliencia22

Modulo de Tenacidad22

Restriccin23

Alargamiento de Rotura23

Limite Elstico Convencional23

Modulo Tangente24

Coeficiente De Dilatacin Lineal24

Relacin De Poisson24

Forma General De La Ley De Hooke24

Clasificacin de los Materiales25

Tensin Cortante27

27

Definicin De Esfuerzo Cortante28

Definicin De Tensin Cortante28

Comparacin De Las Tensiones Cortante y Normal28

Deformaciones Debidas A Tensiones Cortantes29

Deformacin Por Cortante29

Modulo De Elasticidad En Cortante29

Problemas Resueltos30

Deformacin Tangencial37

Efectos de Torsin39

Problemas de Aplicacin44

Efectos Axiales45


Sistemas De Fuerzas Estticamente Indeterminados55


Mtodo De La Carga Unitaria Para Efectos Axiales73


Tensin en Vigas87

Mdulo de Rotura93

Aplicaciones de Tensiones en Vigas94

Deduccin de la Frmula de la Tensin Cortante Horizontal100

Flujo Cortante102

Relacin entre la tensin cortante horizontal y vertical102

Aplicacin a la seccin rectangular103

Teora de Pequeas Deformaciones105

Giro en los Nudos108

Rigidez y Elasticidad de Elementos Estructurales109

Convencin de Signos112

Mtodo de la Doble Integracin113


Mtodo del rea de Momentos119

Convencin de Signos124

Ecuacin de Bresse124

Concavidad y Convexidad

Concavidad y Convexidad de Deformadas y su Relacin con el125

Diagrama de Momentos126

Problemas resueltos128

Mtodo de la Viga Conjugada152

Fundamentos tericos153

Definicin de la Viga Conjugada155

Conclusin155

Relacin entre la Vigs Real y la Viga Conjugada155


Mtodo de los Tres Momentos172


Mtodo de Pendiente y Deflexin182

Aplicaciones191

Mtodos Energticos207

Mtodo de la Carga Unitaria para Flexin208

Mtodo de la Energa de Deformacin216

Ejemplo de Aplicacin227

Miscelneas de Problemas228

Esfuerzos Combinados236

Todo estudiante de Ingeniera se pregunta cuando inicia sus estudios universitarios; a qu se dedica un ingeniero?, pregunta interesante, ya que de la respuesta; el joven sabr lo que har el resto de su vida.Los libros de ingeniera dicen que todo ingeniero disea, construye mquinas y edificios; y por este punto iniciaremos nuestra exposicin, para entender el campo de la Mecnica y Resistencia de Materiales.La primera pregunta que surge es qu es disear?

Disear es dimensionar, dar forma y determinar el tipo de material, y los tipos de apoyos de lo que queremos construir posteriormente.La otra pregunta inmediata que surge es Qu es una mquina? y Qu es un edificio?, al respecto diremos, que toda mquina o edificio es una combinacin de elementos unidos entre s, para:l.- SOPORTAR CARGAS

2.-TENER CAPACIDAD DE DEFORMARSE Y RECUPERAR SU FORMA.

3.-MANTENER SU POSICION ORIGINAL.

Es decir toda mquina y edificio debe tener RESISTENCIA, es decir capacidad de soportar cargas, adems debe tener RIGIDEZ, capacidad de deformarse y recuperar su forma, y finalmente ESTABILIDAD, es decir capacidad de mantener su posicin original.Finalmente podemos concluir que toda mquina y edificio deben cumplir tres principios fundamentales de la Mecnica de Materiales, que son: RESISTENCIA, RIGIDEZ Y ESTABILIDAD.

Todo el diseo de mquinas y edificios se basa en la Mecnica y Resistencia de

Materiales.

Otra pregunta que se har el estudiante es cul es la diferencia entre la Mecnica y

Resistencia de Materiales?

Al respecto diremos que la Mecnica, analiza las fuerzas exteriores que actan sobre una estructura; y la considera a sta como un cuerpo rgido; capaz de soportar todas estas cargas, sin deformarse.

2

En cambio a la Resistencia de Materiales le interesa saber si la estructura tendr la capacidad para soportar dichas cargas; teniendo que analizarse en este caso las fuerzas internas del cuerpo y su relacin con las fuerzas exteriores que actan en l.La Resistencia de Materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los slidos. No supone que los slidos son rgidos, como en la Mecnica; sino que las deformaciones por pequeas que sean tienen gran inters en nuestro anlisis.Otra pregunta que surge de la exposicin es si una mquina o estructura soportan cargas, qu es una carga y de que tipo son?A lo largo de la exposicin iremos analizando los diferentes tipos de cargas que existen ysusefectosque ocasionan en las mquinas yedificios, pero a manerade introduccin diremos que las cargas son fuerzas que actan enun cuerpo y que cuando se les multiplica por su brazo de palanca se generan momentos.Toda mquina o edificio estar sometida a fuerzas y momentos, y de acuerdo a como acten en los elementos de las mquinas o estructuras generarn los siguientes efectos: AXIALES, CORTANTES, FLEXIONANTES y DE TORSIN.Los efectos axiales y de corte son generados por fuerzas, los flexionantes y de torsin son generados por pares.A continuacin pasaremos a analizar los cuatro efectos que todo edifico o mquina tendrn, al ser sometidos a cargas o pares, segn sea el caso.EFECTOS AXIALES

Los efectos axiales aparecen cuando las fuerzas actan en el centro de gravedad de la seccin recta del elemento estructural y se desplazan a lo largo de su eje de simetra.Los efectos axiales pueden ser de traccin o de compresin. Los primeros generan alargamiento y los segundos acortamiento en los elementos.EFECTOS DE CORTE

Los efectos de corte aparecen cuando las fuerzas actan en la direccin de la seccin recta del elemento. Son los componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porcin del elemento a un lado de la seccin de exploracin respecto de la otra porcin. EFECTOS DE FLEXIONLos efectos flexionantes aparecen cuando se aplican pares en el plano donde se

encuentra el eje de simetra del elemento estructural. Dichos pares tratarn de curvar o flexar el elemento en el plano donde estn actuando los pares.

Este efecto genera tensiones normales de traccin y de compresin en las fibras que se encuentran a un lado y otro del eje neutro del elemento, asimismo tambin se generan tensiones de corte debido a la flexin.

EFECTOS DE TORSION

Este efecto surge cuando actan, dos pares iguales en magnitud, en la misma direccin pero en sentido contrario, perpendicularmente al eje del elemento estructural en anlisis. Mas adelante veremos que estos efectos se pueden combinar entre si generando efectos combinados.

CAPTULOI:

ANLISIS DE FUERZAS INTERNAS

En mecnica se determina la resultante de fuerzas para averiguar si el slido se encuentra o no en equilibrio. Si la resultante es nula, existe equilibrio esttico, que en general existe en una estructura. Si la resultante no es nula, y si introducimos en el sistema exterior de fuerzas, las fuerzas de inercia correspondiente, obtenemos elequilibrio dinmico.

n n

n

Fi FI

0 ;

Donde Fi

m. a

i1

i1

i1

Por el momento consideramos el equilibrio esttico.

La resistencia de materiales estudia la distribucin interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas.Para nuestro anlisis haremos un corte ideal en el slido mostrando en la figura en la que tendremos una seccin de exploracin, buscando que fuerzas deben actuar en esta seccin para mantener el equilibrio del slido aislado de cada una de las dos partes en que ha quedado dividida el total.

F1FnP iji: La caraj: El eje donde actaYM xyPxyOPxzP xxMxzF 2M xxZXEn general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultante que, por conveniencia, se decomponen segn la normal y tangente a las seccin como se muestra en la figura.

PXX:Fuerza Axial PXY, PXZ:Fuerza Cortante MXY, MXZ:Momento Flector.

F1F1aYM xyF2F4M xyF2M xxM xzM xyc XF3 Z M xyConsiderando un slido cualesquiera sobre el que actan una serie de fuerzas, como se muestra en la figura.

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centro de gravedad, que es el punto de referencia de la seccin.Si el eje X es normal a la seccin, est se denomina superficie o cara X. La orientacin de los ejes Z e Y en el plano de las seccin se suele elegir de manera que coincidan con los ejes principales de inercia de la misma.

La notacin empleada en la figura identificada tanto la seccin de exploracin como la direccin de las componentes de la fuerza y del momento. El primer subndice indica la cara sobre la que actan las componentes, y el segundo la direccin de cada una de ellas. Por lo tanto, Pxy es a fuerza que acta sobre la cara X en la direccin Y.Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre el slido,

en esta seccin, y recibe un nombre especial, que se nombra a continuacin.

PxxFuerza AxialEsta componente mide una accin de tirar sobre la

seccin. Tirar representa una fuerza de extensin o

traccin que tiende a alargar el slido, mientras que

empujar representa una fuerza de compresin que tiende a acortarlo.

F1F1abNComponenteNormalRF1RVComponenteF2CortanteabPxy, PxzFuerza CortanteSon componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porcin de slido a un lado de la seccin de exploracin respecto de la otra porcin. La fuerza cortante total se suele representar por V y sus componentes, Vy y Vz identifican sus direcciones.

MxxMomento Torsor o parEsta componente mide la resistencia a la torsin del slido considerando, y se suele representar por Mt

Mxy,Mxz Momentos FlectoresEsta componentemiden la resistencia del cuerpo a curvarse o flexar respecto de los ejes Y o Z y se suelen expresar por My y Mz, respectivamente.

De lo expuesto el efecto interno de un sistema de fuerzas exterior dado depende de la eleccin y orientacin de las seccin de exploracin.En particular, si las cargas actan en un plano, que se suele considerar xy. La fuerza axial Pxx P; la fuerza cortante Pxy o V y el momento flector Mxz o M.

Si reducimos nuestro anlisis al plano, vemos que las componentes equivalen a una fuerza resultante R. Como se muestra en la figura.

Si la seccin de anlisis hubiera sido el eje b b, perpendicular a R el efecto de la cortadura en la seccin se pudo.

CAPTULOII:

CE, A, lOB APESFUERZO

Concepto Fundamental

Sabemos que la mecnica estudia las fuerzas sin considerar los efectos que generan en el elemento en el que actan.Si queremos saber la magnitud de una fuerza, tendremos que tener en consideracin el rea en la que acta.Es decir, si tenemos una fuerza de 1000 kgs. y acta sobre un rea de 100 cm2 diremos

que la fuerza de 1000 kg tiene una intensidad de 10 kg/cm2; si el rea hubiera sido de 10 cm2 la magnitud de la fuerza ser de 100 kg/cm2.Como podemos observar la magnitud de la fuerza est en funcin del rea en que acta. Al hecho de medir la intensidad de una fuerzase denomina Esfuerzo que es la intensidad de una fuerza por unidad de rea en la que acta.

Tipos de Esfuerzos

Los esfuerzos pueden ser normales o cortantes dependiendo de cmo actan dichas fuerzas y los esfuerzos generar una deformacin en el elemento que analizamos.Si la fuerza acta perpendicular a la seccin recta generar alargamiento o acortamiento. Si son cortantes no generan desplazamiento sino giro.

Introduccin al Concepto de Esfuerzos

Sea la estructura mostrada en la figura en la que deseamos conocer las tensiones en cada barra.Denuestrosconocimientosde Esttica.

Y TBCOXTABPodemos concluir del diagrama de cuerpo libre mostrado.

TABTABTBCTBCQue la barra BC soporta una tensin de P/Sen y la barra AB de Pcotg, ejerciendo la primera un efecto de traccin en BC y la segunda un efecto de compresin en AB, como se muestra en los diagramas de cuerpo libre de cada barra.

Como tenemos que mantener el equilibrio en ambas barras, concluimos que se producen fuerzas internas de P/Sen y PCotg por el principio de accin y reaccin.

TBCTBCTABTABPUn anlisis ms detallado del equilibrio de las fuerzas internas y externas lo podemos ver a continuacin

Los resultados obtenidos representan un paso inicial necesario en el anlisis de estructuras, pero no nos dicen si las cargas que actan en cada barra puedan ser soportadas por cada una sin peligro.

Para el caso de la varilla BC, la posibilidad de que se rompa o no; no depende slo de la fuerza interna de traccin P/Sen que tambin depende del tipo de material de que est hecha, y de la seccin de la varilla.La fuerza interna TBC = P/Sen representa realmente la resultante de fuerzas elementales distribuidas en el rea A de la seccin y la intensidad de tales fuerzas es igual a la fuerza por unidad de rea TBC/A, en la seccin.Como conclusin podemos decir que bajo la accin de la fuerza dada la varilla se rompa

o no, depende de la capacidad del material para soportar el valor de TBC/A de la intensidad de las fuerzas internas distribuidas.Es decir la resistencia del elemento depender de la tensin TBC, del rea de la seccin

A, y del material de la barra.

La fuerza por unidad de rea, o intensidad de las fuerzas distribuidas sobre la seccin, se conoce como esfuerzo en dicha seccin y se representa por la letra griega (sigma).El esfuerzo en un elemento de seccin transversal de rea A sometido a una carga axial

P se obtiene dividiendo la magnitud de P de la carga por el rea A.

= P/AUnidades:F/L2

Un signo positivo significa esfuerzo en traccin y genera un alargamiento del elemento, y negativo representa un esfuerzo de compresin generando un acortamiento del elemento.Considerando una seccin A para la barra BC tendremos que = P/A.

Pero, para determinar si podemos usar la varilla BC sin peligro, tenemos que comparar con el mximo que puedes soportar. Si el obtenido es menor que el mximo, entonces podemos concluir que la barra BC puede tomar la carga hallada sin ningn peligro. Anlogo anlisis tenemos que hacer en la barra AB, as como en los pasadores y soportes.Finalmente, tenemos que analizar si las deformaciones producidas son aceptables.

Pero; el Ingeniero disea estructuras y mquinas, es decir crea nuevas posibilidades, en este sentido podemos plantearnos el problema de la siguiente manera:Cul ser el dimetro de las barras si el material a utilizares de aluminio.

En este caso tendremos como dato el max del aluminio y de la frmula = P/A. Tendremos A = P/ que ser la seccin de la barra.Si la barra es circular tendremos r2 = A.; donde el radio a usar ser:

r =A

HIPOTESIS BASICAS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1.Se hace una idealizacin o modelo del problema, se harn suposiciones sobre los elementos, las cargas aplicadas y los apoyos2.Se supone que los materiales son linealmente elsticos. Relacin esfuerzo deformacin, linealidad de los materiales.3.Se supone que el material no contiene vacos interiores, es decir es continuo. Sus propiedades son iguales en cualquier punto, son homogneos, y sus propiedades son iguales en cualquier direccin, es decir son materiales isotrpicos.4.Linealidad Geomtrica. Los desplazamientos son pequeos en comparacin a las dimensiones de la estructura. Se cumple la teora de los desplazamientos pequeos. Las ecuaciones de equilibrio se pueden establecer en funcin de la geometra original de la estructura5.Se cumple el principio de SAINT VENANT. Los esfuerzos que actan en una seccin distante al punto de aplicacin de la carga tienen una distribucin uniforme.6.Hiptesis de NAVIER.

Las secciones planas permanecen planas despus de la deformacin.

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

1. Masa. Es la resistencia que ofrecen los cuerpos a la traslacin.

2. Momento de inercia. Es la resistencia que ofrece los cuerpos a la rotacin.

3. Tensin Cortante. Se produce por fuerzas que actan paralelamente al plano que los soporta.4. Traccin y Compresin. Son fuerzas que actan perpendicularmente o normales al plano sobre el que actan.Por esta razn a las tensiones de traccin y compresin se llaman tambin tensiones normales, mientras que a la tensin cortante se denomina tensin tangencial.5. Deformacin Tangencial. Es generada por las fuerzas cortantes. La fuerza cortante no vara la longitud de sus lados, manifestndose slo un cambio de forma; de rectngulo a paralelogramo por ejemplo.

PLPL

; Tg

6. Materiales Dctiles. Pueden desarrollar grandes deformaciones sin llegar a la rotura. Presentan fenmeno de estriccin y escaln de fluencia.Ejemplo: Acero con bajo contenido de carbono, cobre, aluminio, latn, etc.

7. Materiales Frgiles. Llegan a la rotura de forma abrupta, no aceptan grandes deformaciones.Ejemplos: Piedra, Concreto, Vidrio, ladrillo, etc.

8. Homogeneidad, Continuidad, Isotropa. Continuidad supone que el material no contiene vacos interiores, Homogeneidad supone que sus propiedades son iguales en cualquier punto. Isotropa, sus propiedades son iguales en cualquier direccin.Ejemplo: Acero es isotrpico, Madera es anisotrpico.

CAPTULOIII:

DEFORMACIN AXIAL Y DE CORTE

Si tenemos una barra de seccin recta rectangular A, de longitud l y jalada por una fuerza P actuando en el centro de gravedad de la seccin recta A y tiene un mdulo de elasticidad E , sabemos por Mecnica que dicha fuerza P generar un alargamiento . La carga P externa se equilibrar con una fuerza interna que la denominaremos A; donde, es el esfuerzo expresado en unidades de fuerza por unidades al cuadrado de longitud (F/L2).Si hacemos un corte perpendicular a la seccin recta; corte A-A.

PA

E,AlAAP

El sistema para que est en equilibrio tendr que:

PA = P =AAl cual se le denomina Esfuerzo Normal y se expresa en F/L2; es decir, Kg/cm2 o sus equivalentes.Pero si hacemos un corte inclinado con un ngulo , tendremos una seccin recta

inclinada donde aparecen esfuerzos de corte () y esfuerzos normales ().

P

P

15

Si trazamos un sistema de referencia , .

La seccin A.

110

Ser Cos =

A A'

A=

A

ACos A

A = A.Cos

Al analizar el equilibrio tendremos:

F = 0

A = P.Sen Cos

= P .Sen .CosA = 1 . P .Sen2

2 A

P.Sen

P.Cos

F = 0

A = P.CosP Cos

= P .Cos 2A

Podemos observar que existen esfuerzos Normales y Esfuerzos de Corte.Hooke hizo experimentos con diferentes tipos de materiales sometindolos a efectos axiales llegando a la siguiente conclusin.

= Pl ,EA

Observ que el alargamiento de una barra era directamente proporcional a la fuerza que actuaba y su longitud l, inversamente proporcional a la seccin y de la caracterstica del material que la denominaremos Mdulo de Elasticidad E.Deformacin Unitaria Longitudinal ()

Se define como:

= ; es adimensionall

Al graficarse y , se llega a analizar el comportamiento de los materiales llegndose a:

CURVA ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA

= P/A

Punto deRotura RealRUTensinTensinde RoturaPunto deLimite Elstico PF Rotura AparenteLP LE Punto de FluenciaLimite deProporcionalidadDeformacin = /L

1. Limite de Proporcionalidad (L.P.)

Hasta este punto los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones

2. Limite Elstico (L.E)

Alcanzado este punto de esfuerzo, el material no va a recuperar su forma y dimensiones primitivas3. Punto de Fluencia (Yieldpoint) (P.F.)

Llegado a este punto denominado punto de fluencia, significa que habr deformaciones que se irn incrementando an sin incremento de cargas4. Resistencia ltima (R.U.)

Es el punto donde est el mximo esfuerzo que puede alcanzar el material antes que se produzca la falla, colapso o claudicacin.Relacin de Poisson ( )

Donde:

Tl

Mdulo de Poisson

T : Deformacin Unitaria Transversal.

l : Deformacin Unitaria Longitudinal

Segn Poisson:

0H1. Esta diferencia entre H2 y H1 solo puede equilibrarse por la fuerza cortante resistente dF que acte en la cara inferior del elemento aislado, ya queen las restantes caras de ste no acta fuerza exterior alguna.

Seccin (1)Seccin (2)dxH1H2ccy y1 y1Fuerza CortanteResistivadF=tbdxdxFigura aSeccin (1)yL.N.Seccin (2)bdxFigura b1.dA

2.dA

Como H2-H1 es la suma de las diferencias de las compresiones 2dA y 1dA que actan en cada elemento diferencial contenido en el elemento aislado, como se observa en laFig (b), aplicando la condicin de la esttica H=0 resulta,

H 0

dF H2

H1

c cdF 2 dA - 1 dAy1 y1

Sustituyendo por su valor My/I,

MdF 2I

c M y dA1 y1 I

c M y dA 2y1

M1I

c y dAy1

De la figura (a), dF=Vds., siendo la tensin cortante media en el rea diferencial de ancho b y longitud dx. Ahora bien, M2-M1 representa el incremento diferencial de momento flector en la longitud dx, por lo que la relacin anterior se puede escribir en laforma,

dM c

Ibdx y y dA1Y como, dM/dx=V, fuerza cortante vertical, la tensin cortante horizontal viene dada por:

V c V V y dA A.y M

............()

Ib y1

Ib Ib e

cSe ha sustituido la integral y dA, que representa la suma de los momentos respecto dey1

la L.N. de las reas diferenciales dA, por su equivalente A y , o sea, el momento

esttico, respecto de la lnea neutra, del rea parcial A situada entre la paralela a la L.N. a la altura y1 donde se va a calcular la tensin cortante y el borde superior de la seccin. La distancia desde sta al centro de gravedad de A es y . Tambin se puede representar este momento esttico por Ma.

Flujo Cortante

Multiplicando la tensin cortante por el ancho b de la seccin se obtiene una cantidad q denominada flujo cortante, que representa la fuerza longitudinal por unidad de longitud transmitida a travs de la seccin de ordenada y1. Es un concepto anlogo al flujo cortante examinado en la torsin de tubos de paredes delgadas. Aplicando a lafrmula , obtenemos el siguiente valor:

q tb

VI Me

Relacin entre la tensin cortante horizontal y vertical

Habr quien se sorprenda al ver que el trmino fuerza cortante vertical (V) aparece en

la frmula de la tensin cortante horizontal

h . Sin embargo, como ahora veremos, una

tensin cortante horizontal va siempre acompaada de otra vertical del mismo valor. Es precisamente esta ltima, representada en la figura (c), la que da lugar a la fuerza

cortante resistente

Vr vdA que equilibra a la fuerza cortante vertical V. Puesto que

no es fcil calcular directamente

v , el problema se resuelve calculando el valor

numricamente igual de

h .

YdythyL.N.tvX ZVr dAFigura (c): TFenigsiunraCcortante Horizontal y Vertical

Para demostrara la equivalencia de

h y v

consideremos sus efectos sobre un elemento

diferencial cualquiera, que separaremos del resto de la viga de la figura (d-1). En la figura (d) se representa una perspectiva de este elemento, y en la figura (d-2) un alzado

lateral. Para el equilibrio horizontal del elemento, la tensin cortante h

en la cara

inferior requiere otra igual en la cara superior, y las fuerzas a que dan lugar estas tensiones, Figura (d-3), forman un par antihorario que requiere otro igual, pero horariopara conseguir el equilibrio de momentos. Las fuerzas de este par horario inducen la

tensin cortante

v en las caras verticales del elemento, como se observa en la figura.

hvvdy

hdxvdy

hdxdzA ddyvdzdy

hvdxdzhh

Figura (d-1)Figura (d-2)Figura (d-3)

Figura (d): Tensiones Cortantes que actan sobre un elemento

Tomando momentos respecto de un eje que pase por A se obtiene:M 0 dxdz dy dydzdx 0A h v

Dividiendo por dxdydz resulta,

h v

Se deduce; pues, que una tensin cortante que acta en la cara de un elemento va acompaada siemprede otra numricamente igual que acta en una cara perpendicular a la primera.

Aplicacin a la seccin rectangular:La distribucin de la tensin cortante en una seccin rectangular se puede obtener aplicando la ecuacin ( ) a la figura (e). En un plano a distancia y de la lnea neutra,

V V h

1 h

A' y b y y y ..()Ib Ib 2 2 2

Simplificando,

V h 2

y2

2I 4

Lo que demuestra que la tensin cortante se distribuye conforme a una ley parablica en la altura de la seccin.La tensin cortante mxima tiene lugar en la L.N. y su valor se obtiene aplicando ( )

directamente,

V V bh h

A' y

3

Ibbh12

.b

2 4

Figura (d): Distribucin Parablica de la tensin cortante en una seccin rectangular.

bh/2 yhL.N.Simplificando;

3 . V

3 . V .()

mx

2 bh 2 A

Naturalmente que se obtiene el mismo valor haciendo y=0 en la expresin ().

La frmula () indica que la tensin cortante mxima en una seccin rectangular es un

50% mayor que el valor medio V/A en la seccin total.

CAPTULOX:

TEORA DE PEQUEAS DEFORMACIONES

Primer Caso:

Si una viga est articulada en ambos extremos y es sometida a un momento MMA en ambos puntos de los extremos en elsentido mostrado, la viga girar del

modo mostrado.

ij

MB

AijB

Vemos que la viga al ser flexible gira un ngulo i y j, respectivamente; haciendo lo

propio los nudos A y B.

La demostracin es la siguiente:

El ngulo i y forman 90 ya que los

nudos al girar mantienen su rigidez. ElD

ngulo EAC a girado 90 llegando a la

tambin 90, entonces

i 90

90 , y elC Ai

De las ecuaciones:

Vemos que i

90B

1 90

Por lo tanto El ngulo EAD es igual al ngulo CAB; que es lo queramos demostrar. Si el momento M es aplicado en sentido antihorario tendremos:

ijii

A

Si el momento M en A se aplica en sentido horario y en B en sentido horario,

tendremos:

ijMAjBiM

Segundo Caso: Viga Empotrada en sus dos extremos

El giro en A y B es cero y la tangente

trazada en A y B son horizontales.AB

Tercer Caso: Viga Empotrada en un extremo y libre en el otro

Cuando una viga est empotrada en un extremo, el giro es cero y la tangentetrazada en el punto de empotramientoAes horizontal.El Empotramiento se esquematiza de la forma mostrada.

Cuarto Caso: Viga Articulada en un extremo y libre en el otro.

El giro es diferente de cero y la

tangente trazada no es horizontal.Una viga articulada se esquematiza enA

este caso de la forma mostrada.

Quinto Caso: Viga Empotrada en un extremo y articulado en el otro.

En este caso el giro en A es cero, peroA Ben B es diferente de cero.jLa tangente en A es horizontal ms no as en B.

GIRO EN LOS NUDOS

SialnudoO,leaplicamosun momento M en sentido horario, vemos que la estructura mostrada sufre giros como se muestra en la figura.SilasbarrasAByCDsonA

perpendiculares, las tangentes trazadas L1 y L2 tambin lo sern, de modo que las barras OA, OD, OB y OC girarnel mismo ngulo .

D

L 2

i

iBM Oi

i

L 1

C

Casos Particulares:

Al aplicar un momento M al prtico mostrado, en B, vemos que si las barrassonmutuamente perpendiculares, las tangentes tambin lo sern.

Al aplicar un momento en B, las barras giran de la forma mostrada, siendo los giros BA y BC : i.

M i

BC

i

i

A

iM

A B iC

RIGIDEZ Y ELASTICIDAD DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

Si tenemos un elemento vertical columna, por ejemplo, sometido a una carga P horizontal, el comportamiento estructural ser:

y

P

fig. (a)

x

a) Si EA=, significa que no hay deformacin axial, es decir, no hay incremento o

decremento en su longitud en la direccin Y.

La deformada ser la que se muestra en la figura b si est empotrado

perfectamente en la base.

La deformada que se muestra en la figura c es si slo est articulada en la base.

P P

fig. (b)

fig. (c)

articulacin

b) Si EI=, significa que tiene gran resistencia a la deformacin, ante la carga externa

P.

La deformada es la que se muestra en la figura d.

P

fig. (d)

Si tenemos un elemento horizontal, por ejemplo una viga como se muestra a

continuacin.

y

Px

a) Si EA=, la viga se desplaza en forma constante, es decir todos los puntos sufren el mismo desplazamiento.Los desplazamientos sern los que se muestran en las figuras siguientes. Observar

que depende de cmo acta la carga.

P

P

b) Si EI=, la viga se desplaza rgidamente, como se muestra a continuacin.

P

Como ilustracin, hallaremos la deformada del prtico mostrado, si todos los

elementos son como EA=.

La viga BC slo se desplaza, debido aP BCque P es axial.AB y CD, se flexionan como se muestra en la figura.

AD

PSilaestructuratieneelementosB Cinclinados y todas las barras tienen

EA=, como se muestra en la figura;

podemos observar que la barra BC se

desplaza porque P es axial.A DAB se deforma como se muestra.

CD al no tener deformacin axial sedesplaza perpendicularmente x; pero,x

la barra BC se desplaza debido a la carga axial, producindose en el puntoC una relacin como la que se muestra.Axy

La deformada ser:

P B C

A D

FxyLos valores de x y y, los hallamos

111

por semejanza de tringulos.

CEF ~CGD

B C E

y 3 ,

x 5

4 4

A G D

y 34

x 54

1.25

0.75

CONVENCIN DE SIGNOS

Para Resistencia de Materiales

Para una viga supuesta horizontal y sometida a cargas dirigidas hacia abajo, un momento flector es positivo si produce esfuerzos de traccin en la parte inferior de la viga, y negativo, si produce esfuerzos de traccin en la parte superior. Este es el convenio clsico utilizado en Resistencia de Materiales.As por ejemplo, para la viga empotrada en ambos extremos.

235wl2MA ,12

2

W (Kg/m)TT

AB

M wl ,B 12

CDC

C T

C: Zona ComprimidaT: Zona Traccionada

As por ejemplo, los momentos generados debido a P generan traccin en la zona de la

viga AB en los puntos A y B.

M Pl ,A 8

PT T

M Pl A BB 8 D

1 12 2

Para pendiente y deflexin, Cross y Kani.

figura (a)

Se considera positivo el sentido horario y negativo el antihorario. As por ejemplo, la

viga de la figura (a) tiene momentos de empotramiento.

MA MB

Pl8

Segn la convencin para Resistencia de Materiales ambos son negativos. Segn la convencin para pendiente y deflexin

M Pl yA8

M PlB 8

CAPTULOXI:

MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN

La perspectiva lateral de la superficie neutra de una viga flexada se llama CURVA ELSTICA, o simplemente ELSTICA DE LA VIGA. Es la curva que forma el ejelongitudinal, inicialmente recto.

d

Y

curva elstica

Xy dsx d

Elemento diferencial dx de viga

En la figura presentada se muestra este eje sumamente ampliado.

En esta parte vamos a deducir la ecuacin de dicha curva, y veremos como calcular el desplazamiento vertical o flecha y de cualquier punto en funcin de su abscisa x. Tomando el extremo izquierdo como origen del eje x, dirigido segn la direccin inicial de la viga sin flexar, y el eje Y positivo hacia arriba.Se supone en todo momento que las deformaciones son tan pequeas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyeccin de su longitud deformada.La curva elstica es muy tensa y su pendiente en cualquier punto es tambin muy pequea. El valor de esta pendiente, tg igual d dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a .Por lo tanto:

dx dy

...............(a)

y ddx

d2 ydx 2

(b)

Considerando la variacin de en una longitud diferencial de producida por la flexin

de la viga, es evidente que:

ds d................(c)

Siendo el radio de curvatura en la longitud del arco ds.

Como la curva elstica es muy tensa, ds es prcticamente igual a dx.

De las ecuaciones (b) y (c) se obtiene:

1 d ds

. ddx

1

d2 y dx 2

. (d)

Por otro lado sabemos por la teora de flexin que:

1 M .. (e)EI

Por lo tanto igualando (d) y (e) obtenemos:

2EI. d

y M

dx 2

A esta ecuacin se le denomina la ecuacin diferencial de la elstica de una viga.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Determinar la flecha en cada punto de la viga en voladizo, sometida a la carga aislada P, mostrada en la figura.

y P

l

Pl PSolucin:

M=-Pl+Px

La ecuacin diferencial de la viga deformada ser:

2EI. d

y M

E: Mdulo de elasticidad del material

dx 2

I: Momento de inercia de la seccin respecto del eje neutro.

Reemplazando el omento M en la ecuacin diferencial.

2EI. d

y -Pl Px . (1)

Integrando una vez

dx 2

EI. dy Plx dx

Px22

C1 .(2)

Esta ecuacin nos representa la ecuacin de la pendiente en la que C1 es una constante, que puede calcularse utilizando la condicin de ser nula la pendiente de la viga en el muro, pues est perfectamente empotrada en l.Sustituyendo en dos las condiciones para x=0, dy/dx=0.

0=0+0+C1,C1=0

Integrando la ecuacin (2) obtenemos:

2EIy Plx2

3 Px6

C2 ......................(3)

Donde C2 es una constante de integracin que podemos determinarla por la condicin del muro en el empotramiento. All para x=0 la flecha y es cero debido a que la barra est empotrada rgidamente sustituyendo y=0 en la ecuacin tres obtenemos C2=0.

La flecha mxima ser en x=1, por la ecuacin tres obtenemos:

EI.y

mx

Pl3 3

El signo menos significa que este punto est debajo del eje x.

2. Una carga concentrada de 30 Kg acta sobre la viga como se muestra en la figura.Determinar las ecuaciones de la elstica entre cada dos puntos de discontinuidad de carga y la mxima flecha.

30kgs y

A

R1=10 kgsx

2.00m y

B1.00m

C

R2=20 kgs

Solucin:

2EI. d

y M 10x 30(x 2) ............................(1)

dx 2

EI. dy 5x 2 15(x 2)2 C

.............................(2)

dx 1

EI.y 5 x3 5(x 2)2 C x C

........................(3)

3 1 2

Para determinar las dos constantes de integracin que son fsicamente iguales a la pendiente y ordenada en el origen, se aplican las condiciones de contorno siguientes.1. En A x=0, la ordenada y=0. Sustituyendo estos valores en la ecuacin (3) se obtiene C2=0. Recordemos que (x-2)3 no existe para valores de x menores que 2, que harn negativo al parntesis.2. En el otro apoyo, para x=3, la ordenada tambin es nula. Conocido C2=0 y sustituyendo en la ecuacin tres, se obtiene:0 5 (3)3 5(3 2)3 3C

3

Donde:

1

C 401 3

Determinadas las constantes de integracin y sustituidos sus valores en 2 y 3 se puede escribir las expresiones de la pendiente y de las ordenadas de la elstica en su forma convencional.Tramo AB (0

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