trabajo de resistencia vigas final
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Docente: ÁREA DE N°INF.001CONSTRUCCIÓN.
Título: RESISTENCIA DE MATERIALES. 28 de Noviembre 2013
RESISTENCIA DE MATERIALESINFORME
DISEÑO Y ANALISIS DE VIGAS
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Introducción
La viga es un elemento estructural que generalmente están sometidos a diferentes cargas que están aplicadas en varios puntos a lo largo de estas, principalmente las cargas son de forma perpendicular al eje de la viga, estas cargas son transmitidas a los apoyos y fundación.El tamaño y material de las vigas elegidas en proyectos de construcción debe ser riguroso, para asegurar que pueda soportar las diferentes cargas. Usualmente las vigas son barras prismáticas rectas y largas. Estas vigas debido a que están sometidas a diferentes cargas producen ciertas deformaciones, que puede ser diferente a lo largo de la vigaUna viga puede estar diseñada para cargas concentradas, cargas distribuidas, o una combinación de ambas.El procedimiento para elegir el diseño de una viga que pueda soportar de la mejor manera las cargas aplicadas está dado por ejercicios que a continuación se dará a conocer.
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Clasificación de vigas
a) Viga en voladizo: La viga con voladizo es aquella que está sujeta solamente en un extremo que impide que su eje pueda girar en ese punto.
b) Viga simplemente apoyada: Es cuando la viga está apoyada de forma libre en sus dos puntos.
c) Vigas con voladizos: Es cuando la viga está apoyada de forma libre en dos puntos, y que la viga continúa más allá de esos puntos.
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Fuerza cortante: La fuerza cortante es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje del elemento estructural (viga) que actúan a un lado de la sección considerada.
Momento flector: Suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un mismo lado de la sección respecto a un punto.
Diagrama de fuerza cortante y momento flector:
El diagrama de fuerza cortante y momento flector nos permiten ver una representación gráfica de los valores V y M a lo largo de los ejes de elemento estructural.El diagrama consta con eje x que es el largo de la viga y un eje (y) que vendría indicando V y M en los puntos de esa viga.
Vigas con cargas distribuidas.
Las cargas distribuidas son cargas que se distribuye en un tramo de la viga en relación a su longitud.Las ecuaciones de equilibrio estático se deben remplazar la carga distribuida por cargas con una unidad equivalente. Las cargas concentradas equivalente se determina calculando el área de carga y se ubican en el centro de gravedad del área de carga.
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Eje Neutro viga
El eje neutro es aquel que separa la zona comprimida de la zona traccionada. El eje esta indicada por una línea que lo atraviesa.
Viga cuadrática
Ix ´=b x h312
Viga Circular
Ix ´= π x r 44
Viga perfil IN
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Tensión normal en vigas de flexión
σ=M∗YI
(Kgf /cm2)
M= Momento flecta un determinado punto de la viga en Kgf/cm.Y= Distancia entre el eje neutro y una fibra determinada en cm.I= Momento de inercia de la sección respecto al E.N en cm4.
Tensión Máxima por flexión
σ max=Mmax∗YmaxI
(Kgf /cm 2)
M max= Momento absoluto máximo de la viga en Kgf/cm.Y= Distancia entre el eje neutro y una fibra más alejada del eje en cm.I= Momento de inercia de la sección respecto al E.N en cm4.
Modulo resistente (w)
w= IY max
σ max=Mmaxw
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Desarrollo ejercicio
1) determinar las ecuaciones de la fuerza cortante y del momento flector para cada tramo de la viga.
5000*4=20000 Kgf
5000*3=15000 Kgf
∑MB=0
20000*8-AY*6+4000*3+15000*1.5=0
AY=32416.67 Kgf
∑FY=0
-20000+32416.67-4000-15000+BY=0
8
BY=6583.33 Kgf
0≤x≤4
∑FY=0
-5000*x-V1=0
V1=-5000x
∑Mk1=0
5000x*( x2 )+M1=0
M1=-2500x2
4≤x≤7
∑FY=0
-20000+32416.67-V2=0
V2=12416.67
∑Mk2=0
9
20000(x-2)-32416.67(x-4)+M2=0
M2=-20000(x-2)+32416.67(x-4)
7≤x≤10
∑FY=0
-20000+32416.67-4000-5000(x-7)-V3=0
V3=8416.67-5000(x-7)
∑Mk3=0
20000(x-2)-32416.67(x-4)+4000(x-7)+5000(x-7)*(x−7)2
+M3=0
M3=-20000(x-2)+32416.67(x-4)-4000(x-7)-2500(x-7)2
X=0 V1=0 M1=0
X=4 V1=-20000 M1=-40000
X=4 V2=12416.67 M2=-40000
X=7 V2=12416.67 M2=-2749.99
X=7 V3=8416.67 M3=-2749.99
X=10 V3=-6583.33 M3=0
Determinar el x cuando V = 0
8416.67-5000(x-7)=0
X=8.68 V1=0 M1=4334.02
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2) Dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector
Diagrama de fuerza cortante
Diagrama de momento flector
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3) Diseñar las vigas con sección: a) rectangular, considerando h=3b y b) una de sección circular.
Бadm=1550Kgf/cm2
a)
h=3b
Mmax=40000*100
Mmax=4000000Kgf
Ymax=h2=3b2
Ymax=1.5b
I=b∗h3
12= b∗(3b)3
12= 27b
4
12
Бmax=|Mmax|∗Ymax
I
12
1550=4000000*1.5b*1227b4
b= 11.98 = b= 15cm
b)
Mmax=4000000
Ymax=r
I=π∗r4
12
бmax=4000000∗rπ∗r4
4
1550=4000000∗r∗4
π∗r 4
R=14.87cm =15cm
4) Calcular la tensiones máximas por flexión de la viga de sección rectangular diseñada y de la viga de sección circular
a)
Ymax=h2=452 = 22.5 cm
I=b∗h3
12=15∗45
3
12 =113906.25
Бmax=4000000∗22.5113906.25 =790.123Kgf/cm2
b)
13
Ymax=15cm
I=π∗154
4 = 39760.78
Бmax=4000000∗1539760.78 = 1509.025KgF/cm2
5)Calcular la tensión en la sección central en la viga rectangular en la fibra situada a 7cm del eje neutro.
X=5 M2=?
Y=7 Бmax=M∗YI
M2=-20000(5-2)+32416.67(5-4)
M2=-27583.33Kgf
Mmax=-27583.33*100
Mmax=2758333Kgf
Б=2758333∗7113906.25 = 169.51KgF/cm2
6) Empelando diseño elástico, seleccionar las vigas IN de menor sección que resistan las cargas a las que están sometida si el material es de acero.
a) A37-24
Бadm=0.6*Бf
Бadm=0.6*2400 = 1440Kgf/cm2
Modulo resistente
W≥MmaxБadm ≥
40000001440
IN60x106
A=135cm2
14
I=88200cm4
b) A42-27
Бadm=0.6*Бf
Бadm=0.6*2700 = 1620Kgf/cm2
Modulo resistente
W≥MmaxБadm ≥
40000001620
IN50x105
A=133cm2
I=63100cm4
7) Calcular las tensiones máximas por flexión de las vigas IN seleccionadas
a) IN60x106
Бmax=4000000∗3088200 = 1360.54KgF/cm2
b)IN50x105
Бmax=4000000∗2563100 = 1584.79KgF/cm2
8) Determinar las tensiones por flexión de las vigas In seleccionada en las fibras más alejadas del eje neutro, considerando la acción de momento flector a 1.3m de uno de los apoyos.
M1=-2500*(1.3)2
M1=-4225Kgf
a) IN60x106
Бmax=422500∗3088200 = 143.707KgF/cm2
b)IN50x105
15
Бmax=22500∗2563100 = 167.39KgF/cm2
9) Determinar las ecuaciones de la pendiente en cada tramo de la viga
Ѳ3=1EI ∫M3dx
Ѳ3 =1EI ∫[-20000(x-2)+32416.67(x-4)-4000(x-7)-2500(x-7)2]dx
Ѳ3 =1EI [−20000(x−2)
2
2+32416.67(x−4)2
2−4000(x−7)2
2−2500(x−7)3
3+c]
X=8.68 Ѳ3 =0
−20000(8.68−2)2
2+32416.67 (8.68−4)2
2−4000(8.68−7)2
2−2500 (8.68−7)3
3+c=0
C=100818.72
Ecuación de la pendiente 7≤x≤10
Ѳ3 =1EI [−20000(x−2)
2
2+32416.67(x−4)2
2−4000(x−7)2
2−2500(x−7)3
3+100818.72]
Ѳ2=1EI ∫M2dx
Ѳ2 =1EI ∫[-20000(x-2)+32416.67(x-4)]dx
Ѳ2 =1EI [−20000(x−2)
2
2+32416.67(x−4)2
2+c]
16
X=7 Ѳ2 = Ѳ3
−20000(7−2)2
2+32416.67 (7−4)2
2−4000(7−7)2
2−2500 (7−7)3
3+100818.72 =
−20000(7−2)2
2+32416.67 (7−4)2
2+c
C=100818.72
Ecuación de la pendiente 4≤x≤7
Ѳ2 =1EI [−20000(x−2)
2
2+32416.67(x−4)2
2+100818.72]
Ѳ1=1EI ∫M1dx
Ѳ1 =1EI ∫[-2500x2]dx
Ѳ1 =1EI [−2500 X
3
3+c]
X=4 Ѳ2 = Ѳ1
−2500∗43
3+c =−20000(4−2)2
2+32416.67(4−4 )2
2+100818.72
C=114152.05
Ecuación de la pendiente 0≤x≤4
Ѳ1 =1EI [−2500 X
3
3+114152.05]
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10) Determinar la pendiente en 2 puntos cualquiera de cada tramo de las vigas IN seleccionadas.
a) A37-24
E=2.1*1010
I=88200cm4:100 = 8.82*10-4
Tramo 0≤x≤4
X=1
Ѳ1 =1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [−2500∗13
3+114152.05]
Ѳ1= 6.118*10-3 = 0,006118 rad
X=2
Ѳ1 =1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [−2500∗23
3+114152.05]
Ѳ1= 5.80*10-3 = 0,005803 rad
Tramo 4≤x≤7
X=5
Ѳ2 = 1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [−20000(5−2)2
2+ 32416.67 (5−4)
2
2+100818.72]
Ѳ2= 1.459*10-3 = 0,001459 rad
X=6
Ѳ2 = 1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [−20000(6−2)2
2+32416.67 (6−4)2
2+100818.72]
Ѳ2= 3.052*10-3 = 0,0003052 rad
Tramo 7≤x≤10
X=8
Ѳ3 = 1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(8−2)2
2+32416.67 (8−4)
2
2−4000(8−7)
2
2−2500 (8−7)
3
3+100818.72]
18
Ѳ3=- 1.448*10-4 = -0,0001448 rad
X=9
Ѳ3 = 1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(9−2)2
2+32416.67 (9−4)2
2−4000(9−7)2
2−2500(9−7)3
3+100818.72]
Ѳ3= 7.345*10-5 rad
b) A42-27
E=2.1*1010
I=63100cm4:100 = 6.31*10-4
Tramo 0≤x≤4
X=1
Ѳ1 =1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [−2500∗13
3+114152.05]
Ѳ1= 8.552*10-3 = 0,008552 rad
X=2
Ѳ1 = 1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [−2500∗23
3+114152.05]
Ѳ1= 8.11*10-3 = 0,00811 rad
Tramo 4≤x≤7
X=5
Ѳ2 = 1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [−20000(5−2)2
2+32416.67 (5−4)2
2+100818.72]
Ѳ2= 2.04*10-3 = 0,00204 rad
X=6
Ѳ2 = 1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [−20000(6−2)2
2+32416.67 (6−4)2
2+100818.72]
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Ѳ2= 4.265*10-4 0,0004265 rad
Tramo 7≤x≤10
X=8
Ѳ3 = 1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(8−2)2
2+32416.67 (8−4)2
2−4000(8−7)2
2−2500 (8−7)3
3+100818.72]
Ѳ3= -2.023*10-4 = -0,0002023 rad
X=9
Ѳ3 = 1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(9−2)2
2+32416.67 (9−4)2
2−4000(9−7)2
2−2500(9−7)3
3+100818.72]
Ѳ3= 1.027*10-5 = 0,0001027 rad
11) Determinar las ecuaciones de la flecha en cada tramo de la viga.
Y3=1EI ∫Ѳ3dx
Y3=1EI ∫[−20000(x−2)
2
2+32416.67(x−4)2
2−4000(x−7)2
2−2500(x−7)3
3+100818.72
]dx
Y3=1EI [
−20000(x−2)3
6+32416.67(x−4)3
6−4000(x−7)3
6−2500(x−7)4
12+100818.72 x+C]
X=10 Y=0
−20000(10−2)3
6+32416.67 (10−4)3
6−4000(10−7)3
6−2500(10−7)4
12+100818.72 x+C
=0
C= -433645,65
Ecuación de la flecha 7≤x≤10
20
Y3=1EI [
−20000(x−2)3
6+ 32416.67(x−4)
3
6−4000(x−7)
3
6−2500(x−7)
4
12+100818.72 x−433645.65
]
Y2=1EI ∫Ѳ2dx
Y2=∫1EI [−20000(x−2)
2
2+32416.67(x−4)2
2+100818.72]dx
Y2=1EI [−20000(x−2)
3
6+ 32416.67(x−4)
3
6+100818.72 x+C]
X=7 Y3=Y2
[
−20000(x−2)3
6+ 32416.67(x−4)
3
6−4000(x−7)
3
6−2500(x−7)
4
12+100818.72 x−433645.65
]=−20000(x−2)3
6+32416.67(x−4)3
6+100818.72 x+C
C= -433645,65
Ecuación de la flecha 4≤x≤7
Y2=1EI [−20000(x−2)
3
6+32416.67(x−4)3
6+100818.72 x−433645.65]
Y1=1EI ∫Ѳ1dx
Y1=1EI ∫ [−2500 X
3
3+114152.05]dx
Y1=1EI [−2500 x
4
12+114152.05 x+C]
X=4 Y=0
21
[−2500∗44
12+114152.05∗4+C ]=0
C= -403274.87
Ecuación de la flecha 4≤x≤7
Y1=1EI [−2500 x
4
12+114152.05 x−403274.87]
12) Determinar la flecha en 2 puntos cualquiera de cada tramo de las vigas IN .
a) A37-24
E=2.1*1010
I=88200cm4:100 = 8.82*10-4
Tramo 0≤x≤4
X=1
Y1=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [−2500∗14
12+114152.05∗1−403274.87]
Y1= -0,0156 *100 = -1,56 cm
X=2
Y1=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [−2500∗24
12+114152.05∗2−403274.87]
Y1= -0,0096 *100 = -0,96cm
Tramo 4≤x≤7
X=5
22
Y2=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(5−2)3
6+32416.67 (5−4)
3
6+100818.72∗5−433645.65]
Y2= -0,00076*100 = -0,076 cm
X=6
Y2=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(6−2)3
6+32416.67(6−4)3
6+100818.72∗6−433645.65]
Y2= 0,006 cm
Tramo 7≤x≤10
X=8
Y3=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(8−2)3
6+32416.67(8−4)3
6−4000(8−7)3
6−2500(8−7)4
12+100818.72∗8−433645.65
]
Y3=-0,012 cm
X=9
Y3=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(8−2)3
6+32416.67(8−4)3
6−4000(8−7)3
6−2500(8−7)4
12+100818.72∗8−433645.65
]
Y3=-0,016cm
b) A42-27
E=2.1*1010
I=63100cm4:100 = 6.31*10-4
Tramo 0≤x≤4
X=1
23
Y1=1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [−2500∗14
12+114152.05∗1−403274.87]
Y1=-2,18 cm
X=2
Y1=1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [−2500∗24
12+114152.05∗2−403274.87]
Y1= -1,35 cm
Tramo 4≤x≤7
X=5
Y2=1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(5−2)3
6+32416.67 (5−4)3
6+100818.72∗5−433645.65]
Y2=-0,12 cm
X=6
Y2=1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(6−2)3
6+ 32416.67(6−4)
3
6+100818.72∗6−433645.65]
Y2= 0,009 cm
Tramo 7≤x≤10
X=8
Y3=1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(8−2)3
6+32416.67(8−4)3
6−4000(8−7)3
6−2500(8−7)4
12+100818.72∗8−433645.65
]
24
Y3=-0,017cm
X=9
Y3=1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(8−2)3
6+32416.67(8−4)3
6−4000(8−7)3
6−2500(8−7)4
12+100818.72∗8−433645.65
]
Y3=-0,022cm
13) Determinar la flecha máxima en cada viga IN seleccionada.
a) A37-24
E=2.1*1010
I=88200cm4:100 = 8.82*10-4
X=4
Y2=1
2.1∗1010∗8.82∗10−4 [
−20000(4−2)3
6+ 32416.67(4−4 )
3
6+100818.72∗4−433645.65]
Ymax= -0,0031 cm
b) A42-27
E=2.1*1010
25
I=63100cm4:100 = 6.31*10-4
X=4
Ymax =1
2.1∗1010∗6.31∗10−4 [
−20000(4−2)3
6+ 32416.67(4−4 )
3
6+100818.72∗4−433645.65]
Ymax =-0,0043cm
Conclusión
La viga es un elemento estructural muy importante en la construcción, se debe tener conocimientos a la hora de elegir el material y tipo de viga que será colocado para que soporte diferentes cargas a la cual estará sometida, de tal manera que estas tengan un buen comportamiento y cumplan con requerimientos de seguridad, funcionalidad y estética.Para lograr esto se requiere de un buen análisis y diseño estructural que se realiza a través de cálculos y operaciones. Siempre se debe elegir aquella viga que tenga menor sección y cumpla con el modulo resistente.