Quadratische Gleichungen und Namen

x² - x – 1 = 0 ist eine quadratische Gleichung in Normalform.

Die allgemeine (Null)Form der quadratischen Gleichung lautet:

ax² + bx + c = 0 mit a, b, c IR und a0

x ist die Variable, deren Lösung gesucht wird.a, b und c sind Formvariablen (Koeffizienten), die für rationale Zahlen stehen.

ax² heißt quadratisches Gliedbx heißt lineares Gliedc heißt konstantes Glied

Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied heißt reinquadratische Gleichung, sonst gemischtquadratische Gleichung.

Quadratische Funktionen und Namen

Die allgemeine Form der quadratischen Funktion lautet:

y = ax² + bx + c mit a, b, c IR und a0

Die einfachste quadratische Funktion lautet: y = x²

x -3 -2 -1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9

Die Wertetabelle dieser Funktion:

Der Graph dieser Funktion heißt Normalparabel.

Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung.

Zeichne den Graphen!

Wertetabellen erstellen

x² - x – 1 = 0

Berechne die y-Werte der Funktion y = x² - x - 1

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y

Zeichne den Graphen!

Lies die Nullstellen ab!

Der Fosbury-Flop 1968 in Mexiko

y = -(h-h1+h2):s² ·x² + (h +h2)

KugelstoßenBeim Kugelstoßen hängt die Wurfweite der Kugel im wesentlichen vona) der Abstoßgeschwindigkeit vb) der Abstoßhöhe hc) dem Abstoßwinkel ab.

Ein relativ günstiger Abstoßwinkel ist 45.

Man kann nun unter Verwendung von ein wenig Physik zeigen, dass für die Flugkurve der

Kugel unter diesen Voraussetzungen die folgende Gleichung gilt:

hxxv

y ²²

10

Berechnung von Funktionswerten mit Excel

Die folgende Tabelle zeigt einige ausgewertete Stöße von der Olympiade 1972 in München, die damals mit Hilfe einer Videokamera ausgewertet wurden:

Sind die gemessenen Stoßweiten in Übereinstimmung mit der Formel? Berechne auch den Fehler (w entspricht 100%).

hxxv

y ²²

10

Lösung und theoretische Flugkurve

Übungen Mh9S158 Nr. 4, 5

5. Stelle die Gleichung auf

Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen S. 161

032

1² xxBsp.:

1. Umstellen 32

1² xx

2. Als zwei Funktionen auffassen und zeichnen:

y = x² und y = -0,5x+3

3. Erste Koordinate der Schnittpunkte von Parabel und Gerade ablesen: x1 = -2; x2 = 1,5

4. Proben: (-2)² + 0,5·(-2) –3 = 0 und (1,5)² +0,5·1,5 –3 = 0

5. Lösungsmenge: IL={-2;1,5}

Übungen Mh9S161Nr7

a. x² =-2xd. x² = -1,5x +1 g. x² = 0,9x – 0,5 j. x² = -5x-6,25

b. x² = 2,25 e. x² = -1,5x –3 h. x² = 0,9x +3,6 k. x² = -5x -7

c. x² = -0,5x f. x² = 2x +3 i. x² = -0,5x + 3 l. x² = x +2

Lösungena. x² =-2xb. x² = 2,25 c. x² = -0,5x d. x² = -1,5x +1 e. x² = -1,5x –3 f. x² = 2x +3 g. x² = 0,9x – 0,5 h. x² = 0,9x +3,6 i. x² = -0,5x + 3 j. x² = -5x-6,25 k. x² = -5x -7 l. x² = x +2

IL= {-2; 0}IL= {-1,5; +1,5}IL= {-0,5; 0}IL= {-2; 0,5}IL= {}IL= {-1; 3}IL={}IL={-1,5; 2,4}IL= {-2; 1,5}IL={-2,5}IL= {} IL= {-1; 2}

Anzahl der Lösungen

Mh9S160Nr5

Setze - soweit möglich - für eine Zahl so ein, dass die Gleichung

(1) zwei Lösungen, (2) genau eine Lösung, (3) keine Lösung besitzt.

a. x² = b. x² = ·xc. x² = ·x – 2,25d. x² = -4·x +

zwei Lsg. eine Lsg. keine Lsg.

4 0 -1

1 0 geht nicht

-4 -3 -2

3 4 5

Lösung der reinquadratischen Gleichung

Zeichnerische Lösungen sind weder genau noch elegant. Darum werden gesucht die Lösungen zu ...

a. 9x² - 16 = 0

b. 2x² + 20 = 34

c. 06²3

2x

Mh9S162Nr2

a. x1=-5 und x2 = +5

b. keine Lösung

c. x = 0

d. y1=-0,4 und y2 = +0,4

e. keine Lösung

f. x1=-9 und x2 = +9

g. x1=-5und x2 = + 5

h. z1=-4 und z2 = +4

VerallgemeinerungEine reinquadratische Gleichung kann man in die Form x² = r bringen (r ). Die Lösungen sind (in Abhängigkeit von r):

Aufgaben Mh9S163Nr8

a. x² - 20x = 144 – 20x x² = 144 x1= - 12; x2 = +12b. 9x² +9x-7x+77=86+2x x² = 1 x1= - 1; x2 = +1c. 3x² +21x+5x²-10x=11x+60,5 x² = 7,5625 x1= - 2,75; x2 = +2,75d. 14x²-56x=45-110x+9x²+54x x² = 9 x1= - 3; x2 = +3e. x²+8x+16+x²-8x+16=34 x² = 1 x1= - 1; x2 = +1f. z² - 8z +5z -40= -3z -24 z² = 16 x1= - 3; x2 = +3 g. 25x²+70x+49-49x²-70x-25=-72 x² = 4 x1= - 2; x2 = +2h. 1/3x²+5/3-1/5x²+1/5 = 4+ x² = 16 x1= - 4; x2 = +4

Aufgaben Mh9S163Nr9+11x²=9/4x²=0x²=49 x²=0,1

6

x²=8 x²=-8

6x²=3456x² =576

x=24

Aufgaben Mh9S163Nr10

a. x² +16 = 41 x² = 25 x1= - 5; x2 = +5

b. 4x² = 75+x² x² = 25 x1= - 5; x2 = +5

c. x/2 · x/4 = 50 x² = 400 x1= - 20; x2 = +20

Die reinquadratische Gleichung und die reinquadratische Funktion

Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung der Form (x-d)²=r

Zum Festigen und Weiterarbeiten S164 Nr2-4

x+5 =7 x-4 =0 x-1 =3 IL={}

x² + 8x +16 x² -14x +49 x² + 5x +6,25 x² - 3,5x +49/16

(x+6)² (x-2,5)² (x-3,5)² (x-2/5)²

14x 2,4y 9 9/16

(x-6)² = 25 x1= -19; x2 = 31 (x+9/2)² = 9/4 x1= -6; x2 = -3 (y – 3)² = 11

Übungen Mh9S164Nr5

Aufgaben Mh9S165Nr6-8

6a. (1) x² - 4x +4; x² + 1,2x +0,36; ...

6b. (1) (x+6)² (2) (x-9)² ...

6c. (1) x² + 8/5x + 16/25 (2) z² - 2,6z +1,69 ...

Mh9S165Nr7

a. (x–3)² = 36 Ix – 3I=6 x1=9 oder x2= – 3b. (x+4)² = 49 Ix+4I=7 x1=3 oder x2= – 11c. (x–4)² = 0 Ix–4I=0 x1=4 oder x2= 4d. (x–0,9)² = 0,25 Ix – 0,9I=0,5 x1=1,4 oder x2= 0,4e. (x+5/2)² = 81/4 Ix +5/2I=9/2 x1=2,0 oder x2= – 7f. (x–0,5)² = 1,44 Ix – 0,5I=1,2 x1= – 0,7 oder x2= 1,7g. (z+8)² = 7 Iz +8I=7 z1=–8+ 7 oder z2= –8– 7 h. (y–1,5)² = 5 Iy –1,5I= 5 y1 =1,5+ 5 oder y2=1,5– 5 i. (y–2,5)² = 8 Iy –2,5I= 8 y1 =2,5+ 2·2 oder y2=2,5– 2·2

Mh9S165Nr8

a. (x+5)² = 36 Ix +5I=6 x1=1 oder x2= – 11b. (x–2)² = 16 Ix – 2I=4 x1=6 oder x2= – 2c. (x+0,5)² = 0 Ix +0,5I=0 x1=–0,5 oder x2= –0,5

Die gemischtquadratische Gleichung und die gemischtquadratische Funktion

Lösung durch quadratische Ergänzung

Mh9S166Nr2+3

a. x² – 10x +25=49 |x–5|=7 x½= +5 ± 7 x1 = –2 ; x2 = 12b. x² +2x +1 = 9 |x+2|= 3 x½= –2 ± 3 x1 = –5 ; x2 = +1 c. x² – 7x +3,5= 6,25 |x–3,5|=6,25 x½= +3,5 ± 2,5 x1 = 1 ; x2 = 6 d. y² +8y +16 = 25 |y+4|=5 x½= –4 ± 5 y1 = –9 ; y2 = 1 e. z² – 6z +9=1 |z–3|=1 x½= +3 ± 1 x1 = 2 ; x2 = 4f. x² – 4x +4=3 |x–2|= 3 x½= +2 ± 3 x1 = –2 – 3 ; x2 = –2 + 3 g. x² – 5x +6,25= 0,25 |x–2,5|=0,5 x½= +2,5 ± 0,5 x1 = 2 ; x2 = 3h. y² – 3y +2,25= 6,25 |x–1,5|=2,5 x½= +1,5 ± 2,5 x1 = –1 ; x2 = 4

4 4 25 25 2,25 2,25

Mh9S166Nr4

(1) x(x+3)=0 IL={–3;0} (2) x(x–0,9)=0 IL={0; 0,9}(3) x(5x–4)=0 IL={0; 4/5} (4) z(–2z+7)=0 IL={0; 3,5}

Mh9S166Nr5Erst in Normalform

bringen! Ganze Gleichung durch 2 teilen

b (1) x² +8x +7 =0 x² + 8x + 16=9 x½= –4 ± 3 x1 = –7 ; x2 = –1 b (2) x² + x –6 =0 x² + x +0,25=6,25 x½= –0,5 ± 2,5 x1 = –3 ; x2 = 2 b (3) x² +12x –28=0 x² +12x+36=64 x½= –6 ± 8 x1 = –14 ; x2 = 2 b (4) y² +10y +24=0 y² +10y +25=1 y½= –5 ± 1 y1 = –6 ; y2 = – 4 b (5) z² –15z +54 =0 z² –15z +56,25=2,25 z½=7,5 ± 1,5 z1 = 6 ; z2 = 9 b (6) y² –8/3y+7/9=0 y² –8/3y +64/36=1 y½= +4/3 ± 1 y1 = 2 1/3 ; y2 = 1/3

Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung

x² + px + q = 0 | –q

x² + px = –q | + 2

2

p

x² + px+ = –q+2

2

p

2

2

p

| T (1. bin. Formel)2

2

px =

2

2

p

–q |

2

px = q

p

2

2

x = qpp

2

22

x1 = x2 = qpp

2

22q

pp

2

22

, der

Ausdruck unter der Wurzel, grenzt die Lösungen voneinander ab. Er heißt Diskriminante D (der Normalform)

qp

2

2

Mh9S167Nr7x² p x -q = 0 x1 x2

a. x² 0 x -8 = 0 -2,83 2,83x² -8 x 0 = 1 0 8

b. x² 6 x -7 = 0 -7 1x² 8 x -9 = 1 -9 1

c. x² -4 x -5 = 0 -1 5x² -5 x 4 = 1 1 4

d. x² -4 x 5 = 0x² 4 x -5 = 1 -5 1

e. x² 0 x 8 = 0x² 8 x 0 = 1 -8 0

f. x² -4 x 3 = 0 1 3x² -3 x -4 = 1 -1 4

g. x² 5 x 4 = 0 -4 -1x² 4 x 5 = 1

h. x² -8 x -20 = 0 -2 10x² 6 x -16 = 1 -8 2

i. x² 16 x 15 = 0 -15 -1x² 15 x -16 = 1 -16 1

j. x² 0,6 x -0,4 = 0 -1 0,4x² -2 x -0,8 = 1 -0,4 2

k. x² 0,8 x 0,2 = 0 -0,4 -0,4x² 0,6 x 0,1 = 1 -0,4 -0,2

l. x² -0 x -0,6 = 1 -0,6 1x² -1 x -0,4 = 2 -0,4 1

Mh9S167Nr11

x² p x -q = 0 x1 x2a. x² 20 x 36 = 0 -18 -2b. x² 20 x 100 = 0 -10 -10c. x² 20 x 125 = 0d. x² 20 x -125 = 0 -25 5e. x² -7 x 6 = 0 1 6f. x² -11 x 31 = 0g. x² -11 x -5,8 = 0 -1 12h. x² 12 x 33 = 0 -8 -4i. x² 21 x 20 = 0 -20 -1j. x² -3 x 0,3 = 0 0,1 2,9k. x² 8 x -20 = 0 -10 2l. x² 8 x 16 = 1 -4 -4

Normalform der quadratischen Gleichung und quadratische Funktion

Überprüfung 1

1. Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in Normalform: x² + px + q = 0

a) Gib die Lösungsformel an: x½=

b) Gib die Diskriminante D an: D =

c) Gib an, wann die quadratische Gleichung keine Lösung hat: Wenn D < 0 istd) Gib an, wann die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat: Wenn D = 0 ist

qpp

2

22

qp

2

2

Überprüfung 2

x² +p x +q = 0  x1 x2

x² +7 x +12 = 0   -4 -3

x² -5 x -24 = 0   -3 8

x² -2 x -35 = 0   -5 7

x² -7 x +10 = 0   2 5

x² -21 x +20 = 0   1 20

x² +2 x -80 = 0   -10 8

x² +4 x +3 = 0   -3 -1

x² -22 x +72 = 0   4 18

x² -6 x -27 = 0   -3 9

x² -1 x -12 = 0   -3 4

Überprüfung 3x² +p x +q = 0

 x1 x2

x² 0 x 0 = 0 

0 0

x² -2 x +0 = 0 

0 2

x² 0 x -1 = 0 

-1 +1

x² +3 x 0 = 0 

-3 0

x² 0 x -4 = 0 

-2 +2

x² 0 x +1 = 0 

leer leer

Überprüfung 44. Zwei Zusatzpunkte: Der französische Mathematiker und Jurist François Viète (lat. Vieta 1540-1603) entdeckte einen Zusammenhang zwischen den Lösungen x1 und x2 und den Koeffizienten p und q der

quadratischen Gleichung in Normalform. Vermutung: x1 + x2 = -p; x1 x2

=q Voraussetzung: x1 und x2 sind die Lösung der quadratischen Gleichung x² + px + q =

0

Behauptung: x1 + x2 = -p und x1 x2 =q

Beweis: + =

qpp

2

22

q

ppq

ppq

pp2222

222222

qpp

2

22

Die Mitternachtsformel

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:ax² + bx+ c = 0. Für a 0 (sonst wäre es keine quadratische Gleichung) lässt sich die Gleichung durch a dividieren, um die Normalform zu erhalten:

b cx² x 0

a a Hier ist p = b/a und q = c/a. Also

2

1/ 2

b b cx

2a 2a a

Der Wurzelterm lässt sich noch vereinfachen

1/ 2

b b² 4acx

2a 4a²

Und jetzt teilweise die Wurzel ziehen ...

1/ 2

b b² 4acx

2a

Vergleiche die Lösungen in deiner Formelsammlung S. 4 unten!

Anwenden der Mitternachtsformel2

1;2

b b 4acx

2a

a. a=1; b=9; c=20 x1= -5 und x2= -4

b. a=1; b=-15; c=57 D= 15² -4·57=-3 Keine Lösung

c. a=4; b=68; c=289 D= 68² -4·4 · 289=0 x=-68/8=-8,5

2

1;2

9 9 4 1 20x

2 1

Parameter der p-q-Formel2

1;2

p px q

2 2

2

1;2

8a 8ax 7a²

2 2

D = 9a² 9a² > 0 zwei Lösungen a² >09a² = 0 eine Lösung a² =0; a =09a² < 0 keine Lösung (nicht möglich)

2

1;2

p px 1

2 2

D = p²/4 -1 p²/4 -1 > 0 zwei Lösungen p² > 4 p²/4 -1 = 0 eine Lösung p² = 4; p1= -2; p2=2 p²/4 -1 < 0 keine Lösung p² < 4

Mh9S170Nr62

1;2

p px q

2 2

a. x1= –9; x2 = 1b. x1= –4; x2 = 1c. x1= 1; x2 = 2d. leere. x1= –15; x2 = 4,2f. x1= –3,53; x2 = 1,28g. leerh. x1= 0,2; x2 = 2 i. x1= 0,46; x2 = 6,54

Mh9S170Nr72

1;2

p px q

2 2

a. x1= 1 ; x2 = 21b. x1= –6; x2 = -2c. leerd. x1= –3,5; x2 = 0,5 e. x1= –0,5; x2 = 1,5f. x1= –2,2; x2 = 2

Mh9S170Nr8

a. x1= -6,5 ; x2 = 8b. leerc. x1= -4,56 ; x2 = -0,44d. x1= –1,2; x2 = 2,67 e. leerf. x = 2,4g. x = -1,4h. x1= -6,45 ; x2 = -1,55i. leer

2

1;2

b b 4acx

2a

Mh9S170Nr9

a. D < 0 keine Lösungb. D = 9 zwei Lösungen c. D = 0 eine Lösung d. D = 4 zwei Lösungen e. D = -104 keine Lösungf. D = 900 zwei Lösungeng. D = 0 eine Lösungh. D = 16 zwei Lösungeni. D = 169 zwei Lösungen

D b² 4ac

Mh9S170Nr10

a. D = 289 zwei Lösungen 12 und -5b. D = 529 zwei Lösungen 14 und –9c. D = -16 keine Lösung j. D= -99,8 keine Lösungd. D = -9 keine Lösung k. D = 11,6 zwei Lösungen 0,83 und –0,3 e. D = 441 zwei Lösungen 21 und 0f. D = 74 zwei Lösungen 5 und –3,6g. D = 0 eine Lösung 1,9 l. D= 6889 zwei Lösungen 7,5 und –0,8 h. D = 0 eine Lösung 0,15i. D = 210 zwei Lösungen 6 und –8,5

D b² 4ac

Mh9S170Nr11Gesucht werden zunächst die x Koordinaten der Schnittpunkte:-7,3x –12 = x² Lösungen: x1 = -2,5 und x2 = -4,8 Die dazugehörigen y Koordinaten findet man durch Einsetzen:y1 = (-2,5)² = 6,25 und y2 = (-4,8)² = 23,04

Gemeinsame Punkte sind (-2,5; 6,25) und (-4,8; 23,04)

Mh9S170Nr12

a. D = a² -16a Eine Lösung für 0 = a² - 16a = a(a-16) Also a1 = 0 a2 = 16Zwei Lösungen für a² - 16a > 0. Dies gilt füra < 0 und für a > 16 (Siehe Graph)Keine Lösung für a² - 16 < 0. Dies gilt für0<a<16

b. D = 4 –4aEine Lösung für 0 = 4(1-a). Also a = 1Zwei Lösungen für 4 – 4a >0 Also a < 1Keine Lösung für 4 – 4a <0 Also a > 1

D b² 4ac

D

a

Keine Lösung

zwei L

ösungen

zwei L

ösungen

Eine Lösung

Mh9S170Nr13

a. (1) a=1 x² -5x = 0 x1 = 0 x2 = 5(1) a=0 x² -0 = 0 x1 = 0 x2 = 0(1) a=-4 x² +20x = 0 x1 = 0 x2 = -20

b. D = 25a² zwei Lösungen für 25a² > 0; also a² >0 Das gilt für alle a R \ {0} eine Lösung für 25a² = 0; also a² = 0 Das gilt für alle a = 0 keine Lösung für 25a² < 0; also a² < 0 Das ist nicht möglich

c. x² -5ax = 0 x1;2 = 5a/2 ± Wurzel( 25a²/4 –0); x1 = 0 x2 = 5a. 5a = 6 für a= 6/5

D b² 4ac

Mh9S170Nr14

a. Die Diskriminante für a. ist D = 4² - 4a·(-5) = 16 + 20aEine Lösung für D = 0, also 16 + 20a = 0 a = -0,8Zwei Lösungen für D > 0, also 16 + 20a > 0 a > -0,8Keine Lösung für D < 0, also 16 + 20a < 0 a < -0,8

b. Die Diskriminante für b. ist D = 8² - 4·a·a = 64 –4a² Eine Lösung für D = 0, also 64 – 4a² = 0 a1 = -4 und a2 = +4Zwei Lösungen für D > 0, also 64 – 4a² > 0 a² < 16Keine Lösung für D < 0, also 64 – 4a² < 0 a² > 16

D b² 4ac