fokker-planck gleichung - private...
TRANSCRIPT
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Fokker-Planck Gleichung
Fabian Faulstich
03.07.2015
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
1 Motivation
2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
3 Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators
4 Beispiel
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
1 Motivation
2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
3 Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators
4 Beispiel
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Pollenteilchen im Wassertropfen
Klassisch:Auf das Pollenteilchen wirkt die Stoke’sche Reibung
FR = 6π r η v =: −αv .
Mit Newton folgtmv + αv = 0
v(0) = v0
}(1)
eine deterministische DGL mit der Losung
v(t) = v0 e−γt , mit γ = α/m = 1/τ . (2)
Problem: In der statistischen Physik kommt es zu thermischenFluktuationen, welche in der obigen Behandlung nicht berucksichtigtwerden.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Grundlagen der statistische Physik
Ziel:Behandlung von Systemen, welche aus einer großen Anzahl vonTeilsystemen bestehen, aber nur Aussagen uber die Gesamtheit vonInteresse sind.
Idee:Betrachtung von statistischen Ensembles
In der statistischen Physik ist ein Ensemble eine Menge gleichartigpraparierter Systeme von Teilchen im thermodynamischenGleichgewicht
Zentrales Gesetz:Aquipartitionstheorem
〈E 〉 =1
2kBT
1.dim.⇐⇒ 1
2m〈v2〉 =
1
2kBT (3)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Pollenteilchen im Wassertropfen
In einem Tropfen Wasser sind ∼ 2, 23 1021 H2O-Molekule.→ Zu großes System von gekoppelten DGLn.Statistische Physik:
Teilchen Zahl und Volumen des Systems ist konstant.Energieaustausch zwischen Pollen- und H2O-Teilchen moglich.(Gibbs-Ensemble)
Energieaustausch → Anderung der Kraft, die auf das Pollenteilchenwirkt. Fluktuationskraft Ff (t)
Damit wird (1) zu
F (t) = FR(t) + Ff (t) ⇔ v + γ v = Γ(t) :=Ff (t)
m. (4)
Dies ist eine stochastische DGL, da Γ(t) eine stochastische Kraft(Langevin Kraft) ist.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Pollenteilchen im Wassertropfen
Was wissen wir uber Γ(t)?
〈Γ(t)〉 = 0
〈Γ(t)Γ(t ′)〉 = 0, fur |t − t ′| ≥ τ0〈Γ(t)Γ(t ′)〉 = qδ(t − t ′)
Die genaue Darstellung der Langevin Kraft ist abhangig des Systems.
Die Geschwindigkeit hangt uber die Ableitung mit der Kraft zusammen→ Geschwindigkeit ist eine stochastische Große.
Wir sind an der Dichtefunktion der Geschwindigkeitsverteilunginteressiert.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Pollenteilchen im Wassertropfen
Die Gleichung, die die Dichtefunktion beschreibt ist von der Form
∂ W (v , t)
∂t= γ
∂ v W (v , t)
∂v+ γ
kB T
m
∂2 W (v , t)
∂v2. (5)
Gleichung (5) ist eine Fokker-Planck Gleichung.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
1 Motivation
2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
3 Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators
4 Beispiel
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Markov-Prozess in stetiger Zeit
Markov-Prozess in stetiger Zeit
Xt , t ≥ 0 ist ein Markov-Prozess in stetiger Zeit, falls fur alle0 ≤ s0 < s1... < sn < s und alle moglichen Zustande i0, ..., in, i , j gilt
P(Xt+s = j |Xs = i ,Xsn = in, ...,Xs0 = i0) = P(Xt = j |X0 = i) (6)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Chapman-Kolmogorow-Gleichung
Fur einen Markov-Prozess in stetiger Zeit gilt:
P(Xt3 = i3,Xt2 = i2,Xt1 = i1)
= P(Xt2 = i2,Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2,Xt1 = i1)
= P(Xt1 = i1)P(Xt2 = i2|Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2)
⇔ P(Xt3 = i3,Xt1 = i1) =
∫P(Xt3 = i3,Xt2 = i2,Xt1 = i1)di2
= P(Xt1 = i1)
∫P(Xt2 = i2|Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2)di2
(7)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Chapman-Kolmogorow-Gleichung
Mittels Division der Gleichung (7) durch P(Xt1 = i1) erhalten wir dieChapman-Kolmogorow Gleichung
Chapman-Kolmogorow Gleichung
P(Xt3 = i3|Xt1 = i1) =
∫P(Xt2 = i2|Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2)di2 .
(8)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Kramers-Moyal-Entwicklung (Ruckwarts)
Wir betrachten drei Zeiten t ≥ t ′ + τ ≥ t ′. Nach Chapman-Kolmogorovgilt:
P(Xt = x |Xt′ = x ′) =
∫P(Xt = x |Xt′+τ = x ′′)P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′)dx ′′ .
(9)
Weiter ist
P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′) =
∫P(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)δ(y − x ′′)dy . (10)
Wir betrachten nun die Taylorentwicklung der δ-Distribution um x ′ − x ′′
δ(y − x ′′) =∞∑n=0
(y − x ′)n
n!
(∂
∂x ′
)n
δ(x ′ − x ′′) . (11)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Kramers-Moyal-Entwicklung (Ruckwarts)
Setzt man (11) in (10) ein, so erhalt man:
P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′) =
∫P(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)δ(y − x ′′)dy
=
∫P(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)
∞∑n=0
(y − x ′)n
n!
(∂
∂x ′
)n
δ(x ′ − x ′′)dy
=∞∑n=0
1
n!
∫(y − x ′)nP(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)dy
(∂
∂x ′
)n
δ(x ′ − x ′′)
=
(1 +
∞∑n=1
1
n!Mn(x ′, t ′, τ)
(∂
∂x ′
)n)δ(x ′ − x ′′) .
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Kramers-Moyal-Entwicklung (Ruckwarts)
Wir betrachten zunachst (9):
P(Xt = x |Xt′ = x ′)
=
∫P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′)P(Xt = x |Xt′+τ = x ′′)dx ′′
=
∫ (1 +
∞∑n=1
1
n!Mn(x ′, t ′, τ)
(∂
∂x ′
)n)δ(x ′ − x ′′)P(Xt = x |Xt′+τ = x ′′)dx ′′
=P(Xt = x |Xt′+τ = x ′) +∞∑n=1
1
n!Mn(x ′, t ′, τ)
(∂
∂x ′
)n
P(Xt = x |Xt′+τ = x ′)
(12)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Kramers-Moyal-Entwicklung (Ruckwarts)
Bestimmung des Differenzenquotient. Mit (12) folgt
P(Xt = x |Xt′ = x ′)− P(Xt = x |Xt′+τ = x ′)
= −τ ∂P(Xt = x |Xt′ = x ′)
∂t ′+O(τ 2)
=∞∑n=1
1
n!Mn(x ′, t ′, τ)
(∂
∂x ′
)n
P(Xt = x |Xt′+τ = x ′)
= τ
∞∑n=1
D(n)(x ′, t ′)
(∂
∂x ′
)n
P(Xt = x |Xt′+τ = x ′) +O(τ 2) .
Mit Taylorentwicklung von Mn(x , t, τ)
Mn(x , t, τ)
n!= 0+D(n)(x , t)τ+O(τ 2)⇒ D(n)(x , t) =
1
n!limτ→0〈(Xt+τ−Xt)
n〉∣∣Xt=x
.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Kramers-Moyal-Entwicklung (Ruckwarts)
Betrachten wir nur die Terme, welche linear in τ sind, so erhalten wir
∂P(Xt = x |Xt′ = x ′)
∂t ′= −L†KM(x ′, t ′)P(Xt = x |Xt′ = x ′) , (13)
wobei
L†KM(x , t) =∞∑n=1
D(n)(x , t)
(∂
∂x
)n
LKM(x , t) =∞∑n=1
(− ∂
∂x
)n
D(n)(x , t)
(14)
LKM(x , t) ist der Kramers-Moyal-Operator. Aquivalent zu (13) findet man
∂fX (x , t)
∂t= LKM fX (x , t), (15)
mit der Dichtefunktion f .Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Satz von Pawula
Satz von Pawula
Fur positive Ubergangswahrscheinlichkeiten P(x , t|x ′, t ′) bricht dieEntwicklung (15) (bzw. (13)) entweder nach dem ersten oder demzweiten Term ab. Ist dies nicht der Fall, so bricht sie niemals ab.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Satz von Pawula
Wir betrachten∫ ∫(f (x)g(y)− f (y)g(x))2P(x)P(y) dxdy ≥ 0 ,
was fur positive Funktionen P richtig ist. Dies ist aquivalent zu
Verallgemeinerte Schwartzsche Ungleichung
(∫f (x)g(x)P(x) dx
)2
≤∫
f 2(x)P(x)dx
∫g2(x)P(x) dx . (16)
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Satz von Pawula
Mit f (x) = (x − x ′)n, g(x) = (x − x ′)n+m und P(x) = P(x , t + τ |x ′, t ′),wobei n,m ≥ 1 folgt
M22n+m ≤ M2n M2n+2m . (17)
Eine Taylorentwicklung mit der Annahme n, m ≥ 1 fuhrt auf
(2n + m)!(D(2n+m))2 ≤ (2n)!(2n + 2m)!D(2n)D(2m+2n) (18)
Mit r = m + n geht aus (18) hervor, dass
D(2n) = 0⇒ D(2n+1) = D(2n+2) = ... = 0 (n ≥ 1)
D(2r) = 0⇒ D(r+n) = 0 (n = 1, ..., r − 1)
⇔ D(2r−1) = D(2r−2) = ... = D(r+1) = 0 (r ≥ 2)
(19)
Insgesamt also
D(2r) = 0⇒ 0 = D(3) = D(4) = ...(r ≥ 1) (20)
Damit folgt der Satz von Pawula.Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Fokker-Planck-Gleichung
Bricht die Kramers-Moyal-Entwicklung nach dem zweiten Term ab, soerhalt man die Fokker-Planck-Gleichung
Fokker-Planck-Gleichung
∂W (x , t)
∂t= − ∂
∂xD(1)(x , t)W (x , t)+
∂2
∂x2D(2)(x , t)W (x , t) = LFPW (x , t)
(21)D(1) ist der Drift-Koeffizient und D(2) der Diffusions-Koeffizient.
LFP = − ∂
∂xD(1)(x , t) +
∂2
∂x2D(2)(x , t) (22)
ist der Fokker-Planck-Operator
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
1 Motivation
2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
3 Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators
4 Beispiel
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Settings
Wir betrachten hier die Langevin-Gleichung
dx
dt= −∇V (x)+
√2
γ
dw
dt⇔ x(t) =
∫ t
0
(−∇V (x) +
√2
γ
dw
dt
)dt (23)
w ist hier eine Brown’sche Bewegung. Nun gilt
D(1) = limτ→0
1
τ〈x(t + ∆t)− x(t)〉 = −∇V
D(2) =1
2limτ→0
1
τ〈(x(t + ∆t)− x(t))2〉 =
1
γ
und damit folgt die Fokker-Planck-Gleichung
∂u(x , t)
∂t= ∇ · (u∇V ) +
1
γ∆u
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Berechnung der Kramers-Moyal-Koeffizienten
D(1) = limτ→0
1
τ〈x(t + ∆t)− x(t)〉
= limτ→0
1
τ
(∫ t+τ
t
−∇V (x)dt +
√2
γ〈∫ t+τ
t
dw〉
)= −∇V (x)
In obiger Gleichung wurde verwendet, dass die Langevin-Kraft imErwartungswert Null ergeben muss. Alternativ kann uber dieMartingaleigenschft der Brown’schen Bewegung diskutiert werden.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Berechnung der Kramers-Moyal-Koeffizienten
D(2) =1
2limτ→0
1
τ〈(x(t + ∆t)− x(t))2〉
=1
2limτ→0
1
τ〈(∫ t+τ
t
−∇V (x)dt +
√2
γ
∫ t+τ
t
dw)2〉
=1
2limτ→0
1
τ
((
∫ t+τ
t
−∇V (x)dt)2 +2
γ〈(∫ t+τ
t
dw)2〉)
=1
2limτ→0
1
τ
2
γ〈∫ t+τ
t
12dt〉 =1
γ
In der letzten Gleichung wurde die Ito-Isometrie
〈
(∫ T
0
Xt dWt
)2
〉 = 〈∫ T
0
X 2t dt〉,
verwendet.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Eigenschaften
Die Boltzmann-Verteilung ist Eigenfunktion des FPO zum EigenwertNull.
Der FPO ist Symmetrisch bzgl. des Gibbs-Maßes
Folgen fur dem Transferoperator
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Eigenfunktion des Fokker-Planck-Operators
Wir betrachten die Dichtefunktion der Boltzmann-Verteilung
φ0(x) = Ce−γV (x) .
Dann gilt:
LFPφ0(x) =C
γ∆e−γV +∇ ·
(Ce−γV∇V
)=
C
γ
(γ2e−γV (∇V )2 − γe−γV ∆V
)+ Ce−γV ∆V − Cγe−γV (∇V )2
= Cγe−γV (∇V )2 − Ce−γV ∆V + Ce−γV ∆V − Cγe−γV (∇V )2
= 0
Also ist die Dichtefunktion der Boltzmann-Verteilung Eigenfunktion vonLFP zum Eigenwert Null.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Symmetrie bzgl. Gibbs-Maß
Mit Hilfe der Eigenfunktion φ0 konnen wir ein SKP 〈·, ·〉φ0 durch
〈f , g〉φ0 =
∫uv
1
φ0dµ(x)
definieren. Das Produkt der Funktionen wird bzgl. des Gibbs-Maßesintegriert. Der Operator LFP ist symmetrisch bzgl. dieses SKP.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Symmetrie bzgl. Gibbs-Maß
〈u, LFPv〉φ0 =
∫uLFPv
1
φ0dµ(x) =
∫u
(∇ · (v∇V ) +
1
γ∆v
)CeγV dµ(x)
=
∫CeγV u ∇ ·
(v∇V +
1
γ∇v)dµ(x)
= −∫ (
CeγV∇u + uCγeγV∇V)(
v∇V +1
γ∇v)dµ(x)
= −∫ (
1
γ∇u + u∇V
)(vCγeγV∇V + CeγV∇v
)dµ(x)
= −∫ (
1
γ∇u + u∇V
)(v∇CeγV + CeγV∇v
)dµ(x)
= −∫ (
1
γ∇u + u∇V
)∇(CeγV v
)dµ(x)
=
∫ (∇ · (u∇V ) +
1
γ∆u
)vCeγV dµ(x) = 〈LFPu, v〉φ0
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Transferoperator
Wir betrachten die Anfangsverteilung u(x , 0) =: u0(x)
Ttu0(x) := etLFPu0(x) = P(x , t|u0(x)) = u(x , t) .
Tt ist der Transferoperator. LFP symmetrisch bzgl. 〈·, ·〉φ0 ⇒ Tt
symmetrisch bzgl. 〈·, ·〉φ0 . Mit dem Spektralsatz folgt nun
u(x , t) = Ttu0(x) = etLFPu0(x) =∞∑k=1
e−λk t〈u0(x), φk(x)〉φ0φk(x) ,
wobei φk die Eigenfunktionen von LFP zu den Eigenwerten −λk (λk > 0)sind.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
1 Motivation
2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
3 Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators
4 Beispiel
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Wir betrachten erneut das Pollenteilchen im Wassertropfen
v(t) + γ v(t) = Γ(t)⇔ v(t) = v0e−γt +
∫ t
0
e−γ(t−t′)Γ(t ′)dt ′
Die Koeffizienten der Kramers-Moyal-Enwicklung sind
D(1)(v , t) = limτ→0
1
τ〈(v(t + τ)− v(t))1〉
∣∣v(t)=v
= −γv
D(2)(v , t) =1
2limτ→0
1
τ〈(v(t + τ)− v(t))2〉
∣∣v(t)=v
=γkBT
m.
Damit erhalten wir die Fokker-Planck-Gleichung
∂ W (v , t)
∂t= γ
∂
∂v(v W (v , t)) + γ
kB T
m
∂2
∂v2W (v , t) .
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Wir nehmen anlimt→∞
W (v , t) = W (v) (24)
Dieses Verhalten (24), nennt man ergodisch. Dann gilt die FPG
0 = γ∂
∂v(v W (v , t)) + γ
kB T
m
∂2
∂v2W (v , t) . (25)
Diese DGL besitzt die Losung
W (v) =
√m
2γπkBTe− mv2
2kBT . (26)
Wir erwarten Konvergenz gegen eine Normalverteilung,
unabhangig der Startverteilung.
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Losung dieser FPG (γ = 2, Tm = 6
kB) ergibt
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Quellen
H. Risken: The Fokker-Planck Equation - Methods of Solution andApplications, 2. Auflage, Springer Verlag
R. Durrett: Essentials of stochastic Processes, 1. Auflage, SpringerVerlag
R.R. COIFMAN, I.G. KEVREKIDIS, S. LAFON, M. MAGGIONI,AND B. NADLER:DIFFUSION MAPS, REDUCTION COORDINATES AND LOWDIMENSIONAL REPRESENTATION OF STOCHASTIC SYSTEMS,August 2008
W. Dieterich: Stochastische Prozesse in der Physik kondensierterMaterie, Vorlesungsmitschrift SS 2000
J. Dreger: Untersuchung des Starkkopplungsverhaltens derFokker-Planck-Gleichung mit anharmonischer Drift, Diplomarbeit
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung
MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel
Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit
Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung