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  • Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen

    1. Parabeln kommen vor

    1

  • 2

  • 2. Die Ziegenweide

    Mit 120 m Zaun soll eine rechteckige Weideflache fur die Ziege Alma abgezaunt wer-den. In welchem Abstand von der Mauer konnten die Pfosten eingeschlagen werden?Welche Weideflache steht Alma dann zur Verfugung? Finde mehrere Moglichkeiten,wobei die 120 m Zaun jeweils verbraucht werden sollen.

    Losung: 120m lang: SP (30|1800)

    Lange a: SP (a4|a

    2

    8)

    3. Kinokrieg

    Kassel besitzt inzwischen zwei groe Kinocenter mit zahlreiche Kinosalen.Da bangen die kleinen Kinos um ihre Einnahmen.

    3

  • Eines dieser kleinen Kinos hat bei einem Eintrittspreis von 8 durchschnittlich 95Besucher pro Vorstellung.

    Eine Marktstudie ergibt folgendes:Wurde der Besitzer den Eintrittspreis um 0, 50; 1; 2 usw. erhohen, so gingedie Besucherzahl um 10 Personen; 20 Personen; 40 Personen usw. zuruck.

    Welche Preiserhohung bringt die hochsten Einnahmen?

    Losung: E(x) = (95 + y)(8 + x) = 20(x + 1, 625)2 + 812, 81Theoretisch maximale Einnahme bei Preisreduzierung auf 6, 375. Dies ist aber wohl keinguter Preis. . .

    4. Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion

    (a) Vergleiche die Graphen der folgenden Betragsfunktionen mit dem Graphen vonf(x) = |x|.

    i. f1(x) = |x 5|

    ii. f2(x) = |x + 1|

    iii. f3(x) = |x| + 1, 5

    iv. f4(x) = |x| 2, 5

    v. f5(x) = |x 2| 4

    vi. f6(x) =1

    3|x|

    vii. f7(x) = 3 |x|

    viii. Stelle selbst einen Funktionsterm auf und zeichne den Graphen.

    (b) Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen bei Aufgabe(a). Verschiebungsre-geln fur folgende Funktionen:g1(x) = |x + a|, a Pg2(x) = |x| + b, b Pg3(x) = |x + a| + b, a, b P

    (c) Verandere den Faktor c in der Gleichung h(x) = c |x|. Wie geht der Graphvon h aus dem von f hervor? Unterscheide c > 0; c < 0; c = 0; c < 1; c > 1usw.

    5. Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph (1)

    Auftrage fur die Gruppen:

    Gruppe A:Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form f(x) = x2 + e. Zeichne die Parabelnfur verschiedene Parameter e und beschreibe den Zusammenhang zwischen Graphund Funktionsgleichung.Stelle ausgewahlte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegen-den Folie fur die anderen Gruppen dar.

    4

  • Gruppe B:Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form f(x) = (x+d)2. Zeichne die Parabelnfur verschiedene Parameter d und beschreibe den Zusammenhang zwischen Graphund Funktionsgleichung.Stelle ausgewahlte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegen-den Folie fur die anderen Gruppen dar.

    Gruppe C:Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form f(x) = (x + d)2 + e. Zeichne dieParabeln fur verschiedene Parameter d und e und beschreibe den Zusammenhangzwischen Graph und Funktionsgleichung.Stelle ausgewahlte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegen-den Folie fur die anderen Gruppen dar.

    Gruppe D:Verandere den Faktor a in der Gleichung f(x) = a x2. Welcher Zusammenhangbesteht zwischen dem Funktionsterm und der zugehorigen Parabel?Stelle ausgewahlte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegen-den Folie fur die anderen Gruppen dar.

    6. Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph (2)

    Finde die Funktionsgleichungen f1(x); f2(x); . . . ; f10(x) zu den gezeichneten Para-beln 1 10.

    5

  • Losung: 1. f(x) = x2 6, 5

    2. f(x) = x2

    3. f(x) = (x 3)2 5

    4. f(x) = (x 6)2 + 5

    5. f(x) = (x 6)2

    6. f(x) = (x + 4)2 4, 5

    7. f(x) = (x + 4)2 + 3, 5

    8. f(x) = (x + 2)2 2

    9. f(x) = x2 + 5

    10. f(x) = (x 14)2 + 2, 5

    7. Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph (3)

    Finde die Funktionsgleichungen f1(x); f2(x); . . . ; f10(x) zu den gezeichneten Para-beln 1 10.

    6

  • Losung: 1. f(x) = (x + 7)27

  • 2. f(x) = x2 + 3

    3. f(x) = x2

    4. f(x) = x2 3

    5. f(x) = (x 4)2 + 2

    6. f(x) = 12x2

    7. f(x) = x2

    8. f(x) = 2x2

    9. f(x) = 2x2

    10. f(x) = 4x2 + 6

    8. Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph (4)

    Finde die Funktionsgleichungen f1(x); f2(x); . . . ; f10(x) zu den gezeichneten Para-beln 1 10.

    8

  • Losung: 1. f(x) = (x + 1, 5)2 3

    2. f(x) = 12x2 2

    3. f(x) = (x + 4)2 + 5

    4. f(x) = (x 3, 5)2 + 1

    5. f(x) = (x 5)2 + 7

    6. f(x) = (x + 3)2 2

    7. f(x) = 2x + 1, 5

    8. f(x) = x2 + 3

    9. f(x) = 34x

    10. f(x) = (x 3, 5)2 + 3

    9. Steigungsverhalten quadratischer Funktionen

    9

  • (a) siehe Tabelle

    Beschreibung der Funktion fallt steigt(a) f(x) = x2

    (a) f(x) = x2

    (b) f(x) = x2 + 2(c) f(x) = (x 3)2

    (d) f(x) = (x 3)2 + 1(e) f(x) = x2 + 2x 8(f) Hochpunkt der Parabel: H(7|4, 5)(g) Tiefpunkt der Parabel: T (2, 5|3)(h) Schnittpunkte mit der 1.Achse: S1(2|0) und S2(10|0)(i)(j)

    (b) Gib mehrere Funktionsgleichungen an, fur die folgende Aussagen zutreffen:

    Steigungsverhalten Funktionsgleichungen(a) Der Graph fallt fur x < 4 und steigt fur x > 4(b) Der Graph steigt fur x < 2 und fallt fur x > 2(c)

    Losung: (a) jeweils nur Bereich in dem der Graph fallt:

    (a) x 0

    (b) x 0

    (c) x 3

    (d) x 3

    (e) x 1

    (f) x 710

  • (g) x 2, 5

    (h) x 4 oder x 4

    (b) (a) z.B. f(x) = (x + 4)2 + c

    (b) z.B. f(x) = (x 2)2 + c

    10. Quadratische Funktionen und deren Graphen (Parabeln)

    Funktionsgleichung Lage desScheitelpunk-tes

    Steigungsverhalten:Die Parabel. . .

    Verschiebungder Normalpara-bel

    . . . fallt . . . steigtf(x) = x2 T (0|0) fur x < 0 fur x > 0 keinef(x) = x2 + 1f(x) = x2 2f(x) = (x + 2)2

    f(x) = (x 3)2

    f(x) = (x 2)2 + 1f(x) = (x 3)2 2f(x) = (x + 4)2 + 3

    T (1|3)T (2| 5)

    x < 2 x > 2um 2 nach linksund um 3 nachunten

    f(x) = x2 + 6x + 9f(x) = x2 3x + 2, 25f(x) = x2 4x 5f(x) = x2 + 6x + 5

    H(0|0)x > 1 x < 1

    11. Quadratische Funktionen und deren Graphen (Parabeln)

    11

  • Funktionsgleichung Lage desScheitelpunk-tes

    Steigungsverhalten:Die Parabel. . .

    Verschiebung der Nor-malparabel

    . . . fallt . . . steigtf(x) = x2 H(0|0) fur x > 0 fur x < 0 Spiegelung an der

    1.Achsef(x) = (x2 + 1)f(x) = x2 + 1f(x) = (x 2)2

    f(x) = (x + 3)2

    f(x) = (x 2)2 + 1f(x) = ((x 3)2 2)

    H(1| 2)T (1| 2)T (2| 5)

    x > 2 x < 2an der 1.Achse gespie-gelt, um 4 nach rechtsverschobenum 2 nach linksverschoben, an der1.Achse gespiegeltan der 1. Achse gespie-gelt, um 3 nach untenverschobenum 2, 5 nach untenverschoben, an der 1.Achse gespiegelt

    12. Der Goldene Schnitt - ein Gesetz der Asthetik

    Beim Menschen stehen die Lange des Oberkorpers und die Lange des Unterkorpersangenahert stets in einem bestimmten Verhaltnis. Dieses Verhaltnis bezeichnet manals Goldenen Schnitt:

    12

  • ab

    = ba+b

    (Goldener Schnitt),oder in Worten:kurzererAbschnittlangererAbschnitt

    = langererAbschnittGesamtlang

    .

    Der Goldene Schnitt wird oft als besonders wohlgefallig empfundenes Langenverhalt-nis angesehen. Er ist nicht nur an Menschen und Statuen, sondern auch in vielenGemalden und Gebauden wiederzufinden. Gerade in der Antike und Renaissancewurde der Goldene Schnitt immer wieder als Stilmittel eingesetzt.

    Das Apollo-Projekt

    Der Kasseler Apollo, der im Museum des Schlosses Wilhelmshohe zu bewundernist, soll als 10 m hohe Statue auf dem Universitatsgelande Kassel errichtet wer-den. Zur Errichtung des Apollos genugt den Bildhauern die Gesamtgroe alleinnaturlich nicht. Hilf den Bildhauern und berechne die Lange von Apollos Unter- undOberkorper. Nimm dabei an, dass Apollo nach dem Gesetz des Goldenen Schnittskonstruiert werden soll. Zusatz: Gib die Unter- bzw. Oberkorperlange prozentualzur Gesamtgroe an.

    13

  • 13. Spielerische Ubungsformen

    24 Plattchen (oder Streichholzer) auf die Graphen verteilen. Die Spieler wurfelnnacheinander mit einem Spielwurfel (gut: weniger als sechs Flachen oder umdefinie-ren) und setzen ihren Spielstein entsprechend. Konnen sie diesem Feld eine richtigeParabel zuordnen, geht das Plattchen in seinen Besitz uber.

    Quelle: mathematik lehren 66 (1994), S. 57-59

    Losung:

    14

  • 14. Silbenratsel fur Mathe Profis

    In dem folgenden Text uber lineare und quadratische Funktionen sind einige wichtigeBegriffe verlorengegangen. Glucklicherweise sind die Silben der fehlenden Worterbekannt. Viel Spa beim Ausfullen!a - bel - bel - ben - de - dra - ga - ge - ge - gen - gung - le - ler - li - mal - ne - ne -nor - null - o - pa - pa - po - punkt - qua - ra - ra - ra - re - recht - sche - schei - si- stei - stei - stel - tan - te - tel - ten - ti - tiv - tiv - un - waa

    Bei den folgenden Satzen geht es stets um eine Funktion f mitf(x) = mx + b.

    (a) Eine solche Funktion heit eine . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktion.

    (b) Der Graph einer solchen Funktion ersten Grades ist eine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

  • (c) Den x-Wert des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse nennt man. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    (d) Die Konstante m in der Funktionsgleichung f(x) = mx+b gibt die . . . . . . . . . . . . . . . . . . desGraphen an.

    (e) Wenn der Funktionsgraph von links nach rechts fallend verlauft, dann ist m. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    (f) Je groer der Betrag von m ist, desto . . . . . . . . . . . . . . . . . . verlauft der Funkti-onsgraph.

    (g) Wenn m = 0 ist, dann verlauft der Funktionsgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Bei den folgenden Satzen geht es stets um eine Funktion g mitg(x) = a2x

    2 + a1x + a0.

    (h) Eine solche Funktion heit e

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