reelle quadratische abbildungen: das feigenbaum-szenario

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Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum- Szenario

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Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario. Inhaltsübersicht:. Einleitung Was hat eine Kaninchenpopulation mit einer quadratischen Abbildung zu tun? Das Feigenbaum-Diagramm: Was für Strukturen sind sichtbar und wie lassen sie sich erklären?. Einleitung. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

Reelle quadratische Abbildungen:

das Feigenbaum-Szenario

Page 2: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Inhaltsübersicht:

• Einleitung

• Was hat eine Kaninchenpopulation mit einer quadratischen Abbildung zu tun?

• Das Feigenbaum-Diagramm:

Was für Strukturen sind sichtbar und wie lassen sie sich erklären?

Page 3: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Einleitung

• Chaostheorie Ende des 19. Jahrhunderts durch den

franz. Mathematiker Henri Poincaré ins Leben gerufen

• Früher: Chaos und Ordnung galten als Gegensatzpaare

• Aber: Viele natürliche Systeme gehen den Weg von der Ordnung ins Chaos

Page 4: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Kaninchenpopulation

Szenario 1: Beliebige Menge von Kaninchen wird ausgesetzt. Die Population pendelt sich nach einigen Generationen auf einem stabilen Wert ein.

Szenario 2: Die Population oszilliert über mehrere Generationen (Jahre) zw. Maximal- und Minimalwert.

Szenario 3: Die Population schwankt von Generation zu Generation sehr stark und zeigt chaotisches Verhalten.

Page 5: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Wie kann man die Generationsstärke x einer Population darstellen?

• xn+1 = a·xn mit a: Reproduktionsrate und

xn: Generationsstärke im n-ten Jahr

xn = an·x0

• Besser: Reproduktionsrate a durch a(1-xn) ersetzen

(Element negativer Rückkopplung)

logistisch bzw. quadratische Abbildung:

xn+1 = a·xn (1-xn)

fa(x) = a·x (1-x)

Page 6: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Graphische Iteration

für fa(x) = a·x

für fa(x) = a·x (1-x)

mit a = 2

Page 7: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für a = 2

Zeitreihe und Endzustand

Page 8: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für a = 1,75 und a = 2,75

Page 9: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Feigenbaum-Diagramm

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Feigenbaum-Punkt soo=3,5699456... trennt den Periodenverdopplungsbaum vom chaotischen Bereich.

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•Mitchell Jay Feigenbaum

•geboren am 19.12.1944 in Philadelphia, USA

Page 12: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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graphische Iteration für a = 1,75 und a = 2,75

Winkelhalbierende schneidet die Parabel an den Fixpunkten

p0= 0 stößt die Iteration ab und heißt deshalb abstoßender oder instabiler Fixpunkt

pa heißt attraktiver oder stabiler Fixpunkt

Page 13: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Der Fixpunkt pa ist superattraktiv für a=2

Page 14: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Was passiert nun für a > 3 ?

a= 3,1 und x0 = 0,075 bzw. 0,65

pa verliert für Parameter a > b1 = 3 (Verzweigungspunkt) seine Stabilität.

Page 15: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Was bedeutet dies für das Endzustands-Diagramm ?

Es kommt zur Oszillation zwischen dem tieferen Wert x l(a) und dem höheren

Wert xh(a).

Der 2er-Zyklus {xl(a), xh(a)} ist stabil.

Zeitreihe mit Anfangswert x0 = 0,1

Page 16: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Genaue Berechnung der Fixpunkte

Da es zu einer Oszillation zwischen zwei Fixpunkten kommt, muss die zweite

Iteration fa(fa(x)) = f ²a(x) betrachtet werden.Die Fixpunktgleichung ist dann:

fa(fa(x)) = x

-a³x4 + 2a³x³ - (a²+a³)·x² + (a²-1)·x = 0

a

aaaaxh 2

32²1

a

aaaaxl 2

32²1

Lösungen:

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• Der Abschnitt im Quadrat sieht aus wie die umgekehrte Parabel von fa(x)

• Die Polylinie weist in diesem Abschnitt ähnliches Verhalten auf, wie bei die Iteration von fa(x)

Betrachtung der graphischen Iteration für fa(fa(x))

Page 18: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Systematischer Vergleich der Graphen von fa(x) und f2a(x)

• a = 1: Fixpunkt p0 = 0 wird instabil; für alle a > 1 existiert nun neuer Fixpunkt pa

• a = 2: superattraktiver Fall

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Systematischer Vergleich der Graphen von fa(x) und f2a(x)

• a = b1 = 3: periodenverdoppelnde Verzweigung; pa verliert seine Stabilität. Es entstehen 2 zusätzliche Fixpunkte xl(a) und xh(a)

• a = s1= : superattraktiver Fall für f2

a(x)

• a= b2 3,4495: xl(a) und xh(a) von f2a(x)

werden instabil.

Für a > b2 werden Fixpunkte von f2a(f2

a(x)) entstehen, die sich bei xl(a) und xh(a) verzweigen

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Page 20: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Systematischer Vergleich der Graphen von f2a(x) und fa(x)

Alle Veränderungen, die für fa(x) mit 1 < a < 3 vorliegen,

können auch für f2a(x) mit 3 < a < b2 3,4495

beobachtet werden.

Page 21: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Es gibt 2 Folgen wichtiger Parameter

• s1, s2,....bei denen superattraktive Fälle auftauchen.

Der kritische Punkt xcrit = 0,5 ist dann Fixpunkt von fs1, fs2, fs3,..

• b1, b2,...liefern periodenverdoppelnde Verzweigung.

Die beiden Folgen konvergieren gegen einen bestimmten Wert.

Dieser Wert bedeutet das Ende des Bereichs, in dem sich die Perioden verdoppeln.

Page 22: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Feigenbaum-Punkt

....5699456,3 sa

Vergrößerungsfaktor von einer Vergrößerung zur nächsten entlang der horizontalen Achse:

= 4,6692...

selbstähnliche Struktur

Vergrößerungsfaktor von einer Vergrößerung zur nächsten entlang der vertikalenAchse ist etwa 2,3

Page 23: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Betrachtung des Abstandes dk zweier aufeinander folgender Verzweigungspunkte

dk = bk+1 – bk , k = 1, 2, 3, ..

verkleinert sich rapide

Diese Verkleinerung ist annähernd geometrisch:

...6692,41

kk

k

d

d

....6692,4lim

kk

Für wachsende k gilt:

Page 24: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Feigenbaum-Konstante

• Im Oktober 1975 von Feigenbaum entdeckt

• Sie ist universell, d.h. sie tritt in vielen anderen Systemen ebenfalls auf/ ist für eine große Klasse verschiedener Iteratoren gleich.

• Im Umfeld von Chaos ist sie eine Konstante mit ähnlich großer Bedeutung wie in der Geometrie.

Page 25: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Feigenbaum-Punkt soo: Eintritt ins Chaos

Schematische Darstellung des Periodenverdopplungsbaumes unter

Berücksichtigung der Skalierungsfaktoren 4,6692... und 2,3.

Blätter des Baumes bilden eine streng selbstähnliche Cantor-Menge

(fraktale Dimension: 0,5376 < D <0,5386)

Page 26: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Darstellung der Oszillation

Page 27: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Betrachtung des rechten Teils des Feigenbaum-Diagrammss00 < a < 4

• Chaotisches Spiegelbild des Periodenverdopplungs-Baumes

• Chaos von Fenstern der Ordnung unterbrochen

Page 28: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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• a = 4 : nur ein einziges Band

• a < 4 : verengt sich das Band langsam

• a = m1 : Aufspaltung des Bandes in 2 Teile

• a = m2 : jedes dieser Bänder spaltet sich wieder in 2 Teile

• .....

Page 29: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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• Es gibt unendliche Folge von Parametern m1, m2, m3, ..

• Die Folge mk konvergiert gegen den Feigenbaum-Punkt moo = soo

• Quotient der Abstände der Verschmelzungspunkte (dk = mk+1 – mk):

...6692,4

1

kk

k

d

d

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Genauere Untersuchung für a = 3,67 (etwas unterhalb von m1)

Zeitreihe von fa

Zeitreihe von f²a

Page 31: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Vergleich von fa und f²a mittels graphischer Iteration für a = 4 und a = m1 = 3,678...

• Parabel für a = 4 : logistische Parabel, passt genau in das Einheitsquadrat.

• Polynom vierten Grades für a = m1 = 3,678... : enthält logistische Parabeln. In diesen Bereichen ist die Iteration gefangen und chaotisches Verhalten ist zu erwarten.

• Für a = mk sind ebenfalls logistische Parabeln zu finden fa f²a

Page 32: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Aber wie erklärt sich das Durchschimmern der Bänder für a mk ?

Betrachtung der ersten 4 bzw. 8 Iterierten von xcrit = 0,5 für soo < a < 4

aber: im Endzustands-Diagramm sind nicht alle Linien vollständig zu sehen

Fenster

Page 33: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Fenster

• Es gibt unendlich viele Fenster, die alle zu stabilen, periodischen Bahnen gehören.

• Größtes Fenster zwischen a = 3,828.. und a = 3,857.. : Fenster der Periode 3

Page 34: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Fenster der Periode 3

• Selbstähnlichkeit

• Im Fenster der Periode 3 baut alles auf f³a(x) auf.

• Bei a = 3,8415.. liegt ähnliches Verhalten vor wie beim Feigenbaum-Punkt soo (Übergang zum

chaotischen Verhalten)

Page 35: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Fenster der Periode 6

Im gestrichelten Rechteck findet man

alles aus dem gesamten Diagramm

wieder jedoch mit verdoppelter Periode

Page 36: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Wie kommen diese Fenster zustande?

• a = w3 = 3,82843... : Anfang des Fensters der Periode 3

• a > w3 : stabiler Zyklus der Periode 3

• a < w3 : Chaos

völlig anderer Weg ins Chaos, als über periodenverdoppelnde Verzweigungen

Page 37: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Zeitreihe für x0 = 0,5 und a = 3,82812 < w3

• Das Chaos kommt erst im Langzeitverhalten zum Vorschein.

Intermittenz

Page 38: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Wie kommt Intermittenz zustande?

nnn xaxx sin21

-Wieso scheint der Verzweigungsbaum bei a = 1,7264... Aus dem Nichts zu entstehen?

-Was geschieht für a < 1,7264... ?

graphische Iteration

Page 39: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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• a = 1,6 und a = 1,7 : Iteration führt zum attraktiven Fixpunkt 0

• Graph rückt immer näher an die Winkelhalbierende.

• a = 1,7264... : Winkelhalbierende berührt Graphen tangential bei xs

(Sattelpunkt)

• a = 1,9 : zwei neue Fixpunkte

Page 40: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Zurück zum bekannten quadratischen Iterator

Graph von f³a für a = 3,81 und a = w3 = 3,82843....

Es ist eine Tangentialverzweigung beim Sattelpunkt xs zu erkennen.

Page 41: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Verhalten des quadrat. Iterators für a < w3

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Abschließend: was geschieht bei a > 4 ?

• Die Parabel sprengt das Einheitsquadrat.

• Die Bahnen streben entland der negativen y-Achse ins Unendliche

Page 43: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Zeitreihe für a = 4,001

• Bahn beginnt mit chaotischem Bereich, verhält sich aber nur über wenige Iterationen chaotisch.

• Das Langzeitverhalten der Bahn ist vollkommen bestimmt und vorhersagbar.

Zusammenbruch des Chaos in der Krise

Page 44: Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

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Literatur:

• H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos- Bausteine der Ordnung, Springer-Verlag, 1994

• K. Richter, J.-M. Rost, Komplexe Systeme, Fischer Verlag, 2002