INSTITUCIÓN EDUCATIVA «JUAN PABLO II»

HUALLIN - ASUNCIÓN

TEMA: PROPORCIONALIDAD

NUMÉRICA

DOCENTE: JOSÉ LUIS MEZA ARCOS

GRADO: 2° DE SECUNDARIA SECCIÓN: ÚNICA

2012

INTRODUCCIÓN

Antes de dar inicio a este fascinante mundo matemático

con el tema PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA vamos a

realizar un repaso de algunos puntos esenciales para su

aprendizaje y dominio.

Multiplicación y División de enteros.

Multiplicación y División por la

unidad seguida de ceros.

Equivalencia de fracciones.

Fracción como expresión decimal.

Fracción como parte de un todo.

MUY INTERESANTE

Ejemplos:

Resolver:

(-98) . (+6) =

(-9) . (-87) =

(+76) . (+54) =

(+78) . (-89) =

(-9).(+7).(-8) =

(-8).(-7).(-6) =

(-96) : (+6) =

(-9) . (-87) =

(+76) . (+54) =

(+78) . (-89) =

(-9).(+7).(-8) =

(-8).(-7).(-6) =

Sobre multiplicación y división

con 10, 100, 1000, 10000

56 x 100 =

5,6 x 100 =

0,56 x 100 =

56,7 x 100 =

0,098 x 1000 =

97,008 x 1000 =

56 : 100 =

5,6 : 100 =

0,56 : 100 =

56,7 : 100 =

0,098 : 1000 =

97,008 : 1000 =

Una pequeña introducción Desde los albores de la humanidad, el hombre buscó siempre algo absoluto, alguna ley o principio de simetría, un ideal que expresase plenamente lo visual de la figura humana. En el antiguo Egipto encontramos las primeras referencias a la proporcionalidad, entre cada parte del cuerpo y su todo; y se usaba como valor de referencia la longitud de sus dedos. En la Grecia Antigua, se utilizaba, al igual que los egipcios, la proporción, para valorar los distintos cánones de belleza. Este pueblo definió los cánones ideales de belleza en función de las proporciones corporales; utilizaron como como unidad de referencia la altura de la cabeza. En el siglo V a.C. Policleto estableció para el cuerpo humano proporcionado, una longitud de siete cabezas, mientras que su compatriota, Praxíteles, en sus tratados aumenta esta relación a ocho cabezas (como observamos, hemos pasado de usar la longitud del dedo a la longitud de la cabeza). Estos cánones permanecieron casi invariables durante la antigüedad grecorromana. Sin embargo, desde fines de la antigüedad fueron progresivamente abandonados, a medida que el interés en la representación de la figura humana fue decayendo. Durante la Edad Media no existió un canon riguroso para las proporciones del cuerpo humano. Las figuras humanas y animales se trazaban a partir de formas geométricas simples, como el triángulo o el cuadrado.

En el renacimiento se adoptaron nuevamente los cánones de la antigüedad grecorromana. La proporción del cuerpo humano fue considerada como la expresión sensible de la armonía, y la teoría de las proporciones humanas despertó gran interés entre los artistas de la época. En este periodo, Leonardo Da Vinci, nos describe las reglas de proporcionalidad del cuerpo humano en movimiento. El dibujo que representa esta figura ha sido usado frecuentemente para simbolizar la alianza entre el deporte y la ciencia y retoma las ideas del arquitecto romano Vitrubio (año 15 a.C).

Entre los siglos XV y XVI, Alberto Durero (1471-1528) filosofó sobre la proporcionalidad corporal. Si avanzamos en el tiempo, Gerard Thibauld analiza las dimensiones ideales de un esgrimista, con una riqueza de detalles difícil de ser encontrada, incluso, en estudios más modernos. Por tanto, podemos afirmar que de una forma genérica, la altura de la cabeza fue el índice más utilizado para la determinación de la proporcionalidad. Por ejemplo, la estatura, según la antropología física, consistía en siete u ocho alturas de cabeza, y partir de esta medida y usando un canon, eran deducidas el resto de las medidas. En el estudio de la proporcionalidad actual, el parámetro que se usa para la determinación del canon ideal es la altura. Entonces, podemos decir que hemos evolucionado de la longitud del dedo de los egipcios y d las cabezas de los griegos, hasta llegar a la altura del cuerpo ideal. El estudio de esta unidad nos ayudará a comprender mejor esta nota histórica con lujo de detalles y aplicarlo en otros contextos.

OBJETIVO: Aplicar las propiedades de los números racionales al concepto de proporcionalidad numérica y al

planteamiento y solución de problemas diversos.

RAZÓN O RELACIÓN

Frecuentemente has oído o has utilizado expresiones como las siguientes: En esta ciudad hay 1 hombre por cada 5 mujeres. En este salón de clase hay 2 carpetas por cada 8 niños. En una granja hay 3 gallos por cada 8 gallinas. Decimos que: La razón del número de hombres al número de mujeres es de 1 a

5 ó bien que, el número de hombres es 1/5 del número de mujeres.

La razón del número de carpetas al número de alumnos es de 2 a 8 ó bien que, el número de carpetas es 2/8 del número de alumnos.

La razón del número de gallos al número de gallinas es de 3 a 8 ó bien que, el número de gallos es 3/8 del número de gallinas.

Definimos entonces: Se llama razón entre dos números a y b (b = 0), al cociente de la división de “a” por “b”.

Definitivamente fácil.

El primer número se llama ANTECEDENTE y el segundo se llama CONSECUENTE de la razón

En símbolos:

a es a b se expresa: a : b ó a

b

antecedente

consecuente

PROPORCIÓN

Decir que en esta ciudad, hay 1 hombre por cada 5 mujeres equivale a decir que hay 2 hombres por cada 10 mujeres. La razón de 1 a 5 es igual a la razón 2 a 10.

Análogamente, decir que en mi salón de

clase hay 2 carpetas por cada 8 alumnos, equivale a decir que hay 6 carpetas por cada 24 alumnos. La razón 2 a 8 es igual a la razón 6 a 24.

Decir que en una granja hay 3 gallos por

cada 8 gallinas, equivale a decir que hay 6 gallos por cada 16 gallinas. La razón 3 a 8 es igual a la razón 6 a 16.

15

= 2

10

28

= 6

24

38

= 6

16

Definimos entonces: La igualdad de dos razones se

llama proporción.

Pensé que era algo más complicado

También yo

En símbolos: Se lee: “a es a b como c es a d”

𝑎𝑏

= 𝑐𝑑

Razón Geométrica Razón Geométrica

PREPÁRENSE PARA

LA ACCIÓN

Escribe 3 razones equivalentes a cada una de las siguientes:

a) 2

5

b) 7

3

c) 0,3 d) -6

Recuérdense que deben multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número.

Aplica la propiedad fundamental para verificar si los cuatro números en cada caso forman una proporción. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( )

63

= 74

410

= 6

15 3

4 =

79

627

= 29 14

28 =

24 12

15 =

810

Tú puedes, eres el mejor

Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:

, sabiendo que: x + y = 48 𝑥3

= 𝑦5

Aplicar las propiedades

Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:

, sabiendo que: y - x = 16 𝑥5

= 𝑦9

Razona

Hallar la tercera proporcional entre:

a) 3 y 6 b) 0,2 y 0,8 c) 10 y 1

2

Razona

Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:

, sabiendo que: y - x = 12 12𝑥

= 28𝑦

Dos números están en la relación de 4 a 13. Si su diferencia es 27. Determinar el menor de dichos números.

Aplicar las propiedades

Si la suma de dos números es 60 y su diferencia es 20. Hallar la razón geométrica entre dichos números.

La suma de los cuadrados de dos números es 52; y la razón de dichos números es 2/3. ¿Cuáles son los números?

Adelante campeón

Hallar la razón equivalente a 4/7; de tal manera que la suma de los 4 términos de la proporción formada sea igual a 66.

No te rindas

En un salón de clase, antes del recreo el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4. Hallar cuántas mujeres habían antes del recreo.

El producto de los 4 términos de una proporción continua es 625, y el segundo consecuente es 25. ¿Cuál es la proporción?

Hallar la tercera proporcional entre:

a) 3 y 6 b) 0,2 y 0,8 c) 10 y 1

2

Razona

Determinar la cuarta proporcional de: a) 9 ; 13 y 18 b) 17 ; 4 y 85

Súper Fácil

Si: 3

𝑥 =

6

𝑦 =

9

𝑧 ; donde: x + y + z = 42

Hallar el valor de “z”

Aplica lo aprendido

Si: 1,2

3,6 =

𝑎

𝑏 =

4

𝑐 ; además: a + b + c = 20

Hallar el valor de “a + b”

La suma de 3 números que guardan entre sí la relación de los números 3 ; 5 y 7 es igual a 120. ¿Cuáles son esos números?

En el rectángulo ABCD, se une el punto medio “M” de BC con “D”. La razón entre “x” e “y” en que queda dividido el rectángulo es:

a) 1/3 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/2

y

x

D C

B A

M

Con esto será más sencillo

Los lados de un rectángulo miden AB = 3b; AD = a. Se divide el lado AB en 3 partes iguales y CD en 2 partes iguales. Entonces la razón entre las áreas de la parte “achurada” (sombreada) y la “no achurada” es:

a) a/b b) 2a/3b c) 3/2 d) 1 e) ab/2 A

D C

B

Este es un gran desafío

La parte achurada (sombreada) representa del total:

a) 1/9 b) 2/9 c) 1/18 d) 1/2 + 1/9 e) 7/9 - 1/2

Debes repasar diariamente

En la figura mostrada. Hallar la relación entre el área de la región sombreada y la no sombreada. (“O” es el centro de la circunferencia mayor).

a) 𝜋/2 b) 5𝜋/2 c) 3𝜋/2 d) 3 e) Faltan

datos

Nunca digas imposible, di más

bien, no lo he hecho todavía

CORTESÍA DE LOS ESTUDIANTES DE LA I.E. “JUAN PABLO II”

HUALLIN – CHACAS - ASUNCIÓN

GRACIAS!!!!!!!