1

Контрольная работа 2.ФИО

Теория вероятностей 1 2 3 4 5∑

1. Лотерея предлагает один приз 1500 рублей, два приза 750 рублей, и десять призов 100 рублей.

Продали одну тысячу билетов по 7 рублей за билет. Записать закон распределения выигрыша.

Определите вероятность выиграть более 100 рублей. Найдите математическое ожидание выиг-

рыша, если приобретен один билет.

2. Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 1. Найти вероятность

того, что X ≥ 2.

3. В схеме из десяти испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании равной 0.9

найти вероятность того, что произойдет хотя бы 2 успеха.

4. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей:

X \ Y 0 1 3

0 0.15 0.05 0.3

−1 0 0.15 0.1

−2 0.15 0 0.1

Найдите

а) закон распределения случайной величины X и закон распределения случайной величины Y ;

б) EX, EY , DX, DY , cov(X,Y ), а также математическое ожидание и дисперсию случайной

величины V = 6X − 4Y + 3.

2

Решение

1. Пусть случайная величина X означает чистый выигрыш. Тогда с вероятностью 1/1000 чистый

выигрыш составит X = 1500 − 7 = 1493, X = 750 − 7 = 743 с вероятностью 2/1000, с вероятностью

10/1000 чистый выигрыш X = 100 − 7 = 93, а с вероятностью 987/1000 теряется 7 рублей, то есть

X = −7. Таким образом, получаем закон распределения

X 1493 743 93 −7P 0, 001 0, 002 0, 01 0, 987

Выиграть более ста рублей можно в двух случаях: купить билет с призом 1500 рублей или 750 рублей,

поэтому

P (X > 100) = P (X = 1493) + P (X = 743) = 0.001 + 0.002 = 0.003.

Математическое ожидание составляет EX = 1493 ·0.001+743 ·0.002+93 ·0.01−7 ·0.987 = −3. Заметим,

что проще было бы вычислить математическое ожидание для выигрыша без вычитания стоимости

билета, а после уже вычесть 7 рублей (проверьте!).

2.

P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) =

= 1− 10

0!e−1 − 11

1!e−1 = 1− 2e−1 ≈ 0.24.

3. Для схемы Бернулли с вероятностью успеха p = 0.9, числом испытаний n = 10 и k = 0, 1 имеем

P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− C010(0.1)

10(0.9)0 − C110(0.1)

9(0.9)1 =

= 1− (0.1)10 − 10 · 0.9(0.1)9 = 1− 9.1 · (0.1)9 = 0.9999999909.

4. Для того, чтобы найти законы распределений X и Y нужно просуммировать вероятности по

строкам и столбцам соответственно:

X 0 −1 −2P 0, 5 0, 25 0, 25

Y 0 1 3

P 0, 3 0, 2 0, 5

Зная законы распределений вычисляем математические ожидания, дисперсии и ковариацию:

EX = 0 · 0.5− 1 · 0.25− 2 · 0.25 = −0.75, EY = 0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 3 · 0.5 = 1.7,

DX = E(X2)− (EX)2 = 02 · 0.5 + (−1)2 · 0.25 + (−2)2 · 0.25− (−0.75)2 =

= 1.25− 0.5625 = 0.6875,

DY = E(Y 2)− (EY )2 = 02 · 0.3 + 12 · 0.2 + 32 · 0.5− (1.7)2 =

= 4.7− 2.89 = 1.81,

cov(X;Y ) = E(XY )− EX · EY =

3

= −1 · 1 · 0.15− 1 · 3 · 0.1− 2 · 3 · 0.1 + 0.75 · 1.7 = 0.225.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины V проще вычислить по свойствам:

EV = E(6X − 4Y + 3) = 6EX − 4EY + 3 = −6 · 0.75− 4 · 1.7 + 3 = −8.3,

DV = D(6X − 4Y + 3) = 36DX + 16DY + 2 · 6 · (−4) cov(X;Y ) =

= 36 · 0.6875 + 16 · 1.81− 48 · 0.225 = 53.71− 10.8 = 42.91.