program linear

Program Linear :Penyelesaian GrafikDisusun oleh Diana Rosadi

065109318

copyright © diana_rosadi 2012 All Rights reserved

Model Program LinearCiri-ciri masalah yang dapat diselesaikan dengan model program linear Semua variabel penyusunya bernilai tidak

negatifFungsi objektif dapat dinyatakan sebagai

fungsi linear variabel-variabelnya.Kendala dapat dinyatakan sebagai suatu

sistem persamaan linear


• Bentuk standart dari program linear adalah:Mencari X=(x1,x2,…,xn) ≥ 0 yang

memaksimumkan atau meminimumkan

f (X)=f (x1,x2,…,xn) = c1x1+c2x2+…+cnxn

dengan kendala:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm


Contoh Soal• Telitilah mana diantara model-model berikut

yang dapat diselesaikan dengan program linear

soal

Jwb Bukan bentuk program linear karena fungsi sasarannya mengandung suku X2

2.


Telitilah mana diantara model-model berikut yang dapat diselesaikan dengan program linearsoal

Jwb Model linear, tampak bahwa baik fungsi maupun kedua kendala merupakan bentuk fungsi linear dalam x1 dan x2.

Contoh Soal


Langkah-langkah pembuatan model program linear

1

2

3

Tentukan variabel-variabel keputusanTentukan variabel-variabel keputusan

Buatlah fungsi sasaran (yang akan dioptimumkan)Buatlah fungsi sasaran (yang akan dioptimumkan)

Tentukan kendala berdasarkan keterbatasan sumber dayaTentukan kendala berdasarkan keterbatasan sumber daya


Contoh Soal 1• Seorang pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan

pembunuh serangga yaitu superior (C1) dan jenis standar (C2). Keduanya terbuat dari 2 macam bahan yang sama yaitu A dan B dengan komposisi yang berbeda.

• Setiap liter C1 dibuat dari 1 unit bahan A dan 3 unit bahan B. Setiap liter C2 dibuat dari 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. setiap hari hanya memperoleh 20 unit A dan 20 unit bahan B.

• Untuk setiap liter cairan C1 , keuntungan yang didapat Rp. 30.000,- sedangkan jenis C2 , keuntungannya sebesar Rp.20.000,-

• Jika diasumsikan semua cairan laku terjual, berapa liter cairan masing-masing jenis harus ia buat tiap agar mendapatkan keuntungan maksimum?


Penyelesaian • Misalkan : x1 = jumlah cairan jenis superior

x2 = jumlah cairan jenis standar

Maka fungsi sasaran maksimum f (X)=f (x1,x2)=30.000 x1 +20.000 x2


• Jika dibuat dalam bentuk tabel

• Maka model untuk masalah pengusaha kimia tersebut adalah f (x1,x2)=30.000 x1 +20.000 x2

Kendala x1 + 2x2 ≤ 20

3x1 + x2 ≤ 20; x1 , x2 ≥ 0

Bahan Cairan jenis Superior

Cairan Jenis Standar

Pasokan Maksimum

A 1 2 20

B 3 1 20

Untung 30.000 20.000


Penyelesaian GrafikMetode

Titik interiorMetode Simpleks

Metode Grafik

Menggunakan grafik kendala sebagai alat untuk mencari titik optimum

Metode ini terbatas untuk 2 kendala

Mencari titik optimal dengan menyelidiki titik sudut bidang datar

Pencarian dilakukan secara numerik sehingga berapapun jumlah variabel bisa dilakukan.

Memulai iterasinya dari titik dalam bidang datar

Secara iteratif menuju pada titik sudut yang optimum


Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode grafik

Buat model yang sesuai dengan masalah yang ada

Gambar grafik kendala-kendalanya

Tentukan daerah fisible

Hitung nilai fungsi di titik-titik sudut segi-n daerah fisible

Cari titik yang menghasilkan nilai fungsi yang paling optimal


Contoh soal

• Selesaikan contoh soal 1• Penyelesaian

Model yang akan diselesaikan adalah: Maksimumkan f (x1,x2)=30.000 x1 +20.000 x2= 3x1+ 2 x2 (puluhan ribu)


3x1 + x2 ≤ 20; x1 , x2 ≥ 0


Mencari titik sudut• x1 + 2x2 ≤ 20, (x1 , x2 ) =(B,A)= (20,10)

• 3x1 + x2 ≤ 20; (x1 , x2 ) = (D,C)=(20/3,20)

• x1 , x2 ≥ 0

x1

x2

B(20,0)

A(0,10)

C(0,20)

D(20/3,0)

E

3x1 + x2 =20x1 + 2x2 =20


• Mencari nilai E.

Dengan mensubstitusikan x1 = 4 ke persamaan x1 + 2 x2 =20 didapatkan x2 =8.

Jadi E= (4,8)


• Menentukan nilai fungsi di titik-titik sudut daerah visible

Titik sudut daerah fisible Nilai Fungsi = f (x1,x2)= 3x1+ 2 x2

O(0,0) 3(0)+2(0)=0

A(0,10) 3(0)+2(10)=20

E(4,8) 3(4)+2(8)=28

D(20/3,20) 3(20/3)+2(0)=20

• Melihat tabel di atas, maka nilai fungsi maksimum terjadi pada titik E (4,8) dengan nilai fungsi 28. Untuk mencapai keuntungan maksimum, pengusaha membuat 4 liter cairan C1 dan 8 liter cairan C2. Keuntungan yang didapat adalah 280.000


Kejadian Khusus• Alternatif Penyelesaian

Jika terdapat dua titik atau lebih yang memiliki nilai optimum yang sama

• Contoh soal 1, misal keuntungan yang didapat liter cairan C1 adalah 10.000(bukan 20.000), tentukan cairan yang harus dibuat supaya keuntungan maksimum!


PenyelesaianMaksimumkan f (x1,x2)=30.000 x1 +10.000 x2= 3x1+ x2 (puluhan ribu)


3x1 + x2 ≤ 20; x1 , x2 ≥ 0Titik sudut daerah fisible Nilai Fungsi = f (x1,x2)= 3x1+ x2

O(0,0) 3(0)+(0)=0

A(0,10) 3(0)+(10)=10

E(4,8) 3(4)+(8)=20

D(20/3,20) 3(20/3)+(0)=20


• Nilai fungsi adalah 20 yang terletak pada titik E dan D. Alternatif penyelesaian, setiap titik diantara ruas garis DE (persaman garisnya 3x1+ x2 =20 dengan 4≤ x1 ≤ 20/3) akan memenuhi nilai fungsi = 20.


Daerah fisible tak terbatas• Daerah fisible adalah daerah yang memenuhi

semua kendala.• Contoh :

Minimumkan f (x1,x2)= 2x1+ 3 x2

Kendala x1 + x2 ≥ 3

x1 - 2 x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0


f(A)=f(0,3)=2(0)+3(3)=9f(B)=f(3,0)=2(3)+3(0)=6f(C)=f(4,0)=2(4)+3(0)=8Nilai min=5 pada titik B(3,0) daerah fisible tak terbatas

x2

B(3,0)

A(0,3)

C(0,-2)D(4,0)

x1 + x2 =3

x1 - 2x2 =4

x1

• PenyelesaianTitik sudut yang terbentuk adalah A(0,3). B(3,0) dan D(4,0)


Penyelesaian tak terbatas• Dalam contoh soal sebelumnya, daerah fisiblenya

tak terbatas namun titik minimumnya tetap ada. Ada kalanya daerah fisibelnya tak terbatas dan nilai optimumnya juga tak terbatas dalan hal ini soal dikatakan tidak memiliki penyelesaian.

• Contoh :maksimumkan f (x1,x2)= 2x1+ 3 x2

Kendala x1 + x2 ≥ 3

x1 - 2 x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0


f(A)=f(0,3)=2(0)+3(3)=9f(B)=f(3,0)=2(3)+3(0)=6f(C)=f(4,0)=2(4)+3(0)=8F(N)=f(5,0)=2(5)+3(0)=10…Nilai max= tak berhingga

x2

B(3,0)

A(0,3

C(0,-2)D(4,0)

x1 + x2 =3

x1 - 2x2 =4

x1

• PenyelesaianTitik sudut yang terbentuk adalah A(0,3). B(3,0) dan D(4,0)


Soal tak Fisible• Kasus di mana daerah fisible tidak ada.• Contoh :

maksimumkan f (x1,x2)= 4x1+ 3 x2

Kendala x1 + x2 ≤ 3

2x1 - x2 ≤ 3

x1 ≥ 4

x1 , x2 ≥ 0


• Penyelesaian

x2

D(3,0)

A(0,3

C(0,-3)

E(4,0)

x1 + x2 =32x1 - x2 =3

x1B(1.5,0)

x1 =4

• OBFA adalah daerah yang memenuhi kendala.

• Irisan daerah yang berarsir x1 ≥ 4 himpunan kosong

• Soalnya tidak fisible dan tidak memiliki penyelesaian


Soal Redundant (kelebihan)• Terdapat satu/lebih kendala yang tidak

berpengaruh terhadap daerah fisiblenya.• Contoh :


• Penyelesaian :Hasil transformasi model dengan yi= ln(x1) adalah

minimumkan g (y1,y2)= 2y1+ 3 y2

Kendala 3y1 + 2y2 ≥ 3

y1 +4 y2 ≥ 4

2y1 + 3y2 ≥ 1

y1 , y2 ≥ 0


y1F(4,0)

A(0,1.5)

D(0.5,0)

3y1 + 2y2 =3y1 + 4x2 =4

y2

E(0,1)

C(0,1/3)B(1,0)

2y1 + 3y2 =1

G


Sekian dan Terima kasih


program linear

Documents