A

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk:

Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut :

dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real

Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut :

Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda = diganti dengan , < , , > . Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut. Misalnya, kalian menggambar garis x + y = 2 dapat digambarkan sebagai berikut :

Garis x + y = 2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < -2 dan daerah x + y > -2.

Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, 0 + 0 = 0 > -2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > -2.

Daerah x + y > -2 ini diarsir seperti pada gambar berikut :Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x, y 0, maka diperoleh gambar seperti berikut :

Daerah yang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerah ini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear x + y -2, x 0, dan y 0.

Untuk selanjutnya, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear ini disebut daerah penyelesaian.

B. Model Matematika

Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan

10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.

Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut :

Pada mesin I:2x + 5y 800. Persamaan 1

Pada mesin II:8x + 4y 800. Persamaan 2

Pada mesin III: 10x 800. Persamaan 3

x, y bilangan asli:x 0, y 0. Persamaan 4

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear:

C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Dalam pemodelanmatematikamasalahproduksiban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai x dan y sedemikian sehingga f(x, y) = 40.000x + 30.000y maksimum.

Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik. Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.

C. 1.Metode Uji Titik Pojok

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut :

a.Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.

b.Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.

c.Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.

d.Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

Sebagai contoh, kalian akan memaksimumkan keuntungan PT. Samba Lababan dari produksi ban dengan model matematika f(x, y) = 40.000x + 30.000y.

Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar di atas.

a .Titik-titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D.

Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0).

Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x.

Jadi, titik A(80, 0).

Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis 8x + 4y = 800

Substitusi x = 80 ke persamaan 8x + 4y = 800

y = 40

Jadi, titik B(800, 40)

Titik C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan garis 2x + 5y = 800.

Dari 8x + 4y = 800 didapat y = 200 2x.

Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800

2x + 5 (200 2x) = 800

2x + 1000 10x = 800

-8x = -200

x = 25

Substitusi x = 25 ke persamaan y = 200 2x

y = 200 2.25

y = 150

Jadi titik C( 25, 150)

Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-y.

Substitusikan x = 0 ke persamaan 2x + 5y = 800

2.0 + 5y = 800

5y = 800

y = 160

Jadi titik D(0, 160)b. Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x,y) = 40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum

Titik-titik pojok (x, y)f(x,y) = 40.000x + 30.000y

A(80, 0)3.200.000

B(80, 40)4.400.000

C(25, 250)5.500.000

D(0, 160)4.800.000

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif

f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150) = 5.500.000. Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum.

C. 2.Metode Garis Selidik

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut.

a.Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis

ax + by = k, a 0, b 0, dan k R.

b.Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius!

c.Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian.

CONTOH SOAL

Soal No. 1Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....

A. Rp 176.000,00B. Rp 200.000,00C. Rp 260.000,00D. Rp 300.000,00E. Rp 340.000,00

PembahasanMembuat model matematika dari soal cerita di atasMisal:mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:4x + 20 y 1760 disederhanakan menjadix + 5y 440.......(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:x + y 200 ..............(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,Garis 1x + 5y = 440Titik potong sumbu x, y = 0x + 5(0) = 440x = 440Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =00 + 5y = 440y = 440/5 = 88Dapat titik (0, 88)

Garis 2x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0x + 0 = 200x = 200Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =00 + y = 200y = 200Dapat titik (0, 200)

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440 x + y = 200 ____________ _4y = 240y = 60

x + y =200x + 60 = 200x = 140Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Titik (0,0) f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0Titik (200,0) f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000Titik (0, 88) f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000Titik (140,60) f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000

Soal No. 2Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....A . 88B. 94C. 102D. 106E. 196

PembahasanCari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:Cara pertama dalam membuat persamaan garisy y1 = m (x x1)

dengan

m = y/x

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/12 = 5/3y 20 = 5/3 (x 0)y 20 = 5/3 xy + 5/3 x = 203y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :m = 15/18 = 5/6y 15 = 5/6 (x 0)y + 5/6 x = 156y + 5x = 90

Cara kedua dalam membuat persamaan garis bx + ay = ab

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:6y + 5x = 903y + 5x = 60_________ -3y = 30y = 10 3(10) + 5x = 605x = 30x = 6Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6yTitik (0, 0) f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0Titik (12,0) f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84Titik (0, 15) f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90Titik (6, 10) f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

Soal No. 3Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?A. 6 jenis IB. 12 jenis IIC. 6 jenis I dan 6 jenis IID. 3 jenis I dan 9 jenis IIE. 9 jenis I dan 3 jenis II

PembahasanBarang I akan dibuat sebanyak x unitBarang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y 182x + 2y 24

Fungsi objektifnya:f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong x + 3y = 18 |x2| 2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 362x + 2y = 24____________ _4y = 12y = 32x + 6(3) = 362x = 18x = 9Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 yTitik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000 Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

Soal No. 4Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalahA. Rp13.400.000,00B. Rp12.600.000,00C. Rp12.500.000,00D. Rp10.400.000,00E. Rp8.400.000,00

Pembahasan

Banyak sepeda maksimal 25

Uang yang tersedia 42 juta

Titik potong (i) dan (ii)

Keuntungan

Jawaban: A

Soal No. 5Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalahA. Rp102.000,00B. Rp96.000,00C. Rp95.000,00D. Rp92.000,00E. Rp86.000,00

PembahasanGorengan jadi x, bakwan jadi y

Modelnya:1000x + 400y 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan (i)(i) 10x + 4y 2500(ii) x + y 400f(x,y) = 300x + 200y

Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x dan y masing-masing:

Grafik selengkapnya:

Uji titik A, B, C

Soal No. 6Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y 7, x + y 5, x 0, dan y 0 adalah A. 14B. 20C. 23D. 25E. 35PembahasanLangsung cari titik potongnya dulu:2x + y = 7x + y = 5------------ x = 2y = 3

Dapat titik A (2, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji titikf(x, y) = 4x + 5yA(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35Terlihat nilai minimumnya adalah 20.Soal No. 7

Penyelesaian:

HYPERLINK "http://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/10/linear111.jpg"

INCLUDEPICTURE "http://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/10/linear111.jpg?w=300&h=187" \* MERGEFORMATINET

Soal No. 8

Penyelesaian:

HYPERLINK "http://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/10/linear222.jpg"

INCLUDEPICTURE "http://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/10/linear222.jpg?w=300&h=178" \* MERGEFORMATINET

SOAL NO 9

Tanah seluas 10.000 m akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m dan tipe B diperlukan 75 m. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ........

jawaban,,,misal:x = rumah tipe Ay = rumah tipe B100x + 75y 10.000 dibagi 25 --> 4x + 3y 400 ..(1)x + y 125 ..(2)Keuntungan maksimum : 6000.000 x + 4000.000 y =?Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakansketsa grafik:Grafik 1 :4x + 3y 400titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x =400/4= 100Titik potongnya (100 , 0)Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y =400/3= 133,3Titik potongnya (0 , 133,3)Grafik 2 :x + y 125titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 125Titik potongnya (125 , 0)Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15Titik potongnya (0 , 125)Gambar grafiknya:

tik potong :eliminasi x4x + 3y = 400 x 1 4x + 3y = 400x + y = 125 x 4 4x + 4y = 500 --y = -100y = 100x + y = 125x = 125 - y= 125 100 = 25 --> didapat titik potong (25, 100)Titik pojok 6000.000 x + 4000.000 y(100,0) 600.000.000(0,125) 500.000.000(25, 100) 150.000.000+ 400.000.000 = 550.000.000Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000

Soal No. 10Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak.Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapatmemuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kgdan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah..

Jawab:Misal : x = mangga ; y = pisangModel matematikanya:x 0 ; y 08000x + 6000y 1200.000 --> dibagi 2000 4x + 3y 600 .(1)x + y 180 .(2)Laba penjualan mangga = 9200 8000 = 1200Laba penjualan pisang = 7000 6000 = 1000Laba maksimum = 1200x + 1000y

maka grafiknya,,,

Titik potong:Dari pers (1) dan (2)eliminasi x4x + 3y = 600 x1 4x + 3y = 600x + y = 180 x4 4x + 4y = 720 -- y = - 120y = 120x + y = 180x = 180 120 = 60titik potong = (60,120)

Titik pojok 1200x + 1000y(0, 0) 0(150, 0) 180.000(60, 120) 192.000(0, 180) 180.000Laba maksimum adalah 192.000

Soal No. 11Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp.1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah .

jawabannya,,,misal x = mobil kecil dan y = mobil besar, maka dapat dibuat persamaan sbb:4 x + 20 y 1760 x + 5 y 440 (1)x + y 200 (2)dari pers (1) dan (2)eliminasi xx + 5 y = 440x + y = 200 -4 y = 240y = 240/4 = 60x + y = 200x + 60 = 200x = 200 60 = 140maka hasil maksimum1000 x + 2000 y = 1000. 140 + 2000. 60 = 140000 + 120000 = Rp. 260.000,-

Soal No. 12

Syarat untuk dapat masuk jurusan IPA adalah1. Jumlah nilai matematika dan nilai fisika minimal 12.2. Nilai masing-masing pelajaran matematika dan fisika adalah 5.Tentukan model matematika yang dapat dipakai sebagai dasar agar seorang siswa dapat masuk jurusan IPA!

Jawab:

Misal nilai matematika = x dan nilai fisika = ysyarat 1. x + y 12syarat 2. x 5 dan y 5Jadi, model matematikaya adalah:X 5 , y 5 dan x + y 12 dengan nilai x dan y C

Soal No. 13

Sebuah tempat parkir hanya dapat ditempati sepeda motor maksimal 300. Jika digunakan untuk parkir mobil, maka 1 mobil akan menempati luas daerah yang sama dengan yang dipakai untuk parkir 5 sepeda motor. Jika di tempat itu diparkir x mobil dan y sepeda motor, tentukan model matematikanya!

Jawab:

Misal untuk memarkir 1 sepeda motor diperlukan luas rata-rata L m2 ,maka luas tempat parkir itu adalah 300 L m2 (L > 0)

Untuk memarkir sebuah mobil diperlukan 5L m2 , sehingga untuk memarkir x mobil dan y sepeda motor diperoleh hubungan:

(5L)x + (L)y 300L5x + 5y 300Karena jumlah mobil maupun sepeda motor tidak mungkin negatif, maka x 0 dan y 0

Jadi, model matematika untuk persoalan tersebut adalah:x 0 dan y 0 dan 5x + 5y 300, dengan x dan y CSoal No. 14

Budi membeli 3 celana dan 5 baju dengan harga total Rp 350.000,-Sedangkan Andi yang hanya membeli 1 celana dan 1 baju harus membayar Rp 90.000,-Jika harga sebuah celana dan sebuah baju masing-masing x dan y, buatlah model matematika untuk persoalan tersebut!Jawab:

Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Budi diperoleh hubungan:3x + 5y = 350.000

Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Andi diperoleh hubungan:x + y = 90.000

Karena harga celana maupun baju tidak mungkin negatif ataupun gratis, maka x > 0 dan y > 0Jadi, model matematikanya adalah:x > 0 , y > 0 , 3x + 5y = 350.000 dan x + y = 90.000

Soal No. 15

Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.

Pembahasan :misalkan :apel = xanggur = yjeruk = z

Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :1). 2x+ 2y + z = 67.0002). 3x+ y + z = 61.0003). x+ 3y + 2z = 80.000

Ditanya : x + y + 4z = ....?Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang.

Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :

Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :

Dari persamaan no 4 dan 5 diperoleh :

Jadi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.

Soal No. 16

Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah.

Pembahasan :misalkan :buku = xpulpen = ypensil = z

Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :1). 4x+ 2y + 3z = 26.0002). 3x+ 3y + z = 21.0003). 3x+ z = 12.000

Ditanya : 2y + 3z = ....?

Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.

Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yaitu :

Selanjtunya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut :

Jadi, harga 2 pulpen dan 3 pensil adalah :2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.200,00.

Soal No. 17Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

Pembahasan : Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :F(x,y) = 10.000x + 5.000y

Dengan pemisalan : sepatu laki-laki = xsepatu perempuan = y

Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :x+ y x y 2x + 5y 2x + y = 0 dan y >= 0

dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y

Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik.Untuk garis 2x + 5y = 800x = 0, y = 160 ---> (0, 160)y = 0, x = 400 ---> (400, 0)

Untuk garis 2x + y = 400x = 0, y = 400 ---> (0, 400)y = 0, x = 200 ---> (200, 0)

Sistem pertidaksamaan linear

Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400

Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan :A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000B(100, 150) ---> F(x,y) = 300(100) + 500(150) = 105.000C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000

Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 105.000,00.

Soal No. 19Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.

Pembahasan :Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut :untung sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00untung kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00

Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi :F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y

Model matematika yang memenuhi soal adalah :x >= 0 ---> banyak sapi tidak mungkin negatify >= 0 ---> banyak kerbau tidak mungkin negatifx+ y karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor.Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka :9.000.000x+ 8.000.000y disederhanakan menjadi :9x+ 8y (0,15)jika y = 0, maka x = 15 ---> (15,0)

Untuk 9x + 8y = 124jika x = 0, maka y = 15,5 ---> (0, 16) ---> digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2.jika y = 0, maka x = 13,7 ---> (13 ,0) ---> digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.

Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.

x + y = 15 , maka x = 15 - y ---> substitusi ke persamaan 9x + 8y = 1249(15 - y) + 8y = 124135 - 9y + 8y = 124y = 11

x + y = 15

x + 11 = 15

x = 4 ----> jadi titik B(4,11)

Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :A(0,15) ---> f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000B(4,11) ---> f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000C(13,0) ---> f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000

Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.

Soal No. 20Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Pembahasan :Karena ditanya laba maksimum, maka fungsi tujuannya adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilonya.

Berikut untung penjualan :mangga = 9.200 - 8.000 = 1.200pisang = 7.000 - 6000 = 1.000

misalkan :mangga = xpisang = y

maka fungsi tujuannya adalah :F(x,y) = 1.200x + 1.000y

Model matematika atau sistem pertidaksamaan yang memenuhi soal tersebut adalah :x + y = 0

Titik potong masing-masing garis terhadap sumbu x dan sumbu y : Garis x + y = 180untuk x = 0 , y = 180 ---> (0, 180)untuk y = 0, x = 180 ---> (180,0)

Garis 4x + 3y = 600untuk x = 0, y = 200 ---> (0, 200)untuk y = 0, x = 150 ---> (150, 0)

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah :

Dari grafik diketahui ada tiga titik pojok yaitu A, B, dan C. Titik C merupakan perpotongan antara garis x + y = 180 dengan 4x + 3y = 600.

Substitusi titik pojok pada fungsi objektif F(x,y) 1.200x + 1.000y :A (0, 180) ---> F(x,y) =1.000(180) = 180.000B (60, 120) ---> F(x,y) = 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000C (150,0) ---> F(x,y) = 1.200(150) = 180.000

Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang buah adalah Rp 192.000,00.

TUGAS MATEMATIKA

Disusun Oleh :

1. Anggit D

(04)

2. Aziz B.P

(09)

3. Ika Esti R

(15)

4. Rio B

(22)

5. Sri Nur Jarati

(28)

SMA NEGERI 1 WERU

2014

Gambar 2.1

Garis x + y = 2

Gambar 2.2

Daerah Penyelesaian x + y -2

x + y -2

3

2

1

3

2

1

x + y = 2

3

2

1

3

2

1

-3

0

-2

x + y > -2

HP

y 0

x 0

Gambar 2.4

Daerah Penyelesaian yang memenuhi 2x + 5y 800; 8x + 4y 800; x 0; y 0

x 0

Daerah kanan

x 800

2x + 5y 800

y 0

Daerah atas

8x + 4y 800

Gambar 2.3

Daerah Penyelesaian system pertidaksamaan x + y > -2, x 0, dan y 0

_109779844.unknown

_119880584.unknown

_137542236.unknown

_104904640.unknown