PROGRAM LINEARPROGRAM LINEAR

PROGRAM LINEAR MERUPAKAN SUATU CARA SEBAGAI SOLUSI MASALAH OPTIMASI YAITU

MEMAKSIMUMKAN/MEMINIMUMKAN SUATU BENTUK FUNGSI OFJEKTIF/FUNGSI SASARAN DENGAN KENDALA-KENDALA

BERUPA SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

PENGERTIAN

MENGGAMBAR PERSAMAAN GARISMENGGAMBAR PERSAMAAN GARIS

Buatlah garis 2x+3y=6Buatlah garis 2x+3y=6

x=0x=0 2(0)+3y=62(0)+3y=6

3y=63y=6

y=2 ,jadi titik (0,2)y=2 ,jadi titik (0,2)

y=0y=0 2x+3(0)=62x+3(0)=6

2x=62x=6

x=3,jadi titik (3,0)x=3,jadi titik (3,0)

(0,2)

y

x(6,0)

DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN TERSEBUT

DAPAT DIGAMBARKAN DENGAN CARA BERIKUT :

1. ARSIR DAERAH YANG TIDAK MEMENUHI x ≥0

2. ARSIR DAERAH YANG TIDAK MEMENUHI y ≥ 0

3. GAMBAR GARIS x + y = 6 LALU ARSIR DAERAH YANG TIDAK MEMENUHI x + y ≤ 6

4. GAMBAR GARIS 3x + 8y = 24 LALU ARSIR DAERAH YANG TIDAK MEMENUHI 3x + 8y ≤ 24

5. DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIANNYA ADALAH DAERAH YANG TIDAK DIARSIR YANG MERUPAKAN IRISAN KEEMPAT PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN DI ATAS.

x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 0 , dan 3x + 8y ≤ 24 untuk x, y є R

DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN

D H P

Y

3

6

x ≥0

X

60 8y ≥ 0

x + y ≤ 6

.

3x + 8y ≤ 24

PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR x ≥0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 6 , dan 3x + 8y ≤ 24 untuk x, y є R

DAPAT DITENTUKAN DENGAN CARA ELIMINASI ATAU SUBSTITUSI DUA GARIS YANG BERPOTONGAN

SEPERTI TAMPAK PADA GAMBAR

TERLEBIH DAHULU SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DI UBAH KE BENTUKSISTEM PERSAMAAN LINEAR

x = 0 , y = 0 , x + y = 6 , 3x + 8y = 24

Garis x = 0 dan 3x + 8y = 24 berpotongan di titik ( 0 , … )

x = 0 maka 3(0) + 8y = 24 sehingga y =

Garis y = 0 dan x + y = 6 berpotongan di titik ( … , 0 )

y = 0 maka x + (0) = 6 sehingga x = …

Garis x + y = 6 dan 3x + 8y = 24 berpotongan di titik ( … , … )

x = 6 – y maka 3( … ) + 8y = 24

y = … sehingga x = …

6 – y

6

6

6

5

6

5

24

5

24

6

5

6

NILAI MAKSIMUM/MINIMUMNILAI MAKSIMUM/MINIMUM

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM / MINIMUM ATAU NILAI OPTIMAL DARI FUNGSI TUJUAN / FUNGSI SASARAN F(X, Y) SALAH SATU CARANYA DENGAN MENGUJI TITIK-TITIK SUDUT ATAU TITIK-TITIK DISEKITARNYA PADA DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI GAMBAR DIPEROLEH 3 BUAH TITIK SUDUT , B(6, 0), DAN C(0, 3) JIKA FUNGSI TUJUANNYA F( x , y ) = 5x + 10y MAKA

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

),( 524

56A

30)0(10)6(5)0,6()0,6( FB

54)(10)(5),(),( 524

56

524

56

524

56 FA

30)3(10)0(5)3,0()3,0( FC

DIPEROLEH NILAI MAKSIMUMNYA ADALAH 54 DAN NILAI MINIMUMNYA ADALAH 30

CONTOH :

Seorang peternak ayam membutuhkan 2 jenis makanan ayam. Makanan jenis I dalam 1 kg mengandung 9 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan makanan jenis II dalam 1 kg mengandung 3 unit bahan A dan 18 unit bahan B. Setiap hari, 10 ekor ayamnya membutuhkan sekurang-kurangnya 27 unit bahan A dan 30 unit bahan B. Jumlah makanan jenis I dan jenis II untuk 10 ekor ayamnya minimal 5 kg/hari. Harga makanan jenis I adalah Rp 1.000,00/kg dan jenis II adalah Rp2.000,00/kg. Buatlah model matematikanya dan berapa kg masing-masing jenis makanan yang harus dibeli agar pengeluarannya minimum serta berapa pengeluaran minimumnya.

Jawab :

MODEL

MATEMATIKA

Model matematika adalah bahasa matematika yang menterjemahkan masalah program linear

Model matematika berupa kendala-kendala dan fungsi tujuan

NILAI MAKSIMUM/MINIMUMNILAI MAKSIMUM/MINIMUM

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM / MINIMUM ATAU NILAI OPTIMAL DARI FUNGSI TUJUAN / FUNGSI SASARAN F(X, Y) SALAH SATU CARANYA DENGAN MENGUJI TITIK-TITIK SUDUT ATAU TITIK-TITIK DISEKITARNYA PADA DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI GAMBAR DIPEROLEH 3 BUAH TITIK SUDUT , B(6, 0), DAN C(0, 3) JIKA FUNGSI TUJUANNYA F( x , y ) = 5x + 10y MAKA

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

),( 524

56A

30)0(10)6(5)0,6()0,6( FB

54)(10)(5),(),( 524

56

524

56

524

56 FA

30)3(10)0(5)3,0()3,0( FC

DIPEROLEH NILAI MAKSIMUMNYA ADALAH 54 DAN NILAI MINIMUMNYA ADALAH 30

Misalkan banyak makanan jenis I = x dan jenis II = y Misalkan banyak makanan jenis I = x dan jenis II = y

Jenis IJenis I Jenis IIJenis II Kapasitas/Kapasitas/KebutuhanKebutuhan

Banyak Banyak makananmakanan

xx yy 55

Bahan ABahan A 99 33 2727

Bahan BBahan B 33 1818 3030

BiayaBiaya 1.0001.000 2.0002.000

Model Matematikanya adalahModel Matematikanya adalah

x ≥ 0 x ≥ 0

y ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≥ 5 x + y ≥ 5 9x + 3y ≥ 27 dan 9x + 3y ≥ 27 dan 3x + 18y ≥ 30 3x + 18y ≥ 30

GAMBAR GRAFIK DAN GAMBAR GRAFIK DAN PENYELESAIANNYA PENYELESAIANNYA

SILAHKAN ANDA COBA SILAHKAN ANDA COBA KERJAKANKERJAKAN

PERHATIKAN TAMPILAN

Kita akan mencoba menentukan daerah Himpunan Penyelesiandari pertidaksamaan :

x ≥0 , y≥ 0 , 7x+2y<14 dan 3x+6y≤18

1. Gbr. x≥0

Y

X>0X<0

2.Gbr. y≥0

XO

y>0

Y<

0

3.Gbr. 7x+2y<14

.(2,0)

.(0,7)

7x+2y=14

7x+2y<147x+2y>14

4.Gbr.3x+6Y≤18

.(6,0)

.(0,3)

3X+6Y=18 3X+6Y>18

3X+6Y<18

DHP

Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang tidak diarsir

PERHATIKAN TAMPILAN Kita akan mencoba menentukan daerah Himpunan Penyelesiandari pertidaksamaan :

x ≥0 , y≥ 0 , 7x+2y<14 dan 3x+6y≤18

1. Gbr. x≥0

Y

X>0X<0

2.Gbr. y≥0

XO

y>0

Y<

0

3.Gbr. 7x+2y<14

.(2,0)

.(0,7)

7x+2y=14

7x+2y<14

7x+2y>14

4.Gbr.3x+6Y≤18

.(6,0)

.(0,3)

3X+6Y=18 3X+6Y>18

3X+6Y<18

DHP

Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang tidak diarsir

3x+6y=18

Sebuah colt dan sebuah truk digunakan untuk mengangkut 1000 m3pasir .Satu trip colt dapat mengangkut 2 m pasir dan truk 5m pasir.Untuk mengangkut pasir tersebut diperkirakan jumlah trip colt dan truk paling sedikit 350.Jika biaya angkut colt per tri Rp.15.000,- dan truk per trip Rp 30,000,- maka berapa colt dan truk yang disewa agar biaya semurah-murahnya,dan berapa biaya minimumnya?