Semiconductor en Equilibrio.

SECCIÓN 4.1 TRANSPORTADORES DE CARGA EN SEMICONDUCTORES

En un material semiconductor particular, la función de densidad de estados efectiva esta dada por Nc=Nco(T)3/2 y Nv=Nvo(T)3/2 donde Nvo y Nco son constantes independientes de la temperatura. La concentración de portadores intrínseca como una función de la temperatura esta dada en la tabla 4.5. Determine el producto NcoNvo y Eg (asuma que Eg es independiente de la temperatura).

Solución

ni2=N cN vexp [−Eg

kT ]k=¿8.62X10-5 eV/K

ln (1.026 X1011

3.375 )=19.29 Eg

Eg=24.1319.29

=1.25eV

a)

Sigc (E ) f F (E )=4 π (2mn

¿ )32

h3 √E❑−Ecexp [−(E❑−EF )kT ] considerando que la

aproximación de Boltzmann es válida; calculando la derivada del producto gc (E ) f F (E ) e igualándola a cero, podemos obtener el máximo.

(gc (E ) f F (E ) )´=4 π (2mn

¿ )32

h3 {√E❑−Ecexp [−(E❑−EF )kT ](−1

kT )+exp[−( E❑−EF )kT ] 1

2√E❑−Ec};

(gc (E ) f F (E ) )´=4 π (2mn

¿ )32

h3 {exp [−(E❑−EF )kT ][ 1

2√E❑−Ec

−√E❑−Ec

kT ]}; ahora, esto es cero si:

E→0 ó 1

2√E❑−Ec

=√E❑−Ec

kT ; E❑−Ec=

kT2

; E❑=kT2

+Ec así que cuandoE❑=kT2

+Ec

El producto gc (E ) f F (E )es máximo.

b)

Ahora, considerando que gv (E ) [1−f F (E ) ]=4 π (2m p

¿ )32

h3 √Ev−E❑exp [−(EF−E❑)kT ]esto es así si

asumimos como válida la aproximación de Boltzmann. Así que, utilizando el mismo

razonamiento que en a) debemos determinar cuando (gv (E ) [1−f F (E ) ])´=0; entonces

(gv (E ) [1−f F (E ) ])´=¿4 π (2m p

¿ )32

h3 {√Ev−E❑exp[−( EF−E❑)kT ] 1

kT−exp[−(EF−E❑ )

kT ] 12√Ev−E❑

};

(gv (E ) [1−f F (E ) ])´=4 π (2m p

¿ )32

h3 exp[− (EF−E❑ )kT ]{√Ev−E❑

kT− 1

2√Ev−E❑}; así que para

determinar cuando esta derivada es cero, tenemos que:

√Ev−E❑

kT− 1

2√E v−E❑

=0 ;esto es √Ev−E❑

kT= 1

2√E v−E❑

; E v−E❑=kT2

; E❑=Ev−kT2

. Entonces, cuando E❑=Ev−kT2

el producto gv (E ) [1−f F (E ) ] es máximo

Ejercicio 4.6

Asumir que la aproximación de Boltzman en un semiconductor es válida. Determinar la relación de n (E )=gc (E) f F (E) a E=Ec+4 kT y para E=Ec+kT /2.

SoluciónUsando la aproximación de Boltzman la ecuación queda:

n (E )=[ 4 π (2mn¿ )3 /2

h3 ∗√E−Ec ]∗[e(−(E−EF )kT )]

En este ejercicio tenemos dos energías y nos piden calcular la relación entre ambas por lo tanto llamaremos E1 a E=Ec+4 kT y E2 a E=Ec+kT /2 , para diferenciarlas. Ahora establecemos la relación de la siguiente forma:

n (E1 )n (E2 )

=[ 4 π (2mn

¿)3 /2

h3 ∗√E−Ec ]∗[e(−(E−EF )kT )]

[ 4 π (2mn¿)3 /2

h3∗√E−Ec ]∗[e(−(E−EF )

kT )]

Aquí vemos que podemos eliminar el término 4 π (2mn

¿ )3 /2

h3 porque son exactamente iguales,

entonces la ecuación queda:

n (E1 )n (E2 )

=[√E−Ec ]∗[e(−(E−E F)

kT )][√E−Ec ]∗[e(−(E−E F)

kT )]Ahora sustituimos los valores de E1 y E2, para obtener:

n (E1 )n (E2 )

=[√Ec+4 kT−Ec ]∗[e(−(E c+4kT−EF)

kT ) ][√Ec+kT /2−Ec ]∗[e(−(E c+k T /2−EF )

kT )]

Reducimos términos

n (E1 )n (E2 )

=[√4 kT ]∗[e(−(Ec+4 kT−EF )

kT )][√kT /2 ]∗[e(−(E c+kT /2−E F)

kT )]n (E1 )n (E2 )

=√8∗e(−(Ec+4kT−E F)

kT−

−(Ec+kT /2−E F)kT )

n (E1 )n (E2 )

=√8∗e(−4 kT+kT /2

kT )

n (E1 )n (E2 )

=√8∗e(−7 /2kT

kT )

n (E1 )n (E2 )

=0.0854

4.16 calcule la energía de ionización y el radio del electrón donador en el germanio utilizando la teoría de Borh. (Use la densidad de estados de masa efectiva como una primera aproximación)

Para poder calcular el radio del orbital donador podemos utilizar la siguiente expresión

El radio de Bohr esta definido como

Si consideramos el estado de mínima energía n=1

La energía de ionización del átomo de hidrogeno en estado de mínima energía es E=-13.6 eV

Tenemos que n0=N cexp [−(Ec−EF )kT ] y p0=N vexp [−(EF−Ev )

kT ] si T=300K, entonces

Nc=2.8x1019cm-3 y Nv=1.04x1019cm-3; ahora, sabemos que EF−Ev=0.22eV y Eg=1.12eV, así que

p0=1.04 x1019 exp[ −0.220.0259 ]=2.128 x1015 cm−3

n0=2.8 x1019 exp[ −0.90.0259 ]=2.269 x104 cm−3

4.21.-El valor de p0 para el silicio a una temperatura T=300 K es de 1015 cm−3. Determinar Ec−EF y n0.

SoluciónPrimero calculamos el valor de Ec−EF, despejándolo a partir de la fórmula de p0.

p0=N v∗e¿¿

p0

N v

=e¿¿

ln ( p0

N v)=−(E ¿¿ F−Ev )

KT¿

−(E¿¿F−Ev )=kT∗ln( p0

N v)¿

EF−Ev=−kT∗ln( p0

N v)

Sustituyendo valores tenemos:

EF−Ev=−0.0259∗ln( 1 x1015

1.04 x1019 )EF−Ev=0.24

Con este valor podemos obtener Ec−EF, si sabemos que Ec−Ev=1.12eV , de esta expresión despejamos E v, para después sustituirlo en EF−Ev=0.24,obteniendo lo siguiente:

E v=Ec−1.12eV

EF−(Ec−1.12eV )=0.24 eV

EF−Ec+1.12eV=0.24 eV

EF−Ec=−1.12eV +0.24 eV

Ec−EF=0.88eV

Por último nos piden calcular el valor de n0, con Ec−EF=0.88eV , por lo tanto lo único que tenemos que hacer es sustituir el valor de Ec−EF en la fórmula de n0 .

n0=N c∗e[−(E c−E F)

KT ]

Sustituimos lo valores para finalmente encontrar el valor de n0

n0=(2.8 x 1019)∗e[ −0.88

0.0259 ]

n0=4.91 x104 cm−3

Sabemos que

n0=N cexp [−(Ec−EF )kT ]; p0=N vexp [−(EF−Ev )

kT ]Pero esto no nos sirve, ya que lo que queremos es saber cual es el nivel de energía por encima de Ec y debajo de Ev donde la concentración es máxima, como vemos en el dibujo, no la total, que es lo que nos entregan las ecuaciones anteriores, así que, considerando que n0 (E )=Gc (E) f F (E) y considerando válida la aproximación de Boltzman:

n❑ (E )=4π (2mn

¿ )32

h3 √E−Ec exp[−(E−EF )kT ]

De acuerdo al dibujo

El máximo se obtiene cuando

d n❑

dE=0y considerando que Ec−EF=0.02eV ;

entonces EF=Ec−0.02así que

n❑ (E )=4π (2mn

¿ )32

h3 √E−Ec exp[−(E−Ec−0.02 )kT ]

d n❑

dE=

4 π (2mn¿ )

32

h3 {−√E−Ec

kTexp[− (E−Ec+0.02 )

kT ]+exp[−(E−E c+0.02 )kT ] 1

2√E−Ec}d n❑

dE

= 4 π (2mn¿ )

32

h3 exp [−(E−Ec+0.02 )kT ]( 1

2√E−Ec

−√E−Ec

kT )entonces si 4 π (2mn

¿ )32

h3 exp [−(E−Ec+0.02 )kT ]( 1

2√E−Ec

−√E−Ec

kT )=0 ,

exp [−(E−Ec+0.02 )kT ]→0conE→∞o ( 1

2√E−Ec

−√E−Ec

kT )=0 por lo que

12√E−Ec

=√E−Ec

kT y esto es cuando E= kT

2+Ec

Para el caso de po es un procedimiento similar, considerando que p0 (E )=G c(E)(1−f F (E )) y si es válida la aproximación de Boltzman:

p❑ (E )=4 π (2m p

¿ )32

h3 √Ev−E exp[−(EF−E )kT ];conEF=Ec−0.02 , entonces

p❑ (E )=4 π (2m p

¿ )32

h3 √Ev−E exp[−(Ec−0.02−E )kT ]

así que el máximo se obtiene cuando d p❑

dE=0 por lo que

d n0

dE=

4 π ( 2mp¿ )

32

h3 {√Ev−EkT

exp [−(Ec−0.02−E )kT ]−exp[−(Ec−0.02−E )

kT ] 12√Ev−E };

d n0

dE=

4 π ( 2mp¿ )

32

h3 exp[−(Ec−0.02−E )kT ]{√Ev−E

kT−

12√Ev−E }entonces si

4 π (2m p¿ )

32

h3 exp [−(Ec−0.02−E )kT ]{√Ev−E

kT−

12√Ev−E }=0,

exp [−(E c−0.02−E )kT ]→0con E→∞o

√Ev−EkT

− 12√Ev−E

=0esto es √Ev−E

kT= 1

2√Ev−E si E=Ev−

kT2

.

SECCIÓN 4.5 NEUTRALIDAD DE CARGA

4.27 la aproximación de Boltzman puede es valida para un semiconductor, el nivel de Fermi debe ser al menos 3kT por debajo del nivel donador en un material tipo n y al menos 3kT por arriba del nivel aceptor en un material tipo p. si T=300 K, determine la máxima concentración de electrones en un semiconductor tipo n y la máxima concentración de huecos en un semiconductor tipo p para que la aproximación de boltzman sea valida a) silicio, b)GaAs

4.29.- considere un semiconductor de germanio a T=300K calcule la concentración de equilibrio térmico de n0 y p0 para a) Na=1013c m−3N d=0 y b) Nd=5 x1015 cm−3 , Na=0.Solución:

(a) Primero consideraremos el valor de ni=2.4 x1013 c m−3 para el Germanio.

Entonces

Ahora para n0

Entonces tenemos que:

Ahora para p0

4.31 Determine la concentración de electrones y huecos en el silicio para las siguientes condiciones.

4.36.- En una muestra de GaAs a T=200 K, hemos determinado experimentalmente que n0=5 p0 y que Na=0. Calcular n0, p0 y N D.SoluciónTenemos que este material GaAsvaria en función de la temperatura de la siguiente forma:

Ahora

Finalmente

Sabemos que n0 p0=ni2 así que, asumiendo ionización completa, tenemos que

n0+N a=p0+Nd

Se puede escribir n0+N a=ni

2

n0

+N d así que Na=ni

2

n0

+Nd−n0 esto es

Na=(1.5 x 1010 )2

4.5 x104 +5 x1015−4.5 x104

Na=1x 1016cm−3yp0=5 x 1015cm−3

así que:

a) El material es tipo p, ya que p0>>n0 pero es compensado.

b) Los portadores mayoritarios p son p0=5 x 1015cm−3 y los portadores minoritarios n

son n0=4.5 x104 cm−3 .

c) Hay impurezas tipo n e impurezas tipo p, la concentración de impurezas tipo n es

Nd=5 x1015 cm−3y la concentración de impurezas tipo p es Na=1x 1016cm−3.

4.45 Un dispositivo de GaAs esta dopado con una concentración de donadores de 3X1015 cm-3. Para que el dispositivo funcione apropiadamente, la concentración de portadores intrínseco debe permanecer menor del 5 % del total de concentración de electrones. Cual es el máximo de temperatura de operación del dispositivo?.

Sección 4.6 Posición y nivel de fermi.

Considerando que EFi−Emidgap=34kTln(m p

¿

mn¿ ); EFi−Emidgap=

34

(8.62x10-5)(300)ln(10);

EFi−Emidgap=0.045eV

Así que: a) el nivel de Fermi intrínseco esta 45meV por encima del punto medio del ancho de banda prohibida del semiconductor.b) i) si ahora EF está 0.450eV por debajo del Emidgap, es claro que son aceptoras las impurezas agregadas, ya que el nivel de Fermi se aproxima a la banda de valencia.

ii) si p0=niexp [−(EF−EFi )kT ]; como EFi−Emidgap=0.045eV ; EFi=0.045+.750 ;

EFi=0.795eV ;ahora como EFesta .450eV por debajo delmidgap

EF=0.750−0.450; EF=0.3eV ; entoncesp0=1 x105exp [−( .3−.795 )0.0259 ];

N A=p0=1.996 x 10−3 cm−3

4.50.- El silicio a T=300K es dopado con una concentración de átomos aceptores de

Na=7 x1015 cm−3 a) Determine Ef - Ev b) Calcular la concentración de átomos aceptores

adicional que se debe agregar para mover el nivel de Fermi a una distancia kT mas cerca del límite de la banda de valencia.

Sol. A) de la ecuación 4.67 tenemos que:

Ef−Ev=kT∗ln [ N v

Na]=0.0259∗ln [ 1.04 x 1019

7 x1015 ]=0.189eV

Ef−Ev−kT=0.189eV−0.0259eV=0.163eV

Ef−Ev−kT=kT∗ln [ N v

N a]=¿ Ef−Ev−kT

kT=ln [ N v

N a]=¿exp( Ef−Ev−kT

kT )=N v

N a

Na=N v exp−(Ef −Ev−kTkT )=1.922 x1016c m−3

Por lo tanto: 1.922 x1016 cm−3−7 x1015 cm−3=1.22 x1016 c m−3

4.51 (a) Determine la posición del nivel de fermi con respecto al nivel de fermi intrínseco del silicio

a T=300K que esta dopado con átomos de fosforo a una concentración de 1015 cm−3 (b) repita (a) si

el silicio esta dopado con átomos de boro a una concentración 1015 cm−3 (c) Calcule la

concentración de electrones en el silicio para la parte (a) y (b).

Solución:

(a)Usando la ecuación (4.65)

EF−EFi=kTIn( n0

n i)

para un semiconductor tipo n, la cual nos muestra la diferencia de la posición entre el nivel

intrínseco y el nivel de fermi respecto a la concentración de donadores. Si n0>ni y EF>EFi.

Sustituyendo valores tenemos

EF−EFi=(0.0259eV )∈( 1015 cm−3

1.5 x1010 c m−3 )=0.2876eV

(b) de la misma forma usando la ecuación (4.66) para un semiconductor tipo p, la cual nos muestra la diferencia de la posición entre el nivel intrínseco y el nivel de fermi respecto a la concentración

de aceptores. Si p0>n i y EFi>EF .

EFi−EF=kTIn( p0

ni)

EFi−EF=kTIn( p0

ni)=¿(0.0259eV )∈( 1015c m−3

1.5 x1010c m−3 )=0.2876 eV

(c) Para (a) n0=Nd=1015c m−3

Para (b) usando la ley de acción de masas tenemos:

n0 p0=ni2 Entonces n0=

ni2

p0

=( (1.5 x1010 cm−3 )2

1015c m−3 )=2.25 x105 c m−3