capÍtulo iv - os semicondutores em equilíbrio - semiconductor physics and devices 3rd ed. - j....

8/15/2019 CAPÍTULO IV - Os Semicondutores em Equilíbrio - Semiconductor Physics And Devices 3rd ed. - J. Neamen (1).pdf

1/49


2/49

Finalmente, como parte desta discussão, vamos tentar adicionar mais conhecimentosobre o significado da energia de Fermi.

4.1 | PORTADORES DE CARGA EM SEMICONDUTORES

A taxa de fluxos de carga é atual. Em um semicondutor, dois tipos de portadores decarga, o elétron eo buraco, pode contribuir para uma corrente. Uma vez que a correntede um semicondutor é determinada em grande parte, por o número de electrões da

banda de condução e o número de orifícios no lado de valência, uma característicaimportante do semicondutor é a densidade destes portadores de carga. A densidade deelectrões e lacunas estão relacionadas com a densidade de estados de função e a funçãode distribuição de Fermi, ambos os quais temos considerado. A discussão qualitativadessas relações vai: ser seguida por uma derivação matemática mais rigorosa daconcentração de equilíbrio térmico de elétrons e buracos.

4.1.1 Equilíbrio Distribuição de Elétrons E Buracos

A distribuição (no que diz respeito à energia) de electrões na banda de condução é dada pela densidade de estados quânticos permitidos vezes a probabilidade de que um estadoé ocupada por um electrão. Esta declaração é escrito em forma de equação como

onde f F(E) é a função de Fermi-Dirac probabilidade e gc(E) é a densidade de estadosquânticos na banda de condução. A concentração total de electrões por unidade devolume na banda de condução é, então, encontrada por meio da integração A equação(4.1) ao longo de toda a energia da banda de condução.

Da mesma forma, a distribuição (em relação à energia) de furos na curva devalência é a densidade de estados de quantum permitidos no lado de valênciamultiplicado pela probabilidade de que um estado nem é ocupada por um electrão.Podemos expressar isso como

A concentração total buraco por unidade de volume é encontrado integrando esta funçãoao longo de toda a energia valência-band.

Para encontrar as concentrações de elétrons e buracos equilíbrio térmico, precisamos determinar a posição da energia Fermi EF, com relação ao fundo da energia

da banda de condução Ec, e na parte superior da energia valência-band Ev. Para resolveresta questão, vamos inicialmente considerar um semicondutor intrínseco. Umsemicondutor intrínseco ideal é um semicondutor puro, sem átomos de impureza e nãohá defeitos de rede do cristal (por exemplo, silício puro). Nós argumentamos no capítuloanterior que, para um semicondutor intrínseco a T = 0 K, todos os estados de energia na

banda de valência são preenchidos com elétrons e todos os estados de energia na bandade condução são vazios de elétrons. A energia Fermi deve, portanto, estar em algumlugar entre Ec e Ev.(A energia Fermi não precisa corresponder a uma energia permitida.)

À medida que a temperatura começa a subir acima de 0 K, os electrões devalência vai ganhar energia térmica. A poucos elétrons na banda de valência podeganhar energia suficiente para saltar para a banda de condução. Como um elétron salta

da banda de valência para a banda de condução, um estado vazio, ou um buraco, écriado na banda de valência.


3/49

Em um semicondutor intrínseco, em seguida, os electrões e os furos são criadosem pares pela energia térmica, de modo que o número de electrões da banda decondução é igual ao número de orifícios na banda de valência.

Figura 4.1 | (a) Densidade de funções estados, função de probabilidade de Fermi-Dirac,e áreas que representam as concentrações de elétrons e buracos para o caso em que EF,

está perto da energia midgap; (b) visão expandida perto da energia da banda decondução; e (c) vista expandida perto da energia da banda de valência.

A Figura 4.la mostra um gráfico da densidade de estados funcionais na banda decondução gc(E), a densidade de estados de funcionar na banda de valência gv(E), e afunção de probabilidade de Fermi-Dirdc para T > 0 K quando E F é aproximadamente ameio caminho entre Ec e Ev, Se partirmos do princípio, para o momento, que os elétronse buracos eficaz massas são iguais, então gc(E) e gv(E) são funções simétricas sobre a

energia midgap (a meio caminho de energia entre Ec e Ev). Observamos anteriormenteque a função, f F(E) para E > EF é simétrica para a função 1 - f F(E) para E < EF sobre aenergia E = EF. Isto também significa que a função f F (E) para E = EF + dE é igual àfunção. 1 - f F(E) para E = EF - dE.

A Figura 4.1b é uma visão ampliada da trama na Figura 4.la mostrando f F(E) egc(E) acima da banda de condução de energia E c. O produto de gc(E) e f F(E) é adistribuição de electrões n(E) na banda de condução dada pela Equação (4.1). Este

produto está representada na Figura 4.la. A Figura 4.lc é uma visão ampliada da tramana Figura 4.la mostrando [1 - f F(E)] e gv(E) abaixo da energia banda de valência Ev. O

produto de gv(E) e [l - f F(E)] é a distribuição de furos p(E) na banda de valência dada pela Equação (4.2). Este produto também está representada graficamente na Figura 4. la.

As áreas sob as curvas são, então, a densidade total de elétrons na banda de condução ea densidade total de buracos na banda de valência.


4/49

Daí se vê que, se gc(E) e gv(E) são simétricas, a energia Fermi deve estar naenergia midgap, a fim de obter concentrações iguais de elétrons e buracos. Se as massaseficazes do electrão e buracos não são exatamente iguais, então a densidade efetiva defunções estados gc(E) e gv(E) não será exatamente simétrica sobre a energia midgap. Onível de Fermi para o semicondutor intrínseco vai então deslocar ligeiramente a partir

da energia midgap, a fim de obter concentrações iguais de electrões e buracos.

4.1.2 As Equações n0 e p0

Argumentamos que a energia de Fermi para um semicondutor intrínseco está pertomidgap. Ao determinarem as equações para a concentração, o equilíbrio térmico doselétrons n0 ea concentração de equilíbrio térmico de buracos p0, não vamos ser tãorestritivo. Veremos mais tarde que, em determinadas situações, a energia de Fermi podedesviar-se desta energia midgap. Vamos supor inicialmente, no entanto, que o nível deFermi permanece dentro da energia da banda proibida.

A equação para a concentração de equilíbrio térmico de electrões pode serencontrado através da integração da equação (4.1) através da banda de condução deenergia, ou

O limite inferior de integração é Ec, e o limite superior da integração deve ser o topo daenergia da banda de condução permitida. No entanto, uma vez que a probabilidade dafunção Fermi rapidamente se aproxima de zero com o aumento da energia, comoindicado na figura 4.la, podemos tomar o limite superior de integração a ser infinito.

Estamos assumindo que a energia de Fermi está dentro da zona proibida de

energia bandgap Para os elétrons na banda de condução, temos E > Ec. Se (Ec - EF) >>kT, em seguida (E - EF) >> kT, de modo que a função de probabilidade de Fermi reduza aproximação de Boltzman,1 que é

________1As funções de distribuição de Maxwell-Boltzrmann e Fermi-Dirac estão dentro de 5 por cento do outroquando E - EF =/ 3kT (veja a Figura 3.33). O >> notação é, então, um pouco enganador para indicarquando a aproximação Boltzrmann é válida, embora seja comumente usado.

______________________________________________________________________

Aplicando a aproximação de Boltzmann a equação (4.3), a densidade de equilíbrio

O integrante da equação (4.5) pode ser resolvido mais facilmente fazendo umamudança de variável. Se deixarmos


5/49

em seguida, a equação (4.5) se torna:

A integral é a função gama, com um valor de:

Em seguida, a equação (4.7) se torna:

Podemos definir um parâmetro como Nc:

de modo que a concentração de elétrons em equilíbrio térmico na banda de condução pode ser escrito como:

O parâmetro Nc é chamado função densidade efetiva dos Estados na banda decondução. Se fôssemos supor que mn

*= m0, então o valor da função densidade efetivados estados em T = 300k é Nc = 2.5x1019cm-3, que é a ordem de grandeza de Nc para a

maioria dos semicondutores. Se a massa efetiva dos elétrons é maior ou menor do quem0, em seguida, o valor da função densidade efetiva dos Estados se altera conforme avariação sofrida pela massa, mas ainda é a mesma ordem de grandeza.

Exemplo 4.1 | Objetivo

Calcule a probabilidade de que um estado na banda de condução é ocupado por umelétron e calcular a concentração de elétrons equilíbrio térmico em silício a T = 300k.

Assumindo que a energia de Fermi é 0.25eV abaixo da banda de condução. Ovalor de Nc para o silício em T = 300K é Nc = 2.8x1019cm-3.

Solução

A probabilidade de que um estado de energia de E = Ec seja ocupada por elétrons édada por

ou


6/49

A concentração de elétrons é dada por

ou

Comentário

A probabilidade de um estado ser ocupado pode ser bastante pequena, mas o fato de quehá um grande número de estados significa que a concentração elétrons é um valorrazoável.

A concentração de equilíbrio térmico de orifícios na banda de valência é

encontrada através da integração da equação (4.2) sobre a energia da banda de valência,ou:

Podemos notar que:

Para os estados de energia na banda de valência, E < Ev. Se (Ef-Ev) >> kT (a função deFermi ainda é considerado dentro da banda proibida), em seguida, temos uma formaligeiramente diferente da aproximação de Boltzmann. Equação (4.13a) pode ser escritacomo:

Aplicando a aproximação de Boltzmann da equação (4.13b) à equação (4.12),encontramos a concentração de equilíbrio térmico de buracos na banda de valência é:

em que o limite inferior de integração é tomado como infinito negativo, em vez da parteinferior da banda de valência. O termo exponencial decai rápido o suficiente para queesta aproximação seja válida.

A equação (4.14) pode ser resolvida mais facilmente novamente fazendo umamudança de variável. Se deixarmos:


7/49

Então a equação (4.14) se torna:

onde o sinal negativo vem do diferencial dE=-kTdn'. Note-se que o limite inferior de n'tornar-se quando E = . Se mudarmos a ordem de integração, nósintroduzimos outro sinal de menos. A partir da Equação (4.8). A equação (4.16) setorna:

Podemos definir um parâmetro como Nv:

o qual é chamado a função densidade efetiva dos Estados na banda de valência. Aconcentração de equilíbrio térmico de orifícios na banda de valência pode agora serescrita como:

A magnitude de Nv também é da ordem de 1019cm-3, a T = 300 K para a maioria dossemicondutores.


Calcular a concentração de furos em equilíbrio térmico no silício a T = 400K.Suponha que a energia de Fermi é 0.27eV acima da energia da banda de

valência. O valor de Nv para silício a T = 300K é Nv = 1.04x1019cm-3.

Solução

Os valores de parâmetros em T = 400K são encontrados como:

e

a concentração de furos é então

ou


8/49

Comentário

Os valores dos parâmetros a qualquer temperatura pode ser facilmente encontradousando os valores de 300K e a dependência da temperatura.

A densidade efetiva dos estados de funções, Nc e Nv, são constantes para umdeterminado material semicondutor em uma temperatura fixada. A tabela 4.1, mostra osvalores da densidades dos estados de função e as massas efetivas do silício, arsenato degálio e germânio. Note que o valor de Nc para o arsenato de gálio é menor do que ovalor típico 10^19 cm^-3. Esta diferença é devido a pequena massa efetiva do elétron noarsenato de gálio.

As concentrações de equilíbrio térmico de elétrons na banda de condução e de buracos na banda de valência estão diretamente relacionados a densidade efetiva deestados constantes e do nível de energia de Fermi.

______________________________________________________________________

TESTE SUA COMPREENSÃO

E4.1: Calcular o equilíbrio térmico do elétron e a concentração de buracos no silício para T=300K para o caso em que o nível da energia de Fermi é 0,22 eV, abaixo da banda de condução de energia Ec. O valor de Eg é dado no apêndice B.4.

E4.2: Determine o equilíbrio térmico do elétron e a concentração de buracos no GaAsem T=300 K para o caso quando o nível de energia de Fermi é 0,30 eV acima da energiada banda de valência Ev. O valor de Eg é dado no apêndice B.4.

______________________________________________________________________

4.1.3 A Concentração De Portadores Intrínsecos

Para um semicondutor intrínseco, a concentração de elétrons na banda de condução éigual a concentração de buracos na banda de valência. Nós podemos denotar Ni e Picomo as concentrações de elétrons e buracos, respectivamente, em um semicondutorintrínseco. Estes parâmetros são usualmente referidos como a concentração intrínsecado elétron e concentração intrínseca do buraco. Como as concentrações de elétrons e

buracos, respectivamente, em um semicondutor intrínseco. Estes parâmetros sãousualmente referidos como a concentração intrínseca do elétron e concentraçãointrínseca do buraco. Contudo, Ni = Pi, então normalmente nós simplificamos usando o

parâmetro Ni como uma concentração de portador intrínseco, que se refere ou aconcentração de de elétrons intrínsecos ou a concentração de buracos.

Tabela 4.1| Densidade efetiva de estados de função e valores de massa efetiva

O nível de energia de Fermi para os semicondutores intrínsecos é chamado deenergia de Fermi intrínseco, ou Ef=Efi. Se nós aplicarmos as equações (4.11) e (4.19)

para o semicondutor intrínseco, então nós podemos escrever


9/49

e

se pegarmos o produto das equações (4.20) e (4.21), nós obtemos

ou

onde Eg é a energia de banda proibida. Para obter um material semicondutor numatemperatura constante, o valor de Ni é uma constante, e independente da energia deFermi.

A concentração do portador intrínseco para o silício em T=300 K pode sercalculada pelo uso da densidade efetiva dos valores da função de estados na tabela 4.1.O valor comumente aceito de Ni para o silício em T=300 K é aproximadamente1,5x10^10 cm^-3. Esta discrepância pode surgir por diversas fontes. Primeiro, os

valores das massas efetivas são determinados numa baixa temperatura onde asexperiências de ressonância cyclotron são realizadas. Uma vez que a massa efetiva é um

parâmetro determinado experimentalmente, e uma vez que a massa efetiva é umamedida do quão bem uma partícula se movimenta em um cristal, este parâmetro podeser uma leve função da temperatura. A densidade dos estados de função para umsemicondutor são obtidos por uma generalização do modelo de um elétron em um

potencial infinito tridimensional. Esta função teórica pode não concordar exatamentecom a experiência. Contudo, a diferença entre o valor teórico e o valor experimental de

Ni é aproximadamente um fator de 2, que, em muitos casos, não é significante. A tabela4.2 lista os valores comumente aceitos de Ni para o silício, arsenato de gálio e germânioem T=300 K.

Tabela 4.2| Valores comumente aceitos de Ni em T=300 K.

A concentração dos portadores intrínsecos é muito forte em função da temperatura. ________2Várias referências podem listar valores ligeiramente diferentes da concentração de silício intrínseca àtemperatura ambiente. Em geral, eles são todos entre 1x10^10 e 1,5x10^10 cm^-3. Esta diferença é, em

muitos casos, não significante. ______________________________________________________________________


10/49

______________________________________________________________________Exemplo 4.3 | Objetivo

Para calcular a concentração de portador intrínseco no arsenato de gálio em T=300 K eem T=450 K.

Os valores de Ne e Nv em 300K para o arsenato de gálio são 4,7x10^17 cm^3 e7,0x10^18 cm^-3, respectivamente. Tanto Ne e Nv variam conforme T^3/2. Assume-seque a energia de banda proibida do arsenato de gálio é 1,42 eV e não varia com atemperatura dentro deste intervalo. O valor de kT em 450 K é

Solução

Usando a equação (4.23), nós encontramos para T=300 K

de modo que

em T = 450 K, nós encontramos

de modo que

Comentário

Podemos observar a partir deste exemplo que a concentração dos portadores intrínsecosaumentou mais de quatro ordens de grandeza e que a temperatura aumentou de 150 °C. ______________________________________________________________________

A figura 4.2 é um gráfico de Ni da equação (4.23) para o silício, arsenato de gálio egermânio em função da temperatura. Como pode ser visto na figura, o valor de Ni paraestes semicondutores pode muito facilmente ao longo de várias ordens de grandeza termudanças de temperatura ao longo de um intervalo razoável.


11/49

Figura 4.2 | Concentração intrínseca de portadores de condução do Ge, Si e GaAs comouma função da temperatura.

______________________________________________________________________TESTE SUA COMPREENSÃO

E4.3: Encontrar a concentração de portadores de cargas no silício a (a) T=200K e (b)T=400K

E4.4: Repetir o mesmo exercício para o GaAs

E4.5: Repetir o mesmo exercício para o Ge ______________________________________________________________________

4.1.4 A Posição Intrínseca De Nível Fermi

Temos qualitativamente argumentos para afirmar que a energia de Fermi está localizada perto do centro da banda proibida (GAP) para o semicondutor conduzir. Podemosespecificamente calcular a posição da energia de Fermi. Uma vez que as concentraçõesde elétrons e buracos são iguais, Equações de ajuste (4,20) e (4,21) iguais entre si,temos:


12/49

Se tomarmos o log natural de ambos os lados desta equação e resolver para E Fi,obtemos:

A partir das definições para Nc e N0 dadas pelas equações (4.10) e (4.18),respectivamente Equação (4.25) pode ser escrita como:

O primeiro termo, 1/2 (Ec + Ev), é a energia a meio caminho exatamente entre Ec e Ev,ou a energia média do GAP. Podemos definir:

Assim :

Se a quantidade de elétrons e buracos são iguais para que mp* = mn*, então a energiaintrínseca de Fermi é exatamente no centro do GAP. Se mp *> mn *, a energiaintrínseca de Fermi é um pouco acima do centro, e se mp *


13/49


E4.6: Determine a posição do nível Fermi com respeito ao centro da banda proibida noGaAs a T=300K.

______________________________________________________________________

4.2 |DOPAMENTO DE ÁTOMOS E OS NÍVEIS DEENERGIA

O semicondutor pode ser um material interessante, mas o poder real de semicondutoresé realizado por adição de quantidades pequenas, controladas de dopante específico, ouimpureza. Este processo de dopagem, brevemente descrito no capítulo 1, pode alterarmuito as características elétricas do semicondutor. O semicondutor dopado, é a principalrazão de nós podermos fabricar os vários dispositivos semicondutores que

consideraremos em capítulos posteriores.

4.2.1 Descrição Qualitativa

No capítulo 3, discutimos a ligação covalente de silício e considerando a simplesrepresentação bidimensional do reticulado de silício de cristal único como mostrado nafigura 4.3. Agora consideraremos adicionando um elemento do grupo 5 (com cincoelétrons de valência). Quatro destes irá contribuir para a ligação covalente com osátomos de silício, deixando o quinto mais fracamente ligado ao átomo de fósforo. Esteefeito é mostrado esquematicamente na figura 4.4. Referimo-nos ao quinto elétron devalência como um elétron doador.

Figura 4.3 | Representação bidimensional do reticulado de silício

intrínseco.

Figura 4.4 | Representação bidimensional do reticulado de silício

dopado com um átomo de fósforo.

O átomo de fósforo, sendo o doador de elétrons é carregado positivamente. Emtemperaturas muito baixas, o doador de elétrons é ligado ao átomo de fósforo. Noentanto, por intuição, que deve parecer evidente que a energia necessária para elevar odoador de elétrons na banda de condução é consideravelmente menor do que para os

elétrons envolvidos na ligação covalente.


14/49


15/49

Como mostrado na Figura 4.6a, uma posição de ligação covalente parece estarvazio, se um elétron ocupar essa posição, sua energia teria que ser maior do que o doselétrons de valência, uma vez que o estado de carga líquida do átomo de boro agoraseria negativo. No entanto, o elétron ocupando esta posição "vazia" não tem energiasuficiente para estar na banda de condução, de modo que sua energia é muito menor do

que a energia da banda de condução. A figura 4.6b mostra como elétrons de valência podem ganhar uma pequena quantidade de energia térmica e mover-se no cristal. A posição "vazia" associada ao átomo de boro torna-se ocupada, e outras posições deelétrons de valência se tornam desocupadas. Estas outras posições desocupadas porelectrons podem ser pensados como furos no material semicondutor.

Figura 4.7 mostra o estado de energia esperado da posição "vazia" e também aformação de um buraco na banda de valência. O papel pode mover-se através dageração de uma corrente de cristal, enquanto que o átomo de boro está carregadonegativamente fixado no cristal. O átomo de grupo 3 aceita um electro n da banda devalência e por isso é referido como um átomo aceitador de impureza. O átomo receptor

pode gerar buracos na banda de valência sem gerar elétrons em banda de condução.este

tipo de material semicondutor, é referida como um material do tipo p ( p para o buracocarregado positivamente).

O material semicondutor de cristal único puro é chamado um material intrínseco.Adição de quantidades controladas de átomos dopantes, quer doadores ou aceitadores,cria um material chamado um semicondutor extrínseco. Um semicondutor extrínseco outerá uma preponderância de eletrons (tipo n) ou uma preponderância de orifícios (tipo

p).

4.2.2 Energia de ionização

Pode-se calcular a distância aproximada do doador de eletrons a partir do doadorde íons de impureza, e também a energia aproximada necessária para elevar o doador deelectrons na banda de condução. Esta energia é referida como a energia de ionização. A

justificativa para a utilização deste modelo é que a distância mais provável de umeletron a partir do núcleo de um átomo de hidrogénio, determinada a partir de mecânicaquântica, é o mesmo que o raio de Bohr. Os níveis de energia do átomo de hidrogénio,determinados pela mecânica quântica, também são os mesmos tal como obtido a partirda teoria Bohr.

No caso do átomo doador de impureza, podemos visualizar o doador de eletronsem órbita ao doador de ions, que é incorporado no material semicondutor. Teremos queusar a permitividade do material semicondutor nos calculos em vez da permissividade

do vácuo, como é utilizado no caso do átomo de hidrogénio. Vamos todos usar a massaefetiva do elétron nos cálculos.A análise começa por definir a força de Coulomb de atração entre o elétron e o

íon igual a força centrípeta do electron que o orbita. Esta condição nos da uma orbitaestável. Temos

(4.27)

Em quev

é a magnitude da velocidade er n

é o raio da órbita.se assumirmos que omomento angular também é quantificado, então podemos escrever.


16/49

(4.28)

Onde n é um número inteiro positivo, resolvendo para v a partir da equação (4.28),substituindo na equação (4.27), e resolvendo para o raio, obtemos.

(4.29)

O pressuposto de que o momento angular pode ser quantizado conduz para que o raiotambém possa ser quantizado

O raio de Bohr é definido como

(4.30)

Podemos normalizar o raio do orbital doador para o do raio de Borh, que da

(4.31)

Onde Єr é a constante dielétrica relativa do material semicondutor, m0 é a massa emrepouso de um electrão, e m* representa a condutividade da massa eficaz do elettron dosemicondutor.

Se levarmos em conta o estado de mais baixa energia, em que E = 11,7 e amassa efetiva condutividade é m* / m o = 0,26, segue que

(4.32)

ou r1 = 23.9 Å. Este raio corresponde a aproximadamente quatro estruturas constantesde silício. Recordamos que uma célula unitária de silício contém, efetivamente, oitoátomos, de modo que o raio do eletron doador orbitando, engloba diversos átomos desilício. O eletron doador não está fortemente ligado ao átomo doador.

A energia total do elétron que orbita é dada por

(4.33)

em que T é a energia cinética e V é a energia potencial do elétron. a energia cinética é

(4.34)

Utilizando a velocidade v a partir da equação (4.28) e o raio Rn partir da equação(4.29),a energia cinética torna-se


17/49

(4.35) A energia potencial é

(4.36)

A energia total é a soma das energias cinéticas e potenciais, de modo que aenergia total é a soma das energias cinéticas e potenciais, de modo que

(4.37)

Para o átomo de hidrogênio, m* = m 0 e o.a energia de ionização do átomo dehidrogênio no estado de menor energia é então E = -13,6 eV. se considerarmos silício, aenergia de ionização é E = -25,8 MeV, muito menor do que a energia da banda proibidado silício. Essa energia é a energia aproximada de ionização do átomo doador, ou aenergia necessária para elevar o doador de eletrons na banda de condução.

Para impurezas doadoras comuns tal como fósforo ou arsénico em silício ougermânio, este modelo hidrogenóide funciona muito bem e dá alguma indicação dasmagnitudes das energias de ionização envolvidas. Tabela 4.3 lista as energias deionização medidas experimentalmente reais para algumas impurezas no silício egermânio. Germânio e silício têm diferentes constantes dielétricas relativas e massas

eficazes; assim, esperamos que as energias de ionização sejam diferentes.

4.2.3 Grupos III-V Semicondutores

Nas seções anteriores, temos discutido sobre as impurezas doador e receptor em umgrupo IV de semicondutores, como o silício. a situação do grupo III-V.

Tabela 4.3| Energias de ionização de impurezas em silício e germânio


18/49

Tabela 4.4| Energias de Ionização de impurezas em arseneto de gálio

Compostos semicondutores, tais como arseneto de galio, é mais complicado. Os gruposde elementos como o: zinco e cadmio podem ser inseridos como rede de impureza

substitucional, fazendo o elemento gálio do grupo III tornar-se um receptor deimpurezas. Igualmente, os elementos do grupo VI, selênio e o telúrio, podem serinseridos como rede de impureza substitucional, substituindo o grupo V elementoarsênio tornando-o doador de impurezas.

As energias de ionização dessas impurezas são tão pequenas quantos asimpurezas do silício. A energia de ionização para doadores no arseneto de galio sãotambém tão pequenas quanto as energias de ionização dos receptores, por conta damassa efetiva do elétron comparada com a do buraco.

O grupo IV, elementos como silício e germânio, também podem ser átomos deimpureza no arseneto de gálio. Se o átomo de silício substituir o de gálio, a impureza dosilício agirá como doadora, mas, se o silício for substituído por átomos de arsênio, essaimpureza agirá como receptora. Isso também vale para átomos de impureza como ogermânio. Cada impureza é chamada de anfótero (possuem característica tanto de ácidocomo de base). Experimentalmente, o arseneto de gálio, é encontrado que o germânio é

predominantemente um Receptor e o silício é um doador. A tabela 4.4 mostra as váriasenergias de ionização para as impurezas no arseneto de gálio.


E.47: Calcule o raio (normalizado para o raio de Bohr) de um elétron doador no

estado de energia mais baixo no GaAs (Resposta: 195,5) ______________________________________________________________________

4.3 | OS SEMICONDUTORES EXTRÍNSECOS

Nós definimos os semicondutores intrínsecos como um material sem nenhum átomo deimpureza no cristal. Um semicondutor extrínseco é definido como um semicondutor que

possui quantidades controladas de átomos dopantes ou impurezas específicasadicionadas assim que o equilíbrio térmico dos elétrons e os buracos de concentraçãosejam diferentes dos portadores intrínsecos. Um tipo de portador será predominante no

semicondutor extrínseco.


19/49

4.3.1 Equilíbrio de Distribuição de Elétrons e Buracos

Adicionar átomos impurezas doadoras ou receptoras em um semicondutor, mudará adistribuição de elétrons e buracos no material. Ainda que a energia de Fermi estejarelacionada com a função de distribuição, a cada átomo dopante adicionado, a energia

de Fermi mudará. Se a energia de Fermi for mudada perto de meio valor da energia dogap, a densidade de elétrons na banda de condução e a densidade de buracos na bandade valência serão modificadas. Esses efeitos são mostrados nas figuras 4.8 e 4.9. Figura4.8 mostra o caso de > e a figura 4.9 mostra o caso para < . Quando > , a concentração de elétrons é mais larga que a concentração de buracos, equando < , a concentração de buracos é mais larga que a concentração deelétrons.

Figura 4.8| Densidade de funções deestado. Fermi-Dirac função de

probabilidade, e áreas representandoelétron e buracos de concentração parao caso quando Ef acima da energia de

Fermi intrínseca.

Figura 4.9| Funções densidade deEstado, Fermi-Dirac função

probabilidade, e áreas representandoelétron e concentração de buracos parao caso quando Ef abaixo da energia de

Fermi intrínseca.

Quando a densidade de elétrons for muito maior que a densidade de buracos, osemicondutor é do tipo n; átomo de impurezas do tipo doador tem de serem adicionadas.Quando a densidade de buracos for muito maior que a densidade de elétrons, osemicondutor é do tipo p; átomo de impureza do tipo receptor tem de seremadicionadas. O nível de energia de Fermi em um semicondutor mudam à medida em queas concentrações de elétrons e de buracos mudam e, novamente, a energia de Fermi émodificada quando impurezas doadoras ou receptoras são adicionadas. A mudança nonível de Fermi como a função de concentração de impureza, serão consideradas naseção 4.6.


20/49

As expressões anteriormente derivadas para o equilíbrio térmico de concentraçãode elétrons e buracos, dadas pelas expressões (4.11) e (4.19) são equações gerais para e em termos da energia de Fermi. Essas equações podem ser expressas por

= [ ]

e

= [ ] Como foi discutida, a energia de Fermi deve variar de acordo com a energia do gap, quemudarão os valores de e .


Calcular o equilíbrio térmico de concentrações de elétrons para uma dada energia deFermi.

Considere o silício a = 300, e =2,8.10− e =1,04.10−.Assumindo que a energia de Fermi é 0,25 abaixo da banda de condução. Se nósassumirmos que a energia de banda de gap do silício é de 1,12 , e que a energia deFermi será 0,87 abaixo da banda de valência.∎SoluçãoUsando a equação (4.11), nós temos

= 2,8.10[ 0,250,0259]=1,8.10− − Da equação (4.19), podemos escrever

= 1,04.10[ 0,870,0259]=2,7.10 − ∎ComentárioA mudança no nível de Fermi é na realidade uma função de doador ou de receptor deimpurezas que são adicionadas no semicondutor. Contudo, este exemplo mostra que oelétron e a concentração de buracos mudam de acordo com a magnitude do portadorintrínseco como a energia de Fermi muda com alguns décimos de elétron-volt. ______________________________________________________________________

Neste exemplo, desde que > , o semicondutor é do tipo n. Neste tipo desemicondutor, são referidos como a maioria e os buracos como a minoria. Emcomparação relativa entre os valores de e no exemplo, é fácil ver motivo dessadenominação. Igualmente, para o semicondutor do tipo p, onde > , buracos

possuem maiores portadores e elétrons menos portadores.


21/49

Disso, nós derivamos outra forma para as equações para o equilíbrio térmico deconcentrações de elétrons e buracos. Se somarmos e subtrairmos a energia intrínseca deFermi a exponencial da equação (4.11), podemos escrevê-la

= + . ou = . O portador intrínseco é dado pela equação (4.20)

= [ ] Assim a equação para o equilíbrio térmico, pode ser escrita como

= . Igualmente, se somarmos e subtrairmos uma intrínseca energia de Fermi na exponencialda equação (4.19) obtemos

= . Como veremos, o nível da energia de Fermi muda quando os doadores ereceptores são adicionados, mas as equações (4.39) e (4.40) mostram que, como os

níveis de energia mudam de um nível intrínseco de Fermi, e de acordo com ovalor de . Se > , então nós teremos > e < . Uma característica dosemicondutor do tipo n é que > sempre que > . Para semicondutores dotipo p, < , assim que > e < ; assim > .

Nós podemos ver a dependência de e com na figura 4.8 e 4.9. Como aenergia está acima de ou abaixo de , a superposição das funções de probabilidadecom a função densidade de estados na banda de condução e na banda de valênciamodificadas. Como move abaixo da , a função de probabilidade na banda decondução aumenta, enquanto a probabilidade,

1 – , do estado vazio (buraco) na

banda de valência diminui. Se move abaixo de , o oposto ocorre.4.3.2 O Produto de Multiplicando as expressões de por dadas pelas expressões (4.11) e (4.19),respectivamente. Resulta em

= [ ] [ ] . Que pode ser escrito como


22/49

= [ ] . A equação (4.42) foi derivada para o valor geral da energia de Fermi, os valores de e

não são necessariamente iguais. Contudo, a equação (4.42) é exatamente o mesmo da

equação (4.43), que veio do caso para um semicondutor intrínseco.Temos então que, para o semicondutor em equilíbrio térmico

A equação (4.43) indica que o produto de n0 e p0 é sempre uma constante paraum dado material de semicondutor a uma dada temperatura. Embora esta equação

pareça muito simples, é um dos princípios fundamentais de semicondutores emequilíbrio térmico. A importância dessa relação se tornará mais evidente nos capítulosque a frente. É importante ter em mente que a equação (4.43) foi calculado utilizando a

aproximação de Boltzmann. Se a aproximação de Boltzmann não for válida, então, domesmo modo, a equação (4.43) não é válida.

Um semicondutor extrínseco em equilíbrio térmico ,não tem a rigor que conteruma concentração de portadores intrínseca, embora alguns portadores (geradostermicamente) estão presentes. As concentrações de elétrons e buracos transportadoresintrínsecos são modificados pelo doador ou aceitador de impurezas. No entanto,

podemos pensar no n i a concentração intrínseca na equação (4.43) simplesmente comoum parâmetro do material semicondutor.

*4.3.3 A integral de Fermi-Dirac

Na derivação das equações (4.11) e (4.19) para as concentrações de elétrons e buracosem equilíbrio térmico, assumimos a aproximação Boltzmann como válido. Se aaproximação de Boltzmann não se sustenta, a concentração de elétrons equilíbriotérmico é escrito a partir da equação (4.3)

Se voltamos a fazer uma mudança de variável

E também definir

Então, podemos reescrever a equação (4.44) como


23/49

A integral é definida por

Figura 4.10 | O Fermi-Dirac integral F1/2 a partir da energia de Fermi.

Esta função, chamada de Fermi-Dirac integral, é uma função tabulada com nf variável.Figura 4.10 é um gráfico da Fermi-Dirac integral. Observe que, se nf> 0, então Ef> Ec;assim, a energia Fermi esta realmente na banda de condução.

______________________________________________________________________


Calcular a concentração de elétrons utilizando a integral Fermi-Dirac.Deixe nF = 2, de modo que a energia de Fermi está acima da banda de condução

por aproximadamente 52 meV e T = 300 K;

∎SoluçãoA equação (4.46) pode ser escrita como

Para o silício a 300K, Nc = 2,8x1019 cm ³ e, a partir da Figura 4.10, o integrante deFermi tem um valor de F1 / 2 (2) = 2,3. Em seguida

∎ComentárioObserve que se nós tivéssemos usado a Equação (4.11), o valor de equilíbrio térmico de

seria

=2.0810 −, que é incorreto já que a aproximação de Boltzmann

não é válida para esse caso.


24/49

Podemos usamos o mesmo método geral para calcular o termo de equilíbrio deconcentração de orifícios. Nós obtemos

= 4 2∗

ℎ

∫′ ′

1 + e x p′ ′ .∞

Onde

′ = .

′ = . A integral na Equação (4.48) é a mesma integral de Fermi-Dirac definida pela Equação

(4.47), muito embora as variáveis tenham pequenas diferenças de definição. Podemosnotar que se ′ > 0, então o nível de Fermi é na banda de valência. ______________________________________________________________________TESTE SUA COMPREENSÃOE4.8: Calcule o equilíbrio térmico da concentração de elétrons do silício para quando = , e = 300 . (Res. 1.910 −

______________________________________________________________________

4.3.4 Degeneração e Não-Degeneração De Semicondutores

Na nossa discussão de adição de átomos dopantes a um semicondutor, de formaimplícita, considerando que a concentração de átomos dopantes adicionados é pequenaquando comparada com a densidade de átomos do hospedeiro ou semicondutor. Os

pequenos números de átomos de impureza estão distribuídos suficientemente afastadosde modo que não existe qualquer interação entre elétrons doadores, por exemplo, em ummaterial do tipo n. Partimos do princípio de que as impurezas introduzem diferenças,não interagem com estados de energia dos doadores no semicondutor do tipo ediscreta. Não interagem com estados receptores no semicondutor do tipo . Estes tiposde semicondutores são referidos como semicondutores não degenerados.Se a concentração de impurezas aumenta, a distância entre os átomos de impurezadiminui a um ponto em que os elétrons doadores, por exemplo, começarão a interagir

entre si. Quando isto ocorre, o único doador de energias discretas será dividido em uma banda de energias. À medida que aumenta a concentração de doador ainda mais, a banda dos estados doadores alarga-se e pode se sobrepor a parte inferior da banda decondução. Essa sobreposição ocorre quando a concentração do doador se tornacomparável com a densidade efetiva dos estados. Quando a concentração de elétrons na

banda de condução excede a densidade de estados N, a energia de Fermi encontra-sedentro do botão de condução. Este tipo de semicondutor é chamado um semicondutordegenerado tipo .


25/49

Figura 4.11 | Diagrama de energia de banda simplificado para o degeneramento de

semicondutores contaminados do (a) tipo-n e do (b) tipo-p.

De modo similar, como um receptor contaminante a concentração aumenta emum semicondutor do tipo-p, um receptor discreto de estados de energia será divido emuma banda de energia e pode sobrepor a banda de valência superior. Uma energia Fermi

se encontrará dentro da banda de valência quando a concentração de buracos excederema densidade dos Nf estados. Esse tipo de semicondutor é chamado de semicondutordegenerado do tipo-p.

Modelos esquemáticos de um diagrama de bandas de energia para odegeneramento de semicondutores contaminados do tipo-n e do tipo-p é mostrado naFigura 4.11. Os estados de energia abaixo de Ef são preenchidos principalmente comelétrons e os estados de energia acima de Ef são quase vazios. Na degeneração dossemicondutores do tipo-n, os estados entre Ef e Ec são principalmente preenchidos comelétrons; então, a concentração dos elétrons em uma banda de condução é muito larga.Analogamente, na degeneração dos semicondutores do tipo-p, os estados de energiaentre Ev e Ef são quase vazios; então, a concentração vazia na banda de valência é

bastante larga.

4.4 | ESTATÍSTICAS DOS DOADORES E RECEPTORES

No capítulo anterior, nós discutimos a função de distribuição Fermi-Dirac, no qual foidada a probabilidade que um particular estado de energia será ocupado por um elétron.

Nós precisamos considerar essa função e aplicar a probabilidade estatística para osdoadores e receptores de estados de energia.

4.4.1 Função Probabilidade

Um postulado usado na derivação da função de probabilidade Fermi-Dirac era o princípio de exclusão de Pauli, que afirma que somente uma partícula é permitida emcada estado quântico. O princípio de exclusão de Pauli também se aplica aos estadosdoadores e receptores.

Suponha que nós temos Ni elétrons e gi estados quânticos, onde o subscrito i significa o número de leveis de energia. Há maneiras de escolher gi onde colocar a

primeira partícula. Cada nível doador tem duas possibilidades da orientação do spin para um elétron doador; então, cada nível doador tem dois estados quânticos. A inserçãode um elétron em um estado quântico, contudo, se opões a colocar um elétron em umsegundo estado quântico.

Adicionando um elétron, o requerimento de vaga do átomo é satisfeita, e umadicionamento de um segundo elétron em um nível doador não é possível.


26/49

A função de distribuição de um elétron doador em um estado de energia dedoadores é então ligeiramente diferente que a função Fermi-Dirac.

A função de probabilidade de elétrons ocupa o estado de energia do doador é

onde Nd é a densidade de elétrons que ocupam o nível doador e Ed é a energia de umnível doador. O fator multiplicante ½ é um resultado direto do fator spin já mencionado.O fator ½ é as vezes escrito 1/ g , onde g é chamado de fator degenerante.

A equação (4.50) pode ser escrita também da seguinte forma,

onde Nd+ é a concentração dos doadores ionizados. Em muitas aplicações, nós iremosnos interessar mais nas concentrações dos doadores ionizados que nas concentraçõesdos elétrons restantes (remanescentes, que sobraram) do estado dos doadores.

Se nos fizermos o mesmo tipo de análise para os átomos receptores, nósobteremos a expressão,

onde Na é a concentração dos átomos receptores, Ea é o nível de energia dos átomos

receptores, Pa é a concentração dos espaços vazios dos estados dos receptores, e Na- é aconcentração do receptores ionizados. Um buraco em um estado receptor corresponde aum átomo receptor com uma carga e ainda tem uma ligação de posição “vazia” como

nós discutimos na secção 4.2.1. O parâmetro g é, mais uma vez, o fator degenerante. Ofator degenerante no estado fundamental g é normalmente tomado como nível quatrodos receptores no Silício e no Arsênio de Gálio por causa da estrutura detalhada da

banda.

4.2.2 Ionização completa e Freeze-out “Fuga do frio”

A função de probabilidade para elétrons em estados de energia de doadores eram

apenas dado pela equação (4.50). Se nós assumirmos que então

Se então a aproximação de Boltzmann é também válida somente para oselétrons da banda de condução de modo que, dado a equação (4.11)


27/49

Nós podemos determinar o número relativo de elétrons do estado de doadorescomparado com o número total de elétrons; portanto, nós podemos considerar a

proporção de elétrons do estado dos doadores com o número total de elétrons em uma banda de condução de mais baixo estado. Usando as expressões (4.53) e (4.11), nósescrevemos

(4.54)

A energia Fermi cancela essa expressão. Dividindo pelo termo do numerador, nósobtemos

(4.55)

O fator (Ec – Ed) é justamente a energia de ionização dos elétrons doadores. ______________________________________________________________________Exemplo 4.7 | Objetivo

Determinar a fração dos elétrons totais que ainda estão no estado dos doadores em T =300 K, em uma concentração Nd = 10^16 cm^-3.

∎SoluçãoUsando a equação (4.55), nós encontramos

∎Comentário Esse exemplo mostra que existem muitos poucos elétrons do estado de doadores com acondução de banda. Essencialmente, todos os elétrons do estado dos doadores são da

banda de condução e, desde somente 0,4% dos estados doadores contém elétrons, oestado dos doadores diz-se ser completamente ionizados.

À temperatura ambiente, então, o estado dos doadores são essencial ecompletamente ionizados e para uma típica impureza de 10^16 cm^-3, quase todas osátomos doadores impuros tem doado um elétron à banda de condução.

À temperatura ambiente, há também essencial e completamente ionização dosátomos receptores.


28/49

Isso significa que cada átomo receptor tem aceitado um elétron da banda devalência de modo que Pa é zero. Em concentrações típicas de receptor impuro, um

buraco é criado na banda de valência para cada átomo receptor. Esse efeito de ionizaçãoe a criação de elétrons e buracos na banda de condução e valência, respectivamente, sãomostrados na Figura 4.12.

Figura 4.12 | Diagrama de banda de energias mostrando a completa ionização dos (a)estados doadores e (b) dos estados receptores.

Figura 4.13 | Diagrama de banda de energias em T= 0 K para semicondutores do (a)tipo-n e (b) tipo-p.

O oposto da ionização completa ocorre em T = 0 K. Em absoluto grau zero,todos os elétrons estão em seus mínimos estados possíveis de energia; que é, para um

semicondutor tipo-n, cada estado doador deve conter um eletro, portanto nd = Nd ou Nd+ = 0. Nós devemos ter em mente, então, que a equação (4.50) que exp[(Ed – Ef)/kT]= 0. Desde que T = 0 K, isso ocorrerá para o que significa Ef > Ed. Onível de energia Fermi deve está sobre o nível de energia doador em zero absoluto.

Nesse caso, o semicondutor do tipo-p em temperatura de zero absoluto, os átomosimpuros não conterão qualquer elétron, de modo que o nível de energia Fermi deve serabaixo do estado de energia receptor. A distribuição dos elétrons em diferentes estadosde energia, e, portanto, a energia Fermi, é uma função de temperatura.

Uma detalhada análise, não é dada nesse texto, mostra que em T = 0 K, a energiaFermi está no meio do caminho entre Ec e Ed para o material do tipo-n e metade docaminho entre Ea e Ev material do tipo-p. A Figura 4.13 mostra esses efeitos. Semelétrons do estado doador são termicamente elevado em uma banda de condução; esseefeito é chamado de freeze-out “fuga do frio”.


29/49

Entre T = 0 K, quando não compensado, e T = 300 K, de ionização completa,temos ionização parcial dos átomos doadores ou aceitadores.


Para determinar a temperatura à qual 90 por cento de átomos de aceitadores sãoionizados.Considere p-type de silício dopado com boro a uma concentração de Na = 10

16 cm-3.

∎SoluçãoLocalizar a proporção de furos no estado aceitador para o número total de orifícios na

banda de valência mais estado aceitador. Levando em conta a aproximação Boltzmann eassumindo o fator de degenerescência g = 4, escrevemos:

Para 90 por cento de ionização,

Usando tentativa e erro, descobrimos que T = 193 K.

∎Comentário Este exemplo mostra que a cerca de 100 ° C abaixo da temperatura ambiente, ainda tem90 por cento dos átomos ionizados aceitadores, em outras palavras, 90 por cento dos

átomos aceitadores têm "doado" um buraco para a banda de valência. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________TESTE SUA COMPREENSÃO

E4.9: Determine a fração do total de buracos ainda nos estados aceitadores de silício emT = 300 K para uma concentração de boro com impureza de Na = 10

17 cm-3

E4.10: Considere o silício com uma concentração de impurezas de fósforo de Nd = 5 x1015 cm-3. Plot a percentagem de átomos de impureza ionizados em função da

temperatura ao longo do intervalo

______________________________________________________________________


30/49

4.5 | CARGA NEUTRALIZADA

Em equilíbrio térmico, o cristal semi-condutor é eletricamente neutro. Os elétrons sãodistribuídos entre os diversos estados de energia, criando cargas negativas e positivas,mas a densidade de carga líquida é zero. Esta condição de carga-neutralidade é utilizada

para determinar o equilíbrio do eletron térmico e buraco de concentrações como umafunção da concentração de impureza dopagem. Vamos definir um semicondutorcompensados e, em seguida, determinar os elétrons e buracos concentrarions em funçãodo doador e receptor concentrataions.

4.5.1 Semicondutores Compensados

Um semicondutor compensado é aquele que contém ambos os átomos de dadores eaceitador de impurezas na mesma região. Um semicondutor compensada pode serformado, por exemplo, por difusão de impurezas aceitadoras em um material do tipo n,

ou por difusão de impurezas doadoras em um material do tipo p. Um semicondutor dotipo n compensado ocorre quando Nd > Na, e semicondutor do tipo p ocorre quando Na > Nd. Se Na = Nd, temos um semicondutor completamente compensado, que tem ascaracterísticas de um material intrínseco. Semicondutores compensados são criadosnaturalmente durante a fabricação de dispositivos, como veremos mais tarde.

4.5.2 Eletrons em Equilibrio e Concentrações no Buraco

A figura 4.14 mostra o diagrama da banda de energia de um semicondutor em queambos os átomos, dador e aceitador de impurezas são adicionados à mesma região paraformar uma compensação do semicondutor.

Figura 4.14 |

Diagrama de banda de energia de um semicondutor compensado,mostrando doadores e receptores de ionizado e não ionizado.


31/49

A figura mostra como os elétrons e buracos podem ser distribuídos entre os váriosestados.

A condição de neutralidade de carga é expressa pela equação da densidade decargas negativas para a densidade de cargas positivas. Temos, então,

(4.56)

ou

(4.57)

Onde n0 e p0 são as concentrações-equilíbrio térmico de elétrons e buracos na banda de banda de condução e de valência, respectivamente. O parâmetro Nd é a concentração deelétrons na energia dono, assim Nd

+ = Nd – nd é a concentração de estados doadorescarregados positivamente. Da mesma forma, pa é a concentração de estados aceitadores

netatively carregadas. Temos expressões para n0, p0, n0 e pa em termos de energia Fermie temperatura.

Se partirmos do princípio de ionização completa, na e pa são ambos zero, e aEquação (4.57) torna-se

(4.58)

Se expressarmos p0 como ni²/n0, a Equação (4.58) pode ser escrita como:

(4.59a)

Que por sua vez pode ser escrita como:

(4.59b)

A concentração de eletron n0 pode ser determinada usando a fórmula quadrática, ou

(4.60)

O sinal positivo na fórmula quadrática deve ser utilizado, uma vez que, no limite de umsemicondutor intrínseco quando Na = Nd = 0, a concentração de elétrons deve ser umaquantidade positiva, ou n0 = ni.

A equação (4,60) é usada para calcular a concentração de electrons num

semicondutor do tipo n, ou quando Nd > Na. Embora a equação (4.60) seja derivada porum semicondutor compensada, é válida também para Na =


32/49


Determinar o equilíbrio térmico das concentrações de eletrons e buraco para umaconcentração de dopagem.

Considere um semicondutor de silício do tipo n, quando T = 300 K, em que Nd =1016 cm-3, e Na = 0. A concentração de portadores intrínseca é assumida como sendo ni =1.5 x 1010 cm-3.

∎SoluçãoA partir da Equação (4,60), a maioria da concentração de eletrons é:

A minoria da concentração do buraco é encontrada como:

∎Comentário Neste exemplo, Nd >> ni, de modo que a maioria do equilíbrio de concentração doseletrons portadores térmicos é essencialmente igual à concentração do doador daimpureza. A maioria dos portadores minoritários e concentrações de equilíbrio térmico

pode ser diferente por várias ordens de magnitude.

______________________________________________________________________

Nós argumentamos em nossa discussão e podemos observar a partir dosresultados do Exemplo 4.9 que a concentração de elétrons na banda de conduçãoaumenta acima da concentração de portadores intrínsicos à medida que acrescentamosátomos doadores de impureza. Ao mesmo tempo, a concentração de buracos portadoresminoritários diminui abaixo da concentração transportadora intrínsica para adicionarátomos doadores. Devemos ter em mente que à medida que acrescentamos átomos deimpureza dos doadores e os elétrons doadores correspondentes, há uma redistribuição deelétrons entre os estados de energia disponíveis. A Figura 4.15 apresenta um esquemadesta redistribuição física.

Figura 4.15 | Diagrama de Energia-banda mostrando a redistribuição dos elétronsquando os doadores são adicionados.


33/49

Alguns dos elétrons doadores vai cair em estados vazios na banda de valência e, aofazê-lo, vai aniquilar alguns dos buracos intrínsecos. A minoria da concentração de

buracos portadores, vai diminuir como vimos no Exemplo 4.9. Ao mesmo tempo, porcausa desta redistribuição, a concentração de líquida de elétrons na banda de conduçãonão é simplesmente igual à concentração do doador de elétrons mais a concentração

intrínseca. ______________________________________________________________________Exemplo 4.10 | Objetivo

Para calcular o equilíbrio térmico das concentrações de elétrons e buracos em umaamostra de germânio para uma determinada densidade de doping.

Considere-se uma amostra de germânio em T = 300K em que Nd = 5x1013 cm-3.

Suponha que ni = 2,4x10 13 cm-3

∎SoluçãoMais uma vez, a partir da Equação (4,60), a maioria da concentração de elétrons é

portador

₀ = 5102 + √ 510 + +2,410 = 5,97 × 10⁻³ A minoria da concentração é buracos portadores

₀ = ᵢ₀ = 2,4×105,97×10 = 9,65× 10

∎Comentário Se a concentração do doador de impureza não é muito diferente em magnitude daconcentração intrínseca do transportador, então o equilíbrio térmico da concentração damaioria dos elétrons transportador é influenciado pela concentração intrínseca.

Vimos que q concentração de portadores intrínseca ni é uma função fortementerelacionada com a temperatura. Como a temperatura aumenta, os pares de elétrons-

buracos adicionais são geradas termicamente de modo que o ni2 termo na equação (4.60)

pode começar a dominar. O semicondutor acabará por perder suas característicasextrínsecas. Figura 4.16 mostra a concentração de elétrons em função da temperatura

em silício dopado com 5x10

14

doadores por cm

3

. Como a temperatura aumenta, podemos ver onde a concentração intrínseca começa dominar. Também é mostrada aionização parcial, ou o aparecimento de congelamento fora, com a baixa temperatura.

Se reconsiderar equação (4.58) e expressar n0 como ni2/p0, então temos

₀ + a = ₀ + d (4.61a) Que podemos escrever como ₀ d₀ = 0 (4.61b)


34/49

Figura 14.16 | Concentração de elétrons em função da temperatura que mostra as trêsregiões: ionização parcial, extrínsecos e intrínsecos.

Usando a fórmula quadrática, a concentração dos buracos é dada pela

₀ = − + − + (4.62)em que o sinal de posição, de novo, deve ser utilizado. A equação (4.62) é usada paracalcular o equilíbrio térmico da concentração majoritária de buracos em um

semicondutor do tipo p, ou quando Na> Nd. Esta equação também se aplica para Nd = 0.


A calcular o equilíbrio térmico da concentração de elétrons e buracos em umsemicondutor do tipo p compensado.

Considere-se um semicondutor de silício em T = 300K em que Na = 1016 ... e Nd

= 3x1015 cm-3. Supor que ni = 1.5x1010 cm-3.

∎SoluçãoDesde Na > Nd, o semicondutor compensado é p-type e o equilíbrio térmico daconcentração majoritária de buracos portadores é a dada pela equação (4.62) como

₀ = −× + −× + 1,5×10 De modo que

₀ = 7 × 1 0⁻³


35/49

A concentração de elétrons portadores minoritários é

₀ = ᵢ

₀= 1.5×10

7 × 1 0 ≈3.21×10⁻³

∎Comentário Se assumirmos ionização completa e se (Na - Nd) >> ni, em seguida a parte majoritáriade buraco transportadores é, para uma aproximação muito boa, apenas a diferença entrea concentração do aceitador e do doador.

Podemos notar que, para um semicondutor do tipo p compensado, a minoria daconcentração de elétrons transportadores é determinada a partir

₀ =

₀ =

Projeto – Exemplo 4.12 | Objetivo

Para determinar a concentração de impurezas na dopagem necessário em um materialsemicondutor.

Um dispositivo de silício com o material do tipo n é para ser operado em T =500K. A esta temperatura a concentração de portador intrínseca não deve contribuirmais do que 5 por cento da concentração total de elétrons. Determinar a concentraçãomínima de doadores necessários para atender a essa especificação.

∎Solução Na T = 500K, a concentração intrínseca de portadores é encontrado a partir da Equação(4.23) como

=exp( ) = 2 . 8 × 1 0⁹1.04×10550300³exp 1.120.0259 (300550)ou

= 1.02× 10 de modo que = 3 . 2 0 × 1 0−

Para a concentração intrínseca de portadores que contribui com apenas 5 por cento daconcentração total de elétrons, definido n0 = 1.05Nd.

A partir da equação (4.60), temos

= 2 + (2 ) + 3.20×10


36/49

ou

1.05= 2 + (2 ) + 3.20×10

que resulta =1.3910 − ComentárioSe a temperatura se mantiver inferior a T = 550 K, então a concentração intrínseca de

portadores irá contribuir com menos do que 5 por cento da concentração total deelétrons para esta concentração do doador de impureza.

As equações (4.60) e (4.62) são utilizados para calcular a concentração de elétrons portadores majoritários numa concentração de lacunas no semicondutor do tipo n e dostransportadores majoritários em um semicondutor do tipo p, respectivamente. Aconcentração dos portadores minoritários de lacunas em um semicondutor do tipo n

poderia, teoricamente, ser calculada a partir da Equação (4.62). No entanto, seria comosubtrair dois números na ordem de 1016 cm-3, por exemplo, para obter um número daordem de 104 cm-3, que a partir de um ponto de vista prático não é possível. Asconcentrações de portadores minoritários são calculadas a partir = uma vezque a concentração de portadores majoritários tenha sido determinada.

TESTE SUA COMPREENSÃO

E4.11: Considerar um compensado semicondutor GaAs a T = 300K dopado em Nd =5x1015cm-3. Calcular a concentração de elétrons e lacunas no equilíbrio térmico. (Resp. =1,510, =2,1610−−)E4.12: Silício é dopado em N = 10− e Nd = 0. (a) Traçar a concentração deelétrons em função da temperatura ao longo da gama 300 ≤ T ≤ 600K. (b) Calcular a

temperatura a que a concentração de elétrons é igual a 1,110−−. (Resp.T≈552K)

4.6 | POSIÇÃO DO NÍVEL DE ENERGIA DE FERMI

Discutimos qualitativamente na Seção 4.3.1 como as concentrações de elétrons elacunas alteram o nível de energia de Fermi e se movem através da energia bandgap(energia da banda proibida). Em seguida, na seção 4.5, foi calculada e concentração deelétron e lacunas em função das concentrações de doador e receptor de impureza.Podemos agora determinar a posição do nível de energia de Fermi em função dasconcentrações de dopagem e como uma função da temperatura. A relevância do nível deenergia Fermi será discutida após as derivações matemáticas.


37/49

4.6.1 Derivação Matemática

A posição do nível de energia de Fermi dentro da banda proibida pode ser determinadausando as equações já desenvolvidos para a concentração de elétrons e lacunas noequilíbrio térmico. Se assumirmos a aproximação de Boltzmann para ser válido, em

seguida, a partir da Equação (4.11), temos n0 = Nc exp [- (Ec-EF) / kT]. Podemosresolver para Ec-EF a partir desta equação e obtemos

= (4.63)onde n0 é dado pela Equação (4.60). Se considerarmos um semicondutor tipo n em que

Nd>> ni, então n0≈Nd, de modo que

=

(4.64)

A distância entre a parte inferior da banda de condução e a energia de Fermi éuma função logarítmica da concentração do doador. Como a concentração do doadoraumenta, o nível de Fermi se move para mais perto da banda de condução. Por outrolado, se o nível de Fermi se move para mais perto da banda de condução, em seguida, aconcentração de elétrons na banda de condução é aumentada. Podemos notar que, setivermos um semicondutor compensado, então o termo Nd na Equação (4.64) ésimplesmente substituído por , ou a concentração líquida efetiva dos doadores.Projeto – Exemplo 4.13 | Objetivo

Para determinar a concentração do doador de impureza necessária para obter umaenergia de Fermi especificada.

Silício a T = 300K contém uma concentração de impurezas aceitante de =10−. Determinar a concentração de átomos doadores de impurezas que devemser adicionados de modo que o silício é do tipo n e a energia de Fermi é de 0,20 eVabaixo da banda de condução.

Solução

Da Equação (4.64) temos

= ( ) Que pode ser reescrita como

= exp então

=2,810 exp[ 0,200,0259]=1,2410−


38/49

ou

=1,2410 + =2,2410− Comentário

Um semicondutor compensado pode ser fabricado para proporcionar um nível deenergia de Fermi especificado.

Podemos desenvolver uma expressão ligeiramente diferente para a posição do nível deFermi. Tivemos a partir da Equação (4.39), que = exp /.Podemos resolver para como

= l n (4.65)A Equação (4.65) pode ser usada especificamente para um semicondutor tipo n, onde n0

é dado pela Equação (4.60), para encontrar a diferença entre o nível de Fermi e o nívelde Fermi intrínseco como uma função da concentração dos doadores. Temos que notarque se a concentração líquida efetiva de doadores é zero, isto é, Nd – Na = 0, então n0=ni e EF = EFi. Um semicondutor completamente compensado tem características de ummaterial intrínseco em termos de concentração de transportadores e posição do nível deFermi.

Podemos derivar os mesmos tipos de equações para um semicondutor tipo p. DaEquação (4.19), temos = /, de modo que

= l n (4.66)

Se assumirmos que >> , a Equação (4.66) pode ser reescrita como = l n (4.67) A distância entre o nível de Fermi e o topo da banda de valência para um

semicondutor tipo p é uma função logarítmica da concentração de aceitadores: se aconcentração de aceitadores aumenta, o nível de Fermi aproxima-se da banda devalência. Equação (4.67) ainda assume que a aproximação de Bolstzmann é válida.

Novamente, se temos um semicondutor tipo p compensado, então o termo Na na

Equação (4.67) é substituído por Na – Nd, ou a concentração líquida de aceitadores.Também podemos derivar uma expressão para a relação entre o nível de Fermi eo nível de Fermi intrínseco em termos da concentração de lacunas. Temos da Equação(4.40) que = exp /, que resulta

l n (4.68) A Equação (4.68) pode ser usada para encontrar a diferença entre o nível de Fermiintrínseco e a energia de Fermi em termos da concentração de aceitadores. Aconcentração de lacunas

na Equação (4.68) é dada pela Equação (4.62).


39/49

Podemos notar novamente da Equação (4.65) que, para um semicondutor tipo n,n0>ni e EF>EFi. O nível de Fermi para um semicondutor tipo n está acima de E Fi. Paraum semicondutor tipo p, p0 >ni, e para a Equação (4.68) vemos que

Figura 4.17 | Posição do nível Fermi para um semicondutor (a) tipo n (>) e (b)tipo p (

>

).

> . O nível de Fermi para um semicondutor do tipo p esta abaixo de . Onde émostrado na figura 4.17.

4.6.2 Variação de com concentração de dopagem e temperaturaPodemos traçar a posição do nível de energia de Fermi como uma função deconcentração de dopagem.A figura 4.18 mostra que o nível de energia de Fermi comouma função de concentração de doadores (tipo n) e como uma função de concentraçãode receptores (tipo p) para o silício T=300K.Como os níveis de dopagem aumentam,o

nível de energia de Fermi aproxima-se da banda de condução para o material do tipo n emais perto da banda de Valência para o material do tipo p. Manter em mente que asequações para o nível de energia de Fermi que temos pressupor que a aproximação deBoltzmann é valida.

Figura 4.18 | Posição do nível de Fermi como uma função de concentração de doadores(tipo n) e de concentração de receptores (tipo p).


40/49

______________________________________________________________________Projeto – Exemplo 4.13 | Objetivo

Determinar a posição e o nível de Fermi e a dopagem máxima para à qual aaproximação Boltzmann ainda é válido.

Considerar o silício (tipo p), à T = 300k, dopado com boro.Podemos assumirque o limite da aproximação Boltzmann ocorre quando - = 3kT.(Ver seção 4.1.2). SoluçãoDa tabela 4.3, encontramos que a energia de ionização é - =0.045 eV para o borono silício.Se assumimos que ≈ ,em seguida , da equação (4.68), a posiçãodo nível de Fermi para a dopagem máxima é dada por:

ou

Então podemos resolver para a dopagem como

Comentário

Se a concentração de receptores (ou doadores) no silicone é maior do que cerca de3 10 −, em seguida, à aproximação de Boltzmann na função de distribuiçãotorna-se menos válidas e as equações para a posição de nível de Fermi já não são tão

precisos. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________TESTE SUA COMPREENSÃO

E.4.13: Determinar a posição do nível de Fermi em relação à energia da banda devalência no GaAs do tipo p à T=300k.As concentrações de dopagem são

=

5 10− e = 4 10−. Resposta: = 0.130eV.E.4.14: Calcular a posição do nível de energia de Fermi no silício do tipo n, à T = 300Kno que diz respeito à energia intrínseca do nível de Fermi. As concentrações dedopagem são e = 2 10− e = 3 10−. = 0.421eV.

______________________________________________________________________

A concentração de portador intrínseco nas equações (4.65) e (4.68), é umaforte função da temperatura, de modo que também é uma função da temperatura. Afigura 4.19 mostra a variação do nível de energia de Fermi no silício com a temperatura

para várias concentrações de doadores e receptores. Com o aumento da temperatura, , aumenta, e se aproxima do nível intrínseco de Fermi.


41/49

Em altas temperaturas, o material semicondutor começa a perder suascaracterísticas extrínsecas e começa a se comportar mais como um semicondutorintrínseco. Em temperaturas muito baixas, ocorre o congelamento, a aproximação deBoltzmann não é mais válido e as equações que derivou da posição do nível de Fermi jánão são mais validas. Em temperaturas muito baixas onde o congelamento ocorre, o

nível de Fermi vai para cima de no material do tipo n e abaixo de no material dotipo p . Em zero graus absolutos , todos os estados de energia abaixo de estarãocheios e todos os estados de energia acima de estarão vazios.

Figura 4.19 | Posição do nível de Fermi como uma função da temperatura para várias

concentrações de dopagem.

4.6.3 Relevância da energia de Fermi

Nós temos calculado a posição do nível de energia de Fermi em função dasconcentrações de dopagem e temperatura. Essa análise pode parecer um tanto arbitráriae fictícia. Contudo, essas relações se tornam significativos mais tarde na nossadiscussão de junções pn e outros dispositivos semicondutores que consideramos. Um

ponto importante é que, em equilíbrio térmico, o nível de energia de Fermi é umaconstante ao longo de um sistema. Nós não vamos provar esta afirmação, mas podemos

ver intuitivamente sua validade por considerar o seguinte exemplo.Suponha que temos um material A especifico, cujos elétrons estão distribuídos nosestados de energia de uma banda permitida como mostrado na figura 4.20a.A maioriados estados de energia abaixo de contêm elétrons e a maioria dos estados de energiaacima de estão vazios. Considerar outro material, B, cujos elétrons estãodistribuídos nos estados de energia de uma banda permitida, conforme mostrado nafigura 4.20b.Os estados de energia abaixo de são essencialmente cheios e osestados de energia acima de são essencialmente vazios. Se estes dois materiais são

postos em contato íntimo, os elétrons do sistema total vai a procura do menor estado deenergia possível. Elétrons do material A vão fluir para os estados de energia mais baixosdo material B, como indicado na figura 4.20c, até que o equilíbrio térmico seja

alcançado. O equilíbrio térmico ocorre quando a distribuição de electrões, como umafunção de energia, é a mesma nos dois materiais.


42/49

Este estado de equilíbrio ocorre quando a energia de Fermi, é a mesma nos doismateriais, conforme mostrado na Figura 4.20d. A energia Fermi, importante na físicados semicondutores, também fornece uma boa representação pictórica dascaracterísticas dos materiais semicondutores e dispositivos.

Figura 4.20 | A energia Fermi de (a) material A em equilíbrio térmico, (b) o material Bem equilíbrio térmico, (c) materiais A e B, no momento em que são colocados em

contatoe (d), os materiais A e B em contacto, o equilíbrio térmico.

4.7 | SUMÁRIO

A concentração de elétrons na banda de condução é a integral sobre a energia da banda de condução do produto da densidade de estados funcionais na mão decondução e a função de probabilidade de Fermi-Dirac.

A concentração de buracos na banda de valência é a integral sobre a curva devalência de energia do produto da densidade de olhares funcionais na banda devalência e da probabilidade de um estado de ser vazio, que é [1 - FF (E)]

Usando a aproximação de Maxwell-Boltzmann, a concentração de equilíbrio térmicode elétrons na banda de condução é dada por

onde N, é a densidade efetiva dos estados na banda de condução Usando a aproximação de Maxwell - Boltzmann, a concentração de equilíbrio

térmico de orifícios na banda de valência é dada por;

onde é a densidade efetiva dos estados na banda de valência.


43/49

A concentração de condução intrínseca é encontrada a partir de

O conceito de dopagem do semicondutor com doador (elementos do grupo V),

impurezas e receptor (elementos do grupo III) a partir destas impurezas foi discutidon-tipo e p-tipo de semicondutores extrínsecos. A relação fundamental da foi derivada. Usando os conceitos de ionização completa e a neutralidade de carga, as equações

para as concentrações de elétrons e buracos, foram uma função das concentrações deimpurezas de dopagem derivadas.

A posição do nível de energia de Fermi em função da concentração de impurezadopante foi derivada.

Discutiu-se a relevância da energia de Fermi. A energia de Fermi é uma constante aolongo de um semicondutor que está em equilíbrio térmico.

GLOSSÁRIO DE TERMOS IMPORTANTESÁtomos de aceitador: Átomos de impureza adicionada a um semicondutor para criarum material do tipo p.Condutora de Transporte: O elétron e/ou furado, que se move dentro do semicondutore dá origem a correntes eléctricas.Semicondutor compensados: Um semicondutor que contém ambos os doadores ereceptores é a mesma região de semicondutores.Ionização completa: A condição em que todos os átomos doadores são carregados

positivamente, dando seus elétrons doadores e todos os átomos aceitadores sãocarregados negativamente, ao aceitar elétrons.Semicondutor degenerado: Um semicondutor cuja concentração de elétrons ou furoconcentrado é maior do que a densidade efetiva dos estados, de modo que o nível deFermi está na banda de condução (tipo n) ou na banda de valência (tipo p).Átomos de doador: Átomos de impureza adicionada a um semicondutor para criar ummaterial do tipo n.Densidade efetiva dos estados: O parâmetro , que resulta da integração da densidade ,estado quântico (E) vezes a função , Fermi (E) sobre a energia da banda de condução, eo parâmetro , que resulta da integração da densidade de estados quânticos (E), vezessobre a energia da banda de valência.Semicondutor extrínseco: Um semicondutor em que quantidades de dadores e/ou

receptores controladas foram adicionados para que a mudança do elétron e o buracoconcentrado a partir da concentração de portadores são extrínsecos e uma preponderância de elétrons citados (tipo n) ou buracos (tipo p) que são criados.Saída de cristalização: A condição que ocorre em um semicondutor quando atemperatura é mais baixa é e os doadores e aceitadores de ficar com carga neutra. Oelétron e o buraco concentrado se tornam muito pequena.Intrínseca concentração de portadores Ni A concentração de elétrons na banda decondução e a concentração de buracos na banda de valência (valores iguais) em umsemicondutor intrínseco.Intrínseco Nível de Fermi EFi A posição do nível de Fermi em um semicondutorintrínseco.

Semicondutor intrínseco Um material semicondutor puro, sem átomos de impureza enão há defeitos de rede do cristal.


44/49

Semicondutor não degenerado Um semicondutor em que foram adicionados umnúmero relativamente pequeno de doadores e / ou receptores para que discretas, nãointeragem estados doadores e / ou discretos, não interagem estados aceitadores sãointroduzidos.

PONTO DE INSPEÇÃODepois de estudar este capítulo, o leitor deve ter a capacidade de

Derivar as equações para as concentrações de equilíbrio térmico de elétrons nosorifícios em termos da energia de Fermi.

Derivar a equação para a concentração de portadores intrínseca. Declare o valor da concentração de portadores intrínseco para silício a T = 300K. Derivar a expressão para o nível de Fermi intrínseca. Descrever o efeito da adição de átomos de doador e receptor de impurezas a um

semicondutor.

Compreender o conceito de ionização completa. Entenda a derivação da fundamental relacionamento n0 p0 = ni

2. Descrever o significado de degenerados e semicondutores não degenerado. Discutir o conceito de mudança de neutralidade. Derivar as equações para n0 e p0 em termos de concentrações de impureza dopante. Discutir a variação da energia de Fermi com a concentração de dopante e

temperatura.

QUESTÕES DE REVISÃO

1. Escreva a equação para n(E) em função da densidade de estados e a função de probabilidade de Fermi. Repita o procedimento para a função p(E).

2. Na derivação da equação n0 em termos da função de Fermi, o limite superior daintegral deve ser a energia na parte superior da banda de condução. Justifiqueutilizando o infinito em seu lugar.

3. Assumindo que a aproximação de Boltzmann é aplicável, escrever as equações paran0 e p0 em termos da energia de Fermi.

4. O que é o valor da concentração de portadores intrínseca em silício a T = 300K?5. Sob que condições o nível de Fermi intrínseca estar na energia médio gap?6. O que é uma impureza doador? O que é uma impureza aceitador?

7.

O que se entende por ionização completa? O que se entende por freeze-out?8. O que é o produto de n0 e p0 igual a?9. Escreva a equação para a neutralidade de carga para a condição de ionização

completa.10. Esboçar um gráfico de n0 em função da temperatura para um material do tipo n.11. Esboçar gráficos da energia de Fermi em função da concentração de doadores

impureza e em função da temperatura.

PROBLEMAS

Seção 4.1 Portadores de cargas em semicondutores.


45/49

4.1 Calcule a concentração de portadores intrínsecos, Ni, em T = 200, 400 e 600 K para (a) silício, (b) germânio, (c) arsenato de gálio.

4.2 A concentração de portadores intrínsecos no silício não pode ser maior que Ni =1x10^12 cm^-3. Assuma Eg = 1.12 eV. Determine a máxima temperatura

permitida para o silício.

4.3 Plote a concentração intrínseca de portadores, Ni, para uma temperatura deescala 200


46/49

4.13 Traçar a intrínseca energia Fermi EFi, o que diz respeito ao centro da bandgapem silício para 200 ≤ T ≤ 600 K.

4.14 Se a densidade de estados de funcionar na banda de condução de umsemicondutor em particular é uma constante igual a K, derive a expressão deconcentração de equilíbrio térmico de electrões da banda de condução,

assumindo a estatística de Fermi-Dirac e assumindo a aproximação deBoltzmann é válido.4.15 Repita o Problema 4.14 se a densidade de estados função é dada por gc (E) = C1

(E - E,) para E ≥ Ec, onde o C1 é uma constante.

Seção 4.2 Átomos Dopantes e Níveis de Energia.

4.16 Calcule a energia de ionização e raio do elétron doador no germânio usando ateoria de Bohr. (Utilize a densidade de estados massa efetiva como uma primeiraaproximação).

4.17 Repita o Problema 4.16 para arseneto de gálio.

Seção 4.3 Os Semicondutores Extrínsecos

4.18 A concentração de elétrons em silício a T = 300 K é n0 = 5 x 104 cm-3. (a)

Determinar p0. É este o material n- ou p-type? (b) Determinar a posição do nívelde Fermi com respeito ao nível de Fermi intrínseca.

4.19 Determine os valores de n0 e p0 para silício a T = 300 K, se a energia de Fermi é0,22 eV acima da energia da banda de valência.

4.20 Se Ec – EF = 0,25 eV em arsenieto de gálio a T = 400 K. calcular os valores deque não e p0. (a) Supondo que o valor de n0 da parte (b) se mantém constante,

determinar Ec - Ef e p0 a T = 300 K.4.21 O valor de p0, em silício a T = 300 K é de 10

15 cm-3. Determine (a) Ec – EF e (b)n0.

4.22 (a) Considere o silício a T = 300 K. Determine se p0, se EFi – EF = 0.35 eV. (b)Supondo que p0 na parte (a) mantém-se constante, determinar o valor de EFi – EF quando T = 400 K. (c) Determinar o valor de qualquer ambas as partes (a) e (b).

4.23 Repita problema 4.22 para GaAs.*4.24 Suponha que Ec = EF, a T = 300 K em silício. Determine p0.*4.25 Considere o silício, a T = 300 K, que tem n0 = 5 x 10

19 cm-3 Determinar Ec – EF.

Seção 4.4 Estatísticas dos Doadores e Receptores

*4.26 As concentrações de electrões e buracos como uma função da energia na bandade condução e na banda do pico de valência de uma determinada energia, estãorepresentadas como mostrado na Figura 4.8.

capÍtulo iv - os semicondutores em equilíbrio - semiconductor physics and devices 3rd ed. - j....

Documents