presentacion lineas transmision terminadas

1Tema 2. Lneas de Transmisin Terminadas

2.1 Introduccin

2.2 Reflexin

2.3 Ondas estacionarias

2.4 Impedancia de entrada

2.5 Desadaptacin en la carga y en el generador

2.6 Respuesta transitoria

LZ

0z

,0Z

z

1

Bibliografa Bsica para este Tema:

[2] W. H. Hayt Jr. and J. A. Buck , Engineering Electromagnetics, 7 Ed, McGraw-Hill International Edition, 2006.

Hayt Apartados 11.9

[3] D. M. Pozar, Microwave Engineering , 3 Ed, Wiley, 2005.

[1] R. Neri, Lneas de Transmisin, McGraw-Hill, Mxico, 1999.

Neri Apartados 2.9

[4] F. T. Ulaby et. al Fundamentals od Applied Electromagnetics , 6 Ed, Pearson, 2010.

Pozar Apartados 2.3, 2.6Ulaby Apartados 2.7, 2.8, 2.12

Waves M 2

22.1 Introduccin- En el tema anterior estudiamos lneas de transmisin de longitud

infinita, lo cul obviamente no se encuentra en la prctica.

- El objetivo de este tema es ampliar lo visto en el tema anterior considerando lneas de transmisin terminadas

GZ G V LZ

Generador Carga

Lnea de Transmisin

- En general consideraremos un generador modelado mediante su equivalente Thevenin y una impedancia de carga unidos por unalongitud finita de lnea de transmisin.

3

2.2 Reflexin (Pozar 2.3)-(Hayt 11.9)

- La tensin y la corriente en los terminales de la carga (z = 0) vale:

riL VVV 00 ririL VVZIII 000001

- Adems LLL IZV

- Consideramos una lnea terminada en una impedancia de carga ZL:

riLL VVZZV 00

0

zr

zi eVeVzV

00)(z

rz

i eIeIzI 00)(

LZ

0z

,0Zz

ii eVV 0z

rr eVV 0 L

V

LI

z

- Igualando las dos expresiones para VL:

riLL VVZZV 00

0

riL VVV 00 riLri VVZ

ZVV 000

00 4

32.2 Reflexin

- Definimos el coeficiente de reflexin en la carga comoi

rL V

V

0

0- Dividiendo la expresin inicial por , resulta

0

0

ZZZZ

L

LL

iV0

- Podemos expresar la tensin y corriente totales en la lnea como:

zLzi eeVzV 0)( zLzi eeZVzI 00)(- Teniendo en cuenta que iLr VV 00

- Cuando no hay onda reflejada. Esta situacin se da cuandoy se dice que la lnea est terminada en una carga adaptada.

0L0 ZZL

- El general, el coeficiente de reflexin es una cantidad compleja.

- Coeficiente de reflexin en la carga:

5

- Ejemplo 1: Una lnea de transmisin de impedancia caracterstica 100 Ohm est terminada en una impedancia de carga formada por unaresistencia de 50 Ohm en serie con una capacidad de 10 pF. Calcularel coeficiente de reflexin en la carga a la frecuencia de 100 MHz.

Solucin:

Ulaby 6 Ej. 2-3

- La impedancia de carga vale

7.60

0

0 76.0670370 159.2150159.250

100159.250100159.250 j

L

LL e. - j.j

jjj

ZZZZ

159.2)50(10102501 118 j

jCj

RZZZ cRL - El coef de refl. resulta

6

05pF 01

,0Z

42.2 Reflexin

- En general, cuando una parte de la potencia incidente serefleja y otra parte es transmitida (disipada) a la carga.

0 ZZL

zLzi eeVzV 0)( zLzi eeZVzI 00)(

- Segn hemos visto la tensin y la corriente en la lnea son:

- Conservacin de la potencia:

LZ

0z

,0Zz

ii eVV 0z

rr eVV 0 L

V

LI

z

7

2.2 Reflexin

ziiii eRZ

VzIzVzP 202

0

20*

2)()(

21)(

zLirrr eRZ

VzIzVzP 202

0

220*

2)()(

21)(

- La potencia reflejada resulta

- En los terminales de la carga (z = 0): 2 iLr PP

- La potencia transmitida es , luego

1 2 iLt PP rit PPP

- Como vimos en el tema anterior, el valor medio de la potenciaincidente es

8

5- Ejemplo 2: Una lnea de transmisin de impedancia caracterstica 50 Ohm y sin prdidas esta terminada en una impedancia de carga

. Si la potencia incidente vale 100 mW, determinar la potencia disipada en la carga.

Solucin:Hayt 7 Ej. 11-5

- La potencia disipada viene dada por

48.036.0507550507550

0

0 jjj

ZZZZ

L

LL

)7550( jZL

mW 641010036.011 32 iLt PP 36.048.036.0 222 L

iLt PP 21 - El coef. de refl. en la carga vale

- de donde

- La potencia disipada resulta

9

2.2 Reflexin

- Hemos definido el coef. de refl. en los terminales de la carga. - Podemos generalizar esta definicin para cualquier posicin de la

lnea (z = -l)

2

0

0

0

0

)()()(

e

VV

eVeV

VV

i

r

i

r

i

r

- Entonces

)( 2 eL

LZ

0z

,0Z L

z

- Coeficiente de reflexin en una posicin arbitraria:

zii eVzV

0)(z

rr eVzV 0)(

z- El coef. de refl. en vale

- Para una lnea sin prdidas, el coef. de refl. es una funcin peridica de periodo 2 10

6- Ejemplo 3: Una lnea de transmisin sin prdidas de impedanciacaracterstica 50 Ohm est terminada en una impedancia de cargade valor 100 Ohm. Determinar el coeficiente de reflexin a unadistancia de la carga.

Solucin:

LZ ,0Z L

1.0

- Los datos del problema son:

1.0 500Z 100LZ

R con , j )( 2 eL- Segn hemos visto, el coef. de refl. a una distancia vale:

31

5010050100

0

0

ZZZZ

L

LL- donde:

724.02

31

31 jjL eee

2.01.02 jjj

- luego11

2.3 Ondas estacionarias (Neri 2.9)- Consideramos una lnea sin prdidas terminada en una impedancia ZL:

zjLzji eeVzV 0)(- La tensin total en la lnea es el resultado de la interferencia (suma)

de la onda incidente con la reflejada:

- Como consecuencia de la interferencia se produce una ondaestacionaria. Para estudiar sus propiedades debemos obtener |)(| zV

ri VVzV )(

LZ

0z

,0Zzj

ii eVV 0

zjLir eVV

0 L

z

LjLL e

12

72.3 Ondas estacionarias Lzj

Lzj

i eeVzV 20 1)( zjLzji eeVzV 0)(

- Teniendo en cuenta que1|| zje )2sin()2cos(2 LLzj zjze L y

- Resulta 212220 )2(sin)2cos(1)( LLLLi zzVzV - Operando 2120 )2cos(21)( LLLi zVzV - Haciendo en cambio z

)2cos(21)( 2120 LLLiVV - La funcin |V(z)| (o |V(l)|) se denomina patrn de onda estacionaria

de tensin.

13


- |V(z)| es una funcin peridica de periodo ya que2

LL zz

2

2cos2cos

- Los mximos de tensin ocurren cuando y valen: 12cos Lz )1()( 0max LiVzV

- Los mnimos de tensin ocurren cuando y valen: 12cos Lz )1()( 0max LiVzV

- Propiedades del patrn de onda estacionaria

- La distancia entre 2 mximos (o 2 mnimos) consecutivos es 2- La distancia entre un mximo y un mnimo consecutivos es 4- Veamos algunos casos:

14

8Cortocircuito Circuito Abierto


LZ ,0Z

1 LV 2 max V 0 min V

4

)(V2

1

04

34

5 0

0 LZ ,0Z

1 L

)(V2

1

04

34

5 04

V 2 max V 0 min V 15

V 10 iV

Carga Adaptada Carga Arbitraria


,0Z

0 L

)(V2

1

04

34

5 04

V 1 max V V 1 min V

0 ZZL ,0Z

4

)(V2

1

04

34

5 0

2

2

LZ

16

9- Ejemplo 4: Considrese una lnea de transmisin sin prdidas terminada en una carga. El coeficiente de reflexin en el plano de la carga vale y la longitud de onda . Determinar la posicin del mnimo y el mximo en tensin ms cercanos a la carga.

Solucin:Ulaby 6 Exercise 2.10

605.0 jL e cm 24

12cos Lz - Los mximos de tensin ocurren para 12cos L- Haciendo el cambio queda , de donde

...)2,1,0( 22 max nnL ...)2,1,0( 22

max nn L

- como , el primer mximo se corresponder con n = 1: 0Lcm 10

432

22

max

L

z

17

12cos Lz - Los mnimos de tensin ocurren para 12cos L- Empleando la variable l:

,...)3,1( 2 min nnL ,...)3,1( 2min nn L

- Para n = 1: cm 4

43

2min

L

- Se observa que, efectivamente , que secorresponde con

cm 6410minmax 4

18

10

2.3 Ondas estacionarias- Definimos la Razn de Onda Estacionaria ROE (tambin S o VSWR)

como el cociente entre las tensiones mxima y mnima del patrn deonda estacionaria en tensin.

11

)()(

ROE min

max

L

L

zVzV

- Veamos algunos ejemplos:

- Carga adaptada. 1ROE 0 L- Corto circuito y circuito abierto. ROE 1 L- Carga pasiva de valor arbitrario. ) ,1[ROE 1] ,0[ L

19

- Ejemplo 5: Una lnea de transmisin sin prdidas y de impedanciacaracterstica 140 Ohm est terminada en una impedancia de carga

. Sabiendo que la longitud de onda en la lnea vale 72 cm, calcular:

a) El coeficiente de reflexin en el plano de la cargab) La razn de onda estacionariac) La posicin de los mximos de tensind) La posicin de los mnimos de tensin

Solucin:

Ulaby 6 Exercise 2.11

)182280( jZL

a) El coef de refl en los terminales de la carga vale

29

0

0 5.00.243 0.439 140182280140182280 j

L

LL e jj

jZZZZ

b) La razn de onda estacionaria en la lnea es

35.01

0.5111ROE

L

L

20

11

c) Localizacin de los mximos de tensin

...)2,1,0( 2

2max nn L

Segn el ejemplo anterior, los mximos se sitan a distancias

Teniendo en cuenta que resulta: ...)2,1,0( 24max

nnL 2

rad 1802929 LAdems

...)2,1,0( cm )362.9( 24180

2972 24max

nnnnL

Luego

d) Localizacin de los mnimos de tensin

...)2,1,0( cm )3620.9(4

maxmin nn

21

2.3 Ondas estacionarias- Anlogamente al caso de la tensin, tambin es posible definir un

un patrn de onda estacionaria respecto de la corriente. - Siguiendo el mismo procedimiento que con la tensin se llega a

)2cos(21)( 2120

0LLL

i

ZV

I

- Los mximos de corriente estn en la misma posicin que los mnimosde tensin y viceversa

)(V

00 223

)(I

22

12

2.4 Impedancia de entrada (Ulaby 2.7-2.8)

- Consideramos una lnea de transmisin sin prdidas y desadaptada

)()()(

zIzVzZ

- Sabemos que en una lnea desadaptada, tanto la tensin como la corriente totales son funcin de la posicin, z

- Por tanto, el cociente V(z)/I(z) tambin ser funcin de la posicin

- Entonces, podemos definir la impedancia vista en una posicinarbitraria de la lnea (z), como

23

LZ ,0Z )(zZ

2.4 Impedancia de entrada- Suele interesar el valor de Z(z) en los terminales de entrada de una

lnea cargada. En este caso, se denomina impedancia de entrada Zin:

- La impedancia de entrada se puede expresar como:

)tan()tan(

)()()(

0

000in zjZZ

zjZZZeeeeZ

zIzVzZ

L

Lzj

Lzj

zjL

zj

0

0

ZZZZ

L

LL

LZ

0z

,0Z

zz

)(zV

)(zI

inZ

24

zjLzji eeVzV 0)( zLzi eeZVzI 00)(

13

2.4 Impedancia de entrada- La expresin anterior indica que la impedancia vara a lo largo de la

lnea

- Los mximos y mnimos de la impedancia se sitan en las mismasposiciones que los mximos y mnimos de tensin, respectivamente.

- Al igual que el patrn de onda estacionaria, la impedancia es unafuncin de periodo espacial 2

25


- Evaluando la expresin de en z = -l, resulta

)tan()tan()(

0

00in

L

L

jZZjZZZZ

)(in zZ

ROE11

)1(||)1(||

|)(||)(|| 00

0

0

0

min

maxmax ZZ

ZVV

zIzVZ

L

L

Li

Li

ROE11

)1(||)1(||

|)(||)(|| 00

0

0

0

max

minmin

ZZ

ZVV

zIzVZ

L

L

Li

Li

- Los mximos de impedancia valen:

- y los mnimos:

- Se observa que los valores de y son reales max|Z min|Z

26

14

- Ejemplo 6: Se dispone de una lnea bifiliar en aire, sin prdidas, de impedancia caracterstica 50 Ohm y de longitud 2.5 m. Si la lnea est

terminada en una impedancia de carga a la frecuenciade 300 MHz, determinar la impedancia de entrada.

Solucin:

Ulaby 6 P 2.27 )2040( jZL

)tan()tan(

0

00

L

Lin jZZ

jZZZZ LZ

0z

,0Z

zz

inZ

50 0Z )2040( jZL

Hz 10300 6fm 5.2

rad/m 2 103

10300228

6

cf

vpLnea en aire cvp

- La impedancia de entrada vale:

- donde:

)2040(

)tan()tan(

0

00 jZjZZ

jZZZZ LL

Lin

55.22 (es una lnea ))2(5

27

2.4 Impedancia de entrada- Veamos algunos casos particulares de la expresin para :

- Lnea de media onda:

LZ

0z

,0Z

z2mzin

Z

,...2 ,1 ,0con 2

mm

- Luego

m 2

2 m

LZmZ )2( in - Entonces

La impedancia de entrada esigual a la impedancia de carga!

inZ

28

15

2.4 Impedancia de entrada- Lnea de cuarto de onda:

LZ

0z

,0Z

z

4)12( mzin

Z

,...2 ,1 ,0con 4

)12( mm - Luego

2

1)m2( 4

2)12( m

LZZZ

20

in )4( - Entonces

LZZ 1)4( in - Normalizando

La impedancia de entrada normalizada esel inverso de la impedancia de carga normalizada!

- Una aplicacin muy importante de la lnea cuarto de onda es la adaptacin de impedancias. 29

Ejemplo 7: Una lnea de impedancia esta terminada en unacarga de . Como consecuencia se producen reflexiones en lacarga. Para eliminar estas reflexiones (adaptar la carga a la lnea)se emplea un transformador como se indica en la figura.Determinar la impedancia caracterstica de dicho transformador.

Solucin:

Ulaby 6 Ex 2-10

500Z 100LZ4

LZ 0Z

4

? tZ

- La situacin inicial (sin transformador) se muestra en la figura

- En este caso hay reflexin ya que

0 0

0

ZZZZ

L

LL

LZ 0Z

30

16

- Para eliminar la reflexin utilizamos un transformador como indicael enunciado

LZ 0Z

4

? tZ

inZ

- El coef. de refl. en los terminales de la lnea vale0

0 ZZZZ

in

in

- Para eliminar la reflexin debe verificarse 0ZZin - Por otra parte, segn sabemos

L

tin Z

ZZ2

- Por tanto

7.70100500 Lt ZZZ

0

2

ZZZ

L

t

31

2.4 Impedancia de entrada- Lnea terminada en cortocircuito:

0

,0Z

inZ

)tan()( 0scin jZZ

0LZ 1L ROE

)sin(2)( 0 ijVV - Tensin en la lnea:

)cos(2)(0

0 ZV iI - Corriente en la lnea:

- Impedancia:

20 - Si es inductivainZ 2- Si es capacitivainZ

32

17

2.4 Impedancia de entrada- Lnea terminada en circuito abierto:

0

,0Z

inZ

)cot()( 0ocin jZZ

LZ 1L ROE

)cos(2)( 0 iVV - Tensin en la lnea:

)sin(2)(0

0 ZV ijI - Corriente en la lnea:

- Impedancia:

20 - Si es capacitivainZ 2- Si es inductivainZ

33

- Ejemplo 8: Determinar la longitud fsica de una lnea de transmisin de 50 Ohm terminada en cortocircuito para que su impedancia deentrada a la frecuencia de 2.25 GHz sea igual a la impedancia de un condensador de 4 pF. La velocidad de fase en la lnea vale 0.75c.

Solucin:Ulaby 6 Ex 2-8

CjjZ

1)tan(0 CZZ )(scin - Debe verificarse:

- luego

353701)tan(0

.CZ

- de donde- entonces

cuadrante) (2 rad 8.2340cuadrante) (4 rad 340

)35370arctan( ..

.

- Tomamos la solucin del 2 cuadrante (la de longitud ms corta)

cm 46.41025.22

10375.08.28.28.29

8

pv

0 LZ ,0ZscinZ

34

18

- Consideramos la unin de 2 lneas semiinfinitas de distinta impedancia:

0z

11 , Zz

ii eVV 10

zrr eVV 10

z

tt eVV 20 22 , Z

- Cuando la onda incidente ve un cambio de impedancia se produceuna onda reflejada y otra transmitida

- Reflexin y transmisin en la unin de dos lneas de transmisin:

- Una onda incidente se propaga por la lnea 1

- Queremos calcular los coefs. de reflexin y de transmisinen la unin (z = 0)


i

r

VV

0

0i

t

VVT

0

0

T

35

0z

2 Z

zii eVV 10

z

rr eVV 10 11 , Z 22 , Z

ztt eVV 20

- El problema planteado no cambia si tomamos una longitud finitade lnea 2 y la terminamos en su impedancia caracterstica.

- Tomamos una longitud nula de lnea 2

0z

2 Z

zii eVV 10

z

rr eVV 10 11 , Z

- Este problema ya lo estudiamos en el apartado 2.2


36

19


12

12

ZZZZ

2 21

2

ZZZT

0z

2 Z

zii eVV 10

z

rr eVV 10 11 , Z

- El coef. de refl. vale:

- Para calcular el coef. de trans. tenemos en cuenta que rit VVV 000

- Dividiendo por resulta iV0 1T

- Es usual expresar en decibelios a travs de cantidadesconocidas como Prdidas de Retorno

(dB) ||log20RL -- y Prdidas de Insercin

(dB) ||log20IL T-

(Return Loss)

(Insertion Loss)

T ,

37

- Ejemplo 9: Calcular, en el circuito de la figura, las potencias incidente, reflejada y transmitida a la lnea de 100 Ohm.

Solucin:

Ulaby 6 P 2.44

50

V 2 501Z 1002Z

2 iP

rPtP

- Comenzaremos calculando la potencia incidente. Para ello, consideramosla siguiente situacin

50

V 2 501Z

iP

50

V 2 50iRiV

mW 10501

21

21 2

i

ii R

VP- Entonces38

20

- Teniendo en cuenta la lnea no tiene prdidas, la potenciatransmitida es la misma que la potencia disipada en la impedancia deentrada vista desde los terminales del generador

50

V 2 inZinV

- En este caso 100inZmW 9.8

100)34(

21

21 22

in

int R

VP

V 34

1501002 inV

- El coef de refl vale31

5010050100

12

12

ZZZZ

- La potencia reflejada resulta

mW 1.1mW 1091|| 2 ir PP

2

39

50

V 2 501Z 1002Z

2 iP

rPtP

inZ

2.5 Desadaptacin en la carga y en el generador (Pozar 2.6)- Consideramos una lnea sin prdidas terminada en una impedancia de

carga ZL y alimentada mediante un generador de impedancia ZG

- En general LG ZZZ 0

)tan()tan(

0

00in

L

L

jZZjZZZZ

- Como ya sabemos:

GZ

G V LZ

0z

,0Z LV LI

z

inV

inI

L

inZ

0

0

ZZZZ

L

LL

40

21

2.5 Desadaptacin en la carga y en el generador- Potencia media entregada a la carga:

**

*

21

21

in

inininin Z

VVIVP

GGG jXRZ ininin jXRZ

ing

ingin ZZ

ZVV

- Sustituyendo la expresin de :inV

2

2

||||

21

ing

ing ZZ

ZVP

- Veamos varios casos:

G V in V

inZ

G Z inI

222

)()(||

21

inging

ing XXRR

RVP

41

2.5 Desadaptacin en la carga y en el generador1. Impedancia de carga adaptada a la lnea:

GZ

G V LZ

0z

,0Z LV LI

z

inV

inI

L

inZ

0 ZZL - En este caso:

0L0ZZin

020

2

||||

21 Z

ZZV

Pg

g

2. Lnea adaptada el generador: gin ZZ - En este caso: 0

)(4||

21

222

gg

gg XR

RVP

- Surge la siguiente cuestin: cul es la impedancia ptima paraque se produzca la mxima transferencia de potencia a la carga?

inZ

42

22

2.5 Desadaptacin en la carga y en el generador

- Segn sabemos de la Teora de Circuitos,la respuesta es:

*Gin ZZ !Adaptacin Conjugada!

- La potencia mxima transferida a la carga vale

8

|V| G

2G

max RP

(suponemos fija) GZ

G V in V

inZ

G Z inI

- Este resultado no implica que los coefs. de refl. y sean nulos - Si es real este resultado coincide con el caso 2 de la hoja anterior gZ- Siempre hay prdida de potencia en el generador. La mayor

eficiencia en la transmisin se consigue haciendo lo ms pequeaposible

gZ

- Comentarios:

43

- Ejemplo 10: Calcular la potencia entregada a la carga en el circuito de la figura.

Solucin:

Pozar 3 2.15

GZ

G V LZ

0z

0Z

z

V, 215gV , 75gZ , )4060( jZL .7.0 , 750 Z

2

2

||||

21

ing

ing ZZ

ZVP

- Segn hemos visto, la potencia entregada a la carga vale

)tan()tan(

0

00

L

Lin jZZ

jZZZZ

- La impedancia de entrada en se calcula mediante la expresin:z

44

23

- Los datos para calcular son: , 750 Z , )4060( jZL .7.0 inZ 4.10.722

27.33) 48.19( )4.1tan()4060(75

)4.1tan(75406075

)tan()tan(

0

00in

jjjjj

jZZjZZZZ

L

L

- Entonces

- Luego

W0.68 |33.2719.4875|

19.4815||

||21

22

22

jZZ

ZVPing

ing

- Sustituyendo en la expresin de la potencia

- La mxima potencia entregable a la carga es (no lo piden)

W75.0 8

|V|

g

2g

max RP45

2.6 Respuesta transitoria (Ulaby 2-12)- Hasta ahora hemos estudiado lneas de transmisin en el dominio de lafrecuencia- En este apartado abordamos en estudio de la respuesta transitoria- Para ello, consideramos un circuito formado por un generador de

continua conectado a una lnea de transmisin sin prdidas y terminadaen una impedancia de carga resistiva pura, tal como se muestra enla figura.

- Supondremos que el interruptor se cierra en t = 0.

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2.6 Respuesta transitoria- Comenzaremos estudiando el circuito en el instante t = 0+

- Justo en el instante en el que se cierra el interruptor, la impedanciavista desde los terminales del generador (z=0) es igual a la impedanciacaracterstica de la lnea.

- Por tanto, el circuito equivalente en t = 0+ es:

- Entonces, la tensin y la corriente, en la entrada de la lnea, en t = 0+valen:

01 ZR

VI

g

g

0

01 ZR

ZVV

g

g

- En consecuencia, la seal comienza a propagarse con velocidad vp a lolargo de la lnea

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2.6 Respuesta transitoria- En un intervalo de tiempo T=l/vp

la seal habr llegado hasta laposicin de la carga (z=l).

- Si, por ejemplo, hacemos unafoto en el instante t = T/2observamos que la seal harecorrido la mitad de la lnea

- En t = T, la seal llega a la cargay se produce otra seal reflejada

11 VV L

0

0

ZRZR

L

LL

- Despus de la primera reflexin,la tensin en la lnea es la suma dela onda incidente y la reflejada

11 VVV- de donde

1)1( VV L

48

25

2.6 Respuesta transitoria

- En t = 2T, la seal llega a la carga (z = l). Si , seproduce una nueva onda reflejada

12 VV g 0

0

ZRZR

g

gg

1V

0ZRg

- Por ejemplo, la tensin en lalnea en t = 3T/2 sera lamostrada en la figura.

- La onda viaja hacia la carga,sumndose a la seal que ya existeen la lnea

211 VVVV

- Por ejemplo, la tensin en lalnea en t = 5T/2 sera lamostrada en la figura

- de donde

2V

1)1( VV gLL

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2.6 Respuesta transitoria- Este proceso de mltiples reflexiones continua indefinidamente- Despus de mucho tiempo (t inf) se alcanza el estado estacionario- La tensin en la lnea en el estado estacionario vale

...332211 VVVVVVV- Escribiendo esta expresin en funcin de tensin incidente 1V

13322

123222

...)1)(1(

...)1(

V

VV

gLgLgLL

gLgLgLgLL

- El segundo parntesis es una serie geomtrica cuya suma vale 1

1

gL- Entonces

111 VV

gL

L

50

26

2.6 Respuesta transitoria- Sustituyendo las expresiones de , , , y simplificando, resulta 1V L g

Lg

Lg RR

RVV

- Esta expresin representa la tensin en estado estacionario que,como cabe esperar, coincide con el resultado obtenido en un anlisisde DC en el que la lnea se sustituye por una conexin ideal.

- La corriente en estado estacionario vale

Lg

g

L RRV

RVI

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2.6 Respuesta transitoriaDiagramas espacio-tiempo- En general, resulta difcil calcular la tensin y/o corriente en un punto

de la lnea debido a las mltiples reflexiones que se producen- Esta tarea se simplifica considerablemente mediante el uso de

representaciones grficas de tipo espacio-tiempo

- Un diagrama espacio-tiempo consta de: - Un eje horizontal que se utiliza para representar la posicin a lo

largo de la lnea- Un eje vertical que representa el tiempo

- El diagrama consiste en una lnea en zigzag que indica la evolucin de la onda de tensin (o corriente) en la lnea

- En z = 0 y z = l aparecen indicados los coefs. de refl. en el generadory en la carga, respectivamente.

52

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2.6 Respuesta transitoria- La primera recta (del zigzag) indica que la onda comienza a

propagarse hacia z > 0 en z = t = 0, llegando a la carga (z = l) en t = T.

1V

- La segunda recta indica que la onda reflejada se propaga hacia z < 0llegando al generador en t = 2T y as sucesivamente

- En cada reflexin se multiplica porel coef. de refl. correspondiente

- Este diagrama permite calcular la tensin total en un punto y en un instante determinados

- As, para calcular V(z1,t1) hacemoslo siguiente:- se traza una vertical en z = z1,

desde t = 0 hasta t = t1- se suman todas las ondas que

corten a la vertical trazada - Por ejemplo

12 )1()4,4( VTV LgLgL 53

2.6 Respuesta transitoria- La variacin temporal de la tensin en una posicin especfica z1 de

la lnea puede determinarse dibujando los valores de V(z1,t) obtenidosal recorrer la lnea vertical z = z1 desde t=0 hasta el instante deseado

- En la figura se muestra la tensin en z = l/4

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- Ejemplo 10: El circuito de la figura se excita con un pulso de tensin rectangular de altura 5 V y de anchura 1 ns. Calcular la forma de onda de la tensin en los terminales de la carga sabiendo que la lnea de transmisin tiene 0.6 m de longitud y la velocidad de fasees c.

Solucin:

Ulaby 6 Ex 2.15

- Trataremos el pulso como la suma de 2 funciones salto

0ns 1

V 5

V 5

V 50 ns 1

- Debemos dibujar el diagrama espacio-tiempo incluyendo las 2funciones salto. 55

- Antes hay que calcular los parmetros necesarios: - Tiempo necesario para recorrer la lnea:

ns 21036.0

8 cT

- Coefs. de refl.:

0.5 5015050150

0

0

ZRZR

L

LL6.050512

50512 0

0

..

ZRZR

g

gg

- Tensin inicial:

V 4505.12

505

0

01

ZRZV

Vg

g (para el escaln positivo)

- Para el escaln negativo ser -4V

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- Se obtiene el siguiente diagramaespacio temporal

- Con la informacin de este diagramase puede obtener la representacin de la tensin en la carga que se muestra abajo

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presentacion lineas transmision terminadas

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