6 lineas de transmision

Electromagnetismo 2004 6-33

Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de IngenieríaUniversidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

Adaptación de impedanciasEs común que se deba conectar una carga a una línea de impedancia característica diferente. Ental caso existirá una onda reflejada que disminuye la potencia entregada a la carga y puede tenerefectos adversos en el generador, crear sobretensiones y sobrecorrientes sobre la línea capaces decausar daños, etc. Para evitar estas situaciones problemáticas existen distintos mecanismos deadaptación entre la línea y la carga. Veremos los más sencillos a continuación.

Como es lo habitual en las aplicaciones, supondremos que las líneas son ideales o de bajas pérdi-das, por lo que tomamos reales a la impedancia característica y la constante de propagación. Porsimplicidad en la introducción también supondremos que la carga es real• Transformador (línea) de cuarto de onda

Se trata de un trozo de línea de longitud Lay de impedancia característica Za. Para laadaptación, se requiere que la impedanciade entrada del conjunto carga + adaptadorsea igual a la impedancia característica dela línea original Z0:

0)sen()cos()sen()cos(

)( ZLkZiLkZLkZiLkZ

ZLZZaLaa

aaaLaain =

++

=−=

Luego: )sen()cos()sen()cos( 002

aLaaaaaLa LkZZiLkZZLkZiLkZZ +=+Para que se cunpla esta igualdad deben igualarse por separado las partes reales e imaginarias deambos miembros:

)sen()sen(

)cos()cos(

02

0

aLaa

aaaLa

LkZZLkZLkZZLkZZ

=

=

La primera ecuación, si el coseno es no nulo, requiere que ZL = Z0, pero esto no ocurre por hipó-tesis, ya que en tal caso no sería necesaria la adaptación. Entonces la igualdad sólo es válida si se

anula el coseno: ⇒==⇒= 2

2 0)cos( πλ

π nL

LkLkaa

aaaa 4a

a nLλ

=

Si 4/1 aaLn λ=⇒= y esta es la longitud más corta de la línea adaptadora, que por tal mo-tivo se llama línea de cuarto de onda. Con esta condición el seno en la segunda ecuación vale 1y se satisface la igualdad si: ⇒= 0

2 ZZZ La La ZZZ 0=

que es la media geométrica de las impedancias que se quieren adaptar.Consideremos ahora la adaptación cuando lacarga es compleja. En este caso se coloca eladaptador a una distancia L0 de la carga para lacual la impedancia de entrada LZ ′ es real y en-tonces: 0ZZZ La ′=La adaptación por este método se realiza en for-

ma sencilla usando la carta de Smith que veremos más adelante.

Z0 ZLZa

Zin

z0-La

Z0 Z0Za

z0-La-L0

ZL

-L0

LZ ′

La adaptación de impedancias por línea de cuarto de onda se dapara una única frecuencia, aquélla en que La = λλλλa /4

6 - Líneas de Transmisión (cont.)



• Adaptador (stub)Muchas veces no es posible tener una línea conla impedancia característica necesaria para unadaptador de cuarto de onda. Suele usarse unstub, que habitualmente es un trozo de la mismalínea que se conecta en paralelo con el conjuntolinea+carga para lograr la adaptación de impe-dancias. Normalmente el extremo de carga (ex-tremo lejano) del stub se cortocircuita para mi-nimizar la emisión de radiación electromagnéti-

ca que podría causar interferencias.El diseño del stub consiste en definir la longitud del stub Ls y la posición - ds en la que debe ubi-carse. En el punto de conexión la admitancia del conjunto es la suma de las admitancias del stuby la admitancia de entrada del conjunto línea+carga. Esa admitancia debe ser igual a 1/ Z0 parala adaptación.Si la carga es resistiva quedan las ecuaciones para las admitancias de entrada:

línea+carga: ( )

)(sen)(cos

)2sen(2

)sen()cos()sen()cos(

)( 22220

2200

00

00 dkYdkY

dkYYiYYY

dkYidkYdkYidkYYdY

L

LL

L

Ls +

−+=

++

=−

stub: )(cotan)( 0 ss LkiYLY −=−

de modo que para adaptación: )()(0 ss LYdYY −+−=

Operando:( )

)(cotan)(sen)(cos

)2sen(2

022220

2200

00 sL

LLLkiY

dkYdkY

dkYYiYYYY −

+

−+= de donde:

⇒=+

1)(sen)(cos 2222

0

0

sLs

L

dkYdkY

YY ( )01 /

2ZZtand Ls

−=πλ

( )⇒=

+

− )(cotan2

)(sen)(cos

)2sen(2222

0

220

sL

L LkdkYdkY

dkYY

−= −

0

01 22 ZZ

ZZtanL

L

Ls π

λ

Estas ecuaciones permiten diseñar la adaptación. Son válidas únicamente para cargas resistivas.En el caso general de cargas no resistivas es más fácil utilizar la carta de Smith para diseñar losadaptadores, cosa que veremos más adelante.Ejemplo 6.12: Una línea de transmisión coaxil de tipo RG58 está terminada en una carga de

valor ZL = 175 Ω. Se desea acoplarla por medio de un coaxil adaptador de λ/4 a 10MHz.Calcule la impedancia característica y la longitud del adaptador.

De la tabla de la p.6.10 tenemos que Z0 = 50Ω. La impedancia característica del adaptadordebe ser: Ω≈= 5.930 La ZZZDe la tabla de la p.6.10 se ve que el cable tipo RG62 A/U tiene la impedancia adecuada.La velocidad de propagación es vf = 0.85c. La longitud del adaptador entonces es:

mf

vL aaa 38.6

44≈== λ

Ejemplo 6.13: Realice la adaptación del Ejemplo previo usando un stub cortocircuitado de lamisma línea.

Las ecuaciones de diseño son: ( )

−== −−

0

010

1 22

/2 ZZ

ZZtan

fvLZZtan

fvd

L

LsLs ππ

z0-ds

Ls

Z0

ZLZ0

cortocircuito



De la tabla de la pág. 235 se tiene para el cable RG58: Z0 = 50Ω , vf = 0.66c y entonces:

( ) mZZZZ

tanf

vLm.ZZtanf

vdL

LsLs 09.3

22

43/2 0

010

1 ≈

−

=≈= −−

ππ

Nuevamente en este caso la adaptación funciona a una única frecuencia, porque los parámetrosde diseño son proporcionales a la longitud de onda en la línea a la frecuencia de adaptación. Si secambia esta frecuencia se debe cambiar la longitud del stub y su posición. La longitud se puedemodificar con cierta facilidad, colocando un cortocircuito móvil en el extremo de carga, pero laposición es difícilmente variable. Sin embargo, si se usan dos o más stubs es posible variar lafrecuencia de adaptación cambiando únicamente sus longitudes1.

Carta de SmithLa impedancia de onda relativa a la impedancia característica puede escribirse:

)2(

)2(

2

2

0 11

11)(

ϕ

ϕ

ρρ

ρρ

ρρ

+

+

−

−

−+

=−+

=−+

= kziL

kziL

kziL

kziL

ikzL

ikz

ikzL

ikz

ee

ee

eeee

ZzZ

Esta ecuación es del tipo: wwz

−+=

11 donde z = r + i x y w = u + iv.

Tal ecuación se conoce como una transformación bilineal (se puede demostrar fácilmente que

11

+−=

zzw ) y se caracteriza porque las líneas de r constante o las líneas de x constante resultan

circunferencias en el plano w. Como 1≤Lρ el diagrama completo se halla dentro del círculo deradio unitario. Podemos demostrar que la forma de las curvas de de r constante o x constanteson circunferencias:

Partimos de:22

22

22 )1(

21

)1(

)1)(1(11

vu

vivu

vu

ivuivuivuivuixr

+−

+−−=

+−

+−++=−−++=+

Luego:2222

22

)1(

2

)1(

1

vu

vx

vu

vur+−

=+−

−−=

de donde: rvrururvu

vur −=++−+⇒+−

−−= 1)1(2)1( )1(

1 2222

22

completamos cuadrados:2

22

211

111

2

+

++−=+

+

++

−r

rrrv

rru

rru

y finalmente: [ ] 222 )1(1)1( rvrru +=++−de donde se ve que las líneas de r constante son circunferencias de radio )1/(1 r+ y centradasen el punto )1/( rr + .Se ve también que el círculo para r = 0 tiene la ecuación 122 =+ vu y coincide con el círculoexterior de la carta y que el círculo para r → ∞ tiene la ecuación [ ] 01 22 =+− vu y coincide conel punto (1,0).Análogamente, de la ecuación para x:

222222

22

112)1( 02)1( )1(2

xxxvvu

xvvu

vuvx =+−+−⇒=−+−⇒+−

=

y finalmente: [ ] [ ] 222 /1/11 xxvu =−+−

1 Ver, por ejemplo, R. Neli Vera, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill Interamericana, México,. 199, pp. 182 yposteriores.



de donde se ve que las líneas de x constante son circunferencias de radio x/1 y centradas en elpunto )/1,1( x .

Para x = 0 el radio se hace infinito y la curva coincide con el eje real. Para x → ∞ se tiene laecuación [ ] 01 22 =+− vu , que nuevamente coincide con el punto (1,0).

En este diagrama los ejes (u,v) representan las partes real e imaginaria del complejo ρLei(2kz+ϕ)

mientras que r = Re[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el eje horizontal) yx = Im[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el círculo exterior) son los valores, normalizados a laimpedancia característica de la línea, de la parte real e imaginaria de la impedancia de onda.Por convención, el ángulo ϕ del fasor ρL se mide desde el eje real positivo en sentido antihorario.

Variar la posición sobre la línea impli-ca cambiar el ángulo de fase del com-plejo (u, v), lo que implica girar alre-dedor del centro del diagrama a ρLconstante (ρL es constante porque de-pende de las impedancias característicay de carga, pero no de la posición en lalínea).Como los ángulos aumentan conven-cionalmente en el sentido antihorario,y el sentido positivo de la coordenada zes hacia la carga, un giro antihorariorepresenta un movimiento hacia lacarga, y el giro horario un movi-miento hacia el generador. El círculoexterior del diagrama permite medirestos desplazamientos, calibrados enlongitudes de onda. El cero de despla-zamiento se coloca sobre el eje realnegativo. Dado que se miden diferen-

cias de longitud (la posición a lo largo de la línearespecto de la posición de la carga) no importadónde se ponga el cero.La carta de Smith se usa para calcular impedan-cias de entrada, ROE, coeficientes de reflexión yotros datos sólo con una regla y un compás, sinusar funciones trigonométricas o hiperbólicas, loque facilita los cálculos. Aunque hemos deducidosus ecuaciones para líneas sin pérdidas (Z0 real),es posible extender su uso a líneas con bajas pér-didas. En la figura se muestra una carta estándar(archivo SMITH.PDF).Las aplicaciones de cálculo básicas de la cartade Smith a líneas sin pérdidas son:

• Dada Z(z) obtener ρ(z)Dada ρ(z) obtener Z(z)

• Dados ZL y ρL obtener Z(z) y ρ(z)Dados Z(z) y ρ(z) obtener ZL y ρL

• Hallar posiciones y valores de máximos y mínimos de tensión sobre la línea.

ρL=1

ρL=0.5

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21

O

λ hacia el generador

λ hacia la carga

ϕρ , ϕτ



• Hallar la ROE.• Dada Z(z) obtener Y(z)

Dada Y(z) obtener Z(z)Ejemplos de uso de la carta de SmithLa operación básica con la carta de Smith consiste en ubicar una impedancia, como se explica enel siguiente ejemplo:

Ejemplo 6.14: Ubicar sobre la carta de Smith las siguientes impedancias:a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Unareactancia inductiva XB = i10Ω. c) Unareactancia capacitiva XC = -i50Ω. d) Unaimpedancia RL serie ZD = (15 + i10)Ω. e)Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocir-cuito ZF = 0. Usar como impedancia denormalización el valor Z0 = 50Ω.

a) 3// 00 === ZRZZz AAA (A)

b) 2.0// 00 iZXZZz BBB === (B)

c) 1// 00 iZXZZz cCC −=== (C)

d) 2.03.0/ 0 iZZz DD +== (D)

e) ∞→= 0/ ZZz EE (E)

f) 0/ 0 == ZZz FF (F)

Ejemplo 6.15: Una línea de 50Ω está ter-minada por una resistencia de 30Ω en se-rie con una reactancia capacitiva de 40Ω.Hallar: a) ρL y ROE, b) la impedancia de

entrada si la longitud de la línea es L = 0.1 λ y c) los valores de longitud de línea que llevana una impedancia de entrada pura-mente resistiva y los valores de estasimpedancias.Para utilizar la carta de Smith prime-ro expresamos la impedancia de car-ga normalizada a la impedancia ca-racterística:

8.06.050

4030

0ii

ZZ L −=−=

y entonces marcamos en la carta deSmith el punto A en la intersecciónde los círculos r = 0.6 y x = - 0.8.a) La distancia desde A al centro deldiagrama da ρL= 0.5 y la prolon-gación de este segmento hasta elcírculo de ángulos exterior da ϕ = 90°(trazos en negro).

Además 35.015.01

11

=−+=

−+

=L

LROEρρ

Podemos sacar el valor de ROE de lacarta de Smith. Como depende sola-

mente de ρL, una carga resistiva pura con el mismo ρL dará el mismo ROE.

C

ρL

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21

O

A

l0/λ

B

D

ϕ

(l0+L)/λ

C

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21

O A

BD

EF



Como para RL > Z0 : ( ) ( ) ( ) ( ) ROEZRZRZR LLLLLL =−+=′⇒+′−′= ρρρ 11 000

y el valor del ROE coincide con la resistencia normalizada que da el mismo valor de ρL.Se usa este hecho y se traza en la carta de Smith el arco de circunferencia centrada en elcentro del diagrama hasta el eje x = 0 para r > 1. El valor obtenido de r en el cruce D (3)es igual al ROE (trazo en verde).

b) Para calcular la impedancia de entrada buscamos la posición donde el radio del diagramaque pasa por A corta al círculo perimetral marcado “hacia el generador”. Resulta l0/λ =0.375. Este es un valor de partida arbitrario. Si ahora nos desplazamos hacia el generador(en el sentido horario) sobre el círculo de ρL = cte. (ρL depende solamente de la carga yZ0) en 0.1λ, de acuerdo al enunciado del problema, tendremos:

(l0+L)/λ = 0.375 + 0.1 = 0.475.El punto B así obtenido tiene r = 0.34 y x = 0.14 , o sea Zin = (17 – i 7)Ω (trazos en azul).

c) Finalmente, las longitudes de las líneas con impedancia de entrada resistivas correspondena los puntos de intersección sobre el eje real (x = 0) de la circunferencia que pasa por A,recorrida en el sentido horario. El primer punto de cruce es el C (separado del A en λ/4)yluego el D (separado del C en λ/4) (trazos en violeta).

Carta de admitanciasDado que la admitancia Y = 1/Z satisface las mismas ecuaciones que la impedancia de onda, lacarta de Smith es también un diagrama de admitancias normalizadas a Y0 = 1/Z0. La trans-formación bilineal es:

π

π

π+ϕ+

π+ϕ+

ϕ+

ϕ+

ϕ+

ϕ+

−+=⇒

ρ−ρ+

=ρ+ρ−

=⇒ρ−ρ+

= i

i

kziL

kziL

kziL

kziL

kziL

kziL

ewewy

ee

ee

YzY

ee

ZzZ

11

11

11)(

11)(

)2(

)2(

)2(

)2(

0)2(

)2(

0

que es la misma ecuación de la carta de impedancias, pero aparece un ángulo de fase de π multi-plicando al complejo w. Por ello, un punto de la cartade impedancias está sobre el círculo de ρL constanteseparado 180° (π) del punto correspondiente a la mis-ma carta medida en admitancias. Por otra parte, lasescalas son iguales, de manera que donde se lee resis-tencia (reactancia) en la carta de impedancias se debeleer conductancia (susceptancia) en la de admitancias.

En el siguiente ejemplo se usa la carta de Smith parapasar de impedancia a admitancia en el caso de lascargas del Ejemplo 6.14.

Ejemplo 6.16: Ubicar sobre la carta de Smith las si-guientes admitancias:a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una reactancia in-ductiva XB = i10Ω. c) Una reactancia capacitivaXC = -i50Ω. d) Una impedancia RL serie ZD = (15 +i10)Ω. e) Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocircuitoZF = 0. Usar como impedancia de normalización elvalor Z0 = 50Ω.

a) 3/1// 00 === AAA GZYYy (A´)

b) 5// 00 iXZYYy BBB −=== (B´)

c) 1// 00 iXZYYy cCC === (C´)

d) 54.13.2/ 0 iYYy DD −≈= (D´)

e) 0/ 0 == YYz EE (E)

f) ∞→= 0/YYz FF (F)C

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0.5

-i0.5

00 2 0.5 21

OA

BD

EF

A´

B´

C´

D´

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0.5

-i0.5

0 0.2 0.5 21

O

A

A´



Otra posibilidad de repre-sentación de admitancias esgirar todo el diagrama en π,en lugar de girar cada punto,con lo que se obtiene unacarta de admitancias comola de la figura.A la izquierda se muestrauna carta de Smith donde sedibujan los círculos de im-pedancias (en rojo) y de

admitancias (en azul) simultáneamente. En estecaso no es necesario girar en π la posición delpunto para pasar de una carta a la otra, sino quebasta con usar los círculos adecuados (archivoSMITHZY.PDF).

En el siguiente ejemplo se diseña un stub paralelode adaptación usando la carta de Smith como cartade impedancias y luego como carta de admitancias.

Ejemplo 6.17: Usar la carta de Smith para dise-ñar un stub de adaptación entre una línea deZ0 = 100 Ω y una carga real ZL = 500 Ω.Vamos a usar la carta de Smith de impedancias.La impedancia de carga normalizada es:

5/ 0 == ZZz LLSe ingresa a la carta en este punto (A). Se traza un círculo auxiliar concéntrico con la cartaque pasa por A. Este círculo es la curva de ρL y ROE constantes. Para adaptación debe-

mos pasar de A a O, el centro del dia-grama, donde ρL= 0. Como vamos acolocar un stub en paralelo con la líneaprincipal, nos conviene trabajar conadmitancias. Pasamos entonces de A alpunto correspondiente B (a 180°), don-de la admitancia normalizada es yL=0.2.Para ubicar el stub nos movemos por elcírculo de ρL constante en sentidohorario (hacia el generador) hasta llegaral círculo de admitancia real normaliza-da igual a 1 (que coincide con el círculode impedancia normalizada igual a 1 -punto C). Para adaptación sólo se re-quiere agregar una susceptancia enparalelo de valor opuesto a la suscep-tancia de C. La distancia ds = 0.183 λ(en longitudes de onda) medida sobre elcírculo exterior de la carta entre losradios que pasan por B y C es la distan-cia desde la carga a la que hay que po-ner el stub. Para hallar la longitud delstub, se observa que la impedancianormalizada en C es yC = 1 + i 1.79, de

manera que el stub debe presentar una admitancia de entrada que anule la parte imagina-ria: yS = - i 1.79. El stub cortocircuitado presenta una admitancia de entrada puramentereactiva: )cot()( )(tan)( 00 ssss lkYilYlkZilZ −=−⇒=− .

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21

O A

C

B

ds

D

Ls

Z Y



El lugar geométrico de esta impedancia (a medida que cambia ls es el círculo exterior deradio unitario que corresponde a r = 0. Ubicamos entonces el punto D que define la admi-

tancia de entrada del stub sobre el cru-ce del círculo de susceptancia bS = -i1.79 con el círculo exterior, y midiendosobre el círculo exterior la distanciadesde el punto de admitancia normali-zada infinita (condición de cortocircuito- eje real positivo) se obtiene Ls = 0.08 λque es la longitud (mínima) requeridadel stub.Si se trabaja con la carta de admitan-cias, se parte desde B )2.0( =Ly y segira a ρL constante hasta alcanzar elcírculo de conductancia normalizadaunitaria (C). Se mide sobre la escala delongitudes de onda la posición del stub,como antes. Luego se ubica el punto D,que neutraliza la impedancia de entradade la línea en el punto de conexión delstub y se mide la longitud necesaria delstub. Naturalmente los valores obteni-dos son los mismos que en la construc-ción previa.

Ejemplo 6.18: Usar la carta de Smith para diseñar un adaptador de cuarto de onda entre unalínea de Z0 = 100 Ω y vf = 0.87c y una carga ZL = 150(1+i) Ω a 20 MHz.

Este es un caso donde el uso de lacarta de Smith es mucho más sen-cillo que la resolución analítica. Enla sección de adaptación vimos có-mo adaptar una carga real a unalínea de impedancia característicareal, pero en este caso tenemos una

carga de impedancia compleja.La solución consiste en intercalar el adaptador a una distancia za de la carga, de maneraque la impedancia de entrada Zin del conjunto línea+carga sea real, como se muestra en la

figura. La determinación de esta posiciónse complica matemáticamente si se desearesolver el problema analíticamente, peroes muy fácil con la carta de Smith.Comenzamos calculando primero la impe-dancia de carga normalizada:

5.15.1/ 0 iZZz LL +==y determinamos el punto A en la carta.Cualquier posición en la línea estará sobrela circunferencia centrada en la carta yque pasa por A. Para hallar la posicióndonde se debe intercalar el adaptador decuarto de onda, nos movemos desde Ahacia el generador (en sentido horario)hasta el primer cruce con el eje real. Estoocurre en el punto B. Podemos leer en laescala exterior la longitud del arco que nosda la posición deseada zs para el adapta-dor, y del eje real la impedancia (real) LZ ′en ese punto, que será la impedancia quehay que adaptar a la línea.

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21

OA

B

zs

z

0

Z0 ZLZa

Zin-za

Z0

u

iv

i2

-i0 5

i1

-i1

i0.5

-i2

02 5 1 0.20 5O

∞

B

C

ds

D

Ls



En nuestro caso:

Ω≈≈′

≈=≈

33535.3

73.0056.0056.0

0ZZ

mf

vz

L

fs λ

de donde:

mf

vL

ZZZZ

faa

La

26.344

18383.1 00

≈==

Ω≈≈′=

λ

Aplicación a circuitos de constantes concentradasLa carta de Smith no es sólo aplicable a circuitos con líneas. Se puede usar para diseñar circuitosconcentrados con la misma simplicidad, como se muestra en los siguientes ejemplos.Ejemplo 6.19: Determinar la impedancia de entrada del circuito de la figura. Datos: R1 = 50 Ω,R2 = 15 Ω, L1 = 8 µHy, L2 = 26.5 µHy, C1 = 3 nF, C2 = 50 nF, f = 1 MHz.

Para usar la carta de Smith debemos normalizar las impe-dancias del circuito a un valor arbitrario. En el caso de laslíneas elegimos la impedancia característica. En este casoelegiremos el valor de la resistencia R. Asignamos a cadaelemento el valor de su impedancia normalizada a la fre-cuencia de trabajo:

ixLiRLixLRRrRrR

33.3 /3.0/ 1

221111

122211

≈→≈=→==→=→

ω

ixCiRCixC

064.006.1/1

52

141

−≈→−≈=→ ω

Con estos valores ubicamos primero laimpedancia serie zA = r+ix1 = 1+i en lacarta de Smith (punto A). El siguiente pasoconsiste en hallar la impedancia resultantedel paralelo de z1 con x2 , para lo cual de-bemos transformar ambas impedancias enadmitancias:

zA → yA = 0.5(1-i) (punto A') ixbx 3.0/1 222 −≈−=→La admitancia resultante del paralelo de y1

y b2 se puede hallar en el diagrama deSmith moviéndonos sobre el círculo deconductancia constante 0.3 en el sentidode admitancia decreciente (porque b2 esnegativa) o sea en el sentido opuesto a lasagujas del reloj. Llegamos al punto B[yB ≈ 0.5 - 0.8 i)]. Como el siguiente ele-mento a combinar es en serie, volvemos al

diagrama de impedancias [punto B' : zB ≈ 0.56 + 0.9 i)]. Agregamos ahora la impedancia se-rie x4 para lo cual nos movemos sobre el círculo de resistencia constante en el sentido an-tihorario de reactancia decreciente (porque x4 es negativa) hasta llegar al punto C:zC ≈ 0.56 - 0.16 i. Finalmente agregamos en paralelo la serie de R2 y C2: zC ≈ 0.3 - 0.064 i,que corresponde a una admitancia yC ≈ 3.19 + 0.68i. Pasamos al diagrama de admitancias:C →→→→ C' (yC ≈ 1.65 + 0.47 i) y giramos primero sobre un círculo de conductancia constante+0.68i y luego sobre un círculo de susceptancia constante 3.19, para llegar al punto D(yD ≈ 4.84 + 1.15 i). Finalmente invertimos el punto para volver al diagrama de impedan-cias y llegamos al punto final D' : zD = zin ≈ 0.196-0.046 i ⇒ Zin ≈ (9.8 - 2.3i)Ω. Los valoresnuméricos que aparecen en el texto salen de la carta y los valores intermedios no se re-quieren para el resultado y se han dado solamente para referencia.

Zin

L1

R1

C1

L2R2

C2

D'

B'

B

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 5 21

O

A

A'

C

C' D



Ejemplo 6.20: Diseñar un circuito de adaptación entre un generador de impedancia internaZg = 50 Ω y una impedancia de carga ZL = (25 - 13.2i)Ω a la frecuencia de trabajo.

Para adaptación se requiere que la impedancia de entrada Zin seaigual a la impedancia del generador Zg.Ubicamos en la carta de Smith la impedancia del generador y laimpedancia de carga normalizadas a Zg :

zg = 1 (O) zL = 0.5 - 0.264i (A).

Para pasar de A a O podemos ir por varioscaminos. Elegimos el camino de la figuradonde vamos primero en sentido horariosobre el círculo de reactancia constantehasta alcanzar el círculo r = 1, y luego poreste círculo hasta el punto O. Esto implicaagregar una impedancia serie RL:

z = 0.5 + 0.264i ⇒ Z = (25 + 13.2i)Ω,que es una solución trivial del problema.Esta solución tiene una respuesta en fre-cuencia del tipo de un pasabajos. Es posi-ble obtener otras soluciones de diferentesrespuestas en frecuencia modificando elcamino desde A hacia O, lo que implicaelegir otros circuitos de adaptación.

Zin

Zg

ZLVg

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21

O

A



Líneas resonantesAdemás de transmitir energía e información de un punto a otro, las líneas se pueden usar comoelementos de circuito, fundamentalmente por su propiedad de lograr cualquier impedancia deentrada en función de su longitud y su carga. Esta situación es muy común en la actualidad, enque se integran líneas de transmisión o guías de onda en chips para microondas.En particular, la posibilidad de tener ondas estacionarias lleva a que las líneas se puedan usarcomo circuitos resonantes o sintonizados.Consideremos primero una línea supuestamente ideal cortocircuitada en ambos extremos. Elgenerador se coloca en algún punto intermedio que consideraremos más adelante. Las ondas(estacionarias) de tensión y corriente en la línea son:

)cos()cos(2),( )sen()sen(2),(0

kztZV

tzikztVtzv ωω ++ ==

Veamos si estas expresiones satisfacen las condiciones en los extremos de la línea. La tensión seanula sobre el extremo de carga (z = 0) pero debe también anularse sobre el extremo opuesto(z = -l). Entonces:

22

0)sen( ⇒==⇒=⇒=f

cnnlnklkl nλπ

LCfnln 2

=

lo que significa que, para una dada frecuencia de excitación, la longitud de la línea no puede sercualquiera, sino solamente alguno de los valores discretos ln . Viceversa, para una línea de lon-gitud y parámetros dados, sólo se pueden establecer ondas con un conjunto discreto de frecuen-cias:

2

1 ⇒=LCf

nln

LCl

nf n 2=

Un elemento circuital o un circuito que selecciona frecuencias es un circuito resonante o sinto-nizado. Para esta aplicación pueden usarse líneas que habitualmente se cortocircuitan en ambosextremos para minimizar la radiación de interferencias.

Ahora podemos analizar la posición del generador que alimenta la línea. Suponemos que es ungenerador de tensión ideal (impedancia interna nula), y podemos colocarlo en la posición de unantinodo cualquiera de la onda estacionaria:

LCfmzmkzkz mm

4)12(

2)12(- 1)sen( +−=⇒+=⇒= π

donde se toman valores negativos de zm por laconvención de colocar el origen de coordena-das sobre la carga. Entonces queda definido elvalor de V+: 2V+ = V0, donde V0 es la tensióndel generador.

Energía y QLa energía almacenada en la línea, que está asociada a sus componentes reactivos, se puede cal-cular apelando al modelo circuital. Cada dz de línea tiene una inductancia Ldz y una capacidadCdz. La energía almacenada en estos elementos es:

( ) dzkztVCkztZV

LdztzvCtziLdU

+

=+= )(sen)(sen)(cos)(cos

21),(),(

21 222

022

2

0022 ωω

Entonces: ( )dzkztkztVCdU )(sen)(sen)(cos)(cos21 22222

0 ωω +=

z

V0

0zml



y tomando el promedio temporal: ( ) dzVCdzkzkzVCdU 20

2220 4

1)(sen)(cos41 =+>=<

Finalmente, integrando a toda la línea: nn lVCU 20

41>=<

Consideremos ahora una línea con pérdidas. Si las pérdidas son bajas, como es el caso en la ma-yoría de las líneas comerciales, podemos suponer que la distribución de tensión y corriente noserá muy diferente que en el caso ideal, y podemos calcular la potencia perdida para cada tramodz de la línea como:

dzkztVGkztZV

RtzvGdztziRdzdW

+

=+= )(sen)(sen)(cos)(cos),(),( 222

022

2

0022 ωω

y tomando el promedio temporal: dzkzCGkz

LRCVdW

+>=< )(sen)(cos

21 222

0

Integrando a toda la linea:

+>=< ∫∫

−−

02

022

0 )(sen)(cos21

nn ll

dzkzCGdzkz

LRCVW

y como k = nπ /ln :

+>=< ∫∫

−−

02

022

0 )(sen)(cos21

nn l nl n

dzzln

CGdzz

ln

LRCVW ππ

⇒ nn lCG

LRCVW

+>=< 2

041

Un circuito resonante tiene como misión almacenar energía. Cuanto mayores son las pérdidasmenor es la calidad del circuito como resonante. Esta característica se suele medir por el llamadofactor de calidad o factor de mérito:

><><=

><><==

WU

fWUQ ωππ

/2

ciclopordisipadamediapotenciaalmacenadamediaenergía2

Usando las expresiones que hemos hallado:

41

41

20

20

⇒

+

=><><=

n

n

lCG

LRCV

lCV

WUQ ωω ( ) CfGLfRCGLR

Qnnnn

n +=

+= π

ωω21

Se observa que para una línea de bajas pérdidas Qn >> 1 ya que en tal caso cada término deldenominador es mucho menor que 1. La frecuencia que aparece en la expresión de Qn es una delas posibles frecuencias de resonancia fn del circuito, y el valor de Qn calculado corresponde aesa frecuencia.

En resonancia, el generador (supuestamente conectado en un antinodo de la tensión) ve una im-pedancia infinita cuando la línea es ideal. Cuando hay pérdidas, la potencia perdida debe ser su-ministrada por el generador, de manera que la impedancia que el generador ve debe ser ahorafinita y real y de valor tal que la potencia que el generador le suministra sea igual a la potenciadisipada en la línea. Podemos calcular así la resistencia de entrada (en resonancia) de la líneavista por el generador:

n

i

lCG

LRCV

RV

W

+=>=< 20

20

41

21 de donde

( ) λωλωωω nCQ

nCGLRCRi

44 =+

=

y finalmente nos queda, en función del Q de la línea: nZQ

R nin π= 02



Ancho de bandaPodemos analizar el comportamiento en frecuencia alrededor de la resonancia considerando aho-

ra que variamos ligeramente la frecuencia delgenerador respecto de una de las frecuencias deresonancia del circuito. Para analizar el resultadode esta variación de frecuencia, el circuito sepuede pensar como un generador conectado a doslíneas en paralelo y cortocircuitadas en sus ex-tremos de carga. Las longitudes de cada línea

son, respectivamente, l1 y l2. En resonancia, estas longitudes son múltiplos impares de λ/4 y laimpedancia de entrada del paralelo de ambas líneas es Ri, pero deja de tener este valor fuera deresonancia. Como se trata de líneas cortocircuitadas de bajas pérdidas, fuera de resonancia susimpedancias de entrada son fundamentalmente reactivas, por lo que en el siguiente análisis des-preciamos momentáneamente la parte resistiva. Como las dos líneas están en paralelo, es conve-niente trabajar con las admitancias (susceptancias). En resonancia:

[ ] 0)cot()cot( 210 →+−= llYiBi i ββFuera de resonancia podemos escribir: cc /)1(/ 0 δωωβ +== donde ω0 es una de las frecuen-cias de resonancia y δ<<1 representa un corrimiento relativo de frecuencia.

Luego: )1(2

)1()1(

11010

1 δπδβδω

β +=+=+

= nllc

l y análogamente: )1(222 δπβ += nl

Luego tenemos:

++

+−= )1(

2cot)1(

2cot 110 δπδπ nnYiBi i

Pero para n1 impar: δπδπδπ22

)1(2

cot 111 nntann −≅

−=

+

y entonces:

=

−−−=

222 0210δπ

δπδπ nYinnYiBi i

Finalmente, incorporando la resistencia de entrada, la admitancia que ve el generador fuera deresonancia es, aproximadamente:

−+=

+=

+≅+=

0

0000

0 12

1222

/1ωωωπδπδππ

iQ

YniQ

YnnYiQYn

BiRY iii

y entonces: 2

0

02

02

0

02

012

12

−+

=⇒

−+

=ωωω

πωωωπ

QnZ

ZQ

Yn

Y ii

Si graficamos el módulo de la impedancia de entrada en función de la frecuencia ω obtenemosla clásica curva de resonancia:

El valor mínimo de admitancia (o el máximo de im-pedancia) de entrada se da para la resonancia ω = ω0:

iii RZn

QZYQ

nY ==⇒= 0MAX0min

2

2 ππ

y es la resistencia de entrada Ri ya calculada. Defini-mos el ancho de banda ∆ω entre las dos frecuenciasa ambos lados de la resonancia para las cuales la im-pedancia de entrada cae a 2/1 de su valor máximo,o lo que es lo mismo, la admitancia de entrada es 2veces el valor mínimo:

l1 l2

V0

Zi/Ri

ω/ω0

1

21

2∆ω



2

2

0

02

0min

2

0

02

0 21 2

22 12 QQQ

YnY

QYn

Y ii =

−+⇒==

−+

=ωωωπ

ωωωπ

y finalmente: QQ

000

ωω

ωωω =∆⇒±=− de donde: nnnn ffQ

n∆=∆= // 00 ωω

Podemos observar que a estas frecuencias la parte real y parte imaginaria de la admitancia deentrada (o de la impedancia de entrada) son iguales.

Ejemplo 6.21: Una línea de parámetros L = 1.2 µHy/m, C = 30 nF/m, R = 0.01 Ω/m,G = 10--41/Ωm se usa como circuito sintonizado. a) Hallar la mínima longitud para teneruna frecuencia de resonancia de 10MHz. b) Determinar las posibles posiciones de la en-trada al circuito. c) Calcular el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el ancho debanda del circuito sintonizado.

a) Las frecuencias de resonancia son: ⇒= 2 LCl

nf n cmLCf

llmin 35.262

1 ≈==

b) Las posiciones de los antinodos, posibles posiciones de entrada al circuito, son:

( ) 2/14

)12( ⇒+=+−= lmLCf

mzm cmlz 17.132/0 ≈=

ya que sólo se puede tomar m = 0.

c) ( )

≈=

Ω≈π

=⇒

Ω≈ω+ω+=

≈+π

=

kHzQf∆f

KZQ

R

CiGLiRZ

CGLRfQ

i

86.1

68.212

3.6

5386//

2 0

0

Se observa que el ancho de banda es muy bajo comparado con el valor de la frecuenciacentral, lo que se asocia al alto valor del Q.

Ejemplo 6.22: Un tramo de coaxil RG11 se usa para crear un circuito resonante a 100 MHz.Hallar la longitud necesaria del cable, el Q, la impedancia de entrada en resonancia y elancho de banda del circuito sintonizado.

De la tabla de la p.6.10, los parámetros del coaxil RG11 son:

Diámetro (2b)mm

Z0

Ohmv/c C

pF/mα (a 100 MHz)

dB/m10.3 75 0.66 67 0.069

La longitud mínima del circuito sintonizado es: mf

vLCf

l 122

1 ≈==

Como:

≈=∆

Ω≈π

=

≈απ=

απ=

⇒=απ≈

y

MHzQff

KZQ

R

vf

ZLfQ

ZR

LRfQ i

5.0

5.92

200

2/2 0

0

0

La ecuación hallada vincula los tres parámetros fundamentales de laresonancia: la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el Q.



Transitorios en líneasEs muy común el uso de líneas de transmisión para propagar pulsos que codifican información.Un tren periódico de pulsos se puede representar mediante una serie de Fourier que es una su-perposición de ondas armónicas (un pulso no periódico requiere una integral de Fourier, quetambién representa una superposición de ondas armónicas). Es posible entonces analizar el pro-ceso para cada frecuencia y finalmente superponer los resultados, ya que las ecuaciones diferen-ciales que describen el comportamiento de las líneas de transmisión son lineales. Este análisis sehace entonces en el dominio de la frecuencia.

Sin embargo, en muchos casos es más instructivo analizar el comportamiento de la señal com-pleta sin descomponerla por Fourier. Este análisis se hace en el dominio del tiempo, y es el quevamos a usar en esta sección.

Consideremos una línea sin pérdidasque conecta una batería de impedan-cia interna resistiva Rs a una resisten-cia de carga RL. En el instante t = 0se cierra el interruptor que conecta elgenerador a la línea. La onda inicial ode arranque “ve” solamente la seriede Rs y Z0.

Entonces la corriente para z = -l, t = 0+ es: I(-l,0+) = I0 = Vs /(Rs+Z0) y la tensión inicial es:V(-l,0+) = V0 = I0 Z0 = Vs Z0/(Rs+Z0).

Después de cerrar el interruptor las ondas i+ = I0 yv+ = V0 se propagan hacia la carga con la velocidad

LCc /1= . Como esta velocidad es finita, el frente deondas tarda clt /1 = en llegar a la carga e interaccio-nar con ella. En ese momento la tensión y corriente enla carga serán la superposición de las ondas incidente yla reflejada:

( ) 01 1),0( VvvtV Lρ+=+= −+

( ) 01 1),0( IiitI Lρ−=+= −+

donde 00

ZZZZ

LL

L +−

=ρ es el coeficiente de reflexión en la carga.

Las ondas reflejadas i- = ρL I0 y v- = ρL V0 viajan ahora hacia el generador (las ondas inciden-tes siguen propagándose desde el generador hacia la carga). En el instante 12 tt = las ondas re-flejadas llegan al generador, donde la nueva desadaptación de impedancias crea una nueva onda“reflejada” progresiva:

( ) ( ) 0001 11)2,( VVVvvvtlV sLLLsL ρρ+ρ+=ρρ+ρ+=′++=− +−+

( ) ( ) 0001 1)(1)2,( IIIiiitlI sLLLsL ρρ+ρ−=ρ−ρ−ρ−=′++=− +−+

donde 00

ZZZZ

ss

s +−

=ρ es el coeficiente de reflexión en el generador.

Esta nueva onda progresiva viaja hacia la carga, donde llega para 13tt = , instante en el que segenera una nueva onda regresiva: El proceso de reflexiones múltiples se puede ver más fácil-mente mediante los diagramas de rebote o diagramas de malla de Bewley, que se muestran acontinuación:

0-lz

RL

Rs

VsZ0

c



Se ve claramente cómo se forma cada serie de términos que dará el valor final de la tensión y lacorriente sobre la línea después de los múltiples rebotes. Salvo en los casos de generador ideal ycarga en cortocircuito o circuito abierto, en que se producen oscilaciones permanentes, como seanalizó en la sección previa, como ρ<1 cada término es menor que el precedente y la seriefinalmente converge a un valor límite. Vamos a analizar las formas de onda que se obtienencuando se colocan diversas impedancias de carga.

Ejemplo 6.23: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador yla carga para una línea de Z0 = 50 Ω, conectada a un generador de tensión de 10V con re-sistencia interna Rs = 10 Ω. La impedancia de carga es RL = ∞ (circuito abierto).Las amplitudes de las ondas progresivas que viajan por la línea luego de cerrar el inte-

rruptor son. VZR

VZV

s

s 33.80

00 ≈

+= A

ZV

I 167.00

00 ≈=

Los coeficientes de reflexión son: 667.0 10

0

0

0 −=+−

==+−

=ZRZR

ZRZR

s

ss

L

LL ρρ

Realizamos la serie que describen los diagramas de Bewley para obtener las siguientesgráficas (tensiones en V y corrientes en A):

Se observa que la tensión y la corriente a la entrada de la línea oscilan tendiendo a su va-lor final VVlVV s 10),(),0( ==∞−=∞ , que corresponde al estado estacionario (de corrientecontinua) donde ya no hay ondas viajeras en la línea. La línea es en estas condiciones un

z = -l z = -lz = 0 z = 0V I

ρs ρsρL ρL

t1

2t1

3t1

4t1

5t1

6t1

1 1

Lρ Lρ−

sLρρ sLρρ

sLρρ 2sLρρ− 2

22sLρρ

23sLρρ−

22sL ρρ

23sL ρρ

11.1116.67

12.99.26

5.561

20V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

8.33 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t0

0.20.167

-0.111

I(-1,t)I(0,t)

-0.2

0.074



cortocircuito y la tensión final sobre la carga es la misma que la tensión de entrada (e iguala la tensión de la fuente porque no circula corriente por estar la carga en circuito abierto).La corriente sobre la carga es siempre cero, como debe ser, y la corriente en la entradatiende a su valor final cero.

Ejemplo 6.24: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador dela línea del ejemplo anterior para RL = 0 Ω (cortocircuito).

Los coeficientes de reflexión son: 667.0 1 −=−= sL ρρ V0 e I0 tienen los mis-mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:

La tensión a la salida es siempre cero, por el cortocircuito, mientras que a la entrada tien-de a su valor límite nulo de corriente continua. La corriente tiende en ambos extremos dela línea a su valor límite de continua que vale ARVlII ss 1/),(),0( ==∞−=∞A tiempo infinito, ya no hay ondas viajeras por la línea y ésta se comporta como un corto-circuito por el que circula corriente estacionaria.

De estos ejemplos se observa que, en el caso de carga a circuito abierto, la tensión en el extremodel generador oscila alrededor del valor límite de continua (la tensión del generador) mientrasque en el caso de carga cortocircuitada la tensión de entrada tiende monótonamente a cero.Vemos ahora qué ocurre con una impedancia de carga resistiva finita.Ejemplo 6.25: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de

la línea del ejemplo anterior para RL = 200 Ω .

Los coeficientes de reflexión son: 667.0 6.0 −== sL ρρ V0 e I0 tienen los mis-mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:

Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua:

mAZZVlII Ls 6.47)/(),(),0( 0 ≈+=∞−=∞ y VIZlVV L 524.9),0(),(),0( ≈∞=∞−=∞

Ejemplo 6.26: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador dela línea del ejemplo anterior para RL = 20 Ω .

Los coeficientes de reflexión son: 667.0 429.0 −=−= sL ρρ V0 e I0 tienen losmismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

1

0.167

0.444

I(-1,t)I(0,t)

0.5

0.6290.704

0.333

0.556

V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

3.7

5.565

108.33

0

0

0.167

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

0.2

I(-1,t)I(0,t)

0.10.06 0.050.067

0.040.0476

V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

9.3310

5

15

8.339.524

10

13.33

8

10.13



Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua:

mAZZVlII Ls 3.33)/(),(),0( 0 ≈+=∞−=∞ y VIZlVV L 67.6),0(),(),0( ≈∞=∞−=∞En este caso )( 0ZZ L < la tendencia de tensión y corriente a sus valores finales es monó-

tona, mientras que en el caso previo )( 0ZZ L > la tendencia era oscilante.

En estos dos últimos ejemplos se observa que si ZL < Z0 la tendencia de todas las variables grafi-cadas es monótona hacia sus valores finales, mientras que si ZL > Z0 la tendencia es oscilante.Cargas complejasHemos analizado el comportamiento de cargas resistivas. Cuando la carga es una impedanciacompleja la dependencia temporal de los frentes de onda se modifica. Consideremos por ejem-plo una línea de impedancia característica real Z0 terminada en una impedancia de carga ZL, a laque se conecta una batería V0 a la entrada para t = 0. El frente de onda de tensión V0 viaja con lavelocidad de propagación en la línea hasta que llega a la carga en t = t1. La carga impone la rela-ción entre tensión y corriente y genera así una onda reflejada, por la desadaptación de impedan-cias con la impedancia característica de la línea.

Podemos obtener la forma de onda de la onda regresiva utilizando técnicas de de la transforma-ción de Laplace. Si en lugar de trabajar con las tensiones y corrientes como funciones del tiempoconsideramos sus transformadas de Laplace:

),(),(),(),( szItziszVtzv ±±±± ↔↔

entonces podemos escribir para el coeficiente de reflexión:

sV

ZZ

sVZZ

sVsV

ZZZZ

tvtv

L

L

L

LL

L

LL

0

0

0

0

0

0

0 ),0(),0(),0(

),0(),0(

+Ξ−Ξ

=⇒+Ξ−Ξ

==Ρ↔+−

==ρ −+

−

+

−

donde ΞL es la transformada de Laplace de la impedancia de carga y V0/s la transformada de La-place de la función escalón que representa la onda progresiva. Esta expresión se invierte nueva-mente por Laplace para hallar la expresión en el tiempo de la onda de tensión regresiva.

Ejemplo 6.27: Halle la onda de tensión regresiva cuando la impedancia de carga es: a) unaserie RL; b) una serie RC; c) un paralelo RL; d) un paralelo RC.

a) En este caso: sLRL +=Ξ

y: 00

0

0

00

0

00

0

0

/1121),0( V

sZRZ

sZRZR

sV

sLZRsLZR

sV

ZZ

sVL

L

++

++−

=+++−

=+Ξ−Ξ

=− τdonde )./( 0ZRL +=τ La antitransformada de esta expresión es:

)(2

),0( /

0

0

0

00 tue

ZRZ

ZRZR

Vtv t ′

+

++−

= τ′−−

con 1ttt −=′

Se ve que para 01 ),0(0 Vtvt =⇒=′ − y la tensión sobre la carga en elinstante del rebote duplica a la de la onda incidente, porque la inductancia serie

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

0.286

0.167

0.5

I(-1,t)I(0,t)

0.25

0.32 0.3330.238 0.306

0.326

V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

6.87.145

8.33

6.67

10

4.766.12

6.51

R

L



impide el súbito incremento de la corriente, que entonces es inicialmente cero (condiciónde circuito abierto).

b) En este caso: sCRL /1+=Ξ

y: 00

00

0

00

0

0

/1121

/1/1

),0( VsZR

Zss

VsCZRsCZR

sV

ZZsV

L

L

τ++

−=+++−

=+Ξ−Ξ

=−

donde ).( 0ZRC +=τ La antitransformada de esta expresión es:

)(2

1),0( /

0

00 tue

ZRZ

Vtv t ′

+

−= τ′−−

con 1ttt −=′

Se ve que para 00

01 ),0(0 V

ZRZRtvt

+−

=⇒=′ − ya que el capacitor es inicialmente un

cortocircuito y la tensión sobre la carga depende solamente de la relación R/Z0.

c) En este caso: )/()/1/1/(1 sLRsRLLsRL +=+=Ξ

y: 00

0

00

000

0

0

/1121

)()(

),0( VsZR

Rss

VRZZRsLRZZRsL

sV

ZZ

sVL

L

τ++

+−=++−−

=+Ξ−Ξ

=−

donde ).(/ 00 ZRLRZ +=τ La antitransformada de esta expresión es:

)(21),0( /

00 tue

ZRRVtv t ′

+

+−= τ′−−

con 1ttt −=′

Se ve que para 00

01 ),0(0 V

ZRZRtvt

+−

=⇒=′ − ya que la inductancia es inicialmente un

circuito abierto y la tensión sobre la carga depende nuevamente de la relación R/Z0.

d) En este caso: )1/()/1/(1 sCRRCsRL +=+=Ξ

y: 000

00

00

000

0

0

/1121),0( V

sZRR

sZRZR

sV

sCRZZRsCRZZR

sV

ZZ

sVL

L

τ++

−+−

=++−−

=+Ξ−Ξ

=−

donde )./( 00 ZRCRZ +=τ La antitransformada de esta expresión es:

)(2),0( /

00

00 tue

ZRR

ZRZR

Vtv t ′

+

−+−

= τ′−−

con 1ttt −=′

Se ve que para 01 ),0(0 Vtvt −=⇒=′ − ya que el capacitor es inicialmente un cortocir-cuito y la tensión sobre la carga debe anularse.Las formas de onda de la onda regresiva en cada uno de estos casos se representa en lassiguientes figuras, donde r = R/Z0 = 0.5, 1, 2.

R

C

R L

R C

v-/V0

t/τ

v-/V0

t/τ

a b

r = 0.5r = 1r = 2



r = 0.5r = 1r = 2

v-/V0

t/τ

c

v-/V0

t/τ

d

Estas ondas viajan hacia la entrada desde el mismo instante t1 en que se generan. Las diversasformas de onda que se obtienen cuando la impedancia de carga no es resistiva pura permitensacar conclusiones del tipo de impedancia de carga y da origen a aplicaciones técnicas2.

En los ejemplos precedentes se conectó una batería a la línea. Desde el punto de vista matemáti-co se usó una función escalón para describir la propagación de las ondas en la línea. Habitual-

mente en lugar de enviar un escalón se envía un pulsopor la línea. Podemos usar los resultados obtenidos yaque el pulso es equivalente a dos escalones separados enel ancho temporal del pulso y de amplitudes iguales y designo opuesto, como se muestra en la figura:

)()()( 21 τ−+= ththtf .

Para analizar el comportamiento de la propagación de pulsos en una línea de transmisión, debe-mos comparar el tiempo de viaje a lo largo de la línea con el ancho del pulso. Si el ancho delpulso es mucho menor que el tiempo de viaje el pulso mantiene su entidad en la propagación ylas formas de onda obtenidas en el ejemplo previo son aplicables. Si el ancho de pulso es compa-rable con el tiempo de tránsito el problema se complica, especialmente cuando hay múltiplesrebotes, y es necesario un cálculo por computadora.

2 Hewlett-Packard Application Note 1304-2, “Time Domain Reflectometry Theory”, 1988 (HP-AN1304.PDF).

f(t) h1(t)

h2(t)



APLICACION: TDREl comportamiento de la propagación de pulsos por una línea da la base de un método de análisisde cargas en líneas de transmisión, la reflectometría en el dominio del tiempo (TDR). Estatécnica se basa en enviar un escalón o un pulso desde el extremo del generador (adaptado a lalínea ⇒ no hay rebotes a la entrada) y observar la forma de onda. En las fotos de la pantalla deun osciloscopio que siguen se presenta un caso de circuito abierto y otro de cortocircuito en elextremo de carga, con un generador prácticamente ideal (Rs → 0):

La técnica permite hallar la longitud de línea entre el punto de observación y el sitio donde seproduce la reflexión por desadaptación de impedancias (midiendo el intervalo vLt /2=∆ quetarda en cambiar la lectura) y la impedancia del punto de desadaptación midiendo la altura delsalto ( )[ ]sLVV ρρ ++=∆ 110 de donde se puede calcular ρL y por lo tanto ZL conociendo ρs.

Esta técnica se puede usar para:

• conociendo el tipo de línea ( ⇒ v), calcular su longitud. Se deja el extremo de carga en cir-cuito abierto y se mide a la entrada el tiempo ∆t que tarda el pulso rebote.Luego: L = v∆t/2.

• conociendo la longitud, calcular los parámetros de la línea. Se carga la línea con una impe-dancia resistiva conocida RL. La velocidad de propagación se calcula a partir del tiempo derebote: tLv ∆= /2 . La línea se considera de pérdidas despreciables (Z0 real). Como no hayrebotes a la entrada, la tensión en ella es:

LL

LLLinLin R

vVvVZ

Vv

ZRZRVVvvVv

∆+∆−

=⇒∆=+−

=ρ⇒ρ=−=∆⇒ρ+=0

00

00

0000 )1(

Entre otras aplicaciones, esta técnica permite detectar fallas en líneas de transmisión muy largasmidiendo desde un extremo (o un punto conveniente). Se envía un pulso y se observa la forma deonda. Si se registran rebotes es señal de que hay una desadaptación de impedancias. El tiempo derebote da la posición de (la primera) discontinuidad. La forma de onda da el tipo de desadapta-ción y permite inferir el tipo de fallas. El análisis de los ejemplos precedentes se puede extendera múltiples puntos de desadaptación. Hay procedimientos semi-automáticos de detección de fa-llas en líneas muy largas que usan además sistemas de GPS para la localización geográfica3.

3 Hewlett-Packard Application Note 1285, “Traveling Wave Fault Location in Power Transmission Systems”, 1997

(HP-AN1285.PDF).



RESUMEN

• En este Capítulo presentamos las técnicas básicas de adaptación de impedanciasentre una línea y una carga cualquiera:• El transformador de cuarto de onda se coloca entre la línea y la carga (posible-

mente a una distancia para que laimpedancia que ve el transformadorsea real) y cumple las ecuaciones:

Laaa ZZZL ′== 0 4λ

Este adaptador funciona solamentea la frecuencia de diseño.

• El stub es un trozo de la misma línea que se coloca en paralelo con la carga a unadistancia definida. El trozo o stub se puede terminar de diversas formas. Vemos

solamente la forma más común, quees el cortocircuito. Las ecuacionesde diseño dan la posición y longituddel stub y son:

( )01 /

2ZZtand Ls

−=πλ

−= −

0

01 22 ZZ

ZZtanL

L

Ls π

λ

• La carta de Smith permite obtener soluciones gráficas de problemas de uso de líneasde transmisión. Se basa en las propiedades delas ecuaciones de la impedancia y admitanciade onda a lo largo de la línea:w = u+iv = ρLei(2kz+ϕ) z = Z/Z0 = r+ix

z = (1+w)/ (1-w)La carta de Smith presenta círculos de rconstante (en rojo), círculos de x constante (enazul) y círculos de ρL constante (en violeta).Al moverse en la línea la impedancia normalizadaz varía sobre un círculo de ρL constante.La carta de Smith permite calcular con facilidadtodos los parámetros de una línea cargada y laadaptación mediante transformadores o stubs.• Una línea donde existan ondas estaciona-

rias se comporta como un circuito resonante de alto Q, con las siguientes caracterís-ticas:

Frecuencias de resonancia Q y ancho de banda

LClnf n 2

= ( ) n

n

nnn f

fCGLR

Q∆

=+

=ωω

1

• Se presentó una introducción al comportamiento de los transitorios en las líneas,donde se tienen en cuenta las propiedades de propagación de pulsos a lo largo de la

Z0 ZLZa

La

Z0

LZ ′

z0-ds

Ls

Z0

ZLZ0

cortocircuito

ρL=1

0 5

u

iv

O

λ hacia el generador

λ hacia la carga

ϕρ , ϕτ



línea. Esto da una serie de posibilidades técnicas, de las cuales la más común es lareflectometría en el dominio del tiempo (TDR) que permite obtener la posición y ca-racterísticas de impedancia de discontinuidades en las líneas. Esta técnica se usa,por ejemplo, en la detección remota de defectos en líneas de alta tensión y caracteri-zación de parámetros de líneas microstrips.

• Introducimos en un Apéndice las ideas relacionadas con la descripción de circuitosmediante la llamada matriz de dispersión y otras descripciones matriciales equiva-lentes, que son de mucha utilidad para analizar la propagación de ondas en estructu-ras complejas de guiado desde un punto de vista circuital. Analizamos estas ideas enel marco de la descripción de la propagación de ondas en líneas.



APENDICE 7: Matriz de DispersiónMuchos sistemas que propagan energía e información pueden considerarse como un conjunto de

puertos por los que entran y salen señales que transportanla energía e información. Existe un método general dedescripción de sistemas lineales de n-puertos, cuando esposible establecer una relación lineal entre las señales deentrada y salida. Este método, llamado de la matriz dedispersión, es aplicable a un gran número de sistemaspasivos y activos y es de mucho uso en la descripción decircuitos de microondas.Sea a = [a1, a2, …, an]T el vector de entradas yb = [b1, b2, …, bn]T el vector de salidas. Estos vectores

están ligados entre sí por la llamada matriz de dispersión: b = S a. Los elementos Sij de la ma-triz están relacionados con distintos parámetros que definimos a continuación. Decimos que unpuerto tiene su salida adaptada cuando está conectado a una impedancia de carga que no produ-ce onda reflejada (que en caso de existir constituiría una onda incidente sobre el puerto). Por

ejemplo, si el puerto 2 tiene su salida adaptada, se tienea2 = 0. Análogamente, el puerto tiene su entrada adaptada cuando noexiste onda saliente del puerto. En tal caso, para ese puerto bi = 0.Supongamos un sistema donde todos los puertos, salvo el primero, tienensus salidas adaptadas. Entonces ai = 0 si i > 1. Las ecuaciones en la des-cripción de la matriz de dispersión se reducen a:

niaSb ii ,...,2,1 11 ==de modo que S11 es un coeficiente de reflexión del primer puerto mientras que los Si1 (i > 1) soncoeficientes de transferencia de señal que liga al entrada en el primer puerto con las salidas enlos otros puertos. Se los conoce como ganancias (o pérdidas) de inserción, según que sus mó-dulos sean mayores o menores que 1. Resulta así que los coeficientes diagonales de la matriz dedispersión Sii son coeficientes de reflexión del puerto en cuestión y los coeficientes fuera de ladiagonal principal Sij son coeficientes de transferencia o inserción entre distintos puertos.Muchos sistemas satisfacen también la condición de reciprocidad: Sij = Sji. Esta condición signi-fica que la transferencia de señales entre los puertos i y j es simétrica o recíproca.Desde el punto de vista de la potencia o energía que se propaga entre los puertos, podemos decirque, en general, para señales armónicas la potencia media que ingresa en cada puerto (potenciaincidente) es proporcional a 2*

iii aaa = , mientras que la potencia media que sale de cada puerto

(potencia reflejada) es proporcional a 2*iii bbb = . Por lo tanto, la potencia media neta que in-

gresa a cada puerto es proporcional a 22ii ba − .

Analizamos nuevamente el caso donde todos los puertos, salvo el primero, tienen sus salidas

adaptadas. En tal caso, ( )

>−−

=−⇒=1 1

221

21

21122

11 iaSaS

baaSbii

iiii .

Si el sistema no tiene pérdidas ni ganancia de potencia, toda la potencia que entra debe salir,mientras que si hay pérdidas la potencia que sale debe ser menor que la que entra, de manera quepara un sistema pasivo:

1 01

21

1

21

21

21

1

221 ≤⇒≥−=− ∑∑∑

===

n

ii

n

ii

n

ii SaSaba

1 2

34

a1b1

a4

b4

a2

b2

a3 b3

b2

Z2



Se ve que cada sumando 21iS representa la fracción de potencia incidente en el sistema que se

propaga a cada puerto.Vamos a ejemplificar sistemas de 1 y 2 puertos para líneas de transmisión.

1 PuertoPara ejemplificar el caso de un sistema de un único puerto, consi-deramos un tramo de línea de longitud d conectada a una impedan-cia de carga ZL. Suponemos que la línea es ideal (sin pérdidas) deimpedancia característica Z0 real. La entrada al tramo de línea es elúnico puerto. Definimos, como es costumbre en la literatura, las

señales en el puerto como:0

1011

0

1011 2

2 Z

iZvbZ

iZva −=+=

donde 1v e 1i son la tensión y la corriente en el puerto. Podemos relacionar estas cantidades conlas ondas de tensión y corriente en la línea de la forma:

[ ] [ ][ ] [ ]kdi

Lkdtikdti

Lkdti

kdiL

kdtikdtiL

kdti

eeZV

eeZV

didii

eeVeeVdvdvv

2)(

0

)()(

01

2)()()(1

1)()(

1)()(

−++−++−+

−++

−++−+

−=−=−+−=

+=+=−+−=

ρρ

ρρ

ωωω

ωωω

de modo que:

[ ]

[ ] )(

0

2

0

22)(

0

1011

)(

00

22)(

0

1011

211

2

211

2

kdtikdi

Lkdi

Lkdi

Lkdti

kdtikdi

Lkdi

Lkdti

eZeV

ZeeeV

ZiZv

b

eZ

VZ

eeeVZ

iZva

+−

+−−+

+

++−−+

+

=+−+

=−

=

=−++

=+

=

ωω

ωω

ρρρ

ρρ

Luego la relación de dispersión es: kdiL eSaSb 2

111111 −=⇒= ρ de donde se puede ver queS11 es un coeficiente de relexión, salvo un factor de fase.

También se ve que 12211 ≤= LS ρ . Es 1 cuando hay reflexión total (carga 0 o ∞).

La impedancia en el puerto único es: kdiL

kdiL

ee

Ziv

Z 2

2

01

11 1

1−

−

−+

==ρρ

que es la impedancia de

entrada de la línea.

2 PuertosHemos adoptado un modelo de cuadripolo de una línea de transmisión para hallar las ecuacionesdel telegrafista y, a partir de ellas, analizar la propagación de ondas en la línea. En general, esposible describir el comportamiento de la línea en términos de la matriz de dispersión modeli-

zándola como un conjunto de cuadripolos encascada. Para el n-ésimo elemento del con-junto definimos una onda incidente an y unaonda reflejada bn y le adjudicamos una impe-dancia característica Z0n. Considerar que la

impedancia característica sea variable elemento a elemento de la cascada nos permite analizarsistemas no uniformes e incorporar dispositivos intermedioscomo acopladores, filtros, etc.Consideramos uno de los cuadripolos como un tramo de líneaideal de impedancia característica Z0 y longitud d. El puertomás cercano a la carga ZL se halla en la posición z0. Definimos

Z0n Z0n+1Z0n-1

an

bn

an+1

bn+1

an-1

bn-1

an+2

bn+2

zn zn+1 zn+2zn-1

Z0

d

a1

b1

ZL

Z0

d

a1

z0

b1

a2

b2



las variables de puerto como en el caso previo4:

0

2022

0

2022

0

1011

0

1011

2

2

2

2

ZiZvb

ZiZva

ZiZvb

ZiZva

+=

−=

−=

+=

Desde el punto de vista de la línea de transmisión, las ondas que inciden y se reflejan sobre lospuertos son:

Ondas incidentes

−====

−+−

−+−

++++

++++

)(02

)(2

)]([01

)]([1

00

00

zktiL

zktiL

dzktidzkti

eZVieVveZVieVv

ωω

ωω

ρρ

Ondas reflejadas

==−==

++−

+++

+−+−

+−+−

)(02

)(2

)]([01

)]([1

00

00

zktizkti

dzktiL

dzktiL

eZVieVveZVieVv

ωω

ωω ρρ

Entonces las variables del puerto son:

0

)(

0

2022

0

)(

0

2022

0

)]([

0

1011

0

)]([

0

11011

0

1011

00

00

2

2

2

2)()(

2

ZeV

ZiZvb

ZeV

ZiZva

ZeV

ZiZvb

ZeV

ZiiZvv

ZiZva

kztikztiL

dzktiL

dzkti

++

−+

+−+

+++−+−+

=+

==−

=

=−

==+++

=+

=

ωω

ωω

ρ

ρ

y se observa entonces que:

022022202202

011011101101

/ /

/ /

ZaiZbiaZvbZv

ZbiZaibZvaZv

−====

−====

−+−+

−+−+

Las variables de puerto están relacionadas entre sí por el sistema lineal:

2221212

2121111

aSaSbaSaSb

+=+=

Para calcular los coeficientes de la matriz de dispersión usamos la técnica de adaptar la salida (oentrada) de los puertos sucesivamente para simplificar las ecuaciones. Supongamos primero queel puerto de salida está adaptado (no hay onda incidente sobre la salida):

121211112 0 aSbaSba ==⇒=Entonces:

ikddzkti

kztidzki

Ldzkti

dzktiL e

eVeV

abSe

eVeV

abS −

+++

+++−

+++

+−+ ====== )]([

)(

1

221

)(2)]([

)]([

1

111 0

00

0

0

ω

ω

ω

ω

ρρ

Se ve que S11 es el coeficiente de reflexión de las ondas a la entrada y S21 es un factor de desfa-saje introducido en la propagación de la onda progresiva en el puerto cuando la salida estáadaptada. Para líneas sin pérdidas S21=1, mientras que en líneas con pérdidas S21< 1, yaque el número de onda k es entonces complejo, indicando una atenuación de la onda en su pro-pagación a lo largo del puerto. En general, el puerto puede incorporar un circuito activo que am-plifique la onda incidente, en cuyo caso tendremos S21> 1. Por lo tanto, S21 se conoce comoganancia (o pérdida) de inserción del puerto, e indica el factor que el puerto introduce para laonda progresiva en la propagación.

4 Nótese que las ai se refieren a las ondas incidentes en el puerto i-ésimo. Así a2 está asociada a la onda que sale delpuerto 1, que es la onda “reflejada” en el puerto 1.



Análogamente, si ahora suponemos que la entrada del puerto está adaptada (no hay onda inci-dente sobre la entrada): 0 0 11 =⇒=+ avy las ecuaciones de dispersión quedan: 22222121 aSbaSb ==

de donde: ikdkzti

L

dzktiLkzi

Lkzti

L

kzti

eeV

eVabSe

eVeV

abS −

−+

+−+

−+

++ ====== )(

)]([

2

112

2)(

)(

2

222 0

00

0

0

1ω

ω

ω

ω

ρρ

ρρSe ve que S22 es el coeficiente de reflexión de las ondas a la salida (aquí escrito en términos delcoeficiente de reflexión en la carga de la línea) y S12 es el factor de desfasaje introducido en lapropagación de la onda regresiva en el puerto cuando la entrada está adaptada.Se observa además que: 2112 SS = . Esta es una condición general de los puertos que cum-plen la llamada relación de reciprocidad, que conceptualmente puede definirse como la situa-ción donde el puerto de comporta de la misma manera para la propagación en ambos sentidos.La impedancia en el puerto de entrada es:

212111

2121110

11

110

11

11

1

1

)1()1(

aSaSaSaS

Zbaba

Ziivv

iv

Z in −−++

=−+

=++

==−+

−+

En el caso de salida adaptada ( 02 =a ): 00

0011

11

1100

2

2

2

11

ZZ

ZZS

SSZZ

ain

ain

ain +

−=⇒

−+=

=

==

Análogamente: 222121

2221210

22

220

22

22

2

2

)1()1(aSaSaSaS

Zabab

Ziivv

iv

Z out −−++

=−+

=++

==−+

−+

Y para entrada adaptada ( 01 =a ): 00

0022

22

2200

1

1

1

11

ZZ

ZZS

SSZZ

aout

aout

aout −

+=⇒

−+−=

=

==

Analicemos el comportamiento de transmisión de potencia. Las potenciasmedias netas (incidente – reflejada) en cada puerto son5:

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]*

21*1211

22

212

211

21

2212111

21

*11

*11

*11

*1111111

2121

21

21

21

aaSSeaSSa

aSaSabbaaeiviveivivP

ℜ−−−=

+−=−ℜ=+ℜ=+= −−++−−++

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]*

12*2221

21

221

222

22

2222112

22

*22

*22

*22

*2222222

2121

21

21

21

aaSSeaSSa

aSaSabbaaeiviveivivP

ℜ−−−=

+−=−ℜ=−−ℜ=−−= +−−++−−

La potencia neta que fluye hacia la derecha del cuadripolo es:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]*

12*2221

21

221

222

22

*21

*1211

22

212

211

2121

2121

2121

aaSSeaSSa

aaSSeaSSaPPP

ℜ−−−−

ℜ−−−=−=

Consideremos el caso de salida adaptada, donde 0 0 22 =⇒=− av :

( )[ ] [ ] ( )[ ]221

211

21

21

221

211

2121 1

21

211

21 SSaaSSaPPP +−=−−−=−=

Si la salida está adaptada, esta cantidad será nula si no hay pérdidas, ya que representa la poten-cia neta que ingresa al puerto de entrada menos la que sale del puerto de salida. Si hay pérdidas,la potencia neta que entra es mayor que la que sale y la cantidad es positiva. Entonces: 5 Obsérvese que las potencias reflejadas a la entrada y la salida son de por sí negativas, lo que indica que son poten-cias que fluyen hacia fuera del cuadripolo.

<P1> <P2>



211

221

221

211 1 01 SSSS −≤⇒≥+−

El coeficiente de reflexión de potencia a la entrada es:

( )( )

( )2

1

*21

*1211

22

212

21

211

21

2212111

*11

*11

11

11 2

2121

a

aaSSeaSaS

a

aSaS

aae

bbe

iviv

Rℜ−+

=+

=ℜ

ℜ=

−=

++

−−

En el caso de la salida adaptada queda: 211SR =

como para el sistema de 1 puerto.Relación con otras descripciones matricialesLa descripción de la propagación por medio de cuadripolos y la matriz de dispersión está asocia-da a otras descripciones.La matriz de transmisión T permite relacionar las ondas a la salida del cuadripolo en funciónde las ondas en su entrada. En nuestra notación:

1221212

1121112

bTaTabTaTb

+=+=

Los coeficientes de la matriz de transmisión están relacionados con los de la matriz de dispersiónpor las relaciones:

122212112112221212

2211122111 /1 / / STSSTSST

SSSSST =−==−=

La matriz de transmisión es más cómoda que la de dispersión para tratar una cascada de cuadri-polos.La matriz de impedancias Z relaciona las tensiones en los puertos con las corrientes:

2221212

2121111

IZIZVIZIZV

+=+=

La matriz de admitancias Y es la inversa de Z:

21122211

1122

2121

1212

2211

2221212

2121111

ZZZZ

ZYZYZYZYVYVYIVYVYI

−=∆∆

=∆

−=∆

−=∆

=⇒

+=+=

con

Podemos relacionar la matriz de dispersión con la matriz de impedancias mediante las siguientesecuaciones:

21122211

2121

21122211

1212

21122211

2112221122

21122211

2112221111

)1)(1(2

)1)(1(2

)1)(1()1)(1(

)1)(1()1)(1(

zzzzzS

zzzzzS

zzzzzzzzS

zzzzzzzzS

−++=

−++=

−++−−+=

−++−−−=

donde 0/ ZZz ijij = son las impedancias normalizadas a la impedancia característica del tramo.

Estas descripciones matriciales de dispositivos y líneas de transmisión son deimportancia porque proveen de una forma sencilla de conectar sucesivos dis-positivos sin resolver en detalle las ecuaciones del circuito completo, y permi-ten utilizar programas como el Spice para analizar el comportamiento del cir-cuito a partir de la descripción matricial de cada bloque.



PROBLEMAS6.11) A partir del diagrama de Smith, hallar la impedancia de entrada de una sección de línea

de transmisión sin pérdidas de 50 Ω con longitud de 0.1λ, terminada en un cortocircuito.Comparar con el resultado analítico.

[Rta: Zi = i 36.3 Ω]6.12) Empleando la carta de Smith, encuentre la longitud mínima en metros que debe tener una

línea con Z0 = 100 Ω, terminada en circuito abierto para que a la entrada presente una impe-dancia de i30 Ω. Considere que la permitividad relativa εr del dieléctrico de la línea vale 2.5 yque la frecuencia de trabajo es de 300 Mhz.

[Rta: 18.8 cm]6.13) Una línea de transmisión sin pérdidas, con impedancia característica de 50 Ω, está termi-

nada en una carga cuya impedancia vale ZL = (50+i20) Ω. Si la línea mide λ/4, obtenga laimpedancia de entrada a partir del diagrama de Smith.

[Rta: Zi = (43 - i17.5) Ω]6.14) Una línea de transmisión ideal, con impedancia característica de 100 Ω, está terminada en

una carga de valor (150 + i150) Ω. Se desea acoplarla por medio de un adaptador de λ/4,colocado a cierta distancia La de la carga. Calcule la impedancia característica del adaptadory la distancia La a la que debe colocarse.

[Rta: Za = 183 Ω, La = 0.056λ]6.15) Dada una impedancia Z = (95 + i20) Ω, determinar a que admitancia corresponde utili-

zando el diagrama de Smith.[Rta: Y = (10 - i2) mS]

6.16) Una línea de transmisión ideal de longitud 0.434λ y cuya impedancia característica es de100 Ω, está terminada en una impedancia de (260 + i180) Ω. Calcule a) el coeficiente de re-flexión, b) la razón de onda estacionaria, c) la impedancia de entrada y d) la posición del va-lor máximo de voltaje más cercano a la carga.

[Rta: ρ = 0.6/21.6°, S = 4, Zi = (69 + i120) Ω, a 0.03λ de la carga]6.17) Una línea de transmisión sin pérdidas tiene una impedancia característica de 100 Ω y

está terminada con una carga (120 + i80) Ω. Se desean evitar las reflexiones hacia el genera-dor, acoplando la línea con un equilibrador reactivo. Encuentre la posición más cercana a lacarga sobre la línea principal donde debe unirse el stub y obtenga la longitud del mismo.

[Rta: l1 = 0.232λ, L1 = 0.148λ]6.18) Se conecta un generador de tensión ideal a una línea de 50Ω, v = 0.85c,

αc = 2 dB/m, αd = 0.25 dB/m, L = λ a 100 MHz. El generador se coloca a λ/4 del extremo iz-quierdo de la línea. Los extremos de la línea se cortocircuitan. a) Determinar las expresionesde la tensión y la corriente a lo largo de la línea. b) Calcular la potencia cedida por el genera-dor en resonancia. c) Calcular el Q y el ancho de banda de la línea.

6.19) Una batería de 30V en serie con una resistencia de 75Ω se conecta a través de una líneade 50Ω y L = 600m de longitud con una carga resistiva de 30Ω. a) Dibujar los diagramas derebote de la tensión y la corriente. b) Graficar V(L/2,t) e I(L/2,t). c) ¿Cuáles son los valoresfinales de tensión y corriente sobre la carga?

6.20) Repita el problema anterior si ahora el generador es una fuente de pulsos de periodo T =10 ms y ciclo útil del 75%.

6 lineas de transmision

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