Prelucrarea Digitala a Semnalelor – Intrebari partea I Silviu Ciochina

1

Chestiuni pentru examen PDS partea I.

1. Condiţia de cauzalitate pentru un sistem discret în general şi pentru un sistem liniar. Arătaţi cum se deduce a doua definiţie din prima.

2. Cum poate fi exprimată condiţia de cauzalitate pentru un SLIT? Deduceţi, pornind de la condiţia de cauzalitate pentru un SL.

3. Ce este un SLIT caracterizabil prin ecuaţiile cu diferenţe finite? De câte feluri sunt? 4. Un semnal discret cosinusoidal, de parametri , , este aplicat unu sistem cu funcţia

de transfer ( ) ( ) ( )jj jH e H e eϕ ωω ω= ⋅ . Deduceţi expresia semnalului de la ieşire.

5. Fie două sisteme liniare şi invariante în timp cu funcţiile pondere ( ) ( )nhnh 21 , .

Calculaţi funcţia de pondere a sistemului obţinut prin conectarea celor două sisteme

- în paralel; - în cascadă.

6. Fie un sistem liniar şi invariant în timp cu funcţia pondere

( )

<

≥=

0,

0,

nb

nanh

n

n

Determinaţi valorile lui a şi b pentru care sistemul este

- stabil; - cauzal şi stabil.

7. Un sistem este caracterizat prin relaţia intrare-ieşire

( ) ( )2nxny =

Este acest sistem liniar? Dar invariant în timp?

8. Calculaţi transformata Z pentru = || , || < 1 şi precizaţi domeniul de convergenţă.

9. Un sistem este descris prin relația intrare- ieșire = 3. Verificați dacă sistemul este a. liniar. b. invariant în timp

10. Care este condiţia de stabilitate pentru un SLIT? Indicaţi două metode de verificare a stabilităţii pentru un SLIT descris prin ecuaţii cu diferenţe finite.

11. Ce relaţii există intre transfomata Z, transformata Fourier în timp discret şi transformata Fourier discretă? Care sunt principalele utilizări pentru fiecare dintre ele?

12. Un SLIT are ℎ = − − 1. Calculaţi câştigul la frecvenţa 4⁄ .

13. Unui SLIT cu ℎ = + − 1 I se aplică = 5 cos +

!". Calculaţi

ieşirea sistemului.

Prelucrarea Digitala a Semnalelor – Intrebari partea I Silviu Ciochina

2

14. Este filtrul având ℎ = + 0,1 − 1 − 0,2 − 2 + 0,1 − 3 + − 4 de fază maximă? Dar de fază minimă? Desenaţi caracteristica timp de întârziere de grup-frecvnţă.

15. Filtrului de la problema 13 i se aplică = % + & cos& + & + cos + . Calculaţi ieşirea filtrului.

16. Aceeaşi problemă, dacă semnalul de intrare este = cos &. 17. Demonstraţi că funcţia de fază nulă a unui filtru RFI cu fază liniară de tipul 3 este de

forma

∑=

=P

n

j nnceH1

0 sin)(')( ωω

unde

PnnPhnc ,...,1),(2)(' =−=

18. Demonstraţi că funcţia de fază nulă a unui filtru RFI cu fază liniară de tipul 4 este de forma

ωω ∑=

−=P

n

j nndeH1

0 )2

1sin()(')(

unde

PnnPhnd ,...,1),(2)(' =−=

19. Un filtru RFI cu fază liniară şi coeficienţi reali are un nul la 30 5,0

πj

ez = şi un câştig de 0

dB la frecvenţa 0. Deduceţi funcţia de pondere a filtrului de lungime minimă ce îndeplineşte aceste condiţii şi reprezentaţi diagrama zerourilor. Evaluaţi câştigul filtrului la frecvenţa 2sF unde sF este frecvenţa de eşantionare.

20. Un filtru RFI cu fază liniară şi coeficienţi reali are un nul la 40 0,5

j

z eπ

= și un timp de întârziere de grup egal cu 2Ts. Scrieți funcția de transfer, știind că filtrul are câștig de 6dB la frecvențe înalte.

21. Deduceţi expresiile coeficienţilor h(n) pentru un filtru cu fază liniară de tipul trece jos, cu frecvenţa de tăiere Ft şi frecvenţa de eşantionare Fs, utilizând fereastra dreptunghiulară. Care din cele patru tipuri de filtre pot fi utilizate? În care caz este asigurată rejecţia totală a frecvenţei Fs/2?

22. Demonstraţi că dacă un FIR cu fază liniară are un nul zi, atunci ( zi)-1 este de asemenea

nul. 23. Comparaţi metodele de proiectare prin eşantionare în frecvenţă şi prin minimizarea erorii

medii pătratice. 24. Deduceți expresia funcției H(z) pentru un filtru FIR pentru care se impun valorile funcției

de transfer la frecvențele ' = ( ) , ( = 0, … , + − 1, iar N este lungimea filtrului.

25. Care este teorema pe care se bazează metoda minimizării maximelor erorii? Enunţaţi-o.

Prelucrarea Digitala a Semnalelor – Intrebari partea I Silviu Ciochina

3

26. Care sunt parametrii specifici unei ferestre temporale şi cum influenţează caracteristica rezultată?

27. Deduceţi expresia funcţiei de transfer în cazul metodei eşantionării în frecvenţă. 28. Cu care din cele 4 tipuri de filtre cu fază liniara se poate realiza un

• FTJ • FTS • FTB • FOB

29. Poate avea un filtru IIR o caracteristică timp de întârziere de grup – frecvenţă constantă? Justificaţi.

30. Daţi un exemplu de funcţie de transfer a unui filtru având la numărător un polinom de gradul 3, şi un câştig de 6dB constant în frecvenţă. Filtrul trebuie să fie stabil.

31. Desenaţi calitativ caracteristica amplitudine-frecvenţă a unui FTJ analogic normat de tip eliptic, de ordinul 7. Același lucru pentru ordinul 9.

32. Desenaţi calitativ caracteristica amplitudine-frecvenţă a unui FTJ analogic normat de tip eliptic, de ordinul 8. Același lucru pentru ordinul 10.

33. Fie un FTJ analogic normat de tip Cebâşev 1, de gradul 3, cu , = 1. Desenaţi caracteristica filtrului, precizând frecvenţele minimelor şi maximelor şi câştigurile corespunzătoare acestor frecvenţe.

34. Desenaţi calitativ caracteristica amplitudine-frecvenţă a unui FTJ analogic normat de tip Cebâşev 2, de gradul 7, cu , = √3. Calculaţi atenuarea în dB la Ω = 1.

35. Desenaţi calitativ caracteristica amplitudine-frecvenţă a unui FTJ analogic normat de tip Cebâşev 2, de gradul 8, cu , = 1. Calculaţi atenuarea în dB la Ω = 1.

36. Un FTJ digital are . = 2(/0, = 8(/0. Ştiind că el a fost sintetizat pornind de la un filtru analogic Butterworth de ordinul 4 prin transformare biliniară, calculaţi câştigul la = 4(/0.

37. Un FTJ digital are . = 2(/0, = 8(/0. Ştiind că el a fost sintetizat pornind de la un filtru analogic Cebâşev 1 de ordinul 3 şi , = 1 prin transformare biliniară, calculaţi câştigul la = 4(/0.

38. Deduceţi expresia funcţiei de transfer obţinute prin metoda invarianţei răspunsului la impuls. 39. Justificați că metoda invarianţei răspunsului la impuls conservă stabilitatea. 40. Arătați cum se poate transforma un FTJ analogic normat într-un FTS cu frecvență de tăiere

impusă. Justificați. 41. Arătați cum se poate transforma un FTJ analogic normat într-un FTB cu frecvența de tăiere

impuse. Justificați. 42. Justificaţi că transformarea biliniară conservă stabilitatea. 43. Demonstraţi că există o singură frecvenţă la care transformarea biliniară conservă câștigul. 44. Se doreşte să se proiecteze un FTJ digital cu frecvenţa de tăiere egală cu . = 4⁄ , folosind

metoda transformării biliniare. Care va fi frecvenţa de tăiere a filtrului analogic?

45. Un filtru analogic are /23 = 245254. Scrieţi funcţia de pondere a unui filtru digital,

obţinut din acesta prin metoda invarianţei răspunsului la impuls, având frecvenţa de eşantionare Fs.

46. Un FTJ digital cu frecvența de tăiere . are funcția de transfer H(z). Caracterizați filtrul având funcția de transfer H(-z).

47. Demonstrați că transformarea

Prelucrarea Digitala a Semnalelor – Intrebari partea I Silviu Ciochina

4

3 = 26

0 + 10 − 1

transformă un filtru analogic trece jos cu frecvența de tăiere Ω2. într-un filtru digital trece sus, cu frecvența de tăiere ..Discutați stabilitatea și deduceți relația dintre Ω2. și ..

48. Deduceți transformarea de frecvență produsă prin schimbarea de variabilă

Ce efect are dacă este aplicată unui FTJ?

49. Deduceți transformarea de frecvență produsă prin schimbarea de variabilă

Ce efect are dacă este aplicată unui FTJ?

50. Demonstrați că un filtru cu funcția de transfer de forma

/0 = 80890

unde este de tip trece tot. Ce condiție trebuie să îndeplinească 80 pentru ca filtrul să fie stabil?

11

11

zz

z

ββ

−−

−

−→

−

11

11

zz

z

ββ

−−

−

−→ −

−

0

( ) ,

k

k k

k

P z a z a−

=

= ∈∑ R