prelucrarea numerica adaptiva a semnalelor Îndrumator de lucrari

Prelucrarea numerica adaptiva asemnalelor

Îndrumator de lucrari de laborator

Prof. dr. ing. Alexandru IsarUniversitatea “Politehnica” Timisoara,

2002

Cuprins

Lucrarea nr. 1. Filtre cu capacităţi comutate 1Lucrarea nr. 2. Filtre adaptate la semnale modulate înfrecvenţă

12

Lucrarea nr. 3. Utilizarea transformării “wavelet” rapidăla compresia de date

20

Lucrarea nr. 4. Îmbunătăţirea raportului semnal/zgomot prinutilizarea transformării “wavelet” discretă

30

Lucrarea nr. 5. Studiul algoritmului LMS 33Lucrarea nr. 6. Măsurarea frecvenţei instantanee asemnalelor modulate în frecvenţa cu purtător sunusoidal

44

Lucrarea nr. 7. Măsurarea frecvenţei instantanee asemnalelor modulate în frecvenţă cu purtător sinusoidalperturbate aditiv de zgomot, folosind filtrarea adaptivă

52

Lucrarea nr. 8. Tehnici de balizare folosind transformata“wavelet”

54

Seminar nr. 1 59Seminar nr. 2 67Seminar nr. 3 70

1

LLUUCCRRAARREEAA NNRR 11

FFIILLTTRREE CCUU CCAAPPAACCIITTĂĂŢŢII CCOOMMUUTTAATTEE

1.Scopul lucrării.

Se studiază o categorie de filtre analogice realizate pabaza tehnologiei capacităţilor comutate şi se pune în evidenţă omodalitate de sinteză a acestor filtre.

2. Integratorul ideal cu capacităţi comutate.

În figura 1 se prezintă schema unui integrator ideal

Considerând amplificatoruloperaţional din schema prezentatăca fiind ideal, se poate scrie :

Y s

sC

X sR

() ()1 = − sau

figura 1schema integratorului ideal

Y sX s sCR()()

= −1

de unde rezultă expresia funcţiei de transfer a

sistemului din figura 1, care este:

H ssCR

() = −1

iar răspunsul său în frecvenţă

Hj CR

( )ωω

= −1

(1)

În continuare se prezintă principiul condensatoruluicomutat. Fie în acest scop sistemul din figura 2a. Comutatorul K

este comandat în aşa fel încât stă câte Te2 pe poziţia 1,respectiv

aceeaşi durată pe poziţia 2. Când K este pe poziţia 1,condensatorul C se încarcă cu tensiunea V1. Când comutatorul K estepe poziţia 2, condensatorul C se încarcă cu tensiunea V2. Decitransferul de sarcină între condensorul C şi sursa din dreapta

X(s)Y(s)

R

C

2

(din figura 2a)este de valoare C(V1-V2). Deci înintervalul de timp Te/2 are loc o variaţie decurent de forma :

i=2 1 2C V V

Te

( )− (2)

2a 2bfigura 2: principiul condensatorului comutat

Dacă în locul condensatorului şi a comutatorului ar fimontată o rezistenţă, ca în figura 2b), atunci prin acest circuitar fi apărut, în acelaşi sens, curentul :

i = V V

R1 2−

; (3)

deci rezistenţa R poate fi simulată cu ajutorul condensatoruluicomutat. Din identificarea membrilor drepţi ai relaţiilor (2) şi(3) se obţine :

R = TCe

2

Deci valoarea rezistenţei simulate poate fi reglată primmodificarea frecvenţei de comandă a comutatorului K.

În figura 3 este prezentată schema unui integrator ideal cucapacităţi comutate

Cât timp comutatorul Kstă pe poziţia 1 (Te/2 s)condensatorul C1 se încarcă,căderea de tensiune pe acestelement fiind egală cu valoareacurentă a tensiunii x(t). Câttimp K se găseşte pe poziţia 2,tensiunea pe C1 se anulează(căderea de tensiune întrebornele amplificatoruluioperaţional este nulă),

figura 3 schema unui integrator ideal sarcina înmagazinată în C1realizat cu capacităţi comutate transferîndu-i-se lui C.

V1 V2 V1 V2

K

C

1 2 i

R

X(t)Y(t)

C

1 2

K

C1

AO

3

Funcţionarea sistemului din figura 3 poate fi înţeleasă pebaza exemplului din figura 4. Pe intervalul [0, Te/2], tensiunea peC1 atinge valoarea x(Te/2). La momentul Te/2, condensatorul C1 sedescarcă, sarcina acumulată pe acesta, Q=C1x(Te/2), fiindtransferată condensatorului C. Această variaţie de sarcină producecăderea de tensiune pe condensatorul C,

uQC

CC

xT

ce= = ⋅

12

De aceea pe intervalul T

Tee2

,

expresia semnalului de la

ieşire este :

y(t) = -uc = − ⋅

CC

xTe12

; apoi ciclul descris se repetă

Admiţând că transferulde sarcină din capacitateaC1 în capacitatea C serealizează instantaneu,rezultă, conform figurii 4că semnalul de ieşire,y(t), se modifică doar lamomente discrete de timp.Din acest motiv, sistemuldin figura 3 poate fiechivalat cu un sistem întimp discret.

La momentul (n-1)Te+Te2

sarcina condensatorului C1este :

q1[n-1]=C1x[n-1];

iar sarcina condensatoruluiC :

q2[n-1]=Cy[n-1] ;

În intervalul ( ) ,n TT

nTee

e− +

12

, comutatorul K se află pe

poziţia 2. La momentul nTe sarcina condensatorului C1 este 0 iarsarcina condensatorului C este :

0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te

Te/2 3Te/2 5 Te/2 7Te/2 9Te/2 11Te/2

x(t)

uc1(t)

-y(t)

t

t

t

figura 4: exemplu de funcţionare al sistemuluidin figura 3

4

q2[n] = q2[n-1]-q1[n-1] = C y[n] ;adică C y[n] = C y[n-1]-C1 x[n-1]; (5)

Aceasta este ecuaţia cu diferenţe finite care descrie sistemulîn timp discret echivalent.

Luând în relaţia (5) transformata Z, se obţine :

C Y(z) = C z-1 Y(z) – C1 z-1 X(z)

de unde rezultă funcţia de transfer a sistemului în timp discretechivalent :

YzXz

HzC z

C z

CC z

()()

()( ) ( )

= = −⋅−

=−

−

−1

1

11

1 1 (6)

Admiţând că metoda de echivalare a sistemului în timp continuudin figura 3 cu sistemul în timp discret descris de ecuaţia (5)este cea a invarianţei răspunsului la impuls, rezultă căvariabilele z şi s sunt legate prin relaţia :

z esTe=

de aceea funcţia de transfer a sistemului din figura 3, conformrelaţiei (6) este:

Hs

CCesTe

( ) =−

1

1 (7)

Se ştie că metoda de echivalare bazată pe invarianţarăspunsului la impuls conduce la rezultate bune pentru frecvenţede eşantionare mari, deci pentru valori Te apropiate de zero.

Dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei esTe în jurul luizero este :

esTe =esTe s=0 + Te s esTe s=0 + ...

Reţinând doar primii doi termeni ai dezvoltării rezultă :

esTe ≅ +1 sTe

Folosind această aproximare, expresia funcţiei de transfer(din relaţia (7)), H(s), devine :

5

H(s)=

CC

sT sCC

Tee

1

1

1 11

− += −

( ) ; (8)

Comparând relaţiile (1) şi(8) se constată faptul că grupulK, C1 din figura 3 echivalează rezistenţa R din figura 1 şi că :

R = TC C fe

e1 1

1=

⋅ ; (9)

unde cu fe s-a notat frecvenţa cu care comută K.Deci în condiţiile în care sunt valabile aproximaţiile

făcute (frecveţa fe mult mai mare decât frecvenţa maximă dinspectrul semnalului x(t)) folosind sistemul din figura 3 se poateobţine un integrator ideal.

3. Metodă de sinteză a filtrelor cu capacităţi comutate.

Rezultatul paragrafului anterior este foarte importantavând în vedere că orice sistem în timp continuu poate fisintetizat utilizând forma canonică 1 de implementare, care estebazată pe folosirea integratoarelor ideale. În continuare se dă unexemplu de sinteză , care conduce la obţinerea filtrului activuniversal.

Ne propunem să proiectăm un filtru de ordinul II, care săaibă ieşiri de tip trece-jos, trece-sus şi trece-bandă.

Funcţia de transfer de tip trece-sus este:

HTS(s)=a s

b s b s b0

2

02

1 2+ + ; (10)

Conectând la ieşirea acestui filtru un integrator ideal seobţine un sistem global cu funcţia de transfer de tip trece-bandă:

HTB(s)= -

a sRC

b s b s b

0

02

1 2

1

+ +; (11)

Conectând un nou integrator ideal se obţine sistemul globalcu funcţia de transfer trece-jos de tipul :

6

HTJ(s)=

aRC

b s b s b

0

2

02

1 2

1

+ +; (12)

Ecuaţia diferenţială corespunzătoare funcţiei de transferdin relaţia (10) este:

bd y

dtb

dydt

b y ad x

dt0

2

2 1 2 0

2

2+ + = ; (13)

Integrând de două ori această relaţie se obţine :

b y t b y d b y d a xtt tt

0 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )+ ∫ + ∫∫ =−∞ −∞−∞

τ τ τ τ ; (14)

Sistemul caracterizat de această ecuaţie este prezentat înfigura 5.

Se constată căsistemul din figura 5prezintă şi ieşiri de tiptrece-bandă şi trece-sus.Schema obţinută poate firedesenată, folosind unsumator cu trei intrări. Seobţine astfel sistemul dinfigura 6. Acesta poate ficonstruit cu amplificatoareoperaţionale conectate înstructură de amplificator,sumator, sau integrator.

In continuareamplificatoarele operaţionaleutilizate în structurile maisus amintite şi desenate înfigura 7, se vor consideraideale.

Folosind figurile 6 şi 7, prin interconectareacorespunzătoare a blocurilor constitutive, se obţine structurafiltrului activ universal prezentat în figura 9.

-−∞∫t

-−∞∫t

x(t)

yTS(t)

yTB(t)

yTJ(t)

b1

-b2

1/b0a0

figura 5 : schema bloc a sistemului cufuncţia de transfer HTS(s)

7

figura 7 : construcţia blocurilor din figura 6 cu ajutorul amplificatoareloroperaţionale

figura 8 : schema unui filtru activ universal

Din figurile 6 şi 8 se pot determina expresiilecoeficienţilor funcţiilor de transfer din relaţiile (10),(11) şi(12). Rezultă :

b R0 4= ;a0= ( )R

R RR R

bRRC

R RR R

bR

RC2

3 4

1 21

1 3 4

1 22

32

++

=++

=; ; ; (16)

Deoarece expresiile funcţiilor de transfer ale sistemelorde tip trece-sus, trece-bandă şi trece-jos de ordinul II sunt :

( )H sA s

s sTS

TS=⋅

+ +

2

20

202ξω ω ; ( )H s

A s

s sTB

TB=+ +2

20

20

20

ξωξω ω

;

-−∞∫t

-−∞∫t

x(t) yTS(t)a0

-b2

b1

1/b0

figura 6 : schema bloc afiltrului activ universal

-1/RC

−∞∫t R

R1

R

R

R2

C

A

u1

u2

u3

u1u2u3

u -u

A=-R2/R1

AO

AO

AO

AO1AO2

AO3

R2

R1

R3

R4

RR

CC

x(t)yTJ(t)

yTB(t)yTS(t)

8

( )H sA

s sTJ

TJ=⋅

+ +ω

ξω ω

20

20

202 ; (17)

Prin identificarea relaţiilor (17) cu relaţiile (10),(11)şi (12), pe baza relaţiilor (16) se obţine :

( )

Aab

RRRR

bb

RR RC

TS = =+

+= = ⋅0

0

3

4

1

2

20

2

0

3

42

1

1

1; ;ω

QRR

R RR R

= = ⋅++

12

4

1

1 2

3 4ξ;

( )

21

11

1

00

0

2

1

02

0 02

3

4

1

2

ξω

ω

Aab RC

ARR

Aa

RC b

RRRR

TB TB

TJ

= −

⇒ = −

= ⋅ =+

+

;

(18)

De obicei în schema filtrului activ universal se aleg:

R R R R1 3 4= = = ∗

Cu această observaţie parametrii celor trei funcţii detransfer devin:

ARR

RCQ

R RR

ARR

ARR

TS TB TJ=+

= =+

= − =+

2

1

12

2

12

02 2

2

; ; ; ;ω

(16)

În figura 9 este prezentată schema unui filtru activuniversal realizat cu capacităţi comutate.

9

figura 9 : filtru activ universal realizat cu capacităţi comutate

Parametrii acestui sistem sunt:

A ARR

ARRTS TJ TB= =

+= −

2

12

2; ;

QR R

RCC

fe=+

= ⋅20

1

2;ω ; (20)

! Orice filtru cu capacităţi comutate poate fi sintetizatpornind de la forma canonică I de implementare, folosind modeluldin exemplul anterior.

4. Filtre cu capacităţi comutate monocip

În prezent se fabrică circuite integrate cu funcţia defiltru cu capacităţi comutate. În lucrarea de faţă, se utilizeazăun astfel de circuit, realizat de firma MAXIM, a cărui foaie decatalog este prezentată în ANEXĂ. Acest circuit integratînglobează două filtre active universale cu capacităţi comutate.Rezistenţele R R1 4÷ se conectează din exterior. De asemeneasemnalul de comandă, cu frecvenţa fe, se aplică din exterior.Legătura dintre ω0 şi fe poate fi de asemenea impusă din exterior.Principalele aplicaţii ale acestor circuite integrate sunt:

pentru prelucrarea numerică a semnalelor; pentru construcţia filtrelor “anti-aliasing” programabile; pentru construcţia sistemelor de analiză a vibraţiilor saua semnalelor audio;

pentru construcţia sistemelor de testare a echipamentelorde telecomunicaţii;

AO1AO2

AO3

R2

R*

R*

R*

CC

x(t)yTJ(t)

yTB(t)yTS(t)

C1C2

K1K2

1 21 2

10

pentru construcţia instrumentarului de aviaţie. 5. Desfăşurarea lucrării

Modul de conectare al circuitului MAX266, pentru lucrareade faţă, presupune unei singure secţiuni de ordinul II, fiinddisponibile funcţiile de transfer de tip trece-jos, trece-bandă şiopreşte-bandă.

5.1. Se studiază dependenţa modulului răspunsului înfrecvenţă de fiecare tip (trece-jos, opreşte-bandă ţi trece-bandă), de frecvenţa fe. În acest scop, pentru trei frecvenţediferite ale semnalului de tact se ridică răspunsul în frecvenţăfolosind cele trei ieşiri şi modificând frecvenţa semnalului de laintrarea IN. Cele 9 caracteristici de frecvenţă obţinute se vorreprezenta grafic. Frecvenţa semnalului de pe intrarea IN nu vadepăşi o zecime din frecvenţa semnalului de pe intrarea CLK.Semireglabilul P, va avea cursorul la un capăt.

5.2. Pe baza determinărilor experimentale efectuate lapunctul anteriore vor identifica în fiecare caz parametrii celortrei tipuri de filtre, amplificare, frecvenţă centrală (sau detăiere) şi factorul de calitate.

5.3 Se repetă punctele 5.1. şi 5.2., având cursorulsemireglabilului P fixat la celălalt capăt.

5.3. Să se reprezinte grafic forma de undă asemnalului de la intrarea IN precum şi cea a semnalelor de la celetrei ieşiri într-o situaţie în care acestea pot fi observate bine.Se vor specifica parametrii semnalelor, amplitudine, perioadăe.t.c.

6. Întrebări.

6.1. Exprimaţi legătura între spectrele semnalelor x(t) şiy(t) din figura 4. Motivaţi, pe baza expresiei obţinute,necesitatea ca frecvenţa fe să fie mult mai mare decât frecvenţamaximă din spectrul semnalului x(t).

6.2. Justificaţi relaţia (16).6.3. Cum trebuie conectate comutatoarele S1A şi SAB pentru

ca secţiunea A a circuitului MAX266 să aibă schema din figura 96.4. Ştiind că funcţia de transfer a unui filtru opreşte

bandă de ordinul II este:

( )H s

s

s sOB =

+

+ +

1

2

2

20

20

20

ωξ ω ω

;

arătaţi modificările care trebuiesc făcute schemei din figura 8pentru ca să se obţină schema unui filtru opreşte-bandă.

11

6.5. Ştiind că funcţia de transfer a unui filtru trece-tot de ordinul II este :

( )H ss s

s sTT =

− ++ +

20

20

20

20

2

2

ξ ω ωξ ω ω

;

arătaţi modificările care trebuiesc făcute schemei din figura 8pentru ca să se obţină schema unui filtru trece-tot.

6.6. Să se scrie funcţiile de transfer ale sistemului dinfigurile 5 20÷ din foaia de catalog a circuitului MAXIM266.

BIBLIOGRAFIE

[1]. J.P. HUELSMAN : “Active Filters”, Prentice Hall, 1986;

[2]. *** MAX265/266 “Pin and Resistor Programmed UniversalActive Filters”, MAXIM Integrated Products, 1994;

[3]. E. POP, I. NAFORNIŢĂ ş.a. “Metode în prelucrareanumerică a semnalelor”, vol.I. Ed. Facla, Timişoara, 1986;

[4]. A. MATEESCU, A. ŞERBĂNESCU, “Circuite cu capacităţicomutate”, Ed. Militară, Bucureşti, 1987.

12


FFIILLTTRREE AADDAAPPTTAATTEE LLAA SSEEMMNNAALLEE MMOODDUULLAATTEE ÎÎNN FFRREECCVVEENNŢŢĂĂ

1.Scopul lucrării.

Se experimentează un filtru cu urmărire realizat cu capacităţicomutate, urmărindu-se îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomotrealizată la prelucrarea semnalelor modulate în frecvenţăperturbate aditiv cu zgomot alb.

2.Filtre adaptate

Se pune problema determinării expresiei răspunsului laimpuls ( )th al sistemului liniar şi invariant în timp caremaximizează raportul semnal pe zgomot la ieşirea sa la momentulde timp T, când la intrarea sa este adus semnalul:

( ) ( ) ( )tntstx +=

unde ( )tx este un semnal determinist de energie finită iar ( )tneste un zgomot staţionar cu densitatea spectrală de putere ( )ωΦn .Se defineşte raportul semnal pe zgomot al semnalului de laieşirea filtrului considerat:

( ) ( ) ( )tntuty 0+=

unde ( )tu este răspunsul sistemului la semnalul ( )ts iar ( )tn 0

răspunsul la ( )tn , cu formula:

( ) ( )0n

2

0 Ptu

tRSZ =

Puterea semnalului aleator de la ieşire este:

( ) ( )∫∞

∞−

ωωΦω

π= dH

21P n

2n0

Expresia semnalului util de la ieşire este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττ−τ=∗= dthsthtstu

13

Valoarea lui ( )tu la momentul T este:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ω ωωω

π= deSH

21Tu Tj

iar valoarea raportului semnal pe zgomot la ieşire la acelaşimoment de timp este:

( )( ) ( )

( ) ( ) ωωΦω

π

ωωω

π=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

ω

dH21

deSH21

TRSZ

n2

2Tj

2

0 (1)

Inegalitatea Cauchz-Buniakovski-Schwartz se exprimă în forma:

( ) ( ) ( ) ( )

ωω

ωω≤ωωω ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∗ dBdAdBA 222

Această relaţie este o egalitate dacă:

( ) ( )ω=ω KBA

unde K este o constantă.Pentru:

( ) ( ) ( )( ) 21

nHA ωΦω=ωşi:

( ) ( ) ( )( ) 21

nTjeSB

−

ωΦω=ω ω∗

inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

ω

ωΦ

ω

ωωΦω≤ωωω ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ω dS

dHdeSH 2

n

22

n2

2Tj

21

21

adică:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

ω

ωΦ

ω

ωωΦω≤ωωω ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ω dS

dHdeSHn

2

n2

2Tj

Folosind această relaţie (1) devine:

14

( ) ( )( )∫

∞

∞−

ωωΦ

ω

π≤ d

S21TRSZ

n

2

0 (3)

deoarece densitatea spectrală de putere a unui semnal aleatorstaţionar este o funcţie reală pozitivă. În cazul de faţă,relaţia (2) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) 21

*n

Tj*n eKSH

21

−ω− ωΦω=

ωΦω

adică:

( ) ( )( )ωΦ

ω=ω

ω−

n

Tj* eKSH (4)

Aceasta este (cu excepţia unei constante multiplicative) expresiarăspunsului în frecvenţă al filtrului care maximizează raportulsemnal pe zgomot de la ieşirea sa, la momentul T, când esteprelucrat semnalul ( )tx .

După cum se vede, ( )ωH depinde de spectrul semnalului util de la

intrare, ( )ωS , şi de densitatea spectrală de putere a zgomotuluide la intrare. De aceea filtrul cu răspunsul î frecvenţă dinrelaţia (4) se numeşte filtru adaptat la semnalul ( )tx . Încontinuare semnalul aleator de la intrare se consideră de tipzgomot alb. În acest caz:

( ) 0n N=ωΦ ( ) ( ) Tj*

0eS

NKH ω−ω=ω ( ) ( )tTs

NKth

0−= (5)

Răspunsul filtrului adaptat la semnalul ( )ts este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−=ττ+−τ=∗= tTRNKdtTss

NKtsthtu s

00

proporţional cu o variantă întârziată cu T a autocorelaţieisemnalului ( )ts . În acest caz membrul drept al relaţiei (3)devine maxim şi:

( )0

max0 NETRSZ = (6)

unde E reprezintă valoarea energiei semnalului ( )ts . Deci valoareamaximă a raportului semnal pe zgomot la ieşirea filtrului adaptatla un semnal cu o componentă aleatoare de tip zgomot alb esteegală cu raportul dintre energia semnalului util de la intrare şidensitatea spectrală de putere a zgomotului alb.

15

3. Filtru adaptat la un semnal de tip “chirp” perturbataditiv de zgomot alb

Semnalul de tip “chirp” este un semnal modulat în frecvenţă cumodulatorul liniar variabil în timp. Expresia sa analitică este:

( )

>

≤

ω∆+ω

=

2t

t,0

2t

t,tt2

tcosts

0

02

0

00

În [Spă.,87] este demonstrat că dacă este satisfăcută condiţia:

25t2 0 >πω∆

=α (7)

atunci are loc relaţia:

( )

ω∆

+ω≤ω≤ω∆

−ωα≅ω

restin,022

,2

tS

00

00

0

şi pe baza relaţiei (5) caracteristica de modul a filtrului

adaptat este pentru 0t

2K α= :

( )

ω∆

+ω≤ω≤ω∆

−ω≅ω 22,1H

00

00 (8)

Deci dacă este îndeplinită condiţia (7) atunci filtrul adaptat lasemnalul “chirp” este un filtru trece-bandă ideal, cu pulsaţia

centrală 00ω şi banda ω∆ .

4. Filtre cu urmărire

Se numeşte filtru cu urmărire de tip trece-bandă acel filtrutrece-bandă a cărui pulsaţie centrală este în permanenţă egală cupulsaţia instantanee a semnalului determinist de la intrarea sa.Caracterizarea în domeniul frecvenţă a unui filtru cu urmărire deordinul II poate fi făcută pe baza relaţiei:

( ) ( )( ) ( )tj2t

tAj2t,H

022

0

0

ξωω+ω−ω

ωξ=ω

respectiv cu ajutorul suprafeţelor ( )t,H ω şi ( ) t,Harg ω . Încontinuare se prezintă câteva secţiuni remarcabile prin aceste

16

suprafeţe. Intersecţia dintre suprafaţa ( )t,H ω şi planul

( ) fixatpZp,Rt, p −∈∈ωω se numeşte caracteristică momentană

de modul. Ea se notează ( )pt,H ω sau ( )p,H ωω cu ( )p0p tω=ω . Această

curbă descrie comportarea în domeniul frecvenţă a filtrului cuurmărire la momentul pt .

Intersecţia dintre suprafaţa ( )t,H ω şi suprafaţa verticală a

cărei urmă pe planul ( )t,ω este curba de ecuaţie ( )t0ω=ω senumeşte caracteristică globală de modul. Ea se notează cu

( )( )tH 0ω . Filtrele trece-bandă cu urmărire au următoareleproprietăţi, [Isa.’93]:

P1. Dacă momentele de timp pt şi qt sunt alese astfel încâtraportul pulsaţiilor instantanee ale semnalului de intrarecalculate la aceste momente ( ) ( )piqi t/t ωω să fie egal cu β, atuncipulsaţia centrală a caracteristicii momentane a filtrului lamomentul qt va fi de βori mai mare decât pulsaţia centrală a

caracteristicii momentane a filtrului la momentul pt .P2. În condiţiile de la P1 banda la -3dB a caracteristicii

momentane ( )q,H ωω este de βori mai mare decât banda la -3dB a

caracteristicii momentane ( )p,H ωω .

În practică banda de frecvenţă în care are loc procesul deurmărire nu poate fi infinită. De aceea este raţional să seconsidere că această bandă este finită, de exemplu

ω∆

+ωω∆

−ω2

,2

00

00 .

P3. În banda de urmărire modulul răspunsului în frecvenţă al unuifiltru trece-bandă cu urmărire de ordinul II este maxim.

Această proprietate se poate reformula şi astfel:

P3’. Modulul caracteristicii globale de frecvenţă a unui filtrucu urmărire este o bună aproximare a modulului caracteristicii defrecvenţă a unui filtru trece-bandă ideal ţn banda

ω∆

+ωω∆

−ω2

,2

00

00 .

Pe baza relaţiei (8) şi proprietăţii P3’ se constatã cã filtrelecu urmãrire sunt filtre adaptate la semnale de tip “chirp”.

5. Filtre cu urmărire cu capcităţi comutate

Orice filtru cu urmărire este alcătuit dintr-un filtru comandat(în cazul de faţă realizat cu capacităţi comutate) şi dintr-uncircuit de comandă care transformă pulsaţia instantanee a

17

semnalului de la intrarea sa în semnal de comandă pentru filtrulcu capacităţi comutate.Orice filtru analogic poate fi realizat folosind integratoare pebaza formei canonice II de implementare. În figura 1 esteprezentat un integrator cu capacităţi comutate.

Figura 1. Integrator cu capacităţi comutate.

Funcţia sa de transfer este:

( )( )

1c2

i

e

Cf1sC

1sUsU

−=

[ ]84.'Hue . Deci acest circuit este echivalent unui integrator RC

care are pe intrarea inversoare un rezistor de valoare 1cCf

1. Cu

cf s-a notat frecvenţa cu care comută comutatorul K. Un filtruactiv universal realizat cu două integratoare va avea pulsaţiacentrală dată de relaţia:

c2

10 f

CC

=ω

Acesta este un filtru trece-bandă de ordinul II dacă esteîndeplinită condiţia:

( ) ( )tCC

tf i1

2c ω=

Deci este necesar ca frecvenţa de comutaţie să fie un multipluîntreg al frecvenţei instantanee a semnalului de intrare. Aceastăfuncţie o îndeplineşte un circuit cu calare de fază utilizat înregim de multiplicator de frecvenţă. Deci circuitul de comandăpoat efi unul cu calare de fază.

6. Desfăşurarea lucrării

Obiectul acestei lucrări este sistemul cu schema bloc din figura2.

+

iuK

cf

1C

2C

eu

18

Figura 2. Schema bloc a filtrului cu urmărire de experimentat.

6.1. Se determină banda de urmărire a filtrului considerat.6.2. Se verifică proprietăţile P1, P2 şi P3’ ridicându-se câteva

caracteristici momentane şi caracteristica globală a filtruluicu urmărire.

6.3. Se determină parametrii caracteristicii momentane defrecvenţă (amplificare, factor de calitate şi bandă la -3dB)cu frecvenţa centrală situată la mijlocul benzii de urmărire.Se reprezintă grafic această caracteristică.

6.4. Se determină îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomotintrodusă de filtru în regim de urmărire (când semnalul utilde la intrare este un semnal modulat în frecvenţă, cumodulator liniar variabil în timp, având deviaţia maximă defrecvenţă mai mică decât banda de urmărire a filtrului).

6.5. Se reprezintă grafic formele de undă ale principalelorsemnale de intrare şi ieşire în cazul de la 6.4.

7. Întrebări

7.1. Care este valoarea maximă a raportului semnal pe zgomot laieşirea unui filtru adaptat la un semnal de tip chirpperturbat aditiv de zgomot alb?

7.2. De ce sunt echivalente proprietăţile P2 şi P3’ ?7.3. Desenaţi schema unui filtru activ universal. Scrieţi

expresia funcţiei sale de transfer. Desenaţi schema unuifiltru activ universal cu capacităţi comutate. Scrieţiexpresia răspunsului în frecvenţă al acestui sistem.

7.4. Desenaţi schema unui multiplicator de frecvenţă cu 16,folosind un circuit cu calare de fază şi un numărător.

7.5. Ce parametru al filtrului cu urmărire ar trebui modificatpentru ca îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinutăsă poată fi majorată ?

Generator desemnal

Generator dezgomot

Filtrucomandat

Multiplicatordefrecvenþã

Filtru cu urmãrire

19

8. Bibliografie

[Spã.,87] A. Spătaru, Fondaments de la theorie de la transmissionde l’information, Presses Polytechniques Romandes, 1987.[Isa.’93] A. Isar, Tehnici de măsurare adaptivă cu aplicaţii înaparatura de măsurare numerică, 1993, Teză de doctorat,Universitatea Politehnica Timişoara.[Hue.’84] L.P. Huelsman, P.E. Allen, Introduction to the theoryand design of active filters, Prentice Hall, 1984.

1 2 3 4 5 6 7

14 13 12 11 10 9 8

565Eβ1 2 3 4 5 6 7

14 13 12 11 10 9 8

490CDB1 2 3 4 5 6 7 8

16 15 14 13 12 11 10 9

4192CDB

1 202 193 184 175 166 157 148 139 1210 11

MF-10

V6+

IN

CLK

F1,0 µ

V5+

K18R 2

K10R 3

'R 3

'R 2

OUT

OUT

V5−V6−

K

1,43nF F1,0 µ

1nF

F33,0 µ

7K42×

2K

20


UUTTIILLIIZZAARREEAA TTRRAANNSSFFOORRMMĂĂRRIIII ““WWAAVVEELLEETT”” RRAAPPIIDDĂĂ LLAA CCOOMMPPRREESSIIAADDEE DDAATTEE

1.Scopul lucrării.

Se analizează un algoritm de calcul al transformării "wavelet"rapidă şi se utilizează acest algoritm la compresia unor semnalenestaţionare.

2. Bazele matematice ale transformării "wavelet" rapidă

Definiţia 1. Mulţimea de subspaţii Hilbert închise ZmmV ∈ ale lui

( )RL2 este o analiză multirezoluţie a acestui spaţiu dacă elementele

mV au următoarele proprietăţi:

i) ...VVV... 101 −⊂⊂ ,

ii) ( )RLV,0V 2

Zmm

Zmm =

=

−−−−−−−

∈∈UI ,

iii) ( ) ( ) ( ) 1mm Vx2fVxf −∈⇔∈∀ ,

iv) Există o funcţie ( ) 0Vx ∈ϕ astfel încât mulţimea

( ) ( )Zn

m2m

n,m nx22x∈

−−

−ϕ=ϕ să fie o bază ortonormală a lui

mV .

Funcţia ( )xϕ se numeşte funcţie de scalare.

Fie ( )tf0 un semnal din 0V . El are următoarea descompunere în baza

( ) ( ) Znn,0 ntt∈

−ϕ=ϕ :

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=ϕϕ=

nn,0n,000 tt,tftf (1)

Fie ( )tf1 proiecţia lui ( )tf0 pe 1V . Această funcţie are următoarea

descompunere în baza ( ) ( )Zn

121

n,1 nt22t∈

−−

−ϕ=ϕ a lui 1V :

( ) ( ) ( ) ( )tt,tftf n,1n

n,101 ϕϕ= ∑∞

−∞=(2)

Fie ( )tfm proiecţia lui ( )tf0 pe mV . Ea are următoarea descompunere în

baza ( ) Znn,m t∈

ϕ a lui mV :

21

( ) ( ) ( ) ( )tt,tftf n,mn

n,m0m ϕϕ= ∑∞

−∞=(3)

Semnalele ( ) ( ) ( )tf,...,tf,tf m21 sunt cele mai bune aproximări ale lui ( )tf0 cu

elemente ale spaţiilor m21 V,...,V,V (teorema lui Riesz). Dacă

( ) ( ) ( )te,...,te,te m21 sunt erorile medii pătratice de aproximare ale lui

( )tf0 cu funcţiile ( ) ( ) ( )tf,...,tf,tf m21 , atunci se poate scrie:

( ) ( ) ( )te...tete m21 ≤≤≤ (4)

Se observă că odată cu creşterea lui m calitatea aproximăriidescreşte. Considerând că ( )tfm reprezintă aproximarea lui ( )tf0 derezoluţie m se poate afirma că folosind diferite elemente alemulţimii ZmmV ∈ se pot obţine aproximări de diferite rezoluţii ale

lui ( )tf0 . De aceea această mulţime se numeşte analiză multirezoluţie

a lui ( )RL2 .Notând:

( ) ( ) [ ]nst,tf mn,m0 =ϕ

se poate stabili relaţia între secvenţele [ ]nsm şi [ ]ns0 pentru 0m > .

Descompunerea funcţiei ( )tn,1ϕ în baza ( ) Znn,0 t∈

ϕ a lui 0V este:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−ϕ−ϕϕ=ϕ

ln,1n,1 ltlt,tt (5)

Dar:

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−−−+ϕϕ=−ϕϕ duln2uu22lt,t *12

1

n,1 (6)

Cu notaţia:

( ) ( ) [ ]ln2hlt,tn,1 −=−ϕϕ

relaţia (5) devine:

( ) [ ] ( )∑∞

−∞=−ϕ−=ϕ

ln,1 ltln2ht

Deci:

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )∑∞

−∞=−ϕ−=ϕ=

l0n,101 ltln2h,tft,tfns

Folosind relaţia (1) se obţine:

22

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=−=

p

*01 pn2hpsns

Prin recurenţă se poate scrie:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=− −=

p

*1mm pn2hpsns (8)

Această relaţie a fost stabilită pentru întâia oară în [Mal.'89 1]şi reprezintă una dintre formulele de bază pentru algoritmul FastWavelet Transform (FWT). Transformarea descrisă de relaţia (8) esterealizată de sistemul din figura 1.

Folosind m astfel de sisteme se poate construi sistemul careprelucrează secvenţa [ ]ns 0 pentru a obţine semnalul [ ]ns m , prezentatîn figura 2.

. . .

[ ]ns0 [ ]ns1 [ ]ns2 [ ]ns 1m−[ ]nsm

[ ]nh* 2 [ ]nh* 2 [ ]nh* 2

Figura 2. Sistemul care calculează secvenţa [ ]nsm pornind de la secvenţa [ ]ns0 .

În continuare se analizează calitatea aproximării de rezoluţie m asemnalului ( )tf 0 . În acest scop se defineşte descompunerea ortogonală

a spaţiului Hilbert ( )RL2 .

Definiţia 2. Mulţimea spaţiilor Hilbert închise ZmmW ∈ este o

descompunere ortogonală a lui ( )RL2 dacă elementele mW auproprietăţile:

i) pm WpelarperpendicuWpm ⇒≠

ii) ( )RLW 2

Zmm =

∈U .

h h

[ ].nsa 0

s

u

23

Pornind de la analiza multirezoluţie ZmmV ∈ a lui ( )RL2 şi

considerând că mW este

complementul ortogonal al lui mV în 1mV − , se obţine descompunerea

ortogonală a lui ( )RL2 , ZmmW ∈ . Se poate demonstra şi propoziţiaurmătoare:

Propoziţia 1. Există o funcţie ( )tψ în 0W astfel încât:

- mulţimea ( ) Znnt ∈−ψ este o bază ortonormală a lui 0W şi

- mulţimea ( ) ( )Zn

m2m

n,m nt22t∈

−−

−ψ=ψ este o bază ortonormală

a lui mW pentru orice m întreg.

Funcţiile ( )tn,mψ se numesc "wavelet". Funcţia generatoare ( )tψ poate

fi exprimată cu ajutorul funcţiei generatoare ( )tϕ . Dacă funcţia ( )tϕ(din 0V ) se dezvoltă în baza lui 1V− în forma:

( ) [ ] ( )∑∞

−∞=−ϕ=ϕ

nnt2nct (9)

atunci:

( ) ( ) [ ] ( )∑∞

−∞=+ϕ−−=ψ

n

n nt2n1c1t (10)

Eroarea de aproximare a semnalului ( )tf0 cu semnalul ( )tf1 este:

( ) ( ) ( )tftfte 101 −=Se constată că:

( ) 11 Wte ∈ (11)

De fapt semnalul ( )te1 este proiecţia ortogonală a semnalului ( )tf0 pe

subspaţiul 1W . Din acest motiv semnalul ( )tem poate fi descompus în

baza de funcţii wavelet a lui mW în forma:

( ) ( ) ( ) ( )tt,tete n,mn

n,m1m ψψ= ∑∞

−∞=(12)

Cu notaţia:

( ) ( ) [ ]ndt,te mn,m1 =ψ (13)

se deduce relaţia între secvenţele [ ]ndm şi [ ]nsm pentru 0m > .

Descompunând semnalul ( )tn,1ψ în baza lui 0V , ( ) ( ) Znn,0 ntt∈

−ϕ=ϕ rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−ϕ−ϕψ=ψ

ln,1n,1 ltlt,tt (14)

Dar:

( ) ( ) ( ) ( )dtltnt22lt,t *121

n,1 −ϕ−ψ=−ϕψ ∫∞

∞−

−−(15)

sau:

24

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−−−+ϕ

ψ=−ϕψ duln2uu22lt,t *2

121

n,1 (16)

Folosind notaţia:

( ) ( ) [ ]ln2glt,tn,1 −=−ϕψ (17)

relaţia (14) devine:

( ) [ ] ( )∑∞

−∞=−ϕ−=ψ

ln,1 ltln2gt (18)

şi:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]∑∞

−∞=−=ψ=ψ=

l0

*n,10n,111 lsln2gt,tft,tend (19)

În general:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=− −=

l

*1mm ln2glsnd (20)

Relaţia (20) este implementată de sistemul din figura 3.

În figura 4 este prezentat sistemul care pornind de la secvenţa [ ]ns0calculează secvenţele:

[ ]nsm şi [ ] [ ] [ ]nd,...,nd,nd 1m21 − .

REMARCĂ Formula lui [ ]ng depinde de formula lui [ ]nh . Se poatedemonstra că:

[ ] ( ) [ ]n1h1ng n1 −−= − (21)

[ ]ns 1m−[ ]ng*

2[ ]ndm

Figura 3. Transformarea semnalului [ ]ns 1m− în semnalul [ ]ndm .

[ ]nh*2 [ ]nh*

2 [ ]nh*2

[ ]ng*

2

[ ]ng*

2

...

[ ]ng*

2

[ ]ng*

2

[ ]ns0

[ ]nu1

[ ]ns1

[ ]nu 2

[ ]ns2 [ ]ns 1m−

[ ]nu 1m−

[ ]nsm

[ ]nd1 [ ]nd2 [ ]nd3 [ ]ndm

Figura 4. Sistemul care transformã semnalul [ ]ns0 în semnalele [ ]nsm , [ ] n,1k,ndk =

25

S-a arătat deja că pornind de la descompunerea semnalului ( )tf0 în

baza ortonormală a lui 0V ( ) Znnt ∈−ϕ se obţine aproximarea de

rezoluţie m, ( )tfm şi eroarea de aproximare ( )tem . Reciproc, funcţia

( )tf0 poate fi obţinută pornind de la funcţiile ( )tfm şi ( )tem :

( ) ( ) ( )∑=

+=m

1kkm0 tetftf (22)

Calculând produsul scalar al celor doi membri ai relaţiei (22) cufuncţiile ( )kt −ϕ se obţine:

[ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−ϕψ+−ϕϕ=

pp,11

ll,110 kt,tpdkt,tlsks (23)

sau:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=−+−=

l p110 kp2gpdkl2hlsks

În mod recursiv se poate demonstra că:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∞

−∞=

∞

−∞=− −+−=

pm

lm1m kp2gpdkl2hlsks (24)

Folosind sistemul din figura 5 poate fi obţinută secvenţa [ ]ns0

pornind de la secvenţele [ ] [ ] [ ]nd,...,nd,ns 11mm − .

Sistemul din figura 4 calculează transformarea “wavelet” discretă(F.W.T) a semnalului [ ]ns0 iar sistemul din figura 5 calculeazătransformarea “wavelet” discretă inversă (I.F.W.T).

3. O aplicaţie a F.W.T. la compresia de date

Sistemele de compresie care folosesc transformări ortogonale sebazează pe decorelarea secvenţei de intrare (realizată de

2 [ ]nh −

2 [ ]ng −

2 [ ]nh −

2 [ ]ng −

2 [ ]nh −

2 [ ]ng −

.

.

.

. . .

[ ]nsm

[ ]ndm

[ ]nd 1m−

[ ]nd1

[ ]ns 1m−

[ ]ns 2m−

[ ]ns0

Figura 5. Sistem care implementeazã transformarea inversã.

26

transformarea ortogonală respectivă). Dacă secvenţei [ ] 1N,0n,nx −=cu autocorelaţia [ ]nR x i se aplică o transformare ortogonală se

obţine secvenţa [ ]ny cu autocorelaţia [ ] 1M,0n,nR y −= , cu [ ] [ ]nRnR xy <.Energia secvenţei [ ]ny este concentrată în M eşantioane cu NM < . Deaceea pot fi transmise doar aceste eşantioane şi rezultă compresia.Notând cu T operatorul transformării ortogonale şi cu P operatorulde compresie se obţine sistemul pentru compresia secvenţei de duratăşi energie finită din figura 6.

Figura 6. Sistemul folosit pentru compresia de date bazat pe o transformareortogonală.

Pot fi scrise relaţiile:

yTx;Pyy;Txy 1−===

Având în vedere că FWT este o transformare ortogonală rezultă căpoate fi folosită pentru compresie. Rolul blocului P din schema demai sus este de a selecţiona doar acele eşantioane ale semnaluluiy[n] care au valoarea superioară unui prag. Valoarea acestui prag sealege în aşa fel încât eroarea de aproximare a semnalului y[n] prinsemnalul de la ieşirea blocului P să aibă o energie inferioarăvalorii de 1% din energia semnalului x[n]. Semnalul de la ieşireablocului P reprezintă rezultatul compresiei. Acest semnal setransmite sau se memorează. Ultimul bloc din schema din figura 6realizează reconstrucţia semnalului comprimat. Eroarea mediepătatică cu care acest semnal aproximează semnalul x[n] este maimică decât 1% din energia semnalului x[n]. Factorul de compresierealizat poate fi calculat împărţind numărul eşantioanelor secvenţeide intrare la dublul numărului eşantioanelor nenule de la ieşireablocului P. Trebuie considerat dublul numărului eşantioanelor nenulede la ieşirea blocului P deoarece acestea nu apar în succesiune şideci este necesară atât codarea valorii lor cât şi codarea poziţieilor. În [Dau.’88] şi [Mey.’92] sunt prezentate câteva exemple defuncţii de scalare cu suport compact. Evident acestea genereazăfuncţii wavelet cu suport compact. De aceea semnalele [ ]nh şi [ ]ng vor

fi de durată limitată. Pentru secvenţe [ ]ns0 de durată limitată FWTpoate fi descrisă matricial. În continuare se prezintă pe baza unuiexemplu algoritmul de calcul al FWT. Secvenţa de intrare [ ]ns0 estedescrisă de vectorul:

[ ]nxT

[ ]nyP

[ ]ny1T−

[ ]nx

27

[ ][ ]

[ ]

=

1s...

7s8s

S

0

0

0

0

iar [ ]nh are durata 4. Primul pas al algoritmului de calcul al FWTeste:

001 XMY =cu:

00 SX =şi:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

−−

−−

−−

−−

=

2h1h

3h0h

00

00

00

00

0h3h

1h2h

0h1h2h3h00003h2h1h0h0000

000h1h2h3h00003h2h1h0h0000000h1h2h3h00003h2h1h0h

M0

Se obţine:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

=

1d1s2d2s3d3s4d4s

Y

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Prin permutări rezultă:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

=

1d2d3d4d1s2s3s4s

Y

1

1

1

1

1

1

1

1

11

28

Elementele vectorului 11Y sunt secvenţele [ ]ns1 şi [ ]nd1 . Separând

elementele acestor secvenţe se obţin vectorii 11X şi 2

1X cu:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]1d2d3d4dX;1s2s3s4sX 1111T2

11111T1

1 ==

Fie 1M matricea care reprezintă sfertul din stânga sus al matricei

0M . Cel de al doilea pas al algoritmului FWT este descris curelaţia:

1112 XMY =

Rezultatul este:

[ ][ ][ ][ ]

=

1d1s2d2s

Y

2

2

2

2

2

Prin permutări rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]1d2d1s2sY 2222T1

2 =

Separând elementele secvenţelor [ ]ns2 şi [ ]nd2 se obţin vectorii 12X şi

22X cu:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]1d2dX;1s2sX 22T2

222T1

2 ==

Folosind vectorii T1

2Y şi T2

1X se obţine vectorul Y cu:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]1d2d3d4d1d2d1s2sY 11112222T =

care reprezintă transformata FWT a vectorului 0S . Algoritmul pentruIFWT constă în aplicarea în ordine inversă a operaţiilor descrisemai sus. Bineînţeles în locul matricelor ,...M,M 10 se vor folosi

matricele ,...M,M T1

T0


Obiectul acestei lucrări este un program scris în limbaj Cpentru calculul transformatelor FWT şi IFWT. Ca şi semnale deprelucrat pot fi folosite semnale sinusoidale, dreptunghiulare saude tip “chirp”.4.1. Să se determine transformata FWT a unui semnal sinusoidal având

256 de eşantioane.4.2. Să se determine transformata IFWT pentru semnalul obţinut la

punctul anterior. Sunt aceste două operaţii inverse ?4.3. Ce factor de compresie se poate obţine pentru semnalul de la

punctele anterioare ?

29

4.4. Care este valoarea maximă a factorului de compresie care se poateobţine în cazul unui semnal dreptunghiular (prin alegereajudicioasă a funcţiei wavelet mother) ?

4.5. Dar pentru un semnal de tip “chirp” ?4.6. Se reprezintă grafic semnalele iniţiale de la punctele 4.3, 4.4

şi 4.5. Se reprezintă grafic semnalele obţinute după efectuareacompresiei şi a IFWT pentru aceleaşi semnale iniţiale. Estimaţierorile comise.

5. Întrebări

5.1. Desenaţi, reunind figurile 4 şi 5 schema unui sistem de analiză(FWT) şi reconstrucţie (IFWT) a unui semnal în timp discret.

5.2. Enunţaţi câteva aplicaţii ale compresiei de date.5.3. Refaceţi exemplul de calcul al FWT, din paragraful 3, pentru o

secvenţă cu 16 eşantioane.5.4. Completaţi exemplul de la punctul anterior cu calculul IFWT al

rezultatului obţinut.5.5. Desenaţi ordinograma unui program de calcul al FWT.

6. Bibliografie

[Dau.’88] I. Daubechies, “Orthonormal bases of compactly supportedwavelets”, Communications on Pure and Applied Mathematics, XLI,1988.[Mal.’89] S. Mallat, “A Theory for multiresolution signaldecomposition. The wavelet representation”, IEEE Transactions onPAMI, vol. 11, no.7, July 1989.[Mey.’92] Y. Meyer, “Ondelettes et algorithmes concurents”, Hermann,1992.

30


ÎMBUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL/ZGOMOT PRIN UTILIZAREATRANSFORMĂRII “WAVELET” DISCRETĂ

1.Scopul lucrării.

Se utilizează o tehnică adaptivă de îmbunătăţire a raportului S/Zg numită“de-noising”.

2. Metode de creştere a RSZ

Cea mai cunoscută metodă de creştere a RSZ este filtrarea liniară.O altă modalitate de creştere a RSZ se bazează pe utilizarea filtreloradaptive. Dezavantajul acestei metode este că ea necesită un timp decalcul şi un volum de memorie însemnate. În lucrarea de faţă se studiazăo nouă metodă de îmbunătăţire a RSZ, bazată pe utilizarea transformării“wavelet” discretă, DWT. Această metodă, numită “de-noising” are treietape:a) Fie semnalul u[n] perturbat aditiv de zgomotul n[n]:

x[n] = u[n] + n[n]

Se achiziţionează semnalul x[n]. Se urmăreşte estimarea semnalului u[n].În acest scop se calculează transformata ”wavelet” discretă a semnaluluix[n]:

y[n] = DWTx[n] = DWTu[n] + DWTn[n]

b) Se filtrează semnalul y[n] cu un filtru descris de operatorul F,obţinându-se semnalul:

z[n] = Fy[n] = FDWTu[n] + DWTn[n]

c) Se calculează transformata “wavelet” inversă a semnalului z[n]:

v[n] = DWT-1z[n] = DWT-1FDWTu[n] + DWTn[n]

Semnalul v[n] reprezintă o estimare a semnalului u[n].

3. Metoda “de-noising”

Se face ipoteza că semnalul u[n] este un semnal aleator staţionar. Înacest caz se poate demonstra că semnalul DWTu[n] este un semnal aleatorstaţionar care converge asimptotic spre un zgomot alb. Cu alte cuvinteacest semnal este aproape un zgomot alb (el ar fi un zgomot alb dacănumărul de iteraţii al transformării DWT ar fi infinit). În consecinţărolul transformării DWT în cadrul metodei de creştere a RSZ “de-noising”este “albirea” semnalului perturbator n[n]. Această “albire” este utilădeoarece se cunosc multe metode de filtrare a semnalelor perturbate

31

aditiv cu zgomot alb (în comparaţie cu metodele de filtrare asemnalelor perturbate aditiv cu zgomot colorat).

Pentru filtrarea în domeniul transformării DWT se foloseştesistemul descris de relaţia intrare-ieşire:

[ ][ ] [ ]( ) [ ]

[ ]z n

y n y n p y n p

y n p=

− ≥

<

sgn ,

,0 (1)

unde p este un prag. Este vorba despre un filtru neliniar. Dacă valoareapragului p se alege proporţională cu puterea zgomotului alb DWTn[n],σ2, atunci filtrul descris de relaţia (1) devine un filtru neliniaradaptiv. Se poate demonstra că există o valoare optimă a pragului p,pentru fiecare semnal de intrare x[n], valoare care conduce lamaximizarea raportului semnal pe zgomot al semnalului v[n]. Aceastăvaloare (de fapt factorul de proporţionalitate cu σ2) este determinată înlucrarea de faţă, prin încercări repetate. Se porneşte de la o valoareiniţială a lui p relativ mică, se calculează raportul semnal pe zgomot allui v[n], se măreşte p, se calculează din nou raportul semnal pe zgomotal lui v[n] şi se continuă în acest mod până când pentru prima oarăvaloarea raportului semnal pe zgomot devine inferioară valorii diniteraţia anterioară. Sunt consemnate ca şi valori finale ale algoritmuluivalorile obţinute în penultima etapă.

4. Implementare

Această metodă de îmbunătăţire a RSZ a fost implementată cu ajutorulunui program scris în C. Acesta are trei subrutine. Prima, numităsign.exe, generează semnale de tipul u[n], n[n] şi x[n]. Semnalele detipul u[n] se generează la comanda G şi pot fi de tipul: sinusoidal (S),dreptunghiular (D), modulat în frecvenţă (C), sinus cardinal (F), sauGaussian (G). Semnalele de tipul n[n] se generează la comanda Z şi pot fide tipul: zgomot uniform (U), zgomot alb (G), zgomot în impulsuri (I) şizgomot în salve de impulsuri (S). Semnalele de tipul x[n] se generează lacomanda (S). Trebuie specificat numele fişierului în care se facesalvarea (de exemplu: sins.dat). În continuare vizualizarea semnaluluix[n] obţinut astfel se poate face cu subrutina Graph.exe. Sintaxa pentrucomanda execuţiei acestei subrutine este Graph.exe nume.fişier (deexemplu Graph.exe sins.dat). Creşterea RSZ a semnalului x[n] serealizează cu subrutina Denoise4.exe. Sintaxa comenzii de execuţie aacestei subrutine este Denoise4.exe nume.fişier (de exemplu Denoise4.exesins.dat).

Tipul undişoarei mamă folosite la calculul DWT se specifică cu N.Pragul p se fixează ca şi răspuns la comanda ”Introduceţi dispersiazgomotului”. Această subrutină produce două fişiere, primul făcând oprezentare calitativă a procesului de creştere a RSZ (de exemplu fişierulrez.dat) şi cel de-al doilea conţinând rezultatul estimării (de exempludsins.dat). Cel de-al doilea fişier poate fi vizualizat cu ajutorulsubrutinei Graph.exe.

5. Desfăşurarea lucrării.

5.1. Se generează toate tipurile posibile de semnale x[n].

32

5.2 . Se reprezintă grafic fiecare semnal generat.5.3. Se rulează subrutina Denoise4.exe pentru fiecare din semnaleleastfel obţinute. Valoarea pragului p va fi egală cu 4 × "amplitudineazgomotului".5.4. Se reprezintă grafic rezultatele obţinute, specificându-se în

fiecare caz valoarea îmbunătăţirii RSZ obţinută.5.5. Să se determine valoarea obţinută a lui N0 (valoarea lui N pentru

care se obţine valoarea maximă a raportului semnal pe zgomot laieşire) pentru cazul:

u[n]→D ; x[n]→SAmplit: 10 5

6. Întrebări.

6.1. Prin ce diferă metoda “de-noising” descrisă în această lucrare demetoda de compresie cu undişoare descrisă într-o lucrare anterioară ?6.2. Ce este specific din punct de vedere al întârzierii semnalului utilla metoda de creştere a RSZ descrisă în această lucrare ?


SSTTUUDDIIUULL AALLGGOORRIITTMMUULLUUII LLMMSS

1.Scopul lucrării.

Se experimentează un filtru numeric adaptiv bazat peutilizarea algoritmului LMS, urmărindu-se influenţa parametriloralgoritmului asupra funcţionării filtrului.

2. Bazele filtrării adaptive

Modelul unui sistem adaptiv este prezentat în figura 1.

Semnalul de intrare [ ]nx este prelucrat în aşa fel încât

semnalul de ieşire [ ]ny să semene cât mai mult cu semnalul model(de referinţă) [ ]nd . Deosebirea dintre semnalele [ ]nd şi [ ]ny este

apreciată pe baza erorii medii pătratice [ ] nE 2ε . Cu E s-a notatoperatorul de mediere statistică. Minimizarea acestei erori esterealizată prin modificarea coeficienţilor filtrului utilizat. Unexemplu clasic de utilizare a filtrării adaptive este în“albirea” semnalelor aleatoare. În acest caz semnalul [ ]nx este un

semnal aleator staţionar iar semnalul de referinţă, [ ]nd , este unzgomot alb. Pe durata procesului de adaptare coeficienţiifiltrului numeric se modifică după achiziţia fiecărui nou

eşantion al semnalului [ ]nx în aşa fel încât [ ] nE 2ε să scadă totmai mult spre o valoare minimă. Procesul de adaptare se încheieîn momentul în care se atinge această valoare minimă. După acestmoment, indiferent care ar fi noile valori ale eşantioanelorsemnalului [ ]nx , valorile lui [ ] nE 2ε oscilează în jurul acesteivalori minime. Un alt exemplu de aplicaţie a filtrelor adaptiveeste acela când răspunsul dorit este cunoscut ca fiind răspunsulunui sistem care trebuie identificat la o excitaţie cunoscută.

33

[ ]nxFiltru adaptiv

[ ]ny

--

[ ]nd

[ ]nε

Figura 1. Schema bloc a unui filtru adaptiv.

Identificarea sistemului poate fi realizată prin determinarea,la sfârşitul perioadei de adaptare, a coeficienţilor filtruluiadaptat la a cărui intrare este indusă aceeaşi excitaţie ca şi laintrarea sistemului necunoscut şi al cărui răspuns dorit esterăspunsul sistemului necunoscut.

Pentru a descrie funcţionarea şi proprietăţile filtreloradaptive se va presupune pentru început că toate semnalele dinfigura 1 sunt staţionare, că au funcţii de corelaţie finite şi căfiltrul numeric este un sistem liniar şi invariant în timp, detipul cu răspuns finit la impuls. În continuare se vor utilizaintercorelaţiile semnalelor [ ]nx şi [ ]nd , [ ]nrdx şi ale semnalelor[ ]nd şi [ ]ny , [ ]nrdy şi autocorelaţiile semnalelor [ ]nx , [ ]nrxx , [ ]ny ,

[ ]nryy şi [ ]nd , [ ]nrdd , definite după cum urmează:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;nkxkxEnr;nkykdEnr;nkxkdEnr xxdydx +=+=+=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] nkdkdEnr;nkykyEnr ddyy +=+=

O proprietate a intercorelaţiei semnalelor aleatoare, utilă încontinuare, este:

[ ] [ ]nrnr −= βααβ

Deci autocorelaţia este funcţie pară.Coeficienţii filtrului numeric (eşantioanele răspunsului său laimpuls) se notează cu [ ]nw .Valoarea erorii medii pătratice este:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] kykdE2kyEkdEkykdEkE 2222 −+=−=ε (1)

deoarece operatorul de mediere statistică este liniar. Relaţia(1) se mai scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ]0r20r0rkE dyyydd2 −+=ε

sau pe baza transformării z inverse:

[ ] ( ) ( ) ( )( )∫ −+

π

=εz

dzzR2zRzRj2

1kE dyyydd2 (2)

Considerând ca şi contur de integrare cercul unitate,transformatele z devin transformate Fourier în timp discret,

( ) ( )ΩΩ yydd R,R şi ( )ΩdyR . Pentru aceste funcţii se pot folosirelaţii de tip Wiener-Hincin, putându-se scrie:

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω xx2

yy RWRadică:

34

( ) ( ) ( ) 1zxx1z2

1zyy zRzWzR === = (3)

Dar:

( ) ( ) ( ) 1z*

1z2 zWzWzW == =

şi:

( ) ( ) 1z1

1z* zWzW =

−= =

De aceea relaţia (3) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) 1zxx1z1

1zyy zRzWzWzR ==−

= = (4)

Relaţia:

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω dxdy RWR

se mai poate scrie şi sub forma:

( ) ( ) ( ) 1zdx1z1zdy zRzWzR === = (5)

Substituind relaţiile (4) şi (5) în relaţia (2) se obţine:

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫=

− −

π

+=ε1z

dxxx1

dd2

zdzzWzR2zRzW

j210rkE (6)

relaţie care exprimă eroarea medie pătratică pe baza expresieifuncţiei de transfer a filtrului numeric cu funcţia de transfer

( )zW . Fiind vorba despre un filtru cu răspuns finit la impuls sepoate scrie:

( ) [ ]∑−

=

−=1L

0i

iziwzW (7)

Conform relaţiei (6) se constată că [ ] kE 2ε este o suprafaţă înspaţiul 1L + dimensional [ ] [ ] [ ] [ ] 1Lw,...,1w,0w,kE 2 −ε . Prin procesul de

adaptare se determină acei coeficienţi [ ] 1L,0i,iw min −= care

minimizează valoarea [ ] kE 2ε . Deci prin adaptare se realizează odeplasare pe suprafaţa amintită mai sus, din punctul iniţial de

35

coordonate [ ] [ ] [ ] [ ] 1Lw,...,1w,0w,kE 0002 −ε în punctul final de

coordonate [ ] [ ] [ ] [ ] 1Lw,...,1w,0w,kE minminmin2 −ε .

În prelucrarea adaptivă a semnalelor această sarcină (deadaptare) este un proces continuu de modificare a coeficienţilorfiltrului (deci a lui ( )zW ) în situaţia în care celelaltecantităţi din relaţia (6) sunt lent variabile. Substituind (7) în(6) şi efectuând calculele se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑ ∑−

=

−

=

−

=−−+=ε

1L

0i

1L

0m

1L

0ixdxxdd

2 iriw2mirmwiw0rkE (8)

Având în vedere că în această relaţie coeficienţii filtruluiadaptiv apar doar la puterile 1 şi 2 rezultă că suprafaţa deeroare este una pătratică. Notând cu R matricea de autocorelaţiea semnalului de intrare:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

−−

−−

=

0r...2Lr1Lr...

.

.

.

.

.

.

.

.

.2Lr...0r1r1Lr...1r0r

R

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

şi folosind notaţiile:

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

−

=

−

=

1Lw...1w0w

W;

1Lr...1r0r

P

xd

xd

xd

se obţine forma matricială a relaţiei (8):

[ ] [ ] WP2RWW0rkE TTdd

2 −+=ε (9)

Fiind vorba despre o suprafaţă pătratică pozitivă (eroarea mediepătratică nu poate fi negativă), e clar că ea are un minim.Pentru găsirea acestui punct este utilă cunoaşterea gradientuluisuprafeţei, în fiecare punct al acesteia. Vectorul gradient alsuprafeţei de eroare se notează cu ∇ şi se defineşte cu relaţia:

36

[ ]( )( )[ ][ ]( )[ ]

[ ]( )( )( )[ ]

−∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

=∇

1LwkE

.

.

.1w

)k(E0wkE

2

2

2

Dar:

[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑

−

≠=

−−+=∂ε∂ 1L

lm0m

xdxxxx

2lr2mlrmw20rlw2

lwkE

Ţinând seama de paritatea funcţiei de autocorelaţie, pe bazaultimelor două relaţii rezultă că vectorul gradient poate fiexprimat în forma:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] ( )[ ]

[ ][ ]

[ ]

−

−

−−

−

=∇

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

1Lr...1r0r

2

1Lmrmw

.

.

.

1mrmw

mrmw

2

xd

xd

xd

1L

0mxx

1L

0mxx

1L

0mxx

sau ţinând seama de expresiile matricelor definite anterior:

P2RW2 −=∇

Minimul de pe suprafaţa de eroare este atins în punctul în caregradientul se anulează. Se poate deci scrie:

P2RW2 min =

Admiţând că matricea de autocorelaţie a semnalului de intrareeste inversabilă se poate obţine matricea coeficienţilor optimiai filtrului adaptiv:

PRW 1min

−= (10)37

Filtrul cu aceşti coeficienţi este numit filtru Wiener.

Valoarea minimă a erorii medii pătratice este pe baza relaţiei(9):

[ ] [ ] minT

minTminddmin

2 WP2RWW0rkE −+=ε

sau pe baza relaţiei (10):

[ ] [ ] ( ) minT

minT1

ddmin2 WP2RWPR0rkE −+=ε − (11)

adică:

[ ] [ ] ( ) minT

minT1T

ddmin2 WP2RWRP0rkE −+=ε − (12)

Ţinând seama de simetria matricei de autocorelaţie, se poatedemonstra că:

( ) 1T1 RR −− =

şi deci:

( ) IRRRR 1T1 == −−

unde cu I s-a notat matricea unitate. De aceea relaţia (11)devine:

[ ] [ ] minT

dd2

min WP0rkE −=ε (13)

Această relaţie exprimă legătura dintre valoarea minimă a eroriimedii pătratice şi vectorul coeficienţilor optimi ai filtruluiadaptiv.Conform relaţiei (10), pentru determinarea coeficienţilorfiltrului optim este necesară cunoaşterea matricelor R şi P (caredepind doar de semnalele [ ]nx şi [ ]nd ). În practică matricea R nueste de obicei cunoscută. De aceea de obicei această matrice seestimează. Pornind de la valoarea estimată a lui R şi de la ovaloare iniţială a vectorului W se calculează o primă estimaţie agradientului. Pe baza noului eşantion achiziţionat se face o nouăestimare a lui R. Pe baza relaţiei (10) se face o nouă estimare alui W şi se calculează gradientul. În cazul în care noua valoareeste mai apropiată de zero se consideră că estimarea lui W esteîn sensul corect şi se continuă în acelaşi fel. În caz contrar seestimează R în sens contrar şi se refac operaţiile enunţate maisus.

38

În acest mod se derulează un algoritm de căutare a vectoruluiminW .

3. Metode de căutare a minimului erorii medii pătratice

Metodele de căutare ale minimului suprafeţei de eroare sebazează în general pe estimări locale ale gradientului eroriifăcute după achiziţia fiecărui nou eşantion din secvenţa [ ]nx .

Înmulţind la stânga cei doi membrii ai relaţiei (10) cu 1R21 − se

obţine:

PRWR21 11 −− −=∇ (14)

sau pe baza relaţiei (11):

∇−= −1min R

21WW (15)

Relaţia (15) conduce la metoda de căutare a minimului de tipNewton.

Notând cu [ ]kW vectorul coeficienţilor filtrului la momentulk se obţine:

[ ] [ ] [ ]kRkW1kW 1∇µ−=+ − (16)

unde [ ]k∇ reprezintă valoarea vectorului gradient la momentul kiar µ este un scalar care fixează viteza de convergenţă a

vectorului [ ]kW spre vectorul minW . Forma vectorului [ ]kW este:

[ ]

[ ][ ]

[ ]

−

=

1Lw...

1w0w

kW

k

k

k

La pasul k al algoritmului se calculează:

[ ] [ ] P2kRW2k −=∇ (17)

Substituind (17) în (16) se obţine:[ ] [ ] [ ]( )P2kRW2RkW1kW 1 −µ−=+ −

39

sau ţinând seama de relaţia (11) ultima relaţie se mai scrie:

[ ] ( ) [ ] minW2kW211kW µ+µ−=+

adică:

[ ] ( ) [ ] ( )∑=

+ µ−µ+µ−=+k

0l

lmin

1k 21W20W211kW

Deci:

[ ] ( ) [ ] ( )[ ] minkk W2110W21kW µ−−+µ−= (18)

Se constată că dacă este îndeplinită condiţia:

1210 <µ−<

atunci şirul [ ]kW converge la limita minW . Considerând cămatricea de autocorelaţie este unitară relaţia (16) se poatescrie în forma:

[ ] [ ] [ ]kkW1kW ∇µ−=+ (19)

Făcând notaţia:

[ ]

[ ][ ]

( )[ ]

−−

−

=

1Lkx...

1kxkx

kX

ieşirea filtrului adaptiv poate fi exprimată şi matricial:

[ ] [ ] [ ]kXkWky T= (20)

În continuare se estimează eroarea medie pătratică prin valoareasa instantanee:

[ ] [ ]kkE 22 ε≅ε

Cu această aproximare gradientul la momentul k devine:

40

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

−∂ε∂

ε

∂ε∂

ε

∂ε∂

ε

=

−∂

ε∂

∂

ε∂∂

ε∂

≅∇

1Lwkk

.

.

.1w

kk

0wkk

2

1Lwk

.

.

.1wk

0wk

k

k

k

k

2k

22

2k

22

2k

22

(21)

Dar conform definiţiei erorii:

[ ] [ ] [ ]kykdk −=ε

De aceea:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] 1L,0l;lkxlw

kylw

k )20(

kk−=−−=

∂∂

−=∂

ε∂

şi relaţia (21) devine:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]kXk2

1Lwky

.

.

.1w

ky0w

ky

k2k

k

k

k

ε−=

−∂∂

∂∂∂∂

ε−≅∇

Înlocuind această estimare a gradientului în relaţia (20),aceasta devine:

[ ] [ ] [ ] [ ]kXkkW1kW µε+=+ (22)

Această relaţie descrie algoritmul de căutare a coeficienţiloroptimi ai filtrului adaptiv de tip LMS.Convergenţa acestui algoritm este asigurată pentru:

41

1L

20max

<λµ

<

unde maxλ reprezintă valoarea maximă a valorilor proprii alematricei de autocorelaţie a semnalului de intrare, R.


Obiectul acestei lucrări este un program scris în limbajul Cpentru simularea unui filtru adaptiv LMS. Semnalul de intrareeste un semnal sinusoidal perturbat aditiv de zgomot alb.Semnalul de referinţă este tot sinusoidal.

4.1. Să se determine histograma zgomotului alb şi să sereprezinte grafic. Care este valoarea medie a acestui semnalaleator ? Dar dispersia sa ?

Componenta deterministă a semnalului de intrare poate fi unsemnal sinusoidal pur sau un semnal de tip “chirp”. Semnalulsinusoidal este generat în fişierul XD. Parametrii săi suntamplitudinea A şi frecvenţa F. Semnalul “chirp” este generat înfişierul SMF. În cele două fişiere componenta deterministă esteînsumată cu zgomotul alb generat anterior. Ceilalţi parametrii aialgoritmului sunt: I (mărime proporţională cu µ ), W (vectoruliniţial al coeficienţilor filtrului adaptiv), E (valoarea maximăadmisibilă a erorii medii pătratice) şi L (numărul coeficienţilorfiltrului adaptiv).

4.2. Să se determine îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomotrealizată de filtrul adaptiv pentru 10L = , 1,0I = , dacăcomponenta deterministă a semnalului de intrare este pursinusoidală cu 1A = şi 10000F = .

4.3. Să se reprezinte în acest caz variaţia erorii mediipătratice.

4.4. Să se reprezinte grafic caracteristica de modul arăspunsului în frecvenţă al filtrului obţinut la punctul 4.3,

( )ΩminW .

4.5. Să se repete punctele 4.2., 4.3., şi 4.4 pentru un semnal deintrare cu componentă deterministă de tip “chirp” cu 100F = .

4.6. Să se determine dependenţa vitezei de învăţare aalgoritmului LMS de parametrul I, pentru un semnal de intrarecu componenta deterministă de tip “chirp”, pentru 5L = .

4.7. Să se determine în condiţiile de la punctul 4.6. dependenţavitezei de învăţare a algoritmului LMS de parametrul A.

42

4.8. Să se reprezinte grafic diferenţele de la punctele 4.6 şi4.7.

5. Întrebări

5.1. Deduceţi relaţia (8) pe baza relaţiei (7).5.2. Demonstraţi că inversa matricei de autocorelaţie a

semnalului de intrare este simetrică.5.3. Demonstraţi relaţia (18) pornind de la relaţia (16)

efectuând calculele în detaliu.5.4. Demonstraţi că algoritmul LMS este convergent în ipotezele

specificate.5.5. Desenaţi ordinograma unui program de implementare a

algoritmului LMS.

6. Bibliografie

J.S. Lim, A.V. Oppenheim, “Advanced Topics in Signal Processing”,Prentice Hall, New Jersey, 1988.S. T. Alexander, “Adaptive Signal Processing. Theory and

Applications”, Springer Verlag, New York, 1988.T. Bellanger, “Traitement numerique du signal. Theorie et

pratique”, Masson, 1990.B.Widrow, S.D. Stearns, “Adaptive Signal Processing”, Prentice-Hall, New-Jersey, 1985.

43

44


MĂSURAREA FRECVENŢEI INSTANTANEE A SEMNALELORMODULATE ÎN FRECVENŢĂ CU PURTĂTOR SINUSOIDAL

1.Scopul lucrării.

Se studiază un sistem de achiziţii de date de tipul ADA3100, utilizat în scopul realizării unui sistem numeric demăsurare a frecvenţei instantanee a semnalelor modulate înfrecvenţă cu purtător sinusoidal.

2.Metode de măsurare a frecvenţei instantanee

Considerând semnalul ( )tx , se defineşte semnalul analiticasociat acestuia ( )tx a , cu formula:

( ) ( ) ( ) txjHtxtx a +=

unde cu ( ) txH s-a notat transformata Hilbert a semnalului( )tx . Această transformare este definită astfel:

( ) ( )

π∗=

t1VP1txtxH

Cel de al doilea termen al produsului de convoluţie dinmembrul drept al relaţiei de mai sus reprezintă răspunsul laimpuls al unui transformator Hilbert. Răspunsul în frecvenţăal acestui sistem este:

( ) ( )ω−=ω sgnjH

Legătura dintre transformatele Fourier ale semnalelor ( )tx şi( ) txH este:

( ) ( ) ( ) txFsgnjtxHF ω−=

De aceea legătura dintre transformatele Fourier alesemnalelor ( )tx şi ( )tx a este:

( ) ( )

<ω≥ω

=0,00,txF2

txF a

45

Se numeşte anvelopa semnalului ( )tx , funcţia ( )tx a .Se numeşte fază instantanee a semnalului ( )tx funcţia

( ) txarg a .Se numeşte frecvenţă instantanee a semnalului ( )tx funcţia:

( ) ( )( ) txargdtd

21tf ai

π= (1)

Eşantionând cu pas unitar semnalul analitic asociatsemnalului ( )tx se obţine secvenţa complexă [ ]nx a . Folosindnotaţia:

[ ] [ ] nxargn a=ϕ

se poate scrie formula în timp discret corespunzătoarerelaţiei (1):

[ ] [ ] [ ][ ]n1n41nfic ϕ−+ϕ

π= (2)

Pentru stabilirea acestei relaţii s-a aproximat derivata dinrelaţia (1) cu o diferenţă finită centrată. De aceeaestimatorul frecvenţei instantanee din relaţia (2) senumeşte estimator cu diferenţă centrată. Dacă s-ar fiutilizat o diferenţă finită înainte:

[ ] [ ] [ ]n1nnf ϕ−+ϕ=ϕ∆

sau una înapoi:

[ ] [ ] [ ]1nnnb −ϕ−ϕ=ϕ∆s-ar fi obţinut estimatorii frecvenţei instantanee cudiferenţă înainte [ ]nfif respectiv înapoi [ ]nfib :

[ ] [ ] [ ][ ]n1n21nfif ϕ−+ϕ

π= (3.1)

[ ] [ ] [ ][ ]1nn21nfib −ϕ−ϕ

π= (3.2)

Se constatã cu uşurinţã cã:

[ ] [ ] [ ]2

nfnfnf ibif

ic+

= (4)

Relaţiile (2), (3) şi (4) reprezintã estimatori aifrecvenţei instantanee introduşi pe baza definiţiei.

46

Metoda de măsurare a frecvenţei instantanee descrisămai sus necesită eşantionarea semnalului ( )tx , obţinându-sesecvenţa [ ]nx , urmată de calculul transformatei Hilbert întimp discret şi obţinerea argumentului semnalului analiticasociat lui [ ]nx , [ ]nϕ urmată de utilizarea uneia dintreformulele prezentate mai sus.

Această metodă de estimare a frecvenţei instantaneenecesită, pentru o precizie satisfăcătoare un raport semnalpe zgomot al lui ( )tx mare, dispersia estimării realizateeste mare dar volumul de calcul necesar este mic [Boa.,Arn.’90]. Pentru scăderea dispersiei estimatorului acestapoate fi filtrat numeric. Se obţine un nou estimator,netezit, pentru frecvenţa instantanee. Un exemplu esteestimatorul lui Kay numit şi estimator cu diferenţă de fazăponderată:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )∑−

=ϕ−+ϕ−

π=

2N

0kiK k1kknw

21nf (5)

unde:

[ ]

−−

−−

=

2

2

2N

12Nn

11N

N23

nw

Valoarea N trebuie aleasă în concordanţă cu viteza devariaţie a frecvenţei instantanee a semnalului ( )tx .Pentru ca estimările realizate pe baza acestei metode săaibă o dispersie acceptabilă e necesar ca semnalul ( )tx săaibă un raport semnal pe zgomot mare. Volumul de calculcerut pentru aplicarea acestei metode încă este acceptabil(nu este prea mare). O îmbunătăţire mai mare aperformanţelor metodei de estimare a frecvenţei instantaneebazată pe definiţie, poate fi obţinută dacă estimatoruleste filtrat adaptiv.Se consideră că între două treceri consecutive prin zero alesemnalului ( )tx se obţine un număr întreg de eşantioane aleacestui semnal, K, indiferent de frecvenţa sa instantanee.Este deci vorba despre o eşantionare adaptivă. Pe bazaacestor eşantioane, folosind formula (3.1) se obţinestimările [ ] 1K,0k,kf if −= . Media aritmetică a acestorestimări este:

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )0KK2

1k1kK2

1m1K

0kϕ−ϕ

π=ϕ−+ϕ

π= ∑

−

=

47

Ţinând seama de faptul că diferenţa de fază între douămomente succesive de trecere prin zero ale semnalului ( )txeste πşi că momentele corespunzătoare trecerilor prin zerosunt 0 şi K, se constată că:

K21m = (6)

Dar numărul 2K este proporţional cu perioada instantanee asemnalului ( )tx .De aceea se poate afirma că estimarea frecvenţeiinstantanee, pe baza trecerilor prin zero, ale semnalului( )tx este un estimator în timp discret ((6)) obţinut prin

filtrarea adaptivă a estimatorului din relaţia (3). Filtruladaptiv folosit are răspunsul la impuls:

[ ]

≤≤=

restin,0

Kk0,K1

kw tpz

Este vorba despre un filtru adaptiv, deoarece duratarăspunsului la impuls, specificat mai sus, se modifică întimp, K luând valori diferite de la perioadă la perioadă asemnalului ( )tx .Pentru o micşorare suplimentară a dispersiei estimărilorfolosind estimatorul definit de relaţia (6), în loculvalorii K se poate utiliza o valoare medK , obţinută prinmedierea aritmetică a valorilor lui K obţinute pentru câtevaperioade succesive. Aceasta este metoda de estimare afrecvenţei instantanee propusă în lucrarea de faţă.

3.O implementare a metodei de măsurare propusă

Aparatul de măsurare descris în continuare se numeşteanalizor în domeniul modulaţiei (iar metoda de estimarepropusă, măsurare continuă, [Wec.’89]).Schema bloc a aparatului de măsurare propus este prezentatăîn figura 1.

Figura 1. Schema bloc a unui sistem de analizã în domeniul modulaţieirealizat cu un calculator.

( )tx

Bloc de intrareSistem deachizi•iide date

Calculator PC

8

48

Sistemul de achiziţii de date este descris în [Ada.’91].Rolul sistemului de intrare este de a transforma semnalul( )tx într-un semnal logic ale cărui fronturi marchează

trecerile prin zero ale lui ( )tx . Rolul sistemului deachiziţii de date este de a mãsura duratele unor “segmente”ale semnalului logic amintit mai sus şi de a încãrca acestevalori în memoria calculatorului. Toate operaţiile pe carele execută aparatul sunt controlate de un soft specializat.Pe baza acestuia sunt iniţializate blocul de intrare şisistemul de achiziţii de date, are loc un dialog alcalculatorului cu aceste subsisteme sunt realizate calculelede estimare şi este afişat rezultatul.Sistemul de achiziţii de date este compus dintr-un canal deintrare a minimum opt semnale analogice, din două canale deieşire analogică, dintr-un canal de intrare numeric cu optlinii de date, dintr-un generator de tact programabil, bazatpe utilizarea unui oscilator cu cuarţ, cu frecvenţa de 5 MHzşi dintr-un bloc de numărare-temporizare programabil.Sistemul de achiziţii de date se poate cupla direct pemagistrala de date şi pe magistrala de adrese alecalculatorului. Canalul de intrări analogice este compusdintr-un multiplexor cu 8 intrări, dintr-un amplificator cucâştig programabil, dintr-un convertor analog-numeric pe 12biţi, şi dintr-o memorie FIFO. Canalele de ieşire analogicăleagă magistrala de date a calculatorului prin intermediul adouă convertoare numeric-analogice pe 12 biţi pe liniile deieşire analogică AOUT1 şi AOUT2. Cel mai important bloc alsistemului de achiziţii de date din punct de vedere alanalizorului în domeniul modulaţiei este subsistemul denumărare-temporizare. Acesta este compus din douănumărătoare programabile TC1 şi TC2 de tipul 8254, fiecarealcătuit din trei numărătoare pe 16 biţi cu frecvenţa maximăde tact de 8 MHz. Utilizând cuvinte de comandă potrivite,numărătoarele din structura blocurilor TC1 şi TC2 pot fiprogramate în binar sau în cod complementar faţă de 2. Oprezentare detaliată a numărătorului programabil 82C54 estefăcută în [Nec.’81]. Blocul de intrare este alcătuit dintr-un formator de semnal logic, dintr-un circuit logiccombinaţional şi dintr-un formator de impulsuri deîntrerupere (a activităţii microprocesoruluicalculatorului). Formatorul de semnal logic generează pebaza semnalului ( )tx un semnal TTL a cărui durată este egalăcu perioada semnalului de analizat. “Perioada” acestuisemnal logic este egală cu suma a două perioade consecutiveale semnalului de analizat. Funcţionarea formatorului desemnal logic poate fi înţeleasă pe baza formelor de undă dinfigura 2.

49

Figura 2. Formele de undă care descriu funcţionarea formatorului deimpulsuri.

Se constată faptul că durata semnalului ( )tu5 este egală cuperioada instantanee a semnalului ( )tx .Circuitul combinaţional permite calculatorului să facăprogramarea blocului de intrare folosind liniile de date alesistemului de achiziţii de date. Rolul circuitului deîntreruperi este de a genera semnalul de întreruperi, din 4în 4 perioade instantanee ale semnalului ( )tx . Intervalul detimp între două cereri de întrerupere consecutive estemăsurat prin contorizare pe durata sa în blocul de numărare-temporizare din structura sistemului de achiziţii de date anumărului de perioade ale semnalului de tact. Programul care

0t1t

( )tx

t2t 3t

( )tu1

( )tu 2

( )tu3

( )tu 4

( )tu5

T

T

50

conduce funcţionarea aparatului este descris în [Asz.’92].Acesta este realizat în limbajul C. El are 5 funcţii debază:

- funcţia de instalare - INSTALL,- funcţia de achiziţie - ACHIZITIE,- funcţia de dezactivare hardware - UNINSTALL,- funcţia de calcul - CALC,- funcţia de afişare - AFIS.

Ordinograma programului principal este prezentată în figura3.

Figura 3. Ordinograma programului principal.

4.Desfăşurarea lucrării

4.1. Se identifică pe schema sistemului de achiziţii de dateblocurile sale funcţionale insistându-se asupra celoramintite în descrierea de mai sus.

4.2. Se testează blocul de achiziţii de date.4.3. Se studiază manualele de utilizare ale softului dedicat

plăcii de achiziţii de date care se utilizează. Estevorba despre programele Atlantis şi Pegasus.

START

INSTALL

ACHIZ

UNINSTALL

AFIS

CALC

STOP

51

4.4. Se identifică funcţiile de bază descrise mai sus înlistingul programului destinat analizei în domeniulmodulaţiei.

4.5. Se generează 5 forme de undă distincte, se vizualizeazăşi se reprezintă grafic. Trei dintre acestea vor fisemnale modulate în frecvenţă.

4.6. Se măsoară frecvenţa instantanee a celor trei semnalemodulate în frecvenţă generate anterior. Se reprezintăgrafic dependenţele de timp obţinute.

5.Întrebări

5.1. Desenaţi schema unui sistem a cărui funcţionare să fiecaracterizată de formele de undă din figura 2.

5.2. De ce s-a specificat în titlu că este vorba despresemnale modulate în frecvenţă cu purtător sinusoidal ?

5.3. Daţi câteva exemple de semnale pentru care metoda demăsurare a frecvenţei instantanee propusă conduce laerori semnificative.

5.4. Care sunt parametrii sistemului de măsurare descriscare limitează valoarea maximă a frecvenţei instantanee carepoate fi măsurată cu acesta ?

6. Bibliografie

[Boa., Arn.’90] B. Boashash, P. O'Shea, M. J. Arnold.Algorithms for instantaneous frequencyestimation: A comparative study, Proceedingsof SPIE, july 1990, California.

[Wec.’89] M. Wechsler. Caracterization of Time VaryingFrequency Behaviour using Continuous MeasurementTechnology. Hewlett Packard Journal, February1989.

[Ada.’91] *** ADA 3100/ADA 3100A, User’s Manual, Real TimeDevices Inc., USA, 1991.

[Nec.’81] ***, Catalog NEC, 1981.[Asz.’92] Asztalos T. Analizor în domeniul modulaţiei

realizat cu ajutorul unui calculator PC-AT-286, proiect de diplomă, UPT, 1992.

52


MMĂĂSSUURRAARREEAA FFRREECCVVEENNŢŢEEII IINNSSTTAANNTTAANNEEEE AA SSEEMMNNAALLEELLOORRMMOODDUULLAATTEE ÎÎNN FFRREECCVVEENNŢŢĂĂ CCUU PPUURRTTĂĂTTOORR SSIINNUUSSOOIIDDAALL,,PPEERRTTUURRBBAATTEE AADDIITTIIVV DDEE ZZGGOOMMOOTT,, FFOOLLOOSSIINNDD FFIILLTTRRAARREEAA

AADDAAPPTTIIVVĂĂ

1.Scopul lucrării.

Se studiază utilizarea filtrării adaptive la estimarea frecvenţei instantanee asemnalelor modulate în frecvenţă perturbate aditiv de zgomot. Metoda de estimare afrecvenţei instantanee prezentată în lucrarea 6 nu este robustă. Dacă semnalul modulat înfrecvenţă, a cărui frecvenţă instantanee trebuie estimată, este perturbat aditiv de zgomot,atunci el are un număr mult mai mare de treceri prin zero (multe dintre ele apărând acolounde semnalul determinist nu are treceri prin zero) motiv pentru care estimarea frecvenţeiinstantanee pe baza trecerilor prin zero nu mai conduce la rezultate corecte. De aceea înaceastă lucrare se propune o altă metodă de estimare a frecvenţei instantanee, mairobustă.

2. Metoda de estimare a frecvenţei instantanee

Semnalul modulat în frecvenţă, perturbat aditiv de zgomot, după eşantionare şicuantizare, este filtrat cu un filtru numeric adaptiv, de tip opreşte bandă, cu urmărire.Frecvenţa centrală (de blocare) a acestui filtru urmăreşte variaţia în timp a frecvenţeiinstantanee a semnalului de prelucrat. Înregistrând forma de variaţie în timp a frecvenţeicentrale a filtrului opreşte bandă se obţine estimata formei de variaţie în timp a frecvenţeiinstantanee a semnalului modulat în frecvenţă.

3. Implementare

În scopul simulării filtrării adaptive se utilizează mediul de programare MATLAB.Se utiliztează un program realizat la Institutul Naţional de Telecomunicaţii din Evry decătre profesorul Philip Regalia, autorul cărţii "Adaptive IIR Filtering in Signal Processingand Control", Marcel Dekker, New York, 1995.Semnalul de prelucrat este de forma:

u(n) = ampl*cos(phi(n)) + b(n)unde "ampl" reprezintă amplitudinea semnalului modulat în frecvenţă, "phi(n)" fazaacestui semnal la momentul n şi "b(n)" este zgomotul perturbator.În cazul de faţă zgomotul este alb iar raportul semnal pe zgomot al semnalului de analizateste egal cu 1 (0 dB). În programul care va fi utilizat în această lucrare pot fi generatepatru legi de frecvenţă instantanee:

53

1. Valoarea frecvenţei instantanee este modificată abrupt după câte 1000 de momente deeşantionare. Filtrul adaptiv nu va şti când se va schimba valoarea frecvenţei instantanee şinici următoarea valoare pe care o va lua aceasta.2. Valoarea frecvenţei instantanee se va modifica liniar. Filtrul cu urmărire va trebui săintercepteze această variaţie şi apoi să o urmărească.3.Legea de variaţie a frecvenţei instantanee în timp va fi parabolică. Filtrul cu urmărireva trebui să intercepteze această variaţie şi apoi să o urmărească.4. Frecvenţa instantanee se modifică cubic în timp. Filtrul adaptiv trebuie să interceptezeaceastă lege şi apoi să o urmărească.Pentru a alege unul dintre aceste 4 tipuri de semnal de intrare trebuie aleasă una dintrevalorile 1,2,3,4. Dacă nu se specifică nici o valoare atunci este ales automat cel de alpatrulea semnal.

Programul permite compararea efectului aplicării a două structuri de filtre adaptive detip opreşte bandă: laticială şi transversală. În ambele cazuri valoarea iniţială a frecvenţeicentrale a filtrului opreşte bandă este aleasă de 0,25 Hz. În ambele cazuri estimarea seîncheie după 4000 de iteraţii.

Rezultatele celor două tipuri de estimări (fiecare corespunzând unei structuri de filtru)sunt prezentate în două figuri, fiind posibilă compararea celor două metode de estimare.Se constată că la frecvenţe medii dispersiile celor două estimări sunt comparabile, dar căla frecvenţe joase şi înalte metoda bazată pe structura laticialî este superioară metodeibazate pe structura transversală. Explicaţia acestui fenomen este că amplificarea filtruluiopreşte bandă implementat în structură transversală se modifică odată cu modificareafrecvenţei sale centrale ceea ce nu se petrece în cazul structurii laticiale.


Din Windows Commander se selectează directorul notch-demo.m. Se citeşte cu F4.Se selectează textul (Edit, Select All) şi se copiază (Edit, Copy). Se deschide MATLAB-ul. Se copiază textul selectat anterior în fereastra de lucru a MATLAB-ului (Edit, Paste).Se rulează acest program (Enter). Se urmăresc indicaţiile din fereastra de lucru aMATLAB-ului. Se salvează în directorul USERS (personal) rezultatele obţinute.Programul se va rula pentru fiecare dintre cele 4 semnale de intrare posibile. Se vorcomenta rezultatele obţinute.

54


TTEEHHNNIICCII DDEE BBAALLIIZZAARREE UUTTIILLIIZZÂÂNNDD TTRRAANNSSFFOORRMMAARREEAA ““WWAAVVEELLEETT””

1.Scopul lucrării.

Balizarea este o tehnică de autentificare a imaginilor. Prininserarea unei balize invizibile într-o imagine, înainte ca aceastasă fie difuzată şi prin extragerea balizei după recepţia acesteia lautilizator, poate fi autentificat dreptul de proprietate auspraimaginii respective al celui care a difuzat-o. În acest mod pot fiidentificaţi şi utilizatorii ilegali ai unei anumite imagini. Pentrurealizarea balizării este necesar să se genereze o balizăinvizibilă, să se insereze această baliză în imaginea care trebuiedifuzată şi să se poată extrage din imaginea recepţionată deutilizator. În cazul în care un utilizator ilegal utilizeazăimaginea respectivă, pentru ca aceasta să nu poată fi autentificată,ar fi necesar ca baliza conţinută în aceasta să fie îndepărtată. Obalizare de calitate trebuie deci să fie rezistentă la atacurileunor utilizatori ilegali. În lucrarea de faţă se studiază o metodăde balizare adaptivă (baliza generată este dependentă de imaginea dedifuzat).

2. O metodă de balizare

O modalitate de a insera o baliză într-o imagine are la bazăutilizarea transformării imaginii. Cea mai des folosită transformareeste DCT (transformarea cosinus discretă).

Necesitatea de a face invizibilă baliza face dificil procesulde balizare, rezultând proceduri complicate de prelucrare aimaginii. Din acest motiv, inserarea balizei în domeniultransformatei DCT trebuie să respecte unele condiţii perceptule,impuse de regulă sistemului ce realizează cuantizarea în domeniulDCT.

Utilizarea transformării “wavelet” discretă (DWT) în procesulde balizare a imaginilor aduce unele avantaje faţă de transformareaDCT. Astfel, transformarea DWT a unei imagini este tot o imagine cuaceleaşi dimensiuni cu cele ale imaginii originale, dar care constădin două zone importante:• zona de aproximare numită şi rezumat, de dimensiuni mai reduse în

raport cu imaginea originală;• zona cu detalii care constă într-un set de imagini de dimensiuni

reduse ce conţin detaliile imaginii originale.

Rezultă deci că transformarea DWT oferă acces direct asupradetaliilor unei imagini. Acest lucru permite utilizarea uneiproceduri simple şi rapide de inserare a balizei în imagine prinmodificarea detaliilor imaginii, păstrând în acelaşi timptransparenţa perceptuală a balizării. Din tehnicile de balizare ceutilizează transformarea DWT sunt superioare celor ce utilizeazătransformarea DCT.

Aşa cum s-a arătat anterior, o tehnică simplă de balizare constăîn modificarea detaliilor unei imagini, echivalentă cu o modulare în

55

amplitudine a coeficienţilor transformării DWT corespunzători.În cele ce urmează se va prezenta un mod de implementare în Matlab aacestei metode de balizare, beneficiind de suportul oferit depachetul Wavelab în domeniul transformării DWT.

3.1. Algoritmul de inserare a balizei in imagine

Balizarea imaginii se realizează conform schemei bloc dinfigura 1.

Figura 1. Schema de balizare.

şi constă din următoarele etape:

• calculul transformatei DWT a imaginii originale O.I., T. I.;• separarea detaliilor şi a rezumatului din cadrul T.I. (D.I. şi

respectiv A.I.);• multiplicarea detaliilor cu constanta K (N.D.I.);• asamblarea imaginii balizate în domeniul transformatei DWT, din

rezumat şi din detaliile multiplicate cu K (N.T.I.);• calculul transformării DWT inverse în vederea obţinerii imaginii

balizate (W.I);• obţinerea balizei prin calculul diferenţei dintre imaginea

originală şi imaginea balizată (W.a).

În continuare se prezintă succint modul în care are loc separarearezumatului de detalii pentru o imagine dată, precum şi reasamblarealor după inserarea balizei. Aşa cum s-a arătat anteriortransformarea DWT a unei imagini este compusă din două zoneprincipale, ca în figura 2.

O.I.D.W.T.

Separaredetalii

Separarerezumat

T.I D.I.

K

N.D.I Asamblor

A.I.

W.II.D.W.T.

-

N.T.I.

W.a

56

Figura 2. Transformarea DWT a unei imagini.

Zona delimitată de blocurile A, D1, D2 şi D3 reprezintă rezumatulimaginii rezultate în urma transformării DWT, în timp ce zonadelimitată de blocurile D4, D5 şi D6 reprezintă detaliile. Numărul deblocuri ce revine fiecărei zone în parte depinde de numărul deiteraţii din calculul transformării DWT. Mărimea blocurilor poate fialeasă după dorinţă, singura cerinţă fiind ca ele să nu aparţinăsimultan celor două zone definite anterior. După multiplicarea cuconstanta K (aleasă în aşa fel încât să se asigure transparenţaperceptuală) a coeficienţilor DWT din blocurile D4, D5 şi D6, seobţin blocurile D4’, D5’ şi D6’ ce conţin deja baliza. Asamblareablocurilor noi obţinute se face ca în figura 3, pentru a puteaobţine în urma transformării DWT inverse imaginea balizată.

Figura 3. Asamblarea blocurilor de imagine după inserarea balizei.

După cum s-a putut observa, această metodă de balizare esteadaptivă, deoarece depinde de conţinutul imaginii originale (sursă).În ce priveşte valoarea constantei K, este relativ uşor dedeterminat valoarea ei în aşa fel încât balizarea să fieimperceptibilă. Prin urmare nu este necesară utilizarea de tehnicisuplimentare pentru a asigura transparenţa perceptuală.

3.2. Algoritmul de extragere a balizei

Extragerea balizei dintr-o imagine balizată utilizândalgoritmul prezentat în paragraful 3.1. se face cu schema din figura4.

A 1D4D

2D 3D

5D 6D

A 1D'D4

2D 3D

'D5 'D6

57

Figura 4. Schema de extragere a balizei

Paşii parcurşi pentru extragerea balizei sunt similari cu cei de labalizare:

• calculul transformatei DWT a imaginii balizate;• separarea zonelor cu rezumat şi respectiv cu detalii ale

imaginii;• înmulţirea detaliilor cu constanta 1/K;• reasamblarea zonelor cu rezumat şi a celor cu detalii rezultate

după multiplicarea cu K;• calculul transformatei DWT inverse pentru obţinerea imaginii

originale.• calculul balizei ca diferenţă dintre imaginea balizată

recepţionată şi cea originală obţinută în urma extrageriibalizei.

În cazul în care imaginea balizată utilizată de algoritmul deextracţie este identică cu cea obţinută la balizare, balizeleobţinute în procesul de inserare şi extracţie sunt identice. Dacăapar erori de transmisie a imaginii balizate, sau prelucrări/atacuriasupra imaginii balizate, baliza extrasă nu va mai fi identică cubaliza obţinută în cadrul procesului de inserare a balizei. Dacăalgoritmul de balizare este robust, diferenţa dintre cele douăbalize trebuie să fie mică. Pentru a caracteriza gradul de asemănarea celor două balize în vederea identificării, se defineşte factorulde asemănare ca fiind factorul de corelaţie, cu relaţia:

[ ] [ ]

[ ] [ ]∑∑ ∑∑

∑∑

⋅

⋅=

m n m n

2ar

2a

m nara

cn,mwn,mw

n,mwn,mwf

Valoarea factorului de corelaţie este unitară atunci cândbalizele de la inserare şi extracţie sunt identice, şi scade sprezero atunci când apar diferenţe. Ea serveşte ca măsură a robusteţiialgoritmului de balizare la prelucrări şi atacuri asupra imaginiibalizate. Totodată, valoarea sa poate fi folosită ca şi criteriu dedecizie pentru a stabili dacă în imaginea analizată se află baliza

rTWI

rTI

rWIDWT Separare

detalii

K1

Separarerezumat

rDWIrODI

rAWIAsamblor IDWT

-rOI

arw

58

căutată. Pentru aceasta este nevoie să se stabilească ovaloare de prag (de ex. 0.7) peste care se decide că baliza extrasăeste cea căutată, în caz contrar neputându-se face identificareacertă.


1.Din Windows Commander se selectează directorul compwater.m. Se

citeşte cu F4. Se selectează textul (Edit, Select All) şi se copiază(Edit, Copy). Se deschide MATLAB-ul. Se copiază textul selectatanterior în fereastra de lucru a MATLAB-ului (Edit, Paste). Serulează acest program (Enter). Se salvează în directorul USERS(personal) rezultatele obţinute (cele 4 imagini: imaginea originală,imaginea transmisă, baliza generată la emisie şi baliza generată larecepţie).2.

Se studiază programul Matlab utilizat, citind (cu F4) fişierulcompwater.m şi identificând principalele etape ale algoritmilor deinserare, respectiv extragere a balizei.Se vor comenta rezultatele obţinute.3.

Se repetă punctele anterioare pentru o altă valoare a lui k, deexemplu 2. În acest scop se modifică linia 13 a programuluicompwater.m.4.

Se repetă punctele anterioare pentru o altă imagine, deexemplu: Lenna. În acest scop se modifică linia a doua a programuluicompwater.m, aceasta devenind:ingrid=readimage('Lenna').

59


EESSTTIIMMAARREEAA FFRREECCVVEENNŢŢEEII IINNSSTTAANNTTAANNEEEE AA SSEEMMNNAALLEELLOORRNNEESSTTAAŢŢIIOONNAARREE PPEERRTTUURRBBAATTEE AADDIITTIIVV DDEE ZZGGOOMMOOTT FFOOLLOOSSIINNDD

RREEPPRREEZZEENNTTĂĂRRII TTIIMMPP--FFRREECCVVEENNŢŢĂĂ

1.Scopul lucrării.

Se face o introducere în teoria reprezentărilor timp-frecvenţă.Se prezintă o nouă metodă de estimare a frecvenţei instantaneefolosind teoria reprezentărilor timp-frecvenţă.

2. Conceptul de reprezentare timp-frecvenţă

Unul dintre semnalele cel mai des utilizate este semnalulsinusoidal. Acesta este descris matematic de funcţia:

t sin A = (t)x ooo ω (1)

parametrizată după constantele: A o- amplitudine şi ωo- pulsaţie.Pentru cunoaşterea acestui semnal este suficientă cunoaşterealegii sale de variaţie în timp (relaţia (1)) şi a parametrilorsăi A o şi ωo. Este evident vorba de un semnal staţionar. Un altexemplu de semnal staţionar este impulsul descris de relaţia :

( ) ) (t (t) A = (t)x 11 τ−σ−σ (2)

Parametrii acestui semnal sunt: amplitudinea sa A1 , duratasa τ, precum şi momentul declanşării, t = o 0.

Pe baza celor două exemple se poate afirma că semnalelestaţionare au parametrii constanţi. Această observaţie estevalabilă şi pentru semnalele aleatoare staţionare, dacăconsiderăm că în acest caz, parametrii semnalului sunt momentelesale statistice (media, dispersia, ...).

De aceea se poate afirma că semnalele nestaţionare(deterministe) au parametrii variabili în timp. Astfel, dacă :

A coso o= t10ω (3)sau:

ω o = t (4)

semnalul descris de relaţia (1) va fi unul nestaţionar.În primă aproximaţie semnalul din relaţia (1) este util

pentru descrierea funcţionării unui oscilator, putând fi folosit

60

pentru proiectarea acestui circuit. Dar variaţiile tensiunii dealimentare a oscilatorului se reflectă asupra amplitudiniisemnalului de la ieşirea sa, iar variaţiile de temperatură potproduce modificări ale frecvenţei de oscilaţie. De asemenea,relaţia (1) nu este adecvată pentru descrierea regimurilor depornire şi oprire ale oscilatorului. Iată de ce, la o analiză maiatentă, semnalul de la ieşirea unui oscilator trebuie consideratca fiind nestaţionar.

Şi în cazul semnalelor aleatoare, folosite pentru modelareaunor fenomene reale (vibraţiile unor maşini unelte, zgomotul unuimotor electric, ş.a.m.d.), ipoteza de staţionaritate trebuieevitată tot mai frecvent.

Fenomenele nestaţionare pot fi clasificate în douacategorii: adaptive şi evolutive .

În cazul fenomenelor nestaţionare adaptive,nestaţionaritatea este suficient de lentă pentru a se puteapresupune, pentru intervale scurte de timp, că parametriisemnalelor sunt constanţi.

Fenomenele nestaţionare evolutive necesită modalităţi dedescriere globală a variaţiilor parametrilor lor. De aceea, înacest caz, aceste variaţii pot fi rapide.

Rezultă că pentru analiza semnalelor nestaţionare adaptiveeste necesară o prelucrare localizată în timp. De aceea în acestcaz nu poate fi utilizată transformata Fourier.

Deci a apărut necesitatea introducerii unor noitransformări. Reprezentările timp-frecvenţă sunt uneltelenecesare pentru analiza semnalelor nestaţionare. Această analizăpresupune identificarea parametrilor acestor semnale. Pe listaacestor parametri trebuie incluşi: momentele de timp de începereşi terminare a semnalului, energia sau puterea semnalului,amplitudinea instantanee, frecvenţa instantanee, banda defrecvenţă instantanee a semnalului, etc.

Se reaminteşte definiţia frecvenţei instantanee a unuisemnal, [1]. Se consideră în acest scop semnalul real x(t) .

Definiţia 1 Se numeşte transformată Hilbert a semnalului x(t),semnalul:

ττ−τ

π∗

π ∫

+∞

∞−

d t )x(

t1 = x(t)

t1VP = x(t)H

Definiţia 2 Se numeşte semnal analitic asociat semnaluluix(t), semnalul:

x(t)H j + x(t)= (t)xa

Definiţia 3 Se numeşte anvelopă a semnalului x a (t), semnalul:

x(t)H+ (t) x= (t)A 22

61

Definiţia 4 Se numeşte pulsaţie instantanee a semnalului x(t),semnalul:

(t)f 2 = (t)x argdtd = (t) iai πω

În funcţie de aplicaţia avută în vedere este importantăestimarea unuia sau mai multor parametri ai semnaluluinestaţionar. În figura 1 este prezentată o reprezentare "timp-frecvenţă" ideală a semnalului nestaţionar:

( ) t(t) cosA = x(t) oo ω ; cu

[ )[ )[ )

ω

ππ

πo (t) =

f , t t , t f , t t , t

2 f t t , t , in rest

3 5 6

22

0

1 1 2

2 3 4

∈∈

∈

,,

, ,

Semnalul analitic asociat acestui semnal are forma: t(t) j

oaoe A = (t)x ω⋅

Frecvenţa instantanee a semnalului x(t) este:

( )[ )[ )[ )

∈∈∈

ωπ

restin 0,,t,tt ,f

, t,t t ,f , t,t t ,f

= t(t) dtd

21= (t)f

653

432211

oi

Se constată că linia îngroşată din figura 1 este tocmai graficulacestei funcţii.Analizând reprezentarea tridimensională din figura 1, se constatăfaptul că semnalul x(t) se declanşează la momentul t1, fiind osinusoidă cu frecvenţa f1, până la momentul t2, când semnalulîncetează, pentru a se redeclanşa la momentul t3, fiind osinusoidă cu frecvenţa f2 până la momentul t4 când înceteazăpentru a doua oară declanşându-se din nou la momentul t5 fiind osinusoidă cu frecvenţa f3 până la momentul t6 când se sfârşeştedefinitiv. Se constată că proiecţia "reprezentării timp-frecvenţă" din figura 1 pe planul ( ) tA, reprezintă oscilograma

semnalului x(t) , că proiecţia pe planul ( )A f, reprezintă spectrul

"ideal" al semnalului x(t) şi că proiecţia pe planul ( ) tf,reprezintă frecvenţa instantanee a aceluiaşi semnal. Proiecţia peplanul ( ) tA, permite analiza în domeniul timp a semnalului

considerat. Proiecţia pe planul ( )f A, permite analiza semnalului

în domeniul frecvenţă iar proiecţia pe planul ( ) tf, permite analizaîn domeniul modulaţiei. Analizoarele în domeniul modulaţiei

62

afişează legea de variaţie temporală a frecvenţei instantanee asemnalului de analizat. Figura 1 este o reprezentare timp-frecvenţă ideală a semnalului x(t). Se remarcă faptul că aceastăreprezentare face o localizare perfectă în domeniile timp şifrecvenţă ale semnalului considerat. Într-adevăr, momentele t1,t2, t3, t4, t5 şi t6 ca şi frecvenţele f1 f2 şi f3 pot fi exactlocalizate cu ajutorul acestei reprezentări. De aceea aceastăreprezentare a fost numită ideală. O astfel de reprezentare nupoate fi obţinută în practică, dar poate fi utilizată ca modelpentru optimizarea reprezentărilor timp-frecvenţă care seutilizează în practică.

Figura 1 O reprezentare timp frecvenţă ideală.

Se constată că semnalului x(t) i s-a asociat o funcţie dedouă variabile, reprezentarea sa timp-frecvenţă. În continuare seva nota reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului x(t) cu

( ) t, TFx ω . Semnalul x(t) va fi considerat de energie finită.Reprezentarea timp-frecvenţă va fi privită ca şi un operator care

transformă spaţiul ( )R2L într-un spaţiu ( )R×AL2 . Cel mai adesea

acesta este ( )22L R . Valoarea operatorului TF aplicat semnalului x este deci funcţiade 2 variabile ( ) t, TFx ω . Valoarea acestei funcţii în punctul( )oo ,t ω reprezintă valoarea la momentul ot , a componentei

spectrale de pulsaţie oω a semnalului considerat.

63

Deci funcţia ( ) t, TFx ω are semnificaţia de densitate spectro-

temporală a semnalului x(t) . Funcţia ( )ox t, TF ω are semnificaţia despectru instantaneu al semnalului considerat.

2.1. Reprezentarea timp-frecvenţă de tip transformareFourier scurtă

Este o reprezentare liniară definită prin:

( ) τ−ττω ∫∞

∞−

ωτ− d e )t(w )(x = ,tTF

jSTFTx

unde w(t) reprezintă fereastra de observare. De obicei seconsideră că fereastra de observare este un semnal de energieunitară:

1 = w(t) 2L2

Se constată faptul că la momentul t, funcţia ( )ω ,tTFSTFTx

reprezintă spectrul semnalului t) w()x( −ττ , obţinut prinlocalizarea în timp, în jurul momentului considerat, a semnaluluide analizat, )x(τ . Modificând t de la − ∞ la + ∞, fereastratemporală "mătură", forma de undă a întregului semnal deanalizat. Rezultă că fereastra temporală folosită esteresponsabilă pentru localizarea temporală a semnalului deanalizat. Dar, după cum s-a arătat deja, cea mai bună localizareîn planul "timp-frecvenţă" o are semnalul Gaussian. De aceea, oreprezentare timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtăcu proprietăţi bune de localizare în planul timp-frecvenţă artrebui să fie aceea care foloseşte fereastra temporalăGaussiană. Acest tip de transformare Fourier scurtă se numeştetransformare Gabor.

2.2. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville

Considerând semnalul de energie finită x(t) , i se asociazănucleul:

( )

τ−

τ

τ− 2 t x

2 +t x = t,K *

VW

Transformarea Fourier a acestei funcţii, în raport cu variabilaτ , poartă numele de reprezentare timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville:

( ) τ

τ−

τ

ω τω−∞

∞−

− ∫ d e 2

t x2

+tx = t,TF j

*VWx

Aceasta este o reprezentare biliniară.

64

3. Estimarea frecvenţei instantanee folosind reprezentăritimp-frecvenţă

O proprietate remarcabilă a reprezentării timp frecvenţă aunui semnal este concentrarea acestei în jurul curbei, din planultimp-frecvenţă, de variaţie a frecvenţei sale instantanee. Deaceea o metodă de estimare a frecvenţei instantanee se poate bazape proiecţia liniei de creastă a unei reprezentări timp-frecvenţăpe planul timp-frecvenţă. O astfel de metodă are avantajul cădifuzează în planul timp frecvenţă zgomotul care perturbă aditivsemnalul a cărui frecvenţă instantanee trebuie estimată.

Dacă reprezentarea timp frecvenţă folosită este una liniarăapare dezavantajul unei concentrări mai reduse pe curba devariaţie a frecvenţei instantanee. Dacă reprezentarea timp-frecvenţă folosită este biliniară apare dezavantajul prezenţeitermenilor de interferenţă care produc vârfuri ale reprezentăriicare nu se găsesc pe linia de creastă a acesteia.

4. O nouă metodă de estimare a frecvenţei instantanee asemnalelor nestaţionare perturbate aditiv de zgomot

Metoda propusă în această lucrare are următorii paşi:

1. Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor asemnalului achiziţionat.

2. Se filtrează rezultatul obţinut folosind un filtru hard-thresholding bidimensional.

3. Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a semnalului achiziţionat.

4. Se înmulţesc rezultatele obţinute la punctele 2 şi 3obţinându-se o nouă imagine. De pe această imagine poate ficitită frecvenţa instantanee a semnalului de analizat. Înacest scop poate fi făcută şi o scheletizare a acesteia.


1. Se rulează programul PLINIAR.m. Se înregistrează rezultatele.2. Se rulează programul PPATRAT.m. Se înregistrează rezultatele.3. Se rulează programul PSUMA.m. Se înregistrează rezultatele.4. Se compară rezultatele obţinute în această lucrare cu

rezultatele obţinute în lucrarea anterioară. Care dintremetodele de estimare a frecvenţei instantanee vi se pare maibună ?

65

LLUUCCRRAARREEAA NNRR 1100FILTRU MEDIAN ADAPTIV

1. Scopul lucrării

Se studiază o categorie de filtre numerice neliniare cu performanţe foarte bune laprelucrarea impulsurilor. Este vorba despre acea categorie de filtre al cărei element centraleste filtrul median.

2. Filtre numerice cu ordonare statistică

Dacă NXXX ,...,, 21 este un şir de variabile aleatoare atunci prin ordonarea lor după valoarese obţine şirul de inegalităţi:

( ) ( ) ( )NXXX ≤≤≤ ...21 (1)Variabila aleatoare ( )iX se numeşte a i-a variabilă aleatoare în ordonare statistică. Pe bazaacestei ordonări se poate determina mediana secvenţei de variabile aleatoare considerată,folosind următoarea definiţie:

( )

( ) ( )

=+

+== +

+

ν

ννν

ν

22

12,1

1

NdacaXX

NdacaXXmed i

Considerând semnalul [ ]nx şi fereastra dreptunghiulară [ ]nw , de lungime N, centrată pemomentul n, prin înmulţirea lor se obţine semnalul [ ]nx , care la momentul n are N eşantioane.Considerând că acestea ar reprezenta secvenţa de variabile aleatoare de mai sus, medianaacesteia este răspunsul "filtrului median" la semnalul [ ]nx , la momentul n. Deplasând fereastra[ ]nw peste semnalul [ ]nx , (prin centrarea sa succesivă pe diferite momente de timp) se obţine

răspunsul filtrului median la semnalul [ ]nx . În figura următoare se reprezintă câteva exemplede semnale precum şi răspunsurile unui filtru median, cu N de valoare 7, la aceste semnale.

Figura 1. Câteva exemple de funcţionare a unui filtru median, N de valoare 7.

[ ]nx [ ]ny

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n

66

Analizând figura 1 se constată că pentru semnale de intrare monotone, prin filtrare medianănu se modifică forma semnalului. Aproximarea semnalelor monotone pe porţiuni prin filtraremediană este afectată de erori. Acestea se manifestă la momentele de timp la care monotoniasemnalului se schimbă. De asemenea se constată eficienţa filtrului median la eliminareazgomotului de tip impuls care perturbă aditiv semnalul de prelucrat. Este remarcabilă şicalitatea răspunsului indicial al filtrului median.

Tot pe baza ordonării statistice descrise de relaţia (1) pot fi obţinute diferite combinaţiiliniare ale elementelor acesteia:

( )∑=

=n

iiin XaT

1(2)

cărora le corespund filtrele cu ordonare statistică corespunzătoare.Prin extragerea repetată a medianei poate fi obţinut un alt tip de filtru, numit filtru

median recursiv. Legătura intrare-ieşire pentru un astfel de sistem este:

[ ] ( )νν +−−= iiii xxyymediy ,...,,,..., 1 (3)

Pentru a combina avantajele filtrelor liniare cu cele ale filtrului median au fostconcepute filtrele mediane hibride, caracterizate de următoarea legătură intrare-ieşire:

[ ] ( ) ( ) imi xxmediy ϕϕ ,...,1= (4)

unde ( ) mkxik ,1, =ϕ , sunt răspunsurile a m filtre liniare la semnalul ix . De exemplu relaţia(4) poate lua forma:

[ ]

= ∑ ∑

= =+−

ν ν

νν 1 1

1,,1

j jjiiji xxxmediy

3. Construcţia unui filtru numeric median

Pentru filtrarea mediană e necesar să se grupeze eşantioanele din fereastră în ordinecrescătoare, pentru fiecare poziţie a ferestrei şi să se determine, prin comparaţii succesive,mediana secvenţei din fereastră.

Considerând că semnalul de intrare [ ]nx are forma:

[ ] [ ] [ ]nxnxnx ad += (5)

unde [ ]nxd este un semnal util iar [ ]nxa o perturbaţie, răspunsul filtrului median poate fi pus înforma:

[ ] [ ] [ ]nynxny ad += (6)

unde [ ]nya reprezintă zgomotul de la ieşirea sistemului. Raportul semnal pe zgomot la intrareaîn filtru se poate calcula cu relaţia:

67

[ ]

[ ]∑

∑

=

== M

ia

M

id

iix

ix

RSZ

0

2

0

2

(7)

iar la ieşire cu relaţia:

[ ]

[ ]∑

∑

=

== M

ia

M

id

oiy

ix

RSZ

0

2

0

2

(8)

Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinută este:

[ ]

[ ]∑

∑

=

=== M

ia

M

ia

io

iy

ix

RSZRSZ

0

2

0

2

χ (9)

În stabilirea acestei formule s-a considerat că secvenţa [ ]nx este de durată limitată M.Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot realizată de sistemele liniare şi invariante în timpeste invers proporţională cu banda echivalentă de zgomot a acestora. De obicei aceasta este cuatât mai mare cu cât ordinul filtrului este mai mic. O cale de creştere a ordinului filtrului fărăa i se modifica răspunsul în frecvenţă este recircularea semnalului care trebuie filtrat. Aceastăprocedură presupune următorii paşi:

- Prin filtrarea semnalului de intrare de durată limitată [ ]nx se obţine răspunsul [ ]ny1 .- Folosind acelaşi filtru se prelucrează semnalul [ ]ny1 obţinându-se semnalul [ ]ny2 .- Procedeul descris se repetă de atâtea ori de câte ori se doreşte să fie crescut ordinul

filtrului.Un parametru al filtrului median care controlează îmbunătăţirea raportului semnal pe

zgomot introdusă de acest sistem este lungimea ferestrei temporale folosite. În această lucrarese propune o nouă tehnică de filtrare adaptivă. Aceasta presupune realizarea unei succesiunide filtrări mediane cu recirculare. La sfârşitul fiecărei filtrări mediane cu recirculare, estescăzută lungimea ferestrei temporale şi o nouă filtrare mediană cu recirculare începe pornindcu ultima secvenţă obţinută în filtrarea mediană cu recirculare anterioară. Filtrarea medianăadaptivă se încheie la sfârşitul filtrării mediane cu recirculare care foloseşte cea mai scurtăfereastră. Fiecare filtrare mediană cu recirculare ia sfârşit atunci când o nouă aplicare a acestuiprocedeu nu mai modifică valoarea vreunui eşantion.


4.1. Se verifică exemplele din figura 1, folosind programul testfm.m.4.2. Se experimentează un filtru median prin filtrarea a trei semnale de intrare distincte.

Vor fi folosite valori diferite pentru lungimea ferestrei N. Componentele deterministeale semnalelor de intrare, [ ]nxd , vor fi de forma: dreptunghiulară, trapezoidală şitriunghiulară. De fiecare dată se va completa un tabel de forma:

68

x[n] [ ]nxd [ ]nxa [ ]ny [ ] [ ] [ ]nxnyny da −=

… … … … …

Pe baza valorilor din tabel se vor calcula valorile rapoartelor semnal pe zgomot de la intrare şiieşire folosind formulele (7) şi (8) respectiv îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot,obţinută, folosind relaţia (9).Apoi se vor reprezenta grafic formele de undă ale semnalelor de intrare respectiv de ieşire.Pentru semnalul dreptunghiular se va folosi programul dre3.m, pentru semnalul trapezoidalprogramul tra5.m iar pentru semnalul triunghiular programul tri7.m

4.3. Se experimentează un filtru median cu recirculare. Se studiază efectul creşterii număruluide recirculări. În acest scop se efectuează trei experimente, cu semnal de intrare avândcomponenta utilă dreptunghiulară, crescându-se de la experiment la experiment numărul derecirculări. Se va utiliza programul recircdre.m.4.4. Se experimentează un filtru median adaptiv. Se va folosi programul adaptdre.m

69


MMĂĂSSUURRAARREEAA FFRREECCVVEENNŢŢEEII IINNSSTTAANNTTAANNEEEE AA SSEEMMNNAALLEELLOORRMMOODDUULLAATTEE ÎÎNN FFRREECCVVEENNŢŢĂĂ CCUU PPUURRTTĂĂTTOORR SSIINNUUSSOOIIDDAALL ŞŞII

MMOODDUULLAATTOORR PPOOLLIINNOOMMIIAALL,, PPEERRTTUURRBBAATTEE AADDIITTIIVV DDEE ZZGGOOMMOOTT,,FFOOLLOOSSIINNDD FFIILLTTRRAARREEAA AADDAAPPTTIIVVĂĂ ŞŞII ÎÎMMBBUUNNĂĂTTĂĂŢŢIIRREEAARRAAPPOORRTTUULLUUII SSEEMMNNAALL PPEE ZZGGOOMMOOTT CCUU FFUUNNCCŢŢIIII WWAAVVEELLEETT

1.Scopul lucrării.

Metoda de estimare a frecvenţei instantanee, prezentată în lucrarea 7, foloseşte unestimator care conduce la dispersii relativ mari ale estimatei. În lucrarea de faţă seprezintă o cale de reducere a acestei dispersii bazată pe denoising. Această metodă decreştere a raportului semnal pe zgomot a fost studiată în lucrarea 4.

2. Dezavantajul utilizării filtrării adaptive

Deoarece algoritmii de filtrare adaptivă converg slab (ei converg doar în probailitate)estimările bazate pe filtrarea adaptivă au dispersii însemnate. De exemplu pentrusemnalul cu frecvenţa instantanee (cu variaţie polinomială, este vorba de un polinom degradul 3), din figura 1, acoperit de zgomot alb (semnalul achiziţionat are raportul semnalpe zgomot egal cu 1) se obţine estimata din figura 2.

Figura 1. Frecvenţa instantanee a semnaluluiacoperit de zgomot.

Figura 2. Estimata frecvenţei instantanee obţinutăprin filtrare adaptivă.

Pentru a putea utiliza această estimată la măsurarea frecvenţei instantanee a semnaluluiconsiderat trebuie redusă dispesia sa. În acest scop, se poate utiliza teoria funcţiilorwavelet.

70

3. Funcţii wavelet şi polinoame

Semnalele polinomiale au o proprietate reamrcabilă:

Transformata wavelet discretă a unui polinom de gradul P are toţi coeficienţii de detaliunuli dacă pentru calcul său se foloseşte o funcţie wavelets mother cu P+1 momente nule.

În consecinţă dacă se alege corespunzător funcţia wavelets mother atunci se poate obţine cea maimare concentrare energetică în domeniul transformării wavelet discretă pentru un polinom de unanumit grad.Pe baza acestei proprietăţi, se prezintă în continuare o nouă strategie de denoising. Aceasta vaavea cei trei paşi ai algoritmului clasic dar va face selecţia pragului filtrului de tip soft thresoldingfolosind o idee nouă. Paşii noii metode sunt:1. Se calculează transformata wavelet discretă a semnalului de frecvenţă instantanee (de exemplual semnalului cu graficul din figura 2) ştiind că acesta are gradul P şi folosind o funcţie waveletsmother cu P+1 momente nule şi patru iteraţii. Se obţine semnalul wt[n].2. Se filtrează semnalul obţinut cu un filtru de tip soft thresolding al cărui prag, t, secalculează după cum urmează:

- se împarte suportul semnalului wt[n] în 2 segmente egale. Semnalul de pe cel de aldoilea segment se va nota wt2[n]. Coeficienţii corespunzători celui de al doileasegment vor fi doar ai zgomotului (coeficienţii de pe acest interval corepunzătorisemnalului util vor fi nuli conform proprietăţii de mai sus). Aceşti coeficienţicorespund unui zgomot alb de medie nulă şi dispersie σ distribuit Gaussian.

- se estimează dispersia semnalului wt2[n], σ. Pentru a înlătura complet zgomotul seaplică regula celor 3 σ (se alege pragul filtrului soft thresholding t egală cu 3 σ).

4. Se calculează transformata wavelet discretă inversă, obţinîndu-se rezultatul estimăriifrecvenţei instantanee.


În această lucrare se utilizează programul notch-demom3m.m. În cadrul acestui programse compară metoda clasica de denoising cu metoda noua, propusa in aceasta lucrare pecazul unui polinom de gradul 3.După rularea programului şi analiza figurilor obţinute (care vor fi salvate în directoruluser, într-un fişier cu numele studentului) se vor cere, în fereastra Matlabului, valorileîmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot, pentru metoda clasica, imbf şi pentru nouametodă, imbf2, respectiv valorile maxime ale erorii absolute de aproximare în cazulmetodei clasice, errabsmax, respectiv ale erorii absolute de aproximare în cazul noiimetode, errabsmax2.

71


ÎÎMMBBUUNNĂĂTTĂĂŢŢIIRREEAA RRAAPPOORRTTUULLUUII SSEEMMNNAALL PPEE ZZGGOOMMOOTT ÎÎNN CCAAZZUULLPPEERRTTUURRBBĂĂRRIIII CCUU ZZGGOOMMOOTT MMUULLTTIIPPLLIICCAATTIIVV

1.Scopul lucrării.

Studiul unui metode de creştere a RSZ, bazată pefolosirea funcţiilor wavelet în cazul în care semnalul utileste perturbat cu zgomot multiplicativ.

2. Un exemplu de aplicaţie în care apare zgomotmultiplicativ

Imaginile formate de sistemele radar, in particular deradarele cu apertură sintetică (SAR) sunt perturbate dezgomot de tip speckle. Acesta este un zgomot multiplicativnegaussian. Pentru diminuarea efectelor acestor perturbaţiipot fi folosite filtre cu ordonare statistică. Din păcate nuse obţin rezultate spectaculoase. De aceea în continuare seprezintă o soluţie bazată pe metoda de denoising, prezentatăîn lucrările de laborator anterioare.Semnalul achiziţionateste de forma:

[ ] [ ] [ ]nznuns ⋅= (1)

unde u[n] reprezintă partea utilă iar z[n] este zgomotulperturbator. Zgomotul de tip speckle este necorelat cusemnalul util şi este un semnal aleator staţionar cu medieunitară şi dispersie σ . În cazul imaginilor SAR domeniulde variaţie al lui 2σ este cuprins între 0.273 şi 1.

3. Metoda de denoising propusă

Principala diferenţă între scenariul de denoising propus deDonoho (şi folosit în lucrările de laborator anterioare) şiscenariul propus în continuare este modul de cuplare alzgomotului la semnalul util. Să presupunem că semnalelex[n], u[n] şi z[n], din relaţia (1) sunt pozitive. Luândlogaritm în cei doi membri ai acestei relaţii se obţine :

]n[zlog]n[ulog]n[slog 101010 += (2)

72

şi folosind notaţile:

]n[zlog]n[n

],n[ulog]n[x,]n[slog]n[x

10i

1010i=

== (3)

se obţine un model de semnal specific pentru metoda clasicăde denoising a lui Donoho. După aplicarea acesteiarezultatul trebuie antilogaritmat pentru a se obţineestimarea lui u[n]. Puterea semnalului u[n] va ficonsiderată cunoscută. Folosind această valoare se poatecalcula constanta ( )u10f Plog

21P ⋅= . Paşii algoritmului de

îmbunătăţire a RSZ propus în lucrarea de faţă sunt:1. Se calculează logaritmul semnalului s[n], obţinândsemnalul ]n[x i .2. Se aplică metoda de denoising.2.1. Se calculează transformata wavelet discretă asemnalului ]n[x i , obţinândt semnalul yi[n].2.2.1-2.2.k. Pornind de la o valoare mică de prag , 0t , sefiltrează semnalul yi[n], cu un filtru de tip softthresholding. Se obţine semnalul ]n[y 1,o . Se calculeazăputerea acestui semnal şi se compară cu fP . Dacă putereasemnalului ]n[y 1,o , 1,oP , este superioară lui fP atunci seefectuează o nouă filtrare, folosind aceaşi valoare de prag

0t . Se obţine semnalul ]n[y 2,o având puterea 2,oP . Dacă aceastăvaloare este mai mare decât fP atunci se repetă ultimaiteraţie. Iteraţia finală, a k-a, este aceea în care, pentruprima dată, puterea semnalului de la ieşirea filtrului softtresholding, k,oP , devine inferioară valorii fP .Semnalul rezultat la sfârşitul acestui pas este ]n[y 1k,o − .2.3. Se calculează transformata wavelet discretă inversă asemnalului ]n[y 1k,o − obţinându-se semnalul ]n[x0 .3. Deoarece acest semnal reprezintă logaritmului estimăriisemnalului util, ultimul pas al metodei de denoising propusăeste inversarea acestui logaritm.


În această lucrare se utilizează programul Speckle.mDupă rularea programului şi analiza figurilor obţinute (carevor fi salvate în directorul user, într-un fişier cu numelestudentului) se vor cere, în fereastra Matlabului, valorile

73

raportului semnal pe zgomot la intrare, RSZin, la ieşireRSZout şi a îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot, imbf.Programul se va rula de trei ori pentru RSZin de valori înjur de 0,1, 1 şi 10.

74

Seminar 11.1. Fiind date matricele A, B şi C demonstraţi că:

BAAB ≠( ) ACABCBA +=+

( ) TTT ABAB =

simetricaAsimetricaA 1 −⇒− −

1.2. Determinaţi elementele matricei de autocorelaţie:

( ) ( )( ) ( )

=

0R1R1R0R

R

ştiind că valorile sale proprii sunt: 2,11 =λ şi 8,02 =λ .

1.3. Fiind dată matricea de autocorelaţie:

( ) ( )( ) ( )

=

0R1R1R0R

R

să i se determine valorile proprii 1λ şi 2λ . Să se haşureze zonadin planul ( ) ( )( )1R,0R în care cele două valori proprii suntpozitive.

1.4. Determinaţi autocorelaţia secvenţei [ ]

π= n

5sinnx .

1.5. Semnalul de tip zgomot alb de valoare medie nulă şi dedispersie 2σ , [ ]nz este adus la intrarea sistemului liniar şiinvariant în timp discret cu răspunsul în frecvenţă dinfigură:

a) Determinaţi densitatea spectralã de putere a semnalului [ ]nz .b) Determinaţi şi reprezentaţi grafic densitatea spectrală de

. . .. . .

( )ΩH

2σ

2π

−2π

23π Ω

75

putere a semnalului de la ieşire.c) Calculaţi autocorelaţia semnalului de la ieşire.d) Calculaţi puterea semnalului de la ieşire.1.6. Se consideră sistemul liniar şi invariant în timp cu răspunsul

la impuls [ ] [ ]∑−

=−δ

=

1N

0kkn

N1nh .

a) Determinaţi răspunsul în frecvenţă al sistemului considerat.b) Determinaţi răspunsul sistemului considerat la semnalul de tip

zgomot alb de valoare medie nulă şi dispersie 2σ . Calculaţimedia şi dispersia acestui semnal aleator.

1.7. Expresia erorii medii pătratice de aproximare a semnaluluide la intrarea unui filtru adaptiv prin semnalul de la ieşireaacestuia este:

WP2RWWa TT −+=ξunde:

=

LL2L1L

L22221

L11211

R...RR

.

.

.R...RRR...RR

R

=

−1L

1

0

w

.

.

.ww

W

=

L

2

1

p

.

.

.pp

P

Demonstraţi că:

( )PRW2 −=∇

1.8. Se consideră sistemul din figură:

Desenaţi suprafaţa de eroare a acestui filtru adaptiv ştiind cã:

1dxE;4dE;1xE k1k2k

21k === −−

kx1z−

kd

kε1w

76

Soluţii1.1.

=

43

21

aaaa

A

=

43

21

bbbb

B

++++

=44233413

42213211

babababababababa

AB

++++

=44233413

42213211

abababababababab

BA

Se constată că BAAB ≠

=

43

21

cccc

C ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++++++++++++

=+444223334113

442221332111

cbacbacbacbacbacbacbacba

CBA

++++++++++++

=+4444232334341313

4242212132321111

cabacabacabacabacabacabacabacaba

ACAB

Se constată că:

( ) ACABCBA +=+

( )

++++

=44234221

34133211T

babababababababa

AB

++++

=44234221

34133211TT

babababababababa

AB

Deci:

( ) TTT ABAB =

Fie matricea A simetricã:

=

abba

A .Prin inversare se obţine matricea:

−

−

−=−

abba

ba1A 22

1

Se constată că şi această matrice este simetrică.

1.2.Valorile proprii ale matricei R sunt soluţiile ecuaţiei:

( ) 0IRdet =λ−

unde I este matricea unitate.Ecuaţia de mai sus se mai scrie:

[ ] [ ][ ] [ ] 0

0R1R1R0R

=λ−

λ−

77

adică:[ ]( ) [ ] 01R0R 22 =−λ−

sau:[ ] [ ] [ ] 01R0R0R2 222 =−+λ−λ

Rădăcinile acestei ecuaţii sunt:[ ] [ ]1R0R2,1 ±=λ

Se obţine sistemul de ecuaţii:

[ ] [ ][ ] [ ]

=−=+

8,01R0R2,11R0R

cu soluţiile:

[ ] [ ] 2,01R;10R ==

1.3.Conform exerciţiului anterior:

[ ] [ ] [ ] [ ]1R0R;1R0R 21 −=λ+=λ

[ ] [ ] [ ] [ ]1R0R0;1R0R0 21 >⇒>λ−>⇒>λ

1.4.[ ]

π= n

5sinnx . Este un semnal periodic de perioadã N,

5N2 π

=π , deci 10N = .

Autocorelaţia semnalului x se calculeazã cu formula:[ ] [ ] [ ] ( )∑∑

==

+π

π=+=

9

0n

9

0nx mn

5sinn

5sin

101mnxnx

101mR

Dar:

[ ]1R

[ ]0R

78

( ) ( )[ ]β+α−β−α=βα coscos21sinsin

De aceea:( ) ( )

+

π−

π=

+ππ mn2

5cosm

5cos

21mn

5sinn

5sin

În consecinţă :[ ] ( )∑

=+

π−

π=

9

0nx mn2

5cos

201m

5cos10

21

101mR

Dar:

( )( ) ( )

+=+

π +π

−+π mn2

5jmn2

5j

ee21mn2

5cos

Aşadar:

( ) 0

e1

e1e

e1

e1e21eeee

21mn2

5cos

52j

4jm5

j

52j

4jm5

j9

0n

9

0n

9

0n

n5

2jm5

jn5

2jm5

j=

−

−+

−

−=

+=+π

π−

π−π−

π

ππ

= = =

π−

π−

ππ

∑ ∑ ∑ Dec

i:[ ] m

5cos

21mR x

π=

1.5.a)

[ ] [ ] ( ))

( ) ( ) ( ) ( )Ωδ∗

π

+Ωσ−

π

−Ωσσ=ΩΩΦ=ΩΦ

σ=ΩΦ⇒δσ=

π222

pp

2p

2z

22H

b

nnR

ze

z

. . .. . .

( )ΩΦep

2σ

2π

−2π

23π Ω

79

c)

[ ]n

n2

sinee

jn1

2de

jn1

2de

21nR

2n

2jn

2j22

2

nj22

2

nj2e π

πσ

=

−

πσ

=

πσ

=Ωσπ

=π

−π

π

π−

Ω

π

π−

Ω ∫∫

d)[ ]

20RP

2

eσ

==

1.6.[ ] [ ]∑

−

=−δ

=

1N

0kkn

N1nh

a) ( ) [ ]( )

∑∑−

=

Ω−−Ω−

∞

−∞=

Ω−

Ω

Ω===Ω

1N

0n

21Njjn

n

jn

2sin

2Nsin

eN1e

N1enhH

b) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∑∑−

=

−

=−==⇒−=∗=

1N

0k

1N

0kknzE

N1nyEmknz

N1nznhny

Dar zgomotul alb este staţionar şi se poate scrie:

[ ] [ ] 0m0nzEknzE =⇒==−

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ∑ ∑∑

∑ ∑∑∑

−

=

−

≠=

−

=

−

=

−

≠=

−

=

−

=

−−+

−

=

=

−−

+−

=

−

==σ

1N

0k

1N

kl0l

2

1N

0k

22

1N

0k

1N

kl0l

21N

0k

2221N

0k

22e

lnzknzEN2knzE

N1

lnzknzN12knz

N1Eknz

N1EnyE

Dar zgomotul alb este necorelat [ ] [ ]( )nnR z δ= şi :

[ ] [ ] [ ] [ ] klpentru0lklkRlnzknzE z ≠=−δ=−=−−

iar:

[ ] [ ] ∑ ∑∑−

=

−

=

−

=σ=σ=−=

−1N

0k

1N

0k

2221N

0k

2 NknzEknzE

Deci:

( )N

NN1 2

22

2e

σ=σ=σ

80

1.7.

++

++++++

=

−

−

−

1LLL12L01L

1LL2122021

1LL1112011

wR...wRwR......

wR...wRwRwR...wRwR

RW

1LL1201T wp...wpwpWP −+++=

∑ ∑ ∑−

=

−

=

−

=+−++ +++=

1L

0k

1L

0k

1L

0kk1k,L1Lk1k,21k1k,10

T wRw...wRwwRwRWW

( ) ( ) 1l

1L

0k1l,L1L1l,211l.10k1k,1l

T

l

T

llp2Rw...RwRwwRWP

w2RWW

ww +

−

=+−++++ −++++=

∂∂

−∂∂

=∂ξ∂

∑

Dar funcţia de autocorelaţie este parã:

1l,1k1k,1l RR ++++ =De aceea ultima relaţie devine:

∑−

=+++ −=

∂ξ∂ 1L

0k1lk1k,1l

lp2wR2

w

adică:

−

−

−

=∇

∑

∑

∑

−

=+

−

=+

−

=+

1L

0kLkL,1k

2

1L

0kk2,1k

1L

0k1k1,1k

pwR

.

.

.

pwR

pwR

2

Dar:

81

( )

−

−

−

=−

∑

∑

∑

−

=+

−

=+

−

=+

1L

0kLkL,1k

1L

0k2k2,1k

1L

0k1k1,1k

pwR

.

.

.

pwR

pwR

2PRW2

1.8.k1k1k dxw −=ε −

( ) 4w2wdxwE2dExwE

wdx2dxwEdxwEE

121k1k1

2k

21k

21

1k1k2k

21k

21

2k1k1

2k

+−=−+

=−+=−=ε

−−

−−−

1w

2kE ε

1

3

82

Seminar 22.1. O suprafaţã de eroare medie pãtraticã a unui filtru adaptiv cu unsingur coeficient are parametrii: 01,0 min =ξ=λ şi 2w * = . Care esteexpresia analiticã a acestei suprafeţe ?INDICAŢIE

( ) ( )*T*min WWWW −Λ−+ξ=ξ

2.2. Dacã în exerciţiul anterior valoarea iniţialã a lui w este 0w 0 =şi dacã parametrul de convergenţã este 4=µ , care sunt primele 5valori ale lui kw pentru algoritmul descris de relaţia:

( ) ( ) **0

kk www21w +−λµ−= (1)

2.3. Se considerã suprafaţa de eroare medie pãtraticã:11w4w4,0 2 ++=ξ

Dacã 0w 0 = şi 5,1=µ scrieţi expresia şi reprezentaţi grafic curba deînvãţare pentru algoritmul descris de relaţia (1).2.4. Stabiliţi o formã discretã pentru algoritmul lui Newton, descris

de relaţia:

( )( )k

kk1k w''

w'ww

ξξ

−=+ (2)

înlocuind derivatele cu diferenţe finite.2.5. Se considerã suprafaţa de eroare medie pãtraticã:

( )( )[ ] 488,0w1w34w12611 *22 =++−−=ξ

a) Determinaţi relaţia de recurenţã pentru calculul coeficientuluikw folosind relaţia (2).

b) Determinaţi cu 4 zecimale exacte primii 7 coeficienţi de la punctula) considerând cã 0w 0 = .

c) Repetaţi punctul b) pentru 3,1w 0 −= .2.6. Folosind algoritmul lui Newton cu 1,0=µ , matricea iniţialã

=

25

W0 şi matricea optimã

=

31

W* determinaţi expresiile celor cinci

vectori kW .INDICAŢIE

( ) *k1k W2W21W µ+µ−=+

2.7. Fiind datã suprafaţa de eroare:

42w16w14ww2w2w2 101021

20 +−−++=ξ (3)

Determinaţi valoarea minimã a acesteia precum şi vectorul ponderiloroptime.

83

Soluţii

2.1.1,0=λ 0min =ξ 2w* =

( ) ( )**min wwww −λ−+ξ=ξ

( )22w)1,0( −=ξ

2.2.( )( ) 6,1228,01w1 =+−−=

( ) ( ) 92,1208,0228,01w 22 =+−=+−−=

( ) ( ) 9954,1222,0w 33 =+−=

etc.

2.3.

11w4w4,0 2 ++=ξ

( ) 4,0w4w4,0ww 22* =λ⇒+=−λ

54,0

22w4w2w4ww2 *** −=−=λ

−=⇒=λ−⇒=λ−

( ) ( ) ( )( )12,05554,031w kkk −−=−⋅−=

Se reprezintă grafic.

2.4.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )kk1k

0000

1t00

0

00t

www

tw1twt1tt

ttttt

ttlim

dwwd

0

ξ∆=ξ−ξ=

=ξ−+ξ=ξ−+ξ=∆

ξ−∆+ξ≅

−ξ−ξ

=ξ

+

=∆

→

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )k1k2kk2

2ww2ww

tdwtwd

ξ+ξ−ξ=ξ∆∆≅ξ

++

Înlocuind în relaţia dată se obţine:

( ) ( )( ) ( ) ( )k1k2k

k1kk1k ww2w

wwww

ξ+ξ−ξξ−ξ

−=++

++ (2’)

2.5.

( )( )[ ] 488,0w1w34w12611 *22 =++−−=ξ

( ) ( )( )[ ] 4k

3k

2kk

2k

2kk w

269w

136w

267w

136

2691w34w1

2611w +++−=++−−=ξ

84

Se înlocuieşte în relaţia (2’) şi se stabileşte relaţia de recurenţă cerută, etc.

2.6.

( ) *01 W2W21W µ+µ−=

=

+

=

2,22,4

31

2,025

8,0W1

=

+

=

36,256,3

31

2,02,22,4

8,0W2

=3W=4W=5W

2.7.( ) ( )*T*

min WWWW −Λ−+ξ=ξDar:

[ ] 2*122

*1

*021

*0

*112

2*011

T*11

*00

2221

1211T

*11

*00 wwwwww...wwww

wwww

λ+λ+λ+λ==−−

λλλλ

−−

Se obţine expresia erorii ξ . Prin identificare cu relaţia (3) se obţine:

2,2,2 21122211 =λ+λ=λ=λ

14www2 *121

*112

*011 −=λ−λ−λ− sau 7ww2 *

1*0 =+

16w2ww *122

*021

*012 −=λ−λ−λ− sau 8w2w *

1*0 =+

Se obţine sistemul de ecuaţii:

=+=+

8w2w7ww2

*1

*0

*1

*0

cu soluţiile 2w*0 = şi 3w*

1 = . Se poate deci scrie: 1812842 min +++ξ= adică: 4min =ξ .

85

Seminar 3

3.1. Demonstraţi cã pentru o suprafaţã de eroare medie pãtraticã ( )wξ derivatele de ordinele I şiII pot fi calculate exact folosind diferenţe finite:

( ) ( )δ

δ−ξ−δ+ξ=

ξ2

wwdwd

( ) ( ) ( )22

2 ww2wwd

dδ

δ−ξ+ξ−δ+ξ=

ξ

INDICAŢIE

( ) cbwaww 2 ++=ξ

3.2. Un sistem adaptiv cu o singurã pondere are o suprafaţã de eroare datã de:

23w20w5 2 +−=ξ

Faceţi un grafic al acestei suprafeţe pe care evidenţiaţi valorile: λξ ,w, *min .

INDICAŢIEVVT

min Λ+ξ=ξ

3.3. Este posibilã o valoare negativã pentru pierderea de performanţã γ în cazul uneisuprafeţe de eroare pãtratice ?

INDICAŢIE

( ) ( )[ ] ( )vvv21

ξ−δ+ξ+δ−ξ=γ

3.4. Care este valoarea perturbaţiei în cazul exerciţiului 3.2. ?

INDICAŢIE

( ) 1;1L

Pmin

L

0nn

2

=δ+ξ

λδ=

∑=

3.5. Se considerã filtrul transversal cu suprafaţa de eroare:42w16w14ww2w2w2 1010

21

20 +−−++=ξ

la a cãrui intrare este adus un semnal cu eşantioanele corelate, astfel încât 2xxE kk = şi 1xxE 1kk =− . Care este valoarea perturbaţiei P dacã 0δ=δ ?

86

3.6. Sã se determine momentul de ordinul 4 al variabilei aleatoare uniforme având densitateade probabilitate cu graficul din figurã:

3.7. Cunoscând semnalele în timp discret cauzale kx şi ky , legate prin relaţia:

k1kk byaxx += − , determinaţi prin inducţie completã o expresie nerecurentã pentru kx .

3.8. Demonstraţi cã în cazul în care D este o matrice diagonalã e valabilã relaţia:

( )∑∞

=

−−=0n

1n DID

unde cu I s-a notat matricea unitate. Care sunt condiţiile de convergenţã ?

3.9. Considerând cã sunt îndeplinite condiţiile din exerciţiul 3.5. şi presupunând cã gradientuleste estimat pe baza a 50 de observaţii ale erorii la fiecare pas al ponderilor, determinaţimatricea de covarianţã a estimãrii gradientului. Se va presupune cã kε este distribuit uniform.

INDICAŢIE

IN

ˆcov 2

2min

kδ

ξ=∇

( )xpξ

01 2 3 x

21

87

Soluţii

În lucrarea de laborator nr.5, dedicatã studiului algoritmului LMS, s-a obţinut urmãtoareaformulã pentru cãutarea minimului erorii pe baza anulãrii gradientului:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( )[ ]( )

[ ] ( )[ ]( )

−∂ε∂

∂ε∂

=∇∇µ−=+ −

1LwkE

.

.

.0wkE

k;kRkW1kW

k

2

k

2

1 (1)

Aceastã metodã de determinare a minimului erorii a fost numitã metoda lui Newton. Încontinuare se justificã aceastã denumire.În cazul 1L = , relaţia (1) devine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]1Lw

kEkcukrkw1kwk

21

−∂ε∂

=∇∇µ−=+ − (A)

Sã presupunem cã funcţia de w, 2E ε are graficul din figura 1 şi cã valoarea iniţialã acoeficientului este 0w . Pentru calculul lui [ ]k∇ trebuie calculat ( )0w'f .

Metoda lui Newton de calcul numeric a derivatei unei funcţii (despre care se vorbeşte înproblema 3.1.) presupune urmãtoarea formulã de calcul:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0

001

10

0

01

010 w'f

wfww

wwwf

wwwfwf

w'f −=⇒−

≅−−

≅

Dacã se estimeazã ( )1w'f se va obţine un punct 2w ş.a.m.d. Aceste puncte sunt din ce în ce maiapropiate de punctul cãruia îi

( )wf

w

1w 0w

α

0

88

corespunde minimul funcţiei ( )wf . Relaţia de recurenţã care stã la baza determinãrii absciseiminimului unei funcþii este:

( )( )k

kk1k w'f

wfww −=+

O formã alternativã a acestei relaţii de recurenţã poate fi obţinutã prin înlocuirea derivatei dinrelaţia anterioarã cu diferenţa finitã corespunzãtoare:

( ) ( ) ( )1kk

1kkk ww

wfwfw'f

−

−

−−

=

Se obţine:

( )( )( ) ( )1kk

1kkkk1k wfwf

wwwfww

−

−+ −

−−= (B)

Deoarece formulele (A) şi (B) sunt de aceeaşi formã (iar (B) a fost obţinutã folosind formula luiNewton), metoda de cãutare a minimului descrisã de relaţia (1) a fost numitã de tip Newton. Încontinuare se prezintã soluţia problemei 3.1.

bav2v

+=∂ξ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bav2...2

cvbvacvbva2

vv 22+==

δ−δ−−δ−−+δ++δ+

=δ

δ−ξ−δ+ξ

S-a demonstrat astfel cã:

( ) ( )δ

δ−ξ−δ+ξ=

∂ξ∂

2vv

v

Tot prin calcul direct se poate justifica şi cea de a doua relaţie:

( ) ( ) ( )22

2 vv2va2v δ

δ−ξ+ξ−δ+ξ==

∂

ξ∂

În continuare se prezintã soluţia problemei 3.2.

vv23w20w5 min2 λ+ξ=+−=ξ

unde: ( ) *2*22* ww2wwvwwv −+=⇒−= . Se obţine:

( ) min2**22 www2w23w20w5 ξ+λ+λ−λ=+−

89

Prin identificare se obţine:

32w5 min* =ξ==λ

În cazul 1L ≠ , aşa cum s-a arãtat în lucrarea de laborator deja citatã, la pasul k gradientul secalculeazã cu formula:

[ ] [ ] P2kRW2k −≅∇

Aceastã formulã este inspiratã din formula de calcul al gradientului demonstratã în seminarul 1:

P2RW2 −=∇

Aceastã formulã este însã valabilã doar în cazul în care sunt satisfãcute anumite ipoteze. Deaceea expresia gradientului la momentul k este doar aproximativã. În consecinţã se poate afirmacã estimarea gradientului este doar aproximativã. Eroarea comisã afecteazã procesul deadaptare. Este interesant sã se aprecieze efectul erorii de calcul a gradientului asupra valoriifinale a erorii medii pãtratice minime. În cazul filtrului cu un singur coeficient (L=1) pentruaprecierea înrãutãţirii performanţelor filtrului ca urmare a estimãrii eronate a gradientului seintroduce mãsura γ . Semnificaţia acesteia poate fi desprinsã din figura urmãtoare.

2w* =

3min =ξ

ξ

w

90

Dacã valoarea 0v (la care ar trebui calculat gradientul) este eronatã cu δ± , se construieştedreapta care trece prin punctele de coordonate ( )( )δ−ξδ− 00 v,v şi ( )( )δ+ξδ+ 00 v,v şi sedeterminã γ . Aceasta se va considera mãsura erorii datorate impreciziei de determinare a lui

0v . La aceastã mãrime se referã enunţul problemei 3.3.În continuare se prezintã soluţia problemei 3.3.

cbwaw 2 ++=ξ , cu 0a > deoarece aceastã funcţie are un minim.

( ) ( ) c2bw2a2aw2ww 22 ++δ+=δ+ξ+δ−ξ

( ) ( ) 0awc2bw2a2aw221 222 >δ=ξ−++δ+=γ

Deci γ nu poate fi negativ.

O mãsurã adimensionalã a pierderii de calitate datoratã impreciziei de estimare a gradientului

este: 1LpentruPmin

2

min=

ξλδ

=ξγ

= . Despre aceastã mãsurã este vorba în problemele 3.4

şi 3.5. În continuare se prezintã soluţiile acestor probleme.

3.4.

min2P

ξλ

= ,465P231L,5 min ==ξ==λ

3.5.

=

2112

R 3,13421

12)IRdet( 21

2 =λ=λ⇒+λ−λ=λ−

λ−=λ−

( )vξ

*wwv −=

δ−0v δ+0v

( )δ−ξ 0v

( )δ+ξ 0v

v

γ

0v

91

−+=∂ξ∂

−+=∂ξ∂

16w2w4w

14w2w4w

011

100 În urma egalãrii cu 0 a derivatelor se obţine un sistem de ecuaţii

cu soluţiile: 2w,3w *0

*1 == Valoarea minimã a erorii de aproximare este:

( ) 43,2min =ξ=ξ Valoarea perturbaţiei este:3

P20δ=

În continuare se prezintã rezultatele celorlalte probleme.

3.6.

5242M 4 =

3.7.nn1

1n0

nn byabybyabyax +++= −

3.8.Relaţia se demonstreazã prin verificare. Condiţia de convergenţã este: 1a < .

3.9.

I50

16ˆcov50N,4 2kminδ

=∇==ξ

prelucrarea numerica adaptiva a semnalelor Îndrumator de lucrari

Documents