CAPITOLUL 2

SEMNALE {I SISTEME DISCRETE

2.1. Semnale discrete

Dup\ cum a fost precizat `n capitolul 1, un semnal discret, x[n] ,

este o func]ie a c\rei variabil\ independent\ este un `ntreg [i poate lua

orice valoare real\ sau complex\.

Este de remarcat c\ un semnal discret nu este definit la momente

dintre dou\ e[antioane succesive [i este gre[it a considera c\ semnalul

x[n] este egal cu zero pentru valori ne`ntregi ale variabilei independente.

Obi[nuit, x[k ] define[te al k-lea e[antion al semnalului x[n] ,

indiferent dac\ acesta provine din e[antionarea unui semnal analogic sau

nu.

Un exemplu de semnal discret este reprezentat `n figura 2.1.

Figura 2.1. Reprezentarea grafic\ a unui semnal discret

Pe lng\ reprezentarea grafic\ a unui semnal discret, mai exist\

cteva moduri de descriere a acestora, care uneori sunt mai convenabile:

1. Reprezentarea func]ional\, de exemplu

30

n, n = 1,2,3,4,5

x[n] = 4, n = 6

0, n rest

(2.1)

2. Reprezentarea tabelar\, de exemplu

n- - - - - - - - - - -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 - - - - - - - -

x[n]

---------

0

0 0 1 4

2 0 0 0---------

3. Reprezentarea prin secven]e de numere

O secven]\ infinit\, cu originea timpului marcat\ prin () este

reprezentat\ sub forma

x[n] = {...0, 0, 1, 4, 1, 0, 0...}(2.2)

O secven]\ x[n] ale c\rei valori sunt nule pentru n < 0, se reprezint\ sub

forma

x[n] = {0, 1, 4, 1, 0, 0...}(2.3)

~n acest caz, originea timpului este primul element din stnga al secven]ei

[i marcarea sa este op]ional\.

O secven]\ discret\ de durat\ finit\ se reprezint\ ca

(2.4)x [n ] = {3, -1, -2, 5, 0, 4, 1}

unde () reprezint\ originea timpului, adic\ x[0] .

2.1.1. Cteva semnale discrete elementare

~n prelucrarea numeric\ a semnalelor intervin adesea cteva

semnale de baz\, care vor fi definite dup\ cum urmeaz\:

1. Semnalul impuls unitate, care este descris de

1, n = 0

[n] = (2.5)

0, n rest

[i este reprezentat `n figura 2.2.

31

Figura 2.2. Reprezentarea grafic\ a impulsului unitate

Impulsul unitate joac\ acela[i rol ca distribu]ia Dirac din cazul semnalelor

definite `n timp continuu, dar, spre deosebire de aceasta, [n] este o

func]ie obi[nuit\, nu o distribu]ie. O secven]\ arbitrar\, cum este cea din

figura 2.1, poate fi reprezentat\ ca o sum\ de impulsuri ponderate [i

`ntrziate

x[n] =

2. Semnalul treapt\ unitate, notat u[n], este definit de

1, n N

u[n] =

0, in rest

[i este reprezentat `n figura 2.3.

k =

x[k ] [n k ] , k Z

(2.6)

(2.7)

Figura 2.3. Reprezentarea grafic\ a treptei unitate

Leg\tura `ntre treapta unitate [i impulsul unitate este dat\ de rela]ia

u[n] =

k =

[k ] , k Z

n

(2.8)

care arat\ c\ valoarea treptei unitate la momentul n rezult\ prin

acumularea valorilor precedente ale impulsului unitate.

O alt\ reprezentare a treptei unitate este dat\ de suma de impulsuri unitate

`ntrziate

u[n] = [n k ] , n, k Z

k =0

(2.8')

32

Impulsul unitate poate fi reprezentat ca

[n] = u[n] u[n 1]

3. Semnalul ramp\ unitate, notat uzual cu u r [n] [i definit de

n, n N

u r [n] =

0, in rest

este reprezentat `n figura 2.4.

(2.9)

(2.10)

Figura 2.4. Reprezentarea grafic\ a semnalului ramp\ unitate

4. Semnalul exponen]ial, definit de

x[n] = a n , pentru n Z(2.11)

Pentru a , x[n] este real [i este reprezentat `n figura 2.5 pentru

diferite valori ale lui a.

Dac\ parametrul a este complex, atunci se poate scrie

a = r e j0(2.12)

unde r [i 0 reprezint\ modulul, respectiv faza m\rimii complexe a. ~n

acest caz

x[n] = r n e j0n = r n (cos 0 n + j sin 0 n )(2.13)

Deoarece x[n] este complex, se poate reprezenta grafic partea sa real\

x R [n] = r n cos 0 n(2.14)

ca func]ie de n [i, de asemenea, partea sa imaginar\

x I [n] = r n sin 0 n(2.15)

tot ca func]ie de n.

Pentru un semnal complex discret x[n] se mai poate reprezenta

uneori numai modulul

x[n] = r n ,(2.16)

de asemenea, ca func]ie de n.

Semnalul exponen]ial poate fi scris ca o sum\ de func]ii sinus [i

cosinus ponderate exponen]ial, iar o secven]\ sinusoidal\ ca o sum\ de

exponen]iale.

33

Se observ\ c\ partea real\ [i imaginar\ a lui e j0n variaz\ sinusoidal cu n.

Faptul c\ n este `ntotdeauna `ntreg conduce la diferen]e importante `ntre

propriet\]ile secven]elor exponen]iale complexe [i sinusoidale discrete [i

continue. Pentru a p\stra analogia cu cazul analogic, 0 reprezint\

pulsa]ia sinusoidei complexe [i se m\soar\ `n radiani/e[antion, iar n

num\rul de e[antioane.

Figura 2.5. Reprezentarea grafic\ a semnalului exponen]ial

pentru diverse valori ale lui a

Exponen]ialele complexe sau sinusoidele discrete sunt periodice

de perioad\ 2, deci va fi necesar\ numai considerarea pulsa]iilor din

domeniul fundamental < 0 sau 0 0 < 2 .

2.2. Clasificarea semnalelor discrete

2.2.1.

finit\

Semnale de energie finit\ [i semnale de putere

Energia unui semnal se define[te cu rela]ia

E=

n =

x[n]

34

2

(2.17)

Aceast\ m\rime poate fi calculat\ att pentru semnale reale, ct [i pentru

semnale complexe. Dac\ m\rimea E, definit\ de (2.17) este finit\,

semnalul se nume[te de energie finit\.

Puterea medie a unui semnal discret x[n] se define[te cu rela]ia

N12P = lim(2.18)

x[n]

N 2 N + 1n= N

Dac\ se define[te energia unui semnal pe un interval finit

N n N , ca fiind

EN =

n= N

x[n]

N

2

(2.19)

(2.20)

atunci, energia sa se poate exprima ca

E lim E N

N

[i puterea sa medie

1

EN(2.21)

N 2 N + 1

Evident, dac\ E este finit, P = 0. Pe de alt\ parte, dac\ energia

unui semnal este infinit\, puterea poate fi finit\ sau infinit\. Dac\ puterea

este finit\ ([i diferit\ de zero) semnalul se nume[te de putere finit\.

P lim

Exemplul 2.1.

S\ se determine puterea semnalului treapt\ unitate. Pentru treapta

unitate, puterea este

N1N +1 1

P = limu 2 (n ) = lim= ,

N 2 N + 1N 2 N + 12n =0

deci treapta unitate este un semnal de putere finit\. Din expresia energiei

se observ\ c\ pentru acest semnal energia este infinit\.

Cu defini]iile anterioare, rezult\ c\ semnalul ramp\ unitate, definit

de (2.10), nu este nici de putere, nici de energie finit\.

2.2.2. Semnale periodice [i neperiodice

Un semnal x[n] este periodic, de perioad\ N dac\ [i numai dac\

x[n N ] = x[n] , pentru n ZN `ntreg(2.22)

Cea mai mic\ valoare pozitiv\ a lui N pentru care rela]ia (2.22)

este `ndeplinit\ se nume[te perioad\ fundamental\.

Dac\ nu exist\ nici o valoare pentru N care s\ satisfac\ rela]ia

(2.22), semnalul se nume[te neperiodic sau aperiodic.

35

Energia unui semnal periodic este finit\ pe o perioad\,

0 n N 1 , dac\ x[n] ia valori finite `n acest interval. Energia

semnalelor periodice, pentru < n < , este infinit\. Puterea medie a

semnalelor periodice este finit\ [i este egal\ cu puterea medie pe o

perioad\, dac\ valorile semnalului `n acest interval sunt finite.

1 N 12

P = x[n]

(2.23)

N n =0

Evident, semnalele periodice ce pot lua numai valori finite sunt de

putere finit\.

2.2.3. Semnale pare (simetrice) [i impare (antisimetrice)

Un semnal real x[n] este par, dac\

x[ n] = x[n]

[i impar, dac\

x[ n] = x[n]

(2.24)

(2.25)

Se observ\ c\ pentru semnale impare x[0] = 0 .

~n figura 2.6 sunt prezentate dou\ semnale, unul par (a) [i unul

impar (b).

Figura 2.6. Exemple de semnal par (a) [i impar (b)

Orice semnal discret x[n] poate fi exprimat ca suma a dou\

componente, una par\ [i una impar\. ~ntr-adev\r, dac\ se define[te

1xe [n] = [x[n] + x[ n]](2.26)

2

unde xe [n] satisface condi]ia de simetrie (2.24) [i

36

1[x[n] x[ n]]

2

unde xo [n] satisface rela]ia (2.25), rezult\

x[n] = xe [n] + xo [n]

xo [n] =

(2.27)

(2.28)

2.3. Opera]ii simple cu semnale discrete

~n acest paragraf vor fi considerate cteva opera]ii simple

efectuate asupra variabilei independente [i a amplitudinii semnalului

discret.

Transform\ri ale variabilei independente

Deplasarea `n timp a semnalului. Un semnal x[n] poate fi

deplasat `n timp prin `nlocuirea variabilei independente n cu n k , unde

k Z. Pentru k > 0 , deplasarea `n timp are ca rezultat o `ntrziere a

semnalului cu k unit\]i de timp. Dac\ k < 0 , deplasarea `n timp determin\

un avans al semnalului cu k unit\]i de timp.

Exemplul 2.2.

Fie semnalul x[n] reprezentat `n figura 2.7.a. S\ se reprezinte

semnalele x[n 3] [i x[n + 2] . Semnalele x[n 3] [i respectiv x[n + 2]

sunt reprezentate `n figurile 2.7.b [i 2.7.c.

Dac\ semnalul x[n] este stocat pe un mediu oarecare este relativ

simplu de a modifica originea timpului prin introducerea unei `ntrzieri

sau a unui avans. Dac\, `ns\, semnalul este generat de un fenomen fizic ce

se desf\[oar\ `n timp real, nu este posibil\ realizarea unui avans, deoarece

acest lucru implic\ e[antioane ce nu au fost `nc\ generate.

Figura 2.7. Reprezentarea grafic\ a semnalului x[n] (a), a versiunii sale

`ntrziate cu 3 unit\]i (b) [i `n avans cu 2 unit\]i (c)

37

Reflectarea semnalului. O alt\ modificare a variabilei

independente, necesar\ `n aplica]ii, este aceea de a `nlocui variabila n cu

n, opera]ie numit\ reflectare (folding) a semnalului `n raport cu axa

ordonatelor. Aceast\ opera]ie este ilustrat\ `n figura 2.8.

Figura 2.8. Ilustrarea grafic\ a opera]iei de reflectare

Multe din opera]iile realizate `n PNS implic\ reflectarea [i deplasarea `n

timp. Opera]iile de reflectare [i deplasare `n timp nu sunt comutative.

Dac\ se noteaz\ opera]ia de deplasare `n timp cu TD [i cea de

reflectare cu TF, se poate scrie

TDk [ x[n]] = x[n k ], k > 0

TF [ x[n]] = x[ n]

TDk {TF [ x[n]]} = TDk [ x[ n]] = x[n + k ]

`n timp ce

TF {TDk [ x[n]]} = TF [ x[n k ]] = x[n k ]

Exemplul 2.3.

Fie semnalul x[n] reprezentat `n figura 2.9. S\ se reprezinte

semnalul ob]inut prin reflectarea [i deplasarea spre dreapta cu 2 unit\]i a

semnalului x[n] , precum [i cel ob]inut prin deplasarea spre dreapta cu 2

unit\]i [i apoi reflectarea semnalului x[n] .

Solu]ie. ~n figura 2.9 s-au reprezentat semnalele x1[n] = x[n] ,

adic\ x[n] reflectat, x2 [n] = x[n + 2] , adic\ x[n] reflectat [i deplasat 2

unit\]i spre dreapta, x3 [n] = x[n 2] , adic\ x[n] deplasat cu 2 unit\]i spre

dreapta [i x4 [n] = x[n 2] , adic\ x[n] deplasat 2 unit\]i spre dreapta [i

apoi reflectat.

38

Figura 2.9. Ilusrarea necomutativit\]ii opera]iilor de deplasare `n timp [i reflectare

Decimarea semnalului. Opera]ia de decimare a semnalului const\

`n `nlocuirea variabilei independente n cu Mn, unde M N , adic\

xM [n] = x[ Mn](2.29)

Aceast\ opera]ie se mai nume[te de scalare a axei timpului sau

sube[antionare [i este ilustrat\ `n figura 2.10a, pentru M=2.

Semnalul x2 [n] = x[2n] are o "derulare" mai rapid\ dect x[n] .

Interpolarea semnalului. Opera]ia de interpolare conduce la

ob]inerea unui semnal cu "derulare mai lent\", dat de rela]ia

n

x, daca L divide pe n, L N

(2.30)

x L [ n] = L

0, n rest

prin introducerea a L-1 valori nule `ntre dou\ e[antioane

consecutive ale semnalului x[n] . Aceast\ opera]ie este ilustrat\ `n figura

2.10b, pentru L=2.

39

Figura 2.10. Ilustrarea opera]iilor de a) decimare, b) interpolare

Sumarea, multiplicarea [i scalarea secven]elor

Suma a dou\ semnale x1 [n] [i x2 [n] este un semnal y[n] ale c\rui

valori la un anumit moment sunt egale cu suma valorilor semnalelor

implicate `n sum\ la acel moment

y[n] = x1 [n] + x2 [n], n Z(2.31)

Produsul a dou\ secven]e se ob]ine efectund produsul e[antion cu

e[antion al secven]elor

y[n] = x1 [n] x2 [n] , n Z(2.32)

Scalarea amplitudinii unui semnal cu o constant\ A se realizeaz\

prin multiplicarea valorii fiec\rui e[antion al semnalului cu constanta A

y[n] = A x[n], n Z(2.33)

2.4. Sisteme discrete

Un sistem discret este un dispozitiv sau un algoritm care opereaz\

asupra unui semnal discret, numit intrare sau excita]ie, conform unor

reguli bine definite, pentru a produce un alt semnal discret, numit ie[irea

sau r\spunsul sistemului.

Semnalul de intrare x[n] este transformat de sistemul discret `n

semnalul de ie[ire y[n] , conform rela]iei

y[n] H [x[n]]

40

(2.34)

unde H reprezint\ transformarea (numit\ uneori [i operator) sau

procesarea realizat\ de sistem asupra lui x[n] pentru a produce y[n] .

Grafic, rela]ia (2.34) este reprezentat\ `n figura 2.11.

Figura 2.11. Reprezentarea unui sistem `n timp discret

~n continuare se va face referire numai la sisteme cu o singura

intrare [i o singura ie[ire.Exist\ mai multe moduri de a caracteriza un

sistem discret [i a descrie opera]ia pe care el o execut\ asupra intr\rii

pentru a ob]ine r\spunsul sistemului. Unul dintre acestea const\ `n

descrierea sistemului printr-o rela]ie intrare ie[ire, ignorndu-se detaliile

de structur\ intern\ sau de realizare a sistemului, acesta fiind v\zut ca o

"cutie neagr\". Aceast\ situa]ie este descris\ de nota]ia

Hx[n] y[n](2.34')

echivalent\ cu (2.34).

Exemplul 2.4.

Rela]ia intrare ie[ire este exemplificat\ prin urm\toarele

sisteme, `n care semnalul de intrare se consider\ a fi

n, 3 n 3

x[n] =

0, in rest

a) y[n] = x[n ]

b) y[n] = x[n 1]

c) y[n] = x[n + 1]

1d) y[n ] = [x[n + 1] + x[n] + x[n 1]]

3

e) y[n ] = max{x[n + 1], x[n ], x[n 1]}

f)

y[n] =

k =

x[k ] = x[n] + x[n 1] + x[n 2] + ....

n

(2.35)

Semnalul de intrare poate fi scris explicit sub forma secven]ei

x[n] = {...0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0...}

41

Ie[irea sistemelor este

a) y[n] = {...0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0...}

Se observ\ c\ ie[irea este identic\ cu intrarea [i sistemul se

nume[te identitate.

b)

y[n] = {...0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0...}

y[n] = {...0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0...}

~n acest caz sistemul `ntrzie cu un e[antion semnalul de intrare.

c)

Acest sistem "avanseaz\" sau anticipeaz\ semnalul de intrare cu

un e[antion.

d)

y[n] = {...0, 1,

525

, 2, 1, , 1, 2, , 1, 0...}

333

~n acest caz, sistemul realizeaz\ media aritmetic\ a e[antionulului

prezent, trecut [i urm\tor pentru fiecare moment de timp.

e)

Acest sistem selecteaz\ la fiecare moment n valoarea maxim\ dintre

x[n 1], x[n] [i x[n + 1].

f)

y[n] = {..0, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 0...}

y[n] = {..0, 3, 5, 6, 6, 7, 9, 12, 0...}

Acest sistem este un acumulator, calculnd suma tuturor

e[antioanelor trecute pn\ la momentul respectiv.

Pentru unele din sistemele considerate `n exemplele precedente se

observ\ c\ ie[irea la un moment n = n0 nu depinde numai de intrarea de

la n = n0 (adic\ x[n0 ]), ci [i de valorile intr\rii la momente dinainte [i

dup\ n0 .

~n exemplul acumulatorului rela]ia intrare ie[ire care `l define[te

poate fi rescris\ echivalent sub forma

42

y[n] =

k =

x[k ] = x[k ] + x[n] = y[n 1] + x[n]

k =

n

n 1

(2.35')

care justific\ numele de acumulator, sistemul calculnd valoarea curent\ a

ie[irii prin adunarea (acumularea) valorii curente a intr\rii la valoarea

precedent\ a ie[irii.

Pentru acest exemplu se presupune c\ semnalul de intrare este

cunoscut pentru n n0 [i se dore[te s\ se determine ie[irea y[n] pentru

n n0 .

Pentru n = n0 , n0 + 1 , ... , rela]ia (2.35) devine

y[n0 ] = y[n0 1] + x[n0 ] ,

y[n0 + 1] = y[n0 ] + x[n0 + 1]

[. a. m. d.

Se observ\ c\ `n calculul lui y[n0 ] intervine y[n0 1] , care se

poate calcula cu rela]ia

y[n0 1] =

n0 1

k =

x[k ] ,

adic\ y[n0 1] reprezint\ efectul tuturor intr\rilor anterioare momentului

intrare x[n] aplicat la momentul n0 depinde de semnalul de intrare la

momentul n0 [i toate intr\rile aplicate anterior. ~n consecin]\, y[n] pentru

n n0 nu este unic determinat de intrarea x[n] pentru n n0 .

Informa]ia suplimentar\ necesar\ determin\rii lui y[n] pentru

n n0 este condi]ia ini]ial\ y[n0 1] , care sintetizeaz\ efectul intr\rilor

anterioare asupra sistemului. Condi]ia ini]ial\ y[n0 1] `mpreun\ cu

secven]a de intrare x[n] pentru n n0 vor determina `n mod unic

secven]a de ie[ire y[n] pentru n n0 .

Dac\ acumulatorul nu a avut nici o excita]ie `nainte de n0 ,

condi]ia ini]ial\ y[n0 1] = 0 , caz `n care sistemul se zice c\ este ini]ial

relaxat. ~n acest caz, ie[irea y[n] depinde numai de secven]a de intrare

x[n] pentru n n0 .

n0 asupra sistemului. R\spunsul sistemului pentru n n0 la semnalul de

43

De obicei, sistemele se consider\ relaxate la n = . Dac\

intrarea se aplic\ unui sistem de la n = , ie[irea sistemului este unic

determinat\ de secven]a de intrare.

Se observ\, `n cazul acumulatorului, ca pentru a determina `n mod

unic secven]a de ie[ire y[n] pentru n n0 , este necesar\ o singur\

condi]ie ini]ial\. ~n general, pentru sisteme discrete, informa]ia

suplimentara constituit\ de setul de valori y[n0 1] , y[n0 2] ,

y[n0 N ] necesare determin\rii ie[irii y[n] pentru n n0 , la secven]a

de intrare x[n] pentru n n0 , poart\ numele de condi]ii ini]iale. Dac\

acestea sunt nule, sistemul este ini]ial relaxat. Aceste no]iuni vor fi

reluate `n paragraful 2.5, unde se va introduce descrierea sistemelor

discrete cu ajutorul ecua]iilor cu diferen]e.

Exemplul 2.5.

Se consider\ acumulatorul descris de (2.35) excitat de secven]a

x[n] = n u[n] . S\ se determine secven]a de ie[ire `n condi]iile:

a) sistemul este ini]ial relaxat ( y[ 1] = 0 );

b) y[ 1] = 1 .

Ie[irea sistemului este definit\ ca

y[n] =

Dar

k =

x[k ] = x[k ] + x[k ] = y[ 1] + x[k ]

k =

k =0

k =0

n

1

n

n

n(n + 1)

, n 0;

2

n(n + 1) n 2 + n + 2

b) Dac\ y[ 1] = 1 y[n] = 1 +=, n 0.

22

a) Dac\ y[ 1] = 0 y[n] =

k =0

x[k ] =

n

n(n + 1)

2

2.4.1. Reprezentarea simbolic\ a sistemelor discrete

Opera]iile asupra semnalelor discrete reprezentate prin secven]e

sunt realizate de sisteme discrete a c\ror reprezentare simbolic\ este dat\

`n continuare.

44

Sumator.

Figura 2.12. Reprezentarea simbolic\ a sumatorului

Multiplicator cu o constant\

Figura 2.13. Reprezentarea simbolic\ a multiplicatorului cu o constant\

Multiplicator de semnal

Figura 2.14. Reprezentarea simbolic\ a multiplicatorului

Element de `ntrziere

Figura 2.15. Reprezentarea simbolic\ a unui element de `ntrziere

Element de anticipare

Figura 2.16. Reprezentarea grafic\ a unui element de anticipare

Observa]ie. Opera]ia de anticipare este nerealizabil\ fizic `ntr-un sistem

de timp real.

Exemplul 2.6.

Cu ajutorul blocurilor constructive prezentate anterior s\ se

reprezinte diagrama bloc a sistemului discret descris de

45

y[n] =

1y[n 1] + 5 x[n] + 2 x[n 2] .

2

Solu]ie. Din rela]ia intrare ie[ire care caracterizeaz\ sistemul se

observ\ c\ acesta poate fi implementat cu ajutorul a 3 multiplicatoare, 2

sumatoare [i 3 elemente de `ntrziere.

Figura 2.17. Reprezentarea diagramei bloc pentru sistemul din exemplul 2.6.

2.4.2. Clasificarea sistemelor discrete

~n analiza [i proiectarea sistemelor discrete este de dorit

clasificarea lor `n func]ie de propriet\]ile generale pe care acestea le au.

Din acest motiv este necesar\ specificarea unor propriet\]i ale acestora

care pot fi folosite `n descrierea caracteristicilor lor generale.

2.4.2.1. Sisteme discrete statice [i dinamice

Un sistem discret se nume[te static sau f\r\ memorie dac\ ie[irea

sa la un moment oarecare n depinde numai de intrarea din acel moment.

~n caz contrar, sistemul se nume[te dinamic sau cu memorie. Dac\

ie[irea unui sistem la un moment n este complet determinat\ de intr\rile

x[n N ],..., x[n] ( N 0 ), se spune c\ acesta are memorie de ordinul N.

Dac\ N este finit, sistemul este cu memorie finit\, iar dac\ N = ,

sistemul are memorie infinit\.

Exemple de sisteme statice (f\r\ memorie)

a) y[n] = a x[n] ;

b) y[n ] = n x[n] + b x 3 [n ] .

Exemple de sisteme dinamice (cu memorie)

c) y[n] = x[n] + 3 x[n 1] ;

d) y[n] = x[n k ] ;

k =0

N

46

e) y[n] = x[n k ] .

k =0

Sistemele c) [i d) au memorie finit\, `n timp ce e) are memorie infinit\.

Se observ\ c\ sistemele statice sunt descrise `n general de o rela]ie

intrare ie[ire de forma

y[n] = F [x[n], n](2.36)

[i nu includ elemente de `ntrziere (memorie).

2.4.2.2. Sisteme discrete invariante [i variante `n timp

Sistemele pot fi `mp\r]ite `n dou\ mari categorii:

- sisteme invariante `n timp;

- sisteme variante `n timp.

Prin defini]ie, un sistem relaxat, descris de operatorul H este

invariant `n timp dac\ [i numai dac\

Hx[n] y[n]

Hx[n k ] y[n k ](2.37)

pentru orice semnal de intrare x[n] [i orice deplasare k.

Pentru a determina dac\ un sistem este sau nu invariant `n timp se

procedeaz\ `n felul urm\tor:

Se consider\ o intrare arbitrar\ x[n] , care va produce r\spunsul y[n] . Se

`ntrzie semnalul de intrare cu k unit\]i [i se recalculeaz\ ie[irea. ~n

general, aceasta se poate scrie

y[n, k ] = H [x[n k ]](2.38)

Dac\ ie[irea y[n, k ] este egal\ cu y[n k ] pentru toate valorile lui k,

sistemul este invariant `n timp. ~n caz contrar, dac\ y[n, k ] y[n k ] ,

chiar pentru o singur\ valoare a lui k, sistemul este variant `n timp.

Exemplul 2.7.

S\ se determine dac\ sistemele descrise de urm\toarele rela]ii

intrare ie[ire sunt sau nu variante `n timp.

a) y[n ] = H [x[n]] = x[n ] x[n 1] ;

b) y [n ] = H [x [n ]] = n x [n ];

c) y[n] = x[n] cos0 n .

a) y[n, k ] = H [x[n k ]] = x[n k ] x[n k 1]

47

implic\

y[n k ] = x[n k ] x[n k 1]

Deoarece y[n, k ] = y[n k ] , rezult\ c\ sistemul este invariant `n timp.

b) y[n, k ] = H [x[n k ]] = n x[n k ]

y[n k ] = (n k ) x[n k ]

Se observ\ c\ y[n, k ] y[n k ], rezult\ c\ sistemul este variant `n timp.

c) y[n, k ] = H [x[n k ]] = x[n k ] cos 0 n

y[n k ] = x[n k ] cos 0 (n k )

Deoarece y[n, k ] y[n k ] , rezult\ c\ sistemul este variant `n timp.

2.4.2.3. Sisteme discrete liniare [i neliniare

Prin defini]ie, un sistem discret este liniar, dac\ satisface

principiul superpozi]iei. Cu alte cuvinte, `n acest caz, r\spunsul sistemului

la o sum\ ponderat\ de semnale de intrare este egal cu suma r\spunsurilor

sistemului la fiecare din semnalele de intrare, ponderate corespunz\tor,

adic\ un sistem discret, relaxat, caracterizat de operatorul H este liniar,

dac\

H [ a1 x1 [n] + a2 x2 [n ] ] = a1 H [x1 [n]] + a 2 H [x2 [n]](2.39)

pentru orice secven]e de intrare arbitrare x1 [n] [i x2 [n] [i pentru orice

constante arbitrare a1 [i a 2 .

Rela]ia (2.39) implic\ propriet\]ile de scalare [i aditivitate ale

sistemelor liniare [i poate fi extins\ la orice combina]ie ponderat\ de

semnale de intrare, pe baza induc]iei. ~ntr-adev\r, dac\ se presupune c\

M 1M 1

Hx[n] = a x [n] y[n] = a y [n]

unde

semnale, atunci pentru semnalul

M

k =1

k k

k =1

y k [n] = H [xk [n]] , k = 1, 2, ...

k =1

k

k

M 1 , este adev\rat\ pentru M 1

ak xk [n] = x[n] + aM xM [n] ,

ie[irea sistemului este

M

H ak xk [n] = H [ x[n] + aM xM [n] ] = H [x[n]] + aM H [xM [n]]

k =1

=

M 1

k =1

ak yk [n] + aM yM [n] = ak yk [n]

k =1

M

48

~n general, din (2.39) se observ\ c\ un sistem relaxat, liniar, cu intrarea

zero produce ie[irea nul\. Dac\ un sistem produce o ie[ire diferit\ de zero

la intrare zero, el este fie nerelaxat, fie neliniar.

Dac\ un sistem discret nu satisface principiul superpozi]iei, el se

nume[te neliniar.

Exemplul 2.8.

S\ se determine dac\ sistemele descrise de urm\toarele rela]ii

intrare ie[ire sunt sau nu liniare.

a) y[n ] = H [x[n ]] = n x[n] ;

c) y[n ] = H [x[n ]] = x 2 [n] .

Solu]ie.

a) Pentru dou\ secven]e de intrare x1 [n] [i x2 [n] , ie[irile

corespunz\toare sunt

y1 [n] = n x1 [n]

y 2 [n] = n x2 [n ]

O combina]ie liniar\ a celor dou\ semnale de intrare are ca

rezultat ie[irea

y 3 [n] = H [ a1 x1 [n] + a 2 x 2 [n]] = n [a1 x1 [n] + a 2 x 2 [n] ]

b) y[n ] = H [x[n]] = x n 2 ;

[ ]

= a1n x1 [n] + a 2 n x 2 [n] = a1 y1 [n ] + a 2 y 2 [n]

care este o combina]ie liniar\ a ie[irilor corespunz\toare, deci sistemul

este liniar.

y1 [n] = x1 n 2 ,y 2 [n] = x2 n 2b)

y3 [n] = H [ a1 x1 [n] + a2 x2 [n]] = a1 x1 n 2 + a2 x2 n 2 = a1 y1 [n] + a 2 y 2 [n]

deci sistemul este liniar.

22

y1 [n] = x1 [n],y 2 [n] = x2 [n]c)

2 22 2

y3 [n] = H [ a1 x1 [n] + a 2 x2 [n]] = a1 x1 [n] + 2a1a2 x1 [n]x2 [n] + a 2 x2 [n] =

22= a1 y1[n] + a 2 y 2 [n] + 2a1a 2 x1[n]x2 [n]

Combina]ia liniar\ corespunz\toare a ie[irilor y1 [n] [i y 2 [n] este

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

a1 y1 [n ] + a2 y 2 [n] = a1 x12 [n] + a2 x2 [n] y3 [n ],

deci sistemul este neliniar.

49

2.4.2.4.Sisteme discrete cauzale [i necauzale

Un sistem discret este cauzal dac\ ie[irea sa la un moment n,

y[n] , depinde numai de valoarea prezent\ [i cele trecute ale intr\rii

( x[n], x[n 1], ...) [i de nici o valoare viitoare ( x[n + 1], x[n + 2], ...).

Matematic, ie[irea unui sistem cauzal poate fi scris\ sub forma

y[n] = F [ x[n], x[n 1], x[n 2], ... ](2.40)

unde F [ ] este o func]ie arbitrar\. Un sistem discret care nu satisface

rela]ia (2.40) se nume[te necauzal. Un sistem necauzal nu este realizabil

fizic.

Exemplul 2.9.

S\ se stabileasc\ dac\ sistemele descrise de urm\toarele rela]ii

intrare ie[ire sunt sau nu cauzale.

a) y[n] = x[n] x[n 1] ;

b) y[n] = x[n + 1] x[n] ;

c) y[n ] = x n 2 ;

d) y[n] = x[ n] .

[ ]

Solu]ie

a) cauzal;

b) necauzal;

c) necauzal;

d) necauzal (de exemplu, pentru n = 1, y[ 1] = x[1]).

Prin analogie cu sistemele cauzale, se definesc secven]ele cauzale cele

care sunt egale cu zero pentru n> N [i presupunnd y[n] = 0 pentru n < 0 [i

n > M , func]ia de autocorela]ie pentru y[n] este

1 M 1

ryy [l ] =(2.107)

y[n] y[n l ]

M n =0

~nlocuind (2.106) `n (2.107), rezult\

1 M 1

ryy [l ] = (x[n] + w[n]) (x[n l ] + w[n l ]) = rxx [l ] + rxw [l ] + rwx [l ] + rww [l ]

M n =0

(2.108)

68

unde rxx [l ] este func]ia de autocorela]ie a semnalului x[n] , rxw [l ] [i

rwx [l ] func]iile de corela]ie dintre semnal [i zgomotul aditiv, iar rww [l ]

func]ia de autocorela]ie a zgomotului.

Deoarece x[n] s-a presupus periodic, de perioad\ N, [i func]ia sa de

autocorela]ie va fi periodic\, avnd maxime locale pentru l = 0, N, 2N, ...

. Func]iile de corela]ie rxw [l ] [i rwx [l ] dintre semnal [i zgomot sunt mici

datorit\ independen]ei dintre cele dou\ semnale.

Func]ia de autocorela]ie a zgomotului va avea un maxim `n origine

tinznd apoi asimptotic la valoarea sa medie [15].

~n concluzie, `n (2.108) este de a[teptat ca numai rxx [l ] s\ aib\

maxime semnificative pentru l 0 , ceea ce permite detec]ia semnalului

periodic x[n] "`necat" `n zgomot [i determinarea perioadei sale.

2.5.3. Corela]ia dintre intrarea [i ie[irea unui sistem

~n paragraful de fa]\ se urm\re[te ob]inerea unor rela]ii intrare

ie[ire pentru sisteme discrete, liniare, invariante `n timp `n "domeniul

corela]iei", deoarece semnalul ob]inut la ie[irea sistemului nu este

arbitrar, necorelat [i independent de semnalul de intrare.

Fie un semnal x[n] , a c\rui func]ie de autocorela]ie rxx [l ] este cunoscut\,

care se aplic\ la intrarea unui SDLIT caracterizat de r\spunsul la impuls

h[n] . Semnalul de ie[ire este

y[n] = h[n] x[n] =

k =

x[k ]h[n k ]

(2.109)

Secven]a de intercorela]ie dintre intrare [i ie[ire este

(2.110)ryx [l ] = y[l ] x[l ] = h[l ] [ x[l ] x[l ]] = h[l ] rxx [l ]

adic\ convolu]ia dintre r\spunsul la impuls al sistemului [i func]ia de

autocorela]ie a secven]ei de intrare.

Din (2.88) [i (2.110) rezult\

(2.111)rxy [l ] = h[l ] rxx [l ]

}innd cont de (2.89), (2.109) [i propriet\]ile convolu]iei, func]ia de

autocorela]ie a secven]ei de ie[ire este

ryy [l ] = y[l ] y[l ] = [h[l ] x[l ]] [h[l ] x[l ]] =

(2.112)

[h[l ] h[l ]] [ x[l ] x[l ]] = rhh [l ] rxx [l ]

69

Func]ia de autocorela]ie rhh [l ] a r\spunsului la impuls h[n] exist\, dac\

sistemul este stabil. Evalund (2.112) pentru l=0, se ob]ine energia

semnalului de ie[ire cu ajutorul func]iilor de autocorela]ie.

ryy [0] =

k =

rhh [k ]rxx [k ]

(2.113)

2.6. Sisteme discrete, liniare, invariante `n timp,

caracterizate de ecua]ii cu diferen]e cu coeficien]i

constan]i

2.6.1. Solu]ia ecua]iei liniare cu diferen]e cu coeficien]i

constan]i

~n paragraful 2.4.3 au fost considerate SDLIT [i s-a ar\tat c\

acestea pot fi complet caracterizate de r\spunsul lor la impuls. De

asemenea, a fost prezentat\ [i o alt\ manier\ de descriere a rela]iei intrare

ie[ire pentru aceast\ familie de sisteme discrete, [i anume, prin ecua]ia

cu diferen]e exprimat\ de rela]ia

y[n ] = a k y[n k ] + bk x[n k ]

k =1

k =0

N

M

(2.114)

Dat\ fiind ecua]ia cu diferen]e cu coeficien]i constan]i care

caracterizeaz\ un sistem discret, liniar, invariant `n timp, `n acest paragraf

se urm\re[te a se ob]ine o expresie explicit\ pentru ie[irea y[n] , printr-o

metod\ numit\ direct\. O metod\ alternativ\, numit\ indirect\, bazat\ pe

folosirea transformatei Z va fi prezentat\ `n paragraful 3.6.2.

Ca [i `n cazul ecua]iilor diferen]iale liniare cu coeficien]i

constan]i, o ecua]ie liniar\ cu diferen]e are solu]ia [3]

y[n] = y p [n] + y h [n](2.115)

unde y p [n] reprezint\ o solu]ie particular\ a ecua]iei complete, iar

y h [n] solu]ia general\ a ecua]iei cu diferen]e omogene ( x[n k ] = 0

pentru k = 0, M ).

Solu]ia general\ a ecua]iei cu diferen]e omogene

Prin impunerea intr\rii egal\ cu zero se ob]ine ecua]ia cu diferen]e

omogen\

70

k =0

ak y[n k ] = 0 ,

N

a0=1

(2.116)

(2.117)

(2.118)

Se alege o solu]ie a ecua]iei omogene de forma

y[n ] = n

~nlocuind (2.117) `n (2.116), se ob]ine

n N N + a1 N 1 + a2 N 2 + ... + a N 1 + a N = 0(2.118')sau

Ecua]ia (2.118) sau (2.118) se nume[te ecua]ie caracteristic\, iar

polinomul din parantez\ se nume[te polinom caracteristic al sistemului,

care are N r\d\cini notate 1 , 2 , ... , N , care pot fi reale [i/sau

complexe, distincte sau nu. Dac\ coeficien]ii a1 , ... , a N sunt reali, cum se

`ntmpl\ de obicei `n practic\, r\d\cinile sunt fie reale, fie reale [i/sau

perechi complex conjugate. Unele r\d\cini pot fi identice, caz `n care

r\d\cinile se numesc multiple. Pentru `nceput `ns\, se presupune c\

acestea sunt distincte.

Solu]ia general\ a ecua]iei cu diferen]e omogene este [3]

y h [n] = c1 n + c2 n + ... + c N nN(2.119)12

unde c1 , c2 , ... , c N sunt coeficien]i de ponderare, care se determin\ din

condi]iile ini]iale specificate pentru sistem. Deoarece x[n] = 0 , rela]ia

(2.119) poate fi folosit\ pentru determinarea r\spunsului de intrare zero

y zi [n] al sistemului, coeficien]ii de ponderare determinndu-se din

condi]iile ini]iale y[1], y[2],..., y[ N ] .

Exemplul 2.15.

S\ se determine r\spunsul sistemului cauzal descris de ecua]ia cu

diferen]e omogen\

y[n] 3 y[n 1] 4 y[n 2] = 0(2.120)

cu condi]iile ini]iale y[ 1] [i y[ 2] .

Solu]ie. Ecua]ia caracteristic\ este n 3 n 1 4 n 2 = 0 , cu r\d\cinile

1 = 1 [i 2 = 4 , astfel `nct forma general\ a solu]iei ecua]iei cu

diferen]e, omogene este

y h [n] = c1 n + c2 n = c1 ( 1)n + c2 4 n(2.121)12

71

(

k =0

ak nk

N

=0

)

Constantele c1 [i c2 se ob]in din condi]iile ini]iale y[ 1] [i y[ 2] . Din

ecua]ia (2.120) se ob]ine

y[0] = 3 y[ 1] + 4 y[ 2]

(2.122)

y[1] = 3 y[0] + 4 y[ 1] = 13 y[ 1] + 12 y[ 2]

Pe de alt\ parte, din (2.121) se poate scrie

y[0] = c1 + c2

(2.123)

y[1] = c1 + 4 c2

~nlocuind (2.123) `n (2.122), rezult\

14c1 = y[ 1] + y[ 2]

55

1616

c2 =y[ 1] + y[ 2]

55

[i r\spunsul de intrare zero al sistemului va fi

416 116y zi [n] = y[ 1] + y[ 2] ( 1)n + y[ 1] + y[ 2] 4 n ; n 0

55 55

(2.124)

Dac\ ecua]ia caracteristic\ are r\d\cina 1 multipl\ de ordin m,

iar celelalte r\d\cini, m+1 ,..., N , simple, solu]ia general\ a ecua]iei cu

diferen]e omogene este [3]

y h [n] = c1 n + c2 n n + c3 n 2 n + ... + cm n m1 n + cm+1 n +1 + ... + c N nN .1111m

(2.125)

~n cazul r\d\cinilor complex conjugate [i coeficien]ii corespunz\tori sunt

complex conjuga]i [i contribu]ia acestora se combin\ `ntr-o component\

real\. Astfel, dac\ p [i q sunt cele dou\ r\d\cini complex conjugate

p = r (cos + j sin )

q = r (cos j sin )

contribu]ia lor `n r\spuns este

c p np = c p r n (cos n + j sin n)

cq nq

= cq r (cos n j sin n)

c p = ce j ; c q = ce j

cu c = c p = cq .

72

n

(2.126)

(2.127)

unde coeficien]ii c p [i cq sunt complex conjuga]i

(2.128)

}innd seama de (2.128), termenii din rela]ia (2.127) se combin\ `n

componenta

c p r n (cos n + j sin n) + c q r n (cos n j sin n) =

(2.129)

n= r ( Ak cos n + Bk sin n)

unde

Ak = 2c cos

(2.130)

Bk = 2c sin

Dac\ ecua]ia caracteristic\ are N1 r\d\cini reale distincte [i (N-N1)/2

perechi de r\d\cini complex conjugate, solu]ia este de forma

y h [n] = ck n +k

k =1

N1

N N1

2

k =1

r n ( Ak cos n + Bk sin n)

(2.131)

Dac\ unele r\d\cini reale sau complex conjugate sunt multiple, `n r\spuns

apar [i termeni de forma (2.125).

Solu]ia particular\ a ecua]iei cu diferen]e

Solu]ia particular\ se ob]ine presupunnd o anumit\ form\ pentru

aceasta, `n func]ie de semnalul de intrare [23]. ~n tabelul 2.1 sunt

prezentate solu]ii particulare pentru cele mai uzuale semnale folosite `n

practica prelucr\rii numerice a semnalelor.

Tabelul 2.1

Semnal de intrare x[n]

A (constant)

A Mn

Solu]ie particular\ y p [n]

K

k Mn

k 0 n M + k1 n M 1 + ... + k M

A n k 0 n M + k1 n M 1 + ... + k M

k1 cos 0 n + k 2 sin 0 n

M N

i =0

A nM

An n M

A cos 0 n

A sin 0 n

[n]

(

)

ki [n i]

Exemplul 2.16.

S\ se determine solu]ia particular\ a ecua]iei cu diferen]e

73

51y[n 1] y[n 2] + x[n ]

66

n

la semnalul de intrare x[n] = 2 , n 0 .

y[n ] =

(2.126)

Solu]ia particular\ este

y p [n] = k 2 n u[n](2.127)

Substituind (2.127) `n (2.126), se ob]ine

51k 2 n u[n] = k 2 n1 u[n 1] k 2 n2 u[n 2] + 2 n u[n]

66

Pentru a determina pe k, ecua]ia precedent\ se evalueaz\ pentru n 2 .

518

4 k = (2 k ) k + 4 k =

665

Solu]ia particular\ este

8y p [n] = 2 n , n 0 .

5

Solu]ia total\ a ecua]iei liniare cu diferen]e [i r\spunsul de

stare zero al sistemului

Solu]ia total\ se ob]ine prin sumarea solu]iei general\ a ecua]iei

omogene cu o solu]ie particular\ a ecua]iei complete, adic\

y[n ] = y h [n] + y p [n](2.128)

Suma rezultat\ y[n] , pentru n 0 , con]ine constantele ck ale

solu]iei ecua]iei omogene, care se determin\ din primele e[antione ale

ie[irii calculate iterativ astfel `nct sistemul s\ satisfac\ condi]iile ini]iale

date y[1], y[2],..., y[ N ].

Datorit\ liniarit\]ii sistemului, r\spunsul y[n] poate fi determinat [i cu

rela]ia

y[n] = y zs [n] + y zi [n](2.129)

unde y zs [n] este numit r\spuns de stare zero, iar y zi [n] , r\spuns de

intrare zero. R\spunsul de stare zero se determin\ rezolvnd ecua]ia cu

diferen]e `n condi]ii ini]iale nule. A[a cum s-a mai precizat, r\spunsului

de intrare zero se deduce din ecua]ia omogen\, ]innd cont de condi]iile

ini]iale y[1], y[2],..., y[ N ] .

Exemplul 2.17.

Se consider\ un sistem recursiv descris de ecua]ia

y[n ] = a y[n 1] + x[n]

74

(2.130)

unde a constant\. Pentru acest sistem se dore[te aflarea semnalului de

ie[ire `n condi]iile `n care se presupune c\ la intrarea sistemului se aplic\

semnalul, pentru n 0 , f\r\ a face vreo presupunere asupra intr\rii

pentru x[n] n < 0 , dar presupunnd cunoscut\ valoarea y[ 1] , adic\

condi]ia ini]ial\. Caz particular x[n] = 2 n u[n] .

Semnalul de ie[ire poate fi ob]inut prin mai multe metode, [i

anume: folosind rela]ia (2.128), folosind rela]ia (2.129) [i, pentru acest

caz simplu al unei ecua]ii cu diferen]e de ordinul `nti, prin recuren]\.

1. Ecua]ia cu diferen]e omogen\ este

y[n] ay[n 1] = 0(2.131)

Ecua]ia caracteristic\ este a = 0 , cu r\d\cina = a . Solu]ia ecua]iei

(2.132)omogene este y h [n] = c1a n

Solu]ia particular\ a ecua]iei neomogene este de forma y p [n] = k 2 n u[n] .

~nlocuind solu]ia particular\ `n ecua]ia cu diferen]e [i apoi evalund-o pe

2

aceasta pentru n=1, rezult\ k =.

2a

2 n

y p [ n] =2 ,n0(2.133)

2a

Conform rela]iei (2.128), solu]ia general\ este

2 n

y[n] = c1a n +2 ,n0(2.134)

2a

Evalund (2.130) [i (2.134) `n n=0 [i egalnd cele dou\ rela]ii, se ob]ine

a

.c1 = ay[1]

2a

1

y[n] = a n+1 y[1] +(2 n+1 a n+1 ), n 0(2.135)

2a

2. R\spunsul de intrare zero este

'y zi [n] = c1a n(2.136)

Evalund (2.131) [i (2.136) `n n=0, apoi egalnd rela]iile, rezult\

'c1 = ay[1] .

y zi [n] = a n+1 y[1]

R\spunsului de stare zero este de forma

2 n"y zs [n] = c1 a n +2 ,n0

2a

75

(2.137)

(2.138)

'Constanta c1' se determin\ prin evaluarea rela]iilor (2.138) [i (2.130) `n

a"n=0 cu condi]ia ini]ial\ nul\. Rezult\ astfel c1 = .

2a

1

y zs [n] =(2 n+1 a n+1 ), n 0(2.139)

2a

~nlocuind (2.137) [i (2.139) `n (2.129), se ob]ine solu]ia total\ de aceea[i

forma cu cea dat\ de (2.135).

3. Plecnd de la (2.130), se poate scrie

y[0] = a y[ 1] + x[0]

y[1] = a y[0] + x[1] = a 2 y[ 1] + a x[0] + x[1]

y[2] = a y[1] + x[2] = a 3 y[ 1] + a 2 x[0] + a x[1] + x[2]

M

(2.141)

y[n ] = a y[n 1] + x[n] = a n +1 y[ 1] + a n x[0] + a n 1 x[1] + ...

+ a x[n 1] + x[n]

sau, mai compact

y[n ] = a

n +1

y[ 1] +

k =0

a k x[n k ] ,

n

n0

2.142)

Particulariznd (2.142) pentru semnalul de intrare considerat, se ob]ine

r\spunsul total al sistemului, evident, de aceea[i form\ cu (2.135).

Se observ\ c\ r\spunsul y[n] dat de (2.142) con]ine doi termeni: primul,

care `l con]ine pe y[ 1] , este un rezultat al condi]iei ini]iale, iar al doilea

termen se datoreaz\ semnalului de intrare x[n] .

Dac\ sistemul este ini]ial relaxat la momentul n = 0 , memoria sa

ar trebui s\ fie zero, deci y[ 1] = 0 . Pentru sistemul descris de (2.130)

r\spunsul de stare zero sau r\spunsul for]at este

y zs [n] =

~n continuare, se presupune sistemul ini]ial nerelaxat ( y[ 1] 0 )

[i intrarea x[n] = 0 pentru to]i n. R\spunsul de intrare zero sau r\spunsul

natural al sistemului este

y zi [n] = a n+1 y[ 1] , n 0(2.144)

adic\ un sistem recursiv cu condi]ii ini]iale nenule produce un semnal de

ie[ire f\r\ a avea excita]ie, acesta datorndu-se memoriei sistemului.

76

k =0

a k x[n k ] ,

n

n0

(2.143)

Sistemul descris de (2.130) este cel mai simplu sistem recursiv din

clasa sistemelor recursive descrise de ecua]ii liniare cu diferen]e cu

coeficien]i constan]i. Forma general\ pentru o astfel de ecua]ie este dat\

de rela]ia

k =0

ak y[n k ] = bk x[n k ] ,

k =0

N

M

a0 1

(2.145)

Ordinul ecua]iei cu diferen]e sau ordinul sistemului este egal cu N.

Ecua]ia (2.145) exprim\ ie[irea sistemului la momentul n direct ca o sum\

ponderat\ a intr\rii prezente [i a valorilor anterioare ale intr\rii [i ie[irii.

Pentru a determina ie[irea y[n] pentru n 0 este necesar\ cunoa[terea

intr\rii x[n] [i condi]iile ini]iale y[1], y[2],..., y[ N ] . Acestea

sintetizeaz\ "istoria" sistemului necesar\ afl\rii ie[irii prezente [i viitoare.

Exemplul 2.18.

S\ se determine solu]ia total\ a ecua]iei cu diferen]e

51y[n ] = y[n 1] y[n 2] + x[n]

66

y[ 1] = 1

.cnd semnalul de intrare este x[n] = 2 n , n 0 [i

y[ 2] = 2

Se determin\ `nti solu]ia ecua]iei omogene

51

n n1 + n2 = 0

66

5111

n2 2 + = 0 1 = ; 2 =

6623

Forma general\ a solu]iei ecua]iei omogene cu diferen]e este

11y h [n] = c1 n + c2 n = c1 + c2 12

23

Din exemplul 2.16, solu]ia particular\ a acestui sistem la intrarea x[n]

8

este dat\ de (2.127) cu k = .

5

Solu]ia total\ este

11 8

y[n] = c1 + c2 + 2 n , n 0

523

77

n

n

n

n

(2.146)

(2.147)

unde constantele c1 [i c2 se determin\ astfel `nct s\ satisfac\ condi]iile

ini]iale.

Din (2.146) rezult\

51y[0] = y[ 1] y[ 2] + 1

66

(2.148)

5119517y[1] = y[0] y[ 1] + 2 =y[ 1] y[ 2] +

6636366

Din (2.147) se ob]ine

8y[0] = c1 + c2 +

5

(2.149)

11 16y[1] = c1 + c2 +

23 5

Introducnd (2.149) `n (2.148) rezult\ c1 [i c2 `n func]ie de condi]iile

ini]iale y[ 1] [i y[ 2] .

1

c1 + c2 =

1210

c1 = ; c2 =

11725

c1 + c2 =

2360

1 12 1 8y[n] = + + 2 n , n 0(2.150)

2 25 35

Pe de alt\ parte, r\spunsul total al sistemului se mai poate ob]ine

din sumarea r\spunsului de stare zero cu r\spunsul de intrare zero.

y[n] = y zs [n] + y zi [n]

(2.151)

R\spunsul de stare zero se ob]ine din (2.147), prin evaluarea

coeficien]ilor `n condi]ii ini]iale nule.

8

c'1 + c'2 + = 1

25

c'1 = 1 ; c' 2 =

1116 17 5

c'1 + c'2 + =

2356

2 1 81y zs [n] = + + 2 n(2.152)

25 3 5

R\spunsul de intrare zero se ob]ine din rezolvarea ecua]iei

omogene [i folosirea condi]iilor ini]iale

78

n

n

n

n

11

y h [n] = c"1 + c"2

23

(2.153)

51y[n ] y[n 1] + y[n 2] = 0

66

y[0] = c"1 + c"2

(2.154)11y[1] = c"1 + c"2

23

51

y[0] = y[ 1] y[ 2]

66

(2.155)

195 y[1] =y[ 1] y[ 2]

3636

1

Din egalarea ecua]iei (2.155) cu (2.154) rezult\ c"1 = , c"2 = 0 [i

2

1 1

y zi [n] = (2.156)

2 2

R\spunsul total al sistemului se ob]ine din sumarea r\spunsurilor de stare

zero [i de intrare zero, adic\, `n cazul exemplului considerat

2 1 81 11 12 1 81

y[n] = + + 2 n + = + + 2 n

5 352 22 25 352

(2.157)

Evident, y[n] ob]inut cu rela]ia (2.157) este identic cu cel dat de

(2.150) ob]inut pe baza solu]iei ecua]iei omogene [i a solu]iei particulare,

cu constantele c1 [i c2 determinate corespunz\tor.

n

n

n

n

n

n

n

n

2.6.2. R\spunsul la impuls al sistemelor discrete, liniare,

invariante `n timp

R\spunsul la impuls al unui sistem discret, liniar, invariant `n

timp, relaxat a fost definit ca r\spunsul sistemului la excita]ia impuls

unitate. ~n cazul sistemelor recursive, r\spunsul la impuls este egal cu

r\spunsul de stare zero, cnd intrarea este x[n] = [n] .

De exemplu, `n cazul sistemului recursiv de ordinul `nti din exemplul

2.17, r\spunsul de stare zero este

79

y zs [n] =

care, particularizat pentru x[n] = [n] , este

y zs [n] = a k [n k ] = a n , n 0 .

k =0

n

k =0

a k x[n k ] ,

n

n 0.

(2.158)

(2.159)

~n concluzie, r\spunsul la impuls al sistemului recursiv, de ordinul `nti,

descris de (2.130), este

h[n] = a n u[n](2.160)

}innd cont de (2.160) [i (2.158), se observ\ c\ r\spunsul de stare zero

este convolu]ia dintre r\spunsul la impuls al sistemului [i semnalul cauzal

de intrare.

~n cazul general al unui sistem arbitrar, liniar, invariant `n timp,

recursiv, cauzal, r\spunsul de stare zero la un semnal de intrare cauzal

este

y zs [n] =

k =0

h[k ]x[n k ] ,

n

n 0.

(2.161)

Cnd semnalul de intrare este impulsul unitate, ( x[n] = [n] ), (2.161)

devine

y zs [n] = h[n] .(2.162)

Pentru a determina r\spunsul la impuls al unui sistem discret

descris de o ecua]ie liniar\ cu diferen]e, cu coeficien]i constan]i se face

apel la paragraful 2.6.1, conform c\ruia, r\spunsul total al unui astfel de

sistem este suma dintre solu]ia ecua]iei omogene [i o solu]ie particular\ a

ecua]iei generale. Solu]ia particular\ este dat\ `n tabelul 2.1. Pentru cazul

`n care N>M, solu]ia particular\ este egal\ cu zero [i r\spunsul la impuls

const\ numai din solu]ia ecua]iei omogene, cu coeficien]ii ck din (2.119)

evalua]i astfel `nct s\ satisfac\ condi]iile ini]iale dictate de impuls.

Exemplul 2.19.

S\ se determine r\spunsul la impuls h[n] al sistemului descris de

ecua]ia cu diferen]e de ordinul doi

y[n] 3 y[n 1] 4 y[n 2] = x[n] + 2 x[n 1](2.163)

~n exemplul 2.15 s-a determinat solu]ia ecua]iei cu diferen]e omogene

pentru acest sistem de forma

y h [n] = (c1 ( 1)n + c2 4 n )u[n](2.164)

80

Cum pentru intrarea x[n] = [n] , solu]ia particular\ este zero, r\spunsul la

impuls al sistemului este dat de (2.164), unde c1 [i c2 sunt evaluate s\

satisfac\ rela]ia (2.163).

Pentru n=0 [i n=1, (2.163) devine

y[0] = 1

(2.165)

y[1] = 5

`n condi]iile y[1] = y[2] = 0 , deoarece sistemul trebuie s\ fie relaxat.

Evalund (2.164) `n n=0 [i n=1, se ob]ine

y[0] = c1 + c2

(2.166)

y[1] = c1 + 4c2

Din (2.165) [i (2.166) rezult\ c1=-1/5, c2=6/5. R\spunsul la impuls al

sistemului este

5 1h[n] = ( 1)n + 4 n u[n]

(2.167)

56

Pentru o ecua]ie liniar\ cu diferen]e, cu coeficien]i constan]i r\spunsul la

impuls este de forma solu]iei ecua]iei omogene

h[n] = ck nk

k =1

N

(2.168)

unde r\d\cinile polinomului caracteristic s-au presupus distincte.

sedetermin\dincondi]iiini]ialenuleCoeficien]iick

y[1] = y[2] = ... = y[ N ] = 0 .

Exprimarea r\spunsului la impuls `n forma (2.168) permite stabilirea unei

leg\turi `ntre r\d\cinile polinomului caracteristic [i stabilitatea `n sens

MIME a sistemului, dup\ cum urmeaz\

n =0

h[n] =

N

Dac\ k < 1, k = 1, N

n =0 k =1

nk

n =0

ck nk

ck

k =1

N

n =0

k

n =0

n

(2.169)

< , [i, deci,

h[n] < .

Pe de alt\ parte, dac\ una sau mai multe din m\rimile k 1, h[n] nu

mai este absolut sumabil [i, `n consecin]\, sistemul este instabil. Prin

urmare, o condi]ie necesar\ [i suficient\ pentru stabilitatea sistemelor

cauzale recursive descrise prin ecua]ii liniare cu diferen]e cu coeficien]i

constan]i este ca r\d\cinile polinomului caracteristic s\ fie subunitare `n

modul.

81

2.7. Probleme propuse

2.1. Un semnal discret x[n] este definit sub forma

n

1 + 3 , 3 n 1

x[n] = 1, 0n3

0, n rest .

S\ se determine valorile semnalului [i s\ se reprezinte x[n] ;

S\ se reprezinte semnalul care rezult\ dac\

1) `nti se reflect\ x[n] , apoi se `ntrzie semnalul rezultat cu 4

e[antioane;

2) `nti se `ntrzie x[n] cu 4 e[antioane, apoi se reflect\ semnalul

rezultat.

S\ se reprezinte semnalul x[ n + 4] ;

S\ se compare rezultatele de la pct. b) [i c). Cum se poate ob]ine

x[ n + 4] din x[n] ?

S\ se exprime x[n] `n func]ie de semnalele [n] [i u[n] .

a)

b)

c)

d)

e)

2.2. Un semnal discret x[n] este reprezentat `n figura p2.2. S\ se

calculeze [i s\ se reprezinte fiecare din urm\toarele semnale

Figura p2.2.

a)

b)

c)

d)

e)

x[n 2] ;

x[4 n] ;

x[n + 2] ;

x[n] u[2 n] ;

x[n 1] [n 3];

82

f) x n 2 ;

g) partea par\ a lui x[n] ;

h) partea impar\ a lui x[n] .

2.3. S\ se arate c\ orice semnal poate fi descompus `ntr-o parte par\ [i

una impar\. Este aceast\ descompunere unic\ ? Ilustra]i argumenta]ia

utiliznd semnalul

x[n] = {2, 3, 4, 5, 6}

[ ]

a)

b)

c)

d)

2.4. Fie sistemul y[n ] = H [x[n]] = x n 2 .

S\ se determine dac\ este invariant `n timp;

Se aplic\ sistemului semnalul

1 , 0 n 3

x[n] =

0 , n rest .

1) s\ se reprezinte x[n] ;

2) s\ se determine [i s\ se reprezinte y[n] = H [x[n]] ;

3) s\ se reprezinte y 2 [n] = y[n 2];

4) s\ se determine [i s\ se reprezinte x2 [n ] = x[n 2] ;

5) s\ se determine [i s\ se reprezinte semnalul y 2 [n] = H [x2 [n]] ;

6) s\ se compare semnalele y 2 [n] cu y[n 2] . Ce concluzie

rezult\ ?

S\ se repete pct. b) pentru sistemul y[n] = x[n] x[n 1] ;

S\ se repete pct. b) pentru sistemul y[n ] = H [x[n]] = n x[n ] .

[ ]

2.5. Un sistem discret poate fi

1) static sau dinamic;

2) liniar sau neliniar;

3) invariant sau variant `n timp;

4) cauzal sau necauzal;

5) stabil sau instabil.

S\ se examineze urm\toarele sisteme din punctul de vedere al

propriet\]ilor de mai sus.

a) y[n ] = cos[x[n]] ;

83

b) y[n ] =

c)

d)

e)

Trun [x[n]] reprezint\ partea `ntreag\ a lui

x[n] ob]inut\ prin trunchiere;

f) y[n] = Round[x[n]] , unde Round[x[n]] reprezint\ partea `ntreag\ a lui

x[n] ob]inut\ prin rotunjire;

g) y[n] = x[n] ;

h)

i)

j)

k)

y[n] = x[n] u[n] ;

y[n ] = x[n] + n x[n + 1] ;

y[n] = x[2n] ;

y[n] = x[ n] .

x[k ] ;

k =

y[n] = x[n] cos 0 n ;

y[n] = x[ n + 2] ;

y[n] = Trun[x[n]] , unde

n +1

2.6. S\ se determine [i s\ se reprezinte convolu]ia y[n] a semnalelor

1

n

x[n] = 3

0

1 ,

h[n] =

0 ,

a) numeric;

b) grafic.

2.7. S\ se calculeze convolu]ia y[n] a urm\toarelor perechi de

semnale:

n , 3 n 51 , 0 n 4

a) x[n] = , h[n] =

0 , n rest .0 , n rest .

b) x[n] = a n u[n]

h[n] = b n u[n] , pentru a b [i a = b.

, 0n6

, n rest .

2 n 2

n rest.

84

1 , n = 2,0,1

c) x[n] = 2 , n = 1 ,

0 , n rest.

h[n] = [n] [n 1] + [n 4] + [n 5] .

h[n] = [u[n + 2] u[n 3]] (3 n ) .

d) x[n] = u[n + 1] u[n 4] [n 5] ,

2.8. Fie x[n] , cu N1 n N 2 [i h[n] , M 1 n M 2 , dou\ semnale de

durat\ finit\.

a) S\ se determine domeniul L1 n L2 al convolu]iei lor `n func]ie de

N1 , N 2 , M 1i M 2 ;

b) S\ se determine limitele domeniului convolu]iei `n cazul `n care cele

dou\ semnale se suprapun par]ial `n stnga, se suprapun complet [i se

suprapun par]ial `n dreapta. Se presupune h[n] de durat\ mai mic\

dect x[n] .

c) S\ se ilustreze rezultatele ob]inute calculnd convolu]ia urm\toarelor

semnale

1 , 2 n 42 , 1 n 2

x[n] = ,h[n] =

0 , n rest .0 , n rest .

2.9. S\ se determine r\spunsul la impuls [i la treapta unitate al

sistemelor descrise de urm\toarele ecua]ii cu diferen]e:

a) y[n] = 0.6 y[n 1] 0.08 y[n 2] + x[n] ;

b) y[n] = 0.7 y[n 1] 0.1 y[n 2] + 2 x[n] x[n 2] .

2.10. Se consider\ SDLIT interconectate ca `n figura p2.10.

x[n]

h2 [n]

h1 [n]

+

y[n]

h4 [n]

h3 [n]

Figura p2.10.

a) S\ se exprime r\spunsul la impuls al `ntregului sistem `n func]ie de

h1 [n] , h2 [n], h3 [n] [i h4 [n] ;

85

b)

S\

se

determine

h[n] ,

dac\

h2 [n] = h3 [n] = (n + 1) u[n] , h4 [n] = [n 2] ;

c) S\ se determine r\spunsul sistemului de la pct. b) dac\

x[n] = [n + 2] + 3 [n 1] 4 [n 3] .

1 1 1

h1 [n] = , , ,

2 4 2

2.11. S\ se determine r\spunsul sistemului al c\rui r\spuns la impuls

este h[n] = a n u[n] la semnalul de intrare x[n] = u[n ] u[n 10] .

2.12. Dou\ semnale s[n] [i v[n] sunt legate prin urm\toarea ecua]ie

cu diferen]e

s[n] + a1 s[n 1] + K + a N s[n N ] = b0 v[n] .

a) S\ se deseneze implementarea

1) sistemului care genereaz\ s[n] cnd este excitat cu v[n] ;

2) sistemului care genereaz\ v[n] cnd este excitat cu s[n] ;

b) care este r\spunsul la impuls al cascadei formate prin interconectarea

sistemelor 1 [i 2?

2.13. Un sistem discret are realizarea din figura p2.13.

x[n]

2

+

+

y[n]

z 1

0.8

3

Figura p2.13.

a) S\ se calculeze r\spunsul la impuls al sistemului;

b) S\ se implementeze sistemul invers, adic\ cel care produce ie[irea

x[n] pentru intrarea y[n] .

2.14. S\ se determine r\spunsul y[n] , n 0 al sistemului descris de

ecua]ia cu diferen]e de ordinul doi

86

la intrarea x[n] = ( 1)n u[n] [i condi]iile:

a) y[ 1] = y[ 2] = 0

b) y[ 1] = 1 ; y[ 2] = 1 .

y[n] 4 y[n 1] + 4 y[n 2] = x[n] x[n 1]

2.15. S\ se determine r\spunsul la impuls h[n] al sistemului descris

de ecua]ia cu diferen]e de ordin doi

y[n] 4 y[n 1] + 4 y[n 2] = x[n] x[n 1] .

2.16. S\ se calculeze secven]ele de corela]ie rxx [l ] , rxy [l ] [i ryx [l ] ale

urm\toarelor secven]e:

1 , n0 N n n0 + N1 , N n N

x[n] = ,y[n] =

0 , n rest .0 , n rest .

2.17. S\ se determine secven]a de autocorela]ie a urm\toarelor

secven]e:

1a) x[n] = { , 2, 1, 1};

b) y[n] = { , 1, 2, 1} .1

Ce concluzie se desprinde ?

87