poglavlje 6 - prevod

Čisto savijanje i savijanje aksijalnim silama

1

POGLAVLJE 6

ČISTO SAVIJANJE I SAVIJANJE SA AKSIJALNIM SILAMA

6-1. Uvod

U prethodnom poglavlju pokazali smo da se sistem unutrašnjih sila koji čine normalna sila,

transverzalna sila i moment savijanja mogu javiti u ramovima u ravni i gredama. Naponi usled

normalne sile obrađeni su u Poglavlju 1. U ovom poglavlju će biti razmotreni naponi usled

savijanja. Poglavlje će biti podeljeno u dva dela. U Prvom delu biće razmatrane samo grede

simetričnog poprečnog preseka opterećene na savijanje u ravni simetrije. Biće reči o elastičnoj i

neelastičnoj raspodeli napona usled savijanja. Raspodela napona kod zakrivljenih greda je takođe

obrađena. Drugo poglavlje obuhvata nesimetrično savijanje greda sa simetričnim poprečnim

presekom kao i savijanje greda sa proizvoljnim poprečnim presekom. Uzet je u razmatranje i

problem savijanja uz prisustvo aksijalne sile. U trećem delu je obrađen moment inercije za

proizvoljni poprečni presek.

Radi jednostavnosti, grede će najčešće biti predstavljene kao grede u horizontalnom položaju.

Kada je greda opterećena samo momentom savijanja, taj slučaj nazivamo čisto savijanje ili

fleksija. Konzola opterećena koncentrisanim momentom na kraju, ili deo grede između

koncentrisanih sila, Slika 5-23, su primeri čistog savijanja. U poglavljima koja slede biće

pokazano da su kod vitkih greda najčešće dominantni naponi usled savijanja. Stoga, izrazi

izvedeni u ovom poglavlju za čisto savijanje direktno su primenjivi u brojnim slučajevima pri

projektovanju.

Bitno je napomenuti na neke grede zbog svoje vitkosti iil nedostatka bočnog oslanjanja mogu

postati nestabilne usled nanetog opterećenja i može doći do bočnog izvijanja i loma. Takve grede

neće biti obrađene u okviru ovog poglavlja. Bolje razumevanje fenomena nestabilnosti biće

postignuto posle proučavanja izvijanja stubova u Poglavlju 11.

6-2. Osnovne kinematičke pretpostavke

U pojednostavljenoj inženjerskoj teoriji savijanja, da bi se uspostavio odnos između momenta

savijanja, karakteristika poprečnog preseka grede i unutrašnjih napona i deformacija biće ponovo

primenjen pristup korišćen ranije pri razmatranju problema torzije. To podrazumeva, najpre, da

se na osnovu pretpostavke o mogućim deformacijama unautrašnje statički neodređen problem

svede na statički određen; zatim, da deformacije treba da budu takve da pri njima dilatacije

zadovoljavaju odgovarajuću vezu napon-dilatacija; i na kraju, da uslov ravnoteže unutrašnjih i

spoljašnjih sila bude ispunjen. Glavna kinematska pretpostavka za deformaciju grede korišćena u

pojednostavljenoj teoriji je obrađena u ovom poglavlju. Ovo uopštavanje predstavlja osnovu

teorije ploča i ljuski.

Razmotrimo horizontalnu prizmatičnu gredu koja ima poprečni presek sa vertikalnom osom

simetrije; Slika 6-1(a). Horizontalna linija koja prolazi kroz težište poprečnog preseka

predstavlja osu grede. Zatim, posmatrajmo karakterističan element grede između dve ravni


2

upravne na osu grede. U pogledu sa strane označićemo taj element sa abcd. Kada tu gredu

opteretimo jednakim momentima na krajevima Mz koji deluju oko z ose, Slika 6-1(b), greda će se

saviti u ravni simetrije, a ravni koje su bile upravne na osu grede će se blago nagnuti. I pored

toga, linije kao što su ad i bc koje postaju a’d’ i b’c’ ostaju prave (u skladu sa St. Venant-ovim

principom (poglavlje 2-10) ovo je samo lokalni fenomen koji brzo nestaje). Ovo predstavlja

osnov za fundamentalnu pretpostavku teorije savijanja koja glasi: poprečni preseci štapa, i

nakon deformacije štapa, ostaju ravni i upravni na osu štapa. Ovu hipotezu je prvi uveo

švajcarski matematičar Jacob Bernoully (1645-1705), a kasnije je takođe švajcarski matematičar

Leonard Euler (1708-1783) uticao na značajnu upotrebu ovog koncepta. Ova pretpostavka je

najčešće poznata kao Bernuli-Ojlerova hipoteza. U konačnom obliku ona se nalazi u radovima

francuskog inženjera M. Navier-a (1785-1836).

Slika 6 - 1 Pretpostavljeno ponašanje grede pri savijanju

Kao što je pokazano u tekstovima o teoriji elastičnosti, ova pretpostavka je potpuno tačna za

elastične, pravougaone grede kod čistog savijanja. Ukoliko postoji smicanje, dolazi do malog

odstupanja (videti diskusiju u poglavlju 7-5). U praksi, međutim, ova pretpostavka je primenjiva

sa velikim stepenom tačnosti bilo da se materijal ponaša elastično ili plastično, pod uslovom da

je visina grede mala u odnosu na raspon. U ovom poglavlju, analiza napona kod svih greda se

zasniva na ovoj pretpostavci.

Kod čistog savijanja prizmatičnih greda, osa grede se deformiše u deo kružnice radijusa ρ (ro)

Slika 6-1(b). Za element definisan infinitezimalnim uglom dθ, dužina vlakna ef ose grede je data

kao ds=ρ dθ


3

Otuda,

𝑑𝜃

𝑑𝑠=

1

𝜌= 𝜅 (6-1)

gde recipročna vrednost ρ definiše krivinu ose κ (kapa). Kod čistog savijanja prizmatične grede,

ρ i κ su konstante.

Na sličan način se može naći dužina vlakna gh koja se nalazi na poluprečniku ρ-y. Stoga, razlika

između dužina vlakana gh i ef označena sa dû može se izraziti na sledeći način

𝑑�̂� = (𝜌 − 𝑦)𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃 = −𝑦𝑑𝜃 (6-2)

Deljenjem sa ds i korišćejenjem jednačine 6-1, poslednji izraz postaje κ. Štaviše, kako su

pomeranja i rotacija ose grede veoma male, kosinusi uglova korišćeni za projekcije dû i ds na

horizontalnu osu su veoma bliski jediničnoj vrednosti. Odatle, u pojednostavljenoj teoriji grede,

moguće je zameniti dû sa du, aksijalne deformacije vlakna u osi, i ds sa dx (dalja diskusija

uvedenih aproksimacija može se naći u Poglavlju 10-3). Otuda, deljenjem jednačine 6-2 sa ds i

zamenom dû/ds sa du/dx, što je prema jednačini 2-6 normalna dilazacija εx, sledi

𝜀𝑥 = −𝜅𝑦 (6-3)

Ova jednačina predstavlja izraz za sa osnovnu kinematičku pretpostavku teorije savijanja.

Međutim, iako je jasno da se deformacija po visini savijene grede menja linearno u zavisnosti od

y, nemamo dovoljno podataka da odredimo položaj koordinatnog početka. Uz pomoć Hooke-

ovog zakona i jednačine ravnoteže, ovaj problem će biti rešen u sledećem poglavlju.

6-3. Jednačina elastičnog savijanja

Korišćenjem Hooke-ovog zakona, iz izraza za normalnu deformaciju, jednačina 6-3, može se

dobiti izraz za normalni napon σx:

𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 = −𝐸𝜅𝑦 (6-4)

U ovoj jednačini, promenljiva y može biti i pozitivna i negativna vrednost.

Dve netrivijalne jednačine ravnoteže omogućavaju rešenje problema savijanja grede. Jedna od

njih određuje položaj y; druga upotpunjuje rešenje problema savijanja. Korišćenjem prve od ovih

jednačina, zadovoljavajući uslov da kod čistog savijanja zbir svih sila u pravcu x ose mora da

bude jednak nuli,

𝛴𝐹𝑥 = 0 ∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴

𝐴

= 0 (6-5)

gde indeks A ukazuje da sumiranje svih infinitezimalnih sila mora biti izvršeno po na celom

poprečnom preseku grede površine A. Pomoću jednačine 6-4 moguće je napisati izraz u obliku


4

Slika 6 - 3

∫ −𝐸 𝜅𝑦 𝑑𝐴

𝐴

= −𝐸 𝜅 ∫ 𝑦 𝑑𝐴𝐴

= 0 (6-6)

gde su konstante E i κ izvučene ispred drugog integrala. Po definiciji,

ovaj integral ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = �̅�𝐴, gde �̅� predstavlja rastojanje do težišta

površine A. Kako je ovaj integral jednak nuli a površina A nije nula,

rastojanje �̅� mora biti jednako nuli. Odatle, z osa mora prolaziti kroz

težište preseka. Prema jednačinama 6-3 i 6-4 to znači da su duž tako

odabrane z ose i normalna deformacija εx i normalni napon σx jednaki

nuli. U teoriji savijanja ova osa se naziva neutralna osa štapa. Položaj

neutralne ose za bilo koji elastični štap od homogenog materijala može

se lako odrediti nalaženjem težišta poprečnog preseka.

Na osnovu ovoga, linearna promena deformacije je šematski prikazana

na slici 6-1(c). Odgovarajuća raspodela elastičnog napona prema

jednačini 6-4 prikazana je na slici 6-1(d). I maksimalna vrednost

normalne deformacije εx i maksimalna vrednost normalnog napona σmax

nalaze se na pri najvećoj udaljenosti y.

Alternativna predstavljanja raspodele napona usled savijanja prikazane

su na Slici 6-2. Treba imati u vidu da je ovaj problem trodimenzionalan,

mada se zbog jednostavnosti problem predstavlja u ravni. Položaj

neutralne ose duž štapa definiše neutralnu površinu, Slika 6-3.

Da bi upotpunili izvođenje izraza za elastično savijanje, druga bitna

jednačina ravnoteže mora biti uvedena: zbir svih spoljašnjih momenata i

unutrašnjih momenata mora biti jednaka nuli tj. mora biti u ravnoteži. Za

deo štapa na slici 6-4(a) ovo daje

𝛴𝑀0 = 0 ⤾ + 𝑀𝑧 − ∫ 𝐸𝑘𝑦 𝑑𝐴 𝑦 = 0𝐴

(6-7)

Negativni znak ispred integrala je neophodan jer napon pritiska σx

izaziva moment oko z ose suprotan od smera kazaljke na satu. Napon

zatezanja ispod neutralne ose, gde y ima negativnu vrednost, doprinosi

ovom momentu na isti način. Ovaj znak takođe direktno sledi iz

jednačine 6-4. S malo drugačije tačke gledišta, jednačina 6-7 navodi da

je spoljašnji moment Mz koji je u smeru kazaljke na satu u ravnoteži sa

unutrašnjim momentom koji je suprotnog smera od smera kazaljke na

satu, a posledica je unutrašnjih napona u preseku.. Sređivanjem izraza

6-4 u ovaj oblik, i izvlačenjem konstanti E i κ dobijamo:

𝑀𝑧 = 𝐸𝜅 ∫ 𝑦2𝑑𝐴𝐴

(6-8)

Slika 6 - 2 Alternativne

predstave momenta

savijanja


5

Slika 6 - 4 Deo grede pri čistom savijanju

U mehanici se ovaj integral, koji zavisi samo od geometrijskih karakteristika poprečnog preseka,

naziva pravougaoni moment inercije ili drugi moment površine A i u daljem tekstu će biti

označen sa I. On se određuje u odnosu na neutralnu osu (težište). Kako se I uvek određuje u

odnosu na određenu osu, često je bitno indeksom naznačiti odgovarajuću osu. U ovom slučaju

ovaj indeks je z,

𝐼𝑧 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴𝐴

(6-9)

Uz ovakvo označavanje iz jednačine 6-8 sledi:

𝜅 =𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧 (6-10)

Ovo je osnovni izraz za krivinu elastičnog štapa na koga deluje određeni moment.

Zamenom jednačine 6-10 u jednačini 6-4 dobiće se jednačina savijanja grede:

𝜎𝑥 = −𝑀𝑧

𝐼𝑧𝑦 (6-11)

Ovaj izraz je izveden za koordinatne ose prikazane na Slici 6-5(a). Ako bi se izvodio izraz za

gredu čiji je poprečni presek dvoosnosimetričan kao na Slici 6-5(b), izraz za podužni napon σx bi

glasio

𝜎𝑥 = +𝑀𝑦

𝐼𝑦𝑧 (6-12)

Znak suprotan u odnosu na jednačinu 6-11 neophodan je jer pozitivan moment My izaziva napon

zatezanja za pozitivnu vrednost z.


6

Primena ovih izraza kod dvoosnog savijanja kao i kao dodatak

teorije savijanja za greda sa nesimetričnim poprečnim

presekom je obrađena u delovima 6-11 i 6-14. U ovom delu

poglavlja ograničili smo se na grede koji imaju simetrične

poprečne preseke i koji se savijaju u ravni simetrije. U ovom

slučaju uobičajeno je da se u jednačini savijanja direktno izrazi

maksimalni normalni napon σmax i da se zameni vrednost |y|max

sa c. Takođe je uobičajeno da se izostavi predznak u jednačini

6-11 kao i indeksi za M i I. Kako kod normalnog napona mora

da se javi spreg statički ekvivalentan unutrašnjem momentu

savijanja, njegov smer može se uočiti sa slike.

Na osnovu toga, jednačina savijanja ima oblik

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐

𝐼 (6-13)

U skladu sa navedenom

praksom, kod razmatranja

savijanja simetričnih poprečnih

preseka štapa, uprošćeno

označavanje sa izostavljanjem

indeksa z u formulama 6-11 za

M i I, biće često korišćeno u

ovom tekstu.

Jednačina savijanja i njene varijacije imaju izuzetno važnu

primenu u projektovanju konstrukcija i mašina. Kod primene

ovih izraza, unutrašnji moment se može izraziti u Njutn metrima

[N·m] ili inč-funtama, c u metrima [m] ili inčima [in], i I u m4 ili

in4. Korišćenjem usklađenih jedinica σ će imati jedinicu mere:

[N·m] [m]/ [m4] = N/m2 = Pa, ili [in-lb][in]/[in4]=[lb/in2]=psi.

Treba napomenuti da je σx u jednačinama 6-11 i 6-12 jedini

napon koji se javlja pri čistom savijanju grede. Odatle matrična

predstava tenzora napona glasi

(𝜎𝑥 0 00 0 00 0 0

)

Kao što će biti istaknuto u Poglavlju 8, ovaj napone se može

transformisati ili razložiti na napone koji deluju u različitim

koordinatnim sistemima. Slika 6 - 6 Deo savijene grede

Slika 6 - 5 Definicije pozitivnih

momenata


7

U zaključku ovog razmatranja, interesantno je napomenuti da se usled Poisson-ovog odnosa,

pritisnuta zona štapa bočno širi; a zategnuta zona skuplja. Dilatacije u y i z pravcima su εy= εz=-

νεx, gde je εx=σx/E, a σx je data jednačinom 6-11. Ovo je potpuno u skladu sa strožim rešenjem.

Poisson-ov efekat, kao što će biti pokazano u metodi elastičnosti, deformiše neutralnu osu u

krivinu velikog poluprečnika; a neutralna površina postaje zakrivljena u dva suprotna pravca;

vidi Sliku 6-6. U prethodnim razmatranjima pretpostavili smo da će neutralna ravan biti

zakrivljena samo u jednom pravcu. Ovi interesantni detalji nisu od značaja za većinu praktičnih

problema.

Rezime postupka i dodaci

Ista tri osnovna koncepta mehanike krutih tela koja su korišćena u teoriji aksijalno opterećenih

štapova i kružnih osovina pri torziji korišćeni su i u prethodnom izvođenju jednačina savijanja.

Oni se mogu sažeti na sledeći način:

1. Uslovi ravnoteže (statika) su korišćeni za određivanje unutrašnjeg reaktivnog momenta

savijanja u preseku.

2. Geometrija deformacije (kinematika) je korišćena u pretpostavci da ravni preseci štapa

ostaju ravni posle deformacije. Ovo dovodi do zaključka da se normalne dilatacije duž preseka

štapa linearno menjaju u odnosu na neutralnu osu.

3. Pretpostavlja se da svojstva materijala (konstitutivne relacije) u vidu Hooke-ovog zakona

važe za podužne normalne dilatacije. Poisson-ov efekat bočne kontrakcije i širenja je zanemaren.

Ako primenimo ovaj pristup na savijanje greda sačinjenih od dva ili više materijala (Deo 6-8),

kao i na neelastično savijanje greda (Deo 6-10), prva dva navedena principa će važiti i dalje.

Jedino treći, koji se odnosi na mehanička svojstva materijala mora biti modifikovan. Kao primer

ovih neophodnih izmena razmotriće se greda poprečnog preseka kao na Slici 6-7(a). Ova greda

je napravljena dva materijala 1 i 2, međusobno spojena. Moduli elastičnosti za ova dva metrijala

su E1 i E2, gde indeksi označavaju materijal. Pretpostavimo da je E2 >E1.

Slika 6 - 7 Greda sačinjena od dva elastična materijala pri savijanju gde je E2>E1

Kada je ova kompozitna greda savijena, kao i kod greda od samo jednog materijala, promena

dilatacije je linearna, kao na Slici 6-7(c). Međutim, podužni naponi zavise od modula elastičnosti

i oni su kao na Slici 6-7(c). Na spoju između dva matrijala, gde su dilatacije za oba materijala

jednake, naponi su različiti, i zavise od veličina E1 i E2. Kod ovakvih problema ostaje da se

odredi položaj neutralne ose ili neutralna površina. Ovo se može jednostavno uraditi za štapove

koji su simetrični oko vertikalne ose.


8

Za grede koje su sačinjene od nekoliko različitih materijala, modul elastičnosti mora biti utvrđen

za svaki materijal. Neka Ei bude modul elastičnosti za materijal i u kompozitnom poprečnom

preseku. Odatle jednačina 6-4 uopšteno može da glasi

𝜎𝑥 = 𝐸𝑖𝜀𝑥 = −𝐸𝑖𝜅𝑦 (6-14)

gde sa Slike 6-7, y=yb-ȳb. U ovom izrazu yb je proizvoljno izmereno od donje ivice preseka a ȳb

definiše položaj neutralne ose.

Kako kod čistog savijanja sila Fx u preseku u pravcu x ose mora biti jednaka nuli, u skladu sa

napred prikazanom procedurom, i zamenom jednačine 6-14 u jednačinu 6-5,

𝐹𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴 = −𝜅 ∫ 𝐸𝑖𝑦𝑑𝐴 = 0𝐴𝐴

(6-15)

Ovaj izraz se razlikuje od jednačine 6-6 samo po tome što E1 nije izvučeno ispred integrala. Ako

zamenimo y=yb- ȳb u jednačini 6-15, imajući u vidu da je ȳb konstanta

−𝜅 ∫ 𝐸𝑖𝑦𝑏𝑑𝐴 + 𝜅�̅�𝑏 ∫ 𝐸𝑖𝑑𝐴𝐴

= 0𝐴

i

�̅�𝑏 =∫ 𝐸𝑖𝑦𝑏𝑑𝐴

𝐴

∫ 𝐸𝑖𝑑𝐴𝐴

= 0 (6-16)

gde se integraljenje vrši sa odgovarajućim modulima elastičnosti Ei za svaki materijal. Ova

jednačina definiše težište i položaj neutralne ose idealizovanog preseka.

U suštini na isti način se vrši analiza kod neelastičnog savijanja štapa menjanjem odnosa napon-

dilatacija. Prva dva pomenuta koncepta ustaju primenjiva.

Izvedena teorija za neelastičnu gredu od jednog materijala je potpuno saglasna sa matematički

tačnim rešenjem1 zasnovanim na teoriji elastičnosti za čisto savijanje elastične pravougaone

grede. Međutim, čak i u ovom ograničenom slučaju, granični uslovi na krajevima zahtevaju da

površinski napon σx bude raspodenjen na krajevima kao što je dato u jednačini 6-11. U ovom

slučaju ravni preseci kroz štap ostaju potpuno ravni nakon savijanja. Međutim, u praktičnoj

primeni, po Saint-Venant-ovom principu, pretpostavlja se da napon na rastojanju otprilike

jednakom visini štapa od nanetog mementa, je u suštini uniforman i dat jednačinom 6-44.

Lokalni naponi u tačkama u kojima deluje sila ili dolazi do promene poprečnog preseka računaju

se pomoću koeficijenata koncentracije napona. Ova teorija se redovno primenjuje za bilo koji

poprečni presek, bilo da je materijal elastičan ili plastičan.

1 S. Timoshenko, i J. N. Goodier, Theory of Elasticity, treće izdanje. (New York:

McGraw-Hill , 1970), 284


9

Slika 6 - 8 Površina za izvođenje

teoreme o paralelnim osama

U zaključku treba napomenuti da, u svim slučajevima čistog savijanja, naponi na površini iznad

neutralne ose proizvodi silu koja deluje u jednom smeru, dok naponi ispod neutralne ose

proizvodi silu koja deluje u suprotnom smeru. Primer je prikazan na slici 6-7(d) gde je zatezanje

T jednako pritisku C, i spreg T-C je jednak momentu Mz. Ovaj metod svođenja napona na sile i

spreg sila može biti od koristi kod nekih problema.

6-4. Proračun momenta inercije

Za primenu jednačine savijanja, mora se odrediti moment inercije I površine poprečnog preseka

u odnosu na neutralnu osu. Njegova vrednost se dobija integraljenjem y2 dA po celoj površini

poprečnog preseka štapa, i treba naglasiti da za jednačinu savijanja moment inercije mora biti

sračunat u odnosu na neutralnu osu. Ova osa prolazi kroz težište poprečnog preseka. U delovima

6-15 i 6-16 smo pokazali da je za simetrične poprečne preseke neutralna osa upravna na osu

simetrije. Moment inercije oko takve ose ima ili maksimalnu ili minimalnu vrednost, i iz tog

razloga ova osa je jedna od glavnih osa inercije. Postupci određivanja težišta i momenata inercije

površi su generalno obrađeni u priručnicima iz statike, na primer J. L. Meriam i L. G. Kraige,

Engineering Mechanics, Vol 1 Statics, 2nd ed. New York: Wiley, 1986.

Prvi korak u određivanju momenta inercije I je određivanje

težišta. Integracija y2 dA se vrši u odnosu na horizontalnu osu

koja prolazi kroz težište preseka. Za korišćenje jednačine

savijanja, integraljenje preko površina je neophodno samo za

nekoliko osnovnih elemenatarnih oblika, kao što su

pravougaonik, trougao itd. Vrednosti momenata inercije za neke

jednostavnije oblike se može naći mnogim udžbenicima i

priručnicima iz statike. Većina poprečnih preseka koji se

primenjuju se mogu svesti na kombinaciju jednostavnih oblika.

Za određivanje momenta inercije površina koji se sastoje od

nekoliko jednostavnijih oblika, neophodna je primena teoreme

paralelnih osa, čije izvođenje sledi.

Posmatrajmo površinu A prikazanu na Slici 6-8 kao deo složene površine poprečnog preseka

štapa koji je izložen savijanju. Težišna osa zc za ovaj presek je na rastojanju dz od težišne ose

celog poprečnog preseka. Tada, po definiciji, moment inercije Izc površine A u odnosu na njenu

osu zc je

𝐼𝑧𝑐= ∫ 𝑦𝑐

2𝑑𝐴𝐴

(6-17)

S druge strane, moment inercije iste površine A oko z ose je

𝐼𝑧𝑐= ∫ (𝑦𝑐 + 𝑑𝑧)2𝑑𝐴

𝐴


10

Kvadriranjem članova u zagradi i izvlačenjem konstanti ispred integrala dobija se,

𝐼𝑧𝑐= ∫ 𝑦𝑐

2𝑑𝐴𝐴

+ 2𝑑𝑧 ∫ 𝑦𝑐𝑑𝐴 + 𝑑𝑧2 ∫ 𝑑𝐴

𝐴𝐴

Ovde je prvi integral prema jednačini 6-17 jednak Izc, drugi integral je jednak nuli pošto yc

prolazi kroz težište površine A, a poslednji integral se svodi na Adz2. Tako je,

𝐼𝑧 + 𝐼𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑧

2 (6-18)

Ovo je teorema paralelnih osa. Možemo je definisati na sledeći način: moment inercije neke

površine u odnosu na bilo koju osu jednak je momentu inercije u odnosu na paralelnu osu koja

prolazi kroz težište te površine i proizvodu površine sa kvadratom rastojanja između te dve ose.

Jednačina 6-18 se koristi u proračunima za svaki deo na koji je poprečni presek podeljen a

rezultati se sabiraju kako bi se dobio Iz celog preseka

𝐼𝑧(ceo presek) = 𝛴(𝐼𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑧

2) (6-18a)

Nakon što smo odredili Iz, indeks z može biti izostavljen kod proračuna simetričnih poprečnih

preseka.

Sledeći primer ilustruje način određivanja momenta inercije I direktno integraljenjem dve

jednostavne površine. Posle toga pokazana je primena teoreme paralelnih osa za datu

kompozitnu površinu. Vrednosti za I za čelične grede, ugaonike i cevi su date u Tabelama 3 do 8

Apendiksa.

PRIMER 6-1

Odrediti moment inercije u odnosu na horizontalnu osu koja

prolazi kroz težište pravougaonog preseka prikazanog na Slici 6-9.

Rešenje

Težište preseka je u preseku osa simetrije. Ovde je pogodno da se

dA zameni sa b dy. Odakle,

𝐼𝑧 = 𝐼0 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 = ∫ 𝑦2𝑏𝑑𝑦 = 𝑏 |𝑦3

3|

−ℎ/2

+ℎ/2

=𝑏ℎ3

12

+ℎ/2

−ℎ/2𝐴

Odatle, 𝐼𝑧 =𝑏ℎ3

12 i 𝐼𝑦 =

𝑏3ℎ

12 (6-19)

Kako su pravougaoni preseci česti, ovi izrazi se redovno koriste.

Slika 6 - 9


11

PRIMER 6-2

Odrediti moment inercije u odnosu na prečnik za kružnu

površinu poluprečnika c; vidi Sliku 6-10.

Rešenje

Da bi odredili moment inercije I kruga, prvo treba uočiti da je

ρ2=z2+y2, kao što se može videti na slici. Zatim koristeći

definiciju za J, uočavanjem simetrije u odnosu na obe ose, i

korišćenjem jednačine 4-2,

𝐽 = ∫ 𝜌2𝑑𝐴 = ∫ (𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝐴𝐴𝐴

= ∫ 𝑦2𝑑𝐴 + ∫ 𝑧2𝑑𝐴 =𝐴

𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 = 2𝐼𝑧𝐴

𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 =𝐽

2=

𝜋𝑐4

4 (6-20)

PRIMER 6-3

Odrediti moment inercije I u odnosu na horizontalnu osu površine

prikazane na Slici 6-11, za koršćenje u jednačini savijanja. Mere su

date u milimetrima.

Rešenje

Kako se moment inercije koristi za jednačinu savijanja, on se mora

odrediti u odnosu na osu koja prolazi kroz težište površine. Odatle,

najpre treba odrediti položaj težišta površine. Ovo najlakše možemo

uraditi ako od osnovnog preseka oduzmemo otvor. Radi preglednosti

proračun je prikazan u vidu tabele. Zatim koristimo teoremu

paralelnih osa kako bi dobili I.

Površina A[mm2]

y [mm]

(od dna) Ay

Osnovni presek

Otvor

40x60 = 2400

-20x30 = -600

30

35

72 000

-21 000

ΣA = 1800 mm2 ΣAy = 1800mm3

�̅� =𝛴𝐴𝑦

𝛴𝐴=

51 000

1800= 28.3𝑚𝑚 od dna

Slika 6 - 11

Slika 6 - 10


12

Za osnovni presek:

𝐼𝑧𝑐=

𝑏ℎ3

12=

40𝑥603

12= 72𝑥104𝑚𝑚4

𝐴𝑑2 = 2400(30 − 28.3)2 = 0.69𝑥104𝑚𝑚4

𝐼𝑧 = 72.69𝑥104𝑚𝑚4

Za otvor:

𝐼𝑧𝑐=

𝑏ℎ3

12=

20𝑥303

12= 4.50𝑥104𝑚𝑚4

𝐴𝑑2 = 600(35 − 28.3)2 = 2.69𝑥104𝑚𝑚4

𝐼𝑧 = 7.19𝑥104𝑚𝑚4

Za složeni presek

𝐼𝑧 = (72.69 − 7.19)𝑥104 = 65.50𝑥104𝑚𝑚4

Važno je da kod primene teoreme paralelnih osa svaki element složenog preseka ima dva člana

za određivanje ukupnog momenta inercije I. Prvi član predstavlja sopstveni moment inercije, a

drugi član je položajni moment inercije.

6-5. Primena jednačine savijanja

Izraz za najveći napon u preseku grede dat je jednačinom 6-13, σmax=Mc/I, i u većini praktičnih

problema treba odrediti ovaj maksimalni napon. Zato je poželjno da način određivanja σmax bude

što je moguće jednostavniji. Ovo se može postići ako uočimo da su i I i c konstantni za dati

presek grede. Odatle, je I/c konstanta. Dalje, kako je ovaj odnos jedino u funkciji od dimenzija

poprečnog preseka grede on može biti jedinstveno određen za bilo koji poprečni presek. Ovaj

odnos se naziva elastični moduo preseka ili otporni moment preseka i biće označen sa S. Sa

ovakvom oznakom jednačina 6-13 postaje


𝐼=

𝑀

𝐼/𝑐=

𝑀

𝑆 (6-21)

Ili drugačije

𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑛𝑖 𝑛𝑎𝑝𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖 𝑠𝑎𝑣𝑖𝑗𝑎𝑛𝑗𝑢 =𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑎𝑣𝑖𝑗𝑎𝑛𝑗𝑎

𝑜𝑡𝑝𝑜𝑟𝑛𝑖 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡

Ako moment inercije I izrazimo u m4 i c u m, otporni moment S se izražava u m3. Isto tako, ako

je M izražen u N∙m, jedinaca za napon, kao i ranije, postaje N/m2. Treba ponoviti da je rastojanje

c mereno od neutralne ose do najudaljenijeg vlakna štapa. Ovo čini odnos I/c=S minimalnim,

odakle sledi da M/S daje maksimalni napon. Efikasan presek za otpornost elastičnom savijanju


13

ima što je moguće veću vrednost S za površinu poprečnog preseka. Ovo se postiže tako što se

najveći deo poprečnog preseka postavlja što je moguće dalje od neutralne ose.

Primena otpornog momenta u jednačini 6-21 donekle odgovara primeni izraza za površinu A u

jednačini 1-13 (σ=P/A). Međutim, jednačinom 6-21 se dobija samo najveći napon usled

savijanja, dok napon sračunat jednačinom 1-13 važi na celom poprečnom preseku grede.

Jednačina 6-21 se široko primenjuje u praksi zbog svoje jednostavnosti. Da bi olakšali njenu

upotrebu, u mnogim priručnicima su date vrednosti otpornog momenta za razne preseke. Ova

jednačina je prilično pogodna kod projektovanja greda. Kada se odredi maksimalni moment

savijanja u gredi, za dozvoljenu vrednost dopuštenog napona jednačinom 6-21 se može sračunati

potrebni otporni moment. Ovaj podatak je dovoljan za usvajanje odgovarajućeg profila.

Međutim, detaljan postupak projektovanja greda ćemo odložiti do Poglavlja 9. Ovo je

neophodno pošto i transverzalna sila takođe izaziva napone u preseku. Uzajamno delovanje

različitih vrsta napona mora biti razmotreno kako bi imali potpun uvid u ovaj problem.

U sledeća dva primera pokazaćemo proračun napona savijanja u određenim presecima, gde

pored momenta savijanja deluju i transverzalne sile. Prisustvo male ili neznatne transverzalne

sile ne utiče značajno na normalni napon kod vitkih greda, što će biti pokazano u sledećem

poglavlju. Često se u jednom preseku javljaju i moment savijanja i transverzalna sila.

PRIMER 6-4

Drvena konzola dimenzija 300x400mm opterećena je jednako podeljenim opterećenjem od

0.75kN/m i koncentrisanom silom nagore od 20kN koja deluje na kraju, Slika 6-12(a). Odrediti

maksimalni normalni napon u preseku na 2m od slobodnog kraja.

Slika 6 - 12

Rešenje

Na Slici 6-12(c) prikazane su reakcije oslonaca, vertikalna sila od 20-(0.75x2)=18.5kN i moment

savijanja od (20x2)-(0.75x2x1)=38.5kNm u preseku. Obe ove veličine su prikazane sa njihovim

odgovarajućim smerovima na Slici 6-12(c). Rastojanje najudaljenijih vlakana od neutralne ose je

c=200mm. Ovo važi i za zategnuta i za pritisnuta vlakna.

Iz jednačine 6-19:

𝐼𝑧 =𝑏ℎ3

12=

300𝑥4003

12= 16𝑥108𝑚𝑚


14

Iz jednačine 6-13:


𝐼=

38.5𝑥106𝑥200

16𝑥108= ±4.81𝑀𝑃𝑎

Zbog smera delovanja momenta savijanja prikazanog na Slici 6-12(c), gornja vlakna štapa su

pritisnuta a donja zategnuta. Napon zatezanja ima pozitivan predznak, a napon pritiska

negativan. Oba napona se linearno smanjuju kako se približavaju neutralnoj osi, gde je napon

savijanja jednak nuli. Normalni naponi koji deluju na infinitezimalne elemente A i B prikazani su

na Slici 6-12(d).

Alternativno rešenje

Ako je potrebno odrediti samo maksimalni napon, možemo primeniti jednačinu u kojoj se koristi

otporni moment. Izraz za otporni moment pravougaonog preseka glasi

𝑆 =𝐼

𝑐=

𝑏ℎ3

12

2

ℎ=

𝑏ℎ2

6 (6-22)

U ovom zadatku, S=300x4002/6=8x106mm3, i prema jednačini 6-21,

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀

𝑆=

38.5𝑥106

8𝑥106= 4.81𝑀𝑃𝑎

Oba rešenja daju identične rezultate.

PRIMER 6-5

Odrediti maksimalni napon zatezanja i napon pritiska koji deluju normalno na presek A-A nosača

mašine na Slici 6-13(a) usled delovanja sile od 8 kips.


15

Slika 6 - 13

Rešenje

Transverzalna sila i moment savijanja koji deluju u preseku prikazani su na Slici 6-13(c). Sada

treba da odredimo položaj neutralne ose grede. To ćemo da uradimo tako što ćemo da odredimo

težište preseka prikazanog na Slici 6-13(b). Zatim ćemo izračunati moment inercije u odnosu na

neutralnu osu. U oba slučaja pretpostavićemo da su nožice grede pravougaone, i zanemarićemo

zaobljenja.

Broj površine A [in2]

y [in]

(od ab) Ay

1

2

3

4.0

3.0

3.0

0.5

2.5

2.5

2.0

7.5

7.5

ΣA=10.0in2 ΣAy=17.0in3

�̅� =𝛴𝐴𝑦

𝛴𝐴=

17.0

10= 1.70𝑖𝑛 od linije 𝑎𝑏

𝐼 = 𝛴(𝐼0 + 𝐴𝑑2) =4𝑥13

12+ 4𝑥1.22 +

2𝑥1𝑥33

12+ 2𝑥3𝑥0.82 = 14.43𝑖𝑛4


𝐼=

8𝑥16𝑥2.3

14.43= 20.4𝑘𝑠𝑖 (pritisak)


𝐼=

8𝑥16𝑥1.7

14.43= 15.1𝑘𝑠𝑖 (zatezanje)


16

Ovi naponi se linearno menjaju prema neutralnoj osi, gde su jednaki nuli. Dobijeni rezultati bi

bili isti i da je greda bila T preseka, kao na Slici 6-13(e). Svojstva ovog preseka oko glavne ose

su ista kao za U presek. Oba ova preseka imaju osu simetrije.

Prethodni primer pokazuje da štapovi koji se savijaju mogu oblikovani tako da imaju različite

maksimalne napone zatezanja i pritiska. Ovo je značajno kod materijala koji imaju različitu

čvrstoću na zatezanje i pritisak.

6-6. Koncentracija napona

Teorija savijanja izložena u prethodnim delovima može se primeniti samo za grede konstantnog

poprečnog preseka, tj. prizmatične grede. Ukoliko se površina poprečnog preseka postepeno

menja, ne dolazi do značajnijeg odstupanja od raspodele napona koju smo ranije razmatrali.

Međutim, ukoliko na gredi ima zareza, žljebova, rupa za zavrtnjeve ili naglih promena u

poprečnom preseku, tada nastaju veliki lokalni naponi. Vrlo je teško izvesti analitičke izraze za

stvarne napone. U prošlosti je najviše podataka u vezi stvarne raspodele napona dobijeno iz

preciznih fotoelastičnih eksperimenata. Numeričke metode koje koriste konačne elemente se

sada intenzivno koriste u te svrhe.

Na sreću, samo geometrijske karakteristike

elementa utiču na lokalnu raspodelu napona.

Štaviše, kako je od najvećeg interesa

maksimalni napon, faktori koncentracije

napona se mogu iskoristiti kao prednost.

Koeficijent K, koji predstavlja odnos između

stvarnog maksimalnog napona i nominalnog

maksimalnog napona u oslabljenom preseku,

kako je dato jednačinom 6-13, definisan je kao

koeficijent koncentracije napona kod savijanja.

Ovaj koncept prikazan je na Slici 6-14.

Odakle, uopšteno,

(𝜎𝑚𝑎𝑥)𝑠𝑡𝑣𝑎𝑟𝑛𝑜 = 𝐾

𝑀𝑐

𝐼 (6-23)

U ovoj jednačini Mc/I je za oslabljeni presek grede.

Slika 6 - 14 Značenje koeficijenta koncentracije

napona


17

Na slikama 6-15 i 5-16 prikazani su dijagrami

koeficijenata koncentracije napona za dva

karakteristična slučaja2. Koeficijent K se u

zavisnosti od proporcija štapa može dobiti iz ovih

dijagrama. Analizom ovih dijagrama može se

uočiti da su poželjna veća zaobljenja i

izbegavanje oštrih zareza kako bi se smanjila

lokalna koncentracija napona. Za duktilne

materijala, gde su sile statične, koncentracija

napona je manje važna.

Koncentracija napona postaje posebno

značajna ukoliko poprečni presek ima

udubljenja. Na primer, veliki lokalni napon se

može javiti na mestu gde se spajaju vrat i

flanša kod I profila. Kako bi se to

minimizovalo, kod valjanih profila se na tim

mestima stavljaju veća zaobljenja.

Pored koncentracije napona izazvane

promenom poprečnog preseka štapa, značajan

je još jedan efekat. Sile se često nanose na

ograničenom delu štapa. Štaviše, reakcije

deluju lokalno na štap u tačkama oslanjanja.

U prethodnom delu, sve takve sile smo idealizovali kao koncentrisane sile. U praksi se prosečni

kontaktni napon između grede i elementa koji opterećuje gredu sračunava u tački kontakta takvih

sila sa gredom. Ovaj kontaktni pritisak, ili napon, deluje normalno na neutralnu površinu grede i

zaklapa prav ugao sa naponom usled savijanja o kojem smo govorili u ovom poglavlju. Detaljna

studija efekta ovakvih sila pokazala je da one izazivaju poremećaj svih lokalnih napona, a da je

vrednost sračunatog kontaktnog napona grubo aproksimirana. Naponi upravni na napone pri

savijanju izgledaju približno kao što je dato na Slici 2-30. Treba imati u vidu da koeficijenti

koncentracije napona važe samo dok se materijal ponaša elastično. Pri neelastičnom ponašanju

materijala ovi koeficijenti se smanjuju.

2 Ove vrednosti su preuzete iz rada M. M. Frocht, "Factors of Stress

Concentration Photoelastically Determined," Trans. ASME 57, (1935): A-67.

Slika 6 - 15 Koeficijenti koncentracije napona kod

čistog savijanja za ravne grede različitih zaobljenja

Slika 6 - 16 Koeficijent koncentracije napona za

ožljebljene ravne grede pri čistom savijanju


18

6-7. Deformacioni rad (Energija elastične dilatacije) kod čistog savijanja

U delu 2-11 smo formulisali deformacioni rad - energiju

elastične dilatacije za infinitezimalni element opterećen

normalnim naponom. Koristeći ovo kao osnovu, možemo

odrediti energiju elastične dilatacije za grede kod čistog

savijanja. U ovom slučaju normalni napon se menja linearno od

neutralne ose, kao na Slici 6-17, i prema izrazu 6-11 ovaj napon

σ=-My/I. Zapremina jednog infinitezimalnog elementa grede je

dx dA, gde je dx njegova dužina, a dA površina poprečnog

preseka. Zamenom ovog izraza u jednačinu 2-23 i

integraljenjem po zapremini V grede, dobićemo izraz za

deformacioni rad - energiju elastične dilatacije U u štapu, za

čisto savijanje.

𝑈 = ∫𝜎𝑥

2

2𝐸𝑉

𝑑𝑉 = ∫1

2𝐸𝑉

(−𝑀𝑦

𝐼)

2

𝑑𝑥 𝑑𝐴

Sređivanjem izraza i imajući u vidu da je M u preseku štapa konstantan

i da je redosled integraljenja proizvoljan,

𝑈 = ∫𝑀2

2𝐸𝐼2𝑑𝑢ž𝑖𝑛𝑎

𝑑𝑥 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 =𝑝𝑜𝑣𝑟š𝑖𝑛𝑎

∫𝑀2𝑑𝑥

2𝐸𝐼

𝐿

0

2

(6-24)

gde je poslednje uprošćenje moguće jer je po definiciji, I=∫ y2dA.

Jednačina 6-24 svodi zapreminski integral za elastičnu energiju

prizmatičnog štapa kod čistog savijanja na jednostruki po dužini L

štapa.

Alternativno, jednačina 6-24 može da se izvede i na drugi način,

razmatrajući elementarni deo štapa dužine dx, kao što je prikazano na

Slici 6-18. Pre nanošenja momenta savijanja M, dve ravni upravne na

osu štapa su paralelne. Nakon nanošenja momenta produžeci tih dveju

ravni, koje ostaju ravne, seku se u tački O, a ugao koji zaklapaju te dve

ravni je dθ. Štaviše, kako se puna vrednost momenta M dostiže

postepeno, prosečna vrednost momenta koji deluje po uglu dθ je ½M.

Odatle, spoljni rad We koji se vrši na elementarnom delu štapa je

dWe=½M dθ. Dalje, kako je za mali ugib dx ≈ρ dθ, gde je ρ radijus

zakrivljenja elastične krive, prema jednačini 6-10 1/ρ=M/EI. Odakle,

na osnovu principa očuvanja energije, unutrašnja energija dilatacije

elementa štapa je

𝑑𝑈 = 𝑑𝑊𝑒 =1

2𝑀𝑑𝜃 =

1

2𝑀

𝑑𝑥

𝜌=

𝑀2𝑑𝑥

2𝐸𝐼

Što ima isto značenje kao jednačina 6-24.

Slika 6 - 17 Deo grede za

izvođenje teorije o energiji

dilatacije kod savijanja

Slika 6 - 18 Deo gred za

alternativno izvođenje

teorije energije dilatacije

pri savijanju


19

PRIMER 6-7

Odrediti energiju elastične deformacije kod konzole

pravougaonog preseka usled momenta savijanja M nanetog na

kraju, Slika 6-19.

Rešenje

Moment savijanja duž cele grede, kao i krutost EI je konstantna.

Direktnom primenom jednačine 6-24,

𝑈 = ∫𝑀2𝑑𝑥

2𝐸𝐼

𝐿

0

=𝑀2

2𝐸𝐼∫ 𝑑𝑥 =

𝐿

0

𝑀2𝐿

2𝐸𝐼

Uputno je rešenje pisati u drugom obliku. Prema tome, pošto je

σmax=Mc/I, M= σmaxI/c=2σmaxI/h, i I=bh3/12,

𝑈 =(2𝜎𝑚𝑎𝑥𝐼/ℎ)2𝐿

2𝐸𝐼=

𝜎𝑚𝑎𝑥2

2𝐸(

𝑏ℎ𝐿

3) =

𝜎𝑚𝑎𝑥2

2𝐸(

1

3𝑣𝑜𝑙)

Za dati maksimalni napon, samo trećina zapremine materijala aktivno apsorbuje energiju u

odnosu na apsorbovanu energiju u slučaju grede opterećene jednako podeljenim opterećenjem,

gde je 𝑈 = (𝜎2/2𝐸)(𝑣𝑜𝑙). Ovo je posledica promenljivog napona u gredi. Ukoliko se moment

savijanja takođe menja duž prizmatične grede, zapremina materijala koji apsorbuje je još manja.

6-8. Grede kompozitnog poprečnog preseka

U praksi se često koriste grede koje su sačinjene od različitih materijala. Drvene grede su često

ojačane metalnim trakama, plastika se ojačava vlaknima, a armirani beton je beton ojačan

čeličnim šipkama.

Posmatrajmo elastičnu gredu sačinjenu od nekoliko materijala spojenih zajedno, sa vertikalnom

osom simetrije kao na Slici 6-20(a). Dati su moduli elastičnosti Ei za različite materijale. Kao i

kod homogenih materijala, pretpostavlja se da se podužna dilatacija εx linearno menja, kao na

Slici 6-20(b). Neutralna osa ovog preseka prolazi kroz težište idealizovanog preseka, nalazi se na

rastojanju ȳb i može se sračunati prema jednačini 6-16. Napon prikazan na Slici 6-20(c) sledi iz

jednačine 6-14. Na spoju između dva materijala, u zavisnosti od relativne vrednosti njihovih

modula elastičnosti Ei nastaje oštar diskontinuitet u veličinama napona.

Slika 6 - 19


20

Slika 6 - 20 Elastična greda kompozitnog poprečnog preseka pri savijanju

Na isti način kao u jednačini 6-7, unutrašnji moment

𝑀𝑧 = 𝜅 ∫ 𝐸𝑖𝑦2𝑑𝐴 = 𝜅(𝐸𝐼) ∗

𝐴

(6-25)

gde je zakrivljenost κ, koja je konstantna za poprečni presek, izvučena ispred integrala, a (EI)*

definiše simbolično vrednost integrala u sredini izraza. Odatle

𝜅𝑀𝑧

(𝐸𝐼) ∗ (6-26)

i zamenom ovog odnosa u jednačine 6-3 i 6-16

𝜀𝑥 = −𝑀𝑧

(𝐸𝐼) ∗𝑦 i 𝜎𝑥 = −𝐸𝑖

𝑀𝑧

(𝐸𝐼) ∗𝑦 (6-27)

gde je poslednji izraz analogan jednačini 6-11, i može biti odmah određen za homogenu gredu.

U proračunima savijanja kod kompozitnih poprečnih preseka, ponekad je korisno da se uvede

koncept ekvivalentne ili transformisane površine poprečnog preseka za jedan materijal. To

zahteva proizvoljni izbor referentnog Ei, ovde ćemo ga označiti sa Eref. Koristeći ovakvo

označavanje integral u jednačini 6-15, za konstantnu zakrivljenost κ, može se predstaviti u

obliku:

∫ 𝐸𝑖𝑦𝑑𝐴 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 ∫ 𝑦𝐸𝑖

𝐸𝑟𝑒𝑓𝑑𝐴 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 ∫ 𝑦(𝑛𝑖𝑑𝐴) = 0

𝐴𝐴𝐴

(6-28)

gde je ni dA=(Ei/Eref) dA. Stoga se može smatrati da štap kompozitnog poprečnog preseka ima

ista mehanička svojstva kao referentni materijal, pod uslovom da je diferencijalna površina dA

pomnožena sa ni, tj. odnosom Ei i Eref. Nakon transformacije poprečnog preseka na ovaj način,


21

može se primeniti uobičajena elastična analiza. U transformisanom preseku napon se menja

linearno od neutralne ose u svim materijalima. Stvarni naponi se odnose na referentni materijal,

dok se naponi za ostale materijale moraju pomnožiti sa ni.

Postupak ćemo prikazati na dva primera koji slede.

PRIMER 6-8

Posmatrajmo kompozitnu gredu dimenzija prikazanih na Slici 6-21(a). Gornji deo dimenzija

150x250mm je od drveta Ew=10GPa; donji deo je čelična traka dimenzija 10x150mm ,

Es=200GPa. Ukoliko na gredu deluje moment savijanja od 30kNm oko horizontalne ose, koji je

najveći napon u čeliku i drvetu?

Slika 6 - 21

Rešenje

Uzmimo Ew kao Eref. Tada je ns=Es/Ew=20. Dobijamo transformisani presek kao na Slici 6-

21(b) sa ekvivalentnom širinom čelika koja je jednaka 150x20=3000mm. Težišta i momenti

inercije oko težišta ovog transformisanog preseka, respektivno,

�̅� =150𝑥250𝑥125 + 10𝑥3000𝑥255

150𝑥250 + 10𝑥3000= 183𝑚𝑚 (od vrha)

𝐼𝑧 =150𝑥2503

12+ 150𝑥250𝑥582 +

3000𝑥103

12+ 10𝑥3000𝑥722 = 478𝑥106𝑚𝑚4

Najveći napon u drvetu je

(𝜎𝑤)𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐

𝐼=

0.03𝑥109𝑥183

478𝑥10611.5𝑀𝑃𝑎

Najveći napon u čeliku je

(𝜎𝑠)𝑚𝑎𝑥 = 𝑛𝜎𝑤 = 20𝑥0.03𝑥109𝑥77

478𝑥10696.7𝑀𝑃𝑎


22


Uzmimo Es kao Eref. Tada je nw=Ew/Es=1/20. Transformisani presek je kao na Slici 6-21(c).

�̅� =7.5𝑥250𝑥135 + 150𝑥10𝑥5

7.5𝑥250 + 150𝑥10= 77𝑚𝑚 (od dna)

𝐼𝑧 =7.5𝑥2503

12+ 7.5𝑥250𝑥582 +

150𝑥103

12+ 150𝑥10𝑥722 = 23.9𝑥106𝑚𝑚4

(𝜎𝑠)𝑚𝑎𝑥 =0.03𝑥109𝑥77

23.9𝑥10696.7𝑀𝑃𝑎

(𝜎𝑤)𝑚𝑎𝑥 =𝜎𝑠

𝑛=

1

20𝑥

0.03𝑥109𝑥183

23.9𝑥10611.5𝑀𝑃𝑎

Treba napomenuti da ukoliko je transformisani presek ekvivalentan preseku od drveta, naponi u

stvarnom preseku od drveta se dobijaju direktno. Obrnuto, ukoliko je presek ekvivalentan

čeličnom, napon u čeliku se dobija direktno. Napon u materijalu čvršćem od materijala

transformisanog preseka se povećava, dakle, da bi se dobila ista jedinična dilatacija neophodan je

veći napon.

PRIMER 6-9

Odrediti najveći napon u betonu i čeliku za armirano-betonsku gredu preseka prikazanog na Slici

6-21(a) ako je opterećena pozitivnim momentom savijanja od 50 000 ft-lib. Armaturu čine dve

čelične šipke Ø9. Odnos modula elastičnosti čelika i betona je 1:15 tj. n=15.

Rešenje

Pretpostavlja se da ravni preseci ostaju ravni u elastičnoj armirano-betonskoj gredi. Dilatacije se

menjaju linearno od neutralne ose, kao što je prikazano na Slici 6-22(b) linijom ab. Za rešenje

ovog problema transformisani presek je od betona. Međutim, kako beton ima malu čvrstoću na

zatezanje moguće je da će doći do manjih prslina u zategnutoj zoni grede. Iz ovog razloga,

računaćemo da beton ne prihvata napone zatezanja. Na osnovu ove pretpostavke, beton u

zategnutoj zoni samo drži armaturu na svom mestu. U proračunu on praktično ne postoji, a

transformisani presek izgleda kao na Slici 6-22(c). Betonski poprečni presek je iznad neutralne

ose i ima oblik grede, ispod nje beton nije prikazan. Pošto čelik prima napone zatezanja on je

prikazan kao transformisana površina betona. Za potrebe proračuna položaj čelika je prikazan

samo jednim rastojanjem od neutralne ose do težišta. Postoji zanemarljiva razlika između ovog

rastojanja i stvarnog rastojanja različitih šipki armature.


23

Slika 6 - 22

Do sada smo koristili koncept neutralne ose, ali je njen položaj nepoznat. Međutim, poznato je

da se njen položaj podudara sa težišnom osom transformisanog preseka. Dalje je poznato da

statički moment preseka (prvi moment) sa jedne strane težišne ose je jednak statičkom momentu

preseka sa druge strane. Označimo sa kd rastojanje od vrha preseka do težišne ose, kao na Slici

6-22(c), gde je k nepoznati koeficijent, a d je rastojanje od vrha preseka do težišta armature (ovo

se poklapa sa uobičajenim obeležavanjem u knjigama o armiranom betonu, u ovom tekstu h se

generalno koristi za obeležavanje visine ili debljine štapa). Algebarskim sređivanjem navedenog

nalazimo neutralnu osu, oko koje sračunavamo I i određujemo napon kao u prethodnom primeru.

10(𝑘𝑑)površina betona

(𝑘𝑑 2⁄ )

krak=

30transformisani čelični presek

(20 − 𝑘𝑑)krak

5(𝑘𝑑)2 + 600 − 30(𝑘𝑑)

(𝑘𝑑)2 + 6(𝑘𝑑) − 120 = 0

Odatle,

𝑘𝑑 = 8.36𝑖𝑛 i 20 − 𝑘𝑑 = 11.64𝑖𝑛

𝐼 =10(8.36)3

12+ 10(8.36) (

8.36

2) + 0 + 30(11.64)2 = 4020𝑖𝑛4

(𝜎𝑐)𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐

𝐼=

50 000𝑥15𝑥8.36

6020= 833𝑝𝑠𝑖

𝜎𝑠 = 𝑛𝑀𝑐

𝐼=

15𝑥50 000𝑥12𝑥11.64

6020= 17 400𝑝𝑠𝑖


Pošto se odredi kd, umesto sračunavanja I, može se koristiti postupak koji je evidentan na Slici

6-22(d). Odredimo položaj rezultante napona pritiska na pritisnutom delu preseka, koji deluje

kao “hidrostatički” pritisak i nalazi se na kd/3 od vrha preseka. Štaviše, ako sa b označimo širinu

grede, ova rezultujuća sila C=½(σc)maxb(kd) (prosečna vrednost napona pomnožena sa


24

površinom). Rezultanta napona zatezanja je sila T koja deluje u težištu armature i jednaka je Asσs,

gde je As površina armature u preseku. Dalje, ako sa jd označimo rastojanje između T i C, i kako

je T=C, naneti moment M možemo zameniti sa Tjd ili Cjd.

𝑗𝑑 = 𝑑 − 𝑘𝑑/3 = 20 − (8.36/3) = 17.21𝑖𝑛

𝑀 = 𝐶𝑗𝑑 =1

2𝑏(𝑘𝑑)(𝜎𝑐)𝑚𝑎𝑥(𝑗𝑑)

(𝜎𝑐)𝑚𝑎𝑥 =2𝑀

𝑏(𝑘𝑑)(𝑗𝑑)=

2𝑥50 000𝑥15

10𝑥8.36𝑥17.21= 833𝑝𝑠𝑖

𝑀 = 𝑇𝑗𝑑 = 𝐴𝑠𝜎𝑠𝑗𝑑

𝜎𝑠 =𝑀

𝐴𝑠𝑗𝑑=

50 000𝑥12

2𝑥17.2117 400𝑝𝑠𝑖

Obe metode naravno daju isto rešenje. Drugi metod je zgodniji za praktičnu primenu. Kako čelik

i beton imaju različite dopuštene napone, za gredu se kaže da je ujednačeno armirana kada je

projektovana tako da očekivani naponi istovremeno budu u dopuštenim vrednostima. Treba

naglasiti da bi data greda bila praktično neupotrebljiva ukoliko bi moment od opterećenja

delovao u suprotnom smeru.

6-9. Zakrivljene grede

U ovom delu ćemo se baviti teorijom savijanja zakrivljenih greda. Ograničićemo se na grede čija

osa simetrije poprečnog preseka leži u jednoj ravni na celoj dužini grede. Bavićemo se samo

teorijom elastičnosti3, uz uobičajeni uslov da je modul elastičnosti isti za pritisak i zatezanje.

Posmatrajmo zakrivljeni štap prikazan na Slici 6-23(a) i (b). Spoljašnja vlakna su na rastojanju ro

od centra krivine O. Unutrašnja vlakna su na rastojanju ri. Rastojanje od centra O do težišta

preseka ćemo označiti sa . Rešenje ovog problema (ovo približno rešenjeje razvio je E. Winkler

1858, tačno rešenje ovog problema primenom metoda matematičke teorije elastičnosti je izveo

M. Golovin, 1881.) se ponovo zasniva na poznatim pretpostavkama: Preseci upravni na osu štapa

ostaju ravni nakon nanošenja momenta M. Ovo je grafički predstavljeno linijom ef u odnosu na

element štapa abcd. Element je definisan centralnim uglom ф.

Iako je osnovna pretpostavka deformacije ista kao kod pravih greda, i iz Hooke-ovog zakona

sledi da je normalni napon σ =Eε, nailazimo na neke poteškoće. Početna dužina vlakna grede kao

što je gh zavisi od rastojanja r od centra krivine. Stoga, iako se ukupna deformacija vlakana

štapa (označena sa malim uglom dф) menja po linearnom zakonu, dilatacije se ne menjaju

linearno. Izduženje nekog vlakna gh je (R-r)dф, gde je R rastojanje od centra O do neutralne

površine (čiji položaj još ne znamo) a njegova početna dužina je rф. Dilatacija ε proizvoljnog

vlakna je (R-r) dф/ r ф, a normalni napon σ elementarne površine dA poprečnog preseka je

3 Za plastičnu analizu zakrivljenih greda videti, na primer, H. D. Conway, "Elastic-

Plastic Bending of Curved Bars of Constant and Variable Thickness," J. Appl.

Mech. 27/4 (December 1960): 733-734


25

Slika 6 - 23 Zakrivljena greda pri čistom savijanju

𝜎 = 𝐸𝜀 = 𝐸(𝑅 − 𝑟)𝑑ф

𝑟ф (6-29a)

Za dalju primenu, treba imati u vidu da je

𝜎𝑟

𝑅 − 𝑟=

𝐸𝑑ф

ф (6-29b)

Izraz 6-29a daje normalni napon koji deluje na elementarnu provršinu poprečnog preseka

zakrivljene grede. Položaj neutralne ose sledi iz uslova da je suma svih sila koje deluju upravno

na presek jednaka nuli.

𝛴𝐹𝑛 = 0 ∫ 𝜎𝑑𝐴𝐴

= ∫𝐸(𝑅 − 𝑟)𝑑ф

𝑟ф𝐴

𝑑𝐴 = 0

Međutim, kako su E, R, ф i dф konstante za bilo koji presek opterećene grede, ove članove

možemo izvući ispred znaka integrala i dobiti rešenje za R. Tako:

𝐸𝑑ф

ф= ∫

𝑅 − 𝑟

𝑟𝑑𝐴 =

𝐸𝑑ф

ф(𝑅 ∫

𝑑𝐴

𝑟− ∫ 𝑑𝐴

𝐴𝐴

)𝐴

= 0

𝑅 =𝐴

∫ 𝑑𝐴/𝑟𝐴

(6-30)

gde je A površina poprečnog preseka grede, a R definiše položaj neutralne ose. Napomenimo da

se neutralna osa dobijena ovim postupkom ne poklapa sa težišnom osom. Ovo se razlikuje od

slučaja koji važi kod pravih elastičnih greda.


26

Sada kada je poznat položaj neutralne ose, izraz za raspodelu napona ćemo dobiti kada

izjednačimo spoljašnji moment sa unutrašnjim momentom usled napona, dat jednačinom 6-29a.

Sumiranje momenata se vrši oko z ose, koja je upravna na ravan figure u O na Slici 6-23(a).

𝛴𝑀𝑧 = 0 𝑀 = ∫ 𝜎𝐴

𝑑𝐴(𝑅 − 𝑟) = ∫𝐸(𝑅 − 𝑟)2𝑑ф

𝑟ф𝐴

𝑑𝐴

Ponovo, kako su E, R, ф i dф konstante u preseku, korišćenjem jednačine 6-29b, dobićemo

sledeće:

𝑀 =𝐸𝑑ф

ф∫

(𝑅 − 𝑟)2

𝑟𝑑𝐴

𝐴

=𝜎𝑟

𝑅 − 𝑟∫

(𝑅 − 𝑟)2

𝑟𝑑𝐴

𝐴

=𝜎𝑟

𝑅 − 𝑟∫

𝑅2 − 𝑅𝑟 − 𝑅𝑟 + 𝑟2

𝑟𝑑𝐴

𝐴

=𝜎𝑟

𝑅 − 𝑟(𝑅2 ∫

𝑑𝐴

𝑟− 𝑅

𝐴

∫ 𝑑𝐴 −𝐴

𝑅 ∫ 𝑑𝐴 + ∫ 𝑟𝑑𝐴𝐴𝐴

)

Kako je R konstanta, prva dva integrala se gube kao što se može videti u izrazu u zagradi koji se

javlja ispred jednačine 6-30. Treći integral je A, a poslednji integral, po definiciji, je �̅�𝐴 gde je �̅�

poluprečnik težišne ose. Odatle,

𝑀 =𝜎𝑟

𝑅 − 𝑟(�̅�𝐴 − 𝑅𝐴)

odakle je normalni napon koji se javlja u zakrivljenoj gredi na rastojanju r od centra krivine

𝜎 =𝑀(𝑅 − 𝑟)

𝑟𝐴(�̅� − 𝑅) (6-31)

Ako se pozitivno y meri od neutralne ose ka centru krivine, i �̅�-R=e, jednačina 6-31 se može

napisati u obliku koji je veoma podseća na jednačinu savijanja kod pravih greda:

𝜎 =𝑀𝑦

𝐴𝑟(𝑅 − 𝑦) (6-32)

Ove jednačine ukazuju da raspodela napona kod zakrivljenih greda ima hiperbolični oblik.

Poređenje ovih rezultata sa onima koje slede iz izraza za prave grede prikazano je na Slici 6-

23(c). Posebno obratiti pažnju da se kod zakrivljenih greda neutralna osa pomerena ka centru

krivine grede. Ovo je posledica toga što se veći naponi javljaju ispod neutralne ose. Ova teorija

se odnosi, naravno, samo na elastičnu raspodelu napona i samo za grede kod čistog savijanja. Za

razmatranje slučaja gde se u preseku javlja i aksijalna sila , vidi Odeljak 6-12.


27

PRIMER 6-10

Uporedi napone kod pravougaone grede dimenzija 50x50mm opterećene momentom na

krajevima od 2083Nm u tri specijalna slučaja: (a) prava greda, (b) zakrivljena greda sa

poluprečnikom krivine težišne ose od 250mm =250mm, Slika 6-24(a), i (c) greda sa

zakrivljenjem od �̅�=75mm.

Rešenje

(a) Ovo sledi direktnom primenom jednačina 6-21 i 6-22.

𝑆 = 𝑏ℎ2/6 = 50𝑥502/6 = 20.83𝑥103𝑚𝑚3

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀

𝑆=

2083𝑥103

20.83𝑥103= ±100𝑀𝑃𝑎

Rezultat je prikazan na Slici 6-24(c). �̅�=∞ kako je kod prave grede beskonačan poluprečnik

krivine.

Slika 6 - 24

Da bismo rešili stavke (b) i (c) prvo moramo naći položaj neutralne ose. Njega ćemo u opštem

slučaju naći integraljenjem jednačine 6-30. Za pravougaoni presek, elementarna površina je

uzeta kao b dr, Slika 6-24(b). Integraljenje se vrši između granica ri i ro, unutrašnji i spoljašnjeg

poluprečnika, respektivno.

𝑅 =𝐴

∫ 𝑑𝐴/𝑟𝐴

=𝑏ℎ

∫ 𝑏𝑑𝑟/𝑟𝑟𝑜

𝑟𝑖

=ℎ

∫ 𝑑𝑟/𝑟𝑟𝑜

𝑟𝑖

=ℎ

|ln 𝑟|𝑟𝑖

𝑟𝑜=

ℎ

𝑙𝑛(𝑟𝑜/𝑟𝑖)

=ℎ

2.3026 𝑙𝑜𝑔(𝑟𝑜/𝑟𝑖)

(6-33)

gde je h visina preseka, ln je prirodni logaritam, a log je logaritam sa osnovom 10.

(b) U ovom slučaju, h=50mm, �̅�=250mm, ri=225mm, i ro=275mm. Rešenje se dobija iz

jednačina 6-33 i 6-31. Indeks i se odnosi na normalni napon σ za unutrašnja vlakna; o za

spoljašnja vlakna.

𝑅 =50

ln(275/225)= 249.164𝑚𝑚

𝑒 = �̅� − 𝑅 = 250 − 249.164 = 0.836𝑚𝑚


28

𝜎𝑖 =𝑀(𝑅 − 𝑟𝑖)

𝑟𝑖𝐴(�̅� − 𝑅)=

2083𝑥103𝑥(249.164 − 225)

225𝑥502𝑥0.836= 107𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑜 =𝑀(𝑅 − 𝑟𝑜)

𝑟𝑜𝐴(�̅� − 𝑅)=

2083𝑥103𝑥(249.164 − 275)

275𝑥502𝑥0.836= −93.6𝑀𝑃𝑎

Negativni predznak σo ukazuje da je u pitanju napon pritiska. Ove veličine i odgovarajuća

raspodela napona prikazani su na Slici 6-24(c); �̅�=250mm.

(c) Ovaj slučaj je sračunat na isti način. Ovde je h=50mm, �̅�=75mm, ri=50mm, i ro=100mm.

Rezultati proračuna prikazani su na Slici 6-24(c).

𝑅 =50

ln(100/50)=

50

ln 2= 72.13𝑚𝑚

𝑒 = �̅� − 𝑅 = 75 − 73.13 = 2.87𝑚𝑚

𝜎𝑖 =2083𝑥103𝑥(72.13 − 50)

50𝑥502𝑥2.87= 128𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑜 =2083𝑥103𝑥(72.13 − 100)

100𝑥502𝑥2.87= −80.9𝑀𝑃𝑎

Nekoliko važnih zaključaka se može izvesti iz ovog primera. Prvo, uobičajena jednačina

savijanja je relativno dobra za grede sa značajnom zakrivljenošću. Greška kod maksimalnog

napona iznosi samo 7% kod slučaja (b) za �̅�/h=5, i ona se u praksi najčešće može tolerisati. Za

veće odnose �̅�/h ova greška se smanjuje. Kako se zakrivljenost grede povećava, napon na

konkavnoj strani se rapidno povećava u odnosu na onaj dobijen uobičajenom jednačinom

savijanja. Kada je �̅�/h=1,5, javlja se greška od 28%. Drugo, rešavanje integrala za R po površini

poprečnog preseka može biti vrlo složeno. proračuni R moraju biti vrlo tačni jer se razlike

između R i uporednih vrednosti koriste u izrazu za napon.

Poslednje dve poteškoće dovele su do razvoja drugih metoda za rešavanje ovog problema. Jedna

takva metoda se sastoji u razvijanju nekih delova rešenja u redove (S. Timoshenko, Strenght of

Materials, 3rd ed. Part I), druga u rešavanju transformisanih preseka. Još jedan pristup se zasniva

na radu “unazad”. Analiziraju se naponi za zakrivljene grede raznih krivina i poprečnih preseka;

zatim se ove vrednosti se dele sa naponom koji bi se dobio za ove grede kada bi bili pravi. Ovaj

odnos se zatim sračuna4. Dakle, obrnuto, ako se traži napon u zakrivljenoj gredi, on se dobija kao

𝜎 = 𝐾𝑀𝑐

𝐼 (6-34)

gde je K koeficijent dobijen iz tabele ili sa grafika a Mc/I se sračuna kao u običnoj jednačini

savijanja.

Dat je izraz za rastojanje od centra krivine do neutralne ose zakrivljene grede sa kružnim

poprečnim presekom, jer ćemo ga koristiti kasnije:

4 R. J. Roark, and W. C. Young, Formulas for Stress and Strain, peto izdanje. (New

York: McGraw-Hill, 1975)..


29

𝑅 =�̅� + √�̅�2 − 𝑐2

2 (6-35)

gde je �̅� rastojanje od centra krivine do težišta, a c je poluprečnik kružnog poprečnog preseka.

6-10. Neelastično savijanje greda

Zbog ekonomičnosti, postaje sve značajnije određivanje čvrstoće elemenata izvan granica

elastičnosti. U ovom razmatra se neelastično savijanje greda u post elastičnom opsegu ponašanja

materijala. Ograničićemo se na čisto savijanje grede oko ose upravne na osu simetrije poprečnog

preseka.

Teorija elastičnog savijanja grede se može lako prošiti na neelastično savijanje uvođenjem

jednoosnog nelinearnog odnosa napona i dilatacije materijala. Osnovni zahtevi statičke i

kinematičke deformacije ostaju isti kao u slučaju elastičnosti.

Slika 6 - 25 Neelastično savijanje grede

Da bi pokazali postupak analize posmatrajmo gredu koja ima poprečni presek prikazan na Slici

6-25(a). Ako kao i ranije pretpostavimo da preseci ostaju ravni nakon deformacije, podužna

normalna dilatacija se menja linearno kao na Slici 6-25(b). za nekoliko odabranih dilatacija ε1, ε2,

… ε5 u ovom dijagramu, odgovarajući naponi σ1, σ2, … σ5 su definisani na datom dijagramu


30

napon-deformacija na Slici 6-25(c). Ako nanesemo vrednosti ovih napona na presek dobićemo

moguću raspodelu napona duž krive AB kao na Slici 6-25(d) (Ako izuzmemo vertikalnu

razmeru, ova linija odgovara krivoj na dijagramu napon-dilatacija.) Ovi naponi, delujući na

odgovarajućoj površini poprečnog preseka, izazivaju silu pritiska C iznad neutralne ose i silu

zatezanja T ispod nje. Kada je T=C tačan položaj neutralne ose je određen. Ovaj uslov je

ekvivalentan stavu da je u preseku

∫ 𝜎𝑑𝐴 = 0𝐴

(6-36)

gde je σ normalni napon usled savijanja u tom preseku.

Određivanje položaja neutralne ose takav da je T=C može zahtevati rešavanje probanjem, iako je

za neke poprečne preseke5 razvijen direktni postupak. Nakon što odredimo položaj neutralne ose,

rezultujući moment u preseku je jednak C(a+b) ili T(a+b), vidi Sliku 6-25(d). U opštem obliku

jednačina glasi

𝑀𝑧 = − ∫ 𝜎𝑦𝑑𝐴 (6-37)

Problem je znatno pojednostavljen u slučaju da je poprečni presek simetričan u odnosu na

horizontalnu osu i da su svojstva materijala ista za savijanje i za pritisak. Za ovakave slučajeve

unapred nam je poznato da neutralna osa prolazi kroz težište preseka, i možemo direktno da

primenimo jednačinu 6-37. Ponašanje takve grede pri savijanju prikazano je na Slici 6-26. Niz

dilatacija koje se progresivno povećavaju povezane sa ravnim presecima prikazan je na Slici 6-

26(c). Ove maksimalne dilatacije definišu maksimalni napon u spoljašnjim vlaknima grede, Slika

6-26(c), što rezultuje progresivnim povećanjem napona savijanja.

5 A. Nadai, Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. I (New York: McGrawHill,

1950), 356.


31

Slika 6 - 26 Prekoračenje granice proporcionalnosti materijala kod savijanja pravougaone grede

Kao što se može videti na Slici 6-26(a) i (c), najveći ostvareni napon je σ3. Trenutna raspodela

napona u gredi u vezi sa σ3, za ovaj krti materijal, prikazana je na Slici 6-26(c) krivom AB.

Međutim, u rutinskim eksperimentima nominalni napon u ekstremnim vlaknima je često

sračunat primenom jednačine elastičnog savijanja, jednačina 6-13, korišćenjem eksperimentalno

određenog krajnjeg momenta savijanja. Tako dobijeni napon se naziva napon loma materijala pri

savijanju. Ovaj napon je prikazan linijom CD na Slici 6-26(c) i veći je nego stvarno ostvareni

napon.

Slika 6 - 27 Elasto-plastična greda pri velikim nivoima naprezanjima

Elastična savršeno plastična idealizacija se [Slika 2-13(b)], zbog jednostavnosti, često koristi kod

greda od duktilnog materijala pri određivanju ponašanja prilikom savijanja, a kao važan primer

neelastičnog savijanja, posmatrajmo pravougaonu gredu od elasto-plastičnog materijala; vidi

Sliku 6-27. Kod tako idealizovanog ponašanja materijala moguće je oštro razdvajanje elementa

na elastičnu i plastičnu zonu. Na primer, ako je dilatacija u ekstremnim vlaknima dvostruko veća

u odnosu na početak tečenja, samo srednja polovina grede ostaje elastična; vidi Sliku 6-27(a). U


32

ovom slučaju, dolazi do tečenja spoljašnjih četvrtina grede. Veličina momenta M1 koji odgovara

ovom stanju se može lako sračunati (vidi Primer 6-13). Pri većim dilatacijama elastična zona, ili

jezgro, nestaju. Raspodela napona koja odgovara ovom slučaju prikazana je na Slici 6-27(b) i (c).

PRIMER 6-11

Odrediti granični plastični kapacitet kod savijanja meke čelične grede pravougaonog poprečnog

preseka. Smatrati materijal idealno elasto-plastičnim.

Rešenje

Idealizovani dijagram napon-dilatacija prikazan je na Slici 6-28(a). Pretpostavljeno je da

materijal ima ista svojstva pri zatezanju i pritisku. Dilatacije koje se javljaju u čeliku tokom

tečenja je mnogo veći od maksimalne elastične dilatacije (15 do 20 puta). Kako bi se pri većim

dilatacijama javile neprihvatljivo velike deformacije grede, plastični moment se može uzeti kao

granični moment.

Slika 6 - 28

Raspodela napona prikazana na Slici 6-28(b) se javlja nakon što dođe do velikih deformacija. Pri

sračunavanju momenata, naponi koji odgovaraju trougaonim površinama abc i bde se mogu

zanemariti bez većeg uticaja na tačnost. Oni pružaju mali otpor nanetom momentu savijanja

zbog malog kraka sile. Odatle, idealizovana raspodedela napona prikazana na Slici 6-28(c) je

dozvoljena i ima jednostavno fizičko značenje. Cela gornja polovina je izložena uniformnim

naponom pritiska –σyp, dok je donja polovina izložena uniformnim naponom zatezanja σyp. To

što je greda jednako podeljena na zategnuti i pritisnuti deo sledi iz simetrije preseka. Numerički,

C=T=σyp(bh/2) tj. napon x površina

Svaka od ovih sila deluje na rastojanju h/4 od neutralne ose. Odatle, plastični ili granični

moment grede je

𝑀𝑝 ≡ 𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝐶 (ℎ

4+

ℎ

4) = 𝜎𝑦𝑝

𝑏ℎ2

4

gde je b širina grede a h visina.

Isto rešenje možemo dobiti direktnom primenom jednačina 6-36 i 6-37. Vodeći računa o znaku

napona, možemo zaključiti da je jednačina 6-36 zadovoljena ako neutralnu osu postavimo u


33

sredinu grede. Zamenom dA=b dy i uzimajući u obzir simetriju u odnosu na neutralnu osu,

jednačina 6-37 dobija oblik

𝑀𝑝 ≡ 𝑀𝑢𝑙𝑡 = −2 ∫ (−𝜎𝑦𝑝)𝑦𝑏 𝑑𝑦ℎ/2

0

= 𝜎𝑦𝑝

𝑏ℎ2

4 (6-38)

Moment savijanja u gredi pravougaonog preseka u trenutku kada je u krajnjim vlaknima

dostignut napon σyp, kako je dato jednačinom elastičnog savijanja, je

𝑀𝑦𝑝 = 𝜎𝑦𝑝𝐼/𝑐 = 𝜎𝑦𝑝(𝑏ℎ2/6) odatle, 𝑀𝑝/𝑀𝑦𝑝 = 1.50

Odnos Mp/Myp jedino zavisi od karakteristika poprečnog preseka grede i naziva se faktor oblika.

Faktor oblika dat samo za pravougaonu gredu pokazuje da Myp može biti prekoračen za 50% pre

nego što se dostigne granična plastična nosivost.

Za statičko opterećenje kakvo se javlja u zgradama, granična nosivost se može približno odrediti

koristeći plastične momente. Postupci zasnovani na takvom konceptu nazivaju se plastična

analiza. Za zakve proračune plastični otporni moment Z definisan je na sledeći način:

𝑀𝑝 = 𝜎𝑦𝑝𝑍 (6-39)

Za pravougaonu gredu koja je analizirana, Z=bh2/4.

PRIMER 6-12

Odrediti zaostali napon u pravougaonoj gredi nakon uklanjanja graničnog plastičnog momenta

savijanja.

Rešenje

Raspodela napona usled graničnog plastičnog momenta prkazana je na Slici 6-29(a). Veličina

ovog momenta određena je u prethodnom primeru kao Mp=σypbh2/4. Do dostizanja plastičnog

momenta Mp, pri rasterećenju sva vlakna mogu da se elastično vrate. Elastični opseg materijala

tokom rasterećenja je dvostruko veći u odnosu na onaj koji bi bio u početku (vidi Sliku 2-13).

Dakle, kako je Myp= σypbh2/6 a moment koji je rasterećen je σyp(bh2/4) ili 1,5Myp, maksimalni

napon sračunat na osnovu elastičnog delovanja je 3/2σyp, kako je prikazano na Slici 6-29(b).

Superponiranjem početnog napona pri Mp sa elastičnim povratnim naponom usled rasterećenja

od Mp, dobija se zaostali napon; vidi Sliku 6-29(c). Zaostali podužni naponi i pritiska i zatezanja

ostaju u gredi. Zategnute zone su osenčene na slici. Da su takve grede izrađene tako da im se

postepeno smanjuje visina, oslobađanje od zaostalih napona bi izazvalo nepoželjne deformacije

u gredi.


34

Slika 6 - 29 Raspodela zaostalog napona kod pravougaone grede

PRIMER 6-13

Odrediti moment nosivosti elasto-plastične pravougaone grede.

Slika 6 - 30 Elasto-plastična konzola

Rešenje

Da bi problem bio određeniji, posmatraće se kozola opterećena kao na Slici 6-30(a). Ako je

greda izrađena od idealno elasto-plastičnog materijala i naneta sila P je dovoljno velika da

izazove tečenje, formiraće se plastična zona (osenčeno na slici). U proizvoljnom preseku a-a,

odgovarajuća raspodela napona će biti kao na Slici 6-30(c). Elastična zona se prostire na visini

od 2y0. Kako se u elastičnoj zoni napon menja linearno a u plastičnoj zoni je napon svuda jednak

σp, moment nosivosti M je

𝑀 = −2 ∫ (−

𝑦

𝑦0𝜎𝑦𝑝) (𝑏 𝑑𝑦)𝑦 −

𝑦0

0

2 ∫ (−𝜎𝑦𝑝)(𝑏 𝑑𝑦)𝑦

ℎ2

𝑦0

= 𝜎𝑦𝑝

𝑏ℎ2

4− 𝜎𝑦𝑝

𝑏𝑦02

3= 𝑀𝑝 − 𝜎𝑦𝑝

𝑏𝑦02

3

(6-40)


35

gde je krajnji oblik dobijen prema jednačini 6-38. U ovoj opštoj

jednačini, ako je y0=0, nosivost postaje jednaka graničnom

plastičnom momentu. Međutim, ako je y0=h/2, moment se vraća

na granični elastični slučaj, gde M= σypbh2/6. Kada je naneti

moment savijanja duž raspona poznat, elasto-plastična granica se

može odrediti rešavanjem jednačine 6-40 po y0. Sve dok postoji

elastična zona ili jezgro, plastične deformacije ne mogu da

napreduju neograničeno. To je slučaj ograničenog plastičnog

tečenja.

Nakon što uklonimo silu P, zaostali napon ostaje duž grede gde

je došlo do plastičnih deformacija. Tipična raspodela napona za

ovo područje prikazana je na Slici 6-31. Ovo je realnija

raspodela napona od one prikazane na Slici 6-29(c), jer u

realnosti nije moguće oštro razdvajanje zategnute i pritisnute zone u neutralnoj osi. Oblik

raspodele napona koji odgovara graničnom slučaju raspodele napona prikazan je na Slici 6-26(a).

Raspored zaostalog napona za takve materijale bi bio nalik razlici napona između krive AB i

prave CD na Slici 6-26(c).

PRIMER 6-14

Odrediti plastični moment za armirano betonsku gredu iz Primera 6-9. Pretpostaviti da je granica

tečenja armature pri 40.000 psi a da je granična čvrstoća betona fc’=2500psi.

Rešenje

Kada armatura počne da teče, javljaju se velike deformacije. Ovo se uzima kao granična nosivost

čelika; odatle Tult=Asσyp.

Pri graničnom ili plastičnom momentu, eksperimentalni rezultati pokazuju da se napon pritiska u

betonu može aproksimirati pravougaonom raspodelom napona prikazanom na Slici 6-326.

Uobičajena je pretpostavka da je prosečan napon u ovom bloku napona pritiska 0.85f’c. Na

osnovu ovoga, imajući u vidu da je Tult=Cult, imamo

𝑇𝑢𝑙𝑡 = 𝜎𝑦𝑝𝐴𝑠 = 40 000𝑥2 = 80 000𝑙𝑏 = 𝐶𝑢𝑙𝑡

𝑘′𝑑 =𝐶𝑢𝑙𝑡

0.85𝑓𝑐′𝑏

=80 000

0.85𝑥2 500𝑥10= 3.77𝑖𝑛

𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝑇𝑢𝑙𝑡(𝑑 − 𝑘′𝑑/2) = 80 000(20 − 3.77/2)/12 = 121 000𝑓𝑡 − 𝑙𝑏

6 Za više informacija videti P. M. Ferguson, J. E. Breen, i J. O. Jirsa, Reinforced

Cncrete Fundamentals, peto izdanje. (New York: Wiley, 1988), ili R. Park i

T. Paulay, Reinforced Concrete Structures (New York: Wiley, 1975).

Slika 6 - 31 Dijagram zaostalog

napona u gredi


36

Slika 6 - 32


37

DEO B NESIMETRIČNO SAVIJANJE I SAVIJANJE SA AKSIJALNIM SILAMA

6-11. Savijanje oko obe glavne ose

Kao jednostavan primer kosog ili nesimetričnog čistog savijanja, posmatrajmo pravougaonu

gredu prikazanu na Slici 6-33. Naneti momenti M deluju u ravni abcd. Vektor momenta M

možemo razložiti na dve komponente My i Mz, kao na Slici 6-33(b). Kako je poprečni presek

grede simetričan u odnosu na obe ose, izrazi izvedeni u Delu 6-3 se mogu odmah primeniti.

Zbog simetrije, centrifugalni moment inercije za ovaj presek je jednak nuli, a prikazane

ortogonalne ose su glavne ose poprečnog preseka. Ovo takođe važi za težišnu osu preseka sa

jednom osom simetrije.

Ako pretpostavimo elastično ponašanje materijala, superponiranjem napona usled My i Mz se

rešava problem. Odatle, korišćenjem jednačina 6-11 i 6-12,

𝜎𝑥 = −𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧+

𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦 (6-41)

gde svi članovi imaju prethodno definisana značenja.

Slika 6 - 33 Nesimetrično savijanje grede sa dvo-osno simetričnim poprečnim presekom


38

Slika 6 - 34 Superpozicija elastičnog napona usled savijanja

Grafički prikaz superpozicije dat je na Slici 6-34. Možemo uočiti

da linija nultog napona tj. neutralna osa gradi ugao β sa osom z.

Analitički tu osu možemo odrediti ako izraz za napon dat

jednačinom 6-41 izjednačimo sa nulom,

−𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧+

𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦= 0 ili tan 𝛽 =

𝑦

𝑧=

𝑀𝑦𝐼𝑧

𝑀𝑧𝐼𝑦 (6-42)

Kako je My=M sin α i Mz=M cos α, ovu jednačinu možemo da

svedemo na

tan 𝛽 =𝐼𝑧

𝐼𝑦tan 𝛼 (6-43)

Ova jednačina pokazuje da osim ako Iz=Iy, ili je α=0° ili 90°,

uglovi α i β nisu jednaki. Stoga, generalno, neutralna osa i

normala na ravan u kojoj se nalazi naneti moment se ne

poklapaju.

Dobijeni izrazi se mogu primeniti za grede bilo kog poprečnog

preseka pod uslovom da su definisane glavne ose. Da bi dokazali

ovu tvrdnju, posmatrajmo gredu proizvoljnog poprečnog preseka

prikazanu na Slici 6-35. Neka se takva elastična greda savija oko

glavne z ose i pretpostavimo da je raspodela napona data izrazom

σx=Mzy/Iz, jednačina 6-11. Ako ova raspodela napona ne izaziva

moment savijanja My oko y ose, ovo je tačno rešenje problema.

Izraz za ovaj slučaj glasi

𝑀𝑦 = ∫ −𝑀𝑧

𝐼𝑧𝑦𝑧 𝑑𝐴 =

𝑀𝑧

𝐼∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0

𝐴𝐴

(6-44)

Slika 6 - 35 Čisto savijanje oko

glavnih osa


39

gde su konstante izvučene ispred dvostrukog integrala, koji je jednak nuli jer po definiciji

centrifugalni moment incercije za glavne ose je jednak nuli.

Na osnovu gore navedenog, ograničenja u jednačini elastičnog savijanja sa početka poglavlja

koja ga ograničavaju na primenu za simetrične poprečne preseke više ne važe. Međutim, da bi se

primenila jednačina 6-41, moraju se koristiti glavne ose poprečnog preseka. Postupak za

zaobilaženje ovog zahteva dat je u poglavlju 6-14.

PRIMER 6-15

Drvena greda dimenzija 100x150mm prikazana na Slici 6-36(a) opterećena je jednako

podeljenim opterećenjem od 4kN na rasponu od 3m. Opterećenje deluje u ravni koja zaklapa

ugao od 30° sa vertikalom, kao što je prikazano na Slici 6-36(b) i na slici 6-36(c). Sračunati

maksimalni napon usled savijanja na sredini raspona, i za isti presek odrediti položaj neutrale

ose, za isti presek. Zanemariti sopstvenu težinu grede.

Rešenje

Maksimalno savijanje u ravni u kojoj je naneto opterećenje javlja se u sredini raspona, i prema

Primeru 5-8, jednako je w0L2/8 ili WL/8, gde je W rezultanta kontinualnog opterećenja na

rasponu L. Odatle,

𝑀 =𝑊𝐿

8=

4𝑥3

8= 1.5𝑘𝑁𝑚

Dalje, moment razložen na komponente u odnosu na odgovarajuće ose, i sračunati su Iz i Iy.

𝑀𝑧 = 𝑀 cos 𝛼 = 1.5𝑥√3/2 = 1.3𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦 = 𝑀 sin 𝛼 = 1.5𝑥0.5 = 0.75𝑘𝑁𝑚

𝐼𝑧 = 100𝑥1503/12 = 28.1𝑥106𝑚𝑚4

𝐼𝑦 = 150𝑥1003/12 = 12.5𝑥106𝑚𝑚4


40

Slika 6 - 36

Uzimajući u obzir smer komponentalnih momenata, možemo zaključiti da se najveći napon

zatezanja javlja u A. Na sličan način ćemo odrediti napon u ostalim ugaonim tačkama u

uglovima. Alternativno, vrednosti za ove tačke se mogu direktno uneti u jednačinu 6-41. U oba

slučaja,

𝜎𝐴 = −𝑀𝑧(−𝑐1)

𝐼𝑧+

𝑀𝑦𝑐2

𝐼𝑦=

1.3𝑥106𝑥75

28.1𝑥106+

0.75𝑥106𝑥50

12.5𝑥106= +3.47 + 3.00 = +6.47𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐵 = +3.47 − 3.00 = +0.47𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐶 = −3.47 − 3.00 = −6.47𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐷 = −3.47 + 3.00 = −0.47𝑀𝑃𝑎

Primećujemo da su veličine napona na dijametralno suprotnim krajevima numerički jednake.

Neutralnu osu određujemo pomoću ugla β, korišćenjem jednačine 6-43:

tan 𝛽 =28.1𝑥106

12.5𝑥106 tan 30° = 1.30 ili 𝛽 = 52.4°


41

Alternativno, možemo je naći iz raspodele napona, koja se linearno menja između dve tačke. Na

primer, iz sličnosti trouglova, a/(150-a)=0,47/6,47, što daje a=10,2mm. Ovako nalazimo položaj

neutralne ose prikazane na Slici 6-36(e) pošto mora proći kroz težište preseka. Na ovaj način

dobija se ista vrednost za β.

PRIMER 6-16

Odrediti maksimalni napon pritiska i zazezanja usled momenta savijanja od 10kNm koji deluje u

odnosu na horizontalnu osu za ugao dat u mm na Slici 6-37.

Slika 6 - 37

Rešenje

Pogrešno je rešavati ovaj problem korišćenjem y i z koordinata datim u jednačinama savijanja

razmatranim u dosadašnjem tekstu. Međutim, rešenje se može dobiti korišćenjem glavnih osa

poprečnog preseka. One su određene u Primeru 6-15, gde smo dobili da se ose moraju zarotirati

u pravcu kazaljke na satu za ugao θ1=14,34°. Za ove glavne ose, Imax=Iz’=23,95x106mm4 i

Imin=Iy’=2,53x106mm4. Za ove ose,

𝑀𝑧′ = +𝑀 cos 𝜃1 = 10𝑥106 cos 14.34° = 9.689𝑥106𝑁𝑚𝑚

𝑀𝑦′ = +𝑀 sin 𝜃1 = 10𝑥106 cos 14.34° = 2.475𝑥106𝑁𝑚𝑚

Najopterećenija tačka poprečnog preseka je tačka najudaljenija od neutralne ose. Da bi odredili

ovu osu, ugao β je određen jednačinom 6-43. Odatle, korišćenjem y’ i z’ koordinata,

tan 𝛽′ =𝐼𝑧′

𝐼𝑦′tan 𝜃1 =

23.95𝑥106

2.53𝑥106tan 14.34° = 2.42


42

i β’=67,5°. Kako je ugao meren od z’ ose, sa z osom zaklapa ugao od 67,5°-14,34°=53,2°.

Očigledno je da je veliki nagib neutralne ose u odnosu na z osu, što je mnogo veće od θ1.

Pošto smo odredili položaj neutralne ose, sa slike možemo videti da je najopterećenija pritisnuta

tačka B, dok je najopterećenija zategnuta tačka F. Lociranjem ovih tačaka u y’ z’ koordinatnom

sistemu glavnih osa i primenom jednačine 6-41 naći ćemo tražene napone.

𝑦𝐵′ = 𝑧𝐵 sin 𝜃1 + 𝑦𝐵 cos 𝜃1 = +4.3 sin 𝜃1 + 125.7 cos 𝜃1 = 122.9𝑚𝑚

𝑧𝐵′ = 𝑧𝐵 cos 𝜃1 + 𝑦𝐵 sin 𝜃1 = +4.3 cos 𝜃1 + 125.7 sin 𝜃1 = 122.9𝑚𝑚

𝜎𝐵 = −𝑀𝑧′𝑦𝐵

′

𝐼𝑧′+

𝑀𝑦′𝑧𝐵′

𝐼𝑦′= −

9.689𝑥106𝑥122.9

23.95𝑥106+

2.475𝑥106𝑥(−26.95)

2.53𝑥106= −76.1𝑀𝑃𝑎

Slično,

𝑦𝐹′ = 𝑧𝐹 sin 𝜃1 + 𝑦𝐹 cos 𝜃1 = 24.3 sin 𝜃1 − 74.3 cos 𝜃1 = −65.97𝑚𝑚

𝑧𝐹′ = 𝑧𝐹 cos 𝜃1 − 𝑦𝐹 sin 𝜃1 = 24.3 cos 𝜃1 + 74.3 sin 𝜃1 = +41.93𝑚𝑚

𝜎𝐹 = −𝑀𝑧′𝑦𝐹

′

𝐼𝑧′+

𝑀𝑦′𝑧𝐹′

𝐼𝑦′= −

9.689𝑥106𝑥(−65.97)

23.95𝑥106+

2.475𝑥106𝑥41.93

2.53𝑥106= +67.7𝑀𝑃𝑎

Kada je nesimetrično savijanje grede izazvano transverzalnom silom,

primena drugog postupka u odnosu na pokazani je često mnogo

zgodnija. Naneto opterećenje se prvo razloži na komponente koje deluju

u pravcu glavnih osa poprečnog preseka. Zatim se sračunaju momenti

savijanja usled komponenti opterećenja u odnosu na odgovarajuće ose

da bi se primenila jednačina savijanja. U Primeru 6-15 te komponente su

prikazane na Slici 6-39(g). Da bi izbegli napon usled torzije,

transverzalne sile moraju da deluju kroz centar smicanja, koncept koji je

obrađen u narednom poglavlju. Za dvoosno simetrične preseke,

pravougaonik, krug, I nosač, itd, centar smicanja se poklapa sa težištem

poprečnog preseka. Za druge porečne preseke, kao što je U profil, centar

smicanja je negde drugde, označeno sa S na Slici 6-38, i to je tačka u

kojoj mora da deluje transverzalna sila kako bi se sprečila pojava

torzionog napona. Za analizu nesimetričnog savijanja, naneto

opterećenje se mora razložiti u centru smicanja, paralelno glavnim

osama poprečnog preseka.

6-12. Elastično savijanje sa aksijalnim opterećenjem

Rešenje za čisto savijanje u odnosu na obe glavne ose štapa se može proširiti da uključuje i uticaj

aksijalnog opterećenja uvođenjem superpozicije. Takav pristup se može primeniti samo u opsegu

elastičnog ponašanja štapova. Dalje, ako naneta aksijalna sila izaziva pritisak, štap mora biti

masivniji - većih dimenzija poprečnog preseka, da se ne bi pojavio problem izvijanja koje je

obrađeno u Poglavlju 11. Uz ova ograničenja, jednačina 6-41 u opštem slučaju glasi

Slika 6 - 38 Bočna sila

koja prolazi kroz centar

smicanja S ne izaziva

torziju


43

𝜎𝑥 =𝑃

𝐴−

𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧+

𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦 (6-45)

gde je P uzeto pozitivno za silu zatezanja, i savijanje se javlja oko dve glavne y i z ose.

Slika 6 - 39

Za poseban slučaj ekscentrično nanete aksijalne sile, razmotrićemo slučaj prikazan na Slici 6-

39(a). Nanošenjem dve jednake ali suprotne sile P u težištu C, kao na Slici 6-39(b), dobićemo

ekvivalentan problem. U ovoj formulaciji, naneta aksijalna sila P koja deluje u C daje član P/A u

jednalini 6-45; dok spreg Pd koji nastaje usled suprotne sile P na rastojanju d izaziva

nesimetrično savijanje. Moment Pd koji nastaje usled ovog sprega se može razložiti na dve

komponente duž glavnih osa, kao na Slici 6-39(c), Ove komponente su My=Pz0 i Mz=Pz0. Kako

se smer ovih momenata poklapa sa pozitivnim pravcem y i z osa, ovi momenti su pozitivni u

jednačini 6-45.

Pod uslovom da su korišćene glavne ose, jednačina 6-45 se može primeniti za element bilo

kakvog poprečnog preseka. U nekim slučajevima, međutim, može biti korisnije da koristi

proizvoljan sistem ortogonalnih osa i da se odredi napon usled savijanja primenom jednačine 6-

64 datom u Poglavlju 6-14. Da bi se kompletiralo rešenje, mora se superponirati i napon usled

aksijalne sile.

Uputno je obratiti pažnju da je u proračunu, jednačina ravni data kao

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0

gde su A, B, C, i D konstante. Ako kažemo da je A=1, x=σx, B=Mz/Iz, C=My/Iy, i D=-P/A, može

se uočiti da jednačina 6-45 definiše ravan. Slično tome, kako je ε=σ/E, jednačina 6-45 se može

iskoristiti za dilataciju tako da glasi

𝜀𝑥 = 𝑥 = −(𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑) (6-47)


44

gde je a=1, a b, c, i d su konstante. Kako ova jednačina takođe definiše ravan, osnovna

pretpostavka za dilataciju pojednostavljene teorije savijanja je potvrđena. Međutim, zbog

pristustva aksijalne dilatacije usled P, “ravni preseci” ne samo da rotiraju, nego se i translatorno

pomeraju za P/AE.

Na osnovu prethodnog izlaganja, možemo zaključiti da se vrednosti podužnih dilatacija u

gredama opterećenim na savijanje i aksijalnim silama može predstaviti rastojanjem od referentne

ravni do nagnute ravni. Isto važi za elastične napone. Ove nagnute ravni seku referentnu ravan

po liniji. Ova linija nultog napona ili dilatacije je analogna neutralnoj osi kod čistog savijanja.

Za razliku od prethodnog slučaja, međutim, kada je P≠0, ova linija ne prolazi kroz težište

preseka. Za velike aksijalne sile i male momente savijanja, linija nultog napona ili dilatacije

može da se nalazi izvan poprečnog preseka. Ova linija je značajna zbog toga što se normalni

napon ili dilatacija od nje linearno menjaju.

Treba napomenuti da u mnogim slučajevima, moment savijanja u gredi izazvan je

transverzalnom silom pre nego ekscentričnom aksijalnom silom kao što je prikazano na Slici 6-

39. U takvim slučajevima jednačina 6-45 ostaje primenjiva.

Sledi nekoliko ilustrativnih primera, počevši od slučaja gde se savijanje vrši samo oko jedne

glavne ose.

PRIMER 6-19

Elastična šipka dimenzija 50x75mm dužine 1,5m zanemarljive sopstvene težine opterećena je

kao na Slici 6-40(a). Odrediti maksimalni napon zatezanja i pritiska koji je upravan na presek

grede.

Rešenje

Da bi se naglasila metoda superpozicije, problem je rešen podelom na dva dela. Na Slici 6-40(b)

greda je opterećena samo aksijalnim silama, a na Slici 6-40(c) ista greda je opterećena samo

transverzalnim silama. Normalni napon usled aksijalnog opterećenja na celoj dužini greda su

𝜎 =𝑃

𝐴=

25𝑥103

50𝑥75= 6.67𝑀𝑃𝑎 (zatezanje)

Rezultat je prikazan na Slici 6-40(d). Normalni napon usled transverzalne sile zavisi od veličine

momenta savijanja, a najveći moment savijanja se javlja na mestu na kojem deluje sila. Kako je

leva reakcija oslonca 2,7kN, Mmax=2,7x103x375=1,013x106Nmm. Na osnovu jednačine

savijanja, maksimalni napon u najudaljenijem vlaknu usled ovog moment iznosi

𝜎 =𝑀𝑐

𝐼=

6𝑀

𝑏ℎ2=

6𝑥1.013𝑥106

50𝑥752± 21.6𝑀𝑃𝑎

Ovi naponi deluju upravno na presek grede i smanjuju se linearno prema neutralnoj osi kao na

Slici 6-40(e). Zatim, da bi dobili jedinstven napon za bilo koji presek, naponu usled savijanja

moramo dodati vrednost napona usled zatezanja. Stoga, kao što se može videti na Slici 6-40(f), u

tački A rezultanta normalnog napona je napon pritiska od 14,9MPa, a u B je napon zatezanja od

28,3MPa.


45

Iako je u ovom zadatku aksijalna sila veća od transverzalne, savijanje izaziva veće napone.

Međutim, vitke pritisnute grede ne treba posmatrati na isti način.

Slika 6 - 40

Možemo uočiti da je u krajnjem rezultatu linija nultog napona, koja se nalazi u težištu preseka za

savijanje, pomerena na gore. Takođe možemo uočiti da lokalni naponi, usled delovanja

koncentrisane sile, koja deluje upravno na gornju površinu grede nisu uzeti u razmatranje.

Uopšteno, ovi naponi se tretiraju nezavisno kao lokalni naponi.

Raspodela napona prikazana na Slici 6-40(f) bi se promenila kada bi umesto aksijalne sile

zatezanja koja deluje na krajevima, na gredu delovala sila pritiska istog intenziteta. Maksimalni

napon zatezanja bi se smanjio sa 28,3MPa na 14,9MPa, što bi bilo poželjno kod materijala koji

imaju slabu nosivost na zatezanje i transverzalno opterećenje. Ovo je iskorišćeno kod

prednapregnutih konstrukcija. Snopovi žica napravljeni od čeličnih šipki visoke čvrstoće ili

kablovi koji prolaze kroz gredu, usidreni na krajevima, koriste se za prednaprezanje betonskih

greda. Takve veštački nanete sile sprečavaju pojavu napona zatezanja.


46

PRIMER 6-18

Elastični štap dimenzija 50x50mm savijen u obliku slova U, kao na Slici 6-41(a), opterećen je

dvema suprotnim silama P=8,33kN. Odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u

preseku A-B.

Rešenje

Slika 6 - 41

Traženi presek se nalazi u zakrivljenom delu grede, ali to nije od značaja za postupak proračuna.

Najpre, deo grede je uzet kao slobodno telo, kako je prikazano na Slici 6-41(b). U preseku A-B

određujemo aksijalnu silu koja deluje u težištu preseka, i moment savijanja koji je neophodan da

bi telo bilo u ravnoteži. Zatim, svaka sila sistema se tretira odvojeno. Napon usled aksijalne sile

je

𝜎 =𝑃

𝐴=

8.33𝑥103

50𝑥50= 3.33𝑀𝑃𝑎 (pritisak)

i to je dato na Slici 6-41(c). Normalni napon od momenta

savijanja možemo dobiti korišćenjem jednačine 6-31. Međutim,

za ovu gredu, savijen na radijusu od 75mm, rešenje je već

poznato iz Primera 6-10. Raspodela napona koja odgovara ovom

slučaju prikazana je na drugom dijagramu na Slici 6-41(c).

Superponiranjem ova dva rezultata, dobijamo ukupnu raspodelu

napona. Ovo je prikazano na trećem dijagramu na Slici 6-41(c).

Maksimalni napon pritiska se javlja u tački A i iznosi 131MPa.

Izdvojeni element za tačku A prikazan je na Slici 6-41(d). U

preseku A-B nema smičućih napona jer transverzalana sila nije

neophodna kako bi segment na Slici 6-41(b) bio u ravnoteži. .

Očigledno je da je relativno mali značaj napona izazvanog

aksijalnim silama.

Slika 6 - 42 Položaj sile P tako

da ne izaziva napon u tački B


47

PRIMER 6-19

Posmatrajmo trapezni blok koji ima pravougaoni poprečni presek u osnovi, kao na Slici 6-42(a) i

(b). Odrediti maksimalni ekscentricitet e takav da napon u tački B usled opterećenja P bude

jednak nuli.

Rešenje

Kako bi sila P bila u ravnoteži, mora postojati aksijalna sila pritiska P i moment Pe u osnovi

elementa koji ima smer prikazan na slici. Napon usled aksijalne sile je jednak σ=-P/A=-P/bh,

dok je najveći napon zatezanja usled savijanja σmax=Mc/I=M/S=6Pe/bh3, gde je bh2/6 otporni

moment pravougaonog poprečnog preseka. Kako bi zadovoljili uslov da je napon u tački B

jednak nuli, sledi

𝜎𝐵 = −𝑃

𝑏ℎ+

6𝑃𝑒

𝑏ℎ2= 0 ili 𝑒 =

ℎ

𝑒

Što znači da ukoliko se sila P nalazi na rastojanju h/6 od težišne ose poprečnog preseka, napon u

tački B je jednak nuli. Raspodela napona u osnovi odgovara, respektivno, aksijalnoj sili i

momentu savijanja prikazanim na Slici 6-42(c) i (d), i njihov algebarski zbir je prikazan na Slici

6-42(e).

U ovom zadatku, da je sila P delovala bliže težištu poprečnog

preseka, javio bi se manji moment savijanja u preseku A-B, i

pojavio bi se napon pritiska u tački B. Isto bi važilo za silu koja bi

delovala desno od težišne ose. Otuda praktično pravilo, često

korišćeno kod projektovanja zidanih konstrukcija, može se

formulisati na sledeći način: ukoliko rezultanta svih vertikalnih sila

deluje u srednjoj trećini pravougaonog porečnog preseka, u

materijalu u tom preseku nema zatezanja. Podrazumeva se da

rezultanta deluje u vertikalnoj ravni u kojoj se nalazi i jedna od osa

simetrije pravougaonog poprečnog preseka.

Gore navedeno se može uopštiti kako bi bilo primenjivo za bilo koji sistem sila u ravni koje

deluje na element. Rezultanta ovih sila može da seče ravan poprečnog preseka kao na Slici 6-43.

U tački u kojoj rezultanta seče presek ona se može razložiti na horizontalnu i vertikalnu

komponentu. Ukoliko vertikalna komponenta zadovoljava uslov iz prethodnog zadatka, neće

doći do zatezanja u tački B, kako horizontalna komponenta izaziva samo smičuće napone. Stoga,

možemo definisati opštije pravilo “srednje trećine”: u delu grede pravougaonog poprečnog

preseka, neće se pojaviti napon zatezanja ukoliko rezultanta sila koje deluju iznad poprečnog

preseka seče jednu od osa simetrije u srednjoj trećini.

Slika 6 - 43 Rezultanta koja

ne izaziva zatezanje u B


48

PRIMER 6-20

Odrediti raspodelu napona u preseku ABCD za blok prikazan u mm na Slici 6-44(a) ako je

P=64kN. U istom preseku, naći liniju nultog napona. Težinu bloka zanemariti.

Rešenje

U ovom zadatku, nešto je jednostavnije izraziti jednačinu 6-45 uz pomoć jednačine 6-22,

definišući otporni moment S=I/c kao bh2/6. Normalni napon u bilo kom I-tom uglu bloka se

može naći drirektno iz tako transformisane jednačine. Ova jednačina glasi

𝜎𝐼 =𝑃

𝐴−

𝑀𝑧

𝑆𝑧+

𝑀𝑦

𝑆𝑦 (6-48)

gde je Sz=bh2/6, i Sy=hb2/6.

Sile koje deluju u preseku ABCD, Slika 6-44(c) su P=-64x103N, My=-64x103x150=-

9,6x106Nmm, i Mz=-64x103x(75+75)=-9,6x106Nmm. Ovaj poprečni presek ima sledeće

karakteristike: A=150x300=45x103mm2, Sz=300x1502/6=1,125x106mm3, i Sy=150x3002/6

=2,25x106mm3.

Vrednosti normalnih napona u uglovima ćemo naći koristeći jednačinu 6-48, uz odgovarajuće

predznake. Na primer, sa Slike 6-44(c), vidimo da usled My, u uglu A i D su naponi pritiska.

Ostale slučajeve ćemo tretirati na sličan način.

Slika 6 - 44


49

𝜎𝐴 = −64𝑥103

45𝑥103−

9.6𝑥106

1.125𝑥106−

9.6𝑥106

2.25𝑥106= −1.42 − 8.53 − 4.27 = −14.2𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐵 = −1.42 − 8.53 + 4.27 = −5.7𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐶 = −1.42 + 8.53 + 4.27 = +11.4𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐷 = −1.42 + 8.53 − 4.27 = +2.8𝑀𝑃𝑎

Ovi naponi su prikazani na Slici 6-44(d). Krajevi vektora ova četiri napona u tačkama A’, B’, C’

i D’ leže u ravni A’B’C’D’. Vertikalno rastojanje između ravni ABCD i A’B’C’D’ definiše

ukupni napon u bilo kojoj tački poprečnog preseka. Presek ravni ABCD i A’B’C’D’ daje liniju

nultog napona FE.

Ako nacrtamo liniju B’C" parelelnu sa BC, uočićemo sličnost između trouglova C’B’C" i C’EC;

odakle je rastojanje C’E=[11,4/(11,4+5,7)]150=100mm. Slično, rastojanje AF je sračunato i

iznosi 125mm. Tačke E i F određuju položaj linije nultog napona. Ako je sopstvena težina bloka

zanemarena, raspodela napona za bilo koji presek paralelan sa ABCD je ista.

PRIMER 6-21

Odrediti zonu iznad koje se može naneti sila na dole P0 na pravougaoni blok prikazan na Slici 6-

45(a), zanemarujući njegovu težinu, tako da se u preseku A-B ne javi napon zatezanja.

Slika 6 - 45


50

Rešenje

Postavimo da sila P=- P0 deluje u proizvoljnoj tački u prvom kvadrantu datog yz koordinatnog

sistema. Uz isto rezonovanje kao u prethodnom primeru vidimo da za ovaj položaj sile najveći

napon zatezanja bi trebalo da se pojavi u tački A. Ako se P=- P0, Mz=+P0y, i My=+P0z, zameni u

kažemo da je napon u tački A jednak nuli dobićemo granične uslove problema. Koristeći

jednačinu 6-45 za napon u rački A i ona se izjednači sa nulom ispunjava se uslov zadatka.

Jednačina 6-45 omogućava da se napon u A izrazi kao

𝜎𝐴 = 0 =−𝑃0

𝐴−

(𝑃0𝑦)(− 𝑏 2⁄ )

𝐼𝑧𝑧+

(𝑃0𝑧)(− ℎ 2⁄ )

𝐼𝑦𝑦

ili

−−𝑃0

𝐴+

𝑃0𝑦

𝑏2ℎ 6⁄+

𝑃0𝑧

𝑏ℎ2 6⁄= 0

Sređeno,

𝑧

ℎ 6⁄+

𝑦

𝑏 6⁄= 1

što je jednačina prave. To znači da kada je z=0, y=b/6; i kada je

y=0, z=h/6. Odatle, ova linija može da predstavlja liniju CD na

Slici 6-45(b). Vertikalna sila može biti naneta na blok bilo gde

duž ove linije a napon u tački A će biti jednak nuli. Slične linije

možemo dobiti za ostala tri ugla preseka što je prikazano na

Slici 6-45(b). Ako sila P deluje na bilo kojoj od ovih linija ili

na bilo kojoj liniji paralelnoj takvoj liniji prema težištu preseka,

neće doći do pojave napona zatezanja u odgovarajućem uglu.

Odatle, sila P može delovati bilo gde unutar šrafirane površine

na Slici 6-45(b) a da ne izazove napon zatezanja u bilo kom od

četiri ugla preseka ili bilo gde drugde. Ova zona poprečnog

preseka naziva se jezgro preseka. Ograničavanjem mogućeg

položaja sile linijama simetrije pravougaonog poprečnog

preseka, rezultati dobijeni u ovom primeru potvrđuju pravilo

“srednje trećine” o kojem je bilo reči u Primeru 6-19.

PRIMER 6-22

Posmatrajmo krut blok zanemarljive težine koji je oslonjen na

linearno elastičan temelj koji nije u mogućnosti da prenosi

napon zatezanja, kako je prikazano na Slici 6-46(a). Odrediti

raspodelu napona u temelju kada je sila P naneta tako da dolazi

do izdizanja dela bloka.

Slika 6 - 46 Naponi između dve

kontaktne površine između kojih

se ne prenose sile zatezanja


51

Rešenje

Pretpostavimo da samo deo AB, dužine x i širine b, temelja efektivno pruža otpor nanetom

opterećenju P. Ovo je označeno obojenom površinom na Slici 6-46(c). Napon duž linije B-B je

po definiciji jednak nuli. Odatle, možemo napisati sledeću jednačinu za napon u B.

𝜎𝐵 = −𝑃

𝑥𝑏+ 𝑃 (

𝑥

2− 𝑘)

6

𝑏𝑥2= 0

gde je x/2-k ekscentricitet nanetog opterećenja u odnosu na težišnu osu obeležene kontaktne

površine, a bx2/6 je otporni moment. Rešavanjem po x dobijamo da je x=3k a raspodela pritiska

će biti “trougaona”, kako je prikazano na Slici 6-46(b). Kako se k smanjuje, povećava se

intenzitet pritiska na liniji A-A; kada je k nula, blok postaje nestabilan.

Ovakvi problemi se javljaju kod projektovanja dimnjaka, jer ne može da se javi napon zatezanja

na kontaktnoj površini temelja i tla. Sličan problem se javlja kod fundiranja teških mašina.

6-13. Neelastično savijanje sa aksijalnom silom

U Poglavlju 6-10, rečeno je da osnovna kinematička pretpostavka da ravni preseci štapa upravni

na osu ostaju ravni i nakon savijanja štapa važi čak i kada se materijal ponaša neelastično.

Slično, ravni preseci upravni na osu štapa pomeraju se duž nje paralelno sami sebi kada se

neelastični štap aksijalno optereti. Za male deformacije, normalne dilatacije koje odgovaraju

ovakvom ponašanju mogu se superponirati. Kao rezultat takve superpozicije, ravan definisana

jednačinom 6-47 može biti formulisana. Takva uopštena analiza neelastičnih štapova je prilično

glomazna i nije razmatrana u ovom tekstu7. Ovde je pažnja ograničena na slučaj u ravni.

Superpozicija dilatacija za gredu u ravni istovremeno opterećenu aksijalnom silom P i

momentom savijanja M šematiski je prikazana na Slici 6-47. Jasnoće radi, dilatacije su znatno

uveličane. Superpozicija dilatacija usled P i M pomera ravan preseka duž ose i rotira ga kao što

je i prikazano. Ako aksijalna sila P izaziva dilatacije veće od bilo koje dilatacije suprotnog znaka

usled M, ukupne dilatacije neće promeniti svoj znak unutar preseka.

Dopunom ovih osnovnih kinematičkih pretpostavki sa odnosom napon-dilatacija i uslovima

ravnoteže, mogu se rešiti kako elastični tako i neelastični problemi. Važno je naglasiti, međutim,

da je superpoziciju napona moguće primeniti samo u elastičnim problemima gde su deformacije

male.

7 M. S. Aghbabian i E. P. Popov, "Unsymmetrical Bending of Rectangular

Beams Beyond the Elastic Limit," Proceedings, First U.S. National Congress

of Applied Mechanics (Michigan: Edwards Bros., 1951), 579-584.


52

Slika 6 - 47 Superpozicija dilatacija

Sledeći primer ilustruje elastično kao i neelastično rešenje za gredu istovremeno izloženu

savijanju i aksijalnoj sili.

PRIMER 6-23

Posmatrajmo pravougaonu elasto-plastičnu gredu savijenu oko horizontalne ose i istovremeno

opterećenu aksijalnom silom zatezanja. Odrediti veličine aksijalnih sila i momenata usled

rasporeda napona prikazanog na Slici 6-48(a), (b) i (c).

Rešenje

Raspodela napona prikazana na Slici 6-48(a) odgovara ograničenom elastičnom slučaju, gde je

maksimalni napon u tački u kojoj će se javiti tečenje. U ovom slučaju može se koristiti pristup

superpozicije napona. Odatle,

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑦𝑝 =𝑃1

𝐴+

𝑀1𝑐

𝐼 (6-49)

Sila P koja odgovara trenutku početka tečenja može biti definisana kao Pyp=Aσyp; iz jednačine 6-

21, moment u tom trenutku je moment tečenja i iznosi Myp=(I/c)σyp. Deljenjem jednačine 6-49 sa

σyp i zamenom izraza za Pyp i Myp, nakon sređivanja,

𝑃1

𝑃𝑦𝑝+

𝑀1

𝑀𝑦𝑝= 1 (6-50)


53

Slika 6 - 48 Kombinovani naponi usled savijanja i aksijalne sile: (a) elastična raspodela napona, (b) i (c)

elasto-plastična raspodela napona, (e) i (f) plastična raspodela napona

Ovim se uspostavlja veza između P1 i M1 tako da je maksimalni napon postaje u tom trenutku

jednak σyp. Grafik ove relacije odgovara slučaju neposredno pred tečenje i predstavljen je

pravom linijom na Slici 6-49. Grafici ovih odnosa nazivaju se interakcione krive ili dijagrami.

Raspodela napona prikazana na Slici 4-48(b) i (c) javlja se pošto je nastalo tečenje u donjoj

četvrtini grede. Uz ovako datu raspodelu napona, veličine P i M možemo direktno odrediti iz

uslova ravnoteže. Sa druge strane, ako su date P i M, kako ne važi superpozicija, neophodan je

glomazan postupak kako bi se odredila raspodela napona.

Za napone prikazane na Slici 6-48(b) i (c), jednostavno se primene jednačina 6-36 i 6-37 koje su

izvedene za neelastično savijanje grede, osim što u jednačini 6-36 suma normalnih napona mora

biti jednaka aksijalnoj sili P. Imajući u vidu da se u elastičnoj zoni napon može algebarski

izraziti kao σ= σyp/3- σypy/(3h/8) a u plastičnoj zoni σ= σyp, sledi

𝑃2 = ∫ 𝜎 𝑑𝐴 = ∫𝜎𝑦𝑝

3(1 −

8𝑦

ℎ) 𝑏 𝑑𝑦 + ∫ 𝜎𝑦𝑝𝑏 𝑑𝑦 = 𝜎𝑦𝑝

𝑏ℎ

4

−ℎ/4

−ℎ/2

+ℎ/2

−ℎ/4𝐴

𝑀2 = ∫ 𝜎𝑦 𝑑𝐴 = ∫𝜎𝑦𝑝

3(1 −

8𝑦

ℎ) 𝑦𝑏 𝑑𝑦 + ∫ 𝜎𝑦𝑝𝑦𝑏 𝑑𝑦 =

3

16𝜎𝑦𝑝𝑏ℎ2

−ℎ/4

−ℎ/2

+ℎ/2

−ℎ/4𝐴

Uočimo da je ovako dobijena aksijalna sila tačno jednaka sili koja deluje na plastifikovani deo

preseka. Moment M2 je veći od Myp=σypbh2/6 i manji od Mult=Mp= σypbh2/4; vidi jednačinu 6-38.


54

Za potpuno plastifikovan presek prikazan na Slici 6-48(e) i (f) odgovarajuću aksijalnu silu i

moment je jednostavno odrediti. Kao što se može videti sa Slike 6-48(e), aksijalna sila usled σyp

deluje na površinu 2y1b. Zbog simetrije, ovi naponi nemaju uticaj na moment. Sile koje deluju na

gornjoj i donjoj površini ab=[(h/2)-y1]b, Slika 6-48(d), čine spreg sa krakom h-a=h/2+y1. Odatle,

𝑃3 = 2𝑦1𝑏𝜎𝑦𝑝 ili 𝑦1 = 𝑃3/2𝑏𝜎𝑦𝑝

i

𝑀3 = 𝑎𝑏𝜎𝑦𝑝(ℎ − 𝑎) = 𝜎𝑦𝑝𝑏(ℎ2 4⁄ − 𝑦12) = 𝑀𝑝 − 𝜎𝑦𝑝𝑏𝑦1

2

=3𝑀𝑦𝑝

2−

𝑃32

4𝑏𝜎𝑦𝑝

Daljim deljenjem sa Mp=3Myp/2= σypbh2/4 i sređivanjem izraza,

dobijamo

2𝑀3

3𝑀𝑦𝑝+ (

𝑃3

𝑃𝑦𝑝)

2

(6-51)

Ovo je opšta jednačina za interakcionu krivu za P i M

neophodna da bi se zadovoljio uslov potpune plastičnosti za

pravougaoni štap (vidi Sliku 6-49). Za razliku od jednačine za

elastični slučaj, ovaj odnos je nelinearan.

6-14. Savijanje greda sa nesimetričnim (proizvoljnim) poprečnim presekom

Opšta jednačina za čisto savijanje elastičnih greda proizvoljnog poprečnog preseka čije

referentne ose nisu glavne ose može se definisati na isti način kao kod, ranije razmatranih, greda

sa simetričnim poprečnim presekom. I ovde važi pretpostavka da ravni preseci štapa, upravni na

osu, ostaju ravni i posle savijanja štapa. Takođe, uvode se dva osnovna zahteva ravnoteže: (1)

ukupna aksijalna sila u bilo kom poprečnom preseku mora biti jednaka nuli, i (2) spoljašnji

moment savijanja u preseku mora se javiti usled unutrašnjih napona koji deluju u poprečnom

preseku. Hooke-ov zakon je definisan za jednoosne normalne dilatacije.

Kako bi dobili traženu jednačinu, posmatrajmo gredu proizvoljnog poprečnog preseka, kako je

prikazano na Slici 6-50. Orijentacije ortogonalnih osa y i z su uzete proizvoljno. Neka je greda

opterećena na čisto savijanje momentom M sa komponentama My i Mz, respektivno, u odnosu na

ose y i z; vidi Sliku 6-50(a).

U skladu sa osnovnim hipotezama, tokom savijanja, ravni presek kroz gredu bi rotirao i presecao

ravan yz pod uglom β u odnosu na z osu, kao što je prikazano na slici. Položaj infinitezimalne

površine dA u pozitivnom kvadrantu y i z osa definisana je upravnim rastojanjem r od ove linije.

Zatim, analogno jednačini 6-3, pretpostavimo da je normalna podužna dilatacija εx

𝜀𝑥 = −𝜅𝑟 (6-52)

Slika 6 - 49 Interakcione krive za

P i M za pravougaone štapove


55

gde je za odabrane koordinate

𝑟 = 𝑦 cos 𝛽 − 𝑧 sin 𝛽 (6-53)

Slika 6 - 50 Savijanje nesimetričnog poprečnog preseka

Dalje, po analogiji sa jednačinom 6-4, podužni elastični napon σx, koji deluje u poprečnom

preseku je

𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 = −𝐸𝜅𝑟 (6-54)

pa uvođenjem jednačine 6-53, ovaj izraz postaje

𝜎𝑥 = −𝐸𝜅𝑦 cos 𝛽 + 𝐸𝜅𝑧 sin 𝛽 (6-55)

gde je κ cos β projekcija krivine κy u xy ravni, kao što se može

videti iz graničnog slučaja kada je β jednako nuli. Slično κ sin β je

projekcija krivine κz u xz ravni. Usvajajući ove oznake, jednačinu 6-

55 možemo napisati u sledećem obliku

𝜎𝑥 = −𝐸𝜅𝑦𝑦 + 𝐸𝜅𝑧𝑧 (6-56)

Razlika u znacima kod članova desno od znaka jednakosti

proizilazi iz konvencije o znacima i može biti jasnija ako se

pogleda Slika 6-51. Ovde možemo primetiti da matematički

definisana pozitivna krivina, koja izazva povećanje nagiba savijene

grede sa povećanjem udaljenosti od koordinatnog početka, dovodi

do dva različita slučaja. U xy ravni pozitivna krivina i pozitivan

moment savijanja imaju isti smisao. Suprotno važi za xz ravan.

Odatle, normalni naponi σx usled ove dve krivine moraju biti

suprotnog znaka. Slika 6 - 51 Veze između

pozitivnih momenata i

zakrivljenosti u xy- i xz- ravnima


56

Kako imamo analitički izraz za σx, jednačina 6-56, uslov da je zbir svih sila u x pravcu jednaka

nuli tj., ΣFx=0, može se pisati

∫ 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = −𝐸𝜅𝑦 ∫ 𝑦 𝑑𝐴 + 𝐸𝜅𝑧 ∫ 𝑧 𝑑𝐴 = 0 (6-57)

Ova jednačina je identički zadovoljava pod uslovom da je koordinatni početak u težištu

poprečnog preseka. Ovo je očekivan rezultat, i proizvoljne ortogonalne ose prikazane na Slici 6-

50 prolaze kroz težište C poprečnog preseka.

Postavljanjem uslova ravnoteže momenata u preseku, mogu se napisati dve jednačine za

komponentalne momente uz uslov da je spoljašnji naneti moment oko bilo koje ose u ravnoteži

sa unutrašnjim naponima. Jedna od ovih jednačina odnosi se na momente oko z ose; druga oko y

ose. Odatle, kao što je prethodno definisano, ako je Mz poznata komponenta momenta koja

deluje oko z ose i My poznata komponenta momenta koja deluje oko y ose, dobijamo sledeće dve

jednačine

𝑀𝑧 = ∫ −𝜎𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 𝐸𝜅𝑦 ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 − 𝐸𝜅𝑧 ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 (6-58)

i

𝑀𝑦 = ∫ −𝜎𝑥𝑧 𝑑𝐴 = −𝐸𝜅𝑦 ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 + 𝐸𝜅𝑧 ∫ 𝑧2 𝑑𝐴 (6-59)

gde su konstante izvučene ispred integrala na desnoj strani izraza. Značenje ovih integrala je

razmatrano u Poglavlju 6-15. Prema jednačini 6-66, ovi integrali definišu momente inercije i

centrifugalni moment inercije poprečnog preseka kao Iz, Iy, i Iyz, pa poslednje dve jednačine

možemo izraziti u obliku

𝐸𝐼𝑧𝜅𝑦 − 𝐸𝐼𝑦𝑧𝜅𝑧 = 𝑀𝑧 (6-60)

i

−𝐸𝐼𝑦𝑧𝜅𝑦 + 𝐸𝐼𝑦𝜅𝑧 = 𝑀𝑦 (6-61)

Istovremenim rešavanjem ove dve jednačine dobijamo

𝐸𝜅𝑦 = +𝑀𝑧𝐼𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧

𝐼𝑦𝐼𝑧 + 𝐼𝑦𝑧2

(6-62)

i

𝐸𝜅𝑧 = +𝑀𝑦𝐼𝑧 + 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧


(6-63)

Zamenom ovih konstanti u jednačini 6-56, izraz za napon pri elastičnom savijanju σx za bilo koji

poprečni presek sa proizvoljno orijentisanim ortogonalnim koordinatnim osama glasi


57

𝜎𝑥 = −𝑀𝑧𝐼𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧


𝑦 +𝑀𝑦𝐼𝑧 + 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧


𝑧 (6-64)

Ovo je generalizovana jednačina savijanja. Ako koristimo glavne ose poprečnog preseka, gde je

Iyz jednako nula, ovaj izraz se svodi na jednačinu 6-41.

Ako se jednačina 6-64 izjednači sa nulom, dobija se izraz za određivanje ugla β koji definiše

položaj neutralne ose u proizvoljnom koordinatnom sistemu

tan 𝛽 =𝑦

𝑧=

𝑀𝑦𝐼𝑧 + 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧

𝑀𝑧𝐼𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧 (6-65)

Za glavne ose, ova jednačina se svodi na jednačinu 6-43.

PRIMER 6-24

Koristeći opštu jednačinu za napon pri elastičnom savijanju

odrediti napone u tačkama B i F za ugaonik prikazan u mm iz

Primera 6-16 sa Slike 6-52. Pokazati da su ovi naponi,

respektivno, minimalni i maksimalni. Moment koji deluje je

Mz=10kNm.

Rešenje

U Primeru 6-25 sračunato je Iz=22.64x106mm4,

Iy=3.84x106mm4, i Iyz=5.14x106mm4. Zamenom ovih vrednosti i

Mz=+10kNm u jednačinu 6-64 i definišući, respektivno,

koordinate tačaka B i F kao (125.7,4.3) i (-74.3, 24.3),

dobijamo

𝜎𝐵 = −10𝑥106𝑥3.84𝑥106

3.84𝑥22.64𝑥1012 − 5.14𝑥1012𝑥125.7

+10𝑥106𝑥5.14𝑥106

3.84𝑥22.64𝑥1012 − 5.14𝑥1012𝑥4.3 =

−0.6345𝑥125.7 + 0.8493𝑥4.3 = −76.1𝑀𝑃𝑎

i

𝜎𝐹 = −0.6345𝑥(−74.3) + 0.8943𝑥24.3 = +67.8𝑀𝑃𝑎

Kako bi pokazali da su ovi naponi minimum i maksimum, respektivno, naći ćemo položaj

neutralne ose koristeći jednačinu 6-65

tan 𝛽 =10𝑥106𝑥5.14𝑥106

10𝑥106𝑥3.84𝑥106= 1.34 ili 𝛽 = 53.3°

Slika 6 - 52


58

Skiciranjem ove linije na dati poprečni presek, evidentno je da su najudaljenija rastojanja mereno

upravno na neutralnu osu tačke B i F. Stoga, najveći naponi se javljaju u tim tačkama.

Moguća su manja odstupanja u rezultatima dobijenim u Primeru 6-16 i u ovom primeru zbog

greške u zaokruživanju.

Deo C MOMENTI INERCIJE

6-15. Aksijalni i centrifugalni momenti inercije

Sa momentom inercije oko z ose smo se već susretali kada smo govorili o simetričnim

poprečnim presecima. Ovde je taj koncept generazilovan za dve ortogonalne ose za bilo koji

oblik poprečnog preseka. Sa koordinatama yz odabranim kao na Slici 6-53, po definiciji,

aksijalni momenti i centrifugalni moment inercije preseka su dati kao

𝐼𝑧 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 𝐼𝑦 = ∫ 𝑧2𝑑𝐴 i 𝐼𝑦𝑧 = ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴 (6-66)

Napomenimo da su ove ose odabrane tako da prolaze kroz

težište C. Važno je korišćenje ovakvih težišnih osa kod

rešavanja problema savijanja. Takođe je važno napomenuti da

je centrifugalni moment jednak nuli bilo za dvoosno ili

jednoosno simetrične preseke; vidi Sliku 6-54. Ovo se može

videti na Slici 6-54(b), gde usled simetrije, za svako y(+z)dA,

postoji y(-z)dA pa je njihova suma jednaka nuli.

U Poglavlju 6-4, pokazali smo da je kod sračunavanja

momenata inercije za simetrične složene poprečne preseke,

korisno podeliti takvu površinu na više delova za čije oblike su

momenti inercije poznati. Zatim korišćenjem teoreme o

paralelnim osama za svaki deo i sabiranjem, jednačina 6-18a,

dobićemo moment inercije za ceo presek. Posmatrajući opšti

slučaj prikazan na Slici 6-55, možemo zaključiti da prethodno

izvedeni izraz, jednačina 6-18, za transformaciju momenta

inercije sa zc na z osu i ovde primenjiv. Štaviše, osim promene

indeksa, slična formula važi i za transformaciju momenta

inercije sa yc na y osu. Odatle, za momente inercije imamo

sledeće dve formule za transformaciju osa

𝐼𝑧 = 𝐼𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑧

2 (6-18)

i

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝑐+ 𝐴𝑑𝑦

2 (6-67)

gde su Izc i Iyc, respektivno, momenti inercije u odnosu na ose zc i yc, A je posmatrana površina, a

dz i dy su, respektivno, rastojanja od C do osa z i y.

Slika 6 - 53 Rotacija

koordinatnih osa


59

Polazeći od definicije za centrifugalni moment, jednačine 6-66, i na isti način kao za Iz i Iy ranije,

izraz za transformaciju osa za centrifugalni moment inercije, nakon sređivanja ima oblik

𝐼𝑦𝑧 = ∫(𝑦𝑐 + 𝑑𝑧) (𝑧𝑐 + 𝑑𝑦)𝑑𝐴 = 𝐼𝑦𝑐𝑧𝑐+ 𝐴𝑑𝑦𝑑𝑧 (6-68)

gde je Iyczc centrifugalni moment inercije površine A u odnosu na težišne ose yc i zc.

Kao što je rečeno ranije, odgovarajući izrazi dati jednačinama 6-18, 6-67 i 6-68 za sve delove

poprečnog preseka treba sabrati kako bi se dobili Iy, Iz i Iyz za ceo poprečni presek.

6-16. Glavne ose inercije

U prethodnim razmatranjima, težišne ose yz za opšti slučaj uzete

su proizvoljno. Zato je važno razmotriti kako se moment i

centrifugalni moment inercije menjaju ako se ove ortogonalne

ose zarotiraju. Ovo je prikazano na Slici 6-53, gde su ose

zarotirane za ugao θ, tako da sada imamo nove koordinate y'z'.

Generalno, momenti inercije koji odgovaraju ovim osama su

različiti od vrednosti za Iy, Iz i Iyz. Kako bi transformisali ove

vrednosti iz jednog koordinatnog sistema u drugi, napomenimo

da

𝑦′ = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑆 = 𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃

𝑧′ = 𝑁𝑅 + 𝑅𝑆 = 𝑧 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃

Zatim, na osnovu definicije za momente inercije date

jednačinom 6-66

𝐼𝑧′ = ∫(𝑦′)2𝑑𝐴 = ∫(𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃)2𝑑𝐴

= cos2 𝜃 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 + sin2 𝜃 ∫ 𝑧2𝑑𝐴 + 2 sin 𝜃 cos 𝜃 ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝜃

= 𝐼𝑧 cos2 𝜃 + 𝐼𝑦 sin2 𝜃 + 2𝐼𝑦𝑧 sin 𝜃 cos 𝜃

= 𝐼𝑧

1 + cos 2𝜃

2+ 𝐼𝑦

1 − cos 2𝜃

2+ 𝐼𝑦𝑧 sin 2𝜃

Slika 6 - 54 Poprečni preseci sa

(a) dve i (b) jednom osom

simetrije


60

Odatle, koristeći trigonometrijske identitete,

𝐼𝑧′ =𝐼𝑧 + 𝐼𝑦

2+

𝐼𝑧 − 𝐼𝑦

2cos 2𝜃 + 𝐼𝑦𝑧 sin 2𝜃 (6-69)

Slično

𝐼𝑦′ =𝐼𝑧 + 𝐼𝑦

2+


2cos 2𝜃 − 𝐼𝑦𝑧 sin 2𝜃 (6-70)

i

𝐼𝑦′𝑧′ = −


2sin 2𝜃 + 𝐼𝑦𝑧 cos 2𝜃 (6-71)

Ove jednačine predstavljaju vezu između aksijalnog i centrifugalnog momenta inercije u novim

y'z' koordinatama u odnosu na prvobitne yz koordinate preko ugla θ. Napomenimo da je Iy’+Iz'=

Iy+Iz, tj., suma momenata inercije u odnosu na dve upravne ose ostaje ista, tj., invarijantna, bez

obzira na ugao θ. Kao što je ranije rečeno, centrifugalni moment inercije Izy je jednak nuli kod

dvoosno simetričnih i jednoosno simetričnih preseka.

Maksimalnu ili minimalnu vrednost Iz' ili Iy’ možemo naći diferenciranjem bilo jednačine 6-69 ili

6-70 po θ i uvođenjem uslova da je izvod jednak nuli, tj.,

𝑑𝐼𝑧′

𝑑𝜃= −(𝐼𝑧 − 𝐼𝑦) sin 2𝜃 + 2𝐼𝑦𝑧 cos 2𝜃 = 0

Odatle,

tan 2𝜃1 =2𝐼𝑦𝑧

𝐼𝑧 − 𝐼𝑦 (6-72)

Ova jednačina daje dva korena u okviru 360° koji se razlikuju za 180°. Kako je ovo dato za

dvostruki ugao 2θ1, koreni za θ1 se razlikuju za 90°. Jedan od ova dva korena određuje položaj

ose u odnosu na koju moment inercije ima maksimalnu vrednost; a drugi određuje ose u odnosu

na koju moment inercije ima minimalnu vrednost. Ove dve težišne ose se nazivaju glavne ose

inercije. Kao što se može videti iz jednačine 6-71, isti uglovi definišu ose za koje je centrifugalni

moment inercije jednak nuli. To znači da je centrifugalni moment inercije za glavne ose jednak

nuli.

Definisanjem sinusa i kosinusa u izrazima za koren dvostrukog ugla u jednačini 6-72 (vidi Sliku

8-5), zamenom u jednačini 6-69 ili 6-70, i sređivanjem, dobijamo izraz za glavne momente

inercije:

Slika 6 - 55 Paralelna translacija

koordinatnih osa


61

𝐼𝑚𝑎𝑥𝑚𝑖𝑛

= 𝐼1𝑖𝑙𝑖 𝐼2 =𝐼𝑧 + 𝐼𝑦

2± √(

𝐼𝑧 + 𝐼𝑦

2)

2

+ 𝐼𝑦𝑧2 (6-73)

gde, po definiciji, I1=Imax, i I2=Imin. Ose za koje važe ovi maksimalni i minimalni moment inercije

definisane su jednačinom 6-72. Direktnom zamenom jednog od korena ove jednačine u

jednačinu 6-69, možemo odrediti da li taj koren daje maksimalnu ili minimalnu vrednost

momenta inercije.

PRIMER 6-15

Za ugaonik poprečnog preseka prikazanog na Slici 6-56,

naći glavne ose i glavne momente inercije.

Rešenje

Na osnovu ranijeg proračuna znamo da se težište preseka

nalazi na 74.3mm od donje ivice i na 24.3mm od leve

ivice. Momente inercije u odnosu na ose y i z možemo

sračunati tako što ćemo podeliti presek na dva

pravougaonika i primeniti izraze za transformaciju osa 6-

18, 6-67, i 6-68. Zbog simetrije pravougaonika na koje je

presek podeljen, nemamo centrifugalni moment inercije za

ove delove u odnosu na njihove težišne ose. Za

pravougaonike u odnosu na njihove težišne ose, I=bh3/12,

jednačina 6-19.

𝐼𝑧 = 20𝑥1803 12⁄ + 20𝑥180𝑥(125.7 − 90)2 + 100𝑥203 12⁄ + 100𝑥20𝑥(−74.3 + 10)2

= 22.64𝑥106𝑚𝑚4

𝐼𝑧 = 180𝑥203 12⁄ + 180𝑥20𝑥(24.3 − 10)2 + 20𝑥1003 12⁄ + 20𝑥100𝑥(−50 + 24.3)2

= 3.84𝑥106𝑚𝑚4

𝐼𝑦𝑧 = 0 + 20𝑥180𝑥(125.7 − 90)(24.3 − 10) + 0.100𝑥20(−74.3 + 10)(−50 + 24.3)

= 5.14𝑥106𝑚𝑚4

Zamenom ovih vrednosti u jednačinu 6-73,

𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼1 = 23.95𝑥106𝑚𝑚4 i 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼2 = 2.53𝑥106𝑚𝑚4

Iz jednačine 6-72,

tan 2𝜃1 =2𝑥5.14𝑥106

(22.64 − 3.84)𝑥106= 0.547 odatle, 𝜃1 = 14.34°

Slika 6 - 56


62

Sa Slike 6-56 možemo videti da ovaj ugao definiše osu za maksimalni moment inercije.

Zamenom ove vrednosti za θ1 u jednačinu 6-69 možemo potvrditi ovaj zaključak. U ovom

slučaju, Imax je u odnosu na osu z' koja je zarotirana za θ1=14,34°, tj., Imax=Iz’; obrnuto, Imin=Iy’.

ZADACI

Deo 6-3 do 6-5

6-1 do 6-4. Orediti kapacitet nosivosti na

savijanje u odnosu na horizontalne ose za

poprečne preseke prikazane na slikama.

Dopušteni elastični napon je ili 165MPa ili

24ksi.

Slika Z6 - 1 i Slika Z6 - 2


6-5. Proveriti vrednosti otpornih momenata

datih u tablicama za sledeće profile: S

12x40,8, I10x112, i C12x20,7.

6-6. Ako je naneti moment 40k-ft, a dopušteni

elastični napon 24ksi, (a) koji I profil bi imao

dovoljnu nosivost na savijanje oko

horizontalne ose, i (b) oko vertikalne ose?

6-7. Čelični profil I16x100 je oslonjen u A i B

kako je prikazano na slici. Koja je veličina

jednako podeljenog opterećenja ako je na

meraču dilatacije smeštenom na vrhu gornje

flanše 0,0002in/in kada se nanese opterećenje?

E=29x103ksi.

Slika Z6 - 7

6-8. Mali čelični T profil je upotrebljen da

premosti raspon od 400mm. Ako, usled

opterećenja od tri sile prikazane na slici, merač

podužnih dilatacija u A očita dilataciju pritiska

50x10-3, kolike su nanete sile? E=200 GPa.

Slika Z6 - 8

6-9 i 6-10. Odrediti elastični pozitivni

kapacitet nosivosti na savijanje oko

horizontalnih osa greda poprečnih preseka

prikazanih na slikama. Maksimalni dopušteni

elastični napon na zatezanje u Zadatku 6-9 je


63

10ksi, a na pritisak 15ksi; odgovarajući

dopušteni naponi za Zadatak 6-10 su 100MPa i

150MPa.


6-11. Greda pravougaonog poprečnog preseka

dimenzija prikazanih na slici je opterećena

pozitivnim momentom savijanja od 16 000Nm

koji deluje oko horizontalne ose. (a) Naći silu

pritiska koja deluje na osenčenu površinu

poprečnog preseka usled napona savijanja. (b)

Naći silu zatezanja koja deluje u šrafiranom

delu poprečnog preseka.

Slika Z6 - 11

6-12. Posmatrajmo linearno elastična greda

opterećen momentom savijanja M oko njegove

glavne ose z za koju je moment inercije

poprečnog preseka I. Pokazati da je za takvu

gredu, normalna sila F koja deluje u bilo kom

delu poprečnog preseka površine A1

𝐹 = 𝑀𝑄/𝐼

gde

𝑄 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = �̅�𝐴1𝐴1

i �̅� je rastojanje od neutralne ose poprečnog

preseka do težišta površine A1, kao što je

prikazano na slici.

Slika Z6 - 12

6-13. Odrediti veličinu i položaj sile zatezanja

T koja deluje na ovaj presek kada se nanese

pozitivan moment od 100kNm. Kako je

veličina sile zatezanja T jednaka sili pritiska C

koja deluje u preseku, pokazati da je spreg T-C

jednak nanetom momentu.

Slika Z6 - 13

6-14. Dve drvene daske dimenzija 2x6in su

zalepljene u T presek, kako je prikazano na

slici. Ako je takva greda opterećena

pozitivnim momentom od 2270ft-lb oko

horizontalne ose, (a) naći napone u krajnjim

vlaknima, (b) sračunati ukupnu silu pritiska

koja se javlja usled normalnih napona iznad

neutralne ose usled savijanja grede, i (c) naći


64

ukupnu silu koja se javlja usled zatežućih

napona savijanja u preseku i uporediti sa

rezultatom dobijenim za (b).

Slika Z6 - 14

6-15. Integracijom odrediti silu koja se javlja

usled napona savijanja i njen položaj na

osenčenom delu poprečnog preseka grede

prikazanog na slici ako je greda opterećena

negativnim momentom savijanja od 3500Nm

koji deluje oko horizontalne ose.

Slika Z6 - 15

6-16. Greda oblika jednakokrakog trougla, kao

što je prikazano na slici, opterećen je

negativnim momentom savijanja od 4000Nm

oko horizontalne ose. (a) Integracijom

pokazati da je I0=bh3/36. (b) Odrediti položaj i

veličinu rezultanti sila zatezanja i pritiska koje

deluju na presek ako je b=h=150mm.

Slika Z6 - 16

6-17. Za linearno elastičan materijal, za iste

maksimalne napone za kvadratni štap u dva

različita položaja prikazana na slici, odrediti

odnos momenata savijanja. Savijanje se vrši

oko horizontalnih osa.

Slika Z6 - 17

6-18. Pokazati da se elastični napon u

pravougaonoj gredi koji se savija oko svojih

dijagonala može smanjiti ako se uklone mali

trougaoni delovi, kao što je prikazano na slici.

Ovo se naziva Emerson-ov paradoks. (Pomoć:

Neka stranica uklonjenog trougla bude ka, gde

je k konstanta. Kod sračunavanja I za presek,

računati ga kao dva četvorougla, veći ima

stranice (1-k)a, a manji širinu ka√2.)

Slika Z6 - 18

6-19. Greda U oblika prikazanog na slici, služi

kao horizontalni nosač neke mašine. Kada se

nanesu vertikalne sile na ovu gredu, rastojanje

AB se poveća za 0.0010in a rastojanje CD se

smanji za 0.0090in. Koji je znak nanetog

momenta i koliki je normalni napon u

najudaljenijim vlaknima? E=15x106psi.


65

Slika Z6 - 19

6-20. Čelična greda čije su dimenzije

poprečnog preseka delimično prikazane na

slici u laboratoriji je opterećena na čisto

savijanje. Savijanje se vrši oko horizontalne

neutralne ose. Izmerene dilatacije pokazuju da

se gornja vlakna podužno skupljaju za

0.0003m/m; dok se donja vlakna podužno

izdužuju za 0.0006m/m. Odrediti ukupnu

normalnu silu koja deluje na osenčeni deo

preseka u trenutku kada su vršena merenja

dilatacije. E=200GPa. Sve dimenzije su u mm.

Slika Z6 - 20

6-21. Kako se zavrtanj velike čelične stezaljke

C, prikazane na slici, zateže, mere se dilatacije

u horizontalnom pravcu samo usled savijanja

meračem u tački B. Ako je očitana dilatacija

od 900x10-6in/in, koja je sila u zavrtnju koja

odgovara vrednosti izmerene dilatacije?

E=30x106psi.

Slika Z6 - 21

6-22. T nosač prikazan na slici napravljen je

od materijala čije se ponašanje može

idealizovati pošto je granica proporcionalnosti

pri zatezanju 20 MPa a granica

proporcionalnosti pri pritisku 40 MPa. Uz

faktor sigurnosti 1.5 na početku tečenja, naći

najveću vrednost sile F kojom se može

opteretiti ova greda u pravcu na dole kao i u

pravcu na gore. Rešenje treba da se zasniva

samo na osnovu maksimalnog napona

savijanja usled F.

Slika Z6 - 22

6-23. Pravougaoni presek dimenzija

150x300mm je opterećen pozitivnim

momentom savijanja od 240 000Nm oko

“jače” ose. Greda je od anizotropnog

materijala čiji je modul elastičnosti na

zatezanje 1.5 puta veći u odnosu na pritisak;

vidi sliku. Ako naponi ne prekoračuju granicu


66

proporcionalnosti, naći maksimalni napon

zatezanja i pritiska u gredi.

Slika Z6 - 23

Deo 6-6

6-24. Mala greda, prikazana na slici, treba da

nosi ciklično naneto opterećenje od 80N/mm.

Greda je debljine 12mm, i raspona 160mm.

Odrediti maksimalni napon na sredini raspona

i na mestima promene visine grede.

Pretpostaviti da su dati koeficijenti na Slici 6-

15 dovoljne tačnosti. Zanemariti koncentraciju

napona u osloncima.

Slika Z6 - 24

6-25. Posmatrajući gredu raspona 160mm u

uslovima opterećenja datim u prethodnom

zadatku, odrediti rastojanje od oslonaca takvo

da naponi u sredini raspona i na mestima

promene visine grede budu isti.

Slika Z6 - 25

Deo 6-7

6-26. Pokazati da je energija elastične

dilatacije usled savijanja grede pravougaonog

poprečnog preseka usled jednako podeljenog

opterećenja (σ2max//2E)(8/45AL), gde je σmax

maksimalni napon savijanja, A površine

poprečnog preseka, a L dužina grede.

6-27. Pokazati da je Usavijanja=

(σ2max/2E)(Vol/9) za konzolu pravougaonog

poprečnog preseka opterećena koncentrisanom

silom P na njenom kraju.

Deo 6-8

6-28. Kompozitna greda od dva različita

materijala ima poprečni presek prikazan na

Slici 6-7(a). Za gornji štap dimenzija

50x80mm, modul elastičnosti je E1=15GPa, a

donji štap dimenzija 50x20mm, E2=40GPa.

Naći maksimalni napon savijanja u oba

metrijala usled pozitivnog momenta od

12kNm koji deluje oko z ose. Ne koristiti

metodu transformacije preseka. (Pomoć:

Koristiti jednačinu 6-16 za određivanje

položaja neutralne ose i direktan postupak

prikazan na Slikama 6-7 i 6-20.)

6-29. Posmatrajmo kompozitnu gredu čiji je

poprečni presek sačinjen od tri različita

materijala spojena zajedno, kao na Slici 6-

20(a). Štap 1 je dimenzija 40x20mm i ima

modul elastičnosti E1=15GPa; štap 2 ima

dimenzije 60x40mm sa E2=10GPa; i štap 3 je

dimenzija 20x20mm sa E3=30GPa. Odrediti

maksimalni napon usled savijanja u svakom od

ova tri materijala usled nanetog momenta od

10kNm koji deluje oko z ose. Ne koristiti

metodu transformacije preseka; vidi pomoć iz

prethodnog zadatka.

6-30 i 6-31. Koristeći transformaciju preseka,

odrediti maksimalni napon usled savijanja za

svaki od dva materijala kompozitne grede

prikazane na slikama kada je svaka opterećena

pozitivnim momentom savijanja od 80kNm.

ESt=210GPa i EAl=70GPa. (Pomoć za Zadatak


67

6-31: za elipsu sa poluosama a i b, I=πab3/4

oko glavne težišne ose.)

Slika Z6 – 30 i Slika Z6 – 31

6-32 i 6-33. Odrediti dopušteni moment

savijanja oko horizontalne neutralne ose za

kompozitna greda od drveta i čeličnih ploča

poprečnih preseka kao na slikama. Materijali

su spojeni tako da se ponašaju kao celina.

ESt=30x106psi i EW=1.2x106psi. Dopušteni

naponi usled savijanja su σSt=20ksi i

σW=1.2ksi.


6-34. Betonska ploča debljine 150mm je

podužno armirana čeličnom armaturom, kao

na slici. Odrediti dopušteni moment savijanja

za širinu ploče od 1m. Pretpostaviti da je n=12

i da su dopušteni naponi za čelik i beton

150MN/m2 i 8MN/m2, respektivno.

Slika Z6 - 34

6-35. Greda poprečnog preseka kao na slici

opterećena je pozitivnom momentom savijanja

koji izaziva napone zatezanja u čeliku od

20ksi. Ako je n=12, koja je vrednost momenta

savijanja?

Slika Z6 - 35

Deo 6-9

6-36 Ponovo uraditi primer 6-10 sa visinom h

od 100mm.

6-37 Izvesti Jednačinu 6-35.

6-38 Koji je najveći moment savijanja koji se

može naneti na zakrivljenu gredu, kao na Slici

6-23(a), sa �̅�=3in, ako je greda kružnog

poprečnog preseka prečnika 2in a dozvoljeni

napon je 12ksi?

Deo 6-10

6-39 do 6-43. Naći odnose Mult/Myp za grede

poprečnih preseka kao na slikama. Savijanje se

vrši oko horizontalnih osa. Pretpostaviti elasto-

plastično ponašanje kao u Primeru 6-11.


68



Slika Z6 – 43

6-44. Naći graničnu nosivost na savijanje za

gredu poprečnog preseka kao u Zadatku 6-1.

Pretpostaviti da dolazi do tečenja materijala pri

zatezanju i pritisku na 200MPa.

6-45. Čelični I profil opterećen na čisto

savijanje ima podužne dilatacije od -1.6x10-3in

na vrhu flanše na mestu prikazanom na slici.

(a) Koliki moment savijanja izaziva ovu

dilataciju? Pretpostaviti idealno elasto-

plastično ponašanje materijala sa E=200GPa i

σyp=240MPa. (b) Kolika zaostala dilatacija bi

ostala u meraču nakon rasterećenja? (c)

Nacrtati dijagram zaostalog napona.

Slika Z6 - 45

6-46. I nosač je napravljen od tri zavarene

ploče kao na slici. Flanše su od jačeg

materijala nego rebro. (a) Koliki moment

savijanja bi se javio u preseku u trenutku kada

dođe to tečenja u flanši usled opterećenja?

Veze napon-dilatacija za ova dva čelika mogu

se idealizovati kao na dijagramu. (b) Nacrtati

dijagram zaostalih napona.

Slika Z6 - 46

6-47. Mala sendvič greda raspona 400mm

napravljena je spajanjem dve aluminijumske

trake sa čeličnom šipkom, kao na slici.

Idealizovani dijagrami napon-dilatacija

prikazani su na slici. Koliki je nanet mement

savijanja ako on izaziva podužnu dilataciju u

meraču, zalepljenom na gornju aluminijumsku

traku, od -7.5x10-3.


69

Slika Z6 - 47

6-48. Nakon nanošenja opterećenja oko

horizontalne ose na nosač T preseka dimenzija

kao na slici, izmerene podužne dilatacije na

meraču A su -2x10-3. Odrediti veličinu nanetog

momenta savijanja ako se odnos napon-

dilatacija materijala može idealizovati kao što

je prikazano na dijagramu.

Slika Z6 - 48

6-49. Pravougaona greda dimenzija

100x180mm je od materijala čiji je dijagram

napon-dilatacija prikazan na slici. (a) Odrediti

najveći moment za koji ceo presek ostaje

elastičan. (b) Odrediti graničnu nosivost na

savijanje (moment plastičnosti), i nacrtati

rezultujuću raspodelu napona. (c) Kakva je

raspodela zaostalog napona nakon rasterećenja

od graničnog momenta savijanja? (d) Pokazati

da su zaostali naponi međusobno u ravnoteži.

Slika Z6 - 49

Deo 6-11

6-50. Ponovo uraditi Primer 6-15 uz

pretpostavku da je raspon 6000mm, greda je

dimenzija 150x200mm, i α=20°.

6-51. Greda dimenzija 150x200mm raspona

6000mm je opterećen na sredini raspona

kosom silom od 5kN po dijagonali poprečnog

preseka, kao na slici. Odrediti najveći napon

usled savijanja i položaj neutralne ose.

Slika Z6 - 51

6-52. Konzola dužine 10ft je od standardnog

čeličnog profila I12x50 čiji je vrat u

vertikalnom položaju, kao na slici. Odrediti

maksimalni napon usled savijanja na 2ft od

oslonca usled opterećenja od kose sile P koja

deluje kroz težište poprečnog preseka na

slobodnom kraju. Neka sila P deluje pod

uglovima α=0°, 1°, i 5°.


70

Slika Z6 - 52

6-53. Greda čije su dimenzije u mm prikazane

na slici je opterećen momentom savijanja od

500Nm oko horizontalne ose. Odrediti

maksimalni napon usled savijanja.

Slika Z6 - 53

6-54. Dat je dvoosno simetričan aluminijumski

profil oblika krsta dimenzija datim u mm, kao

na slici. Postavljen je u zakošen položaj kao

konzola koja nosi opterećenje od P=100N na

njenom kraju. (a) Odrediti maksimalni napon

zatezanja na 200mm od opterećenog kraja

konzole. Pretpostaviti linearno elastično

ponašanje materijala. (b) Odrediti položaj

tačke u kojoj je napon jednak nuli na liniji AB.

Slika Z6 - 54

6-55. Odrediti napone usled savijanja u

uglovima konzole opterećene kao na slici, u

preseku 500mm od slobodnog kraja. Takođe

naći neutralnu osu.

Slika Z6 - 55

6-56. Ponovo uraditi Primer 6-16 uz

pretpostavku da je profil opterećen momentom

savijanja oko vertikalne ose od 4kNm.

6-57. Odrediti maksimalne napone u Z profilu

osled momenta savijanja od 2Nm koji deluje

oko z ose. Kao što je dobijeno u Zadatku 6-83,

glavni momenti inercije su I1=Iz’=

753.9757x103mm4, I2=Iy’=96.0243x103mm4, i

θ1=32.8862°. (Pomoć: Položaj neutralne ose

ukazuje na to gde će se javiti najveći naponi.)


71

Slika Z6 - 57

Deo 6-12

6-58. Greda I profila 10x49 dužine 8ft je

opterećena silom zatezanja P od 100k, kao na

slici. Na krajevima, gde se nalaze zglobne

veze, greda je ojačana duplim pločama.

Odrediti maksimalni napon u flanši na sredini

grede usled opterećenja P. Kvalitativno,

ukratko objasniti prenošenje opterećenja na

krajevima. Gde će se najverovatnije da će se

javiti najopterećenija područja u gredi?

Slika Z6 - 58

6-59. Za mašinski element prikazan na slici,

odrediti rastojanje rastojanje e takvo da naponi

zatezanja i pritiska u preseku T budu jednaki.

Slika Z6 - 59

6-60. Okvir za industrijsku presu ima

dimenzije kao na slici. Sa kolikom silom P se

može opteretiti ovaj okvir tako da se ne

prekorače dozvoljeni naponi u preseku a-a,

ako su dozvoljeni naponi 4,000psi za zatezanje

i 12,000psi za pritisak?

Slika Z6 - 10

6-61. Sila od 169,8k deluje na gredu BC u C,

kao na slici. Odrediti maksimalni napon koji se

javlja upravno na presek a-a. Greda BC je od

čeličnog profila 6x6in. Zanemariti sopstvenu

težinu grede.

Slika Z6 - 61

6-62. Sračunati maksimalni napon pritiska koji

se javlja u preseku a-a usled nanetog

opterećenja na konstrukciju prikazanu na slici.

Poprečni presek u preseku a-a je puna kružna

šipka prečnika 2in.


72

Slika Z6 - 62

6-63. Sračunati maksimalni napon pritiska koji

se javlja u preseku a-a za konstrukciju

prikazanu na slici. Stub AB je dimenzija

12x12in u poprečnom preseku. Zanemariti

sopstvenu težinu konstrukcije.

Slika Z6 - 63

6-64. Da bi se dobila veličina ekscentrične

vertikalne sile F na stubu poprečnog preseka

oblika T, merači dilatacije su postavljeni u A i

B, kao na slici. Odrediti silu F ako je podužna

dilatacija u A -100x10-6in/in a u B -800x10-6

in/in. E=30x106psi a G=12x106psi. Površina

poprečnog preseka stuba je 24in2.

Slika Z6 - 64

6-65. Greda dimenzija 100x100mm je

opterećen silom F, kao na slici. Podužni

naponi u krajnjim vlaknima u dva poprečna

preseka na rastojanju od 200mm dobijeni su

eksperimentalno σA=0; σB=-30MPa; σC=-

24MPa; i σD=-6MPa. Odrediti veličinu

vertikalne i horizontalne komponente sile F.

Slika Z6 - 65

6-66. Pravougaona vertikalna greda je

uklještena na dnu kao na slici. Odrediti položaj

merača na AB strani grede tako da se ne jave

podužne dilatacije usled delovanja sile P=6kN.

Da li rešenje zavisi od veličine sile P?

Pretpostaviti elastično ponašanje. Sve

dimenzije su date u mm.


73

Slika Z6 - 66

6-67. Kosa sila zatezanja F naneta je na

aluminijumsku gredu tako da njena napadna

linija prolazi kroz težište grede, kako je dato

na slici. Dimenzije su u mm. (Detalji veze nisu

prikazani.) Koja je veličina sile F ako ona

izaziva podužne dilatacije od +20x10-6 u

meraču tački A? Pretpostaviti da se greda

ponaša kao linearno elastičan materijal i neka

je E=70GPa.

Slika Z6 - 67

6-68. Magnezijumska greda je povezana sa

čeličnom gredom istih dimenzija čineći gredu

poprečnog preseka kao na slici, dimenzije su u

mm. (a) Ako po nanošenju ekscentrične

aksijalne sile P, gornji podužni merač

pokazuje skraćenje od 2x10-3, a donji

izduženje od 2x10-3, koja je veličina sile P?

Pretpostaviti elastično ponašanje materijala sa

EMg=45GPa i ESt=200GPa. (b) Gde bi trebala

da deluje aksijalna sila P tako da ne izaziva

savijanje? (Interesantno je napomenuti da se

ovako određuje položaj neutralne ose grede.)

Slika Z6 - 68

6-69. Čelična kuka dimenzija prikazanih na

slici, opterećena je silom na dole od 19k.

Poluprečnik krivine težišne ose je 6in. Odrediti

maksimalni napon u kuki.

Slika Z6 - 69

6-70. Čelična greda prečnika 50mm savijena je

u gotovo potpuno kružni prsten spoljašnjeg

prečnika od 300mm, kao na slici. (a) Sračunati

maksimalni napon u ovom prstenu usled


74

delovanja dve sile od 10kN na krajevima. (b)

Naći odnos maksimalnog napona iz tačke (a) i

najvećeg napona pritiska koji deluje normalno

u istom preseku.

Slika Z6 - 70

6-71. Kratak blok ima dimenzije poprečnog

preseka prikazane na slici u osnovi. Odrediti

na kom delu duž linije A-A može delovati

vertikalna sila na dole na vrhu bloka tako da

ne izazove zatezanje u osnovi. Zanemariti

sopstvenu težinu bloka.

Slika Z6 - 71

6-72. Poprečni presek kratkog bloka oblika

„strele“ prikazan je u osnovi na slici. Naći

položaj vertikalne sile na dole na liniji

simetrije preseka tako da napon u tački A bude

jednak nuli.

Slika Z6 - 72

6-73. Odrediti jezgro preseka za štap punog

kružnog poprečnog preseka.

6-74. Za malu betonsku trougaonu branu

približne težine 2550kg/m3, prikazanu na slici,

naći približnu raspodelu normalnog napona u

preseku A-B koristeći osnovne metode za

prizmatične elemente kada je voda iza brane

do naznačenog nivoa. Za proračun uzeti jedan

metar dužni brane u pravcu upravnom na

ravan papira i tretirati ka gao izolovanu gredu.

Dimenzije su date u metrima.

Slika Z6 - 74

6-75. Odrediti punu visinu brane h čiji

poprečni presek je dat na slici, tako da pritisak

na temelj u tački A bude jednak nuli?

Pretpostaviti da je težina vode 62.5lb/ft3 a

betona 150 lb/ft3.

Slika Z6 - 75


75

Deo 6-13

6-76. Data je greda T preseka idealno elasto-

plastičnog materijala dimenzija kao na slici.

(a) Ako je podužna dilazacija na dnu flanše –

εyp, i poznato je da je na spoju flaše i vrata

jednaka nuli, kolika aksijalna sila P i moment

savijanja M deluju na gredu? (b) Kolika bi bila

očitana dilatacija nakon prestanka delovanja

opterećenja P i M iz tačke (a)? Neka je

σyp=200MPa.

Slika Z6 - 76

6-77. Magnezijumski odlivak ima dimenzije

date na slici u mm. Tokom nanošenja sile P,

gornji merač je zabeležio izduženje od 3x10-3

a donji skraćenje od 6x10-3. (a) Odrediti

veličinu sile P i njen ekscentricitet e uz

pretpostavljeno idealno ponašanje materijala.

Neka je σyp=135MPa i εyp=3x10-3. (b) Koje

vrednosti će se očitati na meraču po prestanku

delovanja sile P?

Slika Z6 - 11

Deo 6-14

6-78. Ponovo uraditi Primer 6-24 za naneti

moment od My=4kNm.

6-79. Koristeći opštu jednačinu savijanja, naći

najveći napon u gredi Z preseka dimenzija

prikazanim na slici u Zadatku 6-57, usled

momenta savijanja Mz=2Nm. Takođe naći

položaj neutralne ose. Vidi rešenja iz Zadatka

6-83 za moment inercije poprečnog preseka.

6-80. Ponovo uraditi prethodni zadatak za

opterećenje od My=6kNm.

Deo 6-15

6-81. (a) Naći centrifugalni moment inercije za

trougaonu površinu prikazanu na slici u

odnosu na date ose. (b) Za istu površinu,

odrediti centrifugalni moment inercije u

odnosu na vertikalnu i horizontalnu težišnu

osu.

Slika Z6 - 81

6-82. (a) Naći glavne ose i glavne momente

inercije za L profil prikazan na slici. (b)

Koristeći podatke iz tablice sračunati glavne

momente inercije i uporediti ih sa rezultatima

dobijenim za (a). (Pomoć: Uočiti da je u Delu

11-6 i Primeru 11-2, Imin=Ar2min. Dato r u

Tabeli 7 za z osu je rmin. Dalje, iz uslova

Imin+Imax= Ix'+Iy’ =Ix+Iy, odavde lako možemo

rešiti po Imax.)


76

Slika Z6 - 82

6-83. Za poprečni presek oblika Z prikazan na

slici, najpre odrediti momente inercije Iy, Iz, i

Iyz; zatim odrediti pravce glavnih osa i glavne

momente inercije.

Slika Z6 - 83

poglavlje 6 - prevod

Documents