Platónova tělesa

Pravidelné mnohostěny

• Konvexní mnohostěn• Všechny stěny jsou shodné pravidelné

mnohoúhelníky (K-úhelníky)• V každém vrcholu se stýká stejný počet hran (L hran)

Jaké pravidelné mnohostěny mohou existovat

• V … počet vrcholů• S … počet stěn• H … počet hran• Pro každý konvexní mnohostěn platí Eulerova

formule V + S = H +2

Existence pravidelných mnohostěnů

• Dále platí vztahy z podmínek pro pravidelnost mnohostěnu– K.S = 2.E S = 2E/K– L.V = 2.E V = 2E/L

• Po dosazení do Eulerovy formule2E/L + 2E/K = E +21/L + 1/K = 1/E + 1/2

Jaká čísla K,L,E vyhoví vztahu 1/K+1/L = 1/E +1/2

• K a L jsou celá čísla větší nebo rovna 3• Pro K = 3– L=3, E=6: 1/3+1/3 = 1/6+1/2– L=4, E=12: 1/3+1/4 = 1/12+1/2– L=5, E=30: 1/3+1/5 = 1/30+1/2– Pro L=>6 nelze vyhovět

• Pro K = 4– L=3, E=12: 1/4+1/3 = 1/12+1/2– Pro L=>4 nelze vyhovět

• Pro K = 5– L=3, E=30: 1/5+1/3 = 1/30+1/2– Pro L=>4 nelze vyhovět

• Pro K => 6 nelze vyhovět ani pro L=3

Důkaz neexistence více než 5ti pravidelných mnohostěnů

• Z výše uvedených rovnic vyplývá, že nemohou existovat jiné pravidelné mnohostěny, než následující

• Ještě není jasné, zda taková tělesa opravdu existují, musíme je zkostruhovat

K L Hran Vrcholů Stěn3 3 6 4 4

3 4 12 6 8

3 5 30 12 20

4 3 12 8 6

5 3 30 20 12

Pravidelný 4 stěn

• Má 4 3-úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

Pravidelný 4 stěn

• Má 4 3-úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

Pravidelný 8 stěn

• Má 8 3-úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 8 stěn

• Má 8 3-úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 20 stěn

• Má 20 3-úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

Pravidelný 20 stěn

• Má 20 3-úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

Pravidelný 6 stěn

• Má 6 4-úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 6 stěn

• Má 6 4-úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 12 stěn

• Má 12 5-úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

Pravidelný 12 stěn

• Má 12 5-úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

Souřadnice vrcholůpravidelný 6 stěn, krychle

• (±1, ±1, ±1)• A(1,1,1) B(-1,1,1) C(-1,-1,1) D(1,-1,1) E(1,1,-1)

F(-1,1,-1) G(-1,-1,-1) H(1,-1,-1)• Stěny ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, DAEH

Souřadnice vrcholůpravidelný 4 stěn, tetrahedron

• A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(1,1,1)• Stěny ABC, ABD, BCD, ACD

Souřadnice vrcholůpravidelný 8 stěn, octahedron

• (±1,0,0) (0, ±1, 0) (0,0, ±1)• A(1,0,0) B(-1,0,0) C(0,1,0) D(0,-1,0)

E(0,0,1) F(0,0,-1)• Stěny ACE, AED, ADF, AFC, BCE, BED, BDF, BFC

Souřadnice vrcholůpravidelný 12 stěn, dodecahedron

• Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 „zlatý řez“• (±1, ±1, ±1)

(0, ±1/Φ, ±Φ) (±1/Φ,±Φ,0) (±Φ,0, ±1/Φ)

Souřadnice vrcholůpravidelný 20 stěn, icosahedron

• Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 „zlatý řez“• (±1, ±Φ, 0) (0,±1, ±Φ) (±Φ, 0, ±1)