pat1 . 53 - forum. · pdf...

www.mathsure.com หน้า 1

ค าชี้แจง เฉลยข้อสอบ PAT1 ต.ค. 53 ฉบับนี้เป็นเฉลยท่ีจัดท าขึ้นอย่างไม่เป็นทางการบางข้ออาจจะมีข้อผิดพลาดเพราะเฉลยและจัดท า

เพียงคนเดียวและพิมพ์ค่อนข้างล าบากในเวลาอันจ ากัด อาจมีข้อผิดพลาดและรายละเอียดไม่ครบถ้วน หากน้องคนไหนมีข้อสงสัยหรือ

สนใจสมัครเรียนคอร์สของเรา สามารถเข้ามาดูรายละเอียดได้ท่ี www.mathsure.com ได้จ้า สอนสด ท้ังแบบคอร์สรวม และกลุ่มส่วนตัว

จ้า

(น้องท่ีสมัครเรียนเป็นกลุ่มส่วนตัว 3 คนขึ้นไป ชม.แรกทดลองเรียนฟรีจ้า)

เฉลย ตอบ 3

ข้อ 1 ถ้า A B เป็นจริง จะแบ่งได้เป็น 2 กรณีคือ จริงท้ังคู่ และ เท็จทั้งคู่ ในกรณีแรกถ้า A เป็นจริงจะได้( ) ( )

( ) ( )

( )

B C A C

B C F C

B C T

***ประพจน์ที่อยู่ในรูป T เป็นจริงเสมอ

ดังน้ัน ( )B C T เป็นจริงเสมอแต่โจทย์บอกเป็นเท็จ

เม่ือกรณีแรกผิด ไม่จ าเป็นต้องเช็คกรณี 2 จึงตอบได้ว่า ข้อ 1 ผิด

ข้อ 2 พบว่าหากให้ ( ), ( ), ( )A T B F C F จะได้ประพจน์เป็นเท็จ จึงไม่ใช่สัจนิรันดร์

ข้อ 3 การพิสูจน์สัจนิรันดร์ของประพจน์ในรูป จะต้องสมมติให้ประพจน์เป็น T F หากสมมติไม่ได้แสดงว่าประพจน์

ไม่มีทางเป็นเท็จได้จึงเป็นสัจนิรันดร์

เริ่มต้น [( ) ] [( ) ( )]A B C A B A C ต้องเริ่มที่สมมติหลังเป็น F น่ันคือ C ต้องเป็น F

[( ) ] [( ) ( )]A B F A B A F ต่อมาจะได้ว่า A ต้องเป็น T

[( ) ] [( ) ( )]T B F T B T F สุดท้ายจะได้ว่า B ต้องเป็น T[( ) ] [( ) ( )]T T F T T T F F F

ซึ่งจะพบว่าไม่สามารถท าให้ก้อนหน้าเป็นจริงได้

แสดงว่าเราไม่สามารถสมมติให้เกิด T F ประพจน์น้ีจึงเป็นสัจนิรันดร์

ข้อ 4 ( ) ( ) ( )A B C A C A C ข้อน้ีจึงผิด



อันดับแรกต้องเข้าใจก่อนว่า

[ ( )]x P x แปลว่า มีจ านวนจริงบางจ านวนที่ 2( 1) 1x x เช่น 2, 3,...x ประพจน์นี้เป็นจริง

[ ( )]x P x แปลว่า มีจ านวนจริงบางจ านวนที่ 2( 1) 1x x เช่น 0,1,2,3,...x ประพจน์นี้เป็นจริง

[ ( )]x Q x แปลว่า มีจ านวนจริงบางจ านวนที่ 1 2x เช่น 2,1,0, 1,...x ประพจน์นี้เป็นจริง

[ ( )]x Q x แปลว่า มีจ านวนจริงบางจ านวนที่ 1 2x เช่น 4,5,6,...x ประพจน์นี้เป็นจริง

จะพบว่าประพจน์ที่เป็น ทุกประพจน์เป็นจริง ฉะนั้นประพจน์ที่เป็น ทุกประพจน์ต้องเป็นเท็จ

จากโจทย์ [ ( )] [ ( )]x P x x Q x T F F โจทย์ถามว่าข้อใดมีค่าความจริงตรงกันข้ามกับโจทย์

ข้อ 1 ข้อ 3 และ ข้อ 4 คือ T F

ส่วนข้อ 2 คือ T T ดังนั้นข้อที่ตรงกันข้ามกับโจทย์คือข้อ 2

ตอบ ข้อ 2.



หา A จาก 2 1 8x จะได้ 28 1 8x และ 27 9x เน่ืองจาก 2x ไม่มีทางติดลบจะได้ว่า 2 9x และ 2 9 0x หา

ค าตอบโดยการแยกตัวประกอบ ( 3)( 3) 0x x วาดเส้นจ านวนจะได้ค าตอบคือช่วง ( 3,3) ซึ่ง A ต้องเป็นจ านวนเต็มจะได้ว่า

{ 2, 1,0,1,2}A

หา B จาก (3 2)( 1) 0x x วาดเส้นจ านวนหาค าตอบจะได้ค าตอบคือ 2( , 1] [ , )

3

ซึ่ง B ต้องเป็นจ านวนเต็มจะได้ว่า B คือเซตจ านวนเต็มทุกตัวยกเว้น 0 นั่นคือ {0}B I

ข้อ 1. {0}A B ฉะนั้น ( ( )) 2n P A B ผิด

ข้อ 2. ( )I A B ฉะนั้น ( ( )) 1n I A B ผิด

ข้อ 3. ( ) { ,{0}}P A B มีสมาชิก 2 ตัว ส่วน ( )P A มีสมาชิก 32 ตัว และ ( )P A B มีสมาชิก 16 ตัว จึงเป็นไปไม่ได้ที่

( ) ( )P A P A B จะมีสมาชิก 2 ตัว

ข้อ 4. ( ) { ,{0}}P A B ส่วน ( )P A B จะมี เป็นสมาชิกแต่ไม่มี {0}อยู่ดังนั้น

( ) ( )P A B P A B จะต้องมี {0} เป็นสมาชิกหรือเท่ากับ {{0}} ข้อ 4 จึงถูก



ความสัมพันธ์จะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อแทน x 1 ค่า ให้ y ออกมาเพียงค่าเดียวเท่านั้น

ข้อ 1. จะพบว่าเมื่อแทน 0x จะได้ 2y ซึ่งออกมา 2 ค่า และทั้งสองค่าสอดคล้องกับเงื่อนไข 0xy จึงท าให้ได้ y

ออกมา 2 ค่า ข้อนี้จึงไม่เป็นฟังก์ชัน

ข้อ 2. ไม่ว่าจะแทน x เป็นเท่าใดจะได้ y ออกมาค่าเดียวเสมอ แต่บางคนอาจจะลองแทน 1x แล้วได้ 3y ซึ่งออกมา 2

ค่า แต่โจทย์มีเงื่อนไขคือ 0xy ดังนั้นจะได้ 3y ค่าเดียว

ข้อ 3. เมื่อแทน 2x จะได้ 1y

ข้อ 4. เมื่อแทน 0x จะได้ 1y

Tip ปกติหากไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม เช่น 0xy สามารถดูได้ง่ายๆเลยว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่โดยดูที่ดีกรี

สูงสุดของ y หากไม่ใช่ดีกรีคู่ และ ไม่ติด Absolute จะเป็นฟังก์ชันเสมอ ดังนั้นสังเกตข้อ

3 กับ 4 y ติด Absolute จะไม่เป็นฟังก์ชันแน่นอน ส่วนข้อ 1 กับข้อ 2 ก็ต้องมาพิจารณาอีกทีเพราะมี

เงื่อนไขเพิ่ม



ก. ( )a b c a b c ส่วน ( )a b c a b c ซึ่งจะพบว่าไม่เท่ากัน

ข. ( )a b c a b c ส่วน ( ) ( )a b a c a b a c ซึ่งจะพบว่าไม่เท่ากัน

ดังนั้น ตอบ 4.



อันดับแรกต้องแยกอนุกรมออกเป็น 2 อนุกรม และต้องรู้ว่า มุม 603

rad

อนุกรม 1. 3 5sin 60 sin 60 sin 60 ...

จะพบว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 2 3sin 60

4r

ซึ่งผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาที่มี 1r จะเท่ากับ 1

1

a

r ดังนั้น

3 5sin 60 sin 60 sin 60 ... =3

sin 60 2 2 33 1

14 4

อนุกรม 2. 2 4 6(cos 60 cos 60 cos 60 )

จะพบว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 2 1cos 60

4r ดังนั้น

2 4 6(cos 60 cos 60 cos 60 ) =2

1cos 60 14

1 3 31

4 4

โจทย์ต้องการ 13 3 2 3 6 3 1

3 3T

ตอบ 3.


เฉลย ตอบ 1.

อันดับแรกน้องๆต้องทราบกฎไซน์ก่อน

จากโจทย์พิจารณาสามเหลี่ยม AEC จะได้ว่า sin 45 sin120

x z

และ 2

3 62

2

z zx

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC จะได้ว่า sin135 sin 30

y z

และ 2

1 222

z zy

โจทย์ต้องการ 2

2 162 6 3

2

z

EC x

zBC y ตอบ 1.



ก. 2 2 6 4 23x y x y = 2 2 2( 3) ( 2) 23 9 4 6x y

เป็นสมการวงกลมที่จุดศูนย์กลางที่ ( 3, 2) และรัศมีเท่ากับ 6 เส้นตรง 21 20 168 0x y จะสัมผัสวงกลมนี้ก็ต่อเมื่อมีระยะห่างจาก

จุดศูนย์กลางวงกลมเท่ากับรัศมีหรือ 6 พอดี

หาระยะทางจากจุด ( , )m n ไปยังเส้นตรง 0ax by c ใช้สูตร 2 2

am bn cd

a b

ซึ่งจะได้ว่าระยะทางจาก ( 3, 2) ไปยัง 21 20 168 0x y เท่ากับ 2 2

21( 3) 20(2) 168 1455

2921 20

ซึ่งไม่เท่ากับรัศมีข้อ ก. จึงผิด

ข. 2( 3) 71 16 9 4( 4)( 5)y x x เป็นพาราโบลาตะแครงซ้ายที่มีจุดยอด (5,3) ดังนั้นข้อ ข. ผิด

ตอบ 4.



การหาพื้นท่ีของรูปหลายเหลี่ยม

วิธิท า 1. น าจุดยอดของรูปเหลี่ยมมาเขียนเรียงในแนวต้ังในทิศทวนเข็มนาฬิกา 2. ปิดท้ายด้วยจุดยอดแรก 3. พื้นที่ของรูปเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหน่ึงของผลบวกของผลคูณทแยงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณทแยงขึ้น

พื้นที่สามเหลี่ยม ABC =

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2

x y

x y

x y

x y

= 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3

1(( ) ( ))

2x y x y x y x y x y x y

***คูณลง-คูณขึ้น

พท. เท่ากับ

0 3

4 41 1

(0 32 6 6) ( 12 8 16 0)2 82 2

2 3

0 3

= 1 1(44) ( 20) 64 32

2 2 ดังนั้นตอบ 2.



เน่ืองจาก ,a b และ c เป็นค าตอบของ 3 2 18 2 0x kx x จะได้ว่า 3 2 18 2 0 ( )( )( )x kx x x a x b x c

ซึ่ง 3 2 3 2( )( )( ) ( ) ( ) 18 2x a x b x c x a b c x ab ac bc x abc x kx x

เทียบสัมประสิทธิ์หน้า x ดีกรีต่างๆจะได้ว่า

หน้า 2x จะได้ a b c k

หน้า 1x จะได้ 18ab ac bc

หน้า 0x (หรือตรงที่ไม่มี x) จะได้ 2abc

โจทย์ต้องการ 1 1 1 bc ac ab

a b c abc

จะได ้ 18

92

ดังนั้น 3

2

27 27 3

1 1 1 2log log 9 log 3

3a b c

ตอบ 3.



จัดรูปโจทย์ก่อน ได้ 2

3 3

3log log 6

3x x

แทนค่า 3log x a จะได้ 2 6 0a a และ ( 3)( 2) 0a a นั่นคือ 2,3a

แทน 3log 2,3x a จะได้ 127,

9x ซึ่งใช้ได้ทั้ง 2 ค าตอบ

พิจารณาข้อ 1. 31 1 1 2

4 3 2

1log log log 0

9 244 29x x

0

31 1 2

3 2

1 1log log 1

9 244 29 4x x

1

31 2

2

1 1 1log

9 244 29 3 3x x

1 1

3 3

2

1 1

9 244 29 2x x

จะได้ 29 244 29 2x x จัดรูป 29 244 27 0x x และ (9 1)( 27) 0x x

นั่นคือ 127,

9x ค าตอบตรงกับโจทย์ ตอบ 1.

หมายเหตุ : ข้อน้ีคาดว่าผู้ออกโจทย์ตั้งใจให้ค าตอบอยู่ข้อ 1. เพราะหากเจตนาให้คิดทุกข้อคาดว่า เด็กคงสลบคาที่ และเป็นเหมือนรางวัล

ให้แก่เด็กที่พยายามท าโจทย์ไม่ข้ามไปท าข้ออ่ืนแน่เลย ^^



อันดับแรกหา 1A ก่อน 1

1 1

2 2

1 1

2 2

A

พิจารณา x y x yBA

y z y z

น า 1A คูณกับ BA จะได้ 2

2 02 2 2 2

2 0 4

2 2 2 2

x y y z x y y z x y z x z

x y y z x y y z x z x y z

น ามาเขียนสมการได้

2 4x y z สมการ 1

0x z สมการ 2

2 8x y z สมการ 3

น าสมการ 1 บวก สมการ 3 จะได้ 2 2 4x z หรือ 2x z เป็นสมการ 4

จากสมการ 2 จะได้ว่า x z แทนใน สมการ 4 จะได้ 1, 1x z และแทนค่าหา 3y

โจทย์ต้องการ 3xyz ตอบ ข้อ 1.



ก. จัดรูป 2 2 2 3 4 1 2 5 15 5 15

2 2 1 2 1 2 3 3

i i i i i iz

i i i i i i

3 4 11 2 50 14 27

5 5 10 5

i i i i

2 22

14 2714 27 14 2737

5 5 5

iiz

ซึ่งโจทย์บอก 37z ซึ่งผิด

ข. 5 2 10 10 1

( 1)( 2)( 3)( 4) 10( 4) 4

i

x yi i i i i i i i

( 5 2 )( 4)i i x yi

22 3i x yi

จะได้ว่า 22, 3x y ดังนั้น 19x y ซึ่งผิด

ดังนั้นตอบข้อ 4.



จาก 2 2 22u v u u v v

แต่โจทย์บอกว่า 2 2 2u v u v แสดงว่า 0u v

จาก 0u v จะได้ว่า 4 3 0x y เป็นสมการ 1

และโจทย์บอก 5 5 21x y แป็นสมการ 2

เมื่อแก้สมการจะได้ว่า 63 84,

35 35x y

ดังนั้น 63 84

35 35u i j

โจทย์ต้องการu w

จะได้ u w = 126 84 2106

35 35 35

ตอบข้อ 2.



ข้อ 1. ไม่จริง เช่น 1 0,

0 1u v

จะได้ 2( ) 0, ( )( ) 1u v u u v v

ข้อ 2. ไม่จริง เช่น 1 1,

1 1u v

จะเห็นได้ว่า 2 2( ) 4,( ) 4u v u v แต่ u ไม่ตั้งฉากกับ v

ข้อ3. ถ้า 0u v w และขนาด u v w แสดงว่า ,u v ทิศเดียวกัน และทิศตรงกันข้ามกับ w

ดังนั้นเวกเตอร์ ,u v จะท ามุมกัน 0 โจทย์ต้องการ cos0 3 4 12u v u v ฉะนั้นข้อ 3 ถูกต้อง

ข้อ 4. 2 2 22u v u u v v ไม่ได้เท่ากับ 2 2

u v



ลองแทนค่า k จะได้

เมื่อ 1k จะได้ 13 เมื่อ 2k จะได้ 4

15 เมื่อ 3k จะได้ 9

35 เมื่อ 4k จะได้ 16

63

1

1

3a , 2

1 4 9 3

3 15 15 5a , 3

3 9 30 6

5 35 35 7a และ 4

6 16 70 10

7 63 63 9a

น้องๆจะมองเห็นแนวโน้มว่า อนุกรม na นั้นเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นล าดับ ( 1)1,3,6,10,...,

2

n n

และตัวส่วนเป็นล าดับ 3,5,7,9,..., 2 1n ดังนั้น ( 1)

( 1)2

2 1 4 2n

n nn n

an n

โจทย์ต้องการหา 16 ( 1) 16 16lim 4

4 2 4 2n

n n n

n n n




ก. 15 13 1 114 ( 12 ) 2 3a a a d a d d จะได้ว่า 1.5d

ข. ผลบวก m พจน์แรกหาจาก 1 1 1( ) ( ( 1) ) 3252 2

m

m ma a a a m d

1(2 ) 3252

ma md d

2

12 650a m m d md สมการ 1

ค. ผลบวก 4m พจน์แรกหาจาก 1 4 1 1

4( ) 2 ( (4 1) ) 4900

2m

ma a m a a m d

12 (2 4 ) 4900m a md d

2

12 4 ) 2450a m m d md สมการ 2

น าสมการ 2 ลบ สมการ 1 จะได้ 23 1800m d จาก 1.5d

21.5 600m จะได้ 2 400m หรือ 20m น าไปแทนค่าหา 1 2a

โจทย์ต้องการ 2 40 1

3 12139 2 39( )

2 2ma a a d




( )g x ต่อเน่ืองที่ 1x แสดงว่า 1 1

lim ( ) lim ( ) (1)x x

g x g x g

หา 1

lim ( )x

g x

=1

3 2 0lim

01x

x

x

ใช้ L hospital จะได้

1

2

11

2

1 1( 3)

12 4lim1 21

( )22

x

x

x

หา 1 1

( ) (1)lim ( ) lim

7 8x x

f x fg x

x

ซึ่งต้องมีค่าเท่ากับลิมิตขวาดังนั้น (1) 4f

โจทย์ต้องการ 7 2( )(1) ( (1)) (4) 7 2

4 1g f g f g




อันดับแรกต้องทราบก่อนว่า 2( ) ( ( ))f x Q x แสดงว่า ( )f x ต้องเป็นฟังก์ชันที่เป็นก าลังสองสมบูรณ์

เช่น 4 3 24 6 4 1x x x x เป็นฟังก์ชันก าลังสองสมบูรณ์เพราะเกิดจาก 2 2( 2 1)x x

และ 4 3 22 3 2 1x x x x เป็นฟังก์ชันก าลังสองสมบูรณ์เพราะเกิดจาก 2 2( 1)x x

สังเกตว่าฟังก์ชันที่เป็นก าลังสองสมบูรณ์จะมี ส.ป.ส. ที่ สมมาตร เช่น 4 3 24 6 4 1x x x x มี ส.ป.ส. เป็น 1,4,6,4,1 และ 4 3 22 3 2 1x x x x มี ส.ป.ส. เป็น 1,-2,3,-2,1

ดังนั้น 4 3 2( ) 2f x x x x ax b ควรมี 2a และ 1b

โจทย์ต้องการ 11 5 4 3

4 3 2 2

0 0

( 2 2 1)5 2 3

x x xx x x x dx x x

= 1 1 1 71( 1 1) (0)5 2 3 30




ข้อสังเกต

จริงๆแล้ว max( , )a b a b นั่นเอง เช่น 1 2 2 หรือ 3 2 3 และ 4 4 4 เป็นต้น

และ min( , )a b a b นั่นเอง เช่น 1 2 1 หรือ 3 2 2 และ 4 4 4 เป็นต้น

ดังนั้น

ก. a b b a จริงเพราะสามารถสลับที่กันได้ เช่น 1 2 2 และ 2 1 2

ข. ( ) ( )a b c a b c จริงเพราะไม่ว่าจะท าในส่วนไหนก่อนค าตอบยังเท่าเดิมคือเอาตัวที่มากที่สุด

ค. ข้อน้ีพิจารณายากหน่อย ต้องแบ่งเป็น 3 กรณี

1. หาก a น้อยที่สุดจะได้ ( )a b c a และ ( ) ( )a b a c a

2. หาก a มีค่าปานกลางจะได้ ( )a b c a และ ( ) ( )a b a c a

3. หาก a มีค่ามากสุดจะได้ ( )a b c ตัวที่มีค่ารองลงมา และ ( ) ( )a b a c ตัวที่มีค่ารองลงมา

จะเห็นว่าไม่ว่ากรณีใด ( ) ( ) ( )a b c a b a c ดังนั้น ถูกทั้ง ก, ข และ ค ตอบ ข้อ 4.



หา a หรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต วิธีการหา x ที่ง่ายท่ีสุดส าหรับข้อนี้คือเอาจุดกึ่งกลางแต่ละชั้นคูณความถี่แล้วเฉลี่ยด้วยจ านวนนักเรียน

ท้ังหมด จะได้ (158 6) (163 15) (168 21) (173 8)166.1

50x

หา b คือต าแหน่ง 3Q นั่นเอง หรือต าแหน่งที่ 3(50) 37.5

4 อยู่อันตรภาคชั้นที่ 3

จะได้ 3

37.5 21165.5 5 169.43

21Q




จากแผนภาพ ตอบค าถาม

ก. ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งไม่ชอบทั้งสามวิชา เท่ากับ 0.20 ซึ่งโจทย์บอก 0.15 ซึ่งผิด

ข. ความน่าจะเป็นที่นักเรียนชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียวเท่ากับ 0.20 ซึ่งโจทย์บอก 0.40 ผิด




ก. จากมัธยฐาน 75 จะได้ว่าคนกลางได้คะแนน 75 ให้คนแรก a คนที่สาม b

จากพิสัยเป็น 25 แสดงว่า 25b a และ

จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 80 แสดงว่าทั้งสามคนต้องรวมกันได้ 240 แสดงว่า 165a b

แก้สมการออกมาจะได้ 70a ซึ่งเป็นจริง

ข. จาก 2( )ix x

SDn

จะได ้

2 2 2 2

1 2 4 51

( ) ( ) ... ( ) ( )

5

x x x x x x x xSD

2 2 2

1 2 42

( ) ( ) ... ( )

4

x x x x x xSD

จะเห็นว่าคล้ายกันต่างกันตรงที่ 1SD มี 2

5( )x x เพิ่มเข้ามา

แต่ 5x x เพราะทั้ง 2 ชุดมี x เท่ากันแต่ชุด 1 มีเพิ่ม 5x เข้ามา ดังนั้น 2

5( ) 0x x

ดังนั้น 2

1

5 5

4 2

SDb

a SD ถูกต้องแล้ว




ข้อน้ีควรจะเร่ิมที่ AB เป็นจ านวนเฉพาะ ดังนั้นมีโอกาสเป็น 13,23,31,41,43,53,61 แต่ต้องตัด 13,23,31, ทิ้งเพราะจะไม่สามารถหา

C ที่อยู่ใน {1,2,3,4,5,6} มาบวกกับเลขเหล่านี้ให้เท่ากับ 0F ได้

จะเหลือ 41,43,53,61ที่เป็นไปได้

ต่อมาจะเห็นว่า หาก 0F แสดงว่า 10A C แน่ๆดังนั้น E ต้องเท่ากับ 1 ต้องตัด

41,43,53,61 เหลือเพียง 43 กับ 53 ลองสุ่มเลขดูจะพบว่า 4 3

6 2

1 0 5

นั่นคือ 4, 3A B และ 7A B




1. x y แปลว่า x my และ y z แปลว่า y nz ส าหรับบางจ านวนเต็มบวก ,m n (ไม่จ าเป็นต้องใช้ k )

โจทย์ต้องการพิสูจน์ว่า ( )x y z หรือไม่ จาก x my และ y nz จะได้

( ) ( )x y my nz m nz nz mn n z

จะพบว่า mn n ก็ยังเป็นจ านวนเต็มบวกอยู่ดังนั้น ( )x y z จริง

2. ต้องการพิสูจน์ว่า x yz หรือไม่ นั่นคือ x สามารถเขียนให้อยู่ในรูป จ านวนเต็มบวกคูณกับ yz หรือไม่

จาก 2x y และ y nz จะได้ x mnz จะเห็นว่าไม่สามารถเขียน x ในรูป จ านวนเต็มบวกคูณกับ yz ได้

3. เช่นเดียวกับ 2 ไม่สามารถเขียน x ในรูป จ านวนเต็มบวกคูณกับ y z ได้

4. ไม่ถูกเช่น ให้ x y คือ 2x y จะได้ว่า 1

2y x y x เพราะ 1

2 ไม่ใช่จ านวนเต็มบวก

pat1 . 53 - forum. · pdf...

Documents