pat1 มี.ค. 59

รหสัวชิา 71 ความถนดัทางคณิตศาสตร์

วนัเสาร์ที� 5 มีนาคม 2559 เวลา 13.00 – 16.00 น.

หนา้ |1

ตอนที� 1 แบบปรนยั 5 ตวัเลือก จาํนวน 30 ข้อ(ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน

1. กําหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ใดๆ

พิจารณาข้อความตอ่ไปนี �

(ก) ( p q) ( q p) เป็นสจันิรนัดร์

(ข) (p q) ( p q) ไมเ่ป็นสจันิรันดร์

(ค) (p q) ( r q) สมมลูกบั p r

ข้อใดตอ่ไปนี �ถกูต้อง

1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ข้อ (ข) ผิด

3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกูทั �งสามข้อ

5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั �งสามข้อ

2. ในการสํารวจนกัเรียนห้องหนึ�ง เกี�ยวกบัความชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาองักฤษ และ

วิชาภาษาไทย พบวา่นกัเรียนในห้องนี �ชอบเรียนวิชาดงักล่าวอยา่งน้อย 1 วิชา และ

มี 24 คน ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์

มี 22 คน ชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ

มี 21 คน ชอบเรียนวิชาภาษาไทย

มี 21 คน ชอบเรียนเพียงวชิาเดียว

และ มี 4 คน ชอบเรียนทั �งสามวิชา

จํานวนนกัเรียนที�ชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ หรือวิชาภาษาไทยแตไ่มช่อบเรียนวิชาคณิตศาสตร์

เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 16 คน 2. 17 คน

3. 18 คน 4. 19 คน

5. 20 คน



หนา้ |2

3. ให้ m, n, r และ s เป็นจํานวนเต็มบวกที�แตกตา่งกนัทั �งหมด โดยที� 1 m r

ให้ a > 1 และ b > 1 สอดคล้องกบั m na b และ r sa b


(ก) m + n < r + s

(ข) n sm r

(ค) m r

n n

s s





4. ให้ 2 2 3a sin sin

8 8

และ 2 23b sin sin

8 8


1. 2b 4a 0 2. 24b 8a 3

3. 2 216a 8b 1 4. 2 24a b 1

5. 2 24a 4b 1

5. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี�ยมที�มีมมุ C เป็นมมุแหลม

ถ้า a, b, และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลําดบั

โดยที� 4 4 4 2 2 2a b c 2(a b )c แล้วมมุ C สอดคล้องกบัสมการในข้อใดตอ่ไปนี �

1. sin 2C cosC 2. 22 tan C cos ec C

3. secC 2 cosC 4 4. 2 24 cos ec C cos C 1

4. 2tan C 2cos(2C) 2



หนา้ |3

6. กําหนดให้ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S

ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ


(ก) ถ้า A C B แล้ว A B C

(ข) ถ้า A C B แล้ว B (A B) (B C)

(ค) P(A B) P(A) P(B)


1. ข้อ (ก) ถกูเพียงข้อเดียว 2. ข้อ (ข) ถกูเพียงข้อเดียว

3. ข้อ (ค) ถกูเพียงข้อเดียว 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกูทั �งสามข้อ


7. กําหนดให้เอกภพสมัพทัธ์คอื x R 0 x 2 เมื�อ R แทนเซตของจํานวนจริง

ให้ P(x) แทน x x

0x

และ Q(x) แทน 2x (x 1) 3


(ก) x[Q(x)] x[P(x)] มีคา่ความจริงเป็น จริง

(ข) x[P(x) Q(x)] มีคา่ความจริงเป็น จริง

(ค) x[ P(x)] x[Q(x)] มีคา่ความจริงเป็น เท็จ





8. กําหนดให้ x และ y เป็นจํานวนจริงบวกที�สอดคล้องกบั

2 2

2 log y 4 log x และ y

4(x 1)4 2 9 2


1. 2 2x y 17 2. 3 3x y 9

3. 2x y 1 4. 2y x 4

5. x 2y 7



หนา้ |4

9. คา่ของ o o4 sin 40 tan 40 ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. ocos 405 2. osin 420

3. osec( 60 ) 4. otan( 120 )

5. ocot( 135 )

10. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง

ให้ f เป็นฟังก์ชนัซึ�งมีโดเมนและเรนจเ์ป็นสบัเซตของจํานวนจริง

และ g : R R โดยที� g(1 x) x(2 x) และ 2(fog)(x) x 1 สําหรับ x R


(ก) x R (gof)(x) (fog)(x) เป็นเซตวา่ง

(ข) (gof)(x) 1 0 สําหรับทกุจํานวนจริง x –1

(ค) (f g)(x) 1 สําหรบัทกุจํานวนจริง x –1





11. ให้ C เป็นวงกลมมีจดุศนูย์กลางอยูท่ี�จดุ A เส้นตรง 3x + 4y = 35 สมัผสัวงกลมที�จดุ (5, 5)

ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ�ง มีแกนตามขวางขนานกบัแกน y มีจดุศนูย์กลางอยูท่ี�จดุ A ระยะระหวา่ง

จดุศนูย์กลางกบัโฟกสัจดุหนึ�งเป็นสองเทา่ของรัศมีของวงกลม C และเส้นตรง 3x – 4y = 2 เป็นเส้นกาํกบั

เส้นหนึ�ง แล้วสมการไฮเพอร์โบลารูปนี �ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 2 29x 16y 32x 36y 596 0 2. 2 29x 16y 32x 36y 596 0

3. 2 29x 16y 32x 36y 596 0 4. 2 29x 16y 36x 32y 596 0

5. 2 29x 16y 36x 32y 596 0

12. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง

ถ้า A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x 2 3 x 2x 1

แล้ว A เป็นสบัเซตของเซตในข้อใดตอ่ไปนี �

1. x R 2x 1 1 2. x R x 2 1

3. x R x 1 2 4. 2x R x 2 3x

5. 2x R x 2x



หนา้ |5

13. กําหนดให้ P เป็นพาราโบลารูปหนึ�งมสีมการเป็น 2x 4x 3y 5 0

และพาราโบลา P ตดัแกน x ที�จดุ A และจดุ B ถ้า E เป็นวงรีที�มีจดุยอดอยูท่ี�จดุ A และจดุ B

และผลบวกของระยะทางจากจดุยอดของพาราโบลา P ไปยงัโฟกสัทั �งสองของวงรี E เทา่กบั 2 13 หนว่ย

แล้วสมการวงรี E ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 2 2x 4x 9y 5 2. 2 23x 12x 5y 15

3. 2 25x 20x 9y 25 4. 2 26x 24x 25y 30

5. 2 29x 36x 16y 45

14. กําหนดสมการจดุประสงค์ P = 7x – 5y และอสมการข้อจาํกดัดงันี �

x + 3y – 12 0 , 3x + y – 12 0 , x – 2y + 17 0 และ 9x + y – 56 0


(ก) ถ้า (a, b) เป็นจดุมมุที�สอดคล้องกบัอสมการข้อจํากดัและให้คา่ P มากที�สุด

แล้ว 2 2a b 40

(ข) ผลตา่งระหวา่งคา่มากที�สุดและคา่น้อยที�สุดของ P เทา่กบั 70

(ค) ถ้า A และ B เป็นพิกดัของจดุมมุที�สอดคล้องกบัอสมการข้อจํากดั

โดยที� P มีคา่มมากที�สุดที�จดุ A และ P มีคา่น้อยที�สุดที�จดุ B

แล้วจดุ A และ B อยูบ่นเส้นตรง 7x + 5y = 52





15. กําหนดให้ A และ B เป็นจดุสองจดุบนเส้นตรง y = 2x + 1

ถ้าจดุ C(–2, 2) เป็นจดุที�ทาํให้ CA CB

และ CA CB 0

แล้วสมการของวงกลมที�ผ่านจดุ A, B และ C ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 2 2x y 2y 4 0 2. 2 2x y 2y 12 0

3. 2 2x y 2x 4 0 4. 2 2x y 2x 12 0

5. 2 2x y 8 0



หนา้ |6

16. ถ้าพาราโบลารูปหนึ�ง มีแกนสมมาตรทบักบัแกน y และผ่านจดุปลายของส่วนของเส้นตรง

2x + 3y – 6 = 0 เมื�อ x สอดคล้องกบัสมการ 2x x 3 x x 3 0

แล้วความยาวของเลตสัเรกตมั ของพาราโบลาเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 9

8 2.

9

4

3. 9

2 4. 9

5. 18

17. ให้ f เป็นฟังก์ชนั โดยที�

2

x b 4 , x a

f(x) x bx a , a x b

2bx a , x b

เมื�อ a และ b เป็นจาํนวนจริง

และ f เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื�องบนเซตของจาํนวนจริง


(ก) (fof)(a b) a b

(ข) f(a b) f(a) f(b)

(ค) f (f(2)) f(f (2))





18. กําหนดให้ R เป็นเซตของจาํนวนจริง

ให้ f : R R และ g : R R เป็นฟังก์ชนั

โดยที� f(x 3) x 4 และ 1(f og)(x) 3xf(x) 3x 4 สําหรับจํานวนจริง x

ถ้า A เป็นเรนจข์อง gof และ B เป็นเรนจ์ของ fog แล้ว A – B เป็นสบัเซตของชว่งในข้อใดตอ่ไปนี �

1. (0, 2) 2. (–2, 1)

3. (–3, 0) 4. (–4, –2)

5. (–6, –3)



หนา้ |7


ถ้า 2x 10 x 6A x R 3 4(3 ) 27 0

แล้วเซต A เป็นสบัเซตของชว่งในข้อใดตอ่ไปนี �

1. (–9, –4) 2. (–5, –2)

3. (–3, 3) 4. (0, 5)

5. (2, 10)

20. กําหนดให้ 1 2 3 na ,a ,a ,..., a ,... เป็นลําดบัเลขคณิตของจํานวนจริง

โดยที� 25

nn 1

a 1900

และ n

n 1n 1

a8

4

คา่ของ 100a ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 298 2. 302

3. 400 4. 499

5. 598

21. ถ้าข้อมลู 10 จํานวน คือ 1 2 10x , x ,..., x เมื�อ 1 2 10x , x ,..., x เป็นจํานวนจริง

โดยที�คา่เฉลี�ยเลขคณิตของข้อมลู 2 2 2 21 2 3 10

x , x , x , ... , x เทา่กบั 70 และ 10 2

ii 1

(x 3) 310

แล้วคา่ความแปรปรวนของข้อมลู 1 2 103x 1 , 3x 1 , ... , 3x 1 ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 6 2. 18

3. 45 4. 54

5. 63

22. ให้ 1 2 20x , x ,..., x เป็นข้อมลูที�เรียงคา่จากน้อยไปหามากและเป็นลําดบัเลขคณิตของจํานวนจริง

ถ้าควอร์ไทล์ที� 1 และเดไซล์ที� 6 ของข้อมลูชดุนี �เทา่กบั 23.5 และ 38.2 ตามลําดบั

แล้ว ส่วนเบี�ยงเบนควอไทล์ เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 9.75 2. 10.25

3. 10.50 4. 11.50

5. 11.75



หนา้ |8

23. นาย ก. และนางสาว ข. พร้อมด้วยเพื�อนผู้ชายอีก 3 คน และเพื�อนผู้หญิงอีก 3 คน

นั�งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม โดยที� นาย ก. และนางสาว ข. นั�งตรงข้ามกนั และมีเพื�อนผู้หญิง 2 คน

นั�งติดกนักบั นางสาว ข. จะมีจํานวนวิธีจดันั�งรอบโต๊ะกลมดงักล่าวได้เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 30 วิธี 2. 72 วิธี

3. 96 วิธี 4. 120 วิธี

5. 144 วิธี

24. กําหนดให้ n

n 2

2 1a

34n 1

สําหรับ n = 1 , 2 , 3 , ...

อนกุรม nn 1

a

ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. อนกุรมลู่เข้าและมีผลบวกเทา่กบั 54




5. อนกุรมลู่ออก

25. สําหรบั x และ y เป็นจํานวนจริงที�ไมเ่ป็นศนูย ์

นิยาม

xy

, x y 0x yx y

0 , x y 0

ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนจริงที�ไมเ่ป็นศนูย์ โดยที� a b 1 , a c 2 และ b c 3

แล้วข้อใดตอ่ไปนี �ถกูต้อง

1. a + b < c 2. a < b + c

3. a < b < c 4. b < c < a

5. c < a < b

26. กําหนดให้ 1 a 0A

2 1

และ 1 1 0B

b 1

เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริงที�ไมเ่ป็นศนูย์

โดยที� t 1 8 2(A ) B

3 1

คา่ของ det(2A B) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3 2. 6

3. 9 4. 12

5. 14



หนา้ |9

27. กําหนดข้อมลู x และ y มีความสมัพนัธ์ ดงันี �

x 1 3 4 5 7

y 0 3 6 7 9

โดยที� x และ y มีความสมัพนัธ์เชงิฟังก์ชนัแบบเส้นตรง ถ้า y = 8 แล้วคา่ของ x เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 5.94 2. 5.86

3. 7.1 4. 7.23

5. 8

28. กําหนดให้ R เป็นเซตของจํานวนจริง

ให้ f : R R และ g : R R เป็นฟังก์ชนัที�มีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั และสอดคล้องกบั

g(x) = xf(x) และ 3 2g (x) 4x 9x 2 สําหรับทกุจํานวนจริง x


(ก) คา่สูงสุดสมัพทัธ์ของ f เทา่กบั 6

(ข) คา่ตํ�าสุดสมัพทัธ์ของ f เทา่กบั 2

(ค) อตัราการเปลี�ยนแปลงของ (f + g)(x) เทียบกบั x ขณะที� x = 1 เทา่กบั 12





29. กล่องใบหนึ�งบรรจลุูกแก้วสีแดง 2 ลูก ลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และลูกแก้วสีเขียว 3 ลูก

สุ่มหยิบลูกแก้วออกมาจากกล่อง 8 ครั �ง ครั �งละลูกโดยไมต้่องใส่คืน ความนา่จะเป็นที�สุ่มหยิบลูกแก้ว 8 ครั �ง

โดยครั �งที� 1 ได้ลูกแก้วสีขาวหรือหยิบครั �งที� 8 ไมไ่ด้ลูกแก้วสีแดง เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3

4 2.

5

8

3. 29

56 4.

7

8

5. 6

7



หนา้ |10

30. กําหนดให้ 4

4

2A 3

3 ,

4

133B1

33

และ 44

2 3C

1 273 33

คา่ของ A B C เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3 2. 3

3. –1 4. 1

5. 0

ตอนที� 2 แบบอตันยั ระบายคําตอบที�เป็นตวัเลข จํานวน 15 ข้อ(ข้อ 31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน

31. ให้ A แทนเซตคําตอบของสมการ x x x 125 3(15) 5 25(3 ) เมื�อ x เป็นจํานวนจริง

และให้ x xB 3 5 x A

คา่มากที�สุดในเซต B เทา่กบัเทา่ใด

32. ให้ A แทนเซตของจํานวนเต็มทั �งหมดที�สอดคล้องกบัสมการ x 1 2 x 1 3 1

ผลบวกของสมาชิกทั �งหมดในเซต A เทา่กบัเทา่ใด

33. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชงิซ้อน โดยที� z z 1 i และ (1 2i)zRe 0

3 i

เมื�อ 2i 1

แล้วคา่ของ 22z 1 เทา่กบัเทา่ใด

34. คา่ของ 2 3 2

24

x x xdx

x x 2 x 2

เทา่กบัเทา่ใด



หนา้ |11

35. กําหนดให้ n{a } และ n{b } เป็นลําดบัของจํานวนจริง

โดยที� n 1 n3a a และ nn n2 b a สําหรับ n =1, 2, 3, ...

ถ้า 5a 2 แล้วอนกุรม 1 2 3b b b ... มีผลบวกเทา่กบัเทา่ใด

36. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริงที�สอดคล้องกบั

a(a b 3) 0 และ 2(b a) (a b 1)(2 b)

คา่มากที�สุดของ 4 4a b เทา่กบัเทา่ใด

37. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนห้องหนึ�ง จํานวน 30 คน มีการแจกแจงปกติ และมีคา่เฉลี�ยเลข

คณิตเทา่กบั 64 คะแนน นกัเรียนชายห้องนี �มี 18 คน คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนชายห้องนี �

มีคา่ฉลี�ยเลขคณิตเทา่กบั 64 คะแนน และความแปรปรวนเทา่กบั 10 ส่วนคะแนนสอบของนกัเรียนหญิงมี

ส่วนเบี�ยงเบนมาตรฐานเทา่กบั 5 คะแนน ถ้านางสาว ก. เป็นนกัเรียนคนหนึ�งใน้องนี � สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที�

22.66 ของนกัเรียนทั �งห้อง แล้วคะแนนสอบของนางสาว ก. เทา่กบัเทา่ใด

เมื�อกําหนดพื �นที�ใต้เส้นโค้งปกติ ระหวา่ง 0 ถงึ z ดงันี �

z 0.5 0.6 0.75 1.0 1.25

พื �นที� 0.1915 0.2257 0.2734 0.3413 0.3944

38. กําหนด o0 90 และ

ให้ 2

sinA arcsin

1 sin

B arctan(1 sin )

และ 2C arctan sin sin

ถ้า A + B = 2C แล้วคา่ของ 4 43 sin cos เทา่กบัเทา่ใด

39. กําหนดให้ 2 2 1

A a b 2

1 2 2

เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริง

ถ้า tAA 9I เมื�อ I เป็นเมทริกซ์เอกลกัษณ์ที�มีมิติ 3 3 แล้วคา่ของ 2 2a b เทา่กบัเทา่ใด



หนา้ |12

40. กําหนดให้ 3f(x) x ax b เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริง

ถ้าอตัราการเปลี�ยนแปลงเฉลี�ยของ f(x) เทียบกบั x เมื�อคา่ของ x เปลี�ยนจาก –1 เป็น 1 เทา่กบั –2

และ 1

1

f(x)dx 2

แล้วคา่ของ h 0

f(3 h) f(3 h)lim

h



ให้ 1r (x, y) R R y 0 และ 2 2x y 2x 4y 3

และ 2r (x, y) R R y 0 และ 2 2x y 2x 33

ถ้าโดเมนของเซต 1 2r r คือช่วงปิด [a, b] เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริง โดยที� a < b

แล้วคา่ของ 2 2a b เท่ากบัเท่าใด

42. คา่ของ 2

3 2x 2

x x 2lim

2 x 4

เท่ากบัเท่าใด

43. ให้ n เป็นจํานวนเตม็บวก

ถ้า A เป็นเซตของข้อมลู 2n จํานวน คือ 1, 2, 3, ..., n, –1, –2, -3, ... , –n

โดยที�คา่ความแปรปรวนของข้อมลูในเซต A เท่ากบั 46

แล้วคา่เฉลี�ยเลขคณิตของ 3 3 3 31 , 2 , 3 , ... , n เท่ากบัเท่าใด

44. กําหนดให้ a , b และ c เป็นเวกเตอร์ในสามมติิ โดยที� a b tc เมื�อ t เป็นจํานวนจริงบวก

ถ้า 2a i j k , b a , c 2 และ a b b c c a 9

แล้วคา่ของ t เท่ากบัเท่าใด

45. นิยาม S S S {(a,b,c) a,b,c S} เมื�อ S เป็นเซตใดๆ

กําหนดให้ S = {1, 2, 3, 4, 5}

จงหาจํานวนสมาชิก (a, b, c) ในเซต S S S ทั �งหมด โดยที� c(b )(3 a) หารด้วย 4 ลงตวั



หนา้ |13

เฉลยคําตอบ ตอนที� 1

1. 1 2. 3 3. 4 4. 1 5. 2 6. 5 7. 2 8. 1 9. 4 10. 2

11. 5 12. 3 13. 3 14. 4 15. 1 16. 3 17 1 18. 4 19. 2 20. 5

21. 4 22. 3 23. 5 24. 1 25. 5 26. 2 27. 2 28. 1 29. 5 30. 5

ตอนที� 2

31. 34 32. 45 33. 5 34. 3 35. 97.2

36. 641 37. 61 38. 0.75 39. 3 40. 48

41. 20 42. 9 43. 396 44. 3 45. 70



หนา้ |14

ตอนที� 1 แบบปรนยั 5 ตวัเลือก จาํนวน 30 ข้อ(ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน

1. กําหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ใดๆ


(ก) ( p q) ( q p) เป็นสจันิรนัดร์

(ข) (p q) ( p q) ไมเ่ป็นสจันิรันดร์

(ค) (p q) ( r q) สมมลูกบั p r





ตอบ ตวัเลือก 1

แนวคิด

(ก) ( p q) ( q p) (ข) ถ้าให้ p, q มีคา่ความจริงเป็นจริง

(p q) ( p q)

ขดัแย้ง

ดงันั �น ( p q) ( q p) จะพบวา่ (p q) ( p q) มีคา่ความจริง

เป็นสจันิรันดร์ เป็นเท็จ ดงันั �นประพจน์นี �จงึไมเ่ป็นสจันิรันดร์

แสดงวา่ (ก) ถกู แสดงวา่ (ข) ถกู

(ค) (p q) ( r q) ( p q) (r q)

( p r) (q q)

( p r) T

T

ดงันั �น (p q) ( r q) เป็นจริงเสมอ แต ่ p r ไมเ่ป็นจริงทกุกรณี

แสดงวา่ (p q) ( r q) ไมส่มมลูกบั p r (ค) ผิด

FT

T

F

FF

T

F

F

F

T

T

FF

TT

F

T



หนา้ |15

2. ในการสํารวจนกัเรียนห้องหนึ�ง เกี�ยวกบัความชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาองักฤษ และ

วิชาภาษาไทย พบวา่นกัเรียนในห้องนี �ชอบเรียนวิชาดงักล่าวอยา่งน้อย 1 วิชา และ

มี 24 คน ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์

มี 22 คน ชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ

มี 21 คน ชอบเรียนวิชาภาษาไทย

มี 21 คน ชอบเรียนเพียงวชิาเดียว

และ มี 4 คน ชอบเรียนทั �งสามวิชา

จํานวนนกัเรียนที�ชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ หรือวิชาภาษาไทยแตไ่มช่อบเรียนวิชาคณิตศาสตร์

เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 16 คน 2. 17 คน

3. 18 คน 4. 19 คน

5. 20 คน


แนวคิด

ให้ M, E, T แทนเซตของนกัเรียนที�ชอบเรียนคณิตศาสตร์ ภาษาองักฤษ และ ภาษาไทย ตามลําดบั

จะได้ n(M) 24 , n(E) 22 , n(T) 21 ,

n[(M E T ) (M E T ) (M E T)] 21

n((M E T) 4 และ (M E T ) 0 หา n[(E T) M ]

จากที�กําหนดให้และแผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ จะได้

จาก n(T) 21 จะได้

z = 21 – (4 + t + x) = 17 – t – x ...(1)

จาก n(E) 22 จะได้

y = 22 – (4 + e + x) = 18 – e – x ...(2)

จาก n[(M E T ) (M E T ) (M E T)] 21 จะได้

m + t + e = 21 m = 21 – t – e ...(3)

ดงันั �นจาก n(M) = 24 และ (1), (2), (3) จะได้

m + y + z + 4 = 24 (21 – t – e) + (17 – t – x) + (18 – e – x) + 4 = 24

60 – 2(t + e + x) = 24

t + e + x = 18

จะได้ n[(E T) M ] = t + e + x = 18

M E

TU

4

m e

t

x

y

z



หนา้ |16

3. ให้ m, n, r และ s เป็นจํานวนเต็มบวกที�แตกตา่งกนัทั �งหมด โดยที� 1 m r

ให้ a > 1 และ b > 1 สอดคล้องกบั m na b และ r sa b


(ก) m + n < r + s

(ข) n sm r

(ค) m r

n n

s s






แนวคิด

(ก) จาก m n m m n m m m n

r s r r s r r r s

a b a b b b (ab) b

a b a b b b (ab) b

แต ่ 1 < m < r และ ab > 1

จงึได้วา่ m r(ab) (ab)

นั�นคือ m n r sb b m n r s ข้อ (ก) ถกู

(ข) จาก 1 < m < r และ a > 1, b > 1

จะได้ m r n sa a b b n s

เราได้วา่ n < s และโจทย์กําหนด m < r

ดงันั �น n nm r และ n sr r

ทําให้ n sm r ข้อ (ข) ถกู

(ค) จากข้อ (ข) เราได้วา่ n < s ดงันั �น n 1s

และโจทย์กําหนดให้ m < r

จะได้ m r

n n

s s

ข้อ (ค) ถกู



หนา้ |17

4. ให้ 2 2 3a sin sin

8 8

และ 2 23b sin sin

8 8


1. 2b 4a 0 2. 24b 8a 3

3. 2 216a 8b 1 4. 2 24a b 1

5. 2 24a 4b 1


แนวคิด

เอกลกัษณ์ที�ใช้ 2 2 1 cos 2Acos2 A 1 2 sin A sin A

2

จะได้ 2

2

21 cos2( ) 1 cos 1

2 28 4 2sin8 2 2 2 4

3 3 21 cos2( ) 1 cos 1 ( )

3 2 28 4 2sin8 2 2 2 4

ดงันั �น 2 2 2 2 4 2 1a

4 4 16 8

2 2 2 2 2 2 2b

4 4 4 2

พิจารณาตวัเลือก

1.

22 2 1 1 1

b 4a 4 02 8 2 2

ดงันั �นตวัเลือกที� 1 ถกู

2.

22 2 1

4b 8a 4 8 2 1 1 32 8

ดงันั �นตวัเลือกที� 2. ผิด

3.

222 2 1 2 1 15

16a 8b 16 8 4 18 2 4 4


4.

222 2 1 2 1 1 9

4a b 4 18 2 16 2 16


5.

222 2 1 2 1 33

4a 4b 4 4 2 18 2 16 16




หนา้ |18

5. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี�ยมที�มีมมุ C เป็นมมุแหลม

ถ้า a, b, และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลําดบั

โดยที� 4 4 4 2 2 2a b c 2(a b )c แล้วมมุ C สอดคล้องกบัสมการในข้อใดตอ่ไปนี �

1. sin 2C cos C 2. 22 tan C cos ec C

3. sec C 2 cosC 4 4. 2 24 cos ec C cos C 1

4. 2tan C 2 cos 2C 2


แนวคิด

จาก 4 4 4 2 2 2a b c 2(a b )c 4 4 2 2 2 4(a b ) 2(a b )c c 0

4 2 2 4 2 2 2 4 2 2(a 2a b b ) 2(a b )c c 2a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(a b ) 2(a b )c (c ) 2a b

2 2 2 2 2 2(a b c ) 2a b

2 2 2a b c 2ab

จาก Law of cosine : 2 2 2c a b 2ab cosC

จะได้ 2 2 2a b c 2ab 2

cosC2ab 2ab 2

แสดงวา่ o oC 45 ,135

แตโ่จทย์กําหนดมมุ C เป็นมมุแหลม ทําให้ oC 45


1. sin 2C = cos C o osin 2(45 ) cos 45 21

2 เป็นเท็จ

2. 22 tanC cos ec C o 2 o2 tan 45 cosec 45 22 ( 2) เป็นจริง

3. secC 2 cosC 4 o osec 45 2 cos 45 4 2 2 4 เป็นเท็จ

4. 2 24 cos ec C cos C 1 2 o 2 o4 cosec 45 cos 45 1 2 224( 2) ( ) 1

2 เป็นเท็จ

5. 2tan C 2 cos 2C 2 2 o otan 45 2 cos 2(45 ) 2 1 0 2 เป็นเท็จ

A B

C

ab

c



หนา้ |19

6. กําหนดให้ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S

ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ


(ก) ถ้า A C B แล้ว A B C

(ข) ถ้า A C B แล้ว B (A B) (B C)

(ค) P(A B) P(A) P(B)






แนวคิด

พิจารณาตวัเลือกโดยอาศยัการยกตวัอยา่งค้าน ดงันี �

(ก) ให้ A = {1} , C = {2} และ B { ,1, 2}

พบวา่ A C ดงันั �น A C B เป็นจริง

แต ่ B C { ,1,2} ซึ�ง {1} { ,1,2} นั�นคือ A B C เป็นเท็จ

ดงันั �น ถ้า A C B แล้ว A B C เป็นเท็จ (ก) ผิด

(ข) ให้ A = {1, 3} , C = {2} และ B {1,2}

พบวา่ A C ดงันั �น A C B เป็นจริง

แต ่ (A B) (B C) {1, 2, 3} {2} {1,2, 3} ซึ�ง {1,2, 3} B

นั�นคือ (A B) (B C) B เป็นเท็จ

ดงันั �น ถ้า A C B แล้ว (A B) (B C) B เป็นเท็จ (ข) ผิด

(ค) ให้ A = {1} , B = {2} จะได้ A B {1,2}

ดงันั �น P(A) { ,{1}} , P(B) { ,{2}} และ P(A B) { ,{1},{2},{1,2}}

พบวา่ {1,2} P(A B) แต ่ {1, 2} P(A) และ {1, 2} P(B)

นั�นคือ {1,2} P(A) P(B)

ดงันั �น P(A B) P(A) P(B) เป็นเท็จ (ค) ผิด



หนา้ |20

7. กําหนดให้เอกภพสมัพทัธ์คอื x R 0 x 2 เมื�อ R แทนเซตของจํานวนจริง

ให้ P(x) แทน x x

0x

และ Q(x) แทน 2x (x 1) 3


(ก) x[Q(x)] x[P(x)] มีคา่ความจริงเป็น จริง

(ข) x[P(x) Q(x)] มีคา่ความจริงเป็น จริง

(ค) x[ P(x)] x[Q(x)] มีคา่ความจริงเป็น เท็จ






แนวคิด

จากกําหนด เอกภพสมัพทัธ์คอื x R 0 x 2 = x R 2 x 0 หรือ 0 x 2

นั�นคือ ( 2,2) {0} U

พิจารณาประพจน์ P(x)

จากอสมการ x x

0x

...(*)

กรณีที� 1 ถ้า x < 0 กรณที� 2 ถ้า x > 0

จะได้ |x| = –x จะได้ |x| = x

จาก x x

0x

จาก

x x0

x

จะได้ x x

0x

จะได้

x x0

x

2 x0

x 0

0x

2x0

x

0 0

–2 0

ดงันั �นสําหรับ x < 0 อสมการเป็นจริง ดงันั �นสําหรับ x > 0 อสมการเป็นจริง

เซตคําตอบคือ (–, 0) เซตคําตอบคือ (0, )

จากกรณีที� 1 และ 2

เซตคําตอบของอสมการ x x

0x

คือ (–, 0) (0, )



หนา้ |21

พิจารณาประพจน์ Q(x)

จาก 2x (x 1) 3 จะได้ x x 1 3 ...(**)

กรณีที� 1 ถ้า x 1 กรณีที� 2 ถ้า x > 1

ทําให้ x 1 x 1 ทําให้ x 1 x 1

ดงันั �นจากอสมการ (**) จดัใหมไ่ด้เป็น ดงันั �นจากอสมการ (**) จดัใหมไ่ด้เป็น

x ( x 1) 3 x (x 1) 3

2x 1 3 1 3

–3 < 2x – 1 < 3 ดงันั �นสําหรับ x > 1 อสมการเป็นจริง

–2 < 2x < 4 เซตคําตอบคือ (1, )

–1 < x < 2

แสดงวา่ อสมการ (*) เป็นจริงเมื�อ

x 1 และ –1 < x < 2

เซตคําตอบคือ (–1, 1]

จากกรณีที� 1 และ 2 เซตคําตอบของอสมการ 2x (x 1) 3 คือ (–1, 1] (1, ) = (–1, )

พิจารณาคา่ความจริงของประพจน ์

(ก) เพราะวา่ P(x) เป็นจริงเมื�อ ( , 0) (0, )

และ ( , 0) (0, ) U

แสดงวา่สําหรับ x ทกุตวัใน U ทําให้ P(x) เป็นจริง ทําให้ x[P(x)] มีคา่ความจริงเป็นจริง

ดงันั �น x[Q(x)] x[P(x)] มีคา่ความจริงเป็น จริง (ก) ถกู

(ก) พบวา่มี 1 U

ซึ�ง –1 อยูใ่นเซตคําตอบของอสมการ (*) แตไ่มอ่ยูใ่นเซตคําตอบอสมการ (**)

จงึที�ทําให้ P(x) เป็นจริง แตท่ําให้ Q(x) เป็นเท็จ

ดงันั �น x[P(x) Q(x)] มีคา่ความจริงเป็น เทจ็ (ข) ผิด

(ค) จากข้อ (ก) ได้แสดงแล้ววา่ x[P(x)] เป็นจริง ทําให้ x[ P(x)] เป็นเท็จ

และมี –1 U ไมอ่ยูใ่นเซตคําตอบอสมการ (**) จงึที�ทําให้ x[Q(x)] เป็นเท็จ

x[ P(x)] x[Q(x)] มีคา่ความจริงเป็น เทจ็ (ค) ถกู

1 1 2



หนา้ |22

8. กําหนดให้ x และ y เป็นจํานวนจริงบวกที�สอดคล้องกบั

2 22 log y 4 log x และ

y4(x 1)4 2 9 2


1. 2 2x y 17 2. 3 3x y 9

3. 2x y 1 4. 2y x 4

5. x 2y 7


แนวคิด

จาก 2 22 log y 4 log x 2 4

2 2 21

log y log 2 log x1

2

2 42 2 2log y log 2 2 log x

2 4 22 2 2log y log 2 log x

2 4 22 2log y log (2 x )

2 4 2y 2 x

y 4x ...(1) ( เพราะ x, y เป็นจํานวนจริงบวก)

จาก y

4(x 1)4 2 9 2 และ y = 4x จะได้

4x

4(x 1)4 2 9 2 (x 1) x4 2 9(2 )

x 2 x4(2 ) 2 9(2 )

x 2 x4(2 ) 9(2 ) 2 0

x x4(2 ) 1 2 2 0

x x12 , 2 2

4

x 2 , x 1

แต ่ x > 0 ดงันั �น x = 1 และจะทาํให้ y = 4 1 = 4

แทน x = 1 และ y = 4 ในตวัเลือก จะพบวา่

1. 2 2x y 17 2 21 4 17 เป็นจริง ดงันั �นตวัเลือกที� 1 ถกู

2. 3 3x y 9 3 31 4 9 เป็นเท็จ

3. 2x y 1 21 4 1 เป็นเท็จ

4. 2y x 4 24 1 4 เป็นเท็จ

5. x 2y 7 1 (2 4) 7 เป็นเท็จ



หนา้ |23

9. คา่ของ o o4 sin 40 tan 40 ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. ocos 405 2. osin 420

3. osec( 60 ) 4. otan( 120 )

5. ocot( 135 )


แนวคิด

sin 404 sin 40 tan 40 4 sin 40

cos 40

4 sin 40 cos 40 sin 40

cos 40

2(2 sin 40 cos 40 ) sin 40

cos 40

2 sin 80 sin 40

cos 40

sin 80 sin 80 sin 40

cos 40

80 40 80 40sin 80 2 cos( )sin( )

2 2

cos 40

sin 80 2 cos 60 sin 20

co

s 40

1sin 80 2( )sin 20

2

cos 40

ดงันั �น 4 sin 40 tan 40 3


1. 2

cos 405 cos(360 45 ) cos 452

2. 3

sin 420 sin(360 60 ) sin602

3. 1

sec( 60 ) sec 60 2cos 60

4. tan( 120 ) tan(120 ) ( tan60 ) 3 เทา่กบัคา่ของ4 sin 40 tan 40

5. ocot( 135 ) cot(135 ) ( cot45 ) 1

sin 80 sin 20

cos 40

80 20 80 202 sin( )cos( )

2 2

cos 40

2 sin 50 cos 30

cos 40

2 sin(90 40)cos 30

cos 40

2 cos 40

cos 30

cos 40

2 cos 30

32

2

3

4 sin 40 tan 40



หนา้ |24


ให้ f เป็นฟังก์ชนัซึ�งมีโดเมนและเรนจเ์ป็นสบัเซตของจํานวนจริง

และ g : R R โดยที� g(1 x) x(2 x) และ 2(fog)(x) x 1 สําหรับ x R


(ก) x R (gof)(x) (fog)(x) เป็นเซตวา่ง

(ข) (gof)(x) 1 0 สําหรับทกุจํานวนจริง x –1

(ค) (f g)(x) 1 สําหรบัทกุจํานวนจริง x –1






แนวคิด

(จะหา g(x) )

จาก g(1 + x) = x(2 + x)

ถ้าให้ A = 1 + x x = A – 1

g(A) = (A – 1)(2 + A – 1)

= (A – 1)(A + 1)

= 2A 1

ดงันั �น g(x) = 2x 1

ตอนนี �เราได้วา่ f(x) = x + 2 , g(x) = 2x 1 และ 2(fog)(x) x 1

(ก) พิจารณาสมการ (g f)(x) (f g)(x)

2g(f(x)) x 1

2 2(x 2) 1 x 1

2 2x 4x 3 x 1

1x

2

ดงันั �น A = 1

{ }2

ไมเ่ป็นเซตวา่ง แสดงวา่ข้อความ (ก) ผิด

(มีตอ่)

(จะหา f(x))

จากกําหนด 2(f g)(x) x 1 และ 2g(x) x 1

f(g(x)) = 2x 1

2 2f(x 1) x 1

ถ้าให้ B = 2x 1 2x B 1

f(B) (B 1) 1 = B + 2

ดงันั �น f(x) = x + 2



หนา้ |25

(ตอ่ข้อ 10)

(ข) จาก f(x) = x + 2 , g(x) = 2x 1

จะได้

2

2

2

(g f)(x) 1 g(x 2) 1

((x 2) 1) 1

((x 2) 1) 1

(x 2) 0

ดงันั �น (g f)(x) 1 0 สําหรับจํานวนจริง x –1 แสดงวา่ข้อความ (ข) ถกู

(ค) จาก f(x) = x + 2 , g(x) = 2x 1

จะได้ (f g)(x) f(x) g(x)

2

2

2

(x 2) (x 1)

x x 1

1 3(x )

2 4

จะพบวา่มี 1x

2 > –1 แต ่ 21 1 1 3 3

(f g)( ) ( ) 12 2 2 4 4

แสดงวา่มี x > –1 ที�ทําให้ (f g)(x) 1

ดงันั �น (f g)(x) 1 สําหรับทกุจาํนวนจริง x –1 เป็นเท็จ แสดงวา่ข้อความ (ค) ผิด



หนา้ |26

11. ให้ C เป็นวงกลมมีจดุศนูย์กลางอยูท่ี�จดุ A เส้นตรง 3x + 4y = 35 สมัผสัวงกลมที�จดุ (5, 5)

ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ�ง มีแกนตามขวางขนานกบัแกน y มีจดุศนูย์กลางอยูท่ี�จดุ A ระยะระหวา่ง

จดุศนูย์กลางกบัโฟกสัจดุหนึ�งเป็นสองเทา่ของรัศมีของวงกลม C และเส้นตรง 3x – 4y = 2 เป็นเส้นกาํกบั

เส้นหนึ�ง แล้วสมการไฮเพอร์โบลารูปนี �ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 2 29x 16y 32x 36y 596 0 2. 2 29x 16y 32x 36y 596 0

3. 2 29x 16y 32x 36y 596 0 4. 2 29x 16y 36x 32y 596 0

5. 2 29x 16y 36x 32y 596 0


แนวคิด

กําหนดให้ A(h, k) เป็นจดุศนูย์กลางของวงกลม

จะได้ความชนัของเส้นตรงที�ผา่นจดุ A(h,k)และ (5,5) เทา่กบั 5 k

5 h

แตเ่ส้นตรง 3x + 4y = 35 เป็นเส้นสมัผสัวงกลมซึ�งความชนัของเส้นตรงนี �เทา่กบั 3

4

ดงันั �น 5 k 31

5 h 4

4h – 3k = 5 ...(1)

และโดยที�จดุ A(h, k) อยูบ่นเส้นตรง 3x – 4y = 2

จะได้ 3h – 4k = 2 ...(2)

โดยการแก้ระบบสมการ (1) และ (2) จะได้ h = 2 และ k = 1

ดงันั �นจดุศนูย์กลางวงกลมคือจดุ A(2, 1)

จะได้รัศมี r = 2 2(2 5) (1 5) 9 16 5

(ต่อไปพิจารณาไฮเพอร์โบลา)

จากที�โจทย์กําหนดจะสมการเป็น 2 2

2 2

(y k) (x h)1

a b

โดยมีจดุศนูย์กลาง (h, k) คือจดุ A(2, 1) มีคา่ c = 2r = 10

และมีเส้นตรง 3x 4y 2 เป็นเส้นกํากบักราฟ ซึ�งจะได้วา่ความชนั = a 3

b 4

4b a

3

โดยที� 2 2 2 2 2 24ac a b 10 a ( )

3 แก้สมการจะได้ 2a 36 a = 6

ดงันั �น 4 4b a 6 8

3 3

สมการไฮเพอร์โบลา มีศนูย์กลาง (h, k) = (2, 1) , a = 6 และ b = 8

2 2

2 2

(y 1) (x 2)1

6 8

ซึ�งจดัใหมไ่ด้เป็น 2 29x 16y 36x 32y 596 0

x

y

A(h,k)

(5, 5)

3x 4y 2

3x 4y 35



หนา้ |27


ถ้า A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x 2 3 x 2x 1

แล้ว A เป็นสบัเซตของเซตในข้อใดตอ่ไปนี �

1. x R 2x 1 1 2. x R x 2 1

3. x R x 1 2 4. 2x R x 2 3x

5. 2x R x 2x


แนวคิด (หาเงื�อนไขเบื �องต้นที�จะทาํให้อสมการเป็นจริง)

จาก x 2 , 3 x และ 2x 1 จะหาคา่ได้เมื�อ

x + 2 0 และ 3 – x 0 และ 2x – 1 0

x –2 และ 3 x และ x 1

2

ดงันั �น x 2 , 3 x และ 2x 1 จะหาคา่ได้เมื�อ 1

x 32 ...(1)

(ต่อไปจะหาเซตคาํตอบภายใต้เงือนไขที�กาํหนดไว้)

จากอสมการ x 2 3 x 2x 1

จะได้ 2 2( x 2) ( 3 x 2x 1)

x 2 (3 x) 2 (3 x)(2 x 1) (2x 1)

0 2 (3 x)(2 x 1) ...(*)

โดยสมบตัิที�วา่ a 0 สําหรับจาํนวนจริง a > 0

ดงันั �น อสมการ (*) เป็นจริงเมื�อ (3 x)(2x 1) 0

จะได้ 1 x 32 ...(2)

ดงันั �นเซตคําตอบของอสมการ x 2 3 x 2x 1 คือ 1 1 1[ , 3] ( , 3) ( , 3)2 2 2

นั�นคือ 1A ( , 3)

2

จะพบวา่มี 1 A เมื�อไปแทนในอสมการ |2x – 1| < 1 , |x – 2| < 1 และ 2x 2 3x ทําให้เป็นเท็จ

แตไ่ปแทนในอสมการ |x –1| < 2 และ 2x 2x ทําให้เป็นจริง

และพบวา่มี 2 A ที�ไมแ่ทนในอสมการ |x – 1| < 2 ทําให้เป็นจริง แตท่ําให้อสมการ 2x 2x เป็นเท็จ

และจากกแก้อสมการในตวัเลือกที� 3 คือ |x – 1| < 2 –2 < x – 1 < 2 –1 < x < 3

จะพบวา่ A 1

( , 3) {x R x 1 2} ( 1, 3)2

2 31

2

31

2



หนา้ |28

13. กําหนดให้ P เป็นพาราโบลารูปหนึ�งมสีมการเป็น 2x 4x 3y 5 0

และพาราโบลา P ตดัแกน x ที�จดุ A และจดุ B ถ้า E เป็นวงรีที�มีจดุยอดอยูท่ี�จดุ A และจดุ B

และผลบวกของระยะทางจากจดุยอดของพาราโบลา P ไปยงัโฟกสัทั �งสองของวงรี E เทา่กบั 2 13 หนว่ย

แล้วสมการวงรี E ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 2 2x 4x 9y 5 2. 2 23x 12x 5y 15

3. 2 25x 20x 9y 25 4. 2 26x 24x 25y 30

5. 2 29x 36x 16y 45


แนวคิด พจิารณาพาราโบลา P : 2x 4x 3y 5 0

จดัรูปใหมด่งันี �

2 2 2x 4x 3y 5 0 x 4x 3y 5 (x 2) 3(y 34 )4

เป็นพาราโบลาควํ�าจดุยอดคือ (–2, 3)

กําหนดให้ y = 0 จะได้ 2x 4x 5 0 (x 5)(x 1) 0 x = –5, 1

ดงันั �นจดุตดัแกน x ของพาราโบลา P คือจดุ A(–5, 0) และ B(1, 0)

พจิารณาหาสมการวงรี ที�มจีดุยอด (–5,0) และ (1, 0)

จะได้จดุศนูย์กลางวงรีคือ 5 1 0 0( , ) ( 2, 0)

2 2

2a = 6 a = 3

และจดุโฟกสัคือ 1F ( 2 c,0) และ 2F ( 2 c, 0)

นอกจากนี �ยงัได้อีกวา่ 1 2VF F เป็นสามเหลี�ยมหน้าจั�ว

จากที�กําหนด ผลบวกของระยะห่างจากจดุยอดพาราโบลาไปยงัจดุโฟกสัทั �งสองของวงรีเป็น 2 13

จะได้ 1 2VF VF 2 13

แตเ่พราะวา่ 1 2VF F เป็นสามเหลี�ยมหน้าจั�ว จะได้ 1 2VF VF

ดงันั �น 1 2 1 1VF VF 2 13 2VF 2 13 VF 13

โดยที� 1VF C เป็นสามเหลี�ยมมมุฉาก และมี 1 1VF 13, VC 3, CF c

ดงันั �น 2 2 2 2( 13) c 3 c 4 c 2

โดยที� 2 2 2a b c และ a = 3 , c = 2 จะได้ 2 2 2 23 b 2 b 5

ดงันั �นสมการวงรีที�มีแกนเอกขนานแกน x คือ

2 2 2 2

2 2

2 2

(x h) (y k) (x 2) (y 0)1 1

9 5a b

5x 9y 20x 25 0

V

c

3

( 2, 3)

y

x

( 5, 0)A

(1, 0)

B

1F 2FC



หนา้ |29

y

x0

1L

(12,0)

2L

3L

(0, 4)

56( , 0)9

4L

(5,11)

(0, 56)

(0,12)

17(0, )2

(6,2)(3, 3)

(1, 9)

14. กําหนดสมการจดุประสงค์ P = 7x – 5y และอสมการข้อจาํกดัดงันี �

x + 3y – 12 0 , 3x + y – 12 0 , x – 2y + 17 0 และ 9x + y – 56 0


(ก) ถ้า (a, b) เป็นจดุมมุที�สอดคล้องกบัอสมการข้อจํากดัและให้คา่ P มากที�สุด

แล้ว 2 2a b 40

(ข) ผลตา่งระหวา่งคา่มากที�สุดและคา่น้อยที�สุดของ P เทา่กบั 70

(ค) ถ้า A และ B เป็นพิกดัของจดุมมุที�สอดคล้องกบัอสมการข้อจํากดั

โดยที� P มีคา่มมากที�สุดที�จดุ A และ P มีคา่น้อยที�สุดที�จดุ B

แล้วจดุ A และ B อยูบ่นเส้นตรง 7x + 5y = 52






แนวคิด อสมการข้อจาํกดัได้แก ่ x 3y 12

3x y 12

x 2y 17

9x y 56

โดยการแก้ระบบสมการเชงิเส้นจะได้

จดุตดัระหวา่ง 1L และ

2L คือ (3, 3)


4L คือ (6, 2)


2L คือ (1, 9)


4L คือ (5, 11)


3L คือ ( 27 27,

5 5 )


4L คือ ( 22

3, –10)

(มีต่อข้อ 14)

สมการเส้นตรง จดุตดัแกน x จดุตดัแกน y

1L (12, 0) (0, 4)

2L (4, 0) (0, 12)

3L (–17, 0) (0,

17

2)

4L (

56

9, 0) (0, 56)

ให้ 1L แทนสมการ x + 3y = 12

2L แทนสมการ 3x + y = 12

3L แทนสมการ x – 2y = –17

4L แทนสมการ 9x + y = 56



หนา้ |30

(ต่อข้อ 14)

ดงันั �นเซตที�เป็นไปได้ (feasible set) คือบรวเิวณแรเงา

โดยมีจดุมมุได้แก ่(1,9), (5, 11), (6, 2), (3, 3)

จากตารางจะพบวา่สมการจดุประสงค์ P = 7x – 5y

มีคา่มากที�สุดเทา่กบั 32 ที�จดุ (6, 2) และมีคา่น้อยที�สุดเทา่กบั –38 ที�จดุ (1, 9)

พิจารณาข้อความ

(ก) จดุมมุ (6, 2) เป็นจดุที�สอดคล้องกบัอสมการข้อจาํกดัและให้คา่ P มากที�สุด และ 2 26 2 40

แสดงวา่ข้อความ (ก) ถกู

(ข) เนื�องจากคา่มากที�สุดและน้อยที�สุดของ P เทา่กบั 32 และ –38 ตามลําดบั

พบวา่ 32 – (–38) = 70

แสดงวา่ข้อความ (ข) ถกู

(ค) เนื�องจากจดุมมุ (6, 2) และ (1, 9) เป็นจดุมมุที�ให้คา่ P มากที�สุด และน้อยที�สุด ตามลําดบั

ซึ�งพบวา่เมื�อแทนจดุทั �งสองในสมการเส้นตรง 7x + 5y = 52 จะได้

7(6) + 5(2) = 52 สมการเป็นจริง

7(1) + 5(9) = 52 สมการเป็นจริง

ดงันั �นจดุ (6, 2) และ (1, 9) อยูบ่นเส้นตรง 7x + 5y = 52

แสดงวา่ข้อความ (ค) ถกู

จุดมุม(x, y) P = 7x – 5y

(1, 9) –38 (5,11) –20 (6,2) 32

(3,3) 6



หนา้ |31

15. กําหนดให้ A และ B เป็นจดุสองจดุบนเส้นตรง y = 2x + 1

ถ้าจดุ C(–2, 2) เป็นจดุที�ทาํให้ CA CB

และ CA CB 0

แล้วสมการของวงกลมที�ผ่านจดุ A, B และ C ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 2 2x y 2y 4 0 2. 2 2x y 2y 12 0

3. 2 2x y 2x 4 0 4. 2 2x y 2x 12 0

5. 2 2x y 8 0


แนวคิด

เพราะวา่ CA CB 0

จะได้วา่ CA CB

แสดงวา่ ˆACB 90

ดงันั �น ABC เป็นสามเหลี�ยมมมุฉาก

โดยสมบตัิของวงกลมที�ล้อมรอบรูป

จะได้ด้าน AB เป็นเส้นผ่านศนูย์กลางของวงกลม

ดงันั �นจดุกึ�งกลางด้าน AB เป็นจดุศยู์กลางของวงกลม

สมมติให้เป็นจดุ (h, k)

แสดงวา่จดุ (h, k) อยูบ่นเส้นตรง y = 2x + 1 ที�ผา่นจดุ A, B

ดงันั �น k = 2h + 1 ...(1)

เนื�องจาก CA CB

แสดงวา่ ABC เป็นสามเหลี�ยมมมุฉากหน้าจั�ว

ดงันั �น CD AB

แสดงวา่ ความชนัของ CD ความชนัของ AB เทา่กบั –1

k 2

2 1h 2

h + 2k = 2 ...(2)

แทน (1) ใน (2) ; h + 2(2h +1) = 2

h = 0

แทน h = 0 ใน (1) ; k = 2(0) + 1 = 1

ดงันั �น จดุศนูย์กลางวงกลมคือ (0, 1) และรัศมีเทา่กบั 2 2( 2 0) (2 1) 5

สมการวงกลมคือ 2 2 2(x 0) (y 1) ( 5)

2 2x y 2y 4 0

ความชนัของเส้นตรง

y = 2x + 1

เท่ากบั 2

A

y

x

0

C( 2,2)

B

y = 2x + 1

D(h, k)



หนา้ |32

16. ถ้าพาราโบลารูปหนึ�ง มีแกนสมมาตรทบักบัแกน y และผ่านจดุปลายของส่วนของเส้นตรง

2x + 3y – 6 = 0 เมื�อ x สอดคล้องกบัสมการ 2x x 3 x x 3 0

แล้วความยาวของเลตสัเรกตมั ของพาราโบลาเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 9

8 2.

9

4

3. 9

2 4. 9

5. 18


แนวคิด

พิจารณาเซตคําตอบของอสมการ 2x x 3 x x 3 0

x x 3 x x 3 0

ดงันั �น x x 0 และ 3 x x 3 0

x x 0 และ 3 x x 3 0

x x และ x 3 (x 3)

แสดงวา่ x 0 และ x – 3 0

x 3

ดงันั �น เซตคําตอบของสมการคือ [0, ) ( , 3] [0, 3]

แทน x = 0 และ x = 3 ในสมการเส้นตรง 2x + 3y – 6 = 0

x = 0 จะได้ 2(0) + 3y – 6 = 0 y = 2

x = 3 จะได้ 2(3) + 3y – 6 = 0 y = 0

เนื�องจากโจทย์กําหนดพาราโบลมแีกนสมมาตรขนานแกน y และผา่นจดุ (0,2) และ (3,0) จะได้กราฟดงัรูป

จะได้จดุ (2, 0) เป็นจดุยอด

จากสมการของพาราโบลาที�มีแกนสมมาตรขนานแกน y คือ

2(x h) 4c(y k)

2(x 0) 4c(y 2)

2x 4c(y 2)

แทน (3, 0) จะได้ 23 4c( 2) 4c = 9

2

ดงันั �นความยาวลาตสัเรกตมัของพาราโบลา = 4c = 9

2

=

9

2

0

0

(0,2)

(3, 0)

2x 3y 6 0

y

x



หนา้ |33

17. ให้ f เป็นฟังก์ชนั โดยที�

2

x b 4 , x a

f(x) x bx a , a x b

2bx a , x b

เมื�อ a และ b เป็นจาํนวนจริง และ f เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื�องบนเซตของจํานวนจริง


(ก) (fof)(a b) a b

(ข) f(a b) f(a) f(b)

(ค) f (f(2)) f(f (2))






แนวคิด

เนื�องจาก f ตอ่เนื�องที� x = b

จะได้ x b

f(b) lim f(x)

2 2

x b

b b a lim f(x)

2

x b

2b a lim (2bx a)

2 22b a 2b a

2 a 0

a 0

แทน a และ b ใน f(x) จะได้

ดงันั �น 2

x , x 0

f(x) x 4x , 0 x 48x , x 4

1 , x 0

f (x) 2x 4 , 0 x 48 , x 4


(ก) (fof)(a b) (f f)(0 4) f(f( 4)) f( 4) 4 0 4 ข้อความ (ก) ถกู

(ข) 2f(a b) f(0 4) f(4) 4 4(4) 32

2f(0) f(4) 0 (4 4 4) 32 ข้อความ (ข) ถกู

(ค) 2f (f(2)) f (2 4 2) f (12) 8

f(f (2)) f(2 2 4) f(8) 8 8 64 ข้อความ (ค) ผิด

เนื�องจาก f ตอ่เนื�องที� x = a

จะได้ x a

f(a) lim f(x)

x a

a b 4 lim f(x)

2

x a

a b 4 lim (x bx a)

2a b 4 a ab a

2a ab b 4 0

แทน a 0 จะได้ 20 0 b b 4 0

b = 4

เท่ากนั

ไมเ่ท่ากนั



หนา้ |34

18. กําหนดให้ R เป็นเซตของจาํนวนจริง

ให้ f : R R และ g : R R เป็นฟังก์ชนั

โดยที� f(x 3) x 4 และ 1(f og)(x) 3xf(x) 3x 4 สําหรับจํานวนจริง x

ถ้า A เป็นเรนจข์อง gof และ B เป็นเรนจ์ของ fog แล้ว A – B เป็นสบัเซตของชว่งในข้อใดตอ่ไปนี �

1. (0, 2) 2. (–2, 1)

3. (–3, 0) 4. (–4, –2)

5. (–6, –3)


แนวคิด

f(x + 3) = x + 4 f(x + 3) = (x + 3) + 1

f(x) = x + 1

1f (x 1) = x

1f (x 1) = (x + 1) – 1

1f (x) x 1

ดงันั �น f(x) = x + 1 และ 1f (x) x 1

เนื�องจาก f(x) = x + 1 เป็นฟังก์ชนัเชิงเส้น จะได้ f fR ( , ), D ( , )

1(f og)(x) 3xf(x) 3x 4 1f (g(x)) 3xf(x) 3x 4

g(x) 1 3x(x 1) 3x 4

2g(x) 3x 3

เพราะ 2x 0 ดงันั �น g(x) = 23x 3 3 จะได้ Rg [ 3, ) , gD ( , )

(ต่อไปจะหา A = เรนจ์ของ gof)

เพราะวา่ f gR ( , ) D จะได้

gof fD D ( , )

และ 2(gof)(x) g(x 1) 3(x 1) 3 3 เมื�อ x ( , )

ดงันั �น gofR [ 3, )

A = [–3, )

(ต่อไปจะหา B = เรนจ์ของ fog)

เพราะวา่ g fR [ 3, ) D จะได้

fog gD D ( , )

และ 2 2 2(fog)(x) f(3 x 3) 3x 3 1 3x 2 2 เมื�อ x ( , )

ดงันั �น fogR [ 2, )

B = [–2, )

ดงันั �น A – B = [–3, ) – [–2, ) = [–3, –2) ( 4, 2)

y

x

( 1, 3)

y gof

y

x

(0, 2)

y fog

3 2



หนา้ |35


ถ้า 2x 10 x 6A x R 3 4(3 ) 27 0

แล้วเซต A เป็นสบัเซตของชว่งในข้อใดตอ่ไปนี �

1. (–9, –4) 2. (–5, –2)

3. (–3, 3) 4. (0, 5)

5. (2, 10)


แนวคิด

จากอสมการ 2x 10 x 63 4(3 ) 27 0

3 2x 7 x 33 3 4(3 ) 1 0

2x 7 x 33 4(3 ) 1 0

2(x 3) 1 (x 3)3 4 3 1 0

ให้ x 3y 3 ; 23y 4y 1 0

(3y 1)(y 1) 0

ดงันั �น 1 y 13

แสดงวา่ x 313 1

3 1 x 3 03 3 3

–1 x + 3 0 [เพราะวา่ 3 > 1 จะได้ a b3 3 a b ]

–4 x –3

ดงันั �น A = [–4, –3] (–5, –2)

1

3

1



หนา้ |36

20. กําหนดให้ 1 2 3 na ,a ,a ,..., a ,... เป็นลําดบัเลขคณิตของจํานวนจริง


nn 1

a 1900

และ n

n 1n 1

a8

4

คา่ของ 100a ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 298 2. 302

3. 400 4. 499

5. 598


แนวคิด

กําหนดให้ 1 2 3 na ,a ,a ,..., a ,... เป็นลําดบัเลขคณิต ที�มีผลตา่งร่วมเทา่กบั d

25

nn 1

a 1900

1 2 24 25a a ... a a 1900

13 13 13 13(a 12d) (a 11d) ... (a 11d) (a 12d) 1900

25 13a 1900

13a 76

1a 12d 76 ...(*)

จาก n

n 1n 1

a8

4

จะได้ 2 3 41 2 3

a a aa ... 8

4 4 4 ...(1)

(1) 1

4, 1 2 3 4

2 3 4

a a a a... 8

4 4 4 4

2 1

4 ...(2)

(1) – (2), 2 1 3 2 4 31 2 3

a a a a a aa ... 6

4 4 4

1 2 3

d d da ... 6

4 4 4

1 2

d 1 1a 1 ... 6

4 4 4

1d 1

a 64 1

14

1d

a 63

...(**)

(*) ลบด้วย (**); d 35d12d 76 6 70 d 6

3 3

ตอนนี �เรามี 13a 76 และ d = 6

ดงันั �น 100 13a a (100 13)d 76 87(6) 598



หนา้ |37

21. ถ้าข้อมลู 10 จํานวน คือ 1 2 10x , x ,..., x เมื�อ 1 2 10x , x ,..., x เป็นจํานวนจริง

โดยที�คา่เฉลี�ยเลขคณิตของข้อมลู 2 2 2 21 2 3 10

x , x , x , ... , x เทา่กบั 70 และ 10 2

ii 1

(x 3) 310

แล้วคา่ความแปรปรวนของข้อมลู 1 2 103x 1 , 3x 1 , ... , 3x 1 ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 6 2. 18

3. 45 4. 54

5. 63


แนวคิด

จาก 2 2 2 21 2 3 10x , x , x , ... , x มีคา่เฉลี�ย เทา่กบั 70

จะได้ 2 2 2 21 2 3 10x x x ... x

7010

2 2 2 2

1 2 3 10x x x ... x 700

10 2

ii 1

x 700

จาก 10 2

ii 1

(x 3) 310

10 2

i ii 1

(x 6x 9) 310

10 10 102

i ii 1 i 1 i 1

x 6 x 9 310

10

ii 1

700 6 x 90 310

10

ii 1

x 80


10

10 2i

2 2 2i 1

x700

8 610 10

นั�นคือข้อมลู 1 2 10x , x ,..., x มีความแปรปรวน เทา่กบั 6

คา่ความแปรปรวนของข้อมลู 1 2 103x 1 , 3x 1 , ... , 3x 1 เทา่กบั 23 (6) 54



หนา้ |38

22. ให้ 1 2 20x , x ,..., x เป็นข้อมลูที�เรียงคา่จากน้อยไปหามากและเป็นลําดบัเลขคณิตของจํานวนจริง

ถ้าควอร์ไทล์ที� 1 และเดไซล์ที� 6 ของข้อมลูชดุนี �เทา่กบั 23.5 และ 38.2 ตามลําดบั

แล้ว ส่วนเบี�ยงเบนควอไทล์ เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 9.75 2. 10.25

3. 10.50 4. 11.50

5. 11.75


แนวคิด

ตําแหนง่ 11

Q 20 1 5.254


D 20 1 12.610

แก้ระบบสมการ (1) และ (2) จะได้ 5x 23 และ d = 2

ดงันั �น n 5x x (n 5)d 23 (n 5)2 2n 13


Q 20 1 15.754

ดงันั �น ส่วนเบี�ยงเบนควอไทล์ = 3 1Q Q 44.5 23.510.5

2 2

ตําแหน่ง คา่

5

1

6

5 x

5.25 Q

6 x

1 5

6 5

Q x 0.25

x x 1

1 5 6 5

1 6 5

Q x 0.25x 0.25x

Q 0.25x 0.75x

6 5

6 5

5 5

5

0.25x 0.75x 23.5

x 3x 94

x d 3x 94

4x d 94 ...(1)


12

6

13

12 x

12.6 D

13 x

6 12

13 12

D x 0.6

x x 1

6 12 13 12

6 13 12

D x 0.6x 0.6x

D 0.6x 0.4x

13 12

13 12

5 5

5

0.6x 0.4x 38.2

3x 2x 191

3(x 8d) 2(x 7d) 191

5x 38d 191 ...(2)


15

3

16

15 x

15.75 Q

16 x

3 15

16 15

Q x 0.75

x x 1

3 15 16 15

3 16 15

3

Q x 0.75x 0.75x

Q 0.75x 0.25x

Q 0.75[2 16 13] 0.25[2 15 13] 44.5



หนา้ |39

23. นาย ก. และนางสาว ข. พร้อมด้วยเพื�อนผู้ชายอีก 3 คน และเพื�อนผู้หญิงอีก 3 คน

นั�งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม โดยที� นาย ก. และนางสาว ข. นั�งตรงข้ามกนั และมีเพื�อนผู้หญิง 2 คน

นั�งติดกนักบั นางสาว ข. จะมีจํานวนวิธีจดันั�งรอบโต๊ะกลมดงักล่าวได้เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 30 วิธี 2. 72 วิธี

3. 96 วิธี 4. 120 วิธี

5. 144 วิธี


แนวคิด

หญิง หญิง

นาย ก เลือกที�นั�งตาํแหนง่หนึ�งตําแหนง่ใดกอ่นได้ 1 วิธี

นางสาว ข เลือกที�นั�งตาํแหนง่ที�อยูต่รงข้ามกบันาย ก ได้ 1 วิธี

เลือกหญิง 2 คนจากหญิง 3 คนมานั�งข้างๆ นางสาว ข ได้ 3 2 วิธี

จดัคนที�เหลือ 4 คน นั�งในที�วา่ง 4 ที� ได้ 4 ! วิธี

ดงันั �น จํานวนวธีิจดัคนนั�งตามเงือนไข เทา่กบั 1 1 3 2 4 ! 144 วิธี

ก

ข



หนา้ |40

24. กําหนดให้ n

n 2

2 1a

34n 1

สําหรับ n = 1 , 2 , 3 , ...

อนกุรม nn 1

a

ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �





5. อนกุรมลู่ออก


แนวคิด

nn 2

n 1 n 1

n

2n 1 n 1

n

n 1 n 1

n

n 1 n 1

2 3

2 1a ( )

34n 1

2 1( )

34n 1

2 1( )

(2n 1)(2n 1) 3

1 1 1( )

2n 1 2n 1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ...1 3 3 5 5 7 3 3 3

1

311

1 ( )3

5

4



หนา้ |41

25. สําหรบั x และ y เป็นจํานวนจริงที�ไมเ่ป็นศนูย ์

นิยาม

xy

, x y 0x yx y

0 , x y 0

ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนจริงที�ไมเ่ป็นศนูย์ โดยที� a b 1 , a c 2 และ b c 3

แล้วข้อใดตอ่ไปนี �ถกูต้อง

1. a + b < c 2. a < b + c

3. a < b < c 4. b < c < a

5. c < a < b


แนวคิด

ab 1 1 1 1a b 1 1 ab a b 1 1 ...(1)

a b a b b a

ac 1 1 1 1 1 1a c 2 2 ac 2a 2c ...(2)

a c a c 2 c 2 a

bc 1 1 1b c 3 3 bc 3b 3c

b c b c 3

...(3)

แทน (1), (2) ใน (3)

1 1 1 1 3 2 11

a 2 a 3 2 a 3

2 7

a 6

12a

7

ดงันั �น 1 1 7 5 121 1 b

b a 12 12 5

1 1 1 1 7 1c 12

c 2 a 2 12 12

ตอนนี �เราได้วา่ 12 12a , b , c 12

7 5

ดงันั �น c < a < b



หนา้ |42

26. กําหนดให้ 1 a 0A

2 1

และ 1 1 0B

b 1

เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริงที�ไมเ่ป็นศนูย์

โดยที� t 1 8 2(A ) B

3 1

คา่ของ det(2A B) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3 2. 6

3. 9 4. 12

5. 14


แนวคิด

เพราะวา่ t 1 1 t a 2(A ) (A )

0 1

และ 1 1 1 0 1 01B (B )

b 1 b 1(1)(1) (0)(b)

จาก t 1 8 2(A ) B

3 1

a 2 1 0 8 2

0 1 b 1 3 1

a 2b 2 8 2

b 1 3 1

ดงันั �น –b = –3 จะได้ b = 3

และ a + 2b = 8 จะได้ a + 6 = 8 a = 2

แสดงวา่ 1 0

B3 1

1 2 0 1 0 1 01 1A A

2 1 2 2 2 2(2)(1) (0)( 2) 2

2A B 2 1

2

1 0 1 0 2 0

2 2 3 1 1 3

ดงันั �น 2 0

det(2A B) (2)(3) ( 1)(0) 61 3



หนา้ |43

27. กําหนดข้อมลู x และ y มีความสมัพนัธ์ ดงันี �

x 1 3 4 5 7

y 0 3 6 7 9

โดยที� x และ y มีความสมัพนัธ์เชงิฟังก์ชนัแบบเส้นตรง ถ้า y = 8 แล้วคา่ของ x เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 5.94 2. 5.86

3. 7.1 4. 7.23

5. 8


แนวคิด

x 1 3 4 5 7 5

ii 1

x 20

y 0 3 6 7 9 5

ii 1

y 25

2y 0 9 36 49 81 5 2

ii 1

y 175

xy 0 9 24 35 63 5

i ii 1

y x 131

โดยที� x และ y มีความสมัพนัธ์เชงิฟังก์ชนัแบบเส้นตรง และต้องการทาํนายคา่ x

สมการทั�วไปคือ x = ay + b

สมการปกติคือ 5 5 5

i ii 1 i 1 i 1

x a y b

20 = 25a + 5b ...(1)

5 5 52

i i i ii 1 i 1 i 1

y x a y b y

131 = 175a + 25b ...(2)

(1) 5; 100 = 125a + 25b ...(3)

(2) – (3); 31 = 50a

a = 31

50

แทน a ใน (1) ; 31

20 25( ) 5b50

9

b10

ดงันั �นสมการทํานายคือ x = 31 9

y50 10

ถ้า y = 8; 31 9

x (8) 5.8650 10



หนา้ |44

28. กําหนดให้ R เป็นเซตของจํานวนจริง

ให้ f : R R และ g : R R เป็นฟังก์ชนัที�มีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั และสอดคล้องกบั

g(x) = xf(x) และ 3 2g (x) 4x 9x 2 สําหรับทกุจํานวนจริง x


(ก) คา่สูงสุดสมัพทัธ์ของ f เทา่กบั 6

(ข) คา่ตํ�าสุดสมัพทัธ์ของ f เทา่กบั 2

(ค) อตัราการเปลี�ยนแปลงของ (f + g)(x) เทียบกบั x ขณะที� x = 1 เทา่กบั 12






แนวคิด

จาก 3 2g (x) 4x 9x 2

จะได้ 3 2g(x) 4x 9x 2 dx

4 34x 9x

2x c4 3

4 3x 3x 2x c ...(1)

ดงันั �น xf(x) g(x) 4 3xf(x) x 3x 2x

3 2f(x) x 3x 2

จะได้ 2f (x) 3x 6x 0

ให้ f (x) 0 23x 6x 0

3x(x + 2) = 0

x = 0, x = –2

จากกราฟทดสอบฟังก์ชนัเพิ�มลด จะได้

f(–2) เป็นคา่สูงสุดสมัพทัธ์ซึ�งเทา่กบั f(–2) = –8 + 12 + 2 = 6 ดงันั �น ข้อความ (ก) ถกู

f(0) เป็นคา่ตํ�าสุดสมัพทัธ์ซึ�งเทา่กบั f(0) = 0 + 0 + 2 = 2 ดงันั �น ข้อความ (ข) ถกู

4 3 2(f g)(x) x 4x 3x 2x 2 3 2(f g) (x) 4x 12x 6x 2

3 2(f g) (1) 4(1) 12(1) 6(1) 2 24

นั�นคือ อตัราการเปลี�ยนแปลงของ (f + g)(x) เทียบกบั x ขณะที� x = 1 เทา่กบั 24

ดงันั �น ข้อความ (ค) ผิด

จาก g(x) = xf(x)

จะได้ g(0) = 0f(0) = 0

แทนใน (1) จะได้ g(0) = 0 0 0 c

0 = c

g(x) = 4 3x 3x 2x

2 0f (x)

f เพิ�ม f ลด f เพิ�ม



หนา้ |45

29. กล่องใบหนึ�งบรรจลุูกแก้วสีแดง 2 ลูก ลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และลูกแก้วสีเขียว 3 ลูก

สุ่มหยิบลูกแก้วออกมาจากกล่อง 8 ครั �ง ครั �งละลูกโดยไมต้่องใส่คืน ความนา่จะเป็นที�สุ่มหยิบลูกแก้ว 8 ครั �ง

โดยครั �งที� 1 ได้ลูกแก้วสีขาวหรือหยิบครั �งที� 8 ไมไ่ด้ลูกแก้วสีแดง เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3

4 2.

5

8

3. 29

56 4.

7

8

5. 6

7


แนวคิด การทดลองสุ่ม คือ การสุ่มหยิบลูกแก้วออกมาจากกลอ่ง 8 ครั �ง ครั �งละลูกโดยไมต้่องใส่คืน

จะได้ n(s) = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 8!

ให้ A แทนเหตกุารณ์ที�ครั �งที� 1 ได้ลูกแก้วสีขาว และ B แทนเหตกุารณ์ที�ครั �งที� 8 ไมไ่ด้ลูกแก้วสีแดง

ต้องการหา P(A B)

(หา n(A)) ครั �งที� 1 หยิบได้ลูกแก้วสีขาว จํานวนวธีิเทา่กบั 3 1C 3 วิธี

อีก 7 ครั �งถดัมาหยิบลูกแก้วทีละลูกไมใ่ส่คืน จํานวนวิธีเทา่กบั 7654321 = 7! วิธี

ดงันั �น n(A) 3 7 ! วิธี

(หา n(B)) ครั �งที� 8 หยิบได้ลูกแก้วไมใ่ชสี่แดง จํานวนวิธีเทา่กบั 3 31C 6 วิธี

อีก 7 ครั �งกอ่นหน้าหยิบลูกแก้วทีละลูกไมใ่ส่คืน จํานวนวิธีเทา่กบั 7654321 = 7! วิธี

ดงันั �น n(B) 6 7 ! วิธี

(หา n(A B) จาํนวนวิธีหยิบที�ครั�งแรกได้สีขาว และครั�งที� 8 หยิบได้ไม่ใช่สแีดง)

กรณีที� 1 ครั�งแรกหยิบได้สีขาวและครั�งที� 8 หยิบได้สีขาว

ครั �งที� 1 หยิบได้ลูกแก้วสีขาว จํานวนวิธีเทา่กบั 3 1C 3 วิธี


อีก 6 ครั �งที�เหลือหยบิลูกแก้วทลีะลูกไมใ่ส่คืน จํานวนวธีิเทา่กบั 654321 = 6! วิธี

ดงันั �น จํานวนวิธี = 326! = 66! วิธี

กรณีที� 2 ครั�งแรกหยิบได้สีขาวและครั�งที� 8 หยิบได้สเีขยีว


ครั �งที� 8 หยิบได้ลูกแก้วสีเขียว จํานวนวิธีเทา่กบั 3 1C 3 วิธี

อีก 6 ครั �งที�เหลือหยบิลูกแก้วทลีะลูกไมใ่ส่คืน จํานวนวธีิเทา่กบั 654321 = 6! วิธี

ดงันั �น จํานวนวิธี = 336! = 96! วิธี

ดงันั �น n(A B) 6 6 ! 9 6 ! 15 6 ! วิธี

จะได้ n(A B) 37! + 67! – 156! = 486!

48 6! 6

P(A B)7 ! 7



หนา้ |46

30. กําหนดให้ 4

4

2A 3

3 ,

4

133B1

33

และ 44

2 3C

1 273 33

คา่ของ A B C เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3 2. 3

3. –1 4. 1

5. 0


แนวคิด

44 4 4

4 4

4 4

2 27 2 27 2 27 3 3A 3 3

3 3273

ดงันั �น A – B + C = 4 4 44 4 42 27 3 3 3 3 27 6 3 27

03 3 3

4

4

4

4

4

13

3B1

33

1 13 3

3 3

3 1 3 1

3 3

2 3

3 3 1

2

4

3( 3 1)

3 (3 1)

4

4 4

3 3( 3 1)

3

3 3 27

3

4

4 4

4 4

4

4

1 3C 2 3 3

273

3 1 32 3

273

3 32

3( 3 1) 27

2

43 3( 3 1)

3(3 1)

4

4 44

4 4

3 3

3

3 3 27 3 3

3 3

6 3 27

3

1 1 142 2 43 (3 ) 3 3

1 14 4 4 2 4 23 3 9 (3 ) 3 3

4 4 4 4 43 3 9 3 9 3 27 4 44 43 27 3 27 81 3



หนา้ |47

ตอนที� 2 แบบอตันยั ระบายคําตอบที�เป็นตวัเลข จํานวน 15 ข้อ(ข้อ 31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน

31. ให้ A แทนเซตคําตอบของสมการ x x x 125 3(15) 5 25(3 ) เมื�อ x เป็นจํานวนจริง

และให้ x xB 3 5 x A

คา่มากที�สุดในเซต B เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 34

แนวคิด

ให้ xP 3 และ xQ 5

จากสมการ x x x 13 15 25 5 25 3

จะได้ x x x x 13 3 5 25 5 25 3

x 1 x x 1 x3 5 25 3 25 5 0

x 1 x x3 5 25 5 25 0

x 1 x3 1 5 25 0

ดงันั �น x 13 1 0 หรือ x5 25 0

พิจารณาสมการ x 13 1 0

x 13 1 x 1 0 แต ่ x 0 สมการ x 1 0 ไมม่ีคําตอบ

พิจารณาสมการ x5 25 0

x5 25

x 2

จะได้ x = 2, –2

ดงันั �น A = {–2, 2}

และจะได้ x xB 3 5 x A

2 2 2 23 5 , 3 5

34, 34

225

ดงันั �นสมาชิกที�มีคา่มากที�สุดในเซต B เทา่กบั 34



หนา้ |48

32. ให้ A แทนเซตของจํานวนเต็มทั �งหมดที�สอดคล้องกบัสมการ x 1 2 x 1 3 1

ผลบวกของสมาชิกทั �งหมดในเซต A เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 45

แนวคิด

ให้ A x 1 3

จากสมการ x 1 2 x 1 3 1

จะได้ x 1 3 1 x 1 3 1

A 1 A 1

A 1 1 A

ยกกําลงัสองทั �งสองข้าง; 2A 2A 1 1 22 A A และ 1 A 0

^ 2A 2 A และ 1 A

ดงันั �น A A และ 1 A

แสดงวา่ A 0 และ 1 A 1

นั�นคือ –1 A 0

ดงันั �น 1 x 1 3 0 2 x 1 3

2 2 22 ( x 1) 3 และ x – 1 0

4 x 1 9 และ x 1

5 x 10 และ x 1

ดงันั �นเซตคําตอบสมการ x 1 2 x 1 3 1 คือ [5, 10]

แสดงวา่ A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

ผลบวกของสมาชิกทั �งหมดในเซต A = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

= 45



หนา้ |49

33. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชงิซ้อน โดยที� z z 1 i และ (1 2i)zRe 0

3 i

เมื�อ 2i 1

แล้วคา่ของ 22z 1 เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 5

แนวคิด

ให้ z x yi

โดยที� z z 1 i x yi (x yi) 1 i

x yi (x 1) (y 1)i

2 2 2 2x y (x 1) (y 1)

2 2 2 2x y (x 1) (y 1)

2 2 2 2x y x 2x 1 y 2y 1

2x 2y 2

x y 1 ...(1)

พิจารณา (1 2i)z

3 i

=

2 2

(3 i)(1 2i)z

3 1

= (3 2 6i i)z

10

= (5 5i)(x yi)

10

= (1 i)(x yi)

2

= (x y) (y x)i

2

= 1 1

(x y) (y x)i2 2

จาก (1 2i)zRe 0

3 i

1 (x y) 0

2

x + y = 0 ...(2)

(1) + (2); 2x = 1 x = 1

2 และแทนใน (2) จะได้ y =

1

2

ดงันั �น 1 1z i

2 2

จะได้ 2

22 2 21 12z 1 2( i) 1 2 i 2 ( 1) 5

2 2



หนา้ |50

เมื�อ x –2

เมื�อ x > –2

34. คา่ของ 2 3 2

24

x x xdx

x x 2 x 2


ตอบ 3

แนวคิด

พิจารณาคา่ |x + 2|

โดยที� (x 2)

x 2x 2

แตช่ว่งที�ต้องการหาอินทิกรลัจํากดัเขตคือ [–4, –2]

นั�นคือ สําหรับ 4 x 2 จะได้ x 2 (x 2) x 2

ดงันั �น

2 23 2 3 2

2 24 4

2 3 2

2 24

2 3 2

24

2

x x x x x xdx dx

x x 2 x 2 x( x 2) x 2

x x xdx

x 2x x 2

x x xdx

2x 2x 2

x (x x 1)

22(x x 1)

22

4

2

4

22

4

dx [ x x 1 0]

1x dx

2

1 x

2 2

1 4 16

2 2 2

3

2

4

x > –2 x+2 > 0

|x+2| = x+2

x –2 x+2 0

|x+2| = -(x+2)



หนา้ |51

35. กําหนดให้ n{a } และ n{b } เป็นลําดบัของจํานวนจริง

โดยที� n 1 n3a a และ nn n2 b a สําหรับ n =1, 2, 3, ...

ถ้า 5a 2 แล้วอนกุรม 1 2 3b b b ... มีผลบวกเทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 97.2

แนวคิด

จาก n 1 n3a a จะได้ n 1

n

a 1

a 3

แสดงวา่ na เป็นลําดบัเรขาคณิตที�มีอตัราส่วนร่วม(r) เทา่กบั 13

และ 5

n 5 n 5n 5 n n

1 2 3 486a a r 2 ( )

3 3 3

จาก nn n2 b a

จะได้ n

nn n n n

a 486 1b 486

62 3 2

ดงันั �น

n

1 2 3 4n 1

2 3 4

1b b b b ... 486

6

1 1 1 1486 ( ) ( ) ( ) ...

6 6 6 6

1

64861

16

97.2



หนา้ |52

36. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริงที�สอดคล้องกบั

a(a b 3) 0 และ 2(b a) (a b 1)(2 b)

คา่มากที�สุดของ 4 4a b เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 641

แนวคิด

จาก a(a + b + 3) = 0

จะได้ a = 0 หรือ a + b + 3 = 0

กรณีที� 1 ถ้า a = 0

จาก 2(b a) (a b 1)(2 b) 2(b 0) (0 b 1)(2 b)

2b = 2 + b – 2b

2b + b – 2 = 0

(b + 2)(b – 1) = 0

b = –2, 1

ดงันั �น a = 0, b = –2 4 4 4 4a b 0 ( 2) 16

a = 0, b = 1 4 4 4 4a b 0 1 1

กรณีที� 2 ถ้า a + b + 3 = 0

จะได้ a = –b – 3

จาก 2(b a) (a b 1)(2 b) 2(b b 3) ( b 3 b 1)(2 b)

2(2b + 3) = –2(2 – b)

4b + 6 = –4 + 2b

b = –5

จะได้ a = –(–5) – 3 = 2

ดงันั �น a = 2, b = –5 4 4 4 4a b 2 ( 5) 641

จากทั �งสองกรณี จะได้คา่ 4 4a b ได้แก ่ 1, 16, 641

ดงันั �นคา่มากที�สุดของ 4 4a b เทา่กบั 641



หนา้ |53

37. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนห้องหนึ�ง จํานวน 30 คน มีการแจกแจงปกติ และมีคา่เฉลี�ยเลข

คณิตเทา่กบั 64 คะแนน นกัเรียนชายห้องนี �มี 18 คน คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนชายห้องนี �

มีคา่ฉลี�ยเลขคณิตเทา่กบั 64 คะแนน และความแปรปรวนเทา่กบั 10 ส่วนคะแนนสอบของนกัเรียนหญิงมี

ส่วนเบี�ยงเบนมาตรฐานเทา่กบั 5 คะแนน ถ้านางสาว ก. เป็นนกัเรียนคนหนึ�งใน้องนี � สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที�

22.66 ของนกัเรียนทั �งห้อง แล้วคะแนนสอบของนางสาว ก. เทา่กบัเทา่ใด

เมื�อกําหนดพื �นที�ใต้เส้นโค้งปกติ ระหวา่ง 0 ถงึ z ดงันี �

z 0.5 0.6 0.75 1.0 1.25

พื �นที� 0.1915 0.2257 0.2734 0.3413 0.3944

ตอบ 61

แนวคิด

ชาย หญิง รวม

จํานวน 1N 18 2N 12 N 30

คา่เฉลี�ย 1 64 ? 64

ความแปรปรวน 21 10 2

2 25 ?

เนื�องจาก 1 1 2 2n n

n

218 64 12

6430

264 30 18 64 12

2 64

เนื�องจาก 1 2 64 จะได้ 2 2

2 1 1 2 2

1 2

n n

n n

2 18 10 12 25

1630

ดงันั �นคะแนนสอบของนกัเรียนห้องนี �มีคา่ 64 และ 4

โดยนางสาว ก. เป็นนกัเรียนคนหนึ�งใน้องนี � สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที� 22.66 ของนกัเรียนทั �งห้อง

จะได้พื �นที�ทางซ้ายของคา่ 22.66P เทา่กบั 0.2266

ดงันั �นพื �นที�ระหวา่ง 22.66P และ

เทา่กบั 0.5 – 0.2266 = 0.2734

จากตารางพื �นที�ใต้เส้นโค้งปกติจะได้คะแนน 22.66P

มีคา่มาตรฐานเทา่กบั –0.75

จาก xz

จะได้ 22.66P 64

0.754

22.66P 61

ดงันั �น นางสาว ก สอบได้คะแนน 61 คะแนน

22.66P 64

0.2266

0.5 0.2266 0.2734



หนา้ |54

38. กําหนด o0 90 และ

ให้ 2

sinA arcsin

1 sin

B arctan(1 sin )

และ 2C arctan sin sin

ถ้า A + B = 2C แล้วคา่ของ 4 43 sin cos เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 0.75

แนวคิด

จาก 2 2

sin sinA arcsin sin A

1 sin 1 sin

tan A sin

B arctan(1 sin ) tan B 1 sin

2 2C arctan sin sin tanC sin sin

จาก A + B = 2C จะได้ tan(A B) tan2C

2

tan A tan B 2 tanC

1 tan A tan B 1 tan C

2

2 2

sin (1 sin ) 2 sin sin

1 sin (1 sin ) 1 ( sin sin )

2

2 2

1 2 sin sin

1 sin sin 1 sin sin

...(1)


2 21 1 3 1 3 31 sin sin 2( )sin sin sin 0

4 2 4 2 4 4

จากสมการ (1) จะได้ 2

1

1 sin sin

2

2

2 sin sin

1 sin sin

22 sin sin 1

2

2 22 sin sin 1

24 sin 4 sin 1

24 sin 4 sin 1 0

2(2 sin 1) 0

1sin

2


44

4 4 4 4 1 3 33 sin cos 3(sin 30 ) (cos 30 ) 3 0.75

2 2 4

21 sin sin

1A



หนา้ |55

39. กําหนดให้ 2 2 1

A a b 2

1 2 2

เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริง

ถ้า tAA 9I เมื�อ I เป็นเมทริกซ์เอกลกัษณ์ที�มีมิติ 3 3 แล้วคา่ของ 2 2a b เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 3

แนวคิด

tAA 9I

2 2 1 2 a 1 9 0 0

a b 2 2 b 2 0 9 0

1 2 2 1 2 2 0 0 9

2 2

9 2a 2b 2 0 9 0 0

2a 2b 2 a b 4 a 2b 4 0 9 0

0 a 2b 4 9 0 0 9

ดงันั �น 2a – 2b + 2 = 0 a – b = –1 ...(1)

a + 2b + 4 = 0 a + 2b = –4 ...(2)

(2) – (1); 3b = –3

b = –1

แทน b = –1 ใน (1); a – (–1) = –1

a = –2

ดงันั �น 2 2 2 2a b ( 2) ( 1) 3



หนา้ |56

40. กําหนดให้ 3f(x) x ax b เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริง

ถ้าอตัราการเปลี�ยนแปลงเฉลี�ยของ f(x) เทียบกบั x เมื�อคา่ของ x เปลี�ยนจาก –1 เป็น 1 เทา่กบั –2

และ 1

1

f(x)dx 2

แล้วคา่ของ h 0

f(3 h) f(3 h)lim

h


ตอบ 48

แนวคิด

จากอตัราการเปลี�ยนแปลงเฉลี�ยของ f(x) เทียบกบั x เมื�อคา่ของ x เปลี�ยนจาก –1 เป็น 1 เทา่กบั –2

จะได้ f(1) f( 1)2

1 ( 1)

(1 a b) ( 1 a b)

22

2 2a2

2

a = –2

จาก 1

1

f(x)dx 2

1

3

1

(x ax b)dx 2

14 2

1

x axbx 2

4 2

1 a 1 ab b 2

4 2 4 2

2b =2

b = 1

ดงันั �น f(x) = 3x 3x 1

2f (x) 3x 3

h 0 h 0

h 0 h 0

h 0 h 0

2

f(3 h) f(3 h) f(3 h) f(3 h)lim lim

h h

f(3 h) f(3) f(3 h) f(3)lim lim

h h

f(3 h) f(3) f(3 ) f(3)lim lim

h

f (3) f (3)

2f (3)

2 3 3 3

48

f(3) f(3)

( h)

( h)



หนา้ |57


ให้ 1r (x, y) R R y 0 และ 2 2x y 2x 4y 3

และ 2r (x, y) R R y 0 และ 2 2x y 2x 33

ถ้าโดเมนของเซต 1 2r r คือช่วงปิด [a, b] เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริง โดยที� a < b

แล้วคา่ของ 2 2a b เท่ากบัเท่าใด

ตอบ 20

แนวคิด

พจิารณา 1r

จาก 2 2

2 2

2 2

2 2

x y 2x 4y 3

(x 1) (y 2) 3 1 4

(x 1) (y 2) 0

(x 1) (y 2)

x 1 y 2

แต ่ y 0 จะได้กราฟของ 1r ดงัรูปที� 1

พจิารณา 2r

จาก 2 2

2 2

2 2 2

x y 2x 33

(x 1) y 33 1

(x 1) y ( 34)

แต ่ y 0 จะได้กราฟของ 2r ดงัรูปที� 2

พจิารณา 1 2r r

หาจดุตดัของ x 1 y 2 และ 2 2(x 1) y 34 โดย y 0

จาก 2 2x 1 y 2 (x 1) (y 2)

ดงันั �น 2 2(y 2) y 34 22y 4y 4 34 0

2y 2y 15 0

(y – 5)(y + 3) = 0

y = 5, –3

แต ่ y > 0 เลือก y = 5 แทนใน x 1 y 2 จะได้ x = –2, 4

จะได้กราฟของ 2r ดงัรูปที� 3 ซึ�ง โดเมนของ 1 2r r คือช่วงปิด [–1, 4]

ดงันั �น a = –1, b = 4

แสดงวา่ 2 2a b 4 16 20

x(3, 0)

(1, 0)

y

y x 1

y x 3

y

x(1,2)

31

1

3

(4,5)

y

x41

( 2,5)

1 2r rD



หนา้ |58

42. คา่ของ 2

3 2x 2

x x 2lim

2 x 4


ตอบ 9

แนวคิด

เพราะวา่ x 2 หมายถงึ x < 2 ทําให้ x 2 (x 2)

ดงันั �น 2x x 2 (x 2)(x 1) x 2 x 1 (x 2)(x 1)

2

3 32 2x 2 x 2

3 32 2 2 2

3 32 23 2x 2

3 32 2 2 2

33 2 3x 2

3 32 2 2 2

2x 2

2 2

2 2 x 4 ( x 4)

2 2 x 4

(x 2)(x 1)x x 2lim lim

2 x 4 2 x 4

(x 2)(x 1)lim

2 x 4

(x 2)(x 1) 2 2 x 4 ( x 4)lim

2 (

( x 4

x 4)

(x 2)(x 1) 2 2 x 4 ( x )

)

4lim

8 x

x 2

4

(2 x)lim

3 32 2 2 2(x 1) 2 2 x 4 ( x 4)

(2 x)

3 32 2 2 2

x 2

3 32 2 2

2

(2 x)

(x 1) 2 2 x 4 ( x 4)lim

2 x

(2 1) 4 2 2 4 ( 2 4)

2 2

(3) 4 2 2 (2)

4

9



หนา้ |59

43. ให้ n เป็นจํานวนเต็มบวก


โดยที�คา่ความแปรปรวนของข้อมลูในเซต A เทา่กบั 46

แล้วคา่เฉลี�ยเลขคณิตของ 3 3 3 31 , 2 , 3 , ... , n เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 936

แนวคิด

(เริ�มต้นจะหาคา่ n)


จะได้ 1 2 3 ... n ( 1) ( 2) ( 3) ... ( n) 0x 0

2n 2n

โดยที�คา่ความแปรปรวนของข้อมลูในเซต A เทา่กบั 46

ดงันั �นจาก

2n 2i

2 i 1

(x x)

s2n

จะได้

2n 2i

i 1

(x 0)

462n

2n 2i

i 1

(x )

462n

2 2 2 2 2 21 2 ... n ( 1) ( 2) ... ( n)

462n

246

2 2 2(1 2 ... n )

2

n

n46

(n 1)(2n 1) 1

6 n

246 6 2n 3n 1

22n 3n 275 0

(2n + 25)(n – 11) = 0

n = 11, 25

2

แต ่n เป็นจํานวนเต็มบวก จะได้ n = 11

ดงันั �น คา่เฉลี�ยเลขคณิตของ 3 3 3 31 , 2 , 3 , ... , n = 3 3 3 31 2 3 ... 11

11

= 2

11(11 1) 1

2 11

= 396



หนา้ |60

44. กําหนดให้ a , b และ c เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ โดยที� a b tc เมื�อ t เป็นจํานวนจริงบวก

ถ้า 2a i j k , b a , c 2 และ a b b c c a 9

แล้วคา่ของ t เทา่กบัเทา่ใด

ตอบ 3

แนวคิด

เพราะวา่ 2 2 2a 1 1 1 3

2b a 3

จาก a b b c c a 9 จะได้ b c c a 9 a b

และ a b tc จะได้ (a b) c tc c

a c b c tc c

29 a b c t

แต ่ c 2 9 a b 2t

ดงันั �น a b 9 2t

จาก a b tc จะได้ a b tc

2 2a b tc

2 2 22a 2a b b t c

แต ่ a 3 , b 3 , c 2 และ a b 9 2t จะได้

2 2 2 2( 3) 2(9 2t) 3 t ( 2)

2t 2t 15 0

(t + 5)(t – 3) = 0

t = 3, –5

แต ่ t เป็นจํานวนจริงบวก

ดงันั �น t = 3



หนา้ |61

45. นิยาม S S S {(a,b,c) a,b,c S} เมื�อ S เป็นเซตใดๆ

กําหนดให้ S = {1, 2, 3, 4, 5}

จงหาจาํนวนสมาชิก (a, b, c) ในเซต S S S ทั �งหมด โดยที� c(b )(3 a) หารด้วย 4 ลงตวั

ตอบ 70

แนวคิด

วิเคราะห ์

สําหรบั S 1, 2, 3,a 4, 5

จะได้ a + 3 = 4, 5, 6, 7, 8

โดยที� n4 หารด้วย 4 ลงตวั เมื�อ n เป็นจํานวนนบัใดๆ

n8 หารด้วย 4 ลงตวั เมื�อ n เป็นจํานวนนบัใดๆ

n6 หารด้วย 4 ลงตวั เมื�อ n เป็นจํานวนนบัใดๆ ที�มากกวา่ 1

แต ่5, 7 เป็นจํานวนเฉพาะ ดงันั �น n5 และ n7 หารด้วย 4 ลงไมต่วั

พิจารณาคา่ของ c(b )(3 a)

กรณีที� 1 ; a = 1

จะได้ c c(b ) (b )(3 a) 4 หารด้วย 4 ลงตวัสําหรับทกุจํานวนเต็ม b, c

แสดงวา่ b, c มีคา่เป็นไปได้ทกุคา่ใน {1, 2, 3, 4, 5}

ดงันั �นมี (a, b, c) มี 1 5 5 = 25 ชดุ


จะได้ c c(b ) (b )(3 a) 6 หารด้วย 4 ลงตวัสําหรับทกุจํานวนเต็ม b, c ที�ทําให้ cb มากกวา่ 1

นั�น cb 2 แสดงวา่ b = 2, 3, 4, 5 โดย c = 1, 2, 3, 4, 5



จะได้ c c(b ) (b )(3 a) 8 หารด้วย 4 ลงตวัสําหรับทกุจํานวนเต็ม b, c

แสดงวา่ b, c มีคา่เป็นไปได้ทกุคา่ใน {1, 2, 3, 4, 5}


จากกรณีที� 1, 2, 3 จะได้ จํานวนสามสิ�งอนัดบั (a, b, c) มีทั �งหมด 25 + 20 + 25 = 70

pat1 มี.ค. 59

Education