aatthheemmaattiicc

iinndd

aappppiinngg

เอกสารเอกสารสรปสตรคณตศาสตร สรปสตรคณตศาสตร สาหรบนองๆทสาหรบนองๆทสอบ สอบ PPAATT 11++สอบตรงตางๆสอบตรงตางๆ

Created by P’1 Tel. 085-999-9449

คานา

“ Mathematic Mind Mapping “ เปนอปกรณทสาคญมากในการเรยนคอรสตะลยโจทยท P’1 จะสอนในทกๆ เทอม 2 ซงกวาจะทาเสรจ P’1 ตองใชเวลาและความตงใจมากๆ ( พมพเองกบมอทกตวอกษร ดงนนถาไมสวยหรอพมพผดกขออภยไวลวงหนา ) โดย P’1 หวงวาจะมประโยชนใหแกนกเรยนทตงใจจะประสบความสาเรจในการสอบ ตอเขามหาวทยาลย ทง admission กลาง หรอ สอบตรงตางๆ ดงนนกอนทนกเรยนใชเอกสารชดน P’1 จงมขอแนะนาบางประการทจะแจงใหทราบดงน

– สตรทงหมดทจดพมพในเอกสารชดนเพยงพอตอการทาขอสอบ PAT 1 และสอบตรงตางๆ แนนอน ซง P’1 ยดเอาหลกสตรกระทรวงศกษาธการครงลาสด ( ป พ.ศ.2544 ) โดยนกเรยนบางคนอาจเคยจาไดเยอะกวาท จดพมพซงเปนการจาทมากเกนไปสาหรบการสอบ PAT 1 และสอบตรงตางๆ แนนอน

– ภาษาทใชในเอกสารเปนภาษาสวนตวท P’1 ใชในการสอนในหองเรยน ( นกเรยนทไมเคยเรยนกบ P’1 อาจงงบางเลกนอย )

– การสรปสตรทงหมด หรอ จานวนครงทแตละสตรเคยออกสอบ P’1 ยดตามฐานขอมล ( Data base ) ตงแตป พ.ศ. 2537 จนถงปจจบน

สดทายนหากเอกสารชดนสามารถสรางประโยชนกบนกเรยนทไดอาน หรอชวยในการฝกทาขอสอบเกา

( สาคญมากๆ ) ความดทงหมดทเกดขน P’1 ขออทศใหนองๆเหลานนจงประสบความสาเรจในการสอบเขามหาวทยาลยไดเขาเรยนในคณะ และมหาวทยาลยทตนเองตองการดวยเทอญ สาธ สาธ ....

ดวยความปรารถนาดอยางจรงใจ วรพล ปญญาวสทธกล ( P’1 )

เพาเวอรเซต เขยนแทนดวย P(A) P(A) คอ เซตของสบเซต ( 4 พยางคนะจาใหแมน ) P(A) = { สบเซต1 , สบเซต2 , ... , สบเซต n2

}

P(A) = { , สบเซต2 , ... , A } ; = พระเอก , A = นางเอก

สงทควรร (1) ถา n(A) = m จะได n[P(A)] = 2m

(2) ถา A = แลว P(A) = { } (3) P(A)

(4) , A P(A) (5) P(A)P(B) P(AB)

(6)* P(A)P(B) = P(AB)

โจทยปญหาการหาจานวนสมาชกของเซตจากด

2 เซต n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)P)

3 เซต n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB)

“ ใชเมอร 7 จาก 8 “ – n (AC) – n(BC)+ n(ABC) สตร 3 เซตทองวา “ เซต 1 – เซต 2 + เซต 3 ” By โรเจอร เฟดเดอเรอร

A–B B–A

AB

(AB)

บทท 1. เซต Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

เรองทวๆไปเกยวกบเซตทควรร เซตเปนอนยามใชแทนกลมอะไรกไดทชเฉพาะเจาะจงได

เชน เซตในวนในหนงสปดาห , เซตของจานวนเตมบวกท 5 หามใช!! เซตของคนหลอ , เซตของผลไมอรอย จานวนสมาชกของเซต A แทนดวย n(A)

โดยทสมาชกซากนนบเปนตวเดยวนะครบ เซตอนนต คอ เซตทไมสามารถบอกจานวนสมาชกได เซตจากด คอ เซตทสามารถบอกจานวนสมาชกได

เซตทไมมสมาชก เรยกวา เซตวางเขยนแทนดวย , { } ( เซตวางเปนเซตจากด และ เซตวางเปนสบเซตของทกเซต )

เปนสมาชก ( ดทงกอน ) , เปนสบเซต ( ดขางใน )

{ 1 , {1} } { 1 , {1} , { 1,{1} } }

{ 1 , {1} } { 1 , {1} , { 1,{1} } } จานวนสบเซตของ A = 2n เมอ n คอจานวนสมาชกของ A

การกระทาระหวางเซต ( Operation of Set ) (1) สมบตทควรทราบ

สลบท AB = BA , AB = BA

มวซว( สลบท) A(BC) = (AB)C , A(BC) = (AB)C

แจกแจง A(BC) = (AB)(AC) , A(BC) = (AB)(AC)

กระทากบตวเอง AA = A , A = , A U = A

AA = A , A = A , A U = U

SA–RUP เลกใหญ = เลก , เลกใหญ = ใหญญ

อนนเลยตองรเองวา A(AB) = A , A(AB) = AB , … ฯลฯ

คอมพลเมนต (A) = A , = U , U = , AA = , AA = U

เดอ–มอ–แกงค ( De’ morgain ) (AB) = AB , (AB) = AB

ผลตาง ( สาคญสด ) A – B = AB อานวา ” อยใน A แตไมอยใน B”P

(2) แผนภาพเวนนออยเลอรทควรร

อยาลมวา คอ หรอ

คอ และ (แต)

(AB) (AB) AB

BA (A–B) (B–A)

AB AB

บทท 2. ระบบจานวนจรง Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

CO

RP iP

QP IDI QI

IFI Q–II IP

I+ = NP I0P I–P

C ( Complex Nu. ) = จานวนเชงซอน , i ( Imaginary Nu. ) = จานวนจนตภาพ ( i = 1 , i2 = –1 ) R ( Real Nu. ) = จานวนจรง คอ จานวนทกตวเวน 1. เศษสวนท สวนเปน 0 2. ในรากคตดลบ Q ( Rational Nu. ) = จานวนตรรกยะ = “ เศษสวนของจานวนเตม ”

Q( Irrational Nu. ) = จานวนอตรรกยะ = ทศนยม 2 ไม ( ไมรจบแบบไมซา ) ( log , รททไมลงตว , , e ,ฯลฯ ) Q–I = จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม ม 2 ประเภท คอ เศษสวน และ ทศนยมธรรมดา

D ( Decimal ) = ทศนยม

I ( Integer ) = จานวนเตม , N ( Counting Nu. ) = จานวนนบ ( N = I+ ) , F ( Fraction ) = เศษสวน

ทศนยมปกต Q ( ตรกกยะ )

ทศนยม 2 ไม Q( อตรกกยะ ) สรปวา!! “ ทศนยมเปนไดทงตรรกยะและอตรรกยะ”

สมบตของระบบจานวนจรงทควรทราบ (1) สมบตปด “ ทาแลวไดพวกเดม ”

เชน I+ มสมบตปดการคณ เพราะ I+ I+ I+

I– ไมมสมบตปดการคณ เพราะ I– I– I+ (2) สมบตการมเอกลกษณ “ ทาแลวไดตวเดม ” เชน 0 เปนเอกลกษณการบวก เพราะ 0 + a = a

1 เปนเอกลกษณการคณ เพราะ 1 a = a

ถา e เปนเอกลกษณสาหรบ จะไดวา a e = a = eaa

(3) สมบตการมอนเวอรส “ ทาแลวไดเอกลกษณ ” เชน –2 เปนอนเวอรสการบวกของ 2 เพราะ –2 + 2 = 0

1/2 เปนอนเวอรสการคณของ 2 เพราะ 1/22 = 1

ทฤษฎบทเศษเหลอ

“ ถาหารพหนาม P( x ) ดวยพหนาม ( ax – b ) แลวเศษทไดจาก

การหารดงกลาวจะเทากบ P( b/a ) เมอ a,b R “

หรอ Jum! งายๆ ดงน (1) จบตวหาร = 0 แกสมการหาคา x (2) นาคา x ทไดแทนลงในตวตง ผลลพธทไดคอเศษทเหลอจากการหาร [ เศษ = P(b/a ) ] อาจใชการหารสงเคราะหเขาชวยได (3) ถาผลลพธ = 0แปลวาหารลงตว , ตวหารเปนตวประกอบของตวตง

การแกสมการพหนามตวแปรเดยว (1) สมการกาลง 1 เชน 2x+1 = 0 ( ตองทาเองได! )

(2) สมการกาลง 2 แยก factor , ใชสตร x = a2

ac4bb 2

(3) สมการกาลง 2 จบคดงตวรวม , หารสงเคราะห Tip หารสงเคราะห (1) ถาผลรวมสมประสทธ = 0 “ 1 ใชได ” (2) ถาผลรวมสมประสทธสลบกนเทากน “ –1 ใชได “

การแกอสมการพหนามตวแปรเดยว

(1) อสมการกาลง 1 “ ระวงเมอนาจานวนลบไป , ฝงตรงขามตองเปลยนเครองหมายอสมการเปนตรงขาม ”

(2) อสมการกาลง 2 , อสมการกาลง 2 – ถาหนาตวแปรใดเปนลบ ใหนา –1 คณตลอด

และอยาลม ! เปลยนเครองหมายอสมการเปนตรงขาม – จบทก factor = 0 แกสมการหาคาวกฤต แลวปกบนเสนจานวน – ใสเครองหมาย + และ – สลบกนในแตละชวง โดยเรมจากดานขวามอ – ดเครองหมายสดทายของอสมการ

ถา , เอาชวง + , ถา , เ อาชวง –

โดยท , เปนชวงเปด ( วงกลวง ) , , เปนชวงปด ( วงทบ ) – ถาแยก factor ไมไดพยายามจดรปกาลงสองสมบรณแลววคราะหเอง (3) อสมการเศษสวนพหนาม ( เนน สดๆ !!! มตวแปรหามคณไขว ) – ทาใหขวามอเปน 0 โดยการยายมาลบกบดานซายมอ – จดรปแยกตวประกอบทงเศษและสวน – ถาหนาตวแปรใดเปนลบ ใหนา –1 คณตลอด

และอยาลม ! เปลยนเครองหมายอสมการเปนตรงขาม – จบทก factor = 0 แกสมการหาคาวกฤต โดยพจารณาดงน ถามวงเลบซาดกรค ปก 2 จด ถามวงเลบซาดกรค ปก 1 จด ระวง !! คาวกฤตททาใหสวนเปน 0 ( อยาลมยกเวนนะจะ ) – พจารณาชวงคาตอบของอสมการเหมอนอสมการพหนามตามปกต

นยามคาสมบรณ , การถอดคาสมบรณ ( หลกการแกผาคาสมบรณ )

a =

0a,a

0a,a

(1) xy = ? ถา x 0 , y 0 ตอบ –xy ( เพราะขางในเปน – )

(2) 4–y2 = ? ถา y 2 ตอบ –( 4–y2 ) ( เพราะขางในเปน – )

(3) x–(y+2z) = ? ถา x y+2Z ตอบ x–(y+2z) ( เพราะขางในเปน + )

“ ถาขางในแอปเปนบวก ถอดไดเลย , แต ถาขางในแอปเปนลบ ถอดไดลบของตวขางใน ”

สมบตของคาสมบรณทควรทราบ (1) a 0 (2) a = –a( เชน 4–x = x–4)

(3) ab= a b (4) ba

= ba

, b 0

(5) a+ba+b(6)a–ba–b

(7) 2a = a , ( a )2 = a ( เชน 2)2y( = y–2)

(8) a2 = a2 เชน 23x = (x–3)2 “แอปกาลงสองเหมอนวงเลบกาลงสอง”

แอปแจก , ได แตแจก +, – ไมได

การแกสมการคาสมบรณ (1) รปแบบปกต

a = b

a = b

Ex1 x–2 = 3x+2 Ex2 2x–5 = 4–x x–2 = 3x+2 or x–2 = –(3x+2) 2x–5 = 4–x or 2x–5 = –(4–x) –4 = 2x or x–2 = –3x–2 3x = 9 or 2x–5 = –4+x x = –2 or x = 0 x = 3 or x = 1 ( แต!! x = –2 ใชไมไดเพราะ ( ใชไดทงสองตว ไมตองตรวจ ทาให 3x–2 < 0 ) คาตอบเพราะเปน + ทงสองฝง )

(2) รปแบบแยกกรณ ( ใชเมอจดรปแลวไมเปนรปแบบปกต )

– จดรปใหหนาตวแปรเปนบวก ( 2–x = x–2 ) – จบคาสมบรณทกตว = 0 เพอหาคา x ( คาวกฤต )

แลวปกบนเสนจานวนเพอแยกกรณคด – กาหนดเครองหมายในการถอดคาสมบรณดงน

2 กรณ 3 กรณ

หาคาตอบทละกรณแลวนามารวม ( ) กน ( สมการแอปแบบแยกกรณ ถาเจอสวนใหญจะเปน 3 กรณ )

a = b ( a = b or a = –b )

ตองตรวจคาตอบวา b 0

ไมตองตรวจคาตอบ

+ –

(+)(+) (+)(–) (–)(–)

การแกอสมการคาสมบรณ (1) รปแบบปกต ม 3 รปแบบ ดงน

1.1 สตรนอยกวา ถา a b จะไดวา – b a bb

เชน 2x–1 x+2 จะไดวา –(x+2) 2x–1 x+2

– (x+2) 2x–1 2x+1 x+2

( แยกทา 2 สวนแลวเอาคาตอบแตละสวนมา กน )

1.2 สตรมากกวา ถา a b จะไดวา a b หรอ a –bL

เชน x+2 3x–1 จะไดวา x+2 3x–1 x+2 –( 3x–1)

( แยกทา 2 สวนแลวเอาคาตอบแตละสวนมา กน )

1.3 สตรแอป 2 ฝง a , b ใชการยกกาลงสอง 2 ฝงง

แลวใชสมบตคาสมบรณทวา a 2 = a2

เชน x–1 2x–1 x–1 2 2x–1 2

( แอปกาลง 2 เหมอนวงเลบกาลง 2 ) (x–1) 2 (2x–1) 2

(x–1)2 – (2x–1)2 0 “อยากระจายออกมาจะยาก ใชสตร

[(x–1)–(2x–1)] [(x–1)+(2x–1)] 0 ผลตางกาลงสองดกวา”

( x–1–2x+1 )( x–1+2x–1 ) 0 ( –x )( 3x–2 ) 0

( x )( 3x–2 ) 0 “อยาลมทาหนา x ใหเปน + กอนปกบนเสนจานวน” (2) รปแบบแยกกรณ

“ ใชเมอพยายามจดรปแบบโจทยแลวไมสามารถเขา Pattern รปแบบปกตได ปล. สมการคาสมบรณ P’1 ไมม ต.ย. ใหดก

คลาย ตย. น คอ ทาทละกรณแลวคอยนาคาตอบมา ( ) กน ”

ต.ย. เชน x–1+2x+3 5

กรณท 1. U = x –3/2 กรณท 2. U = –3/2 x 1

[–(x–1)]+[–(2x+3)] 5 [–(x–1)]+(2x+3) 5

–x+1–2x–3 5 –x+1+2x+3 5

x –7/3 x –3/2 x 1 –3/2 x 1

จะได x –7/3 จะได

กรณท 3. U = x 1 แลวนาคาตอบทง 3 กรณมารวมกน

(x–1)+(2x+3) 5 หรอกคอนามา กนนนเอง

3x+2 5 แลวจะไดคาตอบสดทาย คอ

x 1 x 1 ( –,–7/3 )( 1, )

จะได x 1

หมายเหต อยาลมนยามคาสมบรณ ( หลกการแกผาคาสมบรณ )

a =

0a,a

0a,a

ขนตอนวธการหาร ( Division Algorithm )

ตวตง = ตวหาร ( ผลลพธ ) + เศษฟ

5 = 2 ( 2 ) + 1 ถกตองนะคราบ

5 = 2 ( 1 ) + 3 ผดเพราะเศษ ตวหาร

5 = 2 ( 3 ) + (–1) ผดเพราะเศษตอง 0

การเปลยนฐานในระบบตวเลข ( ยงไมเคยออก PAT ) (1) ฐาน 10 ฐานใดๆ “ ตงหารสนแลวไลเขยนจากลางขนบน “ (2) ฐานใดๆ ฐานสบ “ เขยนกระจายคณดวยคาประจาหลก

หรอ ใชการหารสงเคราะห “

ตวหารรวมมาก ( The Greatest common divisor : G.C.D )

(1) ห.ร.ม. I+ (2) ห.ร.ม. ของ a , b = d เขยนแทนดวย ( a,b ) = d (3) ( a,b ) = ( –a,b ) = ( a,–b ) = ( –a,–b )

(4) ถา a 0 แลว ( 0,a ) = a

วธหา ห.ร.ม. (1) ตงหารสน (2) ใชวธยคลกฟ

เชน จงหา ห.ร.ม. 595 กบ –252 จาก ตวตง = ตวหาร ( ผลลพธ ) + เศษญ 595 = 252 ( 2 ) + 91 252 = 91 ( 2 ) + 70 91 = 70 ( 1 ) + 21 70 = 21 ( 3 ) + 7 21 = 7 (3 ) + 0

ตวคณรวมนอย ( The Least common multiple : L.C.M )

(1) ค.ร.น. I+ (2) ค.ร.น. ของ a , b = k เขยนแทนดวย [ a,b ] = k (3) [ a,b ] = [ –a,b ] = [ a,–b ] = [ –a,–b ]

(4) [ 0,a ] หาคาไมได

วธหา ค.ร.น. (1) ตงหารสน (2) ใชสตร ab = dk ; a,b I+vv

การหารลงตว ( Exact Division ) อานวา “ a หาร b ลงตว ”

หมายความวา “abลงตว” ,

ab

= k , b = ka , kI – {0}” a b

จานวนเฉพาะสมพทธ ( Relatively prime numbers )

“ a , b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ กตอเมอ ( a,b ) = 1 ”a

เชน 2 กบ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ เพราะ ( 2,7 ) = 1 18 กบ 27 ไมเปนจานวนเฉพาะสมพทธ เพราะ ( 18,27 ) = 9 4 กบ 9 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ เพราะ ( 4,9 ) = 1

JUM!! จานวนเฉพาะสมพทธไมเกยวกบจานวนเฉพาะนะครบ

–3/2 1

ห.ร.ม. = ตวหารตวสดทาย (Z ( 595,–252 ) = 7 7 ยงเปน หรม. ของทกคหนาอกดวย ( 595,252 ) = ( 252,91 ) = ( 91,70 ) = ( 70,21 ) = ( 21,7 ) = 7

O

O

“ ถาขางในแอปเปนบวก ถอดไดเลย , แต ถาขางในแอปเปนลบ ถอดไดลบของตวขางใน ”

x y

x y

x y

x y

(2) จด – เสน

d = 2211

BA

CByAx

(3) เสน – เสน

d = 2221

BA

CC

P

บทท 4. เรขาคณตวเคราะห Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085–999–9449>

สตรพนฐานทควรทราบ ( นองๆอาจเคยจามามากกวาน แตเชอ P’1 เถอะ แคนกหรแลว )

(1) จด – จด (x1,y1)

(x2,y2) d

d = 212

212 )yy()xx(

(x1,y1) d

Ax+By+C = 0

d

Ax+By+C1 = 0 Ax+By+C2 = 0

(x1,y1)

(x2,y2) A

A =

2yy

,2

xx 2121 b

(4) จดกงกลาง

บทท 3. ตรรกศาสตร Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

ตารางคาความจรงของ pq , pq , pq , pq p q ~p p q p q p q p q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

pq F ตวเดยว F ทนท , pq T ตวเดยว T ทนท

pq หนา T หลง F ตอบ F ทเหลอจรงหมด

pq เหมอนกนตอบ T ตางกนตอบ F สมมลทควรจา ( นร.อาจเคยจามาเยอะกวานแตแคนพอ!! )

(1) สมบตการสลบท ( ไมมสมบตสลบท นะครบ ) p q q p , p q q p , p q q p

(2) สมบตการ ” มวซว ” ( กไมมสมบตมวซว นะครบ ) p (q r) (p q) r p q r p (q r) (p q) r p q r p (q r) (pq) r pq r (3) สมบตการแจกแจง ( ตองทายอนกลบ (ดงตวรวม) ใหไดดวย ) p (q r) (p q) (p r) , p (q r) (p q) (p r) (4) เดอ–มอ–แกงค ( De’ morgain ) ~(p q) ~p ~q , ~(p q) ~p ~q (5)* ถา ... แลว..... ม 2 สมมลนะครบ ( ใชบอยสดๆ ) p q ~p q ~q ~p (6) ...... กตอเมอ .... กม 2 สตรนะครบ pq (p q) (q p) , ~(p q) ~p q p~q (7) สมบตการจม ( จมหนาเครองหมายเดม,จมหลงเครองหมายเปลยน ) p (q r) (p q) (p r) , p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r) , (p q) r (p r) (q r)

สจจนรนดร ( Tautology ) คอ ประพจนทเปน T ทกกรณ โดยมวธการตรวจสอบประพจนวาเปนสจจนรนดรหรอไมดงน – สมมตใหประพจนทจะนามาตรวจสอบมคาความจรงเปน “เทจ” – เรมหาคาความจรงของประพจนยอยถาขดแยง เปน Tautology

– แตถาตวเชอมหลกเปน ใหใชสมมลเขาชวย กลาวคอ

ถา กนเปน Tau , ถา ไม กไมเปน tau u

การอางเหตผล ( Argument )

ขด Tau สม ไมขด ไม tau ไมสมมม

การหาคาความจรงของประโยคเปดทมตวบงปรมาณ (Quantifier)

(1) x[P(x)] T เมอใชไดทก x , F เมอมบาง x ใชไมได

(2) x[P(x)] T เมอมบาง x ใชได , F เมอใชไมไดเลยซกกะ x

(3) xy[P(x,y)] T ( สวนมากจะเทจ ) “ ทก x ตองใชไดทก y ”.y , ตองเปนดงรปเทานนถง T

(4) xy[P(x,y)] T ( สวนมากจะจรง )

““ คเดยวกหรแลว ”” , มบาง x ใชไดบาง y

(5) xy[P(x,y)] T ( มบาง x ใชไดทก y ) “ x ตอแหล ”P , อาจเปน x อนไมเหมอนกบรปกได

(6) xy[P(x,y)] T ( ทก x ตองมบาง y ใชได ) “ ทก x ตวตองมค ” x ทกตวจะรม y ตวเดยวกนกได

นเสธและสมมลของ ประโยคเปด สามารถทาไดเหมอนกบนเสธและสมมลของประพจน

เชน P(x)Q(x) ~P(x)Q(x) ~Q(x)~P(x) นเสธของประโยคเปดทมตวบงปรมาณ ( ตองกระจาย 2 ทนะจะ )

~x[P(x)] x[~P(x)]O , ~x[~P(x)] x[P(x)]]]

หลกการหาสมการเสนตรง (1) รจด ( รพกดจด 1 จดทเสนตรงผาน ) (2) รความชน ( รความชนของเสนตรงจาก 3 วธ ) (3) เขาสตร ( y–y1 = m( x–x1) , (x1,y1) คอจดทเสนตรงผาน )

กราฟเสนตรง สมการทวไป Ax+By+C = 0A ความชน (m) = BA

, หนาyหนาx

สมการมาตรฐาน y = mx+cA ความชน (m) ม 3 สตร คอ 12

12

xxyy

, f(x) , tan ( คอมมทเสนตรงทากบแกน x ในทศทวนเขม )

“ เสนตรง 2 เสนขนานกน เมอความชนเทากน ( m1 = m2 ) ”

” เสนตรง 2 เสนตงฉากกนเมอความชนคณกนเปน –1 ( m1m2 = –1 ) ”

กราฟวงร ( ใตแกนไหนมากกวารตามแกนนน )

สมการมาตรฐาน

2

2

2

2

b)ky(

a)hx(

= 1 2

2

2

2

b)hx(

a)ky(

= 11

(1) นยาม PF1+PF2 = 2a ( แกนเอก )

(2) แกนโท = 2b และ a b เสมอ (3) จดศนยกลางอยทจด ( h,k ) เสมอ

(3) c คอ ระยะจากจศก. ถง จดโฟกส = 22 ba (4) จศก. , จดยอด , จดโฟกส อยบนแกนเอกเสมอ (5) ความเยองศนยกลาง ( e ) = c/a ( ยงไมเคยออก Ent )

(6) ความกวางวงร ณ โฟกส ( ลาตสเรกตม ) = 2b2/a

หลกการหาสมการวงร (1) รจดศนยกลาง ( h,k ) (2) ร a , b ( ครงแกนเอก , ครงแกนโท ) (3) เขาสตร ( สมการมาตรฐาน , ดใหดวารตามแกนอะไร )

(h,k)

(h,k)

(h+a,k)

(h,k+a)

(h–a,k)

(h,k–a)

(h,k–b)

(h,k+b)

(h+b,k) (h–b,k)

(h+c,k) (h–c,k) (h,k+c)

(h,k–c)

กราฟไฮเปอรโบลา ( แกนไหนมากอน hyper ครอบแกนนน )

สมการมาตรฐาน

2

2

2

2

b)ky(

a)hx(

= 1

(1) นยาม PF1–PF2 = 2a ( แกนตามขวาง )

(2) แกนสงยค = 2b แต a , b กได !! (3) จดศนยกลางอยทจด ( h,k ) เสมอ

(3) c คอ ระยะจากจศก. ถง จดโฟกส = 22 ba (4) จศก. , จดยอด , จดโฟกส อยบนแกนเอกเสมอ (5) สมการเสนกากบกราฟ = สมการเสนตรง ( อยาจาสตรลด !! )

(6) ความกวางไฮเปอร ณ โฟกส ( ลาตสเรกตม ) = 2b2/a

หลกการหาสมการไฮเปอรโบลา (1) รจดศนยกลาง ( h,k ) (2) ร a , b ( ครงแกนตามขวาง , ครงแกนสงยค ) (3) เขาสตร ( สมการมาตรฐาน , ดใหดวาครอบแกนอะไร )

2

2

2

2

b)hx(

a)ky(

= 11

กราฟวงกลม

สมการทวไป x2+y2+ax+by+c = 0 ( ใชเมอผาน 3 จด )

สมการมาตรฐาน ( x–h )2+( y–k )2 = r2A

หลกการหาสมการวงกลม (1) รจดศนยกลาง ( h,k ) , (2) ร r ( รศม ) (3) เขาสตร ( สมการมาตรฐาน )

m เปน + m เปน – m เปน 0 m เปน

x = k y = k

( h,k) = จศก. r = รศม

(h,k) r

กราฟพาราโบลา ( พาราโบลาจะครอบแกนกาลงหนงเสมอ )

สมการทวไป x2+ax+by+c = 0 , y2+ay+bx+c = 0 ( ใชเมอผาน 3 จด )

สมการมาตรฐาน ( x–h )2 = 4c( y–k ) ( y–k )2 = 4c( x–h )A

C 0 C 0 C 0 C 0

(1) * นยาม “หางจด ( โฟกส ) = หางเสน ( ไดเรกตรกซ ) ”

(2) จดยอดอยทพกด ( h,k ) และ จดโฟกสจะหางจากจดยอด c เสมอ

(3) เสนไดเรกตรกซ ( เสนบงคบ ) กจะหางจากจดยอด c เสมอ

(4) ความกวางพาราโบลา ณ โฟกส ( ลาตสเรกตม ) = 4c

หลกการหาสมการพาราโบลา (1) รจดยอด ( h,k ) (2) ร C ( จดยอด ถง จดโฟกส หรอ จดยอด ถง เสนไดเรกตรกซ ) (3) เขาสตร ( สมการมาตรฐาน , ดใหดวาครอบแกนอะไร )

F F

F F

การหาโดเมน ( Dr ) และ เรนจ ( Rr ) วธการหาโดเมน ( Dr ) (1) ใหวาดกราฟ r แลวด projection ของกราฟบนแกน x (2) ใหจด y ในเทอม x แลวดคา x ททาให y เปนจรง

วธการหาเรนจ ( Rr ) (1) ใหวาดกราฟ r แลวด projection ของกราฟบนแกน y (2) ใหจด x ในเทอม y แลวดคา y ททาให x เปนจรง

อนเวอรสความสมพนธ ( r–1 ) มสงทนองๆตองรดงน (1) r–1 เขยนได 3 แบบ 1. สลบหนา , 2. สลบหลง , 3. สลบหลงแลวจด y ในเทอม x

เชน r = { (x,y)AB y = 1x }

แบบท 1. r–1 = { (y,x)BA y = 1x }

แบบท 2. r–1 = { (x,y)AB x = 1y } แบบท 3. เอาแบบท 2. มาทาตอ ( มาจด y ในเทอม x )

จาก x = 1y x2 = y – 1 , x 0 y = x2+1 , x 0

r–1 = { (x,y)AB y = x2+1 , x 0 }

(2) 1rD = rR และ 1r

R = rD ญ

(3) ถาพบกราฟ r ตามแนวเสนตรง y = x จะไดกราฟ r–1

การตรวจสอบ r วาเปน f หรอไม ( ไมเนนเคยออกแค 1 ครง !! )

(1) ใชนยาม “ ถา ( x,y1 ) f และ ( x,y2 ) f แลว y1 = y2 ” (2) ใชการลองแทนคอนดบ “ f คอ r ท Dr ไมซา ” (3) ใชกราฟ “ถาลากเสนตรงขนานแกน y ตดกราฟเกน 1 จด จะไมเปน f “

วธการหาคาฟงกชน f(x) (1) ให f(x) มา งายๆ ถามป ป แทนปบ

เชน f(x) = 2x+1 แลวจะไดวา f( ) = 2 + 1 (2) ไมให f(x) มา ใหใชเทคนคการเปลยนตวแปร ( ปตป.) เชน f( 3x–1 ) = 2–x จงหา f(x) ให 3x–1 = k จะไดวา x = ( k+1)/3 f(k) = 2–( k+1)/3 = ( 6–k–1 ) / 3

f( ) = ( 5– ) / 3 จงสรปไดวา f(x) = ( 5–x )/3 พชคณตฟงกชน ( Algebra of function ) ( f+g )(x) = f(x) + g(x) ( f–g )(x) = f(x) – g(x)

( fg )(x) = f(x)g(x)

( f/g )(x) = f(x) / g(x) ; g(x) 0

โดเมนของพชคณตฟงกชน ( สมยกอนออกบอย แต PAT ยงไมเคยออก )

Df+g = Df–g = Dfg = DfDgP P

Df/g =. DfDg– { xg(x) = 0 }PPP

“ โดเมนเอาตวทเหมอนกน แลวเรนจทากนตามเครองหมาย ( ยกเวน f/g โดเมนเอาตวทเหมอนกน และระวงอยาใหสวนเปน 0 ”

ฟงกชนประกอบ ( Composite function ) g f fog อานวา โดเมน g ยงใสเรนจ fP fog = { (a,4),(b,5),(c,6) }

fog จะหาคาไดเมอ RgDf fog(x) = f(g(x))P

f g gof อานวา โดเมน f ยงใสเรนจ gP gof = { (1,4),(2,5),(3,5) }

gof จะหาคาไดเมอ RfDg

gof(x) = g(f(x))P

โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ

Dfog = Dfog ทหาได Dg , Rfog = Rfog ทหาได Rf

Dgof = Dgofทหาได Df , Rgof = Rgof ทหาได Rg

a

b

c

1

2

3

4

5

6

a

b

c

1

2

3

4

5

6

ฟงกชนอนเวอรส ( ฟงกชนผกผน ) ( Inverse function ) (1) วธการหาคาฟงกชน f–1(x) ( โจทยจะมแค 2 แบบ คอ )

ให f(x) มา “ สลบ x กบ y แลวจด y ในเทอม x ”P

ไมให f(x) มา “ ถา f( ) = แลว f–1( ) = “P (2) วธการเขยน f–1 “ ทาเหมอนการเขยน r–1 “

โดเมนและเรจนของฟงกชนอนเวอรส

1fD = fR และ 1f

R = fD

ผลคณคารทเชยน ( AB ) คอ เซตของคอนดบ ทตวหนามาจาก A และตวหลงมาจาก B

ความสมพนธ ( r : AB ) คอ สบเซตของผลคณคารทเชยน

บทท 5. ฟงกชน Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

n(A) = mL n(B) = nL

n(AB) = mnL

AB ม 2mn สบเซตฯ

n( r : AB ) = 2mnL

f r L

f : AB Df = A , Rf B

f : AB Df = A , Rf = B

r : AB r AB “1 สบเซต = 1 ความสมพนธ”

onto

f คอ r ทโดเมนไมซา

“ เหมอนกบการกระจาย x เขาไปในวงเลบไดเลยไมวาจะ

เปน + , – , , ( ตองระวงอยาใหสวนเปน 0 )”

++

+

Q 1

+ +

–

Q 2

+Q 3

–

–

+

+ – Q 4

สตรมมครงเทาจะใช + หรอ – ขนกบวา

2A

อยควอดรนดใด

วงกลม 1 หนวย ( The Unit Circle ) สงทควรทราบ (1) x = cos , y = sin (2) cos2+sin2 = 1

(3) –1 sin,cos 1

(4) – tan

(5) 180 = rad

(6) = RS

( ขอบชส/รศม )

0, 0 30,/6 45,/4 60,/3 90,/2 sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 tan 0 1/ 3 1 3 หาคาไมได

การยบมม

(1) ยบเทยบ x เตมๆ หาควอดรนต ยบได f เดม

(2) ยบเทยบ y ครงๆ หาควอดรนต ยบได Co–f (3) ยบเมอมมตดลบ ( อาจไมตองจากได )

sin(–) = –sin , cos(–) = cos , tan(–) = –tanP

สตรมมประกอบ ( Compound Angle ) sin( AB ) = sinA cosB cosA sinB

( sin , cos , cos , sin เครองหมายเดม )

cos( AB ) = cosA cosB sinA sinB ( cos , cos , sin , sin เครองหมายเปลยน )

tan( AB ) = BtanAtan1BtanAtan

( ขางบนเครองหมายเดม,ขางลางเครองหมายเปลยน )

บทท 6. ฟงกชนตรโกณมต Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085–999–9449>

(1,0) (–1,0)

(0,1)

(0,–1)

90, /2

180,

270, 3/2

0,0

Sin All

Tan Cos (+,–) (–,–)

(+,+) (–,+)

ทวนเขม มมเปน +

ตามเขม มมเปน –

ซอ 1 แถม 5

(1) หาควอดรนตของมมทพจารณา (2) วาดมมฉากตามควอดรนต

สตรมม 2 เทา ( Double Angle ) sin 2A = 2sin A cos A

cos 2A = cos2A – sin2A ( mix ) = 2cos2A – 1 (pure cos) = 1 – 2sin2A (pure sin)

tan2A = Atan1

Atan22

สตรมม 1/2 เทา ( Half Angle )

sin2A

= 2

Acos1 cos

2A

= 2

Acos1 tan

2A

= Acos1Acos1

สตรมม 3 เทา ( Treble Angle ) sin3A = 3sinA – 4sin3A

cos3A = 4cos3A – 3cosA

tan3A = Atan31

AtanAtan32

3

สตรผลคณ ผลบวก , ผลตาง ( 8 เทพอสร ) sinA + sinB = 2sin (A+B)/2 cos(A–B)/2 2sinAcosB = sin( A+B ) + sin( A–B )

sinA – sinB = 2cos(A+B)/2 sin(A–B)/2 2cosAsinB = sin( A+B ) – sin( A–B )

cosA + cosB= 2cos(A+B)/2 cos(A–B)/2 2cosAcosB = cos( A+B ) + cos( A–B )

cosA – cosB = –2sin(A+B)/2 sin(A–B)/2 –2sinAsinB = cos( A+B ) – cos( A–B )

การแกสมการตรโกณมต (1) หามมททาใหสมการเปนจรง โดยไมดเครองหมาย (2) ตอบมมตามควอดรนตโดยท

Sin All

Tan Cos

–

+ 2– อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต ( arc ) (1) เจอ arc เหมอนเจอมม สมมตมม วาดสามเหลยม

โดย arcsin(1/2) อานวา sin อะไรได 1/2 [ a – r = อะไร ] (2) สตร arc มมตดลบ ( หามใชกรณมการเอาหลายมมมารวมกน ตองเชคโดเมนดวย )

arcsin(–x) = –arcsinx , arccos(–x) = –arccosx , arctan(–x) = –arctanx

y = arcsinx , y = arccosx , y = arctanx

[–/2,/2] [–1,1] [0,] [–1,1] (–/2,/2) R

(3) สตรยบ arctan actan x+ actan y =

xy1yx

arctan

Law of sin , Law of cosine Law of cosine a2 = b2+c2 – 2bccosA b2 = a2+c2 – 2accosB c2 = a2+b2 – 2abcosC “ ใชเมอ ร 2 ดาน 1 มม ( มมระหวางดาน )” หรอ “ ร 3 ดาน ” “ ใชเมอไมใช Law of cosine ”

c a

A C

B

b

Law of sine

aAsin

= b

Bsin =

cCsin

หรอ

Asina

= Bsin

b =

Csinc

หรอ

sinA : sinB : sinC = a : b : c

สตร พนท ใดๆ = 21

absinC , = 21

acsinB = 21

bcsinA

หลกการแกสมการรท ใชหลกการยกกาลง 2 สองฝง เปนหลก ประกอบกบ

เทคนคการเปลยนตวแปร ( ปตป. ) เขาชวย

รากทสองของ x 2 y , y2x ( ไมเนน )

y2x = a b เมอ ab = y , a+b = xP

รากทสองของ x 2 y = ( a b ) P

JUM ! “ คณกนไดตวใน บวกกนไดตวนอก ”

Ex1. 1528 = 5 + 3

แต รากทสองของ 8 + 2 15 = ( 5 + 3 )

Ex2. 247 = 627 = 6 – 1

แต รากทสองของ 7– 24 = ( 6 – 1 )

Ex3. 215 = 2

2125 =

221210

= ( 7 – 3 ) / 2

บทท 7. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และ ฟงกชนลอการทม

(0,1) (0,1)

Exponential Function

f = { (x,y)RR+y = ax , a0 , a1 }P JUM Expo จะเพมหรอ ลดดทฐาน

ฟงกชนเพม (a1 ) ฟงกชนลด ( 0a1 ) 0 1 การแกสมการ Exponential

ม 2 พจน ถา am = an แลว m = n “ใชเมอฐานเทากน ” ถา am = bn แลว m = n = 0 “ใชเมอฐานไมเทากน ”

ถา am = bn และ m n 0 “ ตอง take log ” ม 3 พจน ( เนนสดๆออกบอย )

“ จดรปเลขชกาลงพจนกลางเปนครงหนงของพจนหนา แลวแยก factor ( อาจใชเทคนค ปตป. เขาชวย ) “

ม 3 พจน “ ใชการจบคดงตวรวม + กบการแยก factor ” การแกอสมการ Exponential ใชหลกการ f เพม , f ลด เขาชวย กลาวคอ

f เพม ( a 1 ) f ลด ( 0 a 1 )

ถา am an แลว m n ถา am an แลว m n

ถา am an แลว m n ถา am an แลว m n

“ เครองหมายเดม ” “ เครองหมายเปลยน ”

สมบต log ( สตร log ) (1)* ถา logaM = N แลว M = aN ( กฎการปลด log , ดนตส ) (2) loga1 = 0 (3) logaa = 1 (4) log10x = logx

(5) lnx = logex , e 2.7183… (6) logaMN = logaM + logaN ( log ผลคณ = ผลบวกของ log ) (7) logaM/N = logaM – logaN ( log ผลหาร = ผลตางของ log ) เชน log5 = log(10/2) = log10 – log2 = 1 – log2

(8) logaM = alogMlog

N

N = alogMlog

= alog

1

M ( กฎการเปลยนฐาน log )

(9)** pa

Mlog q = qp

logaM ( บนตบบน , ลางตบลาง )

(10)** Mlogaa = M ( ฐานเทากน , ตอบเลขหลง log )

การแกสมการ log (1) log ฝงเดยว ใชกฎการปลด log , ดนตส

กลาวคอ “ ถา logaM = N แลว M = aN “ (2) log 2 ฝง ทาฐานใหเทากน แลว ปลด log ทงทง 2 ฝง กลาวคอ “ ถา logaM = logaN แลวจะไดวา M = N (3)* ตรวจคาตอบ 2 ททกครง

1. หลง log ตอง 0 2. ฐาน log ตอง 0 และ 1 การแกอสมการ log (1) log ฝงเดยว ใชกฎการปลด log , ดนตส

f เพม ( a 1 ) f ลด ( 0 a 1 )

ถา logaM N แลว M aN ถา logaM N แลว M aN

ถา logaM N แลว M aN ถา logaM N แลว M aN (2) log 2 ฝง ทาฐานใหเทากน แลว ปลด log ทงทง 2 ฝง

f เพม ( a 1 ) f ลด ( 0 a 1 )

ถา logaM logaN แลว M N ถา logaM logaN แลว M N

ถา logaM logaN แลว M N ถา logaM logaN แลว M N SA-RUP “ f เพม ปลดไดเลย f ลด เปลยนเครองหมายเปนตรงขาม ”P (3) ตรวจคาตอบ 2 ททกครง ( เหมอนสมการ log )

ฟงกชนเพม (a1 )

(1,0) (1,0)

Logarithmic Function

f = { (x,y)R+Ry = logax , a0 , a1 }P

JUM ! log จะเพมหรอลด กดทฐาน

ฟงกชนลด ( 0a1 ) 0 1

(0,1) (0,1)

y = x y = x expo expo

log

log

1 01

1

000

00

1 03

1

-20-1

24

1 03

1

-20-1

24

1 03-124

3+0+4 = 7

-24+0+0 = -24

a1 b1 c1

a2 b2 c2a3 b3 c3

k1 b1 c1

k2 b2 c2k3 b3 c3

a1 b1 c1

a2 b2 c2a3 b3 c3

k1 c1

k2 c2k3 c3

a1

a2a3

a1 b1 c1

a2 b2 c2a3 b3 c3

k1

k2k3

a1

a2a3

b1

b2b3

เรองพนฐานเกยวกบเมตรกซทควรทราบ

มตของเมตรกซ ( แถวหลก ) “ โดยหลก – ปกลงพน ”

A = 32322221

131211

aaa

aaa

การคณเมตรกซ ใชหลก “ แถวตวหนาหลกตวหลง ” เงอนไขเมตรกซ ทจะคณกนได มดงน

ทรานสโพสของเมตรกซ ( At ) “ สลบแถวสลบหลก ”

เมตรกซเอกลกษณการคณ ( I )

I =

10

01 , I = JUM IA = AI = AP

อนเวอรสการคณ ( A–1 ) JUM A–1A = AA–1 = IP

ถา A =

dc

ba แลว A–1 =

ac

bd

Adet1

เมตรกซเอกฐาน det = 0 หา A–1 ไมได

เมตรกซไมเอกฐาน det 0 หา A–1 ได

บทท 8. ระบบสมการเชงเสน และ เมทรกซ Created by P’1 Nisit tutor

สมบตพนฐานเกยวกบเมตรกซทควรทราบ 1. AB ไมจาเปนตองเทากบ BA ( ไมมสมบตสลบทการคณ )

2. (AB)t = At Bt 3. (AB)–1 A–1B–1 4. (AB)t = BtAt 5. (AB)–1 = B–1A–1

6. ( kA )–1 = (1/k)A–1 7. (kA)t = kAt

8. ( At )t = A 9. ( A–1 )–1 = A 10. ( A–1 )t = ( At )–1 11. A(B+C) = AB+AC

สตร det ทตองร 1. ถา A = B แลว detA = detB 2. detAB = detAdetB

3. det ( An ) = ( det A )n 4. det(AB) detAdetB 5. det At = det A 6. det A–1 = 1 / detA

7. ถา A มมต nn จะได det( kA ) = kndetA 8. ถาแถว หรอ หลกใดเปนศนยหมดทกตว det = 0 9. ถาสลบแถว หรอ สลบหลกกน det ใหม = – det เดม 10. คาคงทคณเมตรกซคณทกตว , คาคงทคณ det คณแคแถวหรอหลกเดยว

ดเทอรมนนตของเมตรกซ ( Det )

22 ใชหลกการ “ คณลง – คณขน ”

A =

dc

ba , detA = A =

dc

ba = ad – bc

33 ใหตอไปอก 2 หลก แลวก “ คณลง – คณขน ” A = detA =

det A = “ คณลง – คณขน ” = 7–(–24) = 31 nn det A = aijcijP ( เคยออก 1 ครง ) ;

aij = สมาชกแถว i หลก j , cij = โคแฟคเตอรของสมาชกแถว i หลก j

ไมเนอร Mij(A) , โคแฟคเตอร Cij(A) , adj(A) , A–1

A–1 = Adet

adjAP

adjA = [ cof A ]tP

cofA =

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

Cij(A) = (–1)i+jMij(A)P

Mij(A) = det เมอตดแถวท i หลกท j ทงญ

A–1 = เมตรกซผกผน adjA = เมตรกซผกพน

JUM adjA ออกสอบแค 3 สตร สตรท 1. adjA = [ cof A ]tP

สตรท 2. adjA = A–1detAO

สตรท 3. det(adjA) = (detA)n–1 P

cofA = เมตรกซทมสมาชกเปน cij(A)

Cramer’s Rule ( กฎของคราเมอร ) a1x+b1y+c1 = k1 JUM (1) หา det 4 ครง a2x+b2y+c2 = k2 (2) สวน คอ det ของเมตรกซ สปส. a3x+b3y+c3 = k3 (3) เอาคาคงทแทนลงหลก 1,2,3 เพอหา x,y,z ตามลาดบ

x = , y = , z =

ใกล = ใกล

ไกลไกล

แถว หลก

A B C mn pq mq

Row–operation ( การดาเนนการตามแถว โดยนองสามารถทาได 3 อยาง )

(1) Rij คอการสลบแถว i กบ j (2) kRi (3) Ri kRj ; k RP

โดย Row – operation มประโยชนดงน (1) ไวทาใหหา det ไดงายขน โดย R.O. จะทาใหม 0 เยอะๆ ( ใชแคขอ (3) )

1.1 อยากเปลยนแถวไหนเขยน Ri ไวทายแถว

1.2 ปลยนโดย Ri kRj ; k R

(2) ไวใชหา A–1 [ A I ] ~ [ I A–1]P

(3) ไวใชแกสมการ [ A k ] ~ [ I X ]P

“ ตองใชทง 3 ขอ ของ Row–operation และอยาลมแปลงตามท P’1 สอนไมงนพายเรอในอางแนๆ ”

ab

abc

B(–1,2,0) A(–1,2)

B(3,–1 )

A(2,–2,5 )

4-3

3-45

U

V

VU

VU

U

V

U

V

u =

= a i +b j

u =

= a i +b j +c k

ขนาด vector

u = 22 ba u = 222 cba

Vector 1 หนวย

ทมทศเดยว กบ u

uu

= 22 ba

jbia

uu

= 222 cba

kcjbia

บทท 9. เวกเตอรในสามมต Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

เรองพนฐานเกยวกบเวกเตอรในสามมตทควรทราบ 1. การบอกตาแหนง วดจากทศเหนอเปนหลกในทศตามเขม 2. การ + , – vector ดวยรปภาพ “ ใหนา vector ทจะนามาบวกกนเขยนตอกนแบบหาง–ตอ–หว ลากจากหางตวแรกไปหวตวสดทายเปนผลบวก vector ทงหมด ” 3. การประกาศ ( เรยกชอ ) vector ในระบบแกนมมฉาก

อยากประกาศ vector ทองไว “ปลาย – ตน “ AB = ( 3–(–1) ) i +( (–1)–2 ) j

AB = 4 i –3 j = BA = ( 2–(–1) ) i +( (–2)–2 ) j +( 5–0 ) k

BA = 3 i –4 j +5 k =

4. จาก u = k v จะไดวา (1) u / / v (2) u = k v (3) k 0 , u สวนทาง v แต ถา k 0 , u ทศเดยวกบ v

5. จาก a u = b v โดยท u ไมขนาน v และ u , v 0

จะไดวา a = b = 0 ( จดรป u = vab ไมได เพราะมนไมขนานกน )

การสรางเวกเตอร

ผลคณเชงสเกลาร ( Scalar Product or Dot product )

2 มต ( 2–D ) ถา u = a i +b j , v = c i +d j

u v = ac+bd “หนา i คณกน + หนา j คณกน ”

u v = u v cos “ ใชเมอรมมระหวาง u กบ v ”

3 มต ( 3–D ) ถา u = a i +b j +c k , v = d i +e j +f k

u v = ad+be+cf “หนา i คณกน +หนา j คณกน +หนา k คณกน”

u v = u v cos “ ใชเมอรมมระหวาง u กบ v ”

หมายเหต มมระหวางเวกเตอร () ตองอยในชวง 0–180 เทานน และตองมมในลกษณะหางชนกน

สงทควรรเพมเตมเกยวกบ ผลคณเชงสเกลาร

1. ถา u v แลวจะไดวา u v = 0 ( cos90 = 0 ) ทองไวเลยนะวา “ ตงฉากกน dot กน = 0 ( ออกสอบบอยมาก ) “

2. u v = v u ( การ dot สลบทการคณไดแต cross สลบไมไดนะ ) 3. การ dot ทาไดเหมอนกบการคณพหนาม ( อนนกบอยมาก )

u u = u 2 “ ตวเอง dot ตวเองไดขนาดตวเองกาลงสอง ”

( u + v )( u + v ) = u + v 2 = u 2 +2 u v + v 2 (2 u – v )(2 u – v ) = 2 u – v 2 = 4u 2 –4 u v + v 2

4. “ อยากรมมระหวางเวกเตอรคใด ใหจบมน dot กน ”

จาก u v = u v cos

จะไดวา cos = vuvu

หรอ = arccos vuvu

P

ผลคณเชงเวกเตอร ( Cross Product or Vector product ) 3 มต ( 3–D ) ถา u = a i +b j +c k , v = d i +e j +f k

u v =

fed

cba

kji

“ ทาเหมอน det 33 คณลง – คณขน ”

สงทควรรเพมเตมเกยวกบผลคณเชงเวกเตอร

1. u v คอเวกเตอรทตงฉากกบ u และ v

2. u v = –( v u ) [u v = v uขนาดเทาแตทศตรงขาม ] 3.* จากขอ 1. และ ขอ 2. จะไดวา

เวกเตอร 1 หนวยทตงฉากกบทง u , v = vu)vu(

P

4. uu = 0 ( เมตรกซท 2 แถว(หลก) ใดซากน det = 0 )

5. u v = พนท ดานขนานทม u , v เปนดานประชด

6. u ( v w ) = ปรมาตรของทรง ดานขนาน ( ทรงตน ) ทม u , v , w เปนดานระกอบ

วธลด* ปรมาตรทรงตน = det สามตว P ( เวลาคดปรมาตรทรงตนจะเรยงลาดบเวกเตอรอยางไรกได )

V

U

U

V

W

บทท 10. จานวนเชงซอน Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

เรองพนฐานเกยวกบจานวนเชงซอนทควรทราบ 1. in = i , –1 , –i , 1 โดยนา n หาร 4 แลวดเศษทเหลอ โดย เหลอเศษ 1 ตอบ i , เหลอเศษ 2 ตอบ –1 เหลอเศษ 3 ตอบ – i , เหลอเศษ 0 ( หารลงตว ) ตอบ 1 2. z = a+bi , สวนจรง Re(z)= a , สวนจนตภาพ Im(z) = b

เชน z = 2–3i , Re(z) = 2 , Im(z) = –3 3. สงยคของจานวนเชงซอน “ กลบเครองหมายหนา i ” ถา z = a+bi แลว z = a–bi เชน z = 2–3i , z = 2+3i

21 zz = 1z 2z , 21 zz = 1z 2z , 21 z/z = 1z / 2z

จานวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว ( Polar Form )

z = a+bi z ( cos +isin ) z cisP

1. หา z จากสตร z = 22 ba

2. หา จากสตร tan = b/a ( ไมตองดเครองหมาย )

3. ตอบ ตามควอดรนต ( All – Sin – Tan – Cos )

( ในกรณ z มแต a , b อยางเดยว ตอบ ตามมมประจาแกน x, y ) หมายเหต อารกวเมนต คอ มมทตามหลง cis หรอ นนเอง

กราฟของจานวนเชงซอน ( สวนใหญเปนกราฟวงกลม ) “ เจอ z ใหเปลยนเปน x+yi แลววาดกราฟเหมอนภาคตดกรวย ”

การ +, – , , จานวนเชงซอน z1 = 2–3i และ z2 = –1+2i z1+z2 = [ 2+(–1) ]+[ (–3)+2 ]i = 1 – i z1–z2 = [ 2–(–1) ]+[ (–3)–2 ]i = 3 – 5i

z1z2 ( ทาเหมอนการคณพหนาม ) = ( 2–3i )( –1+2i ) = –2 + 4i + 3i – 6i2 = –2+7i+6 = 4 + 7i

z1 / z2 (นาคอนจเกตของสวนคณไดบนและลาง จา z z = a2+b2)

= i21

i32

i21i21

= 22 2)1(i8

= 58

–51

i

คาสมบรณ และ สมบตคาสมบรณทควรทราบ

ถา z = a+bi แลว z = 22 ba

เชน z = 2–3i , z = 22 )3(2 = 13

z1z2 = z1z2 , 2

1

zz

= 2

1

z

z , z1z2 z1z2

zn = zn , z = z , z z = a2+b2 = z2 P

เชน z = 2–3i z z = 22+(–3)2 = 13

ระวงไมเหมอนเวกเตอร 221 zz 2

2212

1 zzz2z 2

21 zz = ( z1+z2 )( 21 zz ) = ( z1+z2 )( 21 zz )

= 221221

21 zzzzzz

จานวนจนตภาพแท คอ จานวนเชงซอนทสวนจรง = 0 เชน 2i

อนเวอรสการคณของจานวนเชงซอน (z–1)

สมบตจานวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว

ถา z1 = z1 cis1 , z2 = z2 cis2

z1z2 = z1z2 cis( 1+2) “ เชงขวคณกนขนาดคณกนมมบวกกน ”

z1 / z2 = 2

1

z

z cis( 1–2) “ เชงขวหารกนขนาดหารกนมมลบกน ”

zn = zn cisn , n I “ทฤษฎบทของเดอมวฟ “P ระวง !!! ถา n เปนเศษสวนจะเปนเรองการหารากท n

การหารากท n ของจานวนเชงซอน แบบท 1. ไมม i ใชการแยก factor เปนหลก

แบบท 2. ม i รากทสอง z1/2 = z =

i2

az2

az

รากท 2 ใชการแยก factor ( ถาแยกได ?!? )

ถาแยกไมได z1/n = z1/ncis

nk2 πθ

, k 0,1,2,…,n–1P

Tip “ รากแรกเหมอนเดอมวฟ (Z0 = z1/ncisnθ

) รากตอไปมวๆ +ดวยn

2π”

การแกสมการพหนาม ( Polynomial equation )

กาลง 2 แยก factor , ถาแยกไมไดใชสตร x = a2

ac4bb 2

กาลง 3 จบคดงตวรวม หรอ หารสงเคราะห ( Synthetic Division ) Tip หารสงเคราะห (1) ถาผลรวมสมประสทธ = 0 “ 1 ใชได ” (2) ถาผลรวมสมประสทธสลบกนเทากน “ –1 ใชได “

สงทควรรเกยวกบก ารแกสมการพหนาม 1. ทฤษฎของ z กบ z สมการพหนามซง สปส.ทกตว R

ถา z = a + bi เปนคาตอบของสมการ z = a – bi เปนคาตอบดวยญ

เชน ถาโจทยบอกวา 2–i และ 3i เปนคาตอบของสมการ f(x) = 0 แปลวา f(x) = a [ x–( 2–i ) ] [ x–( 2+i ) ] [ x–( 3i ) ] [ x–(–3i ) ] = a [ ( x–2) –i ] [ ( x–2)+i )] ( x–3i ) ( x+3i ) ระวง!! สปส. หนาสดถาโจทยไมบอกมาหามคดวา = 1

( ในโจทยจะมเงอนไขเหลอใหหา สปส.ตวหนาเอง ) 2. กฎของวต xn+axn–1+bxn– 2+ ... + z = 0 ( หนาสดตองเปน 1 นะ ) จะได ผลบวกคาตอบทงหมด = –a

ผลคณคาตอบทงหมด = z , n เปนจานวนค = –z , n เปนจานวนค

z1

z 1

บทท 11. ลาดบ และ อนกรม Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

ลาดบและอนกรมเลขคณต “ ขวา – ซาย = คาคงท (d ) ” an = a1 + (n–1)dd

Sn = 2n

( a1+an ) = 2n

[ 2a1+(n–1)d ]P

ลาดบและอนกรมเรขาคณต “ ขวา ซาย = คาคงท ( r ) ”

an = a1rn–1 , Sn =

r1)r1(a n

1

, S = r1

a1

, r 1P

สมบตทควรทราบ

(1)

N

1ic = Nc “คาคงทไดคาคงทคณ N” ,

6

1i5 =5(6) = 30

(2)

N

1iikx =

N

1iixk “ คาคงทดงออกนอกได ” , 5x = 5x

(3)

N

1iii )yx( =

N

1ii

N

1ii yx “ แจกไดแตแจก, ไมได ”

สญลกษณ ความหมาย รปยอ สตร

n

1ii 1+2+ … +n n

2)1n(n

n

1i

2i 12+22+…+n2 2n 6

)1n2)(1n(n

n

1i

3i 13+23+…+n3 3n 22 ]2

)1n(n[]n[

ลมตของลาดบอนนต nn

alim

1. ใหแทนคา n = ลงใน an ไดคาเทาไรกตอบเทานน โดยท

0k

= , k

= 0 , k

= , k0

= 0

2. ถาแทนแลวไดคาเปน 00

,

, – หามสรป! ใหรบทาตอโดย

2.1 ดงตวรวม 2.2 แยกแฟกเตอร 2.3 คณดวยคอนจเกต 3. ในกรณท an อยในรปฟงกชนตรรกยะ ใหพจารณาดงน

3.1 ถาดกรสงสดของเศษ สวน ตอบ หาคาไมได ( ,– ) 3.2 ถาดกรสงสดของเศษ = สวน ตอบ สปส. / สปส.

3.3 ถาดกรสงสดของเศษ สวน ตอบ 0 4. ในกรณท an อยในรปเศษสวน expo ใหพจารณาดงน

4.1 ถาฐานสงสดของเศษ สวน ตอบ หาคาไมได ( ,– ) 4.2 ถาฐานสงสดของเศษ = สวน ตอบ สปส. / สปส.

4.3 ถาฐานสงสดของเศษ สวน ตอบ 0

อนกรมจากด ( ผลบวก n พจนยอย , Sn )

1. อนกรมจากดทเกดจากการ take ( Sn = an )

จากนยามวา Sn = a1+a2+…an จงสรปไดวา Sn = anP

“ขนแรกหา an กอน , take ,ใชสตร n , 2n , 3n เขาชวย” 2. อนกรมเลขคณตจากด

Sn = 2n

( a1+an ) , ใชเมอร an , Sn = 2n

[ 2a1+(n–1)d ] , ใชเมอร dP

3. อนกรมเรขาคณตจากด Sn = r1

)r1(a n1

, r 1P

4. อนกรมแยกเศษสวนยอย ( แบบท n อยทสวน ) เชน

Sn = 53

1

+75

1

+ … ( 2 พจนแบบตดพจน ตอ พจน งาย )

Sn = 51

1

+73

1

+ … ( 2 พจนแบบตดขามพจน ยากหนอย )

Sn = 432

1

+543

1

+ … ( 3 พจน ขออยาเจอตดขามพจน! )

ใหจด an=

ตวหลง1

ตวหนา1

d1

, an=

ตวหลง21

ตวหนา21

d1

มกจะเปนเลขคณต ตองเปนเรขาคณต

อนกรมอนนต ( ผลบวกอนกรมอนนต , nn

Slim

, S )

1. อนกรมอนนตทเกดจากการ take

an an = Sn nn

Slim

= S

ถา nn

Slim

, S หาคาได จะเรยกวา “ อนกรมคอนเวอรเจนต ”

ถา nn

Slim

, S หาคาไมได จะเรยกวา “ อนกรมไดเวอรเจนต ”

ถา nn

alim

หาคาได จะเรยกวา “ ลาดบคอนเวอรเจนต ”

ถา nn

alim

หาคาไมได จะเรยกวา “ ลาดบไดเวอรเจนต ”

2. อนกรมเลขคณตอนนต ( ทกอนกรมเปนไดเวอรเจนตหมด ยกเวน 0+0+ .... จงเปนคอนเวอรเจนต และม ลมต = 0 )

3. อนกรมเรขาคณตอนนต S = r1

a1

, r 1P

4. อนกรมแยกเศษสวนยอยอนนต , Tele–scropic คอ การนาอนกรมแยกเศษสวนยอย ( จากด ) มา take

nlim

( เนนแบบนมากๆ ปหลงๆออกบอย !! ) 5. อนกรมผสมเลข – เรขาคณต ( A.G.S ) ( อนนกเนน )

an = สวนเศษ

เวลาทาใหเอา 1/r คณตลอด ( ลองดวธทาโดยละเอยดในชทอกท )

Take Take lim

บทท 12. แคลคลสเบองตน Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

วธการหาคา )x(flimax

1. ใหแทน x = a ลงใน f(x) ไดคาเทาไรตอบเทานน โดยท

0k

= , k

= 0 , k

= , k0

= 0

2. ถาแทนแลวได 00

,

, – หามสรป! ใหรบทาตอโดยการ

2.1 ดงตวรวม 2.2 แยก factor 2.3 คณดวยคอนจเกต2.4 ใชกฎของโลปตาล ( L’Hopital’s Rule ) ( ไมเคยออก )

ความตอเนองของฟงกชน 1. )x(flim

ax f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคาใกลๆ a

จะหาคาไดกตอเมอ ( ลมตซาย = ลมตขวา )

2. )x(flimax

f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x a อยนดๆ

3. )x(flimax

f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x a อยหนอยๆ

4. f(a) f(x) มคาเทากบเทาไร ถา x = a หมายเหต )x(flim

ax = ลมตขวา , )x(flim

ax = ลมตซาย

นยาม f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ วธท 1. สามารถวาดกราฟผานจด x = a ไดโดยไมยกปากกา วธท 2. (1) f(a) หาคาได (2) )x(flim

ax หาคาได

(3) (1) = (2) อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน ( อตกปป.) ม 2 แบบ

1. โดยเฉลย = 12

12

xx)x(f)x(f

2. ขณะ x มคาใดๆ = h

)x(f)hx(flim

0h

หรอ

( อนพนธอนดบท 1 , ดฟครงท 1 , y , f(x) , dxdy

) เทคนคการหาอนพนธ ( สตร diff ) 1. ถา f(x) = c แลว f(x) = 0

2. ถา f(x) = xn แลว f(x) = nxn–1 [ f(x) = x ,f(x) = 1 ]

3. ถา f(x) = cg(x) แลว f(x) = c[ g(x) ]

4. ถา f(x) = g(x) + h(x) แลว f(x) = g(x) + h(x)

5. ถา f(x) = g(x)h(x) แลว f(x) = g(x)h(x) + h(x)g(x)

6. ถา f(x) = )x(h)x(g

แลว f(x) = 2)]x(h[)x(h)x(g)x(g)x(h

7. ถา f(x) = [g(x)]n แลว f(x) = n[g(x)]n – 1 [g(x)]

8. ถา y = fog(x) = f[g(x)] แลว y = f[g(x)][g(x)]

ถา y = gof(x) = g[f(x)] แลว y = g[f(x)][f(x)]

ความชนเสนโคง [ f(x) = ความชนเสนโคงท x ใดๆ ]

mโคง = mผสญ

จะไดวา f(a) = k1

f(b) = k2 x = b x = a

m = k2

m = k1

คาสงสดสมพทธ และ คาตาสดสมพทธ ขนท 1. หาคาวกฤตกอน โดยคาวกฤตม 2 ความหมาย กลาวคอ

– คา x ททาให f(x) = 0 , f(c) = 0

– คา x ททาให f(x) หาคาไมได , f(c) = หาคาไมได ขนท 2. เรยงคาวกฤตทไดจากนอยไปมาก แลวพจารณาดงน

– ถาหนา f(x) เปน + ขวามอสดเปนจดตาสดแลวสลบไปเรอยๆ

– ถาหนา f(x) เปน – ขวามอสดเปนจดสงสดแลวสลบไปเรอยๆ – ในกรณทคาวกฤตซากบเปนจานวนค อาจจะเปนจดเปลยนเวา – ในกรณทคาวกฤตซากบเปนจานวนค ใหพจารณาตามปกต คาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ คาสงสดสมบรณ คอ คาทสงทสดในบรรดาคาสงสดสมพทธ

กบ คา y ทตนชวง และ ปลายชวง คาตาสดสมบรณ คอ คาทตาทสดในบรรดาคาตาสดสมพทธ

กบ คา y ทตนชวง และ ปลายชวง

เทคนคการอนทเกรต ( สตรอนทเกรต )

1. ckxkdx

2. dxxfkdxxkf )()(

3. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

4. cn

xdxx

nn

1

1

เมอ n –1

การกระจด s(t) , ความเรว v(t) , ความเรง a(t) ( ไมเนน )

ความเรว v(t) โดยเฉลย = 12

12

tt)t(s)t(s

ขณะ t ใดๆ = s(t) = v(t)

ความเรง a(t) โดยเฉลย = 12

12

tt)t(v)t(v

ขณะ t ใดๆ = v(t) = a(t) SA–RUP s(t) v(t) a(t)

v(t) = s(t) a(t) = v(t) = s(t)

การเรยงของตดกน , ของแยกกน , ของซา ของตดกน “ อยากใหอะไรตดกนเอามามด ” ของแยกกน “ อยากใหอะไรไมตดกนเอามนไปแทรก ” ของซา = ( ตาง! )/ ( ซา! )

เชน AAABBC เรยงไดทงหมด ( 6! ) / ( 3!2! ) วธ

2

2

dxyd

โจทยปญหาทเกยวของกบอนทเกรต

b

a

)x(f dx f(x) f(x) f(x)PPPPP

– พ.ท.ทปดลอมดวยเสนโคง – สมการเสนโคง – ความชนเสนโคง – อตราการเปลยนแปลงความชน

y = f(x) กบแกน x – สมการ xxx – ความชนเสนสมผส – y , , อนพนธอนดบ 2 ตงแต x = a ถง x = b – y – อตราการเปลยนแปลง xxx

– y , dxdy

, อนพนธอนดบ 1

อนทกรล( ปรพนธ )จากดเขต คอ อนทเกรตเสรจแลวไมตองบวกคา c b

a

)x(f dx = F(b) – F(a) , F(x) = dx)x(f

บทท 13. ความนาจะเปน Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

กฏเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ( กฎการนบ ) 1. งานคออะไร ( พยายามสมมตตวเองใหอยในเหตการณนน ) 2. งานนนแบงเปนกขนตอน ( ดวา move กครง ) 3. แตละขนตอนทาไดกวธ โดยท 3.1 แยกขนตอนใชกฎการคณ 3.2 แยกกรณใชกฎการบวก ( ถางานมหลายขนตอนใหทาขนตอนทมปญหามากสดกอนเสมอ )

แฟคทอเรยล ( Factorial , n! ) , n I+ , I0

n! = n(n–1)(n–2)…321P ; 0! = 1! = 1

การเรยงสบเปลยน , nPr nPr =

)!rn(!n

ญ 5P3 = 543 ( เรมท 5 ถอย 3 ครง ) 6P2 = 65 ( เรมท 6 ถอย 2 ครง )

nPr คอ จานวนวธในการเลอกของ n สงมาจดเรยงกนคราว

ละ r สง โดยเราสามารถใชกฎการนบแทน nPr ได

ถามของ n สงนามาเรยง ( เสนตรง ) ทง n สงทาได n! วธ

พนททปดลอมดวยเสนโคง y = f(x)

a b

a c b

y = f(x) a b

y = f(x)

y = f(x)

A = b

a

)x(f dx A = b

a

)x(f dx A b

a

)x(f dx แต A = c

a

)x(f dx + b

c

)x(f dx

ดฟ

อนทเกรต

ดฟ

อนทเกรต

ดฟ

อนทเกรต

การเรยงของเปนวงกลม “ fix ไว 1 จด แลวทเหลอคดเหมอนเรองเสนตรง “

ถามของ n สงนามาเรยง ( วงกลม ) ทง n สงทาได (n–1)! วธ ถาเปนวงกลม 3 มตจานวนวธ = ครงหนงของวงกลมปกต

การจดหม , nCr

nCr = )!rn(!r

!n

10C8 = 10C2 = 12910

8C5 = 8C3 = 123678

nCr คอ จานวนวธในการเลอกของ n สงมาจดกลมกนคราวละ r สง

โจทยการจดหมลาดบตองไมสาคญ ( ลาดบสาคญใชกฎการนบ )

– มของ 5 สงนามาเรยง 3 สงทาได 543 = 60 วธ

– มของ 5 สงนามาจดกลม 3 สงทาได 5C3 = 1245

= 10 วธ

การหาจานวนฟงกชน

นยาม ฟงกชนจาก A ไป B ( f : AB )

Df = A , Rf B ( โดเมนตองใชหมด , เรนจใชไมหมด )

ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ( f : AB ) Df = A , Rf = B ( โดเมนตองใชหมด , เรนจกตองใชหมด )

ขนตอนการหาจานวนฟงกชนมดงน 1. กรอกโดเมนใหครบ ( โดเมนตองใชหมด , Df = A ) 2. เลอกเรนจตามเงอนไข

onto

ทฤษฎบททวนาม ซากลม !

(a+b)n = nC0anb0 + nC1a

n–1b1 + nC2an–2b2 + ..+nCna

0bnP

จากการกระจาย ( a+b)n จะไดขอสงเกตดงน 1. กระจายได n+1 พจน 2. ดกรตวหนา ( a ) จะลดลงทละ 1 จาก an จนถง a0 3. ดกรตวหลง ( b ) จะเพมขนทละ 1 จาก b0 จนถง bn

4. เราสามารถหาพจนท r+1 จากสตร Tr+1 = nCran – rbrPP

การแบงกลมสงของ ( เชน โจทยการจดคนเขาหอง ) 1. ทกกลมมจานวนสงของไมเทากน = ตาง ! / ซา ! 2. บางกลมมจานวนสงของเทากน = ตาง ! / ( ซา! )( ซากลม! )

= 5! / 3!2! = 6!/ 3!3!(2!)

ความนาจะเปน ( Probability , P(E) )

P(E) = )S(n)E(n

= ทงหมดสนใจ

P

n(E) = จานวนเหตการณทเราสนใจ ( E S ) n(S) = จานวนเหตการณทสามารถเกดไดทงหมด ( เกดแบบไมมเงอนไข )

สมบตทควรทราบ

(1) P(E) = 1 – P(E) (2) 0 P(E) 1 , 0% P(E) 100% ความนาจะเปน 2 เหตการณ ม 2 แบบ (1) 2 เหตการณเกยวของกน ใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

ใช P(AB) = P(A)+P(B)–P(AB)

(2) 2 เหตการณอสระกน ใช P(AB) = P(A)P(B) ( มกจะเกดตอเนองกน )

“ ในการหาคา P(E) ใหเรมจากการหา n(S) กอนเสมอ แลวจงหา n(E) ”P

ตารางแจกแจงความถ

คะแนน จานวน ขอบ ลาง

ขอบ บน

จดกง กลาง

ความถ สะสม

ความถ สมพทธ

ความถ สะสม สมพทธ

5 – 9 4 4.5 9.5 7 4 4/20 4/20

10 – 14 8 9.5 14.5 12 12 8/20 12/20

15 – 19 5 14.5 19.5 17 17 5/20 17/20

20 – 24 3 19.5 24.5 22 20 3/20 20/20

สตรนใชเฉพาะขอมลเปนจานวนเตม และทกชนกวางเทากน – ขอบลาง = min – 0.5 – ขอบบน = max + 0.5 – จดกงกลาง = ( max+min ) / 2 – ความถสะสม = ผลรวมความถในชนนนกบชนทคะแนนตากวา – ความถสมพทธ = ความถในชนนน / ความถทงหมด – ความถสะสมสมพทธ = ความถสะสมในชนนน / ความถทงหมด – ความกวางอนตรภาคชน = max – min + 1

คากลางของขอมล ( ม 6 ตว แตเคยออกสอบแค 3 ตว )

(1) คาเฉลยเลขคณต ( , x )

1.1 ขอมลดบ ดบ = x ดบ = N

xi

1.2 ขอมลในตาราง ตาราง = x ตาราง = N

xf ii

เมอ fi คอ ความถในแตละชน , xi คอ จดกงกลางในแตละชน

1.3 ลดทอนขอมล ลดทอน = x ลดทอน = a + d I = a +

Ndf ii I

โดยท a คอ จดกงกลางอนตรภาคชนท d = 0 di คอ จดกงกลางสมมต , I คอ ความกวางอนครภาคชน

1.4 ขอมลถวงนาหนก ถวง = x ถวง =

i

ii

wxw

เมอ wi คอ ความสาคญในคะแนนแตละตว , xi คอ คะแนนแตละตว

1.5 ขอมล 2 กลม รวม = x รวม = ...NN

...xNxN

21

21

(2) มธยฐาน ( Median,Me )

2.1 ขอมลดบ มขนตอนดงน 1. เรยงขอมลจากนอยไปมาก

2. ตาแหนงของ Me = 2

1N เมอ N คอจานวนขอมลทงหมด

3. ถาตาแหนงไมลงตวใหนาคาขอมลบวกกนหาร 2 2.2 ขอมลในตาราง มขนตอนดงน

1. หาตาแหนงของ Me จาก สตร 2N

( ตองทาขนนกอนเสมอ )

2. หาวาตาแหนงนนอยชนไหนโดยดจากความถสะสม ( ดชอง F )

3. ใชสตร If

f2N

LMem

L

โดย L = ขอบลางชนท Me อย Lf = ผลรวมความถชนทคะแนนตากวา I = ความกวางของอนตรภาคชน fm = ความถในชนท Me อย

(3) ฐานนยม ( Mode,Mo ) คอ คาของขอมลทมความถมากทสด ( หมายเหต ฐานนยมอาจจะม 1 คา , หลายคา , หรอไมมเลยกได ) 3.1 ขอมลดบ Mo = ขอมลทมความถสงสด 3.2 ขอมลในตาราง Mo = จดกงกลางชนทมความถสงสด

63

35

3

2

บทท 14. สถต Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

สมบตของ , x , Me ทควรร 1. )x( i μ , )xx( i = 0

2. ถา 2i )Mx( มคานอยทสดจะไดวา M = , x

3. ถา Mxi มคานอยทสดจะไดวา M = Me

10%10%10%10% …….. 10%

D1 D2 D3 D4 D9

การวดตาแหนงของขอมล ความหมายของควอไทล(Qr) , เดไซล (Dr) , เปอรเซนตไทล (Pr)

“ JUM ตวเลขทหอย ( r ) คอ ตวเลขแหงความพายแพ ”P

Qr ถา P’1 สอบไดคะแนนตรงกบ Q3 หมายความวา ถามคนสอบพรอม

P’1 x คน จะแพ P’1 43

x คน 25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

Dr

ถา P’โดม สอบไดคะแนนตรงกบ D4 หมายความวา ถามคนสอบพรอม

P’โดม x คน จะแพ P’โดม104

x คน Pr ถา P’เคน สอบไดคะแนนตรงกบ P15

หมายความวา ถามคนสอบพรอม

Pเคน x คน จะแพ P’เคน 10015

x คน การหาคา Qr , Dr , Pr ขอมลดบ มขนตอนดงน (1) เรยงขอมลนอย มากแลวหาตาแหนง Qr , Dr , Pr จากสตร

ตาแหนงของ Qr = 4

r)1N(

ตาแหนงของ Dr = 10

r)1N(

ตาแหนงของ Pr = 100

r)1N(

(2) ถาตาแหนงลงตวใหตอบคาขอมลทตาแหนงนน

(3) ถาตาแหนงไมลงตวใหใชสตร “ ทศนยม ผลตาง “ แลวจงนาคาทไดบวกกบตาแหนงตงตน

ขอมลในตาราง มขนตอนดงน

If

f4

Nr

LQrQ

Lr

If

f10Nr

LDrD

Lr

If

f100Nr

LPrP

Lr

(1) หาตาแหนง Qr , Dr , Pr จากสตร

4Nr

, 10Nr

, 100Nr

( ดชองความถสะสม F )

(2) หาคาของ Qr , Dr , Pr จากสตรดานซาย L = ขอบลางของชนท Qr , Dr , Pr อย r = ลาดบของ Qr , Dr , Pr

rrr PDQ f,f,f = ความถในชนท Qr , Dr , Pr อย

N = จานวนขอมลทงหมด

Lf = ผลรวมความถชนทคะแนนตากวา I = ความกวางของอนตรภาคชน

การวดการกระจายขอมล แบงเปน 2 ชนด คอ (1) การวดการกระจายสมบรณ ( หามใชในการเปรยบเทยบ ) – พสย ( Range ) ขอมลดบ = xmax– xmin ขอมลในตาราง = ขอบบนmax – ขอบลางmin – สวนเบยงเบนควอรไทล หรอ กงชวงควอรไทล ( Q.D. )

ขอมลดบ ,ขอมลในตาราง = 2

QQ 13

–สวนเบยงเบนเฉลย ( M.D.)

ขอมลดบ = N

xxi =

N

xi μ

เมอ ix คอ ขอมลตวท i ( ขอมลแตละตว )

ขอมลในตาราง =N

xxf ii =

N

xf ii μ

เมอ ix คอ จดกงกลางในแตละชน , if คอ ความถในแตละชน.

– สวนเบยงเบนมาตรฐาน ( S.D. , S , ) ( ดทสด )

ขอมลดบ = N

)x( 2i μ

= 22i

Nx

μ

S = 1N

)xx( 2i =

22i

1NxNx

เมอ ix คอ ขอมลตวท i ( ขอมลแตละตว )

ขอมลในตาราง = N

)x(f 2ii μ

= 22i

Nfx

μ

S = 1N

)xx(f 2ii =

1NxNxf

22ii

เมอ ix คอ จดกงกลางในแตละชน , if คอ ความถในแตละชน.

ความแปรปรวน ( Variance )

ความแปรปรวนขอบประชากร ( 2 )

ขอมลดบ N

)x( 2i μ

= 22i

N

xμ

ขอมลในตาราง N

)x(f 2ii μ

= 22i

N

fxμ

ความแปรปรวนของตวอยาง ( S2 )

ขอมลดบ 1N

)xx( 2i =

22i

1N

xNx

ขอมลในตาราง 1N

)xx(f 2ii =

1N

xNxf22

ii

หมายเหต สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน ของกลมตวอยางยงไมเคยออก Ent แตระวงบางกด

P1 P2 P3 P4 …….. P99

1%1%1%1%1% . . .. 1%

Tip ถาตาแหนง Me , Qr , Dr , Pr ( 2N

,4

Nr,10Nr

,100Nr

) ตรงกบคนสดทายชนไหนใหตอบขอบบนชนนน JUM “ ขอบบน – คนสดทาย “P

ความแปรปรวนรวม

(1) ถา 1=2 , 2รวม =

....NN....NN

21

222

211

σσ

(2) ถา 12 , 2รวม = สตรยาวมากจงควรใชวธ

x2รวม = x1

2+ x22 แลวจงไปหา 2

รวม

ความหวนไหวของ ( x ) , Me , Mo , Range , Q.D. , M.D. , ( S.D.) , 2(S2) x1 , x2 , .., xN A B C D E F G G2

x1k , x2k , …, xNk Ak Bk Ck D E F G G2

kx1 , kx2 , …, kxN kA kB kC kD kE kF kG k2G2

“ 3 ตวแรก +,–,, คดหมด , 4 ตวหลง +,– ไมคด คดแต , และ ตองเปนบวกเสมอ “

(2) การวดการกระจายสมพทธ (ไวใชเปรยบเทยบ) ( JUM! ทงสมบณและสมพทธมตววด 4 ตวเหมอนกน ) –สมประสทธของพสย

ขอมลดบ = minmax

minmax

xxxx

ขอมลในตาราง = minmax

minmax

ขอบลางขอบบนขอบลางขอบบน

–สมประสทธของ สวนเบยงเบนควอไทล

ขอมลดบ , ขอมลในตาราง = 13

13QQQQ

–สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

ขอมลดบ , ขอมลในตาราง = μ

.D.M ,

x.D.M

–สมประสทธของการแปรผน ( C.V. )

ขอมลดบ , ขอมลในตาราง = μ

σ ,

x.D.S

ตวยางเชน

ขอมลชดท 2 กระจาย ขอมลชดท 1.

เพราะ CV2 CV1 ( หรอ S.D. ไมไดหมายความวากระจายมากกวา )

คามาตรฐาน ( คะแนนมาตรฐาน,z ) คอ คาทไวใชเปรยบเทยบคะแนนดบจากขอมล 2 กลมขนไปวาคะแนนดบตวใดมคามากกวา

Zi = σ

μixP หรอ Zi =

sxxi P

โดยท (1) Z = 0 “ ผลรวมคา Z ของขอมลทกตวมคาเทากบ 0 เสมอ ”

(2) Z2 = N “ ผลรวมกาลงสองของคา Z มคาเทากบจานวนขอมลเสมอ “

(3) Z ( SDZ ) = 1 “ สวนเบยงเบนมาตรฐานของคา Z มคาเทากบ 1 เสมอ ” พนทใตโคงปกต ( เนนสดๆ ออกสอบทกป )

คะแนนดบ ( xi )P คามาตรฐาน ( Z )P พนทใตโคงปกต ( A )P เปอรเซนตไทล ( Pr )P

สงทควรรเกยวกบ xi สงทควรรเกยวกบ Z สงทควรรเกยวกบ A สงทควรรเกยวกบ Pr

1. )x( i μ , )xx( i = 0 1. Zi = σ

μix , 1. พนทใตโคงคอคาความนาจะเปน 1. r คอ ตวเลขแหงความพายแพ

2. ถา 2i )Mx( มคา Min Zi =

sxxi 2. พนทจากตารางวดจากแกนกลางเสมอ 2. ถา Z 0 แลว Pr จะ 50

จะไดวา M = , x 2. Z = 0 เชน z = 1 , A = 0.3413

3. ถา Mxi มคา Min 3. Z2 = N

จะไดวา M = Me 4. Z = 1

( SDZ = 1 ) 3. พนท 2 ฝง สมมาตรกน 3. ถา Z 0 แลว Pr จะ 50

เชน z = 1 ตรงกบ Pr ท 84.13

เชน z = 1 , A = 0.3413

เชน z = –1 , A = 0.3413

A = 0.5

เชน z = –1 ตรงกบ Pr ท 50 – 34.13 = 15.87

ขอมลชดท 1.

( S.D.) = 3

( x ) = 2

ขอมลชดท 2.

( S.D.) = 2

( x ) = 1

การแจกแจงความถของขอมล

คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน

ฐานนยม

ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม

ขอมลสวนใหญมคานอย เชน คะแนนสอบของนกเรยน เมอขอสอบยาก

ฐ

ขอมลสวนใหญมคามาก เชน คะแนนสอบของนกเรยน เมอขอสอบงาย คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = ฐานนยม

แจกแจงปกต เบขวา เบซาย ( เอามอ ( เอามอขวาตบ ) ซายตบ )

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล คอ การพยากรณคาตวแปรตาม เมอทราบคาตวแปรตน ( ตวแปรอสระ ) แบบท 1. สมพนธกนเปนรปเสนตรง รปสมการทวไป : Y = mX + c

สมการปกต :

n

1iiy =

n

1iixm + cN ----- “ JUM Take ” A

สงทควรร

n

1iiiyx =

n

1i

2ixm +

n

1iixc ----- “ JUM Take x ” A

(1) ตวแปรตนนยมแทนดวย x ตวแปรตามนยมแทนดวย y ( แตในบางครงจะขนอยกบโจทย ) และตองเอาตวแปรตนทานายตวแปร ตาม หามเอาตวแปรตามมาทานายตวแปรตนยอนกลบ

(2) สมการเสนตรงทไดจะผานจด ( x , y ) เสมอ (3) การหาคา m , c สามารถทาได 2 วธ

. . . .

. . .

. . . . . .

3.1 ใชการแกสมการปกต 2 สมการ 2 ตวแปร

3.2 ใชสตร m =

22 xnxyxnxy

,, cc == xmy

ตรงกลาง ปทใหมกวา ปทเกากวา

ขอมลทอยในรปอนกรมเวลา คอ การพยากรณคาตวแปรตาม เมอตวแปรตนเปนขอมลเชงคณภาพ ( เชน ป , เดอน ) โดยเราจาเปนตองสมมตตวเลขขนมาแทนคาตวแปรตนเหลานน ดงน แลวจงแกสมการหาคาคงทตามตองการ ( เหมอนขอมลปกต )

(1) ถาโจทยใหจานวนตวแปรตนมาเปนจานวนค ..... , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …… “ เวนชองไฟทละ 1 ” (2) ถาโจทยใหจานวนตวแปรตนมาเปนจานวนค ..... , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , …… “ เวนชองไฟทละ 2 “

แบบท 2. สมพนธกนเปนรปพาราโบล า ( ยงไมเคยออก ent ไมเนน ) รปสมการทวไป : Y = aX2 + bX + c

สมการปกต :

n

1iiy =

n

1i

2ixa +

n

1iixb + cN ----“ JUM Take ”

n

1iiiyx =

n

1i

3ixa +

n

1i

2ixb +

n

1iixc ----“ JUM Takex ”

n

1ii

2i yx =

n

1i

4ixa +

n

1i

3ixb +

n

1i

2ixc ----“ JUM Takex2 ”

. . . .

. . .

.

. . .

.

. . .

.

. . .

. . . . . . . . .

สงทควรร (1) ปกตสมการพาราโบลาทไดจะไมผานจด ( x , y ) (2) การหาคา a , b และ c สามารถทาได 2 วธ กลาวคอ 2.1 ใชการแกสมการปกต 3 สมการ 3 ตวแปร ( พยายามจดรปตวแปรใดตวแปรหนง ใหอยในรปอกสองตวแปร เชน

a = k1b+k2c แลวแทนยอนกลบไมใน 2 สมการทเหลอ เพอจะได 2 สมการ 2 ตวแปร แลวคอยเรมแก )

และ ถาโจทยปราณ!! จะจงใจให x = 0 ( จะสงผลให x3 = 0 ตามไปดวย ) 2.2 ใชเมตรกซเขาชวย ( Row – Operation ) แบบท 3. สนพนธกนเปนรปเอ กซโพเนนเชยล ( ยงไมเคยออก ent ไมเนน )

รปสมการทวไป : Y = abX หรอ Take log แลวจดรป logy = loga + xlogb

สมการปกต :

n

1iiylog = Nloga+ ( logb)

n

1iix ----“ JUM Take ”

n

1iii ylogx = ( loga )

n

1iix +

n

1i

2ix)b(log ----“ JUM Takex ”

สงทควรร (1) การหาคา loga , logb สามารถทาได 2 วธ กลาวคอ 1.1 ใชการแกสมการปกต 2 สมการ 2 ตวแปร

1.2 ใชสตรลด logb = 22 xnxylogxnylogx

, loga = ylog – x logb

หมายเหต สตรลดจะใชไดเฉพาะเมอรปสมการทวไป เปน Y = abX ถาเปนแบบอนตองใชวธ take

บทท 15. กาหนดการเชงเสน Created by P’1 Nisit tutor <Tel. 085 – 999 – 9449>

เทคนคการวาดกราฟอสมการเสนตรง (1) วาดเสนตรงตามปกต ( หาจตก. x , จตก. y , ลากเชอม ) (2) จด y อยซายมอของอสมการ ( หนา y ตองเปนบวก )

(3) ถาเปนเครองหมาย , ใหแรเงาลง (4) ถาเปนเครองหมาย , ใหแรเงาขน ( 5 ) , เสนประ , เสนทบ

ขนตอนการทาโจทยปญหา (1) กาหนดใหไดเสยกอนวาจะให x , y แทนอะไร (2) สรางฟงกชนวตถประสงคโดยดจากสงทโจทยถาม

(3) สรางอสมการเงอนไข (4) วาดกราฟอสมการเงอนไข (5) หาอาณาบรเวณทเปนไปได ( สวนทอนเตอรเซก ( ) กน ) (6) นาจดมมทงหมดของอาณาบรเวณทเปนไปไดแทนลงฟงกชนวตถประสงคเพอหาคาสงสดหรอตาสดตามทโจทยถาม หมายเหต ขอสอบ PAT มกจะใหขน (1) , (2) , (3) มากอนทาใหเราเรมวาดกราฟอสมการเงอนไขไดเลย