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UNIDAD V LA PARBOLA OBJETIVO PARTICULARAl concluir la unidad, el alumno identificar y aplicar las propiedades relacionadas con el lugar geomtrico llamado parbola, determinando los distintos parmetros, su ecuacin respectiva y viceversa.

Se le llama parbola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales. 5.1 ECUACIN EN FORMA ORDINARIA O CANNICA 5.1.1. ELEMENTOS DE LA PARBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ, PARAMETRO Y LADO RECTO. (FIG. 1): Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parbola cuenta con una serie de elementos o parmetros que son bsicos para su descripcin, mismos que se definen a continuacin: VRTICE (V): Punto de la parbola que coincide con el eje focal. EJE FOCAL (ef): Lnea recta que divide simtricamente a la parbola en dos ramas y pasa por el vrtice. FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parbola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vrtice. DIRECTRIZ (d): Lnea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vrtice y fuera de las ramas de la parbola. DISTANCIA FOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vrtice y foco, as como entre vrtice y directriz. CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parbola. CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco. LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Para ilustrar las definiciones anteriores, se ejemplifica con la siguiente grfica de una parbola:

d p

rama de la parabola

ef

V

F

4p = LR

p

rama de la parabola FIG. 1

5.1.2. ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE EST EN EL ORIGEN. La ecuacin algebraica que describe a la parbola se encuentra expresada en funcin de la posicin geomtrica de los elementos que la conforman, as como de la orientacin propia de la misma, resultando en una ecuacin caracterstica de cada caso particular. A efecto de ejemplificar la forma de obtener la ecuacin mencionada, se trabaja con la parbola cuyo vrtice est en el origen, su eje focal coincidiendo con el eje de las X y cuyas ramas se abren hacia la derecha. Atendiendo a la definicin de la parbola, se sabe que la distancia entre un punto p cualquiera de coordenadas (x,y), y el foco f ser igual a la distancia existente entre la recta directriz (d) y dicho punto, segn se aprecia en la fig 1A.Y

(-p,y)

D

P (x,y)

(-p,0)

(0,0) V

F (p,0)

X

FIG. 1A

De lo anterior resulta:_____ _____

PD = PF Calculando la distancia entre los puntos anteriores mediante la frmula de distancia entre dos puntos, resulta:_____

PD = ( x ( p) ) + ( y y )_____

2

2

PD = ( x + p ) 2

y_____

PF = ( x p ) + ( y 0 )_____

2

2

PF = ( x p ) 2 + y 2

Sustituyendo en la expresin de distancias resulta:

( x + p )2 = ( x p )2 + y 2Elevando ambos miembros de la ecuacin al cuadrado y desarrollando, se tiene:

( x + p) 2 = ( x p ) 2 + y 2 x 2 + 2 px + p 2 = x 2 2 px + p 2 + y 2x 2 + 2 px + p 2 x 2 + 2 px p 2 = y 2

Simplificando trminos semejantes y reordenando la expresin, se obtiene:y 2 = 4 px

(I)

La cual, es la ecuacin de la parbola en su forma ordinaria o cannica. Anlogamente a la demostracin anterior, se puede obtener la ecuacin que describe una parbola cuyo vrtice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados. (ver seccin 5.1.3)

LONGITUD DEL LADO RECTO Procediendo de una manera similar a la empleada para la deduccin de la ecuacin anterior, podemos enseguida deducir una formula que nos permita calcular la longitud del lado recto: Partiendo de la ecuacin:y 2 = 4 px

Y sustituyendo x por p se obtiene:y 2 = 4 p( p)

y2 = 4p2

Extrayendo raz cuadrada en ambos miembros, resulta:

y = 2pPor lo que las coordenadas de los extremos del lado recto son (-p,2p) y (-p,-2p), como se observa en la siguiente grfica:y

(-p,2p)

2p f (-p,0) 2p v (0,0) (p,0)

x

(-p,-2p)

Si se calcula la distancia entre los extremos del lado recto, resulta:

LR = 2 p ( 2 p ) LR = 2 p + 2 pPor lo tanto

LR = 4 p

CASO I Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas X (fig. 2) ECUACIN DE LA PARABOLA ECUACIN DE LA DIRECTRIZY

y 2 = 4 px x+ p= 0

x+p=0

(-p,0)

(0,0) V

F (p,0)

X

FIG. 2

CASO II Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las abscisas X (fig. 3) ECUACIN DE LA PARABOLA ECUACIN DE LA DIRECTRIZY

y 2 = 4 px x p= 0

x-p=0

F (-p,0) V

(0,0) (p,0)

X

FIG. 3

CASO III Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas Y (fig. 4) ECUACIN DE LA PARABOLA ECUACIN DE LA DIRECTRIZY

x 2 = 4 py y+ p= 0

F (0,p) V (0,0) y+p=0 (0,-p)

X

FIG. 4

CASO IV Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las ordenadas Y (fig. 5) ECUACIN DE LA PARABOLA ECUACIN DE LA DIRECTRIZY

x 2 = 4 py y p= 0

y-p=0 (0,p) V (0,0) F (0,-p)

X

FIG. 5

Se observa que en los casos anteriores, solamente existe un termino al cuadrado, y ste indica cual de los ejes coordenados es perpendicular al eje focal. Adems, el signo del termino a la primera potencia indica hacia donde se abre la grfica.

EJEMPLO 1.5 Obtenga la ecuacin de la parbola cuyo foco tiene coordenadas (3,0) y por directriz la recta x = -3. Con los datos anteriores se elabora la siguiente grfica:Y

x = -3

F V (3 ,0 )

X

Se puede observar que el vrtice esta en el origen, por lo tanto p = 3. Si la coordenada del foco es (3,0) y el vrtice est en el origen, se trata de una parbola que se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas, por lo tanto su ecuacin es:y 2 = 4 px

Sustituyendo los valores de los datos conocidos resulta:

y 2 = 4(3) x y 2 = 12 xEJEMPLO 2.5 Una parbola pasa por el punto (6,-3), tiene su vrtice en el origen y su eje focal coincide con el eje de las ordenadas. Obtenga su ecuacin as como la ecuacin de su directriz. Puesto que la parbola es vertical y pasa por el punto (6,-3), se concluye que se extiende en el sentido negativo de las ordenadas, por lo cual la ecuacin buscada es del tipo: x 2 = 4 py

Si el punto (6,-3) pertenece a la grfica, entonces necesariamente satisface a la ecuacin, por tanto, sustituyendo valores:(6) 2 = 4 p ( 3) 36 = 12 p

Despejando p:p= 36 =3 12

Conocido el valor de la distancia focal p, se sustituye en la forma correspondiente de la ecuacin, y resulta:x 2 = 4(3) y x 2 = 12 y

ECUACION DE LA DIRECTRIZ El tipo de grafica corresponde con Sustituyendo el valor de p, resulta:y 3= 0 y p= 0

EJEMPLO 3.5 Partiendo de la ecuacin de la parbola y 2 = 8 x , obtenga las coordenadas del vrtice, del foco, de los extremos del lado recto, as como la longitud del mismo y adems la ecuacin de la directriz.Y d (-p ,2p )

2p F (-p,0) 2p V (0,0) (p ,0)

X

(-p,-2p)

De la grfica se observa que el vrtice tiene las coordenadas: V(0,0) Y adems de la grfica y del anlisis de la ecuacin, se obtiene el valor de la distancia focal: S Entonces 4 p = 8 8 = 2 4 y 2 = 8x

Y

y 2 = 4 px

p=

p=2 De acuerdo a lo anterior y segn el grfico de apoyo las coordenadas del foco sern: F (-2,0) Ya que la directriz intersecta al eje de las abscisas en el punto (2,0), su ecuacin ser: x2=0 Las coordenadas de los extremos del lado recto, al estar alineadas con el foco tienen la misma abscisa y sus ordenadas se obtienen sumando y restando a la ordenada del foco, el doble de la distancia focal p: p=2 Por lo que: Ordenada del foco Extremo superior: (-2,4) Extremo inferior: (-2,-4) La longitud del lado recto es LR = 4 p (-2,0-4) 2p = 2(2) = 4 y=0 (-2,0+4)

Por lo que entonces:

LR = 4(2)LR = 8 u EJERCICIOS 5.1 Dada la ecuacin de la parbola x 2 = 28 y obtenga las coordenadas del vrtice, del foco, de los extremos del lado recto, as como la longitud del mismo y la ecuacin de su directriz. 5.2 Encuentre la ecuacin de una parbola cuyo foco tiene coordenadas (4,0) y su directriz es x + 4 = 0. 5.3 Grafique la curva correspondiente a y = x2. Sealando adems las coordenadas de sus elementos caractersticos. 5.4 La seccin transversal de un canal de excedentes en una presa es una parbola con una profundidad de 3 mts. y de 6 mts de abertura. Encuentre la ecuacin que describe dicha parbola. 5.5 Determine las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y las coordenadas del punto por donde la directriz corta al eje coordenado, en una parbola cuya ecuacin es: 3y2 = -4x 5.1.3 ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE NO COINCIDE CON EL ORIGEN. Cuando el vrtice se localiza en cualquier punto, al que por convencin se le asignan las coordenadas (h,k), y ste es distinto al origen, la ecuacin que describe a la parbola cambia en funcin de la posicin de este punto y adems de la orientacin de la curva respecto de los ejes coordenados.

CASO I Este lo consideraremos en el caso de que la parbola se extienda en el sentido positivo del eje de las abscisas X (FIG. 6) ECUACIN DE LA PARBOLA ECUACIN DE LA DIRECTRIZd Y x -h + p = 0

( y k ) 2 = 4 p ( x h) x h + p= 0

(h,k) V (0,0)

F (h+p ,k)

X

FIG . 6

CASO II Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las abscisas X (FIG. 7) ECUACIN DE LA PARABOLA ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZY x-h+p=0

( y k ) 2 = 4 p ( x h) x h p= 0

F (h - p,k) (0,0) V

(h,k)

X

FIG. 7

CASO III Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas Y