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ECUACION DE LA PARÁBOLA

Jaime Mayhuay castro

Instructor

DEFINICIÓN

Es el conjunto de puntosP(x,y) de tal manera quela distancia de P(x,y) aotro punto llamadoFOCO es igual a ladistancia de P(x,y) a larecta llamada DIRECTRIZ

• AF = AA’• BF = BB’• CF = CC’

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Eje de simetría: es la rectaque pasa por el foco y elvértice.

Vértice: es el punto dondela parábola interseca a sueje de simetría.

Lado recto: es una cuerdafocal perpendicular al eje dela parábola.


Vértice en el origen

pyx 42

• Vértice en el origen• Eje de simetría el eje y.• Foco F(0,p)• Directriz la recta y = -p

Si p > 0 se abre hacia arriba

Si p < 0 se abre hacia abajo


Vértice en el origen

pxy 42

• Vértice en el origen.• Eje de simetría el eje x.• Foco F(p,0)• Directriz la recta x= - p




Vértice fuera del origen

• Vértice en V(h, k).• Foco F(h, k+p).• Directriz y = k-p es:



kyphx 42


Vértice fuera del origen

• Vértice en V(h,k).• Foco F(h+p,k).• Directriz x= h-p



hxpky 42

EJEMPLO 1

De la ecuación y2 = 4x4p=4 p= 1 > 0

b) V(0;0). c) F(1;0)

d) Directriz. x=-1

e) I4pI = 4Hallara) La gráfica.b) Su vértice. c) Su foco. d) Ec. directriz.e) LLR.( Long. Lado recto)

EJEMPLO 2

La ecuación x2 = -12y4p=-12 p= -3 < 0

b) V(0;0). c) F(0;-3)

d) Directriz. y= 3

e) I4pI = 12Hallara) La gráfica.b) Su vértice. c) Su foco. d) Ec. directriz.e) LLR.( Long. Lado recto)

EJEMPLO 3

De la Ec. x2 + 20y = 0

Hallar :a) La gráfica ,b) Su vértice, c) Su foco, d) La ec, de la directriz.e) La LLR.

x2 = - 20y 4p=-20 p= -5 < 0b) V(0;0). c) F(0;-5)d) Directriz. y= 5e) I4pI = 20

EJEMPLO 4

De la Ec. (y -3) 2 = 4(x-4)


4p= 4 p= 1 > 0

b) V(4;3). c) F(5;3)

d) Directriz. x= 3

e) I4pI = 4

EJEMPLO 5

De la ecuación (x+2) 2 = -12(y-3)


4p= -12 p= -3 < 0b) V(-2;3) c) F(-2;3-3) F(-2;0)d) Directriz. y= 6e) I4pI = 4

3

-2

y=6

EJEMPLO 6

Hallar el vértice y el foco de la parábola:

x2 - 20y = 20

b) V(0;-1).

4p= 20, p= 5>0

Se abre hacia arriba

c) F(0;-1+5) = F(0,4)

Despejando: x2 =20y+20

Factorizando: x2 =20(y +1)

x2 =20(y +1)

EJEMPLO 7

Hallar el vértice y el foco de la parábola.

y2 +6x +10y +31 =0

De y2 +6x +10y +31 =0Ordenando:

y2 +10y + 6x +31 =0 Completo cuadrados

y2 +10y +25 =-6x -31+25 (y+ 5) 2 =-6x -6

(y+ 5) 2 =- 6 (x +1)

V(-1; -5)

4p=-6 p= -3/2

Se abre a la izquierda

F(-1-3/2;-5)

F(-5/2;-5)

EJEMPLO 8

Hallar la longitud del lado recto de la parábola.

y2 -4x - 2y -11 = 0

De y2 -4x - 2y -11 = 0Ordenando:

y2 -2y – 4x -11 = 0 Completo cuadradosy2 -2y +1 = 4x +11+1 (y - 1) 2 = 4x+12

(y -1) 2 = 4 (x + 3)

La longitud del ladorecto (LLR)

I 4p I = 4

Ejemplo 9

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuyo foco es el punto F(O,3) y la directriz es paralela al eje x. Grafiquemos la parábola

Foco F(0;3) y VérticeV(0,0)Donde: p = 3La ecuación tiene la forma:

x2 = 4pyx2 = 4(3)y

La ecuación sería

x 2 = 12 y

Ejemplo 10

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice V(-6,-1) y directriz y=2

-6

-1

y=2Vértice V(-6,-1)

Directriz: y = 2

Donde p =- 3 (abre hacia abajo)

La ecuación sería

(x+6)2 = -4(3)(y+1)

( x + 6)2 = -12(y+1)

3

EJEMPLO 11

De la parábola hallar el vértice y el foco

y2 + 2y – 16x – 47 = 0 .

De y2 + 2y – 16x – 47 = 0Ordenando:

y2 + 2y = 16x +47Completo cuadradosy2 +2y +1 = 16x +47+1 (y + 1) 2 = 16x+48

(y +1) 2 = 16 (x + 3)

V(-3; -1)

4p=16 p= 4

Se abre a la derecha

F(-3+4;-1)

F(1;-1)

Ejemplo 12

De la parábola hallar el vértice y el foco

x2+ 2x – 4y + 9 = 0

De x2+ 2x – 4y + 9 = 0Ordenando:

x2 + 2x = 4y -9Completo cuadradosx2 +2x +1 = 4y -9 +1 (x + 1) 2 = 4y - 8

(x +1) 2 = 4 (y -2)

V(-1; 2)

4p=4 p= 1

Se abre hacia arriba

F(-1;2+1)

F(-1;3)

PROBLEMA 13

Una parábola, de vértice V(-3,0) y cuyo ejefocal es el eje X. Si la parábola pasa por lospuntos A(1,4) y B(–1,k), halle k.

La ecuación seria :

A(1,4) pasa por la parábola:

Resolviendo p=1La ecuación:

342 xpy

31442 p

342 xpy

Pero B(-1;k) pasa por la parábola:

El valor de K es

3142 k

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