numericke´ reˇ senˇ ´i vazk eho´ nestlacitelnˇ eho...

NUMERICKE RESENI VAZKEHONESTLACITELNEHO PROUDENI

Tomas Kopacek

Ceske vysoke ucenı technicke v Praze

Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007

1. Navierovy Stokesovy rovnice

ux + vy = 0

ut + (u2 + p)x + (uv)y = ν(uxx + uyy)

vt + (uv)x + (v2 + p)y = ν(vxx + vyy)

ct + ucx + vcy = kc(cxx + cyy)

Konzervativnı tvarRWt + Fx + Gy = ν(Rx + Sy) + f

W

W = (p, u, v)T

R = diag(0, 1, 1) −→ R = diag(1/β2, 1, 1)F = (u, u2 + p, uv)T R = (0, ux, vx)

T

G = (v, uv, v2 + p)T S = (0, uy, vy)T

• Vstup - u = u0, v = v0, p ext.

• Vystup - ∂u∂n = ∂v

∂n = 0, p ext.

• Stena - u = 0, v = 0, ∂τ∂n = 0,

p ext.

• Symetrie pro u, v, p

Tomas Kopacek 2


2. Metoda konecnych objemu, AUSM

• FVM poprve uzita pro CFD McDonaldem(1971)

• Rozdelenı oblasti na vajeme disjunktnı kontrolnı objemy

• Aplikace zakona zachovanı pro kazdy zvlast’

• AUSM - Advection Upstream Splitting Method

∫∫Ωi

∫ tn+1

tn

[ΓWt + Fx + Gy − ν (Rx + Sy)] dtdΩi = 0

Wn+1i = Wn

i − ∆t

|Ωi|

Ni∑j=1

Fijnij∆lij

FAUSMij =

un

1uv

L/R

+ p

0nx

ny

∆l

nt

Ω i dl

Tomas Kopacek 3


3. Rekonstrukce a limitery• rekonstrukce

– MUSCL - Monotone Upstream-Centered Schemes (κ schema)– PLR - Po castech linearnı rekonstukce– PPR - Po castech parabolicka rekonstukce

• limitery

– Hemker-Koren limiter (pro κ = 13 )

– Barth-Jespersen limiter– Venkatakrishnan limiter

wL = wL + ψ

(δT

L · gradwL +1

2δT

L ·H · δL

)wR = wR − ψ

(δT

R · gradwR +1

2δT

R ·H · δR

)Ωi

LW WR

Ωi−k

W W

δ δ

~~

L R

L R

Tomas Kopacek 4


4. Casova integrace

Semidiskretnı tvar

dWi

dt= −Γ

−1

|Ωi|

∮∂Ωi

(F,G) ·(

dy−dx

)+

1

Re

∮∂Ωi

(R,S) ·(

dy−dx

)dWi

dt≈ −Rezi

Ctyrstupnovy R-K 3.radu presnosti

w(0)i = wn

i

w(r+1)i = w

(0)i − α(r)∆tRez

(r)i r = 0, 1, .., m− 1

wn+1i = w

(m)i

Jedny z vhodnych koeficientu jsouα1 = 1

4 , α2 = 13 , α3 = 1

2 , α4 = 1.Pak CFL = 2

√2.

Dvoustupnovy R-K TVD 2.radu presnosti

w(1)i = wn

i −∆tRezni

wn+1i =

1

2wn

i +1

2w

(1)i − 1

2∆tRez

(1)i

V tomto prıpade volıme CFL = 1.

Tomas Kopacek 5


5. RANS - Reynolds Averaged Navier Stokes

Principem (Reynolds 1895) je rozklad okamzite rychlosti a tlaku, na slozkustrednı u a slozku fluktuacnı u

′.

∂ui

∂xi

= 0

∂uj

∂t+ ui

∂uj

∂xi

= kj −∂p

ρ∂xj

+∂

∂xi

(τji − τR

ji

)Reynoldsuv tenzor: τR

ji = u′ju

′i

Boussinesquova hypoteza: τRji = −2νTSij

Tenzor rychlosti deformace: Sij =1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)t t+T

ui(x,t) ui(x,t)

t

iu

ui = u+ u′

p = p+ p′

Tomas Kopacek 6


6. Modely turbulence

Hledame vhodne vyjadrenı turbulentnı viskozity νT a tım ν = νM + νT .

RWt + Fx + Gy = ν(Rx + Sy) + fW

Algebraicky model

τij = ρu′

iu′

j = −ρl2ij(∂uj

∂xi

)2

νT = l

[(∂u1

∂x3

)2

+

(∂u2

∂x3

)2] 1

2

l =κ(z + z0)

1 + κ(z+z0)l∞

Kde von Karmanova konstantaκ ∈ 〈0.36, 0.41〉, z0 je parametr

drsnosti a l∞ je smesovacı delka vnerozrusenem proudu.

Dvourovnicovy TNT k − ω model

∂k

∂t+ uj

∂k

∂xj= τR

ij∂ui

∂xj− β∗kω +

∂

∂xj

[(ν + σ∗νT )

∂k

∂xj

]∂ω

∂t+ uj

∂ω

∂xj= α

ω

kτRij∂ui

∂xj− βω2 +

∂

∂xj

[(ν + σνT )

∂ω

∂xj

]+

+1

2ωmax(kxωx + kyωy, 0)

α =5

9, β∗ = 0.09, β =

5

6β∗, σ∗ =

2

3, σ =

1

2

Vztah pro turbulentnı viskozitu

νT =k

ω

Tomas Kopacek 7


7. Blasiovo srovnanı• Vypocetnı oblast rozdelena na 4100 bunek

• Bunky exponencielne zhusteny smerem ke stene

• min ∆yi = 1√Re

• Re=200000 normovano na delku desky

• AUSM, PLR, PPR, Barth-Jespersen limiterx

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1u

1.0061.0041.0021.0011.0011.0001.0001.0001.0000.9990.9970.9960.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.100

Tomas Kopacek 8


Tomas Kopacek 9


8. Laminarnı proudenı kanalem s nahlym rozsırenım• Vypocetnı oblast 20400 bunek

• Re=267 a Re=533 normovano na vyskuschodu h=1

• AUSM - MUSCL, Hemker-Koren limiter

• RK 3.radX3

25h

h

h

h X1

X2

x0 2 4 6 8 10 12

u

0.90.80.70.60.50.40.30.20.1

X1 X2

X3

Re=267 Re=533x1 x2 x3 x1 x2 x3

experiment (Armala) 0 0 6 8.5 14.1 10.3Cent. sch. 4.r. (Louda) 0 0 6 8.24 14 9.76Cent. sch. 2.r. (Louda) 0 0 6 8.24 14 9.76AUSM 0 0 6 6.05 12.8 9

Tomas Kopacek 10


9. Turbulentnı obtekanı desky• Vypocetnı oblast rozdelena na 8800 bunek

• ν = 3.5 · 10−7

• AUSM - PLR, Bart-Jespersen limiter

• TVD RK 2.rad

• k-ω TNT model turbulencex

Cf

10-3 10-2 10-1 100 101

0.01

0.02

u: 0.01 0.1 0.19

ReT: 7298.06 4E+14

Tomas Kopacek 11


10. 3D turbulentnı proudenı

• 10192 bunek

• Re=10000, difuznı koeficient kf = 0.009

• AUSM - MUSCL, Hemker-Koren limiter

• 4 st. RK 3.rad

• Algebraicky model turbulence

Y

Z

s: 0.05 0.25 0.45 0.65 0.85 1.05

Tomas Kopacek 12


11. Zaver

• Strukturovane a nestrukturovane 2D sıte

• Odladeny a validovany kod resıcı NS pro nestlacitelne proudenı ve 2D

• Odladeny a validovany kod resıcı turbulentnı proudenı pomocı k − ωmodelu ve 2D

• Odladeny kod resıcı turbulentnı proudenı pomocı algebraickeho modeluve 3D

• PLR (2. rad) a PPR (3. rad)

• PPR + Gausova integrace −→ dosazenı tretıho radu

• Odladit a validovat kod resıcı 3D turbulentnı proudenı na nestrukturo-vanych sıtıch

• LESTomas Kopacek 13


DEKUJI ZA POZORNOST

Tomas Kopacek 14

numericke´ reˇ senˇ ´i vazk eho´ nestlacitelnˇ eho...

Documents