NUMERICKE RESENI VAZKEHONESTLACITELNEHO PROUDENI
Tomas Kopacek
Ceske vysoke ucenı technicke v Praze
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
1. Navierovy Stokesovy rovnice
ux + vy = 0
ut + (u2 + p)x + (uv)y = ν(uxx + uyy)
vt + (uv)x + (v2 + p)y = ν(vxx + vyy)
ct + ucx + vcy = kc(cxx + cyy)
Konzervativnı tvarRWt + Fx + Gy = ν(Rx + Sy) + f
W
W = (p, u, v)T
R = diag(0, 1, 1) −→ R = diag(1/β2, 1, 1)F = (u, u2 + p, uv)T R = (0, ux, vx)
T
G = (v, uv, v2 + p)T S = (0, uy, vy)T
• Vstup - u = u0, v = v0, p ext.
• Vystup - ∂u∂n = ∂v
∂n = 0, p ext.
• Stena - u = 0, v = 0, ∂τ∂n = 0,
p ext.
• Symetrie pro u, v, p
Tomas Kopacek 2
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
2. Metoda konecnych objemu, AUSM
• FVM poprve uzita pro CFD McDonaldem(1971)
• Rozdelenı oblasti na vajeme disjunktnı kontrolnı objemy
• Aplikace zakona zachovanı pro kazdy zvlast’
• AUSM - Advection Upstream Splitting Method
∫∫Ωi
∫ tn+1
tn
[ΓWt + Fx + Gy − ν (Rx + Sy)] dtdΩi = 0
Wn+1i = Wn
i − ∆t
|Ωi|
Ni∑j=1
Fijnij∆lij
FAUSMij =
un
1uv
L/R
+ p
0nx
ny
∆l
nt
Ω i dl
Tomas Kopacek 3
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
3. Rekonstrukce a limitery• rekonstrukce
– MUSCL - Monotone Upstream-Centered Schemes (κ schema)– PLR - Po castech linearnı rekonstukce– PPR - Po castech parabolicka rekonstukce
• limitery
– Hemker-Koren limiter (pro κ = 13 )
– Barth-Jespersen limiter– Venkatakrishnan limiter
wL = wL + ψ
(δT
L · gradwL +1
2δT
L ·H · δL
)wR = wR − ψ
(δT
R · gradwR +1
2δT
R ·H · δR
)Ωi
LW WR
Ωi−k
W W
δ δ
~~
L R
L R
Tomas Kopacek 4
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
4. Casova integrace
Semidiskretnı tvar
dWi
dt= −Γ
−1
|Ωi|
∮∂Ωi
(F,G) ·(
dy−dx
)+
1
Re
∮∂Ωi
(R,S) ·(
dy−dx
)dWi
dt≈ −Rezi
Ctyrstupnovy R-K 3.radu presnosti
w(0)i = wn
i
w(r+1)i = w
(0)i − α(r)∆tRez
(r)i r = 0, 1, .., m− 1
wn+1i = w
(m)i
Jedny z vhodnych koeficientu jsouα1 = 1
4 , α2 = 13 , α3 = 1
2 , α4 = 1.Pak CFL = 2
√2.
Dvoustupnovy R-K TVD 2.radu presnosti
w(1)i = wn
i −∆tRezni
wn+1i =
1
2wn
i +1
2w
(1)i − 1
2∆tRez
(1)i
V tomto prıpade volıme CFL = 1.
Tomas Kopacek 5
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
5. RANS - Reynolds Averaged Navier Stokes
Principem (Reynolds 1895) je rozklad okamzite rychlosti a tlaku, na slozkustrednı u a slozku fluktuacnı u
′.
∂ui
∂xi
= 0
∂uj
∂t+ ui
∂uj
∂xi
= kj −∂p
ρ∂xj
+∂
∂xi
(τji − τR
ji
)Reynoldsuv tenzor: τR
ji = u′ju
′i
Boussinesquova hypoteza: τRji = −2νTSij
Tenzor rychlosti deformace: Sij =1
2
(∂ui
∂xj
+∂uj
∂xi
)t t+T
ui(x,t) ui(x,t)
t
iu
ui = u+ u′
p = p+ p′
Tomas Kopacek 6
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
6. Modely turbulence
Hledame vhodne vyjadrenı turbulentnı viskozity νT a tım ν = νM + νT .
RWt + Fx + Gy = ν(Rx + Sy) + fW
Algebraicky model
τij = ρu′
iu′
j = −ρl2ij(∂uj
∂xi
)2
νT = l
[(∂u1
∂x3
)2
+
(∂u2
∂x3
)2] 1
2
l =κ(z + z0)
1 + κ(z+z0)l∞
Kde von Karmanova konstantaκ ∈ 〈0.36, 0.41〉, z0 je parametr
drsnosti a l∞ je smesovacı delka vnerozrusenem proudu.
Dvourovnicovy TNT k − ω model
∂k
∂t+ uj
∂k
∂xj= τR
ij∂ui
∂xj− β∗kω +
∂
∂xj
[(ν + σ∗νT )
∂k
∂xj
]∂ω
∂t+ uj
∂ω
∂xj= α
ω
kτRij∂ui
∂xj− βω2 +
∂
∂xj
[(ν + σνT )
∂ω
∂xj
]+
+1
2ωmax(kxωx + kyωy, 0)
α =5
9, β∗ = 0.09, β =
5
6β∗, σ∗ =
2
3, σ =
1
2
Vztah pro turbulentnı viskozitu
νT =k
ω
Tomas Kopacek 7
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
7. Blasiovo srovnanı• Vypocetnı oblast rozdelena na 4100 bunek
• Bunky exponencielne zhusteny smerem ke stene
• min ∆yi = 1√Re
• Re=200000 normovano na delku desky
• AUSM, PLR, PPR, Barth-Jespersen limiterx
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1u
1.0061.0041.0021.0011.0011.0001.0001.0001.0000.9990.9970.9960.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.100
Tomas Kopacek 8
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
Tomas Kopacek 9
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
8. Laminarnı proudenı kanalem s nahlym rozsırenım• Vypocetnı oblast 20400 bunek
• Re=267 a Re=533 normovano na vyskuschodu h=1
• AUSM - MUSCL, Hemker-Koren limiter
• RK 3.radX3
25h
h
h
h X1
X2
x0 2 4 6 8 10 12
u
0.90.80.70.60.50.40.30.20.1
X1 X2
X3
Re=267 Re=533x1 x2 x3 x1 x2 x3
experiment (Armala) 0 0 6 8.5 14.1 10.3Cent. sch. 4.r. (Louda) 0 0 6 8.24 14 9.76Cent. sch. 2.r. (Louda) 0 0 6 8.24 14 9.76AUSM 0 0 6 6.05 12.8 9
Tomas Kopacek 10
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
9. Turbulentnı obtekanı desky• Vypocetnı oblast rozdelena na 8800 bunek
• ν = 3.5 · 10−7
• AUSM - PLR, Bart-Jespersen limiter
• TVD RK 2.rad
• k-ω TNT model turbulencex
Cf
10-3 10-2 10-1 100 101
0.01
0.02
u: 0.01 0.1 0.19
ReT: 7298.06 4E+14
Tomas Kopacek 11
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
10. 3D turbulentnı proudenı
• 10192 bunek
• Re=10000, difuznı koeficient kf = 0.009
• AUSM - MUSCL, Hemker-Koren limiter
• 4 st. RK 3.rad
• Algebraicky model turbulence
Y
Z
s: 0.05 0.25 0.45 0.65 0.85 1.05
Tomas Kopacek 12
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
11. Zaver
• Strukturovane a nestrukturovane 2D sıte
• Odladeny a validovany kod resıcı NS pro nestlacitelne proudenı ve 2D
• Odladeny a validovany kod resıcı turbulentnı proudenı pomocı k − ωmodelu ve 2D
• Odladeny kod resıcı turbulentnı proudenı pomocı algebraickeho modeluve 3D
• PLR (2. rad) a PPR (3. rad)
• PPR + Gausova integrace −→ dosazenı tretıho radu
• Odladit a validovat kod resıcı 3D turbulentnı proudenı na nestrukturo-vanych sıtıch
• LESTomas Kopacek 13
Numericke resenı vazkeho nestlacitelneho proudenı 15. ledna 2007
DEKUJI ZA POZORNOST
Tomas Kopacek 14