nrc 1790 cristina morales 6

Ecuaciones Diferenciales Ordinariasde Orden SuperiorCristina Morales A.NRC: 1790

Para resolver ecuaciones diferenciables de orden superior se pueden utilizar diferentesreemplazos segun sea la necesidad y el orden de la funcion, existiendo as diferentesmetodos a utilizarse.

Deduccion

dy

dx= p

d2y

dx2=

dp

dy dydx

= py p

d3y

dx3=

dp

dx

(dp

dy

)dy

dy+

d

(dp

dy

)p

dx

(dy

dy

)= pp2 + p2p)

Reduzca el orden de las siguientes ecuaciones difereciales. Resuelva si son de primer orden:

Ejercicio 0.1.

yyy + 2y2y = 3yy2

R

eemplazos

s = yy

y = py = pp

y = p(p2 + pp)

Solucions

ppp(p2 + pp) + 2p2pp = 3

s

p(p2p2)

spp + 2p2p = 3sp2 sp2spp + 2p2p = 2sp2

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Ejercicio 0.2.

y2(yy 2y2) = 1

R

eemplazos

s = y2

y = py = pp

y = p(p2 + pp)

Solucion

s(p2(p2 + pp) 2p2p2) = 1sp2(pp p2) = 1

Ejercicio 0.3.

(yy 3y2)y = y5

R

eemplazos

s = y

y = py = pp

y = p(p2 + pp)

Solucion

(sp(p2 + pp) 3p2p2)s = p5sp(s(pp + p2) 3pp2) = p5

Ejercicio 0.4.

yy2 + y3 + y4 = 0

R

eemplazos

s = y

y = py = pp

y = p(p2 + pp)

Solucion

sp2 + pp3 + p4(p2 + pp)4

= 0

s+ pp3 + p2(p2 + pp)4

= 0

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Ejercicio 0.5.

xy y2

y= ey

R

eemplazos

y = py = p

Solucion

xp p2

p= ep

xp2 p2 = pep

x =pep

+ p2

p2

Reduzca el orden de las siguientes ecuaciones diferenciables homogeneas y homogeneas generalizadas.Solucione la ecuacion de primer orden obtenida.

Ejercicio 0.6.

yy y2 yy

1 + x2

= 0

Solucion

(z + z2) z2 z1 + x2

= 0

dz

z=

dx1 + x2

cz = (x+

(1 + x2))

c

zdx =

(x+

(1 + x2))dx

zdx = C1 1

2(x2 + x

1 + x2 + ln|x+

1 + x2|) + C2

y = ezdx

y = eC1

1

2(x2+x

1+x2+ln|x+1+x2|) eC2

y = eC3x(x+1+x2)

((x+

1 + x2)

)C4

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(%i20)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(x+sqrt(1+x^2))*(%e^(x*(x+sqrt(1+x^2)))),x,-3,1,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-(x+sqrt(1+x^2))^2*(%e^(2*x*(x+sqrt(1+x^2)))),x,-3,1,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*(x+sqrt(1+x^2))^3*(%e^(3*x*(x+sqrt(1+x^2)))),x,-3,1,y,-4,4),

grid=true);

(%t20)

Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3

Ejercicio 0.7.

yy y2 xyy

1 + x2= 0

Solucion

(z + z2) z2 xz1 + x2

= 0

dz

z=

(1

2

)2xdx

1 + x2

z = C1

1 + x2

zdx = C1

(1 + x2)dx

zdx = C1

1

2(x

1 + x2 + ln|x+

1 + x2|) + C2

y = ezdx

y = eC3(x1+x2+ln|x+1+x2|) eC2

y =

(eC3x

1+x2

((x+

1 + x2)

)C3)C4

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(%i22)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(x+sqrt(1+x^2))*(%e^(x*(sqrt(1+x^2)))),x,-2,1,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-(x+sqrt(1+x^2))^2*(%e^(2*x*(sqrt(1+x^2)))),x,-2,1,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*(x+sqrt(1+x^2))^3*(%e^(3*x*(sqrt(1+x^2)))),x,-2,1,y,-4,4),

grid=true);

(%t22)


Ejercicio 0.8.

x2yy (y xy)2 = 0

Solucion

x2(z + z2) (1 xz)2 = 0

z +2

xz =

1

x2

z =1

x2(x+ C1)

zdx =

1

x2(x+ C1)dx

zdx = ln|x| C1x

+ C2

y = C4xeC3x

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(%i24)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x*%e^(1/x),x,-10,10,y,-10,10),

color=green,implicit(y=-x*%e^(2/x),x,-10,10,y,-10,10),

color=dark-cyan,implicit(y=3*x*%e^(3/x),x,-10,10,y,-10,10),grid=true);

(%t24)


Ejercicio 0.9.

xyy y(y + xy) = 0

Solucion

x(z + z2) z(1 + xz) = 0

z

z=

1

x

z = C1xzdx = C1

xdx

zdx =

C12x2 + C2

y = eC2+C12 x

2

y = C4eC3x

2

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(%i27)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=%e^(x^2),x,-5,5,y,-5,5),

color=green,implicit(y=-%e^(2*x^2),x,-5,5,y,-5,5),

color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^(3*x^2),x,-5,5,y,-5,5),grid=true);

(%t27)


Ejercicio 0.10.

x2yy (y + xy)2 = 0

Solucion

x2(z + z2) (1 + xz)2 = 0

z 2xz =

1

x2

z = x2( 1

3x3+ C1

)zdx =

( 1

3x+ C1x

2

)dx

zdx = 1

3ln|x|+ 1

3x3 + C2

y = e

1

3ln|x|+

1

3x3+C2

y = C3x 13 eC4x

3

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(%i32)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x^(-1/3)*%e^(x^3),x,-2,2,y,-10,10),

color=green,implicit(y=-x^(-1/3)*%e^(2*x^3),x,-2,2,y,-10,10),

color=dark-cyan,implicit(y=3*x^(-1/3)*%e^(3*x^3),x,-2,2,y,-10,10),grid=true);

(%t32)


Ejercicio 0.11.

xyy xy2 + yy = 0

Solucion

x(z + z2) xz2 + z = 0

z

z= 1

x

z =C1x

zdx =

C1x

zdx = C1ln|C2x|

y = (C2x)C1

y = C3xC1

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(%i33)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x^(1),x,-2,2,y,-10,10),

color=green,implicit(y=-x^(2),x,-2,2,y,-10,10),

color=dark-cyan,implicit(y=3*x^3,x,-2,2,y,-10,10),grid=true);

(%t33)


Ejercicio 0.12.

x2(yy y2) + xyy y

(y2 + x2y2) = 0

Solucion

x2(z + z2 z2) + xz

1 + x2z2 = 0

x2z + xz

1 + x2z2 = 0 (1)

u = xz (2)

u = z + xz (3)

2, 3 en 1

xu xux

+ u

1 + u2 = 0

du1 + u2

=dx

x

(4)

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ln|u+

1 + u2| = ln|x|

u+

1 + u2 = xC1

xz +

1 + x2z2 = xC1 (5)

z =1

2

(C1 1

x2C1

)zdx =

1

2

(C1 1

x2C1

)dx

zdx =

1

2

(C1x+

1

xC1+ C2

)

y = e

1

2

(C1x+

1

xC1

)C3 (6)

(%i3)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*%e^(x/2+1/(2*x)),x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=2*%e^(-x/2-1/(2*x)),x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^(3*x/2+1/(2*x*3)),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t3)


Ejercicio 0.13.

x2(yy y2) + xyy y

(y2 + xy2) = 0

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Solucion

x2(z + z2 z2) + xz +

1 + x2z2 = 0

x2z + xz +

1 + x2z2 = 0 (7)

u = xz (8)

u = z + xz (9)

7, 8 en 6

xu xux

+ u+

1 + u2 = 0

du1 + u2

= dxx

ln|u+

1 + u2| = ln|x|

u+

1 + u2 =C1x

xz +

1 + x2z2 =C1x

(10)

z =1

2

(C1x2 1C1

)zdx =

1

2

(C1x2 1C1

)dx

zdx = 1

2

(C1x

+x

C1

)+ C2

y = e

1

2

C1x

+x

C1

C3 (11)

(%i4)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*%e^((-1/2)*(1/x+x)),x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=2*%e^((-1/2)*(-1/x-x)),x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^((-1/2)*(3/x+x/3)),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

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(%t4)


Ejercicio 0.14.

y2y 3yyy + 2y2 3y2y + 3yy2 + 2y2y xy3 = 0

Solucion

y = 1

y = z

y = z + z2

y = z + 3zz + z3

z + 3zz + z3 3zz 3z3 + 2z3 3z 3z2 + 2z x = 0 (12)

z 3z + 2z x = 0 (13)

r2 3r + 2 = x (14)

donde :

r1 = 2 (15)

r2 = 1 (16)

zh = C1e2x + C2e

x (17)

(18)

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sol. particular ax+ b

zp = ax+ b

zp = azp = 0

0 3a+ 2ax+ 2b = 0

a =1

2

b =3

4

zp =x

2+

3

4(19)

Entonces :

z = C1e2x + C2e

x +x

2+

3

4zdx =

C1e2x

2+ C2e

x +x2

4+

3x

4+ C3

y = C4eC1e

2x

2 +C2ex+ x

2

4 +3x4 (20)

(%i10)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=%e^((%e^(2*x))/2+1*%e^x+x^2/4+3*x/4),x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-1*%e^((%e^(2*x))/2+2*%e^x+x^2/4+3*x/4),x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^((%e^(2*x))/2+3*%e^x+x^2/4+3*x/4),x,-5,5,y,-4,4),

grid=true);

(%t10)


Page 13 of 27

Reducir el orden de la siguiente ecuacion diferencial por el metodo de exclusiones sucesivas de derivadasde alto orden. Escoja un factor integrante de ser necesario.

Ejercicio 0.15.

(1 + x2)y + x(1 + x2)y + (1 x2)y = 0

Solucion

y +x

1 + x2y +

1 x21 + x22

y = 0

y = 1 (21)

y = y (22)

(x, y, y) = y + 1(x, y) (23)

y +x

1 + x2y +

1 x21 + x22

y =d(y + 1(x, y))

dx

y +x

1 + x2y +

1 x21 + x22

y = y + 1x + 1yy

y =x

1 + x2(24)

y =x

1 + x2y (25)

1(x, y) =x

1 + x2y + 1(x)

x

1 + x2y +

1 x21 + x22

y =d(

x

1 + x2y + 2(x))

dx

2x = 0 (26)

2x = C1 (27)

y +x

1 + x2y + C1 = 0 (28)

(29)

Resuelva las siguientes ecuaciones.

Ejercicio 0.16.

xy + (3 x2y)y 2xyy 4y2 = 0

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Solucion

(xy + 3y) (xy + 2y)2 = 0

z = xy + 2y (30)

z = xy + 3y

z z2 = 0 (31)

dz

z2= dx

1z

= x+ C1

z =1

x+ C1

xy + 2y =1

x+ C1(32)

p = xy + y (33)

p = xy + 2y

p =1x

+ C2 (34)

p = ln |x+ C1|+ C2

xy + y = ln |C2(x+ C1)| (35)

y +1

xy = ln |C2(x+ C1)|

x

v = edx

x

v =1

x

u =

ln | 1

C2(x+ C1)|dx

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u = x ln |C2(x+ C1)|+ x C1 ln |x+ C1|+ C3

y =1

x(x ln |C2(x+ C1)|+ x C1 ln |x+ C1|+ C3)

y = ln |C2(x+ C1)| C1x

ln |x+ C1|+ C3x

+ 1

y =C3x(

1 +C1x

)ln |C2(x+ C1)|+ 1

(%i1)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1/x-(1-1/x)*log((x-1))+1,x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-1/x-(1-2/x)*log(2*(x-2))+1,x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=1/x-(1-3/x)*log(3*(x-3))+1,x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t1)

Rojo, verde, azulC3 = 1,1, 1C2 = 1, 2, 3C1 = 1,2,3

Ejercicio 0.17.

xyy 2xy2 yy x3y2 = 0

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Solucion

x(z + z2) 2xz2 z x3 = 0

xz xz2 z x3 = 0

z = ux (36)

z = ux+ u (37)

x(ux+ u) x3u2 ux x3 = 0

u u2x x = 0

du

u2 + 1=

xdx

arctan(u) =x2

2+ C1

z

x= tan

(x2

2+ C1

)(38)

zdx =

x tan

(x2

2+ C1

)dx

zdx = ln|cosx

2

2+ C1|+ C2

y = sec

(x2

2+ C1

)C3 (39)

(%i5)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*sec(x^2/2+1),x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-1*sec(x^2/2+2),x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*sec(x^2/2+3),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

Page 17 of 27

(%t5)


Ejercicio 0.18.

x2(2yy y2) + 2xyy = 1

Solucion

x2(2z + 2z2 z2) + 2xz = 1

2xz + xz2 + 2z =1

x

u = zx (40)

u = zx+ z(41)

2x

(u zx

)+u2

x+ 2

u

x=

1

x

2u =1

x u

2

x

2du

1 u2 =dx

x

ln|1 + u1 u | = ln|xC1|

1 + u

1 u = xC1(42)

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1 + zx = x(1 zx)C1

z =x 1

x(x+ 1)C1

zdx = C1

(1

x+ 1 1x(x+ 1)

)dx

zdx = C1 (2ln|x+ 1| ln|x|) + C2

y = C3 C4(x+ 1)

2

x

y = C5(x+ 1)

2

x(43)

(%i6)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*(x+1)^2/x,x,-5,1,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-1*(x+1)^2/x,x,-5,1,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*(x+1)^2/x,x,-5,1,y,-4,4),grid=true);

(%t6)

Rojo, verde, azulC5 = 1,1, 3

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial.

Ejercicio 0.19.

yy + 3yy = 0, y = 1, y = 0, y = 0 at x = 1

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Solucion

(p)(pp + p2) + 3ppp = 0 (44)

z + 2z2 +3z

y= 0 (45)

w =1z

(46)

w =z

z2

w 3yw = 2 (47)

v = e 3

ydy

= y3

u =

2y3dy =

1

y2+ C1

1z

= y + C1y3 (48)

zdy =

dy

y(1 + C1y2)zdy =

(1y

+y

y2 + 1

)dy

zdy = lny + 1

2|C1y2 + 1|+ C2

ydyC1y2 + 1

= C3dx (49)

y =

(C3x+ C4)

2 1C1

(50)

Sist con sol. particulares

C1 = 3

C3 = 0

C4 = 2

y = 1

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Ejercicio 0.20.

xy + (x 1)y = 0, y = 0, y = 0, y = 0 at x = 0

Solucion

y = p (51)

y = p (52)

p +x 1x

p = 0

p = C1xex

y = C1xex (53)

y = C1ex(x+ 2)(C2x+ C3) (54)

0 = 2C1 + C3

Sistema con sol. particulares

C1 = C2

y = C1(ex(x+ 2 + x 2)

y = C1(ex(x+ 2) + x 2) (55)

(%i6)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(%e^-x)*(x+2)+x-2,x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-(%e^-x)*(x+2)+x-2,x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=3*((%e^-x)*(x+2)+x-2),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t6)

Page 21 of 27

Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 3

Ejercicio 0.21.

y(y 2x) 2y(y x2) = 0, y = 1, y = 1, at x = 1

Solucion

y(p 2x) 2y(p x2) = 0

p 2p = 2x 2x2

p = x2 + C1e2x (56)

y = x2 + C1e2x (57)

y =x3

3+ C2e

22x+ C3

Sistema con sol. particulares

C1 = 0 C2 = 0 C3 =2

3

y =x3

3+

2

3(58)

(%i7)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(x^3)/3+(2/3),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t7)

Reduzca el orden de las siguientes ecuaciones diferenciables lineales usando las soluciones particulares.Resuelva obteniendo ecuaciones de primer orden.

Ejercicio 0.22.

(1 + ex)y 2y exy = 0, y1 = ex 1

Page 22 of 27

Solucion

y 21 + e2

y ex

1 + exy = 0

u = ex (59)

u =1

1 + e22e

2

1 + exdx

u =C1e

2x

1 + ex2

v = e2x (60)

udx =

C1dv

2(v 1)2

y = (ex 1)(

C3e2x 1 + C2

)(61)

(%i9)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(%e^x-1)*((1/(%e^(2*x)-1))+1),x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=(%e^x-1)*((-1/(%e^(2*x)-1))+2),x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=(%e^x-1)*((3/(%e^(2*x)-1))+3),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t9)


Ejercicio 0.23.

xy y xy + y = 0, y1 = ex, y2 = x

Page 23 of 27

Solucion

y = y1

zdx (62)

y = ex(z +zdx)

y = ex(2z + z +zdx)

y = ex(3z + 3z + z +zdx)

x(3z + 3z + z +zdx) (2z + z +

zdx) x(z +

zdx) +

zdx = 0

xz + (3x 1)z + 2z(x 1) = 0 (63)

w = 2 (64)

z = e2xv (65)

z = e2x(v 2v)

z = e2x(v 4v + 4v)

(63)

x(v 4v + 4v) + (3x 1)(v 2v) + 2(x 1)v = 0 (66)

xv (x+ 1)v = 0

v = p (67)

v = p

p =x+ 1

xp (68)

p = ex+ln x+C1

v = C1xex (69)

v = C1ex(x 1) + C2

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z = e2x(C1(xex ex) + C2) (70)

z = C1ex(x 1) + C2e2x

y = ex

(C1ex(x 1) + C2e2x)dx

y = C1x+ C2ex + C3ex

(%i18)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x+%e^-x+%e^x,x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-x+2*%e^-x-3*%e^x,x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=x-%e^-x-%e^x,x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t18)

Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 1C2 = 1, 2,1C3 = 1,3,1

Ejercicio 0.24.

x2(2x 1)y + (4x 3)xy 2xy + 2y = 0, y1 = x, y2 = 1x

Solucion

y = x

zdx

y = xz +zdx

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y = 2z + xz

y = 3z + xz

x3(2x 1)z + x2(10x 6)z + 6x(x 1)z = 0 (71)

(2x4 x3)z + (10x3 6x2)z + (6x2 6x)z = ddx(x, z, z) (72)

z = 2x4 x3

(x, z, z) = (2x4 x3)z + 2(x, z) (73)

(2x3 3x2)z + (6x2 6x)z = ddx2(x, z) (74)

2z = (2x3 3x2)

2(x, z) = (2x3 3x2)z + 3(x)

3(x) = k1

(76)

(2x4 x3)z + (2x3 3x2)z = k1

z +2x 3

x(2x 1)z =k1

x3(2x 1) (75)

v = e

2x3x(2x1)dx

v = e(3 ln |x|+2 ln |2x1|)

v =(2x 1)2

x3

u =

k1

(2x 1)3 dx

u =k1

4(2x 1)2 + k2

z =(2x 1)2

x3(k1

4(2x 1)2 + k2) (76)

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y = x

(k1x3

+)k2(2x 1)2

x3(77)

y = x(k12x2

+ k2(4 ln |x|+ 4x 1

2x2) + k3)

y =k12x

+ 4k2x ln |x|+ 4k2 k22x

+ k3x)

y = C1x1 + C2(x ln |x|+ 1) + C3x

(%i19)

wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x^-1+(x*log(x)+1)+x,x,-5,5,y,-4,4),

color=green,implicit(y=-x^-1+2*(x*log(x)+1)-x,x,-5,5,y,-4,4),

color=dark-cyan,implicit(y=x^-1-(x*log(x)+1)+x,x,-5,5,y,-4,4),grid=true);

(%t19)

Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 1C2 = 1, 2,1C3 = 1,1, 1

References[1] ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y CALCULO DE VARIACIONES, M.V.Makarets,

V.Yu. Reshetnyak

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nrc 1790 cristina morales 6

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