METODELE FUNDAMENTALE DE REZOLVARE A

PROBLEMEI TEORIEI ELASTICITATII

1.6. PRIVIRE DE SINTEZA.

1. Odata cu stabilirea legii generalizate a lui Hooke, am incheiat si deducerea tuturor grupurilor de ecuatii fundamentale din elastostatica liniara a solidului deformabil omogen si izotrop. Acestea sunt:

Ecuatii statice: Ecuatiile diferentiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy.(1.1.6)

Ecuatii geometrice: Ecuatiile lui Cauchy, care leaga deformatiile cu deplasarile.(1.3.12)

Ecuatii fizice: Legea lui Hooke generalizata(1.5.1) si (1.5.2)

La aceste grupuri fundamentale de ecuatii se mai adauga:

-conditiile la limita(care in cazul static sunt conditii pe contur) (1.2.6)

-ecuatiile de compatiblitateale lui Saint-Venant(1.4.5)

2. Avem de-a face cu un sistem de 15 ecuatii cu 5 necunoscute; aceste necunoscute sunt:

- sase componente ale tensiunilor

- sase componente ale deformatiei

- trei componente ale deplasarii u, v, w.

Astfel din punct de vedere matematic problema poate fi rezolvata si se reduce la gasirea a 15 functii care sa satisfaca cele15 ecuatii fundamentale cu conditii la limita date si cu verificarea ecuatiilor de continuitate.

Dezvoltarea teoriei elasticitatii a aratat ca rezolvarea problemei se poate face prin procedee diferite; s-au fundamentat insa doua metode indirecte:

a) Dupa prima metoda se aleg ca necunoscute fundamentale ale problemei - deplasarile punctelor corpului elastic; aceasta inseamna ca in fiecare punct al corpului vom avea trei functii de punct necunoscute:

(1.6.11)

care trebuie sa satisfaca cele trei ecuatii de echilibru(1.1.6) si conditiile pe suprafata (1.2.6) care contin fortele exterioare (sarcinile):qnx,qnz,qnz.

Pentru obtinerea ecuatiilor (1.6.1) este necesar sa se inlocuiasca relatiile geometrice (1.3.12) in ecuatiile fizice, adica este necesar ca tensiunile sa fie exprimate in functie deplasari si sa fie introduse in cele trei ecuatii de echilibru(1.1.6). Prin urmare, natura ecuatiilor (1.6.1) ca si a grupului(1.1.6) este statica. Vom numi aceasta metoda: "metoda deplasarilor".

b) Dupa cea de-a doua metoda se aleg metode fundamentale-tensiunile; atunci in fiecare punct al corpului von avea sase functii necunoscute:

(1.6.2)

Problema se reduce la determinarea acestor sase functii care trebuie sa satisfaca cele trei ecuatii de echilibru (1.1.6); aceste ecuatii nu sunt insa suficiente ca numar si va trebui sa le atasam inca sase ecuatii de continuitate (1.4.5). in acela timp trebuie sa ,fie satisfacute si conditiile la limita (1.2.6).

Evident ca se poate imagina si o metoda mixta cind se iau ca necunoscute principale anumite deplasari si anumite tensiuni. Problemele teoriei elasticitatii se pot rezolva mai usor alegand ca necunoscute numai tensiunile sau numai deplasarile, dupa cum se pun conditiile la limita, si eliminand celelalte necunoscote intre cele 15 ecuatii specificate mai sus. In felul acesta suntem condusi la o rezolvare in tensiuni sau la o rezolvare in deplasari a acestor probleme.

1.7. ECUATIILE LUI LAME. REZOLVAREA PROBLEMEI

TEORIEI ELASTICITATII IN DEPLASARI.

1.      Incepem cu aceasta metoda, care deobicei este numita:"a doua problema fundamentala a teoriei elesticitatii", deoarece este mai simpla din punct de vedere matematic, avand mai putine necunoscute, utilizind deci un numar mai mic de ecuatii. In acest caz conditiile pe contur se pun

sub forma:

(1.7.1)

unde deplasarea a punctelor denormala exterioara n este data de legatura cu celalalte corpuri.

Sunt rare cazurile in care se pot pune conditii in deplasari pe tot conturul; eventual se pun conditii pentru anumite derivate ale deplasarilor - de exemplu pentru deformatii specifice. Trebuie mentionat ca aceste conditii sunt diferite de coditiile defixitate sau conditiile de rezemare ale corpului, care se pun in puncte pentru determinarea miscarii de corp rigid a acestuia.

2.      Cautam sa exprimam toate necunoscutele, in functie de deplasari. Pornim, inlocuind in ecuatiile fizice, relatiile geometrice, -pentru tensiuniile decare avem nevoie in prima ecuatie de echilibru static (1.1.6):

(1.7.2)

Derivam aceste ecuatii si obtinem:

(1.7.3)

Introducem aceste relatii in prima ecuateie de echilibru (1.1.6):

(1.7.4)

Expresia din prima paranteza se poate scrie mai scurt, astfel:

Pemtru o scriere mai prescurtata se introduce si operatorul diferential al lui Laplace (notat

cu - numit"laplasian" ; uneori mai este notat cu - citit "nabla doi",sugerand legatura dintre cei doi operatori).

Cu aceste observatii, ecuatia (1.1.4) se scrie:

In mod analog se pot transforma si celelalte doua ecuatii din (1.7.6); ele se pot scrie si direct facand permutari circulare in (1.7.7) ale literelor (x,y,z) si (u,v,w). Se ajunge astfel la urmatorul system de ecuatii fundamentale ale teoriei elasticitatii exprimate in functie de deplasari:

(1.7.8)

3.      Ecuatiile (1.7.8) se numesc ecuatiile lui Lame. Ele reprezinta o sinteza a studiului efeectuat pana acum asupra tensiunilor, deformatiilor si relatiilor dintre tensiuni si deformatii. Prin urmare ecuatiile lui Lame cuprind toate ipotezelede natura mecanica, geometrca si fizica pe care se bazeaza teoria elasticitatii. In adevar, aceste ecuatii :

      Exprima echilibrul static al fiecarei portiuni infinit mici din corp (daca partea din dreapta este egala cu zero) sau sunt ecuatii de miscare ale elementului (daca partea din dreapta este diferita de zero);

      Cuprind caracteristici geometrice ale deplasarilor si deformatiilor ( );

      Cuprind factori fizici ( ) exrimand proprietatile elastice si densitatea corpului.

4.      In mod similar se transforma si conditiile de suprafata (1.2.6)inlocuind tensiuniile in functie de deplasari:

Relatia poate fi scrisa mai simplu daca luam in consideratie faptul ca expresiile din prima paranteza dreapta reprezinta derivata functiei u(x,y,z) dupa normala n la suprafata cirpului:

Cu acest rationament vom obtine forma definitiva a conditiilor de suprafata:

Ecuatiile lui Lame (1.1.8)impreuna cu comditiile pe suprafata (1.1.10), ne permit sa trecem direct la rezolvarea problemelor de elasticitate (1.1.8) si sa gasim functiile (u,v,w) care satisfac conditiile pe suprafata (1.1.10), atunci introducandu-le in (1.3.12) vom gasii deformatiile

specifice cu ajutorul acestor deformatii, din legea luiHooke generalizata (1.5.1) si

1.5.2)vom putea calcula tensiuniile .

1.8 ECUATIILE LUI BELTRAMI-MITCHEL.

REZOLVAREA PROBLEMEI TEORIEI ELASTICITATII

IN TENSIUNI

1.      In aplicatiile practice de cele mai multe ori cunoastem sarcinile exterioare ce actioneaza pe contur; in fiecare punct de pe contur va trebui sa existe un echilibru mecanic intre tensiunile

interioare si sarcinile exterioare (de componente ; le-am mai notat, pentru preciza

ca este vorba de elemente de arie de la suprafata corpului cu , fiind normala exterioara.Va trebui deci sa punem conditia ca pe contur tensiuniile obtinute dincalcul sa fie egale cu sarcinile exterioare date folosind relatiile (1.2.6) sau relatii de tipul (1.3.1) care se refera la directiile principale. Daca reusim sa integram sistemul de ecuatiiconsiderat mai sus, indeplinind si conditiile pe contur, am determinat in intregime starea de solicitare a corpului, problema elasticitatii fiind complet rezolvata. Problea de mai sus in care se pun conditii in tensiuni pe contur se numeste " prima problema fundamentala a teoriei elasticitatii".

2.      Sa presupunem deci ca ne alegem canecunoscute fundamentale cele sase tensiuni;

.In acest caz cele trei ecuatii de echilibru (1.1.6)nu sunt suficiente pentru rezolvarea problemei; le vom atasa si ecuatiile de continuitate(1.4.5). Problema se reduce astfel la integrarea a noua ecuatii cu sase functii necunoscute. Functiile arbitrare care rezulta prin integrare se vor determina din conditiile la limita (1.2.6). deoarece conditiile de compatibilitate (1.4.5) leaga intre

ele deformatiile levom transforma exprimamdu-le in functie de tensiuni cu ajutorul legii lui Hooke. Efectuand aceasta operatie si folosind ecuatiile de echilibru (1.1.6) considerind ca fortele masice lipsesc sau sunt constante, ecuatiile de continuitate (1.4.5) devin :

; (1.8.1)

Acestea se numesc ecuatiile lui Beltramii-Mitchell. Asa dar, pentru rezolvarea problemei elasticitatii va trebui st integram noua ecuatii (1.1.6) si (1.14.1), iar dupa acea sa satisfacem conditiile pe suprafata (1.2.6).

3.      Concluzii: La rezolvarea problemelor teoriei elasticitatii in functie de tensiuni sau de deplasari, se poate pune intrebarea daca solutia obtinuta este univoca sau nu; sa le corespunda in interiorul corpului citeva sisteme de tensiuni in loc de unul singur sau altfel spus deplasarilor sau tensiunilor date in interiorul corpului corpului nu le-ar putea corespunde diferite conditii pe contur. Aceasta de fapt este problema de unicitate a solutiei a carei demonstratie se poate gasi in cartile de specialitate.Subliniem insa ca unicitatea este asigurata numai in teoria liniara a elasticitatii.

1.9. INTRODUCEREA FUNCTIEI DE TENSIUNE AIRY

Metoda obisnuita de rezolvare a sistemului de ecuatii cu derivate partiale (1.1.6)

consta in introducerea unei functii de tensiune sau funtii potential. In probleme de elasticitate

plana, ea a fost folosita pentru prima data de catre Airy (1862) si-i poarta numele.

Se considera mai intai in relatiile (1.1.6) ca fortele masice sunt nule.

Se observa ca daca tensiunile si se exprima prin intermediul unei functii sub forma:

, , (1.9.1)

prima ecuatie (1.1.6) este identic verificata. In mod asemanator, cea de a doua ecuatie

este verificata identic daca si se exprima printr-o functie :

, . (1.9.2)

Deoarece , rezulta ca cele doua functii si nu sunt independente, intre ele existand relatia:

. (1.9.3)

Aceasta conditie este satisfacuta, daca functiile si sunt derivate ale unei alte functii , adica:

si . (1.9.4)

Inlocuind relatia (1.9.3)in (1.9.1)si (1.9.2)rezulta ca , si se exprima in functie de prin relatiile:

, , . (1.9.5)

Ducand relatia (1.9.5)in cea de a treia ecuatie (1.1.6) se deduce ca functia

trebuie sa satisfaca ecuatia: , care se mai poate scrie simbolic: ,

sau dezvoltat: . (1.9.6)

Functia care satisface ecuatia este numita functie biarmonica iar se numeste operator biarmonic.

Daca sistemul (1.1.6) este neomogen ( si nu sunt nule), primele doua ecuatii sunt satisfacute identic de expresiile:

;

; (1.9.7)

;

care inlocuite in a treia ecuatie conduc la ecuatia pentru :

. (1.9.10)

Se observa ca pentru fortele masice si constante sau nule, singurele cazuri de interes practic, ecuatia (1.9.10) se transforma in (1.9.6), adica functia potential este o functie biarmonica.

1.10.INTERPRETAREA MECANICA A FUNCTIEI DE

TENSIUNE PE CONTUR

Se considera o saiba delimitata de un contur simplu conex, actionata doar de

fortele de contur , . Functiei de tensiune si derivatelor sale li se pot da pe contur semnificatii mecanice deosebit de utile in aplicatiile practice. Fie conturul din figura

1.10.1, a pe care se alege o origine arbitrara pentru masurarea arcelor.

Fig.1.10.1

Parcurgand conturul in sens trigonometric, astfel incat domeniul saibei sa ramana la stanga, se va putea scrie pentru cosinusurile directoare ale normalei la contur:

(1.10.1)

unde s-a considerat ( ) in sensul cresterii lui s. Tinand seama de relatiile (1.10.1) si (1.9.5) conditiile de contur se scriu astfel :

 ;

.

Integrand aceste relatii pe arcul s pornind din , se obtin:

; ;

unde si sunt constante de integrare. Deoarece o constanta intr-o derivata a functiei nu induce termini in expresiile tensiunilor, acestea fiind date de derivate de

ordinul doi ale functiei (relatiile (1.9.5)), se poate considera astfel ca:

; , (1.10.2)

adica derivatele functiei de tensiune in punctul curent sunt egale cu rezultantele

incarcarilor de contur de pe arcul .

Integrand prin parti diferentiala totala a functiei :

pe contur se obtine:

.

Considerand, pe baza celor apreciate anterior, si tinand seama de relatiile (1.01.2), relatia care da functia devine:

La impunerea limitelor, s-a tinut seama ca, in baza relatiei (1.10.2):

si analog, . Ordonatele , fiind constante in raport cu variabila de integrare, relatia pentru se mai poate scrie:

, (1.10.3)

care ne arata ca functia de tensiune in este numeric egala cu momentul

fortelor de contur ce actioneaza pe arcul , in raport cu punctul (fig. 1.10.2).

Fig.1.10.2

Pentru a preciza derivata functiei dupa normala la contur, din figura 1.10.1, b se observa

ca: ;

si deci, tinand seama si de relatia (22.16), rezulta:

. (1.10.4)

Pentru interpretarea rezultatului, se considera o bara fictiva care urmareste

conturul saibei, are o taietura in si este incarcata cu fortele distribuite si (fig. 1.10.2). Se observa ca prima paranteza din membrul drept al ultimei egalitati (1.10.4)

reprezinta rezultanta fortelor de pe , iar a doua paranteza, rezultanta fortelor

. Produsul acestora cu , respectiv da proiectia dupa tangenta in la

contur. Rezulta ca derivata dupa normala a functiei este egala cu forta axiala in bara fictiva.

Se verifica usor ca in interpretarea data relatiilor (1.10.3) si (1.10.4) sunt respectate si conditiile de semne din statica.

CAZURI PARTICULARE ALE STARII TRIAXIALE DE SOLICITARE, PROBLEMA PLANA IN COORDONATE CARTEZIENE

1.11. STAREA DE TENSIUNE PLANA. ECUATIILE LUI LEVY.

1.    Vom studia o categorie de probleme, de mare aplicabilitate practica, numite "probleme plane" care sunt inportante simplificari de ordin matematic. La asemenea probleme, fie tensiunile, fie deformatiile, dupa una din axele de coordonate (de exemplu dupa axa oz) sunt nule si fenomenul se poate studia intr-un singur plan (de exemplu axa xoy). Din punct de vedere matematic o asemenea stare de solicitare se realizeaza foarte greu; din punct de vedere practicexista insa multe situatii care cu un anumit grad de aproximatie pot fi reduse la o asemenea stare plana, rezolvarea lor fiind mult mai usurata. In functie de marimile care sunnt nule sau se neglijeaza starile plane se inpart in doua mari categorii:

a.    Stari plane de tensiune, care apar in situatiile in care una din tensiunile normale este nula(

);sa notam de pe acum ca starea de deformatie a corpului este insa triaxiala;b.    Stari plane de deformatie, care apar an situatia in care una din componentele deplasarii

este nula (w=0); in acest caz starea de tensiune este triaxiala.Vom dezvolta in continuare metodele de studiu pentru fiecare caz in parte.

2.                O stare de tensiune plana apare-de exemplu-in cazul unei placi subtiri (grinda, bara) supusa la actiunea unor forte aplicate pe conturul ei, paralele cu planul acesteia si uniform distribuite pe grosimea ei (fig 1.11.1). Desi grosimea placii in directia axei oz este mica, atata timp cat sarcina nu depaseste o anumita limita placa nu se va incovoia in drectia axei oz(nu ne preocupam de problema voalarii placii).

Asemenea elemente de rezistenta cu asemenea caracteristici sunt denumite de obicei grinzi perete (dupa literatura elvetiana si rusa), saibe(dupa literatura germana) sau discuri (dupa literatura fraceza si engleza) desi uneori aceste denumiri au si alte semnificatii. Exemplele practice sunt numeroase: grizi pereti pentru silozuri, buncare etc. , consolele scurte pentru poduri rulante, colturile de cadru, carlige, biele, elemente de constructii si rigidizare pentru vase, aripi de avion etc..

Deoarece-conform datelor problemei- fetele placii (paralele planului xoy) sunt libere de

sarcini, componentele tensiunilor , sunt egalecu zero pe ambele fete laterale; mai mult datorita grosimii mici a corpului putem presupune,-fara a face o eroare prea marw- ca si in interiorul placiiaceste tensiuni sunt nule (ele vor fi n orice cazfoarte mici). Rezulta ca vom avea peste tot:

(1.11.1)

deci starea de tensiune este zero.

Pentru acelasi motiv- grosimea mica a placii- este firesc sa presupunem ca celelalte trei

componente ale tensiunilor , nu depind de coordonata z, adica vor varia foarte putin de-a lungul axei oz (sunt constante pe intreaga grosime a placii. Vom lucra de fapt cu valori medii.). Asa dar, in problema data tensiunile satisfac urmatoarele conditii:

(1.11.2)

3.                Sa analizam putin care ar fi starea de deformatie a corpului in acest caz. In general deformatiile si deplasarile care se produc pe directia coordonatei z nu prezinta interes practic; ele se pot totusi determina usor daca se cunosc componentele tensiunilor si deformatiilr paralele cu planul xoy al placii. Astfel :

si (1.11.3)

care rezulta din legea lui Hooke inlocuind si

; .4.                Sa vedem ce devin cele 15 ecuatii fundamentale ale teoriei elasticitatii in cazul analizat al

starii plane de tensiune vom considera situatia cea mai frecventa, cand fortele de volum sunt

reprezentate numai de greutatea proprie, deci:

(q- greutatea unitatii de volum)(am schimbat putin sistemul de axe considerind in planul vertical xoy).

Se obtine deci:

               I.      Ecuatiile diferentiale de echilibru (1.1.6):

(1.11.4)

             II.      Conditiile pe contur (1.2.6):

(1.11.5)

            III.      Ecuatiile geometrice (1.3.12):

(1.11.6)         IV.      Ecuatiile fizice (1.5.1);

(1.11.7)           V.      Conditiile de compatibilitate (1.4.5):

(1.11.8)

Se oobtine deci, in final, un sistem de opt ecuati diferentiale cu opt neconoscute

care poate fi rezolvat fie prin metoda fortelor, fie prin metoda deplasarilor sau eventual printro metoda mixta.

5.        Sa ilustram acest caz, alegand ca necunoscute fundamentale, tensiunile, dupa modelul de rezolvare propus de M. levy. Vom porni de la ecuatia de continuitate care trebuie transformata introducand in locul deformatiilor expresiile lor in tensiuni exprimate prin legile fizicii (1.11.7):

(1.11.9)

Daca la aceasta ecuatie se mai adauga ecuatiile de echilibru static obtinem un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute, in tensiuni. Insa relatia (1.11.9) poate fi adusa la o forma mai simpla daca derivam ecuatiile de echilibru si le adunam:

Inlocuind acest rezultat in ecuatia de compatibilitate (1.11.9) se obtine o forma numai in tensiuni normale numita "ecuatia lui Levy" sau "conditia lui Levy":

sau introducand operatorul armonic al lui Laplace :

(1.11.11)

Asa dar, in cazul starii plane de tensiune, cand fortele de volum sunt reprezentate numai de greutatea proprie, grupul de ecuatii fundamentale al teoriei elasticitatii se reduce la urmatoarele trei:

(1.11.12)

In legatura cu acest rezultat facem acum o observatie deosebit de importanta (facuta pentru prima oara de M.Levy), cu o covarsitoare aplicabilitate practica. Daca intr-o problema ne intereseaza numai starea de tensiune, atunci putem sa ne rezumam la ecuatiile (1.11.12) n care nu intra constantele elastice de material. Asa dar, starea de tensiune intr-o problema plana nu depinde de natura materialului (uneori acest rezultat este cunoscut in literatura sub numele de "Teorema lui Levy". Aceasta concluzie sta la baza aplicariii metodelor optice de studiere a starilor de tensiune cu ajutorul luminii polarizate (fotoelasticimetrie );in aceste cercetari experimentale materialul dat este inlocuit printr-un alt material, transparent, optic activ (cu proprietati de birefrigentaaccidentala) din care se confectioneaza un model al piesei reale. Rezultatele obtinute pe model pot fi astfel transpuse la piesa dintr-un alt material fara a ne pune problema de similitudine; baza teoretica este data de ecuatiile in tensiuni (1.11.12).

1.12. STAREA DE DEFORMATIE PLANA

1.                        Sa consideram un corp solid deformabil aflat intr-o stare oarecare de eforturi; daca deplasarile tuturor punctelor acestuia se pot produce numai dupa doua directii, adica numai intr-un singur plan, sau altfel spus, daca una din componentele deplasarii (de exemplu w) este egala cu zero iar celalalte doua u si v nu depind de coordonata z corespunzatoare deplasarii w, zicem ca avem cea ce se numeste o stare de deformatie plana. Un exemplu care ilustreaza bine o asemenea stare de solicitare, este dat de un corp deformabil, fixat intre doua placi perfect rigide (fig. 1.10.1) situate la distanta constanta si care este comprimat de forte paralele planele placilor.

Rezulta de aici ca o asemenea stare de solicitare este caracterizata, pentru toate

puncteele corpului de deplasarile:

(1.12.1)

si deformatiile specifice:

(1.12.2)

Aceste ecuatii ne arata ca toate deplasarile si deformatiile au loc exclusiv in directia planului xoy,

in toate sectiunile corpului paralele planului xoy (oricare ar fi z= =constant) deplasarile si deformatiile sunt aceleasi. De aceia deformatiile de acest gen se numesc deformatii plane.

2.                       

In tehnica se intalnesc si alte cazuri de corpuri care pot fi considerate ca se afla intr-o stare plana de deformatie, cum sunt de exemplu:barajele (fig1.12.2.a), rulourile(b), boltile cilindrice (c), placile lungi (d) etc. Asemenea probleme pot fi asimilate sau modelate cu cazul unui corp prismatic sau cilindric cu una din axe paralela cu axa oz, incarcat pe suprafata laterala cu o sarcina normala pe directia oz si uniform repartizata dupa

aceasta directie. Sa justificam afirmatia ca acest corp (model) se afla intr-o stare de deformatie plana: vom izola din corp, la o distanta suficient de mare de extremitati, un element subtire impreuna cu sarcina respectiva.

3.                        Sa presupunem ca acest element lucreaza ca un corp elastic independent; atunci in el ar trebui sa apara deformatii bupa directia axei oz. In realitate, datorita existentei elementelor vecine si interactiunii dintre ele, nu vor aparea nici deformatii nici deplasari de-a lungul axei oz,

dar ca urmare a impiedicarii deformatiilor deci ca o consecinta a disparitiei componentei , vor

apare tensiuni normale . Rezulta ca starea de tensiune este de fapt spatiala Intradevar, din cea dea treia ecuatie a lui Hooke:

(1.12.3)

Deci, si depinde de tensiunile fundamentale si produse de sarcinile exterioare.

4.                        In aceste conditii grupul ecuatiilor fundamentale se simlifica foarte mult. Ecuatiile de echilibru, ecuatiile geometrice si conditiilela limita raman in forma anterioara data de starea plana de tensiune in ipoteza ca fortele de volum sunt reprezentate numai de greutatea

proprie. Se modifica numai ecuatiile fizice,care pentru dat de relatia (1.12.3)obtin forme noi:

(1.12.4)

Daca se repeta operatii analoge cu cele expuse anterior, ecuatia de continuitate devine:

(1.12.5)

care pentru fortele de volum constante se transforma de asemenea in conditia lui Levy:

(1.12.6)

in baza acestor constatari se poate deci afirma ca tensiunile care caracterizeaza starea plana de deformatie sunt:

adica toate tensiunile care sunt diferite de zero nu depind de coordonata z, cea ce desigur putea fi afirmat si a priori.

PROBLEMA PLANA IN COORDONATE POLARE

1.13. ECUATIILE GENERALE ALE PROBLEMEI ELASTICE

PLANE EXPRIMATE IN COORDONATE POLARE

1.Exista numeroase cazuri de corpuri care prezinta o simetrie axiala, ca de exemplu: tuburile cu pereti grosi, inelele circulare, discurile in miscare de rotatie etc, la care determinarea tensiunilor si deformatiilor din solicitarile exterioare se face mult mai simplu daca se utilizeaza coordonatele polare.

Sa consideram un astfel de corp cu axa longitudinala dirjata in lungul axei z si sarcina exterioara paralela planului xOy- prin datele problemei-. In acest caz, asa cum am vazut atit pentru starea de tensiune plana cit si pentru deformatia plana, putem sa nu tinem seama de axa Oz si prin urmare intrega problema se va rezolva intr-un singur plan folosiind coordonatele polare r

si .

Ne propunem sa regasim toate ecuatiile fundamentale ele problemei plane a teoriei elasticitatii exprimate in coordonate polare si ulterior se exemplifica aplicarea acestor ecuatii pentru cateva tipuri de corpuri cu larga aplicabilitate tehnica.

2.Sa ne fixam notatiile. Pentru aceasta in locul paralelipipedului elementar cu fete dreptunghiulare, utilizat pana acum, vom izola din corp un element de volm cu grosime egala cu unitatea (dimensiunea in lungul axei z egala cu un milimetru) si cu celalalte patru fete obtinute in modul urmator: cu ajutorul a doua plane radiale perpendiculare pe placa (pe corp), care fac intre ele unghiul infinit mic dQ si cu ajutorul a doua suprafete cilindrice concentrice de raze r si (r+dr) (fig 1.13.1)- infinit apropiate-. Laturile acestui element de volum in planul xy vor fi:

.

Sa consideram u system de referintacu

centrul in si axele (orientata radial) si

- perpendiculara pe aceasta- orientata deci

dupa tangenta la cercul de raza ; folosindu-ne de aceste axe sa notam tensiunile

care lucreaza pe fetele elementului de volum, conform unor reguli cunoscute (v.fig.1.13.1).

Componentele tensiunii normale vor fi: -tensiunea normala in sens radial sau componenta

orientata dupa raza; -tensiunea normala tangenta sau componenta orientata dupa tangenta la

cercul de raza .

La variatia coordonatelor cu marimi infinit mici (dr sau dQ ) tensiunile, care sunt functii

continue de punct vor varia de asemenea cu cantitati infinit mici . Se

procedeaza in mod asemanator si cu tensiunile tangentiale .

ECUATIILE DIFERENTIALE DE ECHILIBRU STATIC

3. Sa scriem conditiile de echilibru ale elementului abcd proiectind fortele aplicate pe fetele

sale dupa axele r si ; vom neglija fortele masice si deoarece grosimea elementului dupa axa oz este egala cu unitatea, nu o vom mai evidentia distinct in ecuatiile de echilibru.

a.Suma proiectiilor fortelor dupa axa r:

(1.13.1)

b.Suma proiectiilor fortelor dupa axa Q

(1.13.2)

Deoarece unghiul dQ este mic,se poate scrie: ; se desfac parantezele, se reduc termenii asemenea, se neglijeaza infinitii mici de ordinul trei si se obtine:

Daca se inparte cu (de fapt cu ) se obtine in final ecuatiile diferentiale de echilibru ale elementului de volum exprimat in coordonate polare:

(1.13.3)

c.Ecuatia de momente in raport cu centrul al elementului se scrie sub forma:

S-a demonstrat astfel si aici principiul dualitatii tensiunilor tangentiale (acest rezultat l-am folosit deja la scrierea ecuatiilor 1.13.3)

RELATIILE DIFERENTIALE INTRE DEFORMATII SI DEPLASARI

4.Sa ne ocupam acum de relatiile dintre deformatii si deplasari.

Vom nota:

      Deplasarile punctelor de-a lungul axei r cu u      Deplasarile punctelor de-a lungul axei Q cu v      Lungirea specifica de-a lungul axei r (lungirea specifica pe directia radiala-"lungirea

specifica radiala"-) cu

      Lungirea specifica de-a lungul axei Q ("lungirea specifica circumferentiala") cu

      Lunecarea specifica adica deformatia unghiului drept BAD cu

Sa urmarim procesul de deformatie al trapezului curbiliniu elementar ABCD, prezentat in detalium in figura (1.13.2), descompus in mod conventional in citeva etape componente:

   El sufera, de exemplu, o deplasare in lungul axei r, cu deformatia corespunzatoare a

laturilor,trecind din pozitia ABCD in pozitia ;   Are dupa acea o deplasare in lungul axei Q- cu deformatia corespunzatoare laturilor-,

trecind din poziotia in pozitia ;

  

Considerand si aparitia unor

deformatii unghiulare sub actiunea tensiunilor tangentiale ( deci rotind laturile

) elementul trece din pozitia inpozitia .

Evident ca aceasta schema de deformare este numai un model, un mod de a ne reprezenta mcit mai intuitive procesul real complex de deformare a elementului de volum.

5.Sa stabilim componentele deplasarilor diferitelor puncte ale elementului.

Punctul sufera deplasariile =u si

Deplasarea punctului o vom gasii prin dezvoltarea in serie Taylor a

eunctiilor din care retinem numai termenii de ordinul intii:

(1.13.4)

Pentu celelalte puncte care au pozitii mai particulare se obtin urmatoarele componente pentru deplasari:

(1.13.5)

(1.13.6)

(am facut pe rind in 1.13.4, si dr=0).

6.Sa trecem acum la calculul deformatiilor specifice.A.                 Deformati specifica pe directia radiala este egala cu diferenta dintre lungimea fimala si

lungimea initiala a elementului raportata la lungimea initiala:

(1.13.7)

B. Deformatia specifica in directia radiala Aceasta lungime specifica este mai greu de calculat; eaa este o consecinta a doua cause:

In primul rind cind au loc numai deplasari radiale lugime specifica a elementului

(deci cresterea arcului AD datorita cresterii razei cu u) va fi egala cu:

(x)

In al doilea rind, din cauza deplasarii v de-a lungul axei Q a punctului A si a deplasarii

a punctului D; lungimea arcului AD va fi egala cu:

iar lungimea specifica:

(xx)

Atunci, lungirea specifica totala de-a lungul axei Q va fi:

(1.13.8)

C. Lunecarea specifica . Ea reprezinta miscarea unghiului drept BAD datorita rotirii laturi

in cu unghiul si al laturii (cu unghiul ).

Sa calculam pentru inceput unghiul . Urmarind figura 1.13.2 avem evident:

(ca unghi exterior) .

Unghiul rezulta imediat

Pentru calculul lui , ducem din punctual parplela .

Atunci:

Arcul

Iar

Deoarece:

Rezulta

Deci: (1.13.9)

Deformatia unghiulara datorata rotirii latirii va fi

(1.13.10)

lunecarea specifica are in final expresia:

(1.13.11)

In felul acesta, ecuatiile geometrice car leaga deformatiile specifice de deplasari, au in coordonate polare forma:

(1.13.12)

ECUATIILE DE CONTINUITATE.

7.Am vazut cA grupul de ecuatii de continuitate, in cazul problemei plane, se reduce la o

singura ecuatie:

Pornind de la aceasta ecuatie am gasit ecuatia lui Levy si de aici folosind functia de tensiune al lui Airy F(x,y) am aratat ca aceasta trebuie sa verifice ecuatia biarmonica:

sau (1.13.13)

Aceasta este forma ecuatiei de continuitate in coordonatee carteziene exprimata cu ajutorul functiei de tensiune F.

Sa transformam aceasta ecuatie in coordonate polare .Se vede ca pentru aceastatrebuie sa exprimam in coordonate polare atit functia de tensiune F(x,y) cit si derivatele sale successive, Pornim de la relatia de transformare a coordonatelor carteziene in coordonate polare:

(1.13.14)

Caut expresiile lui ;derivez ultimul grup de relatii:

(1.13.15)

8.Trecem acum la calculul derivatelor functiei de tensiune F(x,y) (sau ):

Dar:

(xx)

Daca scadem ultime le doua rezultate se obtine:

(x)-(xx)=

Intru totul asemanator se obtine:

(1.13.16)

Folosind aceste relatii se gaseste cu usurinta ca:

(1.13.17)

Rezulta deci operatorul lui Laplace are in coordonate polare forma:

(1.13.18)

astfel incat ecuatia de continuitate (1.13.13) exprimata prin functia de tensiune se poate scrie:

(1.13.19)

sau:(1.13.20)

9.Cunoscand functia de tensiune obtinuta prin rezolvarea acestei ecuatii, se pot

obtine si expresiile tensiunilor date in coordonate carteziene de relatiile (1.13.6):

Putem calcula direct tensiunile in coordonate polare, observind ca daca dirijam axa x ce-a lungul

razei r, iar axa y de-a lungul axei atunci:

(1.13.21)

Deci si aici in cadrul elasticitatii plane in coordonate plane se pune aceasi problema ca la

coordonatele carteziene; sa gasim o functie de tensiune , care sa verifice ecuatia biarmonica (1.13.20); cu ajutorul acesteia putem calcula imediat tensiuniile folosind ecuatiile (1.13.21).

LEGEA LUI HOOKE are aceasi forma ca in coordonatele carteziene, se schimba numai notatia tensiunilor si deformatiilor, corespunzator noilor axe:

(1.13.22)

1.14. CAZUL STARILOR DE TENSIUNE SIMETRICE IN

RAPORT CU POLUL

SOLUTIA IN TENSIUNI

1.Vom aplica ecuatiilor deduse mai sus la rezolvarea unor probleme mai simple. Cea mai simpla problema in care isi dovedesc utilitatea coordonatele polare, este cea a starii de tensiune simetrice in raport cu polul, caracterizata prin faptul ca in toate punctele unui cerc de raza r,

tensiunile sunt constante, adica nu depind de unghiul ; ca urmare si dervatele lor in raport cu sunt nule.,

Functia de tensiune a lui Airy poate fi luata in acest caz independenta de unghiul ; F (r). Operatorul lui Laplace devine:

(1.14.1)

iar ecuatia biarmonica de continuitate:

(1.14.2)

pe care o vom scrie dezvoltat astfel:

In final, ecuatia 1.14.2 devine:

(1.14.3)

In mod similar se simplifica si celelalte ecuatii ale starii plane:

I.Ecuatiile de echilibru:

(1.14.4)

II.Ecuatiile geometrice:

(1.14.5)

III.Legea lui Hooke:

(1.14.6)IV.Expresiile tensiunilor:

(1.14.7)

2.Sa incercam o rezolvare a acestei ecuatii (1.14.3) ;ea poate fi adusa la forma unei ecuatii liniare, omogene cu coeficienti constanti facand substitutia:

sau (x)

Deci:

Analog:

Inlocuind aceste rezultate in (1.14.3) rezulta ecuatia diferentiala de ordinul patru cu coeficienti constanti:

(1.14.8)

Ecuatia caracteristica este:

sau

care are doua radacini duble : si ce corespund la patru integrale particulare ale ecuatiei:

In acest fel integrala generala a ecuatiei diferentiale (1.14.8) este:

sau punind :

(1.14.9)

Se pot deci calcula tensiunile utilizand relatiile (1.14.7):

(1.14.10)

In fiecare problema concreta constantele de integrare vor fi diferite in raport cu conditiile

de suprafata pe care trebuie sa le satisfaca functia F(r) si deci si componentele tensiunilor .

SOLUTIA IN DEPLASARI

3.Solutia obtinuta mai sus a fost exprimata in functie de tensiuni; evident ca putem obtine si o solutie in functie de deplasari.

Vom porni de la legea lui Hooke:

Se rezolva acest sistem de ecuatii in raport cu si si se obtine forma in tensiuni:

(1.14.11)

Se introduc aici ecuatiile geometrice (1.14.5):

si se obtine:

(1.14.12)

Analizand acest rezultat se observa ca tensiunile nu sunt independente, ci sunt legate intre ele prin functia (u). Se poate atunci transforma ecuatia diferentiala de echilibru in care

apar doua functii necunoscute intr-o ecuatie diferentiala cu o singura necunoscuta: u(r).

Pentru cazul particular studiat de noi, am vazut ca ecuatiile diferentiale de echilibru se reduc de fapt la una singura (1.14.4):

(x)

Se calculeaza:

Ecuatia precedenta (x) devine:

(1.14.13)

Se obtine asa numita " ecuatie diferentiala a deformatiilor" care contine o singura functie necunoscuta u(r). Ea este o ecuatie diferentiala de tip Euler care se rezolva in mod obisnuit facind schimbarea de variabila:

Cu aceste transformari ecuatia (1.14.3) devine:

(1.14.14)

Ecuatia caracteristica este de forma cu solutiile si .

Solutia generala va fi de forma:

(1.14.15)

Aceasta este deci solutia problemei noastre in deplasari. Constantele de integrare se determina de asemenea pentru fiecare caz concret in parte punand conditiile pe contur.