notiuni generale de teoria elasticitatii

8/6/2019 Notiuni Generale de Teoria Elasticitatii

1/57

3. NOIUNI GENERALE DE TEORIA ELASTICITII

3.1. Introducere

Spre deosebire de Rezistena materialelor, Teoria elasticitii are ca obiect

determinarea strii de tensiune i deformaie ntr-un corp cu caracteristici

elastice cunoscute dac se cunosc fie forele exterioare, fie forma deformat sub

aciunea acestor fore. Teoretic, se demonstreaz c exist soluii pentru toate

cazurile, dar n practic s-au gsit soluii, pe baza teoriei elasticitii, numai pentru

unele cazuri particulare i anume pentru corpuri de form simpl, anumite bare

prismatice, anumite forme de plci i unele blocuri supuse numai la anumite

ncrcri.

Rezistena materialelor utiliznd, n plus fa de Teoria elasticitii, ipoteza lui

Bernoulli, rezolv o serie mare de probleme puse de practica inginereasc. Aceste

soluii, obinute pe baza unor relaii simple, se apropie de realitate i sunt acceptabile

pentru construciile inginereti.

Rezistena materialelor utilizeaz, pe lng legile i relaiile din mecanicateoretic i o serie de elemente din Teoria elasticitii, printre care analiza strii de

tensiune i deformaie.

3.2. Tensiuni

Dac un ER este supus aciunii unor fore exterioare n interiorul acestuia vor

apare fore de atracie sau de respingere suplimentare care au tendina de a pstra

forma sa iniial. Dac aceste fore nu ar exista ER nu ar fi capabil s suporte

ncrcrile exterioare.

S considerm o bar, n echilibru, acionat de un sistem de fore exterioare

(F1, F2,..., Fn) (fig. 3.1,a).


2/57

Forele exterioare au tendina de a modifica forma barei iar forele interioare se

opun deformaiei barei.

S presupunem c am secionat bara cu un plan Q normal pe axa barei (Ox). Pefiecare element de suprafaAx, de pe suprafaa de separaie, va aciona cte o for

interioarR. Toate forele R de pe ntreaga suprafa de separaie, menin prile I

i II mpreun cu planul Q. Fora interioar R poate fi descompus n trei

componente paralele cu axele Ox, Oy i Oz: respectiv Nx, T

y, T

z.

Mrimea forei interioare R poate fi diferit pe suprafa i s depind de

poziia ariei A. Intensitatea forei pe elementul de arie A este egal cu raportul

RA . Dac reducem aria finitA la o arie infinitezimal din jurul unui punct, seobine o nou mrime de intensitate numit tensiune. Astfel se obine tensiunea

normalx:

xA

x xNA

dNdA

= =lim 0 , (3.1,a)i corespunztortensiunile tangeniale:

xyA

y yT

A

dT

dA= =lim 0 , dAdTATlim zz0Axz == . (3.1,b)

Fig. 3.1


3/57

Tensiunile normale sunt pozitive, dac produc ntindere i negative, dac

produc compresiune.

Tensiunile tangeniale sunt produse de forele coninute n planul Q al seciunii.

Acestea se consider pozitive cnd rotesc elementul de volum n sens orar, irespectiv negative cnd rotesc antiorar.

Tensiunile se msoar n uniti de for pe unitate de arie Pa, MPa, GPa,

N/mm2, kN/mm2, etc.

Mrimile i nu sunt vectori (deoarece ele se obin din raportarea unor foreelementare la o suprafa elementar), ci sunt mrimi tensorialei ca atare, trebuie

avut grij s li se aplice regulile de operare specifice tensorilor.

Tensiunile normale se noteaz cu un singur indice - cel al axei normale la

seciune, iar tensiunile tangeniale cu doi indici: primul indice arat axa

normal la seciune iar al doilea, axa paralel cu tensiunea.

3.3. Tensiuni pe un element de volum

Dac decupm din bar (fig.3.1) un element infinitezimal cu ajutorul unor

plane imaginare paralele cu planurile zOy, zOx, xOy, ce au distan ele ntre ele dx, dy,

dz, se obine un paralelipiped elementar (fig.3.2,a).

Acesta se consider c reprezint un punct din ER. Pe faa din stnga a

acestui element vor aciona tensiunile x,

xy i

yzdeterminate cu relaiile (3.1).

Forele elementare de pe aceast fa sunt:

dN dA dy dz

dT dA dy dzdT dA dy dz

x x x

y xy xy

z xz xz

= = = = = =

,

,.


4/57

Pentru analiza strii de tensiune adoptm ipoteza: forele elementare ce

acioneaz pe cele dou arii elementare, ale unui element infinit mic, paralele

ntre ele, sunt egale i de sens contrar, adic dac pe faa din stnga elementului

exist forele elementare xdA, xydA i xzdA atunci i pe faa din dreaptaelementului, de aceeai arie dA, vor aciona aceleai fore elementare

xdA,

xydA i

xzdA de sens contrar. Atunci rezult c pe feele elementului infinitezimal de

volum vor aciona tensiunile ca n figura (3.2,b).

Cele 9 componente: x,

y,

z,

xy,

xy,

yx,

xz,

yz,

zy, caracterizeaz n

ntregime starea de tensiune n jurul unui punct O. Acestea sunt mrimi tensoriale

(diferite de mrimile scalare i vectoriale) i se reprezint prin tensorul tensiune.

T

x yx zx

xy y zy

xz yz z

=

. (3.2)

Tensorul tensiuneeste un tensor de ordinul doi, ce conine, pe cele 6 fee ale

elementului de volum, cele 9 componente menionate mai sus. Pe fiecare fa a

elementului de volum se afl cte o component, paralel cu axa normal la fai

Fig. 3.2


5/57

cte dou componente , coninute n planul seciunii i paralele cu cele dou axe aleseciunii.

Elementul infinitezimal sub aciunea forelor elementare este n echilibru i de

aceea forele normale trebuie s fie dou cte dou coliniare egale n mrime i desens contrar, iar sistemul de fore tangeniale trebuie s fie de asemenea n echilibru.

Astfel, forele tangeniale trebuie s fie egale, n mrime i de sens opus, dou cte

dou iar momentul fa de centrul elementului s fie nul:

22

22

0 =xy yxdy dz dx dx dz dy . Prin simplificare cu dxdydz va rezulta: xy yx .Dac punem condiii similare i pentru tensiunile de pe celelalte fee paralele

ntre ele, din figura (3.2,b) se obin relaiile:

xy yx , yz zy , i zx xz . (3.3)Aceaste relaii reprezintdualitatea tensiunilor tangenialei precizeaz c:

pe feele perpendiculare ale unui element infinitezimal pot exista simultan

tensiunile tangeniale xy i yx. Acestea sunt coninute n planuri ce corespundfeelor elementului de volum i produc dou cte dou cupluri egale n mrime

i de sens opus. De aceea ele trebuie s fie simetrice fa de muchia comun a

celor dou fee. Din relaiile (3.3) rezult c din cele 9 componente ale tensorului

(2.2) numai 6 sunt distincte i deci tensorul tensiune este simetric fa de

diagonala principal.


6/57

3.4. Starea plan de tensiune. Variaia tensiunilor n jurul unui punct

n multe din problemele inginereti se ntlnete cazul particular al strii

generale de tensiune, cnd ER este ncrcat cu fore coplanare n echilibru, i n acestcaz pe suprafaa liber de sarcini, nu exist sarcini normale i paralele cu acestea. De

asemenea, innd seama de condiia de echilibru, pe o fa paralel cu prima i aflat

la distan infinit mic (dz), forele vor fi nule. n acest caz toate forele sunt

coplanare i starea de tensiune corespunztoare se numete stare plan de tensiune(fig. 3.3,a) i ea poate fi reprezentat simplificat ca n figura (3.3,b)

Considerm elementul infinit mic din figura 3.4 n form de prism

triunghiular, cu baza un triunghi dreptunghic, decupat din elementul de volum din

figura (3.3,b) i acionat de componentele x,

y

, xy

= yx

. Pe faa AC, nclinat cu unghiul ,vor apare tensiunile necunoscute i .

Faa BC se consider de arie dA, iar

grosimea elementului constant. n acest caz,

aria feei AC este dAcos, iar a feei AB estedAsin.

Fig. 3.3

Fig. 3.4


7/57

Din ecuaiile de proiecii a forelor elementare pe direciile i , dincondiiile de echilibru ale elementului se obine:

0cossin2dAsincosdA

sindAcosdAdA

xyxy

2

y

2

x

=

+ + =

dA dA dA

dA dA

x y

xy xy

cos sin sin cos

cos sin2 2 0

Simplificnd cu dAi innd seama cxy= yx rezult:

cossin2sincos xy2y2x ,( ) ( ) = + + x y xysin cos cos sin2 2 .

innd seama c:

sincos2 1 2

2 = , cos cos2 1 2

2 = + , sin cos sin = 2

2,

expresiile de mai sus devin:

= + + + x y x y xy2 2

2 2cos sin , (3.4,a)

=

+ x y

xy2 2 2sin cos . (3.4,b)

Aceste relaii permit determinarea tensiunilor pe o suprafa nclinat cu

unghiul . Normala la aceast suprafa face cu axa Ox unghiul . Unghiul maipoate fi definit i ca unghiul cu care trebuie rotit axa Ox pentru a o suprapune peste

normala la suprafaa nclinat dat.

Unghiul este considerat pozitiv cnd rotete n sens orar axa Ox ctrenormala la suprafaa nclinati negativ cnd rotete n sens antiorar .

Se observ din relaiile (3.4) c tensiunile i sunt funcii circulare de parametru 2. ntruct este necesar s se cunoasc valorile maxime i minime ale

tensiunilor se deriveaz expresiile (3.4,a) i (3.4,b) n raport cu parametrul 2.

Valorile extreme ale tensiunilor se obin pentru valoarea parametrului pentru care

derivata se anuleaz.


8/57

02cos2sin2)2(d

d12xy12

yx = Se observ c derivata lui este i deci pe feele pe care ia valori

extreme, tensiunile tangeniale sunt nule.Planurile pe care tensiunile tangeniale sunt nule se numesc planuri principale

iar normalele la aceste planuri se numesc direcii principale.

Tensiunile normale pe planurile principale se numesc tensiuni principale i

deci tensiunile principale sunt tensiuni maxime sau minime, pe planurile n care = 0,adic pentru:

tgxy

x y

22

1 2

, = , sau

1 2

1

2

2

2,= arctg

xy

x y

. (3.5)

n relaiile de mai sus s-au pus doi indici deoarece funcia tangent are perioada

i deci pe un cerc ntreg vor fi dou soluii 21i 22 diferite ntre ele prin 180oi

deci direciile 1

difer de 2

cu 90o, adic sunt perpendiculare ntre ele.

Pentru a obine unghiul 1

se mai poate utiliza relaia (vezi 3.5):

1

2

=

arctgxy

x

. (3.5,a)

Direcia 1 este a tensiunii maxime 1 iar direcia 2 a tensiunii minime 2.

Dacinem seama n formulele (3.5), de relaiile trigonometrice, obinem:

2xy

2

yx

xy

2,12

2,1

2,1

2

2tg1

2tg2sin

=

= ,

2xy

2

yx

yx

2,12

2,1

2

2

2tg1

12cos

== .

nlocuind aceste expresii n expresia (3.4,a) se obin expresiile celor dou

tensiuni principale:


9/57

1 22

2

2 2, = + +x y x y xy . (3.6)

Tensiunea maxim, 1 se obine cnd lum n faa radicalului semnul plus, iar

cea minim2, semnul minus.

Procednd la fel i cu cea de a doua relaie (3.4,b), prin derivare n raport cu

parametrul 2 i egalnd cu zero, se obin valorile pentru care tensiunea devineextrem:

( ).2tg

1

2'2tg

,0'2sin'2cos22d

d

2,1xy

xy

12

12xy12

yx

=

= (3.7)

Din relaia (3.7) rezult c direciile 21,2 i 2~1,2 sunt perpendiculare, deci

rezult c: tensiunile tangeniale extreme se afl pe feele elementului ce difer cu

45 fa de feele pe care avem tensiunile normale principale.Dac nlocuim parametrul 2~1,2 n expresiile (3.4) se obine:

m x y ct+ = + = + =1 22 2 2

+90 . , (3.8)

1 2 1 22

2

2 2, . = +x y xy (3.9)

Relaia (3.8) ne arat c suma tensiunilor normale pe dou fee perpendiculare

este constant.

Relaia (3.9) exprim egalitatea dintre semidiferena tensiunilor normale

principale cu tensiunea tangenial maximi respectiv cu valoarea de sub radical din

relaia (3.6) i se poate scrie:

1 2 1, = m . (3.6,a)Pe feele nclinate la 45, fa de planele principale, apar tensiuni tangeniale

extreme i tensiunile medii normale, egale cu semisuma tensiunilor normale.

Starea plan de tensiune, din figura (3.5,a), este echivalent cu starea de


10/57

tensiune din figura (3.5,b), (tensiunile principale normale 1, 2) i cu cea din figura

(3.5,c), (tensiunea medie m i tensiunile tangeniale principale 1 i 2). Aceasta

poate fi scrisi prin expresia tensorial:

Tx xy

yx y

m

m

= = 1 2 2100 .

3.5. Cercul lui Mohr pentru starea plan de tensiune

Variaia tensiunilor n jurul unui punct poate fi analizat mai simplu, prin

utilizarea unei reprezentri grafice, ce rezult din ecuaiile (3.4):

2

xy

yx

2

yx2sin2cos

22

=

,2

xy

yx2 2cos2sin2

.

Adunnd cele dou ecuaii i eliminnd parametrul 2, obinem: + + = +

x y x y

xy2 2

2

2

2

2

2

. (3.10)

Aceast expresie reprezint ecuaia unui cerc, numit cercul lui Mohr pentru

starea plan de tensiune i are:

- sistemul de axe:

Fig. 3.5


11/57

abscis: O;ordonat: O;

- coordonatele centrului C :

c x y= +2

i c = 0 ,- raza:

Rx y

xy

+ =

2 2

2

2 1 2 ,

- parametru n coordonate polare:

2.Acesta ne arat c oricrui unghi de la starea real de tensiune i corespunde

un unghi la centru (2),pe cercul lui Mohr.Construcia acestui cerc se realizeaz astfel:

- se reprezint la scar punctele ( )A x xy, i ( )B y xy n sistemul deaxe de coordonate O;

- se traseaz segmentul AB care este diametrul cercului lui Mohr;

- intersecia segmentului AB cu axa O este centrul cercului lui Mohr,

C(m, 0);

- se traseaz centrul cu raza CA sau CB.

Determinarea tensiunilor principale i a direciilor principale se face astfel:

- intersecia cercului cu axa O la dreapta, este punctul S1(1, 0), iar la

stnga S2(2, 0), deci 1= OS1i 2= OS2;

- raza CA este orizontala pe cerc i unghiul de la orizontala pe cerc (CA)la sensul pozitiv al axei O este 21;

- simetricul punctului A fa de axa O este punctul A care unit cu S2 ne

d direcia principal (1);


12/57

- ordonatele punctelor T1i T2 reprezint tensiunile tangeniale maxim1i respectiv minim2, egale n modul dar cu semn schimbat;

- direcia (2) este o dreapt perpendicular pe direcia (1), iar direciile (1)

i (2) se afl la 45o

fa de direcia (1) sau (2).Pe cercul lui Mohr se pot obine i tensiunile ce apar pe o suprafa nclinat cu

un unghi oarecare . Unghiul se obine ca fiind unghiul de rotire al axei Oxpentru a o suprapune peste normala la suprafaa nclinat dat (fig.2.2,b).

Pentru a obine aceste tensiuni vom lua un unghi la centru 2 de la orizontalape cerc (raza CA) n sensul de msurare a ughiului . Punctul de pe cerc M va aveacoordonatele i respectiv . Simetricul punctului M fa de centrul cercului va fiN. Coordonatele punctului N ne vor da tensiunile pe suprafaa nclinat cu unghiul

2

, respectiv +90oi +90o.

Fig. 3.6


13/57

Observaie:

Relaia (3.5,a) se obine din figura 3.6 astfel:

tgA A

S A

xy

x

1 12 1 2

= = '

.

Aplicaia: 3.1. Cunoscnd starea de tensiune din figura (3.7,a) s se determine:

a) tensiunile principale,

b) direciile principale,

c) tensiunile pe faa nclinat,

d) s se reprezinte mrimile determinate.

Rezolvare:

I Metoda analitic.

Se recunosc mrimile date, cu semnele lori anume:

x= 60 MPa, tensiunea normal paralel cu axa Ox;

y= 20 MPa, tensiunea normal paralel cu axa Oy;

xy= 50 MPa, tensiunea tangenial perpendicular pe axa Ox i paralel cu

axa Oy;

= - 70o, unghiul cu care trebuie s rotim sensul pozitiv al axei Ox pentru

al suprapune peste normala la suprafaa nclinat dat (minus pentru c

are sens antiorar).

Cu relaia (2.6) se determin tensiunile principale:

1 2

2

22

2

2 2

60 20

2

60 20

250

40 58 31

,

,

=+

+ =

+

+ =

=

x y x yxy

MPa,

1 2 1 298 31 18 31 40 58 31= = = = , , ,,MPa; MPa; MPa; MPam .

Din relaia (3.5,a) se determin unghiul 1 care ne d direcia principal (1):

150

60 18 3132 56=

=

+=arctg arctgxy

x z ,, o .


14/57

Utiliznd relaiile (3.4) se determin tensiunile pe faa nclinat:

=+

+

+ =

=

+

+

+ =

x y x yxy2 2

2 2

60 20

2

60 20

2 2 70 50 2 70 7 46

cos sin

cos( ) sin( ) ,

o o

MPa.

=

+ =

=

+ =

x yxy2

2 2

60 20

22 70 50 2 70 25 45

sin cos

sin( ) cos( ) ,o o MPa .

Tensiunile pe faa nclinat cu + 90 0 se obin din relaia (2.13):

+90

MPa ;o

= = + =2 20 40 7 46 87 46m , ,

i respectiv din dualitatea tensiunilor tangeniale : +90 MPa .o = = 2545,

La reprezentare se duce o dreapt nclinat fa de orizontal cu 1 rezultnddirecia principal (1), pe care se reprezint un element de volum. Pe acest element de

volum (fig.3.7,b) se reprezint numai tensiunile normale principale 1 i 2 (1

paralel cu direcia (1) i 2 perpendicular pe direcia (1)) tiind c tensiunile

tangeniale sunt nule.

Fig. 3.7


15/57

Fa de direcia principal (1) se duce o direcie la 45o

(n cazul nostru la

- 45o) care va fi direcia principal (1) sau (2). Reprezentnd un element de volum i

pe aceast direcie (fig.3.7,c), vom reprezenta tensiunea normal medie pe toate

laturile precum i tensiunile tangeniale maxime i respectiv minime. Sensul acestortensiuni tangeniale se obine din proiecia forelor elementare corespunztoare unui

col al elementului de volum desenat, dup direcia principal (1). Dac se

proiecteaz forele corespunztoare colului de sus pe direcia dus la 45o se va

obine sensul tensiunii tangeniale de deasupra elementului, iar dac se proiecteaz

forele corespunztoare colului de jos se obine sensul tensiunii tangeniale de sub

elementul construit. Cunoscnd sensul tensiunilor tangeniale se afli ce direcie a

fost trasat. Deoarece 1 este perpendicular pe direcia dus, aceasta este direcia (1).

Unghiul 1, se msoar de la orizontal la direcia dus (n cazul nostru

1 1 45 32 65 45 12 35, , ,= = = o o o o ).

Dac 2 era perpendicular pe direcia dus aceasta ar fi fost direcia (2) i

analog se obinea atunci unghiul 2, .

Reprezentarea tensiunilor pe faa nclinat se face pe un element de volum

construit pe dreapta n prelungirea acestei suprafee i se va reprezenta (fig.3.7,d): , perpendicular pe suprafaa nclinat dat,

+ 90o

, paralel cu suprafaa nclinat dat,

, paralel cu suprafaa nclinat dati

+ 90o conform dualitii tensiunilor tangeniale.

II Metoda grafic.

Se reprezint ntr-un sistem de coordonate O , la scar, punctele

( ) ( )A Ax xy , ,= 6050 i ( ) ( )B By xy , , = 20 50 . Se duce segmentul AB (fig. 3.8)

care este diametrul cercului lui Mohr, iar intersecia acestuia cu axa orizontal este

centrul cercului ( )C m ,0 .

Se traseaz cercul cu diametrul AB i se noteaz punctele ( )S1 1 0 , i


16/57

( )S2 2 0 , , intersecia cercului cu axa O la dreapta i respectiv la stnga. Prin centrul

cercului se duce o paralel la axa O pn intersecteaz cercul n ( )T m1 1 , , spre

sensul pozitiv al lui O i ( )T m2 2 , , spre sensul negativ al lui O .

Se msoar lungimile segmentelor (la scara utilizat) obinndu-se:

1 1 98= =OS MPa;

2 2 18= = OS MPa;

1 1 58= =OT MPa;

2 2 58= = OT MPa.

Obinerea direciei principale (1): Raza CA este orizontal pe cerc, iar

unghiul de la orizontala pe cerc la sensul pozitiv al axei O este 2 1 . Se duce

simetricul punctului A, corespunztor orizontalei de pe cerc, fa de axa O

Fig. 3.8


17/57

obinndu-se punctul A. Unind S2 cu A se obine direcia real (1), iar unghiul de la

axa orizontal la direcia (1) este 1 i msurat rezult: 1 32=o .

Reprezentarea tensiunilor principale dup direcia (1), (fig.3.8,b) i dup

direcia (1

), (fig.3.8,c) se face analog ca la metoda analitic.Tensiunile pe faa nclinat. De la orizontala pe cerc se msoar un unghi

2 2 70 = o (n acest caz n sens antiorar deoarece unghiul este negativ,) i se

obine punctul ( )M , . Simetricul acestui punct fa de centrul cercului va fi

punctul ( )N oo o + +9 90, . Msurnd, la scara la care s-a lucrat, coordonatele acestor

puncte, se obin tensiunile:

= - 7 MPa; = - 25 MPa;

+ 90o= 87 MPa;

+ 90o= 25 MPa.

Reprezentarea tensiunilor pe faa nclinat se face tot ca la metoda analitic

(fig.3.8,a).

Analiza complet i exact a strii plane de tensiune pe cerc presupune o

construcie precis, la scar, cu rigla i compasul.

3.6. Cazuri particulare ale strii plane de tensiune

3.6.1. Starea liniar de tensiune(x= > 0,

xy=

y-

2= 0)

Datorit faptului c2= 0 va rezulta S2= 0 i ca atare cercul trece prin origine.

Aceasta este mai simplu i sugestiv de rezolvat grafic. Punctul S1= 1 este abscisa

maxim. Tensiunile tangeniale maxime, aflate la 45

o

au valorile

1 2 2= =

,

m =2

, (fig.3.9).


18/57

Tensorial aceast situaie se poate exprima astfel:

T =

0

0 02 2

2 2

.

3.6.2. Forfecarea pur (x=

y= 0,

xy=

yx= > 0)

Utiliznd i n acest caz metoda grafic, ntruct x= y= 0 cercul lui Mohr are

centrul n origine C O iar tensiunile principale sunt (fig. 3.10):

1 2 = .Tensorul tensiune va avea urmtoarea form:

T = 0 0 00 .Direciile principale fac unghiurile 1= 45

oi 2= - 45

o.

Forfecare pur este echivalent cu starea de tensiune plan n care

tensiunile sunt egale i de sens opus.

Fig. 3.9

Fig. 3.10


19/57

3.7. Analiza strii generale de tensiune

Valorile celor nou componente ale tensorului tensiune (relaia 3.2 sau/i fig.

3.2,b) sunt funcie de orientarea feelor elementului infinitezimal considerat. Analiza

strii spaiale de tensiune se va face considernd un plan nclinat, a crui normal are

cosinuii directori l, m, n. Cu acest plan se secioneaz elementul din figura (3.2,b)

obinndu-se tetraiedrul OABC din figura 3.11.

Dac faa ABC are aria de mrime dA, atunci cele trei fee ce sunt paralele cu

planurile axelor de coordonate, au ariile:

dAx= ldA, dAy= mdA,dAz= ndA.

Pe cele trei fee din planele axelor de coordonate se dezvolt tensiunile: x, y,

z, xy= yz, yz=zy, zx= xz. Corespunztor acestor tensiuni n figura 3.11 s-au

reprezentat eforturile elementare. Pe faa nclinat ABC vor aciona componentele

dX, dY i dZ ale efortului elementar dR, precum i componentele px, py, pz aletensiunii p . Expresiile acestor componente sunt:

( )dX l m n dAx yx zx + + ,( )dY l m n dAxy y zy + + ,( )dZ l m n dAxz yz z + + ,

(3.11)

pdX

dAx = , p dY

dAy = , p dZ

dAz = .

Modulul efortului elementar i al

tensiunii va fii:

Fig. 3.11


20/57

dR dX dY dZ+ +2 2 2 , p p p px y z+ +2 2 2 . (3.12)La analiza strii spaiale de tensiune intereseaz tensiunea normal i cea

tangenial de pe faa nclinat dA, ce se obin cu relaiile (3.1). Pentru analiz

trebuiesc determinate componentele dN (dup direcia normalei) i dT (coninut n

planul seciunii dA) ale efortului elementar dR.

Componenta dN va fi:

dN l dX m dY n dZ + + ,iarinnd seama de expresiile 3.11 rezult:

( )] dAlnnmml2nmldN zxyzxyz2y2x2 . (3.13)Fora elementar tangenial va fi:dT dR dN2 2 . (3.14)nlocuind n relaia de definiie a tensiunilor (3.1) valorile eforturilor

elementare de mai sus (3.13) i (3.14) rezult relaiile pentru tensiuni de pe faa

nclinat:

( ) = + + + + + dNdA

l m n l m m n n lx y z xy yz zx2 2 2 2

= = dTdA

dR dN

dAp

2 22 2

. (3.15)

Considerm un vector v O M' , ce are direcia normalei la suprafaa nclinat

dA, de modul vi care va avea proieciile pe axele de coordonate:

x = l v, y = m v, z = nv,iar cosinuii directori ai vectorului v sunt:

lx

v my

v nz

v= = =, , . (3.16)Dac vom considera c modulul vectorului este invers proporional cu rdcina

ptrat a tensiunii normale:

vk= , respectiv =

k

v

2

2, (3.17)


21/57

vrful vectorului v va descrie o suprafa ce rezult din prima ecuaie (3.15), innd

seama de (3.16) i (3.17):

= + + + + + kv xv yv zv x yv y zv z xvx y z xy yz zx2

2

2

2

2

2

2

2 2 2 22 ,

care dup simplificare rezult:

( ) 2zxyzxyz2y2x2 kxzzyyx2zyx (3.18)Ecuaia (3.18) arat cum variaz tensiunea normal i poart numele de

cuadrica tensiunilor normale (cuadrica lui Cauchy). Componentele tensorului

tensiune sunt coeficienii cuadricei.

Raportnd cuadrica la axele sale principale (1, 2, 3) dispar termenii ce con in

produse de coordonate, respectiv ce conin tensiunile tangeniale. Rezult c exist

trei plane perpendiculare ntre ele pe care tensiunile tangeniale sunt nule. Pe aceste

fee acioneaz numai tensiuni normale 1 > 2 > 3, ce se numesc tensiuni

principale. Direciile acestora sunt chiar direciile axelor principale.

Determinarea tensiunilori a axelor principale se face din condiia c pe faa nclinat

dA (fig. 3.10), tensiunea tangenial este nul. Ca urmare, cele trei componente ale

efortului de pe suprafaa dA sunt:

dX l dA , dY m dA , dZ n dA .nlocuind aceste expresii n relaia (3.11) se obine sistemul de ecuaii:

( )( )

( )l m n

l m n

l m n

x yx yz

xy y zy

xz yz z

+ + = + + = + + =

0

0

0

(3.19)

Pentru ca acest sistem s aib soluii diferite de soluia banal (egal cu zero)

este necesar ca:

x yx zx

xy y zy

xz yz z

= 0.


22/57

Dezvoltnd determinantul se obine ecuaia:

3 1 2 2 3 0 + =I I I , (3.20)unde coeficienii lui sunt invariani (deoarece oricare ar fi sistemul de axetensiunile principale sunt aceleai:

I x y z1 1 2 3+ + = + + . ,133221

2

zx

2

yz

2

xyxzzyyx2I ,

3

2

1

zyzxz

zyyxy

zxyxx

3

00

00

00

.I =

= (3.21)

Ecuaia (3.20) are trei soluii reale care sunt cele trei tensiuni principale:1>2>3.

Ecuaia cuadricei n raport cu axele principale este:

x y z k 2 12

22

32 + + = . (3.22)

Direciile principale 1, 2, 3, ce definesc feele pe care se dezvolt tensiunile

principale, se obin din sistemul de ecuaii (3.19) nlocuind pe rnd tensiunea cu

fiecare valoare a tensiunilor principale 1, 2, 3, i la care se adaug condiia:

l m n2 2 2 1+ = . (3.23)Cele trei direcii principale sunt ortogonale i deci:

n n n n n n1 2 2 3 3 1 0= = = . (3.24)Eliminnd parametrii l, m, n din ecuaia (3.23) pentru direciile principale cu

valorile acestora din relaiile:

pdX

dA

lx = = 1 , p dYdA

my = = 2 , p dZdA

nz = = 3 ,se obine ecuaia:

p p px y z2

12

2

22

2

32

1 + = . (3.25)


23/57

Aceast ecuaie reprezint ecuaia unui elipsoid numit elipsoidul tensiunilor

sau elipsoidul lui Lam i reprezint locul geometric al vrfurilor vectorului

p p i p j p k x y z + + , cu originea n O, cnd planul ABC se rotete.Dac se face o seciune prin elipsoidul tensiunilor cu un plan principal se

obine o stare plan de tensiune i respectiv elipsa tensiunilor care corespunde unei

tensiuni principale care este nul (ex. 3= 0). Dac dou din tensiunile principale sunt

nule (ex. 2= 3= 0) elipsoidul degenereaz ntr-o dreapt i corespunde unei stri

liniare de tensiune.

3.8. Cercul lui Mohr pentru starea spaial de tensiune

Tensiunile de pe o fa nclinat (ABC, fig.3.11) se pot determina i pe cale

grafic, cu ajutorul cercului lui Mohr dac elementul de volum este orientat dup

direciile principale (1), (2), (3), respectiv sunt cunoscute tensiunile principale

1 2 3, , , . Pe axa O se construiesc la scar segmentele OS OS1 2, i OS 3 (laabscisele 1 2 3, , ) i se traseaz semicercurile cu diametrele S S S S1 2 2 3, i S S3 1.

Triunghiul curbiliniu haurat reprezint locul geometric al strilor de tensiuni

, cnd planul nclinat se rotete n jurul punctului considerat.Considernd unghiurile , i ca fiind unghiurile pe care le face normala

la suprafaa nclinat cu 1 2, i respectiv 3 vom proceda astfel:- se traseaz dreapta S P1 1 ce face unghiul de la verticala dus n S1 ;

- se traseaz dreapta S P3 3 ce face unghiul de la verticala dus n S3 ;


24/57

Coordonatele punctului M, ce rezult din intersecia arcelor de cerc trasate cu

razele r C P1 1 1 i r C P3 3 3 reprezint tensiunile din planul nclinat. Acelai punct

se obine trasnd dreapta S P2 2 ce face unghiul de la verticala dus n S 2 i trasndarcul cu razr C P2 2 2 .

3.9. Cazuri particulare ale strii spaiale de tensiune

Se consider c elementul de volum are feele definite de cele trei direcii

principale 1, 2, 3 i deci pe acestea vor aciona numai tensiunile principale 1, 2, 3.

Fig. 3.12


25/57

3.9.1 Tensiuni n planuri bisectoare

Secionnd elementul de volum pe rnd cu cele trei plane bisectoare ale

diedrelor principale (fig. 3.13), pe fiecare fa din elementul de volum va exista ostare plan de tensiune deoarece a treia tensiune normal este coninut n plan,

ntruct planurile sunt la 45o fa de planurile principale , pe acestea vor aciona

tensiuni tangeniale maximei tensiuni normale medii.

Tensinile din planurile bisectoare sunt:

- n planul bisector 1:

1 2 3 1 2 32 2

m = + = , ; (3.26,a)- n planul bisector 2:

Fig. 3.13


26/57

2 1 3 2 1 32 2

m = + = , ; (3.26,b)- n planul bisector 3:

3 1 2 3 1 22 2m = + = , ; (3.26,c)Deci, pe fiecare fa a fiecrui plan bisector principal exist o stare plan

de tensiune cu tensiuni tangeniale maxime. Dintre cele trei plane bisectoare planul

bisector 2 conine tensiunea tangenial maxim a strii generale de tensiune.

max = = 2 1 32

. (3.27)

3.9.2. Tensiuni octaedrice

Un plan egal nclinat fa de direciile tensiunilor principale, ceea ce nseamn

l = m = n = 1 3 reprezint un plan octaedric (fig.3.14).Tensiunile pe un octaedru,

obinut prin secionarea elementului de volum cu opt asemenea plane, numite tensiuni

octaedrice sunt:

oct m = + +1 2 33

, (3.28)

Fig. 3.14


27/57

( ) ( ) ( )

oct = + + == + +

1

3

2

3

1 2

2

2 3

2

3 1

2

1

2

2

2

3

2

(3.29)

Aplicaia 3.2 Pentru starea spaial de tensiuni din figura 3.15 s se determine:a) tensiunile principale;

b) direciile principale;

c) tensiunile octoedrice.

I. Recunoaterea mrimilor date:

innd seama de valorile date, de semnele convenionale atribuite avem:

x xy

y yz

z zx

MPa MPa

MPa MPa

MPa MPa

= =

= =

= =

180 60

80 70

100 50

; ;

; ;

; .

a) Cu relaiile (3.21) se calculeaz invarianii ecuaiei (3.20):

I x y z1 180 80 100 200= + + = + = MPa;

I x y y z z x xy yz zx22 2 2

2 2 2 4180 80 80 100 100 80 60 70 50 154 10

= + + =

+ + =

= MPa ;2( ) ( ) ,

Fig. 3.15


28/57

Ix yx zx

xy y zy

xz yz z

36

180 60 50

60 80 70

50 70 100

2 209 10= =

=

, MPa .3

Ecuaia (3.20) devine: 3 2 4 6200 1 54 10 2 902 10 0 + =, , ,

a crei soluii sunt:

1 2 3206 53 115 32 121 85= = = , , ,MPa > MPa > MPa .

Utiliznd relaiile (3.26) rezult:

11 3

21 2

32 3

2

206 53 121 85

2164 2

2206 53 115 53

24561

2

115 53 121 85

2118 6

=

=+

=

= = =

=

=+

=

, ,,

, , ,

, ,,

MPa ;

MPa ;

MPa .

Verificarea acestor soluii se face recalculnd invarianii ecuaiei (3.21) lund

drept axe de referin axele principale:

I

I

I

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

4

3 1 2 36

206 53 115 32 12185 200

206 53 115 32 115 32 121 85 121 85 206 53 1 54 10

206 53 115 32 121 85 2 209 10

= + + = + =

= + + =

=

= = =

, , ,

, , , , , , ,

, , ( , ) ,

MPa ;

= MPa ;

MPa .

2

3

b) Direciile principale

nlocuind = 1 sistemul (2.18) devine:- 26,53 l

- 60 l

50 l

1

1

1

+ =

+ + =

+ =

60 50 0

286 53 70 0

70 106 53 0

1 1

1 1

1 1

m n

m n

m n

;

, ;

, .

a crui soluii sunt: l1= 0,9249, m1= - 0,1055 i n1= 0,3655 ceea ce definesc direcia

tensiunii principale 1.Procednd analog pentru ( = 2) obinem valorile l2= - 0,297, m2= 0,4017 i

n2= 0,8663 care definesc direcia 2.


29/57

Dac n sistemul (3.19) introducem = 3 rezult l3= - 0,6967 i m3= - 0,9097i n3= 0,3405 care sunt cosinuii directori ai direciei 3

Verificarea soluiilor obinute se face din condiia de ortogonalitate a direciilor

s1 , s2i s3. Pentru direciile (1) i (2) rezult:l l m m n n1 2 1 2 1 2

0 9249 0 297 0 1055 0 4017 0 3655 0 8663 0

+ + =

= + =, , , , , ,

Pentru direciile (1) i (3):

l l m m n n1 3 1 3 1 30 9249 0 2373 0 1055 0 9097 0 3655 0 3405 0

+ + =

= + + =, , , , , ,

Direciile principale sunt reprezentate n figura (3.13,b).

c) Tensiunile octaedrice

Cu relaiile (3.28) i (3.29) se obin:

oct m= =+ +

=+

=1 2 33

206 53 115 3 121 85

366 66

, , ,, MPa ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

oct = + + =

+ + + =

1

31

320653 1153 1153 12185 12185 20653 1384

1 2

2

2 3

2

3 1

2

2 2 2= MPa., , , , , , ,

3.9.3. Tensorul sferic i deviatorul

Cnd tensiunile principale sunt egale:

1 2 3 0= = m (3.30)tensorul tensiune se numete tensor sferic. Aceast stare de tensiune are ca efect

numai modificarea volumului fr modificarea formei (sfera se deformeaz tot nsfer).

Cnd suma tensiunilor principale este nul:

( ) m = + + =13

01 2 3 pentru 1 2 30 0 0 , , (3.31)


30/57

tensorul tensiune se numete deviator. Efectul unei asemenea stri de tensiune este

schimbarea formei fr modificarea volumului (sfera se modific n elipsoid fr

s-i modifice volumul).

innd seama de relaiile (3.30) i (3.31) orice caz general de tensiune se poatedescompune n dou stri:

- una produs de tensorul sferic

- cealalt produs de tensorul deviator.

Se poate astfel exprima starea general de tensiune:

T T TS D= + , (3.32)sau explicit:

1

2

3

1

2

3

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

=

+

m

m

m

m

m

m

(3.33)

Aceast descompunere poate fi ilustrat prin strile de tensiune din figura 3.16

3.10. Variaia tensiunilor dintr-un corp. Ecuaiile de echilibru

n analiza strii de tensiune de mai sus s-a fcut ipoteza c tensiunile de pe

feele paralele ale elementului infinit mic sunt egale n mrime i de sens contrar.

Aceast ipotez este valabili trebuie fcut cnd se analizeaz variaia tensiunilor

Fig. 3.16


31/57

n jurul unui punct. La analiza variaiei tensiunilor ntr-un corp nu se mai accept

aceast ipotez pentru c se ia n considerare schimbarea intensitii tensiunilor

normale i tangeniale ntre dou fee paralele.

Pentru simplificarea demonstraiei se consider un element solicitat plan (fig.3.17). Astfel tensiunea normalx de pe faa vertical A devine x xx dx pefaa A ' unde

xx dx este creterea tensiunii xpe distana dx n direcia pozitiv aaxei Ox. n mod similar, xy de pe faa A devine xy xyx dx pe faa A ' .Aceste modificri se produc i pe direcia axei Oy aa cum este prezentat n figura

3.17. innd seama i de forele masice X dx dy dz i Y dx dy dz ceacioneaz n centrul de greutate al elementului considerat, vom avaea urmtoarele

ecuaii de echilibru:

x x x yx yx yxdy dz x dx dy dz dx dz y dy dz dx

X dx dy dz

+ + +

= 0,

Fig. 3.17


32/57

y y y xy xy xydx dz y dy dx dz dy dz x dx dy dz

Y dx dy dz

+ + +

= 0.

Reducnd termenii asemenea i simplificnd cu dxdydz se obin ecuaiile:

x yx

xy y

x yX

x yY

+ + =+ + =

0

0

,

.

(3.34)

Relaiile (3.34) reprezint variaia tensiunilor ntr-un corp pentru starea

plan de tensiune innd seama i de forele masice.

Dac forele masice sunt neglijabile n raport cu celelalte sarcini i nu se iau nconsiderare, relaiile de mai sus devin:

x yx

xy y

x y

x y

+ =+ =

0

0

,

.

(3.35)

Se constat c variaia tensiunilor normale trebuie s fie ntodeauna

nsoiti de variaia tensiunilor tangeniale i invers.Rezultatele obinute mai sus sunt aplicabile n practic fie c se ia elementul

din figura 3.3 (dac se analizeaz starea de tensiune n jurul unui punct) sau

elementul din figura 3.16 (cnd se analizeaz variaia tensiunilor ntr-un corp).

Prin extrapolare, din ecuaiile (3.34) se pot obine relaiile ce caracterizeaz variaia

tensiunilor ntr-un corp, dac se ine seama i de forele masice:

x yx zx

xy y zy

xz yz z

x y zX

x y zY

z y zZ

+ + + =+ + + =+ + + =

0

0

0

,

,

.

(3.36)

Dac se neglijeaz forele masice ecuaiile (3.36) devin:


33/57

x yx zx

xy y zy

xz yz z

x y z

x y z

z y z

+ + =+ + =+ + =

0

0

0

,

,

.

(3.37)

3.11. Deformaii i deplasri

Starea de tensiune s-a analizat ca efect al forelor interioare i n mod similar seva analiza modificarea dimensiunilor.

Prin deformaie se nelege modificarea dimensiunii ER. Modificarea

lungimii se numete lungire, cnd ER este ntins i respectiv scurtare, cnd acesta

este comprimat. Lungirile i respectiv scurtrile se noteaz cu l, x, y, z, etc.

Prin deformaie unghiular se nelege modificarea unghiurilor (drepte) i se

noteaz cu ; , etc.

Pentru a simplifica i evidenia mai clar studiul deformaiilor, s considerm unelement plan OABC decupat dintr-un ER solicitat plan. Starea plan de tensiune

poate fi considerat ca fiind suprapunerea a trei stri de tensiune: dou stri de

tensiune normal (fig.3.18,b i c) i una de forfecare pur (fig.3.18,d). Fiecare din

aceste stri de tensiune produc, deformaii caracteristice.

Starea de tensiune din figura (3.18,b) modific lungimea elementului, astfel c

elementul cu dimensiunile iniiale (linie ntrerupt) se schimb i ia forma

elementului reprezentat cu linie groas. Aceste schimbri sunt deformaii liniare, x

i y - unde x este o alungire, iary o contracie. Deformaiile liniare se msoar

n mm sau m.

Similar se deformeaz elementul pentru starea de tensiune din figura (3.18,c),

cu lungirea y i contracia x.


34/57

Deoarece deformaiile liniare nu pot caracteriza bine deformaiile unui ER,

pentru c depind de dimensiunile acestuia se utilizeaz noiunile de deformaii

specifice.

Se definete deformaie specific liniar pe o direcie raportul dintre

alungirea (scurtarea) elementului i lungimea iniial a acestuia pe direcia respectiv.

Pentru elementele din figura (3.18,b,c) se obin urmtoarele alungiri specifice:

x xdx

' '= i y ydy

'' ''= , (3.38,a)i scurtri (contracii) specifice:

y ydy

' '= i x xdx

'' ''= (3.38,b)Tensiunile tangeniale deformeaz elementul ca n figura (3.18,c,). Sub

aciunea tensiunilor tangeniale elementul i modific numai unghiul drept dar

lungimile laturilor rmn aceleai. Modificarea unghiului drept se noteaz cu xy

.

Deoarece unghiul xy

, este foarte mic, deformaia specific unghiular, se

poate defini astfel:

Fig. 3.18


35/57

xy xytg ldx

= ''' , (3.38)i se numete lunecare specific.

Deformaiile specifice liniare i cele unghiulare sunt adimensionale. n

lucrrile tehnice de specialitate lungirile specifice se dau n m/m sau n %, iar

lunecrile specifice pot fi exprimate n m/m sau n radiani.

Deformaiile specifice sunt tensori ca i tensiunile.

Drumul parcurs de un punct al ER de la poziia sa iniial

corespunztoare unui ER nencrcat la poziia final, dup solicitare se numete

deplasare. Deplasrile sunt mrimi vectoriale.

Deplasarea, n mod uzual, poate rezulta din urmtoarele patru tipuri generale:a) translaia ntregului ER;

b) rotaia ntregului ER;

c) schimbarea dimensiunilor ER;

d) modificarea unghiurilor ER.

Primele dou deplasri sunt deplasri ale rigidului, iar ultimele dou tipuri sunt

cauzate de deformaia ER. Deplasrile rigidului s-au studiat la cinematic. n

Rezistena materialelor se vor studia numai deplasrile produse prin deformarea ER.

3.12. Analiza strii plane de deformaie

Dac suprapunem toate deformaiile din figurile (3.18,b,c,d) produse de

tensiunile normale i de tensiunile tangeniale se obine starea plan de deformaie(fig.3.18,e).

Elementul infinit mic din figura 3.19 poate fi considerat c reprezint un

punct din ER. Laturile elementului se iau paralele cu axele alese. Deformaiile

specifice x, y i xy asociate sistemului de axe Oxy sunt reprezentate n figura

(3.11,c).


36/57

n multe probleme inginereti se cere determinarea deformaiilor ntr-un sistem

particular de axe de coordonate Osn rotit cu unghiul fa de sistemul iniial.

n acest scop se consider elementul OASB, a crui diagonal OS face unghiul

fa de sistemul iniial Oxy, (fig. 3.20,b). Diagonala OS este latura elementului din

figura (3.20,a). Starea plan de deformaie conduce la deformaiile liniare

x ydx dy, i la deformaia unghiular ( )1+ x xy . Din cauza acestordeformaii punctul S se va deplasa n S2 efectund o rotaie SS dSn1 = i o translaieparalel cu OS: S S ds1 2 = .

Deplasrile punctului S rezul din insumarea corespunztoare a catetelor

Fig. 3.19

Fig. 3.20


37/57


38/57

Aceast mrime numit lunecare specific, se poate determina dac se

cunoate i unghiul 2.

Din figura (3.21,b) se determin:

( ) 2 1 4 3 2 1 2

1

= = = + == + +

dSdn

NNON

DD D D E EON

dx

dn

dx

dn

dy

dn

n

x x xy y cos sin sin .

innd seama c:

dx

dn

dy

dn= =sin , cos .

i n parantez neglijnd pe x fa de 1, se obine:( )2 2= + x y xysin cos sin

Prin urmare lunecarea specific rezult:

( ) ( ) xy x y xy = + 1 2 2 22 sin cos cos sin , i innd seama de expresiile funciilor trigonometrice ale unghiului dublu:

Fig. 3.21


39/57

( ) xy x y xy + sin cos .2 2 (3.41,b)Relaiile (3.4) exprim deformaiile specifice n sistemul de axe Osn, rotit cu

unghiul fa de sistemul iniial Oxy, n care se cunosc deformaiile specifice: x,y

i xy. Aceste relaii permit analiza strii plane de deformaie.Se observ c relaia (3.41,a) are structur identic cu relaia (3.4,a), iar

(3.41,b) cu (3.4,b). Dac face nlocuirea:

i 12

xy , (3.42)

se pot deduce unele relaii din celelalte. Acest fapt este normal dac se are n vedere

c att tensiunile ct i deformaiile specifice sunt mrimi tensoriale i ca atare

respect aceleai reguli.

Dac se ia n considerare relaia de similitudine (3.42) se poate scrie, fr

demonstraie, relaiile care dau direciile principale:

tgxy

x y

2 1 2

, , sau 1 2 12 2, = arctg xyx y . (3.43)Dac se urmrete obinerea unghiului 1se utilizeaz relaia :

( ) 1 22= arctg

xy

x

, (3.44)

precum i deformaiile specifice principale:

( ) 1 2 2 22

1

2, .

+ +x y x y xy (3.45)Deformaia specific medie este:

m x y z o ct+ = + = + =2 2 2

1 90 . (3.46)

Lunecarea specific maxim respectiv minim:

( ) ( ) 1 2 1 2 2 2, = = +x y xy (3.47)


40/57

Direciile pe care se afl lunecrile specifice maxime:

tgtg

x

xy

21

21 2

2

1 2

, , , = (3.48)

de unde rezult: 1 2 1 24

, , . (3.48,a)

3.13. Cercul lui Mohr pentru starea plan de deformaie

innd seama de relaia de similitudine (3.42) rezult c analiza strii plane dedeformaie (variaia deformaiilor n jurul unui punct), poate fi analizat pe cale

grafic, utiliznd cercul lui Mohr. Relaia (3.10), innd seama de (3.42) devine:

( ) .2

1

2

1

2

2

2xy

2

yx

22

yx

(3.49)Cercul lui Mohr pentru starea de deformaie (fig. 3.22) are:

- sistemul de axe: abscisa ;

ordonata /2.

- coordonatele centrului C:

m x y= + = +2 2

1 2 , =0

- raza OS1:

( ) ( )12

1

2

1

2

1 2

2 2 max , = +x y xy - parametru n coordonate polare:

2

- fiecrui punct de pe cercul lui Mohr i corespunde, ca abscis -deformaia

specific liniar () i ca ordonat -jumtate din lunecarea specific (/2),


41/57

-deformaiilor specifice liniare extreme 1i

2pentru care = 0, le corespund

punctele S1i S2 de pe axa O.

Aplicaia 3.2 Pentru starea plan de deformaie caracterizat prin

x = 500 m m/ y = 300 m m/ , xy = 600 m m/ , s se determine prin metoda

analitici grafic:

a) deformaiile specifice principale;

b) direciile principale;

c) s se reprezinte aceste mrimi.

I Metoda analitic:

a) Utiliznd relaia (3.45) se obine:

( )

1 2

2

2

2 2

2

1

2 2

500 300

2

1

2500 300 600 100 500

,

/

=+

+ =

=

+ + =

x y x yxy

m m.

Fig. 3.22


42/57

1 = 600 m/m, 2 = - 400 m/m,

mx y m m=

+=

2100 / ,

( ) 1 22

1000, /= + = x y xy m m.

b) Direcia principal (1) cu relaia (3.44):

( )

1 2218 43=

= arctg xy

x

o, .

c) Reprezentarea se face ducnd direcia principal (1) fa de orizontali se

ia un element pe aceast direcie ale crui laturi le modificm cu 1 latura paralel cu

direcia (1) i cu 2, latura perpendicular pe direcia (1), obinndu-se elementul

deformat dup direcia (1) (fig.3.22,a). Fa de direcia (1) se duce o direcie la 45(n figur, la + 45) pe care se ia un element de volum la care-i modificm laturile cu

m. innd seama c1 este efectul lui 1 i 2 al lui 2 se obine sensul tensiunilor

tangeniale (fig.3.22,a).

Se micoreaz unghiul drept din colul sgeilor lui . Unghiul drept semodific cu valoarea 1 sau 2 (pe desen 1 deoarece micoreaz unghiul drept n sensorar, fig.3.22,b). Direcia dus este direcia (2) (1 este paralel cu aceast direcie)iar unghiul este 2

, = 26,57i este msurat de la orizontal la direcia dus.

Fig. 3.23


43/57

II Metoda grafic

n sistemul de axe O

2, se reprezint la scar punctele A x xy ;

1

2

=

A(500,300) i B y xy ; 12 = B(-300,-300), segmentul AB este diametrul cercului

lui Mohr, iar intersecia acestuia cu axa O este centrul cercului C(m , 0) (fig.3.23).

Intersecia cercului cu axa O ne d punctele S1(1, 0), la dreapta i S2(2, 0) la stnga.

a) Deformaiile specifice principale se obin ca fiind msura segmentelor:

1 1 600= =OS m m/ ;

2 2 400= = OS m m/ ;

m OC m m= = 100 / ;

1 2 1 1000= =S S m m/ ;

b) Direcia principal (1): Raza CA este orizontala pe cerc. Unghiul de la CA

la sensul pozitiv al axei O este 2 1 . Simetricul orizontalei de pe cerc fa de axa O

(punctul A) unit cu S2 ne d direcia principal (1). Unghiul de le axa O la direcia

Fig. 3.24


44/57

(1) este 1 , (1 18 5= ,o ).

c) Cunoscnd direcia principal (1), precum i deformaiile specifice

principale, reprezentarea acestora se face ca la metoda analitic (fig. 3.23,b i c).

3.14. Msurarea deformaiilor

Tensiunile i deformaiile specifice sunt mrimi abstracte i ca atare este

imposibil, din punct de vedere fizic, s fie msurate. Se pot, ns, msura deformaii

finite.

Deformaiile finite se pot msura pentru lungimi finite de pe suprafaa (ER).

Dac deformaia se msoar pe o lungime relativ mic, se poate evalua o deformaie

medie pe unitatea de lungime care poate fi luat ca o valoare aproximativ a

deformaiei specifice ntr-un punct de msur. Pe aceast bazlungirea specific

poate fi aproximat cu raportul dintre lungirea (scurtarea) msurat pe o mic

lungime la lungimea respectiv.

Deformaiile unghiulare sunt mult mai dificil de msurat; acestea au valori

foarte mici i trebuie msurate pe un element ct mai mic de pe suprafaa ER.

Pentru msurarea lungirilor specifice exist mai multe metode (mecanice,

optice, electrice).

n problemele de Rezistena materialelor se cer determinarea deformaiilor

specifice dup direciile principale. La piesele simple i supuse la solicitri simple se

cunosc direciile principale i n astfel de cazuri se msoar deformaiile specifice

dup aceste direcii.Sunt ns foarte multe cazuri n care nu se cunosc nici direciile principale i

nici deformaiile specifice principale. Pentru aceste cazuri se msoar lungirile

(scurtrile) dup trei direcii ceea ce conduce la eliminarea msurrii lunecrii

specifice, xy

, care este mai dificil de msurat.


45/57

La nceput s-au msurat lungirile cu ajutorul extensometrelor mecanice, apoi s-

a utilizat amplificarea optic pentru a se uura citirea cu ochiul liber a deformaiilor

mici. n prezent se folosesc traductoare, care utilizeaz pentru msurarea deformaiei

variaia rezistenei, a inductanei, a capacitii, a efectului piezoelectric, etc.Pentru msurarea deformaiei specifice pe trei direcii ntr-un punct se

utilizeaz un grup de traductoare montate pe acelai suport. Cele mai larg rspndite

sunt cele la care unghiurile , i (fig. 3.24,a i b) sunt multiplu de 15i ele pot

fi aranjate n rozete delta (fig. 3.24,b) cu ===60 sau rozete n evantai

(fig. 3.24,a) cu ===120. De asemenea se utilizeaz i rozeta n evantai cu

'==135i =90.

Analiza strii de deformaie, pe baza deformaiilor determinate cu ajutorul unei

rozete se poate face pe cale analitic sau grafic.

Pentru a rezolva pe cale analitic, cunoscnd deformaiile specifice dup cele

trei direcii, adica,

bi

c, i unghiurile , i (fig. 3.26), din relaia (3.25,a) se

pot scrie urmtoarele trei ecuaii:

a x y x y xy+ + +2 2

21

22cos sin ,

b x y x y xy+ + +2 2

21

22cos sin ,

c x y x y xy+ + +2 2

21

22cos sin . (3.50)

Rezolvnd aceste ecuaii se obin valorile pentru x, yi xyi cu aceste valori

se pot determina deformaiile specifice principale, direciile principale cu ajutorul

relaiilor (3.45) i (3.44).Se mai pot determina deformaiile specifice medii i lunecarea specific maxim cu

relaiile (3.46) i (3.47), etc.


46/57

3.15. Utilizarea cercului lui Mohr

pentru analiza deformaiilor

Metoda analitic de scriere a celor trei ecuaii pentru cele trei brae ale rozetei,

rezolvarea sistemului i apoi obinerea deformaiilor specifice principale este o cale

destul de laborioas. Metoda grafic pentru rezolvarea strii plane de deformaie este

mai operativi aceasta se exemplific prin urmtoarea aplicaie.

Fig. 3.26

Fig. 3.25


47/57

Aplicaia 3.3. Deformaiile specifice ale unei plci solicitate n planul ei sunt

cele din figura 3.27 (valorile sunt date n m/m). S se determine prin metoda

analitici grafic:

a) deformaiile specifice principale;b) direciile principale;

c) s se reprezinte elementele rotite i

deformate dup direciile principale.

I Metoda analitic

Se noteaz direciile de msurare n sens orar de la orizontal pn la a, bi

d cu respectiv , , i (fig. 3.27,a).

a) nlocuind n sistemul de ecuaii (3.50) se obine sistemul:

300

2 2

2 151

2

2 15=+

+

+

x y x y o xyocos sin ;

1502 2

2 1351

22 135=

++

+

x y x y o xy

ocos sin ;

=+

+

+ 2002 2

2 2551

22 255

x y x y o xy

ocos sin ,

care prin rezolvare conduce la:

Fig. 3.27

Fig. 3.27


48/57

x m m= 372 0, / ; y m m= 2053, / ; xy m m= 1333, / .

Cu aceste valori nlocuite n relaia (3.45) se obin:

( ) 1 22 2372 205 4

2

1

2

372 205 4 133 3 83 35 296 25,,

, , , , / ;=

+ + = m m

de unde rezult: 1 379 6= , / ;m m

2 212 9= , / ;m m 1 592 5= , / ;m m

m m m= 8335, / .

b) Direcia principal (1) se obine cu

relaia (3.44,a):

.5,6)9,212372(2

3,133

arctg

o

1 +

= c) Procednd analog ca la problema 3.2 se obin elementele rotite i deformate

dup direcia (1) (fig.3.27,b) i dup direcia (2) (fig.3.27,c)

II Metoda grafic

Se rearanjeaz rozeta prin translaia unui bra astfel nct s avem valoarea

intermediar (150) ntre valoarea maxim (300) i cea minim (-200). Se va avea n

Fig. 3.28

Fig. 3.29


49/57

vedere ca unghiul peste braele unde sunt valorile extreme ale deformaiilor specifice

de la rozeta rearanjat s fie mai mic de 180. Mrimile corespunztoare rozetei s fie

notate A B D, , , , . Se noteaz ntotdeauna cu B valoarea intermediar i

unghiurile i de la B la braele A respectiv D (fig.3.28). Se alege axa / 2orientat n jos i se iau trei axe paralele cu axa / 2 la abscisele A B, i D (la

scar). De la direcia B se msoar unghiurile i n sensurile lor, obinndu-se

direciile ( ) i () conform figurii 3.29.

La intersecia direciei ( ) cu direcia ( A ) se obine punctul A, iar la

intersecia direciei () cu ( D ) se obine punctul D. Ducnd mediatoarele

segmentelor B

A i B

D, la intersecia lor se obine punctul C care este centrulcercului lui Mohr. Se traseaz cercul cu centrul n C i cu razele CA, CBi CD. Prin

C se duce axa orizontal care este axa O . La interseciile cercului cu axa O rezult

punctele S1( 1 ,0) la dreapta i S2( 2 ,0) la stnga. Simetricul punctului B de pe cerc

fa de axa O este punctul B. Segmentele CA, CB i CD sunt direciile lui A , B i

D pe cerc fa de axa O .

Observaie: O prim verificare se face prin msurarea unghiurilor la centru

BCA i BCD care trebuie s fie 2 i respectiv 2 .

Se determin valorile deformaiilor specifice principale ca fiind mrimea

segmentelor (msurate la scara utilizat):

1 1 380= =OS m m/ ; 2 2 213= = OS m m/ ;

1 1 2 593= =S S m m/ ; m OC m m= = 83 5, / .

1. Direcia principal (1). De pe rozeta reorientat, se observ c pentru a

obine orizontala trebuie s rotim braul ( A ), n sens antiorar, cu 15o

. Pentru a obine

orizontala pe cerc vom roti direcia lui A (care este raza CA) n sens antiorar cu

2 15 o , obinnd orizontala pe cerc. Unghiul de la orizontala pe cerc la sensul pozitiv

al axei O este 2 1 . Unind simetricul orizontalei de pe cerc fa de axa O (punctul

M) cu S2 se obine direcia (1). Unghiul de la axa O la direcia (1) este 1 .


50/57

Reprezentarea se face analog ca la metoda analitic obinnd elementele

deformate dup direcia (1), figura (3.9,b) i dup direcia (2), figura (3.29,c).

Verificarea mrimilor deformaiilor specifice principale se face astfel:

{ } 1 max ; ; ;A B D { } 2 min ; ; .A B D

Verificarea direciilor principale se face ducnd direcia (1) i respectiv (2) pe

rozeta rearanjat (fig.3.28) i trebuie s avem direcia (1) mai aproape de valoarea

deformaiei specifice maxime date (unghiul de 27o ntre direcia (1) i A este mai

mic dect unghiul de 33o dintre direcia (1) i B ), iar direcia (2) mai aproape de

valoarea minim dat D

(unghiul de 3o).

3.16. Analiza strii spaiale de deformaie

Deformaia specific liniar dup un versor v l i m j n k + + , se obine din(3.16) i este:

v x y z xy yz zx

l m n lm mn lm + + + + + 2 2 2 (3.51)Deformaiile specifice principale 1 2, i 3 se obin din ecuaia: 3 1 2 2 3 0 + =I I I , (3.52)

unde:

I x y z1 = + + ,( )2zx2yz2xyxzzyyx2

4

1I ,

I

x yx zx

xy y zy

xz yz z

3

1

2

1

21

2

1

21

2

1

2

=

. (3.53)


51/57

Direciile principale se determin n mod identic ca la variaia tensiunilor. Se

precizeaz c deformaiile specifice principale coincid cu direciile principale ale

tensiunilor.

Lunecrile specifice principale se dezvolt n planele bisectoare ale planelor dedeformaie i au valorile:

.

;

;

12213

23321

13312

(3.54)

Aplicaia 3.4. Tensorul deformaiilor specifice ntr-un punct al unui corp

solicitat n spaiu are componentele:

T =

1600 200 300200 800 400

300 400 1200

,

S se determine :

a) deformaiile specifice principale;

b) direciile principale.

Rezolvare:

Se calculeaz cu relaiile (3.53) invarianii:

I m mx y z1

1600 800 1200 1200= + + = + = / ;

( )

( ) ( )

I

m m

x y y z z x xy yz zx22 2 2

2 2 2 6 2

1

21600 800

800 1200 1200 16001

2200 300 400 1 89 10

= + + =

+ + =

, / ;

( )I m m39 3

1600 200 300

200 800 400300 400 1200

1 864 10=

= , / ,

obinndu-se ecuaia:

3 2 91200 1 89 10 0 =, .

Prin rezolvare se obin:


52/57

1 1662= m m/ ; 2 852 7= , / ;m m 3 1315= m m/ .

Verificarea se face prin recalcularea invarianilor, pentru 1, 2i 3 :

I m m1 2 31 1662 852 7 1315 1200= + + = + , / ;

I m m2 1 2 2 3 3 1 61 89 10= + + = , / ;

I m m3 1 2 391 864 10= = , / , .

Direciile principale se obin prin introducerea pe rnd a lui i 1 2, i

respectiv 3 n sistemul de ecuaii (3.19), scrise pentru deformaiile specifice, i se

obin:

+ =62 4 200 300 01 1 1, ;l m n

200 862 4 400 01 1 1 + =l m n, ;

+ =300 400 2862 01 1 1l m n ,

din care rezult soluiile:

l m n1 1 10 9515 0 1866 0 0737= = =, ; , ; , .

Analog:

- pentru 2 :

l m n2 1 10 172 0 9618 0 2126= = =, ; , ; , ;- i pentru 3:

l m n3 1 10 1136 0 1948 0 9742= = =, ; , ; , .

Pentru verificarea acestor soluii se folosete condiia de ortogonalitate dintre

aceste direcii. Pentru 1 i 2 i se obine:

l l m m n n1 2 1 2 1 2 0 9515 0 172 0 1866 0 9618 0 0737 0 2126 0 + + = + =, , , , , , .

Pentru 1 i 3:l l m m n n1 3 1 3 1 3 0 9515 0 1136 0 1866 0 1948 0 0737 0 9742 0 + + = =, , , , , , .

Cele trei direcii obinute sunt perpendiculare ntre ele.

Lunecrile specifice maxime sunt:

1 1 3 1662 1315 2977= = + = m m/ ;


53/57

2 2 3 852 7 1315 2167 7= = + =, , / ;m m

3 1 2 1662 852 7 809 3= = =, , / .m m

3.17. Deplasri

Fie un paralipiped OABCDEMF, care face parte dintr-un ER, din care se

consider segmentul OM. Dac asupra ER acioneaz un sistem de fore exterioare

segmentul se deplaseaz ntr-o nou poziie OM i se deformeaz (fig.3.30).

Drumul parcurs de un punct al ER de la poziia sa n ER nencrcat la

poziia final

, dup

solicitare, se nume

te deplasare.

Deplasarea, n mod uzual, poate rezulta din urmtoarele situaii:

a) translaia ntregului ER,

b) rotaia ntregului ER,

c) schimbri de lungime n ER,

d) modificri de unghiuri n ER.

Primele dou tipuri de deplasri sunt deplasri de corp rigid, n timp ce ultimile

dou sunt cauzate de deformaia ER. n cele ce urmeaz se vor studia numaideplasrile ce sunt produse de

deformarea ER.

Se consider c punctul O se

deplaseaz n O prin deformare.

Vectorul = OO' se numete

deplasare total a punctului O.

Proieciile acestuia sunt: u pe axa

Ox, v pe axa Oy i w pe axa Oz. n

acest caz vectorul deplasare total

se exprim prin:

Fig. 3.30


54/57

= + + u i v j w k , iar modulul su este = + +u v w2 2 2 (3.51)Dar segmentul de dreapt OM se rotete cu unghiul din poziia iniial n

poziia OM, datorit deformrii ER (fig. 3.31). Acest unghi se poate determina fie

din expresiile cosinusurilor directoare a noii direcii, fie utiliznd unghiurile lui Euler.

Ambele ci sunt laborioase i se utilizeaz mai puin.Deplasrile sunt funcii de poziia punctului. Astfel, deplasrile unui punct M

ce se gsete n vecintatea punctului O (fig. 3.31) se deduc din deplasrile u, v, w ale

punctului O. Pentru a evidenia cele artate i a simplifica analiza se consider un

element plan OABC. Acest element n urma solicitrii se deformeaz n elementul

OABC cunform figurii 3.32.

Admind ipoteza micilor deformaii, se poate considera c deplasrile

punctelor vecine punctului O pot fi descrise de primii doi termeni ai seriei Taylor,funcie de componentele u i v ale deplasrii . n acest caz deplasrile punctului A

sunt date de expresiile:

u AA uu

xdxA = = + ' ' , v A A v vx dxA = = + ' ' ' .

Fig. 3.31


55/57

n mod similar pentru punctul B se obine:

u B B u uy

dyB = = + '' ' , v BB v vy dyB = = + ' ' .innd seama de relaiile de mai sus, deplasrile liniare ale punctelor O, A, B

sunt:

= + u i v j , A u ux dx i v vx dx j+ + + , (3.52) B u uy dy i v vy dy j+ + + .Simultan cu deplasarea liniar se produce deplasarea unghiular . Din

figura 3.32 se observ c latura OA este rotit fa de poziia iniial OA cu unghiul

d xy . ntruct unghiurile sunt foarte mici se poate considera c ( )tg d dxy xy .

Deci, deplasrile unghiulare sunt:

d

v

xdx

dx

v

xxy =

, duy

dy

dy

u

yyx =

. (3.53)Deplasrile liniare ale punctelor O, A, B, C ale paralelipipedului din figura

3.31, se pot scrie innd seama de relaiile (3.52) i de faptul c, pentru acest caz,

trebuie s se ia n considerare i deplasarea dup axa Oz.

Deplasrile unghiulare ale segmentului OM (fig.3.30) se obin din

compunerea deplasrilor similare din planurile yOx, date de relaiile (3.32) i dindeplasrile similare din planurile yOx i zOx.


56/57

3.18. Relaii ntre deplasri i deformaii

Paralelipipedul elementar se deformeaz, laturile lui se lungesc i se nclin(fig.3.31) n funcie de starea de tensiune din punctul considerat i de poziia

punctului n ER.

Deformarea paralelipipedului elementar este complet determinat dac se

cunosc deplasrile celor opt coluri ale sale.

Alungirile specifice, dup axele x,y i z rezult:

x dxdx

uu

xdx u

dxux

= = + = ,

y dydy

vv

dy v

dy

v

y= = +

= ,

z dzdz

ww

zdz w

dz

w

z= = +

= . (3.54)n cazul strii plane (fig.3.32) lunecarea specific este egal cu modificarea

unghiului drept, dintre axele x i y, adic

xy xy xyd d vx uy= + = + .n cazul general (fig.3.31) se produc trei lunecri specifice, cte una pentru

fiecare plan ortogonal. Similar cu relaia de mai sus, se obin relaii identice ale

lunecrilor specifice n celelalte planuri ortogonale:

xy uy vx= + , yz vz wy= + , zx wx uz= + . (3.55)Mrimile x, y, z, xy, yz, zx sunt mrimi tensoriale similare tensiunilori ca

atare se pot reprezenta sub aceeaI form.

Tensorul deformaiilor specifice este:


57/57

T

x yx zx

xy y zy

xz yz z

=

=

1

2

1

21

2

1

21

2

1

2

0 0

0 0

0 0

1

2

3

(3.56)

3.19. Ecuaiile de continuitate a deformaiilor

Derivnd de dou ori prima relaie (3.54) n raport cu y, a doua n raport cu x,

prima relaie (3.34) n raport cu x i apoi cu y, rezult trei expresii. Eliminndu-sedeplasrile ntre derivatele obinute se obine:

2

2

2

2

2

x y xy

y x x y+ = (3.57)

Procednd n mod similar cu celelalte relaii rezult:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x y xy

y z yz

z x zx

y x x y

z y y z

x z z x

+ =+ =+ =

,

,

.

(3.58)

Acestea sunt ecuaiile de compatibilitate sau de continuitate a deformaiilor,

care exprim fizic meninerea continuitii corpului dup deformaie.

notiuni generale de teoria elasticitatii

Documents