nota kuliah skmm 2323 mekanik bendalir ii -...

Nota Kuliah

SKMM 2323 Mekanik Bendalir II

Abu Hasan ABDULLAH

Nota Kuliah

SKMM 2323 Mekanik Bendalir IIAliran Lapisan Sempadan

Aliran Bendalir Unggul

Aliran Boleh Mampat Satu Dimensi

Pengenalan Kepada Mesin Bendalir

Abu Hasan ABDULLAH

Fakulti Kejuruteraan MekanikalUniversiti Teknologi Malaysia

©2015, 2003

Kandungan

Senarai Rajah viii

Senarai Jadual ix

Tatatanda x

1 ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 1

1.1 Kelikatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Hukum Kelikatan Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Bendalir Newtonan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Daya-daya yang Terbentuk oleh Bendalir

Bergerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Teori Lapisan Sempadan: Latarbelakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Tebal lapisan sempadan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Tebal Anjakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 Tebal Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Tebal Tenaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Asas Analisis Aliran Lapisan Sempadan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Persamaan Keterusan Aliran Likat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1.1 Persamaan Keterusan Untuk Koordinat Silinder . . . . . 9

1.4.2 Persamaan Momentum Aliran Likat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2.1 Persamaan Kamilan Momentum von Karman . . . . . . . 12

1.5 Penyelesaian Lapisan Sempadan Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Kaedah Tepat Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Kaedah Anggaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Penyelesaian Lapisan Sempadan Gelora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Kaedah Hukum Kuasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i

KANDUNGAN ii

2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL 23

2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Garis Arus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Garis laluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Garis upaya atau Garis Sama-upaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Aliran Laminar & Aliran Gelora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Aliran Berputar & Aliran Nirputaran . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Vortisiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Penentuan Aliran Berputar atau Sebaliknya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8 Edaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9 Keupayaan Halaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 Fungsi Arus dan Kadar Aliran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11 Hubungan di Antara Fungsi Arus dan Keupayaan Halaju . . . . . . . . . . 36

2.12 Beberapa Pola Asas Aliran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.12.1 Aliran garis lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.12.2 Aliran daripada sumber atau punca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.12.3 Aliran ke sinki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12.4 Vorteks nirputaran atau bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12.5 Vorteks berputar atau paksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.13 Gabungan Beberapa Pola Asas Aliran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.13.1 Aliran Garis Lurus Seragam dan Sumber . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.13.2 Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan . . . . . . . 46

2.13.3 Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan

aliran garis lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.13.4 Kembar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.13.5 Kembar dan Aliran Garis lurus Seragam . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 ALIRAN BOLEHMAMPAT SATUDIMENSI 50

3.1 Bendalir Tak Boleh Mampat dan Boleh Mampat . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1 Haba Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

KANDUNGAN iii

3.1.2 Persamaan Keadaan Gas Sempurna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.3 Proses-proses Termodinamik Gas Sempurna . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Kebolehmampatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Beberapa Konsep Asas Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Proses Bolehbalik dan Tak Bolehbalik . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Tenaga Dalaman dan Entalpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.3 Hukum Pertama Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.4 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.5 Hukum Kedua Termodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Parameter yang Mengawal Aliran Boleh Mampat . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5 Regim-regim Aliran Boleh Mampat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 Kon Mach, Garis Mach dan Gelombang Kejutan . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7 Persamaan-persamaan Menakluk Aliran Boleh Mampat . . . . . . . . . . . 59

3.7.1 Persamaan keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.2 Persamaan keterusan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.3 Persamaan momentum (Persamaan Euler) . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.4 Persamaan tenaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Pembolehubah Aliran dalam Sebutan Nombor Mach . . . . . . . . . . . . 63

3.9 Titik Genangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9.1 Aliran isentropik gas sempurna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9.2 Keadaan-keadaan genting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.10 Aliran Menerusi Salur yang Berubah Luas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.10.1 Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu . . . . . . . . . . . . . 68

3.10.2 Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu-Mencapah . . . . . . 70

3.11 Kejutan Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11.1 Persamaan keterusan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11.2 Persamaan momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11.3 Persamaan tenaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.11.4 Kekuatan kejutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 PENGENALANKEPADAMESIN BENDALIR 76

4.1 Pengkelasan Mesin Hidraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.1 Kriteria Pengkelasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.1.1 Arah Pemindahan Tenaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

KANDUNGAN iv

4.1.1.2 Jenis Tindakan Mesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Analisis Dimensi dan Hukum Keserupaan untuk Mesin Bendalir Tak Bo-

leh Mampat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.1 Prestasi Mesin Hidraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1.1 Turbin Hidraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1.2 Pam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2 Laju Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2.1 Pam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2.2 Turbin Hidraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Analisis Dimensi Untuk Mesin Rotodinamik Aliran Boleh Mampat . . . . 83

4.3.1 Kesan mampatan ke atas analisis dimensi . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Pam Rotodinamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4.1 Pengkelasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4.2 Turus Pam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.2.1 Turus Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.2.2 Turus Sebenar atau Turus Keseluruhan . . . . . . . . . . . 88

4.4.2.3 Turus Manometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.3 Pam Aliran Jejari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.3.1 Teori Aliran Dua Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.3.2 Ukuran Prestasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.3.3 Perubahan Turus pada Pendesak dengan Bentuk Bilah . . 102

4.4.4 Pam Aliran Paksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.4.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.4.2 Gerakan Vorteks dan Hubungannya dengan Rekabentuk

Mesin-mesin Aliran Paksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.4.3 Darjah Tindakbalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.5 Peronggaan di dalam Pam Rotodinamik . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5 Turbin Hidraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.1 Pengkelasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.1.1 Turbin Dedenyut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.1.2 Turbin Tindakbalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.2 Roda Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.5.2.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5.2.2 Ukuran Prestasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

KANDUNGAN v

4.5.3 Turbin Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5.3.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5.3.2 Ukuran Prestasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5.4 Turbin Kaplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.5.4.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.5.4.2 Ukuran Prestasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5.5 Peronggaan di dalam Turbin Hidraulik . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A Aliran Likat Dua Dimensi 130

A.1 Persamaan Keterusan Aliran Likat 2-Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.2 Persamaan Momentum Aliran Likat 2-Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.2.1 Persamaan Navier-Stokes Aliran Likat 2-Dimensi . . . . . . . . . . 134

Bibliografi 135

Senarai Rajah

1.1 Daya-daya yang terbentuk oleh bendalir bergerak, Douglas et al. (2001). . 2

1.2 Daya-daya yang memberikan hela tekanan dan hela geseran kulit, Dou-

glas et al. (2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Komponen-komponen utama hela susuk, Douglas et al. (2001). . . . . . . . 4

1.4 Lapisan sempadan di atas plat rate, Massey (1983). . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Tebal anjakan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Tebal momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Tebal tenaga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 Keterusan dalam tiga dimensi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9 Isipadu kawalan untuk suatu lapisan sempadan, Potter & Wiggert (1997). 13

1.10 Susuk halaju laminar dan gelora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.11 Perubahan halaju dengan masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Garisarus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Tiub arus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Garis upaya atau sama-upaya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Garis laluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Aliran laminar dan aliran gelora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Aliran berputar, dan aliran nirputaran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8 Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9 Gerakan-gerakan unsur bendalir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.10 Putaran, peralihan dan herotan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.11 Edaran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 Fungsi arus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.13 Jaringan aliran, Massey (1983). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

vi

SENARAI RAJAH vii

2.14 Aliran garis lurus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.15 Aliran sumber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.16 Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.17 Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.18 Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi

bekas terbuka, Massey (1983). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.19 Gabungan aliran garis lurus dan sumber, Massey (1983). . . . . . . . . . . 45

2.20 Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey (1983). 46

2.21 Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran

garis lurus, Massey (1983). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.22 Kembar dan aliran garis lurus seragam, Massey (1983). . . . . . . . . . . . 48

3.1 Kon Mach, Fox & McDonald (1985). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Perubahan halaju dan tekanan dengan luas bagi aliran subsonik dan su-

personik, John (1969). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Aliran gas menerusi nozel menumpu, John (1969). . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu, John (1969). . . . . . . . . . 70

3.5 Aliran gas menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969). . . . . . . . 71

3.6 Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969). . . 71

4.1 Pengkelasan mesin-mesin bendalir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2 Beberapa contoh pam sesaran positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Lengkung-lengkung prestasi turbin hidraulik, Massey (1983). . . . . . . . 80

4.4 Lengkung-lengkung prestasi pam rotodinamik, Massey (1983). . . . . . . 82

4.5 Kecekapan melawan laju tentu untuk mesin bendalir, Douglas et al. (1985). 83

4.6 Pengaruh laju tentu ke atas bentuk pemutar, Turton (1984). . . . . . . . . . 84

4.7 Perubahan adiabatik unggul di dalam keadaan-keadaan genangan meren-

tasi mesinturbo, Dixon (1978). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.8 Pam rotodinamik—(a) pam aliran jejari, (b) pam aliran tercampur dan (c)

pam aliran paksi, Turton (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.9 Turus-turus pam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.10 Keluaran pam aliran jejari—(a) ruang tanpa bilah dengan volut dan (b)

ruang tanpa bilah dengan keluaran terlata, Massey (1983). . . . . . . . . . 92

4.11 Vektor halaju dalam tiga dimensi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.12 Segitiga halaju pam aliran jejari pada masukan dan keluaran. . . . . . . . 95

4.13 Aliran 3-dimensi di dalam pam empar, Douglas et al. (1985). . . . . . . . . 96

SENARAI RAJAH viii

4.14 Gelinciran di keluaran bilah pemutar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.15 Pusingan relatif di dalam laluan bilah, Douglas et al. (1985). . . . . . . . . 98

4.16 Bocoran di dalam pam empar, Massey (1983). . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.17 Keratan rentas pemasangan pam empar, Turton (1984). . . . . . . . . . . . 101

4.18 Kesan bentuk bilah ke atas turus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.19 Pendesak pam aliran paksi, Douglas et al. (1985). . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.20 Segitiga halaju pam aliran paksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.21 Kilasan bilah pendesak pam aliran paksi, Turton (1984). . . . . . . . . . . . 107

4.22 Pengaruh tindakbalas ke atas segitiga halaju pam aliran paksi. . . . . . . . 109

4.23 Turbin hidraulik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.24 Susunan turbin aliran melintang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.25 Komponen-komponen penting roda Pelton—(a) roda, (b) nozel dan injap

tombak dan (c) pemantul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.26 Roda Pelton dengan dua nozel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.27 Segitiga halaju roda Pelton, Douglas et al. (1985). . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.28 Susunan turbin Francis aci tegak dan mendatar. . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.29 Laluan bendalir menerusi turbin Francis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.30 Segitiga halaju turbin Francis, Rattan (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.31 Pemutar turbin aliran paksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.32 Laluan bendalir menerusi turbin Kaplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.33 Segitiga halaju turbin aliran paksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.1 Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.2 Unsur segiempat bendalir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Senarai Jadual

1.1 Fungsi f (η) untuk lapisan sempadan laminar sepanjang suatu plat rata

pada incidence sifar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Modulus pukal air dan udara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1 Perubahan pekali bilah, µ, dengan bilangan bilah, z, bagi pam aliran jejari 99

4.2 Bilangan bilah dan turus untuk turbin Kaplan . . . . . . . . . . . . . . . . 128

ix

Tatatanda

A luas aliran

a laju bunyi, pecutan

b lebar bilah atau laluan bilah

C pemalar

Cp pekali pemulihan tekanan

cp haba tentu pada tekanan malar

cv haba tentu pada isipadu malar, pekali halaju

Dh diameter hidraulik, faktor resapan

d diameter

ds diameter tentu

Fr nombor Froude

F daya

f pekali geseran, sebarang fungsi

H turus

h entalpi, pekali pemindahan haba permukaan

K pemalar

L panjang, panjang hidraulik

l panjang

lm panjang percampuran

M nombor Mach mutlak, berat molekular

m jisim

m kadar aliran jisim

N laju putaran

n eksponen politropik, arah normal

Ns laju tentu

P kuasa

Pr nombor Prandtl

p tekanan, titik di dalam satu ruang

Q kadar aliran isipadu, tenaga haba

R darjah tindakbalas

R pemalar gas

Ro pemalar gas universal

Re nombor Reynolds

Rn nombor Richardson

r radius

x

TATATANDA xi

s entropi

T suhu, dayakilas

t masa, tebal bilah

U laju linear bilah

V halaju mutlak bendalir

Vf halaju aliran

Vm komponen meridional halaju mutlak bendalir

Vr komponen radius halaju mutlak

Vt komponen tangen halaju mutlak

Vx komponen paksi halaju mutlak

Vslip halaju geliciran

V isipadu

W halaju relatif

Z bilangan bilah, panjang (dalam arah) paksi

z daya angkat statik

Huruf Yunani

α sudut mutlak aliran

β sudut relatif aliran

γ nisbah haba tentu, sudut

∆ perubahan terhingga

δ∗ ketebalan lapisan sempadan

η kecekapan

θ sudut pantulan roda Pelton, kadar aliran jisim tanpa dimensi

κ modulus pukal

µ kelikatan dinamik, faktor gelinciran, pekali bilah

ν kelikatan kinematik, nisbah diameter (hab/hujung)

ρ ketumpatan

Σ jumlah

σ fungsi perolehan entropi (=e−∆s/R), pekali peronggaan

τ tegasan ricih

φ pekali aliran, pekali halaju, sudut lentuk (camber)

fungsi keupayaan halaju

ψ pekali pembebanan bilah, sudut azimut, sudut kon

fungsi arus

Ω laju sudut, faktor pengenduran, frekuensi resonans Helmholtz

Subskrip

c keadaan tersendat, kritikal

h hab

m komponen meridional, arah meridional

min minimum

N nozel

n arah normal

TATATANDA xii

o keluaran

opt optimum

p politropik, tekanan

R pangkal

r komponen radial, arah radial, nisbah

rms punca kuasa dua min (root mean square)

t komponen tangen, arah lilitan

ts total ke statik

tt total ke total

x,y,z sebarang koordinat cartesan

θ arah lilitan

0 masukan bilah pandu turbin

1 keluaran bilah pandu turbin, masukan pam/turbin

2 keluaran pam/turbin, masukan pembaur pam atau tiub draf turbin

3 keluaran tiub draf

Bab 1

ALIRAN LAPISAN SEMPADAN

1.1 Kelikatan

Kelikatan adalah sifat bendalir yang mengawal kadar alirannya. Ia terjadi disebabkan

oleh cohesion yang wujud di antara zarah-zarah bendalir yang boleh diperhatikan ketika

bendalir (cecair terutamanya) mengalir. Dalam mengkaji kesan kelikatan, dua anggapan

berikut perlu dibuat:

1. Tidak wujud gerakan relatif di antara bendalir dan sempadan pepejal apabila ben-

dalir bersentuhan dengan jasad pepejal. Zarah-zarah bendalir di dalam lapisan

yang bersebelahan bergerak dengan halaju sempadan pepejal; sekiranya jasad pe-

pejal itu pegun, maka halaju zarah-zarah di dalam lapisan sempadan yang berse-

belahan dengannya adalah sifar dan ini disebut keadaan tanpa geliciran.

2. Tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan berkadaran terus

dengan kadar terikan ricih di dalam arah yang berserenjang dengan gerakan, iaitu

jika dua lapisan bersebelahan bergerak dengan halaju relatif, u, maka kadar terikan

ricih ialah u/y:

τ ∝u

y

Kadar tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan juga berka-

daran dengan u/y, dengan y ialah jarak di antara kedua-dua lapisan.

1.1.1 Hukum Kelikatan Newton

Tegasan ricih, τ, ke atas sesuatu lapisan suatu bendalir adalah berkadaran terus dengan

kadar terikan ricih, u/y. Secara matematik,

τ ∝u

y

= µu

y(1.1a)

1

BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 2

dengan u/y ialah kadar terikan ricih (atau kecerunan halaju) dan µ [kg/(s m2)] ialah

pemalar kekadaran yang dikenali sebagai pekali kelikatan (atau pekali kelikatan mutlak,

atau pekali kelikatan dinamik).

1.1.2 Bendalir Newtonan

Persamaan (1.1a) lazimnya ditulis dalam bentuk kebezaan,

τ = µdu

dy(1.1b)

Bendalir yang mematuhi hukum ini dikelaskan sebagai bendalir Newtonan.

1.2 Daya-daya yang Terbentuk oleh Bendalir

Bergerak

Rajah 1.1: Daya-daya yang terbentuk oleh bendalir bergerak, Douglas et al. (2001).

1. Daya Angkat, FLDaya angkat adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir

ke atas suatu jasad yang berserenjang dengan gerakan relatif bendalir

FL = CL × 12ρU2

∞A (1.2)

dengan CL adalah pekali angkat.

2. Hela atau Daya Seret, FDHela adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir ke atas

suatu jasad yang selari dengan gerakan relatif bendalir.

Hela ke atas sesuatu jasad yang bergerakmenerusi sesuatu bendalir terdiri dari dua

komponen:


• hela geseran kulit, FF, dan

• hela bentuk atau hela tekanan, FP.

Rajah 1.2: Daya-daya yang memberikan hela tekanan dan hela geseran kulit, Douglas

et al. (2001).

Hela geseran kulit, FF, bergantung kepada daya-daya ricih yang bertindak di anta-

ramuka pepejal–bendalir, Rajah 1.2,

FF =∮

τ0 sin θ ds (1.3)

Sementara itu hela tekanan, FP, yang juga dikenali sebagai hela bentuk, bergantung

kepada taburan tekanan di sekeliling jasad, rujuk Rajah 1.2,

FP =∮

ps cos θ ds (1.4)

Jarang sekali kedua-dua komponen hela ini menjadi dominan secara serentak di

dalam sesuatu fenomena aliran. Untuk objek yang tidak menunjukkan kesan daya

angkat, kesan hela geseran kulit terlalu kecil, Rajah 1.3, dan biasanya diabaikan.

Gabungan hela geseran kulit dan hela bentuk atau hela tekanan dikenali juga seba-

gai hela susuk atau hela profail, FD. Jadi

FD =(

FF + FP

)

= CD × 12ρU2

∞A (1.5)

dengan CD adalah pekali hela dan A ialah luas jasad yang terunjur di atas satah yang

serenjang terhadap arah relatif gerakan.

Apabila jasad yang tenggelam di dalam aliran turut menghasilkan daya angkat,

hela teraruh berlaku.


(a) Hela geseran kulit dominan

(b) Hela tekanan/bentuk domin-

an

Rajah 1.3: Komponen-komponen utama hela susuk, Douglas et al. (2001).

1.3 Teori Lapisan Sempadan: Latarbelakang

Bagi aliran luaran, kesan kelikatan terhad kepada:

• suatu lapisan nipis bendalir (iaitu suatu lapisan sempadan) yang bersebelahan de-

ngan dinding, dan

• keracak1 di arus hilir jasad.

Bagi jasad garis arus2 seperti kerajang udara3, anggaran hela yang baik boleh diperolehi

denganmengkamilkan tegasan ricih di permukaan dinding. Untukmenganggar tegasan

ricih di dinding pula, kecerunan halaju di dinding mestilah diketahui. Ini memerlukan

penyelesaian lengkap medan aliran (iaitu satu penyelesaian bagi persamaan-persamaan

Navier-Stokes) di dalam lapisan sempadan.

Bagi plat rata lapisan sempadan bermula sebagai satu aliran laminar dengan ketebalan

sifar di tebing hadapan, atau dengan satu ketebalan terhingga di titik genangan sesuatu

objek tumpul atau suatu airfoil, rujuk Rajah 1.4.

Selepas satu jarak xT yang bergantung kepada

• halaju arus bebas, U∞,

• kelikatan, µ,

• kecerunan tekanan, dp/dy dan dp/dx,

1wake2streamline body3airfoil


Rajah 1.4: Lapisan sempadan di atas plat rate, Massey (1983).

• kekasaran dinding ǫ, dan

• tahap turun-naik arus bebas√u2/U∞,

aliran laminar ini akan mengalami suatu proses peralihan yang menyebabkan (selepas

suatu jarak pendek) aliran menjadi bergelora.

1.3.1 Tebal lapisan sempadan

Tebal lapisan sempadan, δ, ialah jarak tegaklurus terhadap permukaan badan tegar yang

diukur daripada permukaan badan ke bahagian aliran yang mempunyai halaju sama

dengan 99% halaju aliran arus bebas, rujuk Rajah 1.4.

1.3.2 Tebal Anjakan

Daya likat di dalam lapisan sempadan merencatkan aliran, jadi kadar aliran jisim yang

bersebelahan dengan permukaan pejal adalah lebih kecil dari kadar aliran jisim yang

mengaliri kawasan yang sama sekiranya lapisan sempadan tidak wujud.

• Kesusutan kadar aliran disebabkan oleh kesan daya likat ialah∫ ∞

0 ρ(U − u).

• Sekiranya lapisan sempadan tidak wujud, halaju di keratan rentas ini ialah U. Jika

sempadan pejal disesar sejauh δ∗, kadar aliran jisim akanmengalami kurangan atau

defisit sejumlah ρUδ∗.

Tebal anjakan, δ∗, ialah jarak yang mana sempadan pejal harus disesarkan dalam suatu

aliran tanpa geseran untuk memberikan kurangan kadar aliran jisim yang sama seperti

yang wujud di dalam lapisan sempadan;

ρU∞δ∗ =∫ ∞

0ρ(U∞ − u)dy (1.6)


Untuk aliran tak boleh mampat, ρ = pemalar dan

δ∗ =∫ ∞

0

(

1− u

U∞

)

dy (1.7)

≈∫ δ

0

(

1− u

U∞

)

dy (1.8)

Rajah 1.5: Tebal anjakan.

1.3.3 Tebal Momentum

Rencatan aliran di dalam lapisan sempadan juga menyebabkan pengurangan dalam

fluks momentum di keratan yang sepadan dengan aliran tak likat.

• Kurangan atau defisit momentum aliran jisim sebenar,∫ ∞

0 ρ u dy, menerusi lapisan

sempadan ialah∫ ∞

0 ρ u(U − u) dy.

• Sekiranya daya likat tidak wujud, sempadan pejal perlu di gerakkan sejarak θ un-

tuk menghasilkan kurangan momentum ρU2∞θ.

Tebal momentum, θ, ditakrifkan sebagai ketebalan satu lapis bendalir dengan halaju U∞

untuknya menghasilkan fluks momentum sebesar fluks momentum menerusi lapisan

sempadan;

ρU2∞θ =

∫ ∞

0ρu(U∞ − u)dy (1.9)

Untuk aliran tak boleh mampat, ρ = pemalar dan

θ =∫ ∞

0

u

U∞

(

1− u

U∞

)

dy (1.10)

≈∫ δ

0

u

U∞

(

1− u

U∞

)

dy (1.11)

(1.12)


Rajah 1.6: Tebal momentum.

1.3.4 Tebal Tenaga

Tebal tenaga, δ∗∗, ialah tebalnya bendalir diukur tegaklurus terhadap permukaan badan

tegar dan mempunyai fluks tenaga kinetik yang sama dengan tenaga kinetik yang hilang

akibat terbentuknya lapisan sempadan

δ∗∗ =∫ δ

0

ρu

ρ1U∞

[

1−(

u

U∞

)2]

dy (1.13)

Rajah 1.7: Tebal tenaga.

1.4 Asas Analisis Aliran Lapisan Sempadan

Di dalam lapisan sempadan, halaju susut daripada u = 0.99U∞ di y = δ ke u = 0 di

y = 0. Kesusutan yang berlaku dalam jarak yang sebegitu pendek membolehkan kita

menganggar susuk halaju, untuk aliran laminar dan gelora, dengan ketepatan yang baik.

Jika susuk halaju dianggap sebagai sudah diketahui,

1. persamaan keterusan, dan


2. persamaan momentum

akan dapat membantu kita meramal ketebalan lapisan sempadan dan tegasan ricih di

sempadan pepejal dan seterusnya daya geseran kulit.

Berikut ditunjukkan bagaimana kedua-dua persamaan ini diterbitkan bagi aliran likat di

dalam lapisan sempadan.

1.4.1 Persamaan Keterusan Aliran Likat

Isipadu kawalan ABCDEFGHdi dalam Rajah 1.8 di ambil dalam bentuk satu prisma segi

empat kecil dengan tepian dx, dy dan dz. Nilai-nilai min komponen halaju dalam arah x,

y dan z, masing-masing ialah u, v dan w.

Rajah 1.8: Keterusan dalam tiga dimensi.

Pertimbangkan aliran dalam arah-x,

Aliran jisim yang masuk menerusi ABCD per unit masa

= ρ u dy dz

Ketumpatan jisim ρ dan halaju u berubah dalam arah-x

Aliran jisim yang keluar menerusi EFGH per unit masa

=[

ρu +∂

∂x(ρu)dx

]

dy dz

Jadi

Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-x

=∂

∂x(ρu)dx dy dz

begitu juga

Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-y

=∂

∂y(ρv)dx dy dz


dan

Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-z

=∂

∂z(ρw)dx dy dz

Oleh itu

Jumlah aliran jisim per unit masa

=

[∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw)

]

dx dy dz

Di samping itu, ∂ρ/∂t adalah perubahan dalam ketumpatan jisim per unit masa,

Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa

= −∂ρ

∂tdx dy dz

Samakan

Jumlah aliran jisim per unit masa

= Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa

iaitu[

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw)

]

dx dy dz = −∂ρ

∂tdx dy dz

atau

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw) = −∂ρ

∂t(1.14)

Persamaan (1.14) boleh digunakan di sebarang titik di dalam aliran bendalir, samada

mantap atau tidak, boleh mampat atau tak boleh mampat. Bagi aliran tak boleh mampat,

ketumpatan ρ adalah malar dan persamaan (1.14) dipermudahkan menjadi

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (1.15)

Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (1.16)

1.4.1.1 Persamaan Keterusan Untuk Koordinat Silinder

Persamaan keterusan untuk sesuatu sistem koordinat silinder r, θ dan z, dengan r dan θ

diukur dalam satah yang sepadan dengan satah x–y bagi koordinat Cartesan, boleh di-

terbitkan menerusi hubungan-hubungan di antara koordinat kutub dan koordinat Car-

tesan:

r2 = x2 + y2y

x= tan θ


u = vr cos θ − vt sin θ v = vr sin θ + vt cos θ

∂

∂x=

∂

∂r

∂r

∂x+

∂

∂θ

∂θ

∂x

∂

∂y=

∂

∂r

∂r

∂y+

∂

∂θ

∂θ

∂y

Ini menjadikan persamaan (1.15)

1

r

[∂

∂r(rvr)

]

+1

r

∂vt∂θ

+∂w

∂z= 0 (1.17)

1.4.2 Persamaan Momentum Aliran Likat

Persamaan keterusan dalam bentuk kebezaan, persamaan (1.14), boleh diolah semula

sebagai

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw) = 0 (1.18)

Pecutan keseluruhan dalam arah-x boleh ditulis sebagai

du

dt=

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z(1.19)

Kadar perubahan momentum dalam arah-x boleh ditulis sebagai

∂Mx

dt= ρ dx dy dz

( ∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

(1.20)

Daya bersih dalam arah-x yang terdiri dari paduan daya jasad, tegasan normal dan te-

gasan ricih ke atas unsur bendalir ialah

∑ Fx = dx dy dz(

ρX − ∂σx∂x

+∂τyx

∂y+

∂τzx∂z

)

(1.21)

dengan X adalah daya jasad.

Oleh itu dari persamaan-persamaan (1.20) dan (1.21), bentuk umum persamaan momen-

tum dalam setiap dimensi boleh ditulis sebagai

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂y

)

︸︷︷︸

daya inersia=max

= ρX − ∂σx∂x

+∂τyx

∂y+

∂τzx∂z

︸︷︷︸

∑ Fx

(1.22)

ρ(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

︸︷︷︸

daya inersia=may

= ρY +∂τxy

∂x− ∂σy

∂y+

∂τzy

∂z︸︷︷︸

∑ Fy

(1.23)

ρ(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

︸︷︷︸

daya inersia=maz

= ρZ +∂τxz∂x

+∂τyz

∂y− ∂σz

∂z︸︷︷︸

∑ Fz

(1.24)


Dalam sebutan inersia, kadar-kadar perubahan halaju dengan kedudukan, iaitu(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂y

)

,

(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

dan

(

u∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

disebut pecutan konvektif, sementara kadar-kadar perubahan halaju dengan masa, iaitu

∂u

∂t,

∂v

∂tdan

∂w

∂t

disebut pecutan tempatan.

Persamaan-persamaan momentum, (1.22)–(1.24), di atas adalah terlalu umum dan tidak

boleh dikamirkan tanpa merujuk kepada rumus-rumus yang mentakrif semua sebutan

tegasan ricih dan tegasan normal ke permukaan unsur bendalir.

Bendalir Newtonan, walau bagaimana pun, mempamerkan ciri-ciri yang membolehkan

tegasan (ricih dan normal) dikaitkan dengan kecerunan halaju. Perubahan bentuk linear

ditakrif menerusi pekali kelikatan dinamik µ sementara perubahan bentuk isipadu pula

ditakrif menerusi pekali kelikatan kedua λ. Douglas et al. (2001) memberikan

σx = p− 2µ∂u

∂x− λ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

; τxy = µ(∂u

∂y+

∂v

∂x

)

(1.25)

σy = p− 2µ∂v

∂y− λ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

; τxz = µ(∂u

∂z+

∂w

∂x

)

(1.26)

σz = p− 2µ∂w

∂z− λ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

; τyz = µ(∂v

∂z+

∂w

∂y

)

(1.27)

Dalam praktis, kesan pekali kelikatan kedua, λ, adalah kecil; hipotesis Stokes memberi

anggaran λ = − 23µ, sementara tekanan pula diambil sebagai purata ketiga-tiga tegasan

normal dari persamaan-persamaan (1.25)–(1.27).

Untuk bendalir homogeneous, iaitu bendalir yang sifat-sifatnya tidak dipengaruhi oleh ke-

dudukan, gantian untuk sebutan-sebutan tegasan ricih dan normal dari persamaan (1.25)

serta menerusi hipotesis Stokes, bahagian kanan persamaan (1.22) boleh diolah semula

seperti berikut;

Bahagian kanan = ρX − ∂p

∂x+ 2µ

∂2u

∂x2

− 2

3µ

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

+ µ

[∂

∂y

(∂u

∂y+

∂v

∂x

)

+∂

∂z

(∂u

∂z+

∂w

∂x

)]

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2w

∂z2

)

+1

3µ

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

sementara bahagian kiri pula boleh ditulis dalam bentuk

Bahagian kiri = ρDu

Dt


Oleh yang demikian rumus untuk arah-x menjadi

ρDu

Dt= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

+1

3µ

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

(1.28)

dengan rumus bagi arah-y dan z mengambil bentuk yang serupa.

Jika aliran mantap dan tak boleh mampat, persamaan (1.28) boleh diterbitkan semula,

dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order kedua atau lebih, dalam ketiga-tiga

arah koordinat sebagai

ρDu

Dt= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

(1.29)

ρDv

Dt= ρY − ∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

(1.30)

ρDw

Dt= ρZ − ∂p

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)

(1.31)

Persamaan-persamaan (1.29)–(1.31) lebih dikenali sebagai persamaan-persamaan

Navier-Stokes. Bagi aliran laminar, tegasan-tegasan ricih adalah berkadaran terus de-

ngan kelikatan dan kadar terikan ricih, τx = µ(du)/(dy), untuk memudahkan penye-

lesaian persamaan-persamaan Navier-Stokes ini. Sebaliknya, di dalam aliran gelora,

tegasan-tegasan ricihnya lebih kompleks dan tiada model yang berupaya memberikan

penyelakuan yang menyeluruh.

Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi

persamaan-persamaan Navier-Stokes dikurangkan menjadi

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

(1.32)

ρ( ∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= ρY − ∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

(1.33)

1.4.2.1 Persamaan Kamilan Momentum von Karman

Pertimbangkan suatu isipadu kawalan infinitesimal, Rajah 1.9(a). Persamaan kamilan

keterusan membolehkan kita mencari matas. Untuk seunit kedalaman, persamaan kamil-

an keterusan diberikan oleh

matas = mkeluar − mmasuk

=∂

∂x

∫ δ

0ρ u dy dx (1.34)

Persamaan kamilan momentum berbentuk

∑ Fx = Mkeluar −Mmasuk −Matas


denganMmewakili fluksmomentumdi dalam arah-x. Denganmerujuk Rajah 1.9(c) dan

(d) serta mengabaikan sebutan-sebutan kuasa tinggi, persamaan di atas menjadi

−δ dp− τ0 dx =∂

∂x

∫ δ

0ρ u2 dy dx

−(

∂

∂x

∫ δ

0ρ u dy dx

)

U(x) (1.35)

Rajah 1.9: Isipadu kawalan untuk suatu lapisan sempadan, Potter & Wiggert (1997).

Bahagikan keseluruhannya dengan−dx

τ0 + δdp

dx= U(x)

d

dx

∫ δ

0ρu dy− d

dx

∫ δ

0ρu2 dy (1.36)

Persamaan (1.36) selalunya dirujuk sebagai persamaan kamilan von Karman.

Untuk aliran di permukaan plat rata dengan kecerunan tekanannya sifar, jadi dp/dx = 0

dan U(x) = U∞, persamaan kamilan von Karman dipermudahkan menjadi

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρuU∞ dy− d

dx

∫ δ

0ρu2 dy

=d

dx

∫ δ

0ρu(U∞ − u)dy (1.37)

Sekiranya ρ malar, persamaan (1.37) menjadi

τ0 = ρU2∞

dθ

dx(1.38)

dengan θ ialah ketebalan momentum.


1.5 Penyelesaian Lapisan Sempadan Laminar

1.5.1 Kaedah Tepat Blasius

Penyelesaian yang ditemui oleh Blasius pada tahun 1908 ini kadangkala dikenali juga

sebagai penyelesaian tepat. Untuk aliran mantap tanpa daya jasad dalam dua dimensi

dengan kecerunan tekanan sifar, persamaan keterusan menjadi

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (1.39)

sementara persamaan momentum atau persamaan Navier-Stokes pula mengambil ben-

tuk

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2(1.40)

dengan keadaan-keadaan sempadan berikut:

u = 0 di y = 0 (1.41a)

u = U∞ di y = δ (1.41b)

Blasius berpendapat bahawa susuk halaju, u/U∞, patut serupa untuk setiap nilai x, apa-

bila diplot melawan jarak tanpa dimensi daripada sempadan pepejal, katalah η. Untuk

tujuan ini, ketebalan lapisan sempadan, δ, dipilih sebagai parameter untuk menjadikan

jarak daripada sempadan pepejal tak berdimensi. Oleh itu penyelesaian adalah dalam

bentuk

u

U∞

= g(η) dengan η =y

δ(1.42)

Blasius mencadangkan bahawa δ ∼√

νx/U∞ dan menetapkan

η = y

√

U∞

νx(1.43)

Seterusnya menerusi fungsi arus, ψ, dengan

u =∂ψ

∂ydan v = −∂ψ

∂x(1.44)

yang memenuhi persamaan keterusan (1.39) dan dengan menggantikan u dan v ke da-

lam persamaan (1.40) kita dapat mengurangkannya kepada suatu persamaan yang ψ di

dalamnya adalah pembolehubah bersandar yang tunggal.

Jika kita mentakrifkan fungsi arus tanpa dimensi sebagai

f (η) =ψ√

νxU∞

(1.45)


f (η) menjadi pembolehubah bersandar dengan η sebagai pembolehubah tak bersandar

atau pembolehubah bebas di dalam persamaan (1.40). Dengan ψ ditakrif oleh persama-

an (1.45) dan η oleh persamaan (1.43) kita boleh menilai setiap sebutan di dalam persa-

maan (1.40).

Komponen halaju diberikan oleh

u =∂ψ

∂y=

∂ψ

∂η

∂η

∂y=

(dψ

d f

d f

dη

)∂η

∂y

u =√

νxU∞

d f

dη

√

U∞

νx= U∞

d f

dη(1.46)

dan

v = −∂ψ

∂x= −

[

√νxU∞

∂ f

∂x+

1

2f

√

νU∞

x

]

= −[

√νxU∞

d f

dη

(

−1

2η1

x

)

+1

2f

√

νU∞

x

]

v =1

2

√

νU∞

x

[

ηd f

dη− f

]

(1.47)

Dengan membezakan komponen-komponen halaju, kita boleh menunjukkan bahawa

∂u

∂x= −U∞

2xηd2 f

dη2dan

∂u

∂y= U∞

√

U∞

νx

d2 f

dη2

∂2u

∂y2=

U2∞

νx

d3 f

dη3

Gantikan ketiga-tiga persamaan di atas ke dalam persamaan (1.40) untuk mendapatkan

2d3 f

dη3+ f

d2 f

dη2= 0 (1.48)

dengan keadaan-keadaan sempadan

f =d f

dη= 0 pada η = 0, (1.49a)

d f

dη= 1 pada η = ∞ (1.49b)

Persamaan-persamaan kebezaan separa order kedua (rujuk persamaan (1.39), (1.40)) yang

mengawal pertumbuhan lapisan sempadan laminar di atas plat rata telah dijelmakan ke-

pada suatu persamaan kebezaan separa order ketiga tak linear (persamaan (1.48)) dengan

keadaan-keadaan sempadan yang berikan oleh persamaan (1.49).


Jadual 1.1: Fungsi f (η) untuk lapisan sempadan laminar se-

panjang suatu plat rata pada incidence sifar.

η = y

√

U∞

νxf f ′ =

u

U∞

f ′′

0 0 0 0.33206

0.4 0.02656 0.13277 0.33147

1.0 0.16557 0.32979 0.32301

1.4 0.32298 0.45627 0.30787

2.0 0.65003 0.62977 0.26675

2.4 0.92230 0.72899 0.22809

3.0 1.39682 0.84605 0.16136

3.4 1.74696 0.90177 0.11788

4.0 2.30576 0.95552 0.06424

4.4 2.69238 0.97587 0.03897

5.0 3.28329 0.99155 0.01591

5.4 3.68094 0.99616 0.00793

6.0 4.27964 0.99898 0.00240

6.4 4.67938 0.99961 0.00098

7.0 5.27926 0.99992 0.00022

Persamaan (1.48) tidak mungkin dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup; Blasius me-

nyelesaikannyamenerusi suatu “series expansion” yang kemudiannya diperbaiki olehHo-

warth dengan lebih jitu menggunakan kaedah berangka. Nilai-nilai berangka untuk f ,

d f/dη dan d2 f/dη2 diberikan di dalam Jadual 1.1 dan susuk halaju seperti yang ditun-

jukkan di dalam Rajah 1.10 akan diperolehi dalam bentuk tanpa dimensi dengan mem-

plot u/U∞ melawan η.

Rajah 1.10: Susuk halaju laminar dan gelora.

Daripada Jadual 1.1 kita boleh melihat bahawa η = 5.0, u/U∞ = 0.992. Dengan men-


takrif tebal lapisan sempadan, δ, sebagai nilai y apabila u/U∞ = 0.99, maka daripada

persamaan (1.43),

δ ≈ 5.0√U∞/νx

=5.0x√Rex

(1.50)

Tegasan ricih di sempadan pepejal ialah

τ0 = µ∂u

∂y

∣∣∣y=0

= µU∞

√

U∞

νx

d2 f

dη2

∣∣∣η=0

dengan itu

τ0 = 0.332U∞

√

ρµU∞

x= 0.332U∞

√

ρ2µU2∞

ρU∞x=

0.332ρU2∞√

Rex(1.51)

dan pekali geseran tempatan di sempadan pepejal, c f , diberikan oleh

c f =τ0

12ρU2

∞

= 0.332U∞

√

ρµU∞

x× 1

12ρU2

∞

=0.664√Rex

(1.52)

Jumlah daya geseran yang bertindak di keseluruhan permukaan dihitung menerusi

FF =∫ A

0τ0dA (1.53)

dan pekali geseran min untuk keseluruhan permukaan pula dikira mengikut

CF =FF/A12ρU2

∞

=

∫ A0 τ0 dA12ρU2

∞A=

1

A

∫ A0 τ0 dA12ρU2

∞

=1

A

∫ A

0c f dA (1.54)

Pekali geseran min untuk aliran dengan halaju arus bebas , U∞, di atas permukaan plat

rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi dengan menggantikan untuk τ0 dari-

pada persamaan (1.52) ke dalam persamaan (1.54):

CF =1

A

∫

A0.664Rex

−0.5 dA

=1

bL

∫ L

00.664

(U∞

ν

)−0.5

x−0.5 b dx

=0.664

L

(ν

U∞

)0.5 [ x0.5

0.5

]L

0

= 1.328

(ν

U∞L

)0.5

CF =1.328√ReL

(1.55)

Oleh kerana kecerunan tekanan di dalam lapisan sempadan dianggap sifar, hela bentuk

(atau hela tekanan) boleh diabaikan (iaitu FP = 0). Dengan itu, menerusi persamaan (1.5),

jumlah hela, FD, sama dengan hela geseran, FF, dan dengan yang demikian CD sama

dengan CF;

FD = FF + (FP = 0) = FF

CD = CF


1.5.2 Kaedah Anggaran

Kita tetapkan empat keadaan sempadan untuk susuk halaju yang dihajati

u = 0 pada y = 0 (1.56a)

u = U∞ pada y = δ (1.56b)

∂u

∂y= 0 pada y = δ (1.56c)

∂2u

∂y2= 0 pada y = 0 (1.56d)

Persamaan-persamaan (1.56a)–(1.56c) diperolehi daripada sketsa susuk halaju sementa-

ra persamaan (1.56d) pula datangnya daripada komponen-x persamaan Navier-Stokes.

Juga u = v = 0 di sempadan jasad pepejal, ∂2u/∂x2 = 0 di permukaan jasad, dan

dp/dx = 0 untuk aliran mantap yang sedang kita pertimbangkan.

Sebagai contoh, kita andaikan susuk halaju berbentuk polinomial kiub,

u

U∞

= A + By + Cy2 + Dy3 (1.57)

dengan A, B, C, dan D mungkin fungsi x. Menerusi empat keadaan sempadan di atas

kita melihat

A = 0 B =3

2δ

C = 0 D = − 1

2δ3

Oleh itu anggaran yang baik untuk susuk halaju di dalam aliran laminar ialah

u

U∞

=3

2δy− 1

2δ3y3 =

3y

2δ− y3

2δ3(1.58)

Kita seterusnya boleh menggunakan susuk halaju ini untuk mencari δ(x) dan τ0(x). Per-

samaan kamilan von Karman memberikan

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρ(3y

2δ− y3

2δ3

)(

1− 3y

2δ+

y3

2δ3

)

U2∞ dy = 0.139ρU2

∞

dδ

dx(1.59)

Di sempadan jasad pepejal, τ0 = µ∂u/∂y|y=0, atau dengan menggunakan susuk polino-

mial kiub, iaitu persamaan (1.58),

τ0 = µ( 3

2δU∞

)

(1.60)

Samakan persamaan (1.59) dan (1.60),

δ dδ =32µU∞

0.139ρU2∞

dx = 10.8ν

U∞

dx (1.61)


Dengan δ = 0 pada x = 0, persamaan (1.61) boleh dikamilkan untuk mendapat

δ = 4.65

√νx

U∞

=4.65x√Rex

(1.62)

dengan Rex ialah nombor Reynolds tempatan. Nilai δ ini digantikan ke dalam persama-

an (1.60) untuk mendapat tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal

τ0 = 0.323ρU2∞

√ν

xU∞

=0.323ρU2

∞√Rex

(1.63)

Tegasan ricih tempatan , τ0, dijadikan tanpa dimensi secara membahagikannya dengan12ρU2

∞; ini menghasilkan pekali geseran kulit tempatan sebagai:

c f =τ0

12ρU2

∞

=0.323ρU2

∞√Rex

112ρU2

∞

=0.646√Rex

(1.64)

Jika tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal ini dikamilkan sepanjang panjang, L,

daya seret disebabkan oleh geseran kulit di keseluruhan sempadan pepejal, FF, untuk

seunit lebar plat ialah

FF =∫ A

0τ0 dA =

∫ A

0τ0 (1× dx) =

∫ L

0τ0 dx

= 0.646ρU2∞

√

νL/U∞

= 0.646ρU2∞

√

νL2/U∞L

= 0.646ρU2∞L√

ν/U∞L

=0.646ρU2

∞L√ReL

(1.65)

Dari persamaan (1.54), pekali seretan untuk aliran dengan halaju arus bebas , U∞, di atas

permukaan plat rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi menerusi:

CF =1

A

∫ A

0c f dA

=1

A

∫

A0.646Rex

−0.5 dA

=1

bL

∫ L

00.646

(U∞

ν

)−0.5

x−0.5 b dx

=0.646

L

(ν

U∞

)0.5 [ x0.5

0.5

]L

0

= 1.292

(ν

U∞L

)0.5

CF =1.292√ReL

(1.66)

1.6 Penyelesaian Lapisan Sempadan Gelora

Terdapat dua kaedah penyelasaian kepada lapisan sempadan gelora—kaedah hukum

kuasa dan kaedah empirik. Kedua-duanya menggunakan data ujikaji. Kaedah yang


pertama yang dibincangkan di bawah lebih mudah sementara kaedah kedua pula dapat

memberikan lebih maklumat serta lebih tepat tetapi tidak akan dibincangkan di sini.

Di dalam aliran gelora, Rajah 1.11, jejak halaju menunjukkan pergolakan atau gincatan

halaju seketika, u, yang rambang sebagai hasil campur halaju min, u dan komponen

gincatan, u′,

u = u± u′

Oleh kerana aliran mantap, halaju min u tidak berubah dengan masa.

Rajah 1.11: Perubahan halaju dengan masa.

1.6.1 Kaedah Hukum Kuasa

Di dalam kaedah hukum kuasa kita menyesuaikan data untuk susuk halaju dengan per-

samaan hukum kuasa:

u

U∞

=(y

δ

)1/n: n =

7 Rex < 107

8 107 < Rex < 108

9 108 < Rex < 109

(1.67)

dengan

Rex =U∞x

ν

Selepas ini, persamaan von Karman boleh digunakan seperti yang telah digunakan un-

tuk mencari penyelesaian lapisan sempadan laminar, KECUALI ketika tegasan ricih di-

hitung. Bentuk hukum kuasa, persamaan (1.67), menghasilkan(

∂u

∂y

)

y=0

= ∞

jadi susuk ini memberikan keputusan yang kurang memuaskan, terutama untuk pengi-

raan tegasan ricih di sempadan pepejal. Jadi takrif

τ0 =

(

µ∂u

∂y

)

y=0


tidak digunakan, sebaliknya kita menggunakan hubungan empirikal—formula Blasi-

us—yangmenghubungkan pekali geseran tempatan dengan tebal lapisan sempadanme-

nerusi

c f = 0.046

(ν

U∞δ

)1/4

(1.68)

bagi mendapatkan

τ0 = 0.023ρU2∞

(ν

U∞δ

)1/4

(1.69)

Nota:

Satu lagi cara ialah dengan menghubungkan τ0 dengan c f menerusi persamaan

c f =0.646

Rex

Persamaan kamilan von Karman memberikan kita ungkapan yang kedua untuk τ0; gan-

tikan susuk halaju, persamaan (1.67) dengan Rex < 107, ke dalam persamaan

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρu(U∞ − u)dy

untuk memperolehi

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρU2

∞

(y

δ

)1/7[

1−(y

δ

)1/7]

dy

=7

72ρU2

∞

dδ

dx(1.70)

Gabungkan kedua-dua ungkapan, persamaan (1.69) dan (1.70), untuk τ0 dan kita mem-

perolehi

δ1/4 dδ = 0.237

(ν

U∞

)1/4

dx (1.71)

Denganmenganggap aliran gelora daripada pinggir depan (iaitu L ≫ xT), kitamendapat

δ = 0.38 x

(ν

U∞x

)1/5

=0.38 x

Re1/5x

: Rex < 107 (1.72)

Gantikan ungkapan di atas ke dalam persamaan(1.68), kita mendapati bahawa

c f =0.059

Re1/5x

: Rex < 107 (1.73)


Dengan mengkamilkan

CF =1

A

∫ A

0c f dA

kita mendapat pekali geseran min sebagai

CF =0.073

Re1/5L

: Rex < 107 (1.74)

dengan

ReL =U∞L

ν

Rumus-rumus untuk δ, τ0, c f , CF dan FF di atas boleh digunakan untuk Rex ≈ 108 tanpa

ralat yang besar.

Jika panjang L tidak begitu besar dibandingkan dengan xT, katalah L = 3xT , bahagian

laminar turut mempengaruhi aliran di pinggir depan plat. Untuk kes sebegini, dengan

ReL < 107, pekali geseran min boleh diubahsuai sebagai

CF =0.073

Re1/5L

− 1060

ReL: Rec = 3× 105 (1.75a)

CF =0.073

Re1/5L

− 1700

ReL: Rec = 5× 105 (1.75b)

CF =0.073

Re1/5L

− 2080

ReL: Rec = 6× 105 (1.75c)

dengan Rec ialah nombor Reynolds genting di titik berlakunya peralihan

Rec =U∞xT

ν

Tebal anjakan, δ∗, dan tebal momentum, θ, masing-masing diberikan oleh

δ∗ =0.048 x

Re1/5x

(1.76)

θ =0.037 x

Re1/5x

(1.77)

Bab 2

ALIRAN BENDALIR UNGGUL

2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir

Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan:

1. Kaedah Lagrangian

(a) Kajian pola aliran SATU zarah individu

(b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti

(c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu

2. Kaedah Eulerian

(a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan

(b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa

dikaji dengan teliti

(c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persim-

pangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika.

Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis

matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting.

2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir

2.2.1 Garis Arus

Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya

pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan

satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yangmempunyai komponen

dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponen-

komponen vektor halaju Vs sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang

23

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 24

sV

sV

sV

Rajah 2.1: Garisarus.

diambil oleh zarah untuk bergerak sepanjang jarak ds di atas garisarus dengan halaju Vs

ialah

t =ds

Vs

yang sama dengan

t =dx

u=

dy

v=

dz

w

Dengan itu persamaan kebezaan untuk garisarus boleh ditulis sebagai

dx

u=

dy

v=

dz

w(2.1)

Sesuatu unsur bendalir yang dikelilingi oleh sejumlah garis arus yangmembendung alir-

an dinamai tiub arus. Oleh kerana tiada gerakan bendalir yang memintas sesuatu garis

arus, maka tiada bendalir yang dapat memasuki atau meninggalkan tiub arus, kecuali

menerusi dua penghujungnya, A dan B di dalam Rajah 2.2. Jelas bahawa sesuatu tiub

arus itu berkelakuan seperti sesuatu tiub pepejal.

2.2.2 Garis laluan

Garis laluan ialah lokus satu zarah bendalir yang bergerak, iaitu satu lengkung yang di-

jejaki oleh satu zarah semasa gerakannya. Rajah 2.3 menunjukkan satu garisarus pada

t1 yang menunjukkan vektor halaju untuk zarah A dan B. Pada ketika t2 dan t3, zarah

A ditunjukkan berada di kedudukan seterusnya. Garisan yang menyambungkan semua

kedudukan ini mewakili garis laluan zarah A.


B

A

Rajah 2.2: Tiub arus.

2.2.3 Garis upaya atau Garis Sama-upaya

Kehilangan turus (tenaga) zarah-zarah bendalir terjadi apabila zarah- zarah ini mele-

wati garis-garis arus. Jika kita lukiskan garisan yang menyambungkan titik-titik yang

mempunyai keupayaan yang sama di atas garis-garis arus yang bersebelahan, kita akan

mendapat garis upaya atau garis sama-upaya, Rajah 2.4. Garisan AA’, BB’, CC’ dan DD’

ialah garisarus dan PP’, QQ’, RR’ dan SS’ pula ialah garis sama- upaya.

A

A'

BC

D B'C'

D'

P

Q R

S

Q' R'

P' S'

Rajah 2.4: Garis upaya atau sama-upaya.


B

A

AA

1t

2 1t t t= + ∆

3 2t t t= + ∆

Garis laluan untukzarah bendalir A

Garisarus seketikapada t1

Rajah 2.3: Garis laluan.

2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir

2.3.1 Aliran Laminar & Aliran Gelora

Setiap zarah di dalam aliran laminar mempunyai satu laluan yang tetap dan laluan-lauan

zarah-zarah ini tidak saling memintas atau merentasi. Ia dikenali juga sebagai aliran garis

arus. Setiap zarah bendalir di dalam aliran gelora pula tidak mempunyai laluan yang

tetap dan laluan-laluan zarah-zarah ini saling memintas atau merentasi satu sama lain.

Rajah 2.5: Aliran laminar dan aliran gelora.

2.3.2 Aliran Berputar & Aliran Nirputaran

Zarah-zarah di dalam aliran berputar turut berputar di atas paksi masing-masing apabila

mengalir, Rajah 2.6(a). Zarah-zarah di dalam aliran nirputaran tidak berputar di atas

paksi masing-masing dan kekal dengan orientasi asal apabila mengalir, Rajah 2.6(b).


Rajah 2.6: Aliran berputar, dan aliran nirputaran.

2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat

x

y

( )vv dy

y

ρρ ∂+∂

( )uu dx

x

ρρ ∂+∂uρ

vρ

dy

dx

Rajah 2.7: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir.

Pertimbangkan suatu unsur segiempat bendalir yang mempunyai tepian dx dan dy serta

tebal b seperti di dalam Rajah 2.7. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v. Untuk

arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh dida-

pati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk:

ρub dy−[

ρu +∂(ρu)

∂xdx

]

b dy = −∂(ρu)

∂xb dx dy

Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y,

−∂(ρv)

∂yb dx dy

Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertam-

bah sebanyak ∂(ρb dx dy)/∂t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-


rolehi:

−∂(ρu)

∂xb dx dy− ∂(ρv)

∂yb dx dy =

∂(ρb dx dy)

∂t

atau

∂ρ

∂t+

∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y= 0 (2.2)

Persamaan (2.2) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk aliran

boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ∂ρ/∂t, adalah sifar.

Untuk aliran tak boleh mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (2.3)

Persamaan (2.3) digunakan untuk aliran mantap dan tak boleh mampat.

2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat

x

y

pp dy

y

∂+∂

pp dx

x

∂+∂p

p

dy

dx

Rajah 2.8: Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir

Pertimbangkan daya yang bertindak ke atas suatu unsur kecil bendalir, Rajah 2.8. Oleh

kerana bendalir ini adalah bendalir unggul, tiada daya likat yang bertindak. Jadi, mene-

rusi hukum gerakan kedua Newton, jumlahan daya-daya yang bertindak ke atas unsur

ini di dalam sebarang arah mestilah mengimbangi daya inersia di dalam arah yang sa-

ma. Tekanan yang bertindak ke atas unsur kecil bendalir, dx dy ditunjukkan di dalam

Rajah 2.8. Di samping itu, dengan mengambilkira daya jasad dan menganggap bahawa

jumlahan kedua-dua daya ini (iaitu daya tekanan dan daya jasad) sama dengan daya


inersia, persamaan gerakan untuk kes ini boleh diperolehi seperti berikut:

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

︸︷︷︸

daya inersia

= ρX − ∂p

∂x(2.4a)

ρ( ∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

︸︷︷︸

daya inersia

= ρY − ∂p

∂y(2.4b)

Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

lah dikeluarkan—dalam bentuk ini ia lebih dikenali sebagai persamaan gerakan Euler un-

tuk dua dimensi. Bagi aliran mantap, jika daya jasad diabaikan, maka untuk seunit jisim

bendalir:

ρ(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= −∂p

∂x(2.5a)

ρ(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −∂p

∂y(2.5b)

dengan

ax =(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= pecutan dalam arah-x

dan

ay =(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= pecutan dalam arah-y

Di dalam aliran bendalir dua dimensi, tiga kuantiti perlu diketahui, iaitu u, v dan p,

sebagai fungsi x, y dan t:

u = u(x, y, t)

v = v(x, y, t)

p = p(x, y, t)

Jika halaju-halaju u dan v diketahui, tekanan, p, boleh dikira menerusi persamaan (2.4)

atau (2.5).

Bagaimanapun, oleh kerana sebutan pecutan (iaitu sebutan inersia) tidak linear, penye-

lesaian analitikal menjadi sukar dan hanya terhad kepada beberapa kes mudah saha-

ja. Biasanya, bagi aliran unggul persamaan keterusan (2.3) dan persamaan gerakan Eu-

ler (2.4) atau (2.5) diselesaikan bagi keadaan-keadaan awal dan keadaan-keadaan sem-

padan yang tertentu.


PeralihanPeralihan PutaranPutaran

Herotan Sudut,tanpa putaran

Herotan Sudut,tanpa putaran Herotan IsipaduHerotan Isipadu

Rajah 2.9: Gerakan-gerakan unsur bendalir.

2.6 Vortisiti

Aliran unggulmembezakan di antara aliran berputar dan aliran tak berputar (atau nirpu-

taran). Umumnya terdapat dua jenis gerakan: peralihan (translation) dan putaran (rota-

tion). Kedua-duanya boleh wujud tersendiri atau serentak (gerakan peralihan bertindih-

an dengan dengan gerakan putaran atau sebaliknya). Sekiranya sesuatu unsur pepejal

dapat diwakili oleh satu segi empat tepat maka peralihan tulen atau putaran tulen boleh

diwakili oleh Rajah 2.9. Sekiranya kita mengambil segi empat tepat tadi sebagai mewaki-

li bendalir, di samping dua gerakan tadi, ia juga boleh berubah bentuk: linear atau sudut,

Rajah 2.9.

x

y

dy

dxA

b

a

α

β

A'

a'

b'v dt

vdx dt

y

∂−∂

u dt

udy dt

y

∂∂

α β≠

Rajah 2.10: Putaran, peralihan dan herotan.


Daripada Rajah 2.10, kadar purata putaran dalam masa dt ialah

ω =α + β

2× 1

dt=

1

2

α + β

dt(2.6)

tetapi, untuk nilai-nilai kecil, dan mengambil putaran melawan arah jam sebagai positif,

α =lengkok

jejari=

∂v

∂xdx dt

1

dx=

∂v

∂xdt

dan

β =lengkok

jejari= −∂u

∂ydy dt

1

dy= −∂u

∂ydt

Dengan menggantikan ungkapan untuk α dan β di atas ke dalam persamaan (2.6), maka

kadar putaran sekitar paksi-z ialah

ωz =1

2

(∂v

∂xdt− ∂u

∂ydt

)1

dt

=1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

︸︷︷︸

vortisiti, ζz

(2.7a)

Putaran unsur bendalir sekitar dua paksi yang lain boleh ditemui menerusi kaedah yang

sama. Untuk paksi-y

ωy =1

2

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)

︸︷︷︸

vortisiti, ζy

(2.7b)

dan untuk paksi-x

ωx =1

2

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)

︸︷︷︸

vortisiti, ζx

(2.7c)

Ungkapan di dalam kurungan,(

∂w

∂y− ∂v

∂z

)

= ζx(

∂u

∂z− ∂w

∂x

)

= ζy(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

= ζz

(2.8)

disebut vortisiti, ζ;

ζx = 2ωx

ζy = 2ωy

ζz = 2ωz

(2.9)

dengan ω adalah halaju sudut unsur-unsur bendalir sekitar pusat jisim di dalam sesuatu

satah (xy, xz atau yz).


2.7 Penentuan Aliran Berputar atau Sebaliknya

Ungkapan untuk vortisiti, persamaan (2.8), diperolehi dengan menganggap bahawa ge-

rakan putaran unsur bendalir wujud dan bertindihan di atas gerakan peralihan. Aliran

sedemikian disebut aliran berputar dan

ζ =∂v

∂x− ∂u

∂y, 0 (2.10)

Daripada sini, kita boleh menyimpulkan bahawa bagi aliran tanpa putaran, atau nirpu-

taran, persamaan (2.8), dan dengan itu vortisiti, mestilah bernilai sifar. Oleh itu, jika

gerakan zarah-zarah hanyalah semata-mata gerakan peralihan dan herotannya pula si-

metrikal, aliran ini disebut aliran nirputaran dan keadaan yang mesti dipatuhinya ialah;

ζ =∂v

∂x− ∂u

∂y= 0 (2.11)

2.8 Edaran

Pertimbangkan unsur bendalir ABCD dalam gerakan putaran, Rajah 2.11.

x

y

uu dy

y

∂+∂

vv dx

x

∂+∂

v

u

dx

dy

A

B C

D

Arahkamilan

Rajah 2.11: Edaran.

Oleh kerana unsur bendalir ini berputar, terjadi halaju pinggiran hasilan. Bagaimanapun,

pusat putaran ini tidak diketahui jadi lebih mudah jika kita mengaitkan putaran ini de-

ngan jumlahan hasil darab halaju dengan jarak sekeliling kontur unsur bendalir. Jum-

lahan hasil darab ini disebut edaran

Γ =∮

vs ds (2.12)


yang lazimnya dianggap positif dalam arah melawan jam. Dengan itu, untuk unsur

ABCD, bermula daripada sisi AD,

ΓABCD = u dx +

(

v +∂v

∂xdy

)

dy

−(

u +∂u

∂ydy

)

dx− v dy

=∂v

∂xdx dy− ∂u

∂ydy dx

=

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

dx dy

tetapi untuk aliran 2-D dalam satah-xy,(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

= ζz

iaitu vortisiti unsur ABCD sekitar paksi-z, ζz. Hasil darab (dx dy) pula ialah luas unsur

dA. Dengan itu

ΓABCD =

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

dx dy

= ζz dA

2.9 Keupayaan Halaju

Keupayaan halaju, φ, adalah suatu kuantiti skalar yang bergantung kepada ruang dan

masa;

−φ =∫

vs ds

dengan vs ialah halaju sepanjang suatu jarak ds. Daripada takrif di atas, kitamemperolehi

dφ = −vs ds

atau

vs = −dφ

ds

Tanda negatif muncul kerana kelaziman bahawa keupayaan halaju susut dalam arah alir-

an. Keupayaan halaju bukanlah suatu kuantiti fizikal yang boleh diukur dengan mudah;

oleh yang demikian kedudukan nilai sifarnya boleh dipilih secara rambang.

Hasil bezaan keupayaan halaju terhadap sesuatu arah memberikan halaju dalam arah

tersebut, iaitu untuk koordinat Cartesan (x, y, z);

u = −∂φ

∂x; v = −∂φ

∂y; w = −∂φ

∂z(2.13)


Bagi sistem koordinat kutub (r, θ, z), komponen halaju diberikan oleh

vr = −∂φ

∂r; vθ = −1

r

∂φ

∂θ; vz = −∂φ

∂z(2.14)

Daripada persamaan (2.13)

∂u

∂y= − ∂2φ

∂y∂xdan

∂v

∂x= − ∂2φ

∂x∂y

yang menghasilkan:

∂v

∂x− ∂u

∂y= 0 (2.15)

Umumnya, hasil kebezaan keseluruhan bagi fungsi φ di dalam dua dimensi diperolehi

menerusi pembezaan separa

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy (2.16)

dan menerusi persamaan (2.13)

dφ = −u dx− v dy = − (u dx + v dy) (2.17)

Kesannya, apabila fungsi φ telah diperolehi, pembezaan φ dengan x dan y memberikan

halaju-halaju u dan v dan dengan itu pola aliran ditemui.

Suatu garisan yang sepanjang-panjangnya mempunyai nilai φ yang malar dinamai garis-

an sama upaya, dan di atas garisan ini arah halaju bendalir adalah berserenjang dengan-

nya.

Sementara itu, persamaan keterusan untuk aliran mantap tak boleh mampat dalam dua

dimensi yang diberikan oleh persamaan (2.3)

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

boleh ditulis dalam sebutan φ sebagai

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= 0 (2.18)

Persamaan (2.18) dikenali sebagai persamaan Laplace.

Perlu diingatkan bahawa pola aliran upaya ditentukan hanya oleh hubungan keterus-

an (iaitu persamaan (2.3) atau persamaan (2.18)); hubungan momentum (iaitu persama-

an (2.4) atau (2.5)) cuma digunakan untuk menentukan tekanan.


2.10 Fungsi Arus dan Kadar Aliran

Fungsi arus, Rajah 2.12, adalah satu fungsi yang menghurai bentuk pola aliran. Ia juga

mewakili luahan atau kadar aliran seunit tebal. Secara matematik:

ψ = f (x, y) (2.19)

dengan

u = komponen halaju di titik P dalam arah-x

v = komponen halaju di titik P dalam arah-y

ψ = fungsi arus di titik P

Pertimbangkan satu lagi garis arus sejauh dy di dalam arah-y dan dx di dalam arah-x,

Rajah 2.12. Fungsi arus untuk garis arus ini ialah ψ + dψ.

x

y

ψ

dψ ψ+

dx

dy

v

uP

Rajah 2.12: Fungsi arus.

Kadar aliran (seunit tebal) merentasi dy diberikan oleh:

dψ = u dy ⇒ u =dψ

dy(2.20a)

sementara kadar aliran (seunit tebal) merentasi dx pula ialah:

dψ = −v dx ⇒ v = −dψ

dx(2.20b)

Apabila komponen-komponen halaju ditakrif dalam sebutan fungsi arus kita tahu baha-

wa pengabadian jisim telah dipatuhi. Walaupun kita masih belum mengetahui apakah

fungsi ψ(x, y) untuk sesuatu masalah, tetapi sekurang-kurangnya kita telah memudahk-

an analisis dengan hanya perlu menentukan satu fungsi anu, iaitu ψ(x, y), sebagai ganti

dua fungsi, u(x, y) dan v(x, y).


Di samping itu garisan yang di sepanjangnya nilai ψ adalah malar dinamai garisarus

dan kecerunan di sebarang titik sepanjang sesuatu garisarus diberikan oleh persamaan

garisarus

dy

dx=

v

u⇒ u dy− v dx = 0 (2.21)

Gantikan u dan v ke dalam persamaan di atas

∂ψ

∂ydy +

∂ψ

∂xdx = 0 (2.22)

⇒ dψ = 0

Ini menunjukkan bahawa luahan di antara dua garis arus adalah malar dan diberikan

oleh perbezaan di antara kedua-dua fungsi arus tersebut, iaitu dψ.

Dalam koordinat silinder, komponen halaju, vr dan vθ , dihubungkan dengan fungsi arus,

ψ(x, y), menerusi persamaan

vr =1

r

∂ψ

∂θ; vθ = −∂ψ

∂r(2.23)

dengan vr positif mengarah keluar daripada asalan dan vθ positif dalam arah melawan

jam.

Konsep fungsi arus boleh digunakan untuk aliran simetri sepaksi (seperti aliran di dalam

paip atau aliran di sekeliling jasad yang berputar) dan aliran boleh mampat dua dimensi.

Konsep ini, bagaimanapun, TIDAK boleh digunakan untuk aliran tiga dimensi.

2.11 Hubungan di Antara Fungsi Arus dan Keupayaan Halaju

Oleh kerana setiap komponen halaju boleh diungkapkan dalam sebutan φ dan ψ, wujud

hubungan di antara φ dan ψ.

u = −∂φ

∂x=

∂ψ

∂yv = −∂φ

∂y= −∂ψ

∂x

Dengan itu

∂ψ

∂y= −∂φ

∂x

∂ψ

∂x=

∂φ

∂y(2.24)

Persamaan (2.24) dikenali sebagai keadaan-keadaan Cauchy-Riemann.

Hasil bezaan keseluruhan ψ(x, y) ialah

dψ =∂ψ

∂xdx +

∂ψ

∂ydy

= −v dx + u dy


dan kita juga mengetahui bahawa untuk setiap garisarus dψ = 0; dengan itu

dy

dx=

v

u(2.25)

Hasil bezaan keseluruhan keupayaan halaju, φ(x, y), pula ialah

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy

= −u dx− v dy

Bagi setiap garisan sama-upaya φ adalah malar dan dengan itu dφ = 0. Jadi untuk

garisan sama-upaya

dy

dx= −u

v(2.26)

Daripada persamaan (2.25) dan (2.26) kita boleh melihat bahawa garisan sama-upaya (φ

yang malar) dan garisarus (ψ yang malar) memintas satu sama lain secara ortogon. Oleh

itu garis sama-upaya dan garisarus membentuk jaringan garisan-garisan yang saling ber-

serenjang yang dikenali sebagai jaringan aliran, Rajah 2.13.

Rajah 2.13: Jaringan aliran, Massey (1983).

2.12 Beberapa Pola Asas Aliran

2.12.1 Aliran garis lurus

Pola aliran termudah ialah aliran yang garisarusnya lurus, Rajah 2.14

Kelaziman yang digunakan untuk menomborkan garisarus ialah fungsi arus dianggap

bertambah ke kiri pemerhati yangmemandang ke arus hilir. Jika halaju aliranV condong


pada sudut α ke paksi-x, maka komponen dalam arah-x dan y diberikan oleh

u = V cos α v = V sin α (2.27)

Fungsi aliran diperolehi dengan menggantikan u dan v di atas ke dalam persamaan

dψ =∂ψ

∂xdx +

∂ψ

∂ydy

= −v dx + u dy

= u dy− v dx

yang menjadi

ψ =∫

V cos α dy−∫

V sin α dx + pemalar (2.28)

x

y

α

0ψ

1ψ

2ψ

3ψ

4ψ

5ψ

6ψ

V

Rajah 2.14: Aliran garis lurus.

Oleh kerana di dalam aliran seragamV = pemalar dan di dalam aliran garis lurus α juga

turut malar, ungkapan untuk fungsi arus menjadi

ψ = Vy cos α −Vx sin α + pemalar (2.29)

Pemalar kamilan boleh dijadikan sifar denganmemilih supaya garisarus rujukan, ψ0 = 0,

melalui asalan. Jadi, apabila x = 0 dan y = 0 fungsi arus ψ = ψ0 = 0. Dengan itu

ψ = V(y cos α − x sin α) (2.30)

Oleh kerana u dan v malar maka ∂u/∂y dan ∂v/∂x adalah sifar, oleh yang demikian

aliran adalah aliran nirputaran.


Keupayaan halaju diperolehi menerusi persamaan (2.16) dan (2.17)

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy = −(u dx + v dy)

Dengan itu, menerusi gantian dan kamilan,

φ = −(∫

V cos α dx +∫

V sin α dy

)

+ pemalar

tetapi jika φ = φ0 = 0 di x = 0 dan y = 0, maka

φ = −V (x cos α + y sin α) (2.31)

2.12.2 Aliran daripada sumber atau punca

Sumber ialah suatu titik yang darinya terpancar bendalir keluar secara sekata dalam se-

mua arah, Rajah 2.15.

Rajah 2.15: Aliran sumber.

Bagi aliran dua dimensi, kekuatan sesuatu sumber,m, adalah ukuran jumlah kadar aliran

isipadu bendalir seunit tebal yang berpunca daripada sumber tersebut.

Oleh kerana halaju secara keseluruhannya dalam arah jejari, maka untuk seunit tebal,

halaju v pada jejari r diberikan oleh

Kadar aliran isipadu

Luas yang berseranjang ke halaju=

m

2πr

Untuk aliran daripada suatu sumber di asalan, halaju tangen

vt =∂ψ

∂r= 0


sementara halaju jejari yang menghala keluar

vr = −(

∂ψ

r∂θ

)

=m

2πr

Oleh itu

ψ = − m

2πθ (2.32)

dengan θ dalam ukuran radian dan diambil dalam julat 0 ≤ θ < 2π.

Juga

−∂φ

∂r= vr =

m

2πr

dan

− ∂φ

r∂θ= vt = 0

Dengan itu

φ = − m

2πln( r

C

)

(2.33)

Garis-garis arus adalah garis yang θ nya malar, iaitu garisan jejari. Untuk aliran nirpu-

taran, garisan φ adalah bulatan sepusat.

2.12.3 Aliran ke sinki

Lawan sumber ialah sinki yang merupakan suatu titik yangmenjadi pusat tumpuan alir-

an bendalir dan bendalir di titik ini sentiasa di keluarkan. Kekuatan sinki dianggap ne-

gatif dan ungkapan untuk halaju dan fungsi ψ serta φ adalah sama seperti aliran sumber.

2.12.4 Vorteks nirputaran atau bebas

Pola aliran yang garis-garis arusnya berbentuk bulatan sepusat dikenali sebagai vorteks

bulat satah. Zarah-zarah yang bergerak dalam bulatan sepusat ini mungkin berputar di

atas paksinya sendiri atau mungkin tidak. Jika zarah-zarah ini tidak berputar di atas

paksinya sendiri, vorteks ini dikenali sebagai vorteks bebas atau vorteks nirputaran.

Rajah 2.16 menunjukkan suatu unsur di dalam medan vorteks bebas yang dibendung

oleh dua garis arus dan dua jejari. Halaju v dan v + dv dianggap positif dalam arah

melawan jam. Halaju yang berserenjang terhadap adalah sifar.

Edaran Γ (positif dalam arah lawan jam) sekitar unsur ini ialah

Γ = (v + dv)(R + dR) dθ − vR dθ

= (R dv + v dR) dθ


Rajah 2.16: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas.

dengan magnitud-magnitud kecil order tinggi diabaikan.

Vortisiti diberikan oleh

ζ =Edaran

Luas=

(Rdv + v dR)dθ

R dθ dR

=v

R+

dv

dR

=v

R+

∂v

∂R: apabila dR → 0 (2.34)

dengan R mewakili jejari kelengkungan garis arus, bukannya koordinat kutub.

Untuk aliran nirputaran

ζ =v

R+

∂v

∂R= 0 (2.35)

Halaju adalah malar sepanjang garis arus dan berubah hanya dengan R, jadi

dv

dR= − v

R

yang boleh dikamil untuk memberikan

vR = pemalar (2.36)

Edaran sekitar satu litar yang sepadan dengan suatu garis arus vorteks bebas diberikan

sebagai

Γ = v× 2πR

Oleh kerana vR = pemalar, edaran juga turut malar bagi keseluruhan vorteks. Aliran

vorteks bebas adalah nirputaran di semua bahagian kecuali pusatnya, yang mempunyai

teras berputar dan vortisi yang bukan sifar. Jadi di pusat vorteks bebas, persamaan (2.36)

tidak sah digunakan.


Dalam vorteks bulat dua dimensi, halaju adalah keseluruhannya dalam arah tangen. Ba-

gi vorteks yang berpusat di asalan koordinat

ψ =∫

∂ψ

∂rdr +

∫∂ψ

∂θdθ

=∫

v dr + 0

=∫

Γ

2πrdr

=Γ

2πln

(r

r0

)

(2.37)

dengan r0 mewakili jejari pada ψ = 0. Pemalar Γ dikenali sebagai kekuatan vorteks.

Pertimbangkan satu unsur kecil bendalir di antara dua garis arus, Rajah 2.17, di dalam

medan aliran mantap.

Rajah 2.17: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas.

Di jejari R daripada pusat kelengkungan tekanannya ialah p, sementara di jejari R + dR

pula ialah p + dp. Tujahan bersih (seunit ketebalan) ke atas unsur, menghala ke pusat

kelengkungan, ialah

(p + dp)(R + dR) dθ−

pR dθ − 2

(

p +dp

2

)

dR sindθ

2

Dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order tinggi, tujahan bersih ini dipermu-

dahkan menjadi R dp dθ.

Komponen berat unsur yang bertindak sepanjang jejari dan menghala keluar ialah

R dθ dR ρgdz

dR= Rρgdθdz

dengan dz ialah unjuran tegak dR supaya lengkok cos(dz/dR) membentuk sudut di an-

tara jejari dan arah tegak. Oleh itu jumlah daya yang bertindak ke dalam ialah

R dp dθ + Rρg dθ dz = Jisim× Pecutan memusar

= ρR dθ dRv2

R


Bahagikan dengan Rρg dθ

dp

ρg+ dz =

v2

R

dR

g(2.38)

Teorem Bernoulli untuk aliran mantap bendalir tanpa geseran memberikan

p

ρg+

v2

2g+ z = H

dengan H adalah turus yang malar sepanjang sesuatu garis arus (walaupun nilai ini ber-

ubah dari satu garis arus ke garis arus yang lain). Kebezakan persamaan di atas

dp

ρg+

2v dv

2g+ dz = dH (2.39)

Gabungkan persamaan (2.38) dan (2.39)

dH =vdv

g+

v2dR

Rg=

v

g

(dv

dR+

v

R

)

dR

Tetapi vdR = dψ, dan daripada persamaan (2.34),

dv

dR+

v

R= ζ

Oleh itu

dH = ζdψ

g(2.40)

2.12.5 Vorteks berputar atau paksa

Gerakan bendalir vorteks paksa diperolehi apabila bendalir di‘paksa’ berputar seperti

suatu jasad pejal sekitar suatu pusat. Oleh kerana daya kilas luar diperlukan bagi me-

mulakan gerakan, sebutan ‘vorteks paksa’ digunakan.

Halaju di jejari R dari pusat putaran diberikan oleh ωR, dengan ω mewakili halaju sudut

yang seragam. Gantian v = ωR ke dalam persamaan aliran mantap (2.38) memberikan

dp

ρg+ dz = ω2R

dR

g

Kamilkan persamaan di atas

p

ρg=

ω2R2

2g+ pemalar

iaitu

p∗ =ρω2R2

2+ pemalar (2.41)


dengan p∗ = p + ρgz.

Persamaan (2.41) menunjukkan bahawa p∗ bertambah dengan jejari R. Bendalir boleh

dibekalkan di pusat sesuatu vorteks paksa dan kemudiannya diluah keluar di susur-

keliling pada tekanan yang lebih tinggi. Prinsip ini merupakan asas pam empar.

Jika suatu vorteks paksa dihasilkan di dalam bendalir yang mengisi bekas terbuka atau

terdedah kepada atmosfera, tekanan di permukaan bebas bendalir adalah atmosfera dan

dengan itu malar nilainya. Oleh yang demikian, permukaan bebas

z =ω2R2

2g+ pemalar

Jika z = z0 apabila R = 0, maka

z− z0 =ω2R2

2g

iaitu persamaan permukaan yang berbentuk paraboloid perkisaran, Rajah 2.18, dengan

R bersudut tepat ke paksi putaran z.

Rajah 2.18: Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi

bekas terbuka, Massey (1983).

2.13 Gabungan Beberapa Pola Asas Aliran

2.13.1 Aliran Garis Lurus Seragam dan Sumber

Ambil suatu sumber dengan kekuatan m di asalan koordinat dan gabungkan pola aliran

ini dengan aliran seragam dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Gabungan

pola garis arus ditunjukkan di dalam Rajah 2.19.


Rajah 2.19: Gabungan aliran garis lurus dan sumber, Massey (1983).

Halaju daripada sumber, m/(2πr), yang menghala keluar susut dengan bertambahnya

jejari. Jadi di suatu titik di kiri O, halaju ini akan mencapai nilai yang sama, tetapi ber-

lawanan arah, dengan halaju arus seragam, U; menjadikan halaju gabungan di titik ini

sifar. Titik ini dinamai titik genangan. Di titik ini

m

2πr= U =⇒ r =

m

2πU

Bendalir yang keluar daripada sumber tidak berdaya bergerak melepasi S, dan seterus-

nya mencapah daripada paksi θ = π dan seterusnya dibawa arus ke kanan.

Denganmencampurkan fungsi arus untuk aliran seragam dan fungsi arus untuk sumber,

kita memperolehi aliran gabungan sebagai

ψ = −Uy +

(

−mθ

2π

)

= −Ur sin θ − mθ

2π

Di titik genangan, y = 0 dan θ = π; dengan itu nilai ψ di situ ialah −m/2 yang mesti

malar sepanjang garis arus yang sepadan dengan kontor jasad. Kontor ini ditakrif oleh

rumus

−Uy− mθ

2π= −m

2

dan mengunjur ke nilai tak terhingga ke kanan, dengan nilai asimptot y diberikan oleh

m/2U apabila θ → 0 atau −m/2U apabila θ → 2π.

Komponen halaju di sebarang titik di dalam aliran diberikan oleh

vt =∂ψ

∂r= −U sin θ

vr = − ∂ψ

r∂θ= +U cos θ +

m

2πr


Jasad yang kontornya terbentuk oleh gabungan aliran garislurus linear dengan suatu

sumber begini dikenali sebagai separuh jasad.

2.13.2 Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan

Rajah 2.20: Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey (1983).

Jika kekuatan sumber di A ialah m dan kekuatan sinki di B pula ialah −m, maka fungsi

arus aliran gabungan ialah

ψ = −mθ12π

+mθ22π

=m

2π(θ2 − θ1) (2.42)

Untuk sebarang titik P di dalam medan aliran,

|θ2 − θ1| = ∠APB

Garisan-garisan yang ψ nya malar (iaitu garis-garis arus) dengan itu melengkung sepan-

jang lengkung yang ∠APB malar, iaitu lengkok bulat dengan AB sebagai perentas asas.

Jika A berada di (−b, 0) dan B di (b, 0) maka

tan θ1 =y

x + bdan tan θ2 =

y

x− b

Oleh itu

tan(θ2 − θ1) =tan θ2 − tan θ11+ tan θ2 tan θ1

=y/(x− b) − y/(x + b)

1+ [y2/(x2 − b2)]

=2by

x2 − b2 + y2


dan daripada persamaan (2.42),

ψ =m

2πarctan

2by

x2 − b2 + y2(2.43)

dengan

(

0 < arctan2by

x2 − b2 + y2≤ π

)

untuk y > 0

(

−π ≤ arctan2by

x2 − b2 + y2≤ 0

)

untuk y < 0

2.13.3 Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan alir-

an garis lurus

Rajah 2.21: Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis

lurus, Massey (1983).

Aliran seragammengalir dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Fungsi arus

gabungan yang terhasil ialah

ψ = −Uy +m

2π(θ2 − θ1)

= −Uy +m

2πarctan

2by

x2 − b2 + y2

Dengan sumber di kiri asalan, suatu titik genangan dijangkakan di hulu sumber, dan

titik genangan kedua di hilir sinki. Jika titik genangan berada di jarak s dariO sepanjang

paksi-x, halaju gabungan di situ ialah

U− m

2π(s− b)+

m

2π(s + b)= 0

dengan itu

s = ±b

√

1+m

πUb


Di titik-titik genangan, y = 0 dan θ2 − θ1 = 0 jadi ψ = 0, iaitu kesemua titik ini ber-

ada di atas garisan ψ = 0 yang simetrikal sekitar kedua-dua paksi, rujuk Rajah 2.21.

Garisan ψ = 0 ini selalunya dikenali sebagai oval Rankine, mengambil sempena nama

W. J. M. Rankine (1820–1872) yang merupakan penyelidik pertama membangunkan tek-

nik menggabung pola-pola aliran.

2.13.4 Kembar

Jika sumber dan sinki di dalam Rajah 2.20 didekatkan tetapi hasil darab m× 2b dikekal-

kanmalar dan terhingga nilainya, pola yang terhasil dikenali sebagai kembar atau dwipola.

Sudut APB menjadi sifar dan garis-garis arus menjadi bulatan yang tangen ke paksi-x.

Dari persamaan (2.43), apabila 2b → 0,

ψ → m

2π

( 2by

x2 − b2 + y2

)

→ Cy

x2 + y2

=Cr sin θ

r2=

C sin θ

r(2.44)

dengan r dan θ adalah koodinat kutub dan

C = pemalar =mb

π

2.13.5 Kembar dan Aliran Garis lurus Seragam

Rajah 2.22: Kembar dan aliran garis lurus seragam, Massey (1983).

Jika suatu kembar di asalan dengan paksi x negatifnya digabungkan dengan aliran ga-

rislurus seragam dalam arah x positif, fungsi arus paduan ialah

ψ = −Uy +C sin θ

r

= −Ur sin θ +C sin θ

r(2.45)


Apabila sumber dan sinki bersatu untuk membentuk kembar, oval Rankine menjadi su-

atu bulatan. Persamaan (2.45) menunjukkan bahawa garisarus ψ = 0 ditemui apabila

θ = 0, θ = π atau C = Ur2.

Sepanjang paksi-x, ψ = 0 dan

r =

√

C

U= pemalar

Dengan

C

U= a2 (2.46)

persamaan (2.45) menjadi

ψ = −U(

r− a2

r

)

sin θ (2.47)

Halaju aliran gabungan ini diberikan oleh

vr = −1

r

∂ψ

∂θ= U

(

1− a2

r2

)

cos θ

vt =∂ψ

∂r= −U

(

1+a2

r2

)

sin θ

Bab 3

ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU

DIMENSI

3.1 Bendalir Tak Boleh Mampat dan Boleh Mampat

Bendalir tak boleh mampat tidak wujud dalam praktis. Sebutan ini sebenarnya digunakan

untuk merujuk kepada bendalir yang, apabila dikenakan tekanan, mengalami perubah-

an ketumpatan yang terlalu kecil sehingga boleh diabaikan. Ini berlaku dalam hampir

semua kes yang melibatkan cecair.

Gas juga boleh dianggap tidak boleh mampat sekiranya perubahan tekanan kecil diban-

dingkan dengan tekanan mutlak. Aliran udara di dalam sistem pengalihudaraan adalah

contoh kes gas yang dikira tak boleh mampat kerana perubahan tekanannya begitu kecil

untuk memberikan sebarang kesan ke atas ketumpatannya. Begitu juga dengan pesa-

wat udara yang terbang pada kelajuan 400 km/j; ketumpatan udara masih boleh dikira

malar. Tetapi bagi objek yang bergerak di dalam udara yang menghampiri laju bunyi

(1150 km/j), tekanan dan ketumpatan bendalir yang bersebelahan dengannya menga-

lami perubahan yang ketara dibandingkan dengan udara yang berada jauh dari objek;

dalam keadaan sebegini, udara mestilah dianggap sebagai bendalir boleh mampat.

3.1.1 Haba Tentu

Haba tentu ditakrif sebagai kuantiti haba yang diperlukan untuk meninggikan satu unit

suhu satu unit jisim bendalir,

c =dq

dT

dengan dq adalah haba yang ditambah ke satu unit jisim bendalir dan dT pula ialah

pertambahan suhu yang terhasil.

Nilai haba tentu bergantung kepada proses pertambahan haba; dua proses yang akan

50

BAB 3. ALIRAN BOLEHMAMPAT SATU DIMENSI 51

kita temui ialah pertambahan haba tentu pada isipadu malar dan tekanan malar. Jadi

cv =

(dq

dT

)

isipadu malar

(3.1a)

cp =

(dq

dT

)

tekanan malar

(3.1b)

Hubungan-hubungan di antara haba tentu, cp, cv, nisbah di antara kedua-duanya, γ, dan

pemalar gas, R, diberikan oleh

cp

cv= γ (3.2)

cp − cv = R (3.3)

cp =γ

γ − 1R (3.4)

cv =1

γ − 1R (3.5)

3.1.2 Persamaan Keadaan Gas Sempurna

Gas sempurna ditakrif sebagai bendalir yang mempunyai haba tentu yang malar dan

mematuhi hukum

p = ρRT (3.6)

dengan p dan Tmasing-masing adalah tekanan dan suhumutlak, ρ ketumpatan bendalir

dan R pula ialah pemalar gas. Persamaan (3.6) dikenali sebagai persamaan keadaan untuk

gas sempurna.

3.1.3 Proses-proses Termodinamik Gas Sempurna

Proses isotermal. Mampatan dan pengembangan gas boleh berlaku dengan mematuhi

berbagai hukum termodinamik. Jika suhu dikekal malar, proses ini dikenali seba-

gai isotermal dan hubungan tekanan-ketumpatan diberikan oleh hukum Boyle

p

ρ= pemalar (3.7)

Proses adiabatik. Jika proses berlaku tanpa haba ditambah atau dikeluarkan daripada

bendalir (iaitu pemindahan haba adalah sifar), proses ini dinamai adiabatik. Jika

proses adiabatik ini juga bolehbalik (iaitu tanpa geseran), ia disebut isentropik kera-

na proses tidak mengalami perubahan entropi.

Hubungan tekanan-ketumpatan bagi proses isentropik diberikan oleh

p

ργ= pemalar (3.8)

dengan γ = cp/cv; nisbah haba tentu.


Proses politropik. Kita boleh mengungkapkan satu hubungan umum di antara tekanan

dan ketumpatan untuk setiap proses di atas menerusi satu persamaan umum,

p

ρn= pemalar (3.9)

dengan indeks n berbeza untuk setiap proses. Jika

1. n = 0, p = pemalar, proses isobarik,

2. n = 1, T = pemalar, proses isotermal,

3. n = γ, s = pemalar, proses isentropik.

3.2 Kebolehmampatan

Kebolehmampatan adalah ukuran perubahan isipadu (atau ketumpatan) apabila tekan-

an bertindak ke atas sesuatu bahan. Ukuran ini diwakili oleh pekali kebolehmampatan, β.

Sementara itu, bendalir mungkin dimampatkan apabila tekanan bertindak ke atasnya

dan ini mengurangkan isipadu di samping menghasilkan terikan isipadu. Bendalir yang

termampat begini akan kembali kembang kepada isipadu asalnya sebaik sahaja tindak-

an tekanan dihilangkan. Sifat kebolehmampatan sesuatu bendalir ini dirumuskan oleh

modulus keanjalan pukal, κ, yang juga merupakan kebalikan pekali kebolehmampatan;

κ =1

β

Sekiranya tokokan tekanan dp menyebabkan berlaku kesusutan isipadu dV, maka mo-

dulus keanjalan pukal boleh ditulis sebagai

κ = − dp

dV/V(3.10)

dengan V sebagai isipadu asal bendalir. Modulus keanjalan pukal tidak malar tetapi

bertambah dengan bertambahnya tekanan.

Daripada takrif ketumpatan kita memperolehi

ρ =m

V

Oleh kerana jisim m bagi sesuatu isipadu V malar, ρ boleh dibezakan menjadi

dρ = d(m

V

)

= −mdV

V2= −ρ

dV

V

atau

−dV

V=

dρ

ρ(3.11)

Daripada persamaan (3.10) and (3.11),

κ = ρdp

dρ(3.12)


• Untuk proses isotermal,

p

ρ= pemalar

Oleh itu

dp

dρ= pemalar =

ρ

p

dan modulus keanjalan pukal

κ = p (3.13)

• Untuk proses isentropik,

p

ργ= pemalar

Bezakan, dp = pemalar

γργ−1dρ = γργ−1dρp

ργ= γ

dρ

ρp

Oleh itu

dp

dρ= γ

(p

ρ

)

dan modulus keanjalan pukal

κ = ργ

(p

ρ

)

= γp (3.14)

Halaju bunyi menerusi bendalir diungkapkan oleh

a =

√

dp

dρ(3.15)

Jadual 3.1: Modulus pukal air dan udara.

κ

Bendalir (×103 N/m2)

Udara (proses isotermal) 100

Udara (proses isentropik) 140

Air 2.11

Gangguan-gangguan tekanan kecil bergerak menerusi bendalir pada kelajuan yang ber-

gantung kepadamodulus keanjalan pukal dan ketumpatan bendalir. Menerusi persama-


an (3.12) dan (3.15),

a =

√κ

ρ(3.16)

dengan a adalah halaju bunyi di dalam bendalir. Nilai-nilai modulus pukal κ untuk

udara dan air pada keadaan-keadaan piawai dijadualkan di dalam Jadual 3.1.

3.3 Beberapa Konsep Asas Termodinamik

3.3.1 Proses Bolehbalik dan Tak Bolehbalik

Apabila sifat-sifat fizikal sesuatu bendalir (seperti tekanan, suhu dan ketumpatan) diu-

bah, sistem dikatakan telah mengalami satu proses. Proses ini dikatakan bolehbalik seki-

ranya bendalir dan persekitarannya dapat dikembalikan sepenuhnya kepada keadaan-

keadaan asal dengan menambah (atau mengeluarkan balik) jumlah haba dan kerja yang

telah dikeluarkan (atau ditambah) semasa proses tadi berlaku.

Proses bolehbalik adalah satu proses unggul yang sama sekali tidak mungkin dicapai da-

lam praktis. Kesan-kesan likat dan geseran melesapkan tenaga mekanikal sebagai haba

yang tidak boleh ditukar kembali kepada tenaga mekanikal tanpa perubahan-perubahan

lain turut berlaku. Oleh yang demikian, dalam praktis semua proses adalah tak bolehba-

lik.

3.3.2 Tenaga Dalaman dan Entalpi

Tenaga molekul bendalir boleh mampat terhasil disebabkan oleh aktiviti molekul yang

bertambah dengan bertambahnya suhu. Di dalam sesuatu gas aktiviti molekul ini juga

menghasilkan tekanan yang mewakili sebahagian daripada tenaga molekul yang bia-

sanya ditukarkan kepada kerja mekanikal. Dalam termodinamik, tenaga molekul ini

dikenali sebagai entalpi

h = u + pv = u +p

ρ(3.17)

dengan h adalah entalpi atau tenaga molekul seunit jisim, v ialah isipadu tentu (= V/m),

u ialah tenaga dalaman seunit unit jisim, iaitu sebahagian tenaga molekul yang bukan

terhasil daripada tenaga tekanan seunit jisim p/ρ. Tenaga dalaman adalah tenaga kinetik

molekul dan daya-daya di antara molekul yang bergantung kepada suhu; suhu rendah

atau tinggi memberikan tenaga dalaman sepadan yang rendah atau tinggi.

3.3.3 Hukum Pertama Termodinamik

Hukum ini mewakili prinsip keabadian tenaga. Ia menyatakan bahawa

tenaga tidak boleh dicipta atau dimusnahkan tanpa proses nuklear, tetapi boleh diubah

bentuknya.


Ujikaji telah menunjukkan bahawa haba adalah satu bentuk tenaga yang boleh diungkap

dalam unit-unit tenaga mekanikal menerusi tenaga mekanikal yang setara dengan haba.

Jika satu kuantiti kecil tenaga ditambah kepada satu sistem homogeneous mudah (iai-

tu satu sistem yang terdiri daripada satu bendalir yang sifat-sifat termodinamiknya se-

ragam), tenaga ini, menerusi hukum pertama termodinamik, boleh ditukarkan kepada

pelbagai bentuk tenaga seperti pertambahan tenaga kinetik molekul (iaitu tenaga dalam-

an), pertambahan tenaga kinetik sistem, dan kerja (mekanikal) terlaku luaran.

Sekiranya sistem bendalir ini statik, hukum pertama termodinamik menyatakan bahawa

kuantiti kecil haba yang ditambah ke dalam sesuatu sistem mudah adalah sama dengan

perubahan tenaga kinetik molekul campur kerja mekanikal yang dilakukan oleh sistem.

Jadi

dq = du + dw (3.18)

dengan dq adalah kuantiti tenaga yang ditambah ke dalam sistem, du ialah tenaga da-

laman se unit jisim bendalir, dan dw kerja mekanikal terlaku oleh sistem.

Jika p tekanan dan v isipadu per unit jisim, persamaan (3.18) boleh ditulis dalam bentuk

dq = du + p dv = du + p d

(1

ρ

)

(3.19)

3.3.4 Entropi

Entropi sesuatu gas boleh ditakrif sebagai ukuran kebolehsediaan tenaga haba untuk

ditukarkan kepada kerja mekanikal. Jika dq adalah kuantiti haba yang diberikan kepada

bendalir per unit jisim, dan s adalah entropi per unit jisim bendalir, maka perubahan

dalam entropi per unit jisim disebabkan oleh haba yang diserap oleh bendalir ialah

ds =dq

T(3.20)

dengan T adalah suhu mutlak bendalir.

Jika dqe adalah tenaga haba per unit jisim yang ditambah dari luar dan dqi pula ialah

tenaga haba per unit jisim yang terbentuk di dalam sistem bendalir, maka jumlah tenaga

yang diterima oleh bendalir ialah

dq = dqe + dqi (3.21)

Daripada persamaan (3.20) dan (3.21), kita memperolehi

ds =dqeT

+dqiT

(3.22)

Entropi yang malar (iaitu ds = 0) memerlukan dq = 0. Keadaan ini boleh dicapai seki-

ranya tiada haba menembusi di antara bendalir dan persekitarannya (iaitu dqe = 0), dan

tiada tenagamekanikal yang ditukarkan kepada tenaga haba oleh geseran (iaitu dqi = 0).


Dalam praktis proses tanpa geseran sukar didapati jadi dqi , 0 dan jika tenaga haba dari

sumber luar sama dengan sifar (iaitu dqe = 0), maka untuk proses adiabatik

ds =dqiT

> 0 (3.23)

3.3.5 Hukum Kedua Termodinamik

Hukum kedua termodinamik adalah hasil pemerhatian dan ujian ujikaji yang boleh di-

simpulkan dalam bentuk fakta-fakta berikut:

• Haba tidak boleh dipindahkan daripada jasad suhu rendah kepada jasad suhu tinggi

tanpa perubahan-perubahan lain di dalam kedua-dua sistem berlaku serentak.

• Haba daripada satu sumber tunggal tidak boleh ditukarkan kepada kerja meka-

nikal tanpa perubahan-perubahan lain di dalam sistem dan persekitaran berlaku

serentak.

• Pemindahan tenaga daripada kerja mekanikal kepada tenaga haba adalah tak bo-

lehbalik.

• Di dalam sesuatu sistem yang terasing (iaitu tiada pemindahan haba), entropi tidak

boleh susut. Entropi selalu bertambah jika proses tak bolehbalik.

3.4 Parameter yang Mengawal Aliran Boleh Mampat

Terdapat empat parameter yang mengawal fenomena aliran bendalir likat boleh mampat,

iaitu

1. nisbah haba tentu,

2. nombor Mach,

3. nombor Reynolds, dan

4. nombor Prandtl.

Nisbah haba, γ, ialah nisbah

haba tentu bendalir pada tekanan malar

haba tentu bendalir pada isipadu malar

atau

γ =cp

cv(3.24)

yang merupakan ukuran kekusutan zarah-zarah bendalir.


Nombor Mach, M, mewakili ukuran kesan kebolehmampatan dan ditakrif sebagai nis-

bah halaju arus bebas (atau halaju jasad menerusi bendalir) dan halaju bunyi di dalam

bendalir. Ia diungkapkan sebagai

M =v

a(3.25)

dengan v adalah halaju bendalir (atau halaju jasad yang bergerak) dan a pula ialah halaju

bunyi di dalam bendalir. Untuk aliran isentropik, persamaan (3.12) dan (3.13) mengha-

silkan

a =

√γp

ρ=√

γRT (3.26)

Nombor Reynolds, Re, adalah satu ukuran kesan likat bendalir, sementara nombor Pran-

dtl, Pr, pula adalah ukuran peri mustahaknya pengaliran haba dan kelikatan bendalir. Ia

adalah nisbah kelikatan kinematik dan kemeresapan haba1 bendalir,

Pr =µ/ρ

K/ρcp(3.27)

dengan K adalah keberaliran haba2.

Bagi pemodelan aliran boleh mampat di sekitar dua jasad yang serupa, kedua-dua jasad

mestilah serupa secara geometri dan keempat-empat paramater yang dihuraikan di atas

mestilah sama;

γmodel = γprototaip

Mmodel = Mprototaip

Prmodel = Prprototaip

Remodel = Reprototaip

Bagi aliran boleh mampat yang tak likat, faktor nombor Reynolds dan nombor Prandtl

boleh diabaikan; yang perlu diambilkira ialah nisbah haba tentu dan nombor Mach.

3.5 Regim-regim Aliran Boleh Mampat

Berdasarkan nilai nombor Mach, lima regim aliran biasanya dikelaskan seperti berikut

(Hodge & Koenig, 1995):

Aliran Tak Boleh Mampat: Nombor Mach kecil berbanding dengan satu, biasanya (0 <

M < 0.3) untuk gas sempurna. Dalam julat ini, kesan kebolehmampatan selalunya

abaikan.

Aliran Subsonik: Nombor Mach masih lagi kurang daripada satu tetapi berada di luar

julat aliran tak boleh mampat, julat (0.3 < M < 1.0).

1thermal diffusivity2thermal conductivity


Aliran Transonik: Nombor Mach adalah di sekitar satu, iaitu kurang sedikit atau lebih

sedikit, menurut julatnya (0.8 < M < 1.2).

Aliran Supersonik: Nombor Mach melebihi satu, (M > 1).

Aliran Hipersonik: Nombor Mach jauh melebihi satu, (M >> 1.0). Nilai nombor Ma-

ch yang memisahkan regim supersonik daripada regim hipersonik adalah dalam

sekitar 5.

3.6 Kon Mach, Garis Mach dan Gelombang Kejutan

Sesuatu gangguan tekanan (atau denyutan tekanan) di dalam bendalir boleh mampat

yang pegun diperambatkan pada kelajuan bunyi secara seragam dalam semua arah. De-

ngan itu kita boleh menyatakan bahawa gangguan tekanan diperambatkan sebagai satu

permukaan gelombang yang berbentuk sfera.

Pertimbangkan satu objek kecil (misalnya, projektil) yang bergerak dari kanan ke kiri di

dalam bendalir pegun dengan halaju yang lebih kecil dari halaju bunyi (0 < v < a). Ge-

rakan objek ini menghasilkan gangguan tekanan yang diperambatkan, secara sfera, me-

nuju keluar daripada objek dengan halaju bunyi a. Jika objek ini tidak bergerak (relatif ke

bendalir), muka gelombang akan tersebar secara sfera dan akan mempunyai kedudukan

yang ditunjukkan di dalam Rajah 3.1 bagi jedamasa berturutan dt = (t2 − t1) = (t3 − t2).

Kedudukanmuka gelombang untuk 0 < v < a ditunjukkan di dalam Rajah 3.1. Bahagian

gelombang di hadapan objek bergerak lebih perlahan dari bahagian belakang; halaju di

hadapan objek ialah (a− v).

Jika halaju objek bertambah sehingga nilai halaju bunyi, v = a, rujuk Rajah 3.1, muka

gelombang tidak bergerak terlebih ke hadapan daripada objek itu sendiri tetapi tampak

seolah-olah pegun. Muka-muka gelombang bergabung untuk membentuk satah muka

gelombang yang tangen ke bahagian hulu sementara gelombang hilir bergerak pada kela-

juan (v+ a). Dalam kes ini, gelombang tekanan tidak berupaya bergerak ke hulu melaw-

an aliran yang menghampiri objek, dan bendalir di hadapan satah muka gelombang ini

tidak terpengaruh oleh gerakan objek.

Apabila halaju objek melebihi halaju bunyi, v > a dan M > 1, setiap gelombang tekanan

bergabung untuk membentuk muka gelombang yang berbentuk kon. Bentuk kon muka

gelombang ini dikenali sebagai kon Mach, Rajah 3.1. Bendalir di hadapan kon ini tidak

terganggu tetapi secara mendadak mengalami perubahan tekanan, suhu dan ketumpatan

apabila ia melewati kon Mach. Garis pemisah di antara bendalir di hulu yang belum

terganggu dan bendalir yang mengalami perubahan mendadak ini membentuk satu ga-

risan maya yang dikenali sebagai garisan gelombang kejutan.

Sudut separuh-vertek kon Mach, dikenali juga sebagai sudut Mach, diberikan oleh hu-

bungan

sin α =a

v(3.28)


Rajah 3.1: Kon Mach, Fox & McDonald (1985).

Dalam dua dimensi, konMach menjadi sepasang garisan, setiap satu dipanggil garis Ma-

ch atau gelombang Mach, yang saling memintas. Daripada persamaan (3.28), jelas bahawa

nombor Mach,

M =v

a=

1

sin α(3.29)

3.7 Persamaan-persamaanMenakluk Aliran Boleh Mampat

Dalam kajian aliran tak boleh mampat kita hanya perlu mencari halaju dan tekanan di

setiap titik dalam ruang yang dikaji. Dalam aliran boleh mampat kita perlu menentukan

halaju, tekanan, ketumpatan dan suhu bendalir (satu kuantiti vektor dan tiga kuantiti

skalar). Untuk menentukan keempat-empat kuantiti ini kita memerlukan satu persama-

an vektor dan tiga persamaan skalar. Kesemua persamaan yang diperlukan ini dibekalk-

an oleh

1. persamaan keadaan untuk gas sempurna,

2. persamaan keterusan,


3. persamaan momentum, dan

4. persamaan tenaga.

3.7.1 Persamaan keadaan

Untuk gas sempurna, persamaan keadaan diberikan oleh persamaan (3.6)

p = ρRT

3.7.2 Persamaan keterusan

Persamaan keterusan umum di dalam koordinat kartesan bagi aliran bendalir boleh

mampat boleh ditulis sebagai

∂p

∂t+

∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y+

∂(ρw)

∂z= 0 (3.30)

Kadar aliran jisim sepanjang satu tiub arus yang sempit boleh diungkapkan sebagai

ρAv = pemalar (3.31)

Dengan membezakan persamaan (3.31) dan membahagikannya dengan ρAv, kita men-

dapat

dρ

ρ+

dA

A+

dv

v= 0 (3.32)

3.7.3 Persamaan momentum (Persamaan Euler)

Persamaan Euler diperolehi menerusi hukum pengabadian momentum. Daya bersih ke

atas isipadu kawalan dalam arah-x ialah

Fx = pA− (p + dp)(A + dA) + 12 [p + (p + dp)][(A + dA) − A]− dFµ (3.33)

Sebutan 12 [p + (p + dp)][(A + dA) − A] mewakili komponen daya disebabkan tekanan

yang bertindak ke atas permukaan luar yang melengkung dalam arah-x. Susun semula

persamaan (3.33) sambil mengabaikan sebutan-sebutan order tinggi seperti (dp dA) bagi

mendapat

Fx = −A dp− dFµ (3.34)

Perbezaan di antara kadarmomentum yangmeninggalkan isipadu kawalan, Mkeluar, dan

kadar momentum yang memasuki isipadu kawalan, Mmasuk, diberikan oleh

Mkeluar − Mmasuk = ∆M = ρ v A[(v + dv) − v] = ρ v A dv (3.35)


Hukum pengabadian momentum memerlukan supaya daya bersih, Fx, yang bertindak

ke atas isipadu kawalan sama dengan kadar perubahan momentum ∆M, jadi

Fx = ∆M

atau

−A dp− dFµ = ρ v A dv (3.36)

Jika kesan geseran diabaikan, iaitu dFµ = 0, persamaan (3.36) menjadi

dp

ρ+ v dv = 0 (3.37)

3.7.4 Persamaan tenaga

Sungguh pun persamaan momentum bebas daripada kesan kebolehmampatan, persa-

maan tenaga amat bergantung kepada perubahan ketumpatan. Persamaan tenaga yang

umum untuk aliran mantap sebarang bendalir diberikan sebagai

q =

(p2ρ2

+v222

+ gz2

)

−(p1ρ1

+v212

+ gz1

)

+ (u2 − u1) + w (3.38)

dengan q adalah haba yang dibekalkan kepada sistem bendalir per unit jisim, w ialah

kerja terlaku oleh bendalir per unit jisim,

q =Q

ρ1A1v1

w =W

ρ1A1v1

dan Q ialah haba per saat yang dibekalkan kepada sistem danW adalah kerja terlaku per

saat.

Persamaan (3.38) boleh digunakan di sebarang dua titik sepanjang satu garisarus. Jika

tiada haba ditambah ke dalam (atau disari keluar) bendalir di antara dua titik ini, dan

tiada kerja mekanikal dilakukan, kita boleh meletak q = 0 dan w = 0 ke dalam persama-

an (3.38) dan mendapat

0 =

(p2ρ2

+v222

+ gz2

)

−(p1ρ1

+v212

+ gz1

)

+ (u2 − u1) (3.39)

Oleh kerana entalpi per unit jisim diberikan oleh persamaan (3.17) sebagai

h = u +p

ρ

persamaan (3.39) boleh dipermudahkan kepada

h +v2

2+ gz = pemalar (3.40)


Persamaan (3.40) mewakili bentuk am persamaan tenaga untuk sistem aliran adiabatik,

mantap yang bendalirnya (cecair, gas atau wap) tidak melakukan kerja ke atas perseki-

taran atau sebaliknya.

Jika bendalir adalah gas sempurna,

h = cpT


cpT +v2


Dari persamaan keadaan untuk gas sempurna,

p = ρRT atau T =p

ρR=

p

ρ(cp − cv)

Gantikan untuk T di dalam persamaan (3.41)

cp

cp − cv

p

ρ+

v2


Menerusi cp/cv = γ, persamaan (3.42) menjadi

γ

γ − 1

p

ρ+

v2


Tenaga upayawujud kerana ketinggian aras bendalir. Jika bendalir yangmengalir adalah

sejenis gas, sebutan tenaga upaya biasanya terlalu kecil dibandingkan dengan sebutan-

sebutan lain kerana berat tentu gas yang sangat kecil. Jadi sebutan tenaga upaya, gz, di

dalam persamaan (3.43) selalunya diabaikan, menjadikan

γ

γ − 1

p

ρ+

v2

2= pemalar (3.44)

dan persamaan (3.40) menjadi

h +v2

2= pemalar (3.45)

Persamaan (3.44) lebih bermakna apabila diungkapkan dalam sebutan suhu, menerusi

p = ρRT untuk menjadikannya

γ

γ − 1RT +

v2

2= pemalar (3.46)


3.8 Pembolehubah Aliran dalam Sebutan Nombor Mach

Dari rumus halaju bunyi kita tahu

a2 =dp

dρ

dan darinya

dρ =1

a2dp (3.47)

Jika kita hadkan analisis berikut kepada aliran isentropik gas sempurna dengan

p = pemalar× ργ dan p = ρRT

kita mendapat

T = pemalar× p(γ−1)/γ

Bezakan dan hapuskan pemalar,

dT

T=

γ − 1

γ

dp

p(3.48)

Perubahan-perubahan dalam halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan boleh dirumus da-

lam sebutan nombor Mach. Untuk mendapatkan hubungan-hubungan ini persamaan-

persamaan keterusan, keadaan untuk gas sempurna, aliran isentropik dan tenaga digu-

nakan.

Bagi perubahan tekanan, kita boleh menulis

dp

p=

−γM2

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.49)

dan perubahan suhu,

dT

T=

−(γ − 1)M2

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.50)

Perubahan ketumpatan diberikan oleh

dρ

ρ=

−M2

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.51)


sementara perubahan luas pula oleh

dA

A=

−(1− M2)

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.52)

Persamaan (3.52) boleh dikamil bagi mendapatkan satu hubungan di antara luas leher

genting, A∗ (iaitu titik nombor Mach bernilai satu) dan luas A di sebarang keratan di

mana M <> 1.

A

A∗ =1

M

(2+ (γ − 1)M2

γ + 1

) γ+12(γ−1)

(3.53)

Persamaan (3.53) unik kerana nombor Mach ditentukan oleh nisbah luas dan γ sahaja.

3.9 Titik Genangan

Titik genangan adalah titik halaju sifar. Oleh kerana tekanan, suhu dan ketumpatan sa-

ling berkait di dalam aliran boleh mampat, sebarang perubahan tekanan akan memberi

kesan ke atas suhu. Tekanan di titik genangan dikenali sebagai tekanan genangan, p0.

Persamaan (3.44) dikenali sebagai persamaan tekanan untuk aliran nirputaran yang malar.

Jika p0 dan ρ0 adalah tekanan dan ketumpatan di titik yang bendalirnya pegun, persa-

maan (3.44) boleh diungkapkan sebagai

γ

γ − 1

p

ρ+

v2

2=

γ

γ − 1

p0ρ0

(3.54)

Persamaan (3.54) selalunya dirujuk sebagai persamaan tekanan atau persamaan Bernou-

lli bagi aliran adiabatik boleh mampat. Sementara itu persamaan (3.45) menghubungkan

entalpi dan halaju. Jika digantikan sebutan entalpi di dalam persamaan ini dengan se-

butan suhu (h = cpT), persamaan (3.45) menjadi

cpT +v2

2= pemalar (3.55)

Jika tekanan, suhu dan ketumpatan di titik genangan ini masing-masing ialah p0, T0, dan

ρ0, persamaan (3.55) boleh ditulis sebagai

cpT +v2

2= cpT0 (3.56)

Bahagikan persamaan (3.56) dengan cpT, kita memperolehi

1+v2

2cpT=

T0T

(3.57)


3.9.1 Aliran isentropik gas sempurna

Terdahulu, kita telah pun menerbitkan untuk aliran isentropik gas sempurna,

p = ρRT (3.6)

p

ργ= pemalar (3.8)

dan dengan menghilangkan ρ dari persamaan (3.6) dan (3.8), kita boleh menulis

T2T1

=

(p2p1

)γ−1γ

(3.58)

Juga

cp =γ

γ − 1R (3.4)

a =√

γRT (3.26)

dan dengan itu, persamaan (3.57) kini mengambil bentuk

1+γ − 1

2

v2

a2=

T0T

(3.59)

dan seterusnya, dari takrif nombor Mach, kita boleh menulis

T0T

= 1 +γ − 1

2M2 (3.60)

Menerusi persamaan (3.58), nisbah tekanan genangan p0 ke tekanan arus yang tidak ter-

ganggu p (disebut juga tekanan statik boleh dikaitkan dengan nisbah suhu, T0/T dalam

persamaan (3.60):

p0p

=

(T0T

) γγ−1

=

(

1 +γ − 1

2M2

) γγ−1

(3.61)

Akhir sekali, nisbah ketumpatan genangan ρ0 ke ketumpatan statik ρ bagi aliran isentro-

pik ialah

ρ0ρ

=

(p0p

) 1γ

=

(

1+γ − 1

2M2

) 1γ−1

(3.62)


3.9.2 Keadaan-keadaan genting

Sungguhpun keadaan genangan amat berguna sebagai keadaan rujukan bagi ciri-ciri ter-

modinamik, ia tidak begitu sesuai untuk situasi v = 0. Satu nilai rujukan yang sesuai

untuk halaju ialah laju genting—laju pada nombor Mach sama dengan satu. Walaupun

tidak ada sebarang titik di dalam aliran itu yang mengalami keadaan M = 1, keadaan

hipotesis ini amat baik dijadikan sebagai keadaan rujukan.

Jika kita gunakan bintang (*) sebagai mewakili keadaan-keadaan pada M = 1, kita boleh

mentakrif

v∗ = a∗ (3.63)

Bagi gas sempurna dengan γ = 1.4, persamaan-persamaan (3.60), (3.61) dan (3.62)

masing-masing menjadi

T0T∗ =

(

1+γ − 1

2

)

= 1.2 (3.64)

p0p∗

=

(

1+γ − 1

2

)γ/(γ−1)

= 1.893 (3.65)

dan

ρ0ρ∗

=

(

1+γ − 1

2

)1/(γ−1)

= 1.577 (3.66)

3.10 Aliran Menerusi Salur yang Berubah Luas

Dalam konsep aliran satu dimensi semua kuantiti aliran seperti halaju, tekanan, suhu

dan ketumpatan dianggap malar di sesuatu keratan rentas pembuluh aliran. Oleh yang

demikian aliran boleh dihurai dalam sebutan satu koordinat, iaitu jarak di sepanjang

paksi pembuluh, katalah x, dan masa t.

Tanpa geseran (iaitu aliran isentropik) halaju aliran tidak berubah. Kehadiran lapisan

sempadan membuatkan aliran bendalir yang sebenar bukan satu dimensi. Sungguh pun

demikian, bagi aliran yang tidak membentuk lapisan sempadan yang tebal, anggapan

aliran satu dimensi masih dapatmemberikan penyelesaian yang baik. Oleh kerana halaju

dan tekananmalar di sesuatu keratan rentas, suhu dan ketumpatan turutmalar menerusi

persamaaan (3.58)–(3.62).

Bagi keratan rentas yang luasnya A dan halaju v serta ketumpatan ρ malar, persamaan

keterusan aliran mantap

ρAv = pemalar

boleh dibezakan dan kemudiannya dibahagikannya dengan ρAv, untuk mendapat

dρ

ρ+

dA

A+

dv

v= 0


Jika perubahan luas keratan rentas yang ketara berlaku lalu mempengaruhi perubahan

dalam v dan ρ sepanjang jarak pembuluh yang pendek (seperti nozel), kesan geseran

boleh diabaikan. Persamaan gerakan Euler untuk aliran mantap tanpa geseran yang

mengabaikan graviti dan daya jasad, boleh ditulis sebagai

v dv +dp

ρ= 0 (3.67)

Darabkan persamaan (3.67) dengan dρ/dp, dan ambil halaju bunyi sebagai a2 = dp/dρ,


dρ

ρ+

v dv

a2= 0

Gantikan untuk dρ/ρ, dari persamaan (3.32),

dA

A+

dv

v=

v dv

a2atau

dA

A=

dv

v

(v2

a2− 1

)

yang boleh diungkap dalam sebutan nombor Mach

dA

A=

dv

v(M2 − 1) (3.68)

Satu persamaan yang serupa dengan persamaan (3.68) untuk perubahan tekanan dp bo-

leh ditentukan menerusi persamaan (3.32) dan (3.67). Dari persamaan (3.67)

dv

v= − dp

ρv2

Gantikan nilai dv/v ini ke dalam persamaan (3.32)

dρ

ρ− dp

ρv2+

dA

A= 0

yang menghasilkan

dA

A=

dp

ρv2− dρ

ρ=

dp

ρv2

(

1− v2dρ

dp

)

Oleh kerana

dp

dρ= a2

kita mendapat

dA

A=

dp

ρv2(1− M2

)

Selesaikan untuk dp

dp =1

1− M2

ρv2

AdA (3.69)


Dari analisis yang dibuat setakat ini kita dapat melihat perubahan halaju, tekanan, suhu

dan ketumpatan dengan perubahan luas aliran untuk keadaan-keadaan aliran subsonik

dan supersonik. Rajah 3.2 menunjukkan perubahan pembolehubah aliran dengan luas

bagi aliran isentropik gas sempurna.

Rajah 3.2: Perubahan halaju dan tekanan dengan luas bagi aliran subsonik dan superso-

nik, John (1969).

Dalam aliran subsonik, pembaur atau peresap adalah salur mencapah sedangkan untuk

aliran supersonik pula pembaur mempunyai laluan menumpu.

3.10.1 Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu

Pertimbangkan gas yang mengalir menerusi satu nozel, Rajah 3.3. Jet bendalir bergerak

kerana wujud perbezaan tekanan yang bertindak ke atas bendalir.

Apabila nilai p2 hampir dengan nilai p1, aliran adalah subsonik keseluruhannya. Seki-

ranya nilai p2 dikurangkan, halaju jet bertambah. Selagi aliran kekal subsonik, halaju

jet akan bertambah disebabkan oleh kesusutan tekanan p2. Apabila jet mencapai halaju

bunyi di leher (M = 1), sebarang kesusutan tekanan hilir p2 tidak boleh diperambatkan

ke hulu; aliran menerusi nozel ketika ini menjadi bebas dari dipengaruhi oleh tekanan

p2 dan keadaan ini dinamai aliran tercekik.

Bagi aliran adiabatik bolehbalik yang mengalir dari keadaan-keadaan takungan p1, ρ1dan v1 = 0, persamaan (3.44) membawa ke satu ungkapan bagi halaju v di keratan yang

nilai tekanannya p sebagai

v =

√√√√

[

2γ

γ − 1

p1ρ1

(

1−(

p

p1

)(γ−1)/γ)]

(3.70)

Persamaan (3.70) boleh diguna untuk menentukan halaju leher bagi keadaan-keadaan


subsonik. Kadar aliran jisim yang sepadan

m = ρAv

Rajah 3.3: Aliran gas menerusi nozel menumpu, John (1969).

Bagi aliran adiabatik bolehbalik

ρ = ρ1

(p

p1

)1/γ

dan dengan itu

m = ρ1

(p

p1

)1/γ

Av

= A

√√√√

[

2γ

γ − 1p1ρ1

(p

p1

)2/γ(

1−(

p

p1

)(γ−1)/γ)]

(3.71)

Dalam persamaan (3.71), tekanan di leher ialah p = p2 selama keadaan belum menca-

pai tahap genting. Apabila nombor Mach di leher mencapai nilai satu, halaju, tekanan

dan ketumpatan di leher masing-masing menjadi nilai genting vc, pc dan ρc bagi aliran

tercekik. Oleh itu

vc =

√√√√

[

2γ

γ − 1

pcρ1

(

1−(pcp1

)(γ−1)/γ)]

(3.72)


dan

mc = A

√√√√

[

2γ

γ − 1p1ρ1

(pcp1

)2/γ(

1−(pcp1

)(γ−1)/γ)]

(3.73)

Rajah 3.4: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu, John (1969).

Oleh kerana bagi aliran tercekik, nombor Mach tempatan mencapai nilai satu, dan p2 =

pc, persamaan (3.61) apabila digunakan untuk keadaan-keadaan ini menghasilkan

pcp1

=

(2

γ + 1

)γ/(γ−1)

(3.74)

Bagi udara dengan γ = 1.4, nisbah genting

pcp1

=

(2

1.4+ 1

)3.5

= 0.528

Dengan itu kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu diberikan oleh persamaan (3.71)

selama (p2 > 0.528 p1), dan oleh persamaan (3.73) apabila (p2 < 0.528 p1), Rajah 3.4.

3.10.2 Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu-Mencapah

Di dalam kebanyakan bahan rujukan aliran boleh mampat, nozel menumpu-mencapah

dinamai juga nozel de Laval sebagai mengambil sempena nama jurutera bangsa Sweden,

Carl de Laval, yang banyak membuat kajian ke atasnya.

Pertimbangkan satu nozel menumpu-mencapah, Rajah 3.5. Bendalir disimpan di dalam

takungan besar dan diluah keluar menerusi satu nozel menumpu-mencapah. Tekanan

p1 di dalam takungan adalah malar. Aliran di dalam nozel dianggap aliran isentropik

satu dimensi.


Rajah 3.5: Aliran gas menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969).

Untuk p2 = p1, rujuk lengkung 1 Rajah 3.5, tiada aliran di dalam nozel dan tekanan tidak

berubah dengan jarak x.

Untuk p2 < p1, rujuk lengkung 2 Rajah 3.5, aliran teraruh menerusi nozel dengan halaju

subsonik di dalam kedua-dua bahagian, menumpu dan mencapah, nozel. Rajah 3.5 me-

nerangkan kepada kita bahawa untuk aliran subsonik, tekanan susut di dalam bahagian

menumpu dan bertambah di dalam bahagian mencapah.

Rajah 3.6: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969).


Apabila tekanan p2 terus dikurangkan lagi, lengkung 3 Rajah 3.5, kadar aliran jisim me-

nerusi nozel bertambah sehingga aliran sonik berlaku di kerongkongan, lengkung 4 Ra-

jah 3.5. Selepas ini, sebarang pengurangan tekanan p2 tidak boleh dikesan di hulu da-

ripada kerongkongan; jadi bagi semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung

4, takungan akan terus menghantar bendalir pada kadar aliran jisim yang sama dengan

kadar aliran jisim lengkung 4, rujuk Rajah 3.6, dan taburan tekanan di dalam bahagian

menumpu tidak berubah.

Untuk semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung 4, aliran di dalam nozel

menumpu-mencapah menjadi tercekik. Bagi tekanan di dalam takungan yang sama nila-

inya, nozel menumpu-mencapah tercekik pada tekanan belakang, p2, yang lebih tinggi

dibandingkan dengan nozel menumpu.

Jelas kepada kita setakat ini bahawa aliran supersonik boleh dicapai dengan menyam-

bung satu nozel menumpu-mencapah ke takungan bendalir yang besar (agar keadaan

genangan terhasil di dalamnya). Bendalir dalam keadaan genangan ini memasuki ba-

hagian menumpu nozel secara subsonik lalu dipecut di dalam bahagian ini. Titik sonik

mestilah berada di titik luas minimum, iaitu di kerongkongan. Aliran seterusnya me-

masuki bahagian mencapah nozel pada M = 1 dan dipecut secara supersonik di dalam

bahagian mencapah. Hanya nozel menumpu-mencapah yang berkeupayaan memecut

aliran dari keadaan pegun kepada keadaan supersonik.

Terdapat dua penyelesaian untuk sesuatu nisbah luas A/Ac; satu subsonik dan satu lagi

supersonik. Bagi nombor Mach kerongkongan sama dengan 1, aliran isentropik boleh

direncatkan ke halaju keluaran subsonik atau terus dipecut ke halaju supersonik di ke-

luaran nozel. Lengkung 4 adalah bersepadan dengan aliran subsonik di satah keluaran

nozel. Lengkung 5 pula bersepadanan dengan aliran supersonik di satah keluaran, iai-

tu jika tekanan belakang, p2, direndahkan ke nilai tekanan keluaran lengkung 5, tekanan

menyusut di dalam kedua-dua bahagian, menumpu danmencapah, nozel dengan halaju

supersonik dikeluaran nozel.

Bagi tekanan belakang, p2, yang bernilai di antara tekanan keluaran lengkung 4 dan leng-

kung 5, penyelesaian isentropik satu dimensi kepada persamaan gerakan tidak mungkin

diperolehi kerana aliran dalam julat ini melibatkan gelombang kejutan yang merupakan

suatu proses tak boleh balik.

3.11 Kejutan Normal

Perubahan mendadak dari keadaan-keadaan supersonik ke keadaan-keadaan subsonik

berlaku menerusi suatu gelombang. Nombor Mach dan halaju susut merentasi sesuatu

kejutan, tetapi tekanan, ketumpatan, suhu dan entropi mengalami pertambahan menda-

dak.

Dua jenis kejutan:

1. kejutan normal yang serenjang ke arah aliran, dan


2. kejutan serong3 yang menyendeng ke arah aliran.

Kejutan-kejutan normal dan serong boleh berinteraksi bagimembentuk pola kejutan. Ge-

lombang yang terjadi juga mungkin melekat atau terpisah dari jasad. Kejutan normal

mungkin berlaku di dalam paip, nozel mencapah, pembaur terowong angin supersonik

atau di hadapan jasad yang berhidung tumpul seperti “space shuttle”.

Aliran di hulu adalah supersonik (M1 > 1) dengan halaju v1, tekanan p1, ketumpatan

ρ1 dan suhu T1. Setelah melepasi gelombang kejutan, aliran menjadi subsonik (M2 < 1)

dengan halaju v2, tekanan p2, ketumpatan ρ2 dan suhu T2.

Berikut diperkenalkan analisis kejutan normal menggunakan persamaan- persamaan ke-

terusan, momentum, tenaga serta persamaan keadaan gas sempurna. Gelombang kejut-

an melibatkan lesapan tenaga; oleh itu ia bukan proses isentropik. Untuk analisis kejutan

normal berikut, kita menganggap bendalir adalah gas sempurna yang mengalami aliran

adiabatik di dalam salur yang luasnya malar (iaitu A1 = A2 = A).

3.11.1 Persamaan keterusan

Bagi aliran mantap, persamaan keterusan memberikan

ρ1A1v1 = ρ2A2v2

Oleh kerana A1 = A2, kita memperolehi

ρ1v1 = ρ2v2 (3.75)

Dengan menggunakan persamaan keadaan untuk gas sempurna dan menggantikan ha-

laju dengan nombor Mach

v = aM = M√

γRT

persamaan (3.75) boleh ditulis semula sebagai

p1M1

√γRT1

RT1=

p2M2√

γRT2RT2

atau

p1M1√T1

=p2M2√

T2(3.76)

3.11.2 Persamaan momentum

Dengan mengabaikan kesan geseran sempadan, persamaan momentum memberikan

daya tekanan = kadar aliran jisim× perubahan halaju

(p1 − p2)A = ρ1Av1(v2 − v1)

(p1 − p2) = ρ2v22 − ρ1v

21

3oblique shock


atau

p1 + ρ1v21 = p2 + ρ2v

22

p1 +p1v

21

RT1= p2 +

p2v22

RT2

Gantikan v = aM, dengan a =√

γRT, kita mendapat

p1 + γM21p1 = p2 + γM2

2p2

atau

p2p1

=1+ γM2

1

1+ γM22

(3.77)

Persamaan (3.77) mewakili nisbah tekanan statik menerusi kejutan normal. Oleh kerana

M1 > 1 dan M2 < 1, jelas dari persamaan (3.77) bahawa p2 > p1, iaitu tekanan statik

aliran yang merentas kejutan normal bertambah.

3.11.3 Persamaan tenaga

Bagi keadaan adiabatik kita boleh menulis

cpT1 +v212

= cpT2 +v222

dan T01 = T02

yang menunjukkan bahawa suhu genangan kekal malar menerusi kejutan normal. Dari

persamaan (3.60)

T0T

= 1 +γ − 1

2M2

Samakan suhu genangan di hulu dan hilir kejutan

T1

(

1 +γ − 1

2M2

1

)

= T2

(

1+γ − 1

2M2

2

)

atau

T2T1

=1 +

γ − 1

2M2

1

1 +γ − 1

2M2

2

(3.78)

Oleh kerana M1 > 1 dan M2 < 1, persamaan (3.78) menunjukkan bahawa T2 > T1, iaitu

suhu statik aliran yang merentas kejutan normal bertambah.

Dari persamaan (3.76)

p2p1

=M1

M2

√

T2T1

=M1

M2

1+γ − 1

2M2

1

1+γ − 1

2M2

2

1/2

(3.79)


Jika disamakan persamaan (3.77) dan persamaan (3.79), kitamemperolehi satu hubungan

kuadratik di antara M1 dan M2. Dengan mengabaikan penyelesaian mudah yang jelas,

iaitu M1 = M2 bagi keadaan bebas kejutan, kita boleh menulis

M22 =

2+ (γ − 1)M21

2γM21 − (γ − 1)

(3.80)

iaitu apabila M1 bertambah, penyebut4 persamaan (3.80) membesar lalu menyebabkan

nilai M2 susut. Dengan menggantikan nilai M2, persamaan-persamaan berikut diperole-

hi

p2p1

=2γM2

1 − (γ − 1)

γ + 1(3.81)

T2T1

=[(γ − 1)M2

1 + 2][2γM21 − (γ − 1)]

(γ + 1)2M21

(3.82)

ρ2ρ1

=p2/p1T2/T1

=(γ + 1)M2

1

(γ − 1)M21 + 2

(3.83)

3.11.4 Kekuatan kejutan

Kekuatan kejutan ditakrif sebagai nisbah

pertambahan tekanan merentasi kejutan

tekanan hulu

iaitu

kekuatan kejutan =p2 − p1

p1=

p2p1

− 1

=2γ

γ + 1(M2

1 − 1) (3.84)

4denominator

Bab 4

PENGENALAN KEPADAMESIN

BENDALIR

4.1 Pengkelasan Mesin Hidraulik

Tenaga wujud dalam berbagai bentuk. Tenaga hidraulik adalah tenaga yang terdapat pa-

da bendalir dalam beberapa bentuk; kinetik, tekanan, upaya, terikan atau haba. Tenaga

mekanikal pula dikaitkan dengan bahagian-bahagian bergerak atau berputar mesin yang

menghantar kuasa. Dari sini diketahui bahawa tujuan atau kegunaanmesin hidraulik ia-

lah untuk memindahkan tenaga samada dari tenaga mekanikal ke tenaga hidraulik atau

sebaliknya.

Tenaga ditambah ke bendalir Bendalir digunakan sebagai Tenaga dikeluarkan daripada bendalir

(kerja terlaku ke atas bendalir) perantara pemindahan tenaga (kerja terlaku oleh bendalir)

Mesin-mesin Pam, kipas, pemampat Gandingan bendalir, penukar dayakilas Turbin

Rotodinamik Dua kategori: Dua kategori

a. Tanpa Bekas a. Dedenyut

Kipas Kincir angin

Skrew Roda Pelton

Turbin Turgo

b. Dengan Bekas

Aliran paksi

Aliran tercampur b. Tindakbalas

Aliran jejari/empar Aliran paksi (turbin Kaplan)

Aliran tercampur (turbin Francis)

Aliran jejari (turbin Banki dan rekabentuk awal Francis)

Mesin-mesin Pam, pemampat Ram hidraulik, jack press Motor:

Sesaran Positif Dua kategori: Omboh

a. Salingan Vane

Pacuan terus Gear

Pacuan engkol

Swashplate

b. Berputar

Skrew

Gear

Vane

Lobe

Rajah 4.1: Pengkelasan mesin-mesin bendalir.

76

BAB 4. PENGENALANKEPADAMESIN BENDALIR 77

4.1.1 Kriteria Pengkelasan

Jadual 4.1 menunjukkan dua kriteria yang biasa digunakan bagi tujuan pengkelasan

mesin-mesin bendalir.

4.1.1.1 Arah Pemindahan Tenaga

Di bawah kriteria ini terdapat tiga kelas.

1. Tenaga dikeluarkan daripada bendalir

Di dalam kategori ini tenaga hidraulik merupakan masukan yang ditukarkan ke-

pada tenaga mekanikal iaitu kuasa pada aci mesin sebagai keluaran. Di sini kerja

dilakukan oleh bendalir dan tenaga dikeluarkan daripada bendalir.

2. Tenaga ditambah ke bendalir

Masukan di sini berbentuk tenaga mekanikal. Jadi pemindahan adalah daripada

mekanikal ke hidraulik. Keluaran adalah dalam bentuk satu bendalir yang ber-

gerak, kadang-kadang termampat dan pada suhu yang lebih tinggi. Ringkasnya

mesin-mesin di dalam kategori ini melakukan kerja ke atas bendalir dan tenaga

ditambah ke bendalir.

3. Bendalir digunakan sebagai bahantara pemindahan tenaga

Mesin-mesin ini menggunakan bendalir sebagai bahantara bagi membentuk talian

dalam rantai pertukaran tenaga; tenaga mekanikal ditukarkan kepada tenaga hidra-

ulik di dalam satu bahagian yang kemudiannya ditukarkan balik kepada tenaga

mekanikal di dalam bahagian yang lain. Tidak terdapat sebarang kelebihan me-

kanikal di dalam mesin-mesin ini, tetapi satu pemindahan kuasa yang licin dan

beransur-ansur diperolehi disebabkan sifat-sifat dan jenis aliran bendalir yang ter-

dapat di dalam mesin-mesin jenis ini.

4.1.1.2 Jenis Tindakan Mesin

Di bawah kriteria ini mesin-mesin boleh di kelaskan kepada dua kategori.

1. Sesaran Positif

Prinsip ini memerlukan supaya cecair dimasukkan atau dipaksa ke satu ruang ter-

hingga yang dikepung oleh bahagian-bahagian mekanikal dan kemudiannya ditu-

tup. Bendalir kemudiannya dipaksa atau dikeluarkan dari ruang terhingga tadi

dan kitar diulangi. Jadi fungsi prinsip ini adalah berasaskan perubahan isipadu

cecair di dalam pam.

Di dalam kebanyakan pam sesaran positif aliran cecair didapati terputusputus dan

turunnaik dan kadaralirnya pula dikawal oleh saiz isipadu di dalam pam serta

kekerapan ruang terhingga ini diisi dan dikosongkan. Rajah 4.2 menunjukkan be-

berapa contoh pam sesaran positif.


Rajah 4.2: Beberapa contoh pam sesaran positif.

2. Rotodinamik

Mesin-mesin yang menggunakan prinsip ini dikenali juga sebagai mesin turbo. Di

dalam mesin ini kuasa dipindahkan kepada atau daripada bendalir yang mengalir

oleh tindakan dinamik dan terdapat saluran bebas untuk bendalir pada masukan

dan keluaran mesin tanpa sebarang penutupan berlaku.

Mesin-mesin yang menggunakan prinsip ini mempunyai bahagian berputar di-

panggil pemutar yang berputar berterusan dan bebas di dalam bendalir dan pada

masa yang sama membenarkan bendalir mengalir terus tanpa gangguan. Dalam

waktu yang sama, kuasa dipindahkan kepada atau daripada bendalir yang meng-

alir menerusi laluan-laluan bilah pemutarnya oleh tindakan dinamik.

Dalam analisis yang berikut, perhatian hanya ditumpukan kepada pam roto-

dinamik dari jenis;

(a) pam aliran jejarian,

(b) pam aliran paksi, dan

(c) pam aliran tercampur.


4.2 Analisis Dimensi dan Hukum Keserupaan untuk Mesin

Bendalir Tak Boleh Mampat

Ciri prestasi sebenar mesin rotodinamik ditentukan melalui ujian ujikaji. Mesin yang

berlainan mempunyai ciri yang berlainan sementara mesin dalam kumpulan yang sama,

iaitu rekabentuk yang serupa tetapi dikeluarkan dalam saiz yang berbeza, menghasilkan

satu siri mesin berkeserupaan geometrik yang bekerja pada kelajuan yang berlainan.

Bagi sesuatumesin hidraulik yang saiznya diketahui dan bekerja dengan sejenis bendalir

homogeneous yang berketumpatan malar, pembolehubahpembolehubah yang terlibat

ialah;

D [L] garispusat pemutar

H [L] perbezaan turus antara masukan dan keluaran

≡ tenaga seunit berat bendalir

N [T−1] laju putaran

P [ML2T−3] kuasa terhantar antara bendalir dan pemutar

Q [L3T−1] kadaralir menerusi mesin

g [LT−2] berat seunit jisim

≡ pecutan graviti

ρ [ML−3] ketumpatan bendalir

µ [ML−1T−1] kelikatan bendalir

(Nota: Tinggi purata kekasaran sempadan boleh dianggap termasuk dalam takrif bentukmesin)

Oleh kerana turus H merupakan tenaga seunit berat bendalir, adalah mudah jika gH

dikira sebagai satu pembolehubah juga kerana ia mewakili tenaga seunit jisim, dikenali

juga sebagai tenaga tentu, yang tidak bergantung kepada pecutan graviti. Pam misalnya

menghasilkan tenaga tentu yang sama tanpa dipengaruhi oleh daya graviti.

Jadi lapan pembolehubah di atas boleh dikurangkan kepada tujuh: D, (gH), N, P, Q, ρ,

µ dan oleh kerana terdapat tiga magnitud asas, iaitu jisim (M), panjang (l) dan masa (T),

empat π tanpa dimensi1 boleh diperolehi. Jika D, N dan ρ diambil sebagai pembolehubah

berulang, empat parameter tanpa dimensi tersebut ialah:

π1 =Q

ND3≡ pekali aliran, KQ (4.1)

π2 =gH

N2D2≡ pekali turus, KH (4.2)

π3 =P

ρN3D5≡ pekali kuasa, KP (4.3)

π4 =ρND2

µ≡ nombor Reynolds, Re (4.4)

Dalam julat laju dan saiz biasa aliran di dalam mesin-mesin bendalir adalah turbulen

(iaitu nombor Reynoldnya tinggi); jadi pengaruh kelikatan µ adalah kecil dan untuk ke-

1rujuk Teorem-π Buckingham atau Kaedah Rayleigh


banyakan penggunaan π4 boleh diabaikan. Dengan menganggap kecekapan mekanik

malar, hubungan antara pembolehubah di atas boleh ditulis sebagai;

φ

(Q

ND3,

gH

N2D2,

P

ρN3D5

)

= 0

atau

φ

(

η,gH

N2D2,

P

ρN3D5

)

= 0

4.2.1 Prestasi Mesin Hidraulik

Semasa ujikaji ke atas model mesin rotodinamik, turus H selalunya dikekalkan malar

sementara beban serta laju diubah-ubah.

4.2.1.1 Turbin Hidraulik

Jika turus malar, pada setiap kedudukan bilah pandu (atau injap tombak bagi roda Pel-

ton), lengkung kuasa keluaran, P, kecekapan, η dan kadaralir, Q boleh diplot melawan

laju putaran, N. Walau bagaimanapun adalah lebih baik jika graf prestasi diplot meng-

gunakan parameter tanpa dimensi. Untuk turbin hidraulik, parameter tanpa dimensi

yang sering digunakan diperolehi dari nisbah π; rujuk Bahagian 4.2 di atas;

φ1 =P

ρD2(gH)3/2≡ π4

π1π2

φ2 =Q

D2(gH)1/2≡ π1

π2π4

φ3 =ND

(gH)1/2≡ π2

π1π4

(a) (b)

Rajah 4.3: Lengkung-lengkung prestasi turbin hidraulik, Massey (1983).

Graf yang diplot menggunakan parameter tanpa dimensi begini—rujuk Rajah 4.3—

bukan sahaja mewakili satu mesin tertentu sahaja malah kesemua mesin di dalam siri


homologous yang sama. Biasanya sebutan ρ dan g dikeluarkan daripada parameter tan-

pa dimensi ini kerana kedua- duanya adalah pemalar, begitu juga dengan D khasnya

untuk satu siri homologous tertentu, dan ini memberikan nisbah berikut:

P

H3/2= kuasa unit (unit power)

Q

H1/2= kadaralir unit (unit flow)

N

H1/2= laju unit (unit speed)

Magnitud ketiga-tiga nisbah di atas sepadan dengan kuasa, kadaralir dan laju putaran

jika mesin dijalankan pada kecekapan malar di bawah seunit turus (≡ 1 meter untuk

unit SI).

4.2.1.2 Pam

Pam biasanya dijalankan pada kelajuan malar dan perhatian diberikan kepada perubah-

an H melawan Q, η melawan Q dan P melawan Q, Rajah 4.4. Keputusan ujikaji ke atas

sesebuah pam diselaraskan untuk laju yang berlainan. Bagi pam homologous yang ber-

lainan garispusat, graf keputusan menggunakan parameter tanpa dimensi diplotkan da-

lam bentuk

1. Q/ND3 menggantikan Q,

2. gH/N2D2 menggantikan H, dan

3. P/ρN3D5 menggantikan Pi.

4.2.2 Laju Tentu

Prestasi mesin berkeserupaan geometrik, iaitu mesin-mesin yang tergolong di dalam satu

kumpulan homologous, dikawal oleh hukum keserupaan dan boleh diwakili, untuk kese-

luruhan kumpulan homologous tersebut, oleh graf prestasi yang diplot menggunakan

ciri tanpa dimensi. Bandingan antara kumpulan homologous yang berlainan pula sela-

lunya dibuat menerusi lengkung ciri tanpa dimensi untuk kedua-dua kumpulan yang

dibandingkan di atas satu graf.

Salah satu daripada kriteria yang digunakan untuk maksud ini ialah laju tentu atau di-

kenali juga sebagai nombor jenis. Terdapat beberapa kebaikan dalam menyebut nilai KQ,

KH dan KP pada titik rekabentuk semasa bandingan antara mesin rotodinamik hidraulik

dibuat tetapi kepentingan ketiga-tiga parameter ini berbeza untuk pam dan turbin.

4.2.2.1 Pam

Daripada ketiga-tiga angkali di atas tadi, KQ dan KH merupakan dua parameter penting

untuk pam. Nisbah keduanya menggambarkan kesesuaian pam tertentu bekerja ke atas


Rajah 4.4: Lengkung-lengkung prestasi pam rotodinamik, Massey (1983).

satu magnitud isipadu (kecil atau besar) relatif ke turus yang dihasilkan. Jika nisbah

ini diperolehi dengan menghilangkan garispusat pendesak, bandingan menjadi bebas

daripada saiz mesin (yang diwakili oleh garispusat pendesak). Ini diperolehi dengan

menaikkan KQ ke kuasa 12 dan KH ke kuasa 3

4 ;

laju tentu, Ns =K1/2Q

K3/4H

=

(Q

ND3

)1/2(N2D2

gH

)3/4

(4.5a)

=NQ1/2

(gH)3/4(4.5b)

Nilai Ns biasanya hanya disebut pada titik rekabentuk (iaitu titik kecekapan maksima)

untuk kegunaan pengkelasan, perbandingan, pemilihan dan rekabentuk.

4.2.2.2 Turbin Hidraulik

Perbandingan untuk turbin juga dicapai dengan menggunakan laju tentu tetapi di sini

kuasa yang dihasilkan adalah merupakan parameter penting. Jadi satu ungkapan lain

untuk laju tentu dalam sebutan kuasa yang dihasilkan diperolehi denganmenghilangkan

garispusat pelari D daripada nisbah angkali kuasa KP ke angkali turus KH; iaitu dengan

menaikkan KP ke kuasa 12 dan KH ke kuasa 5

4 . Jadi,

laju tentu, Ns =K1/2P

K5/4H

=

(P

ρN3D5

)1/2(N2D2

gH

)5/4

(4.6a)

=NP1/2

ρ1/2(gH)5/4(4.6b)


Rajah 4.5: Kecekapan melawan laju tentu untuk mesin bendalir, Douglas et al. (1985).

Seperti juga pam, hanya nilai pada titik rekabentuk sahaja digunakan bagi tujuan yang

sama. Perlu diingatkan bahawa kedua-dua ungkapan laju tentu di atas hanya akanmem-

berikan nilai tanpa dimensi jika N dalam pusingan per saat (pps), Q dalam meter padu

sesaat (m3/s), P dalam Watt (W) dan H dalam meter (m).

4.3 Analisis Dimensi Untuk Mesin Rotodinamik Aliran Boleh

Mampat

Penggunaan analisis dimensi ke atas bendalir boleh mampat menjadi bertambah rumit

jika dibandingkan dengan bendalir tak mampat. Walaupun sesuatu bendalir bolehmam-

pat itu boleh dianggap sebagai gas sempurna, sifat-sifat bendalir yang sudah pun dibin-

cangkan dahulu (seperti ρ, ν dsb.) masih tidak mencukupi untuk kita membuat analisis.

Dua ciri lain masih diperlukan; laju bunyi genangan pada masukan mesin, a0, dan nisbah

haba spesifik, γ = cp/cv.

Analisis berikut beranggapan bahawa bendalir mempunyai ciri-ciri gas sempurna atau

wap kering yang menghampiri sifat-sifat gas sempurna.

Apabila berlakunya perubahan ketumpatan yang agak besar, dua pembolehubah lain

yang lebih sesuai digunakan: kadar aliran isipadu, Q, digantikan dengan kadar aliran

jisim, m, dan perubahan turus, H, digantikan dengan perubahan entalpi genangan isen-

tropik, ∆h0s .

Oleh kerana pemindahan haba daripada bekas mesin turbo pada umumnya terlalu kecil

jika dibandingkan dengan fluks tenaga menerusi mesin, parameter suhu boleh dikecu-


Rajah 4.6: Pengaruh laju tentu ke atas bentuk pemutar, Turton (1984).

alikan. Bagaimanapun, suhu merupakan satu ciri yang mudah diperhati dan, untuk gas

sempurna, boleh diperkenalkan di bahagian akhir analisis dengan menggunakan persa-

maan keadaan untuk gas sempurna,

p

ρ= RT

R =Ro

m= cp − cv

dengan,

m ≡ berat molekular2

Ro ≡ Pemalar Gas Universal3

= 8.314kJ/(kg mol K)

Jadi parameter-parameter prestasi mesin turbo yangmenggunakan bendalir boleh mam-

pat; ∆h0, η dan P, boleh diungkapkan menerusi hubungan fungsian berikut:

∆h0, η, P = f (µ,N,D, m, ρ01, a01,γ) (4.7)

atau,

∆h0 = f (µ,N,D, m, ρ01, a01,γ)

η = f (µ,N,D, m, ρ01, a01,γ)

P = f (µ,N,D, m, ρ01, a01,γ)


Setiap hubungan fungsian di atas terdiri daripada 8 pembolehubah. Dengan memilih

ρ01, N dan D sebagai pembolehubah berulang, ketiga-tiga hubungan fungsian di atas boleh

dikurangkan kepada 5 kumpulan tanpa dimensi;

∆h0sN2D2

,P

ρ01N3D5, η = f

(m

ρ01ND3,

ρ01ND2

µ,ND

a01,γ

)

(4.8)

atau

∆h0sN2D2

= f

(m

ρ01ND3,

ρ01ND2

µ,ND

a01,γ

)

P

ρ01N3D5= f

(m

ρ01ND3,

ρ01ND2

µ,ND

a01,γ

)

η = f

(m

ρ01ND3,

ρ01ND2

µ,ND

a01,γ

)

Pekali aliran,

φ =m

ρ01ND3

boleh juga dituliskan sebagai,

φ =m

ρ01a01D2

Oleh kerana ND berkadaran dengan laju bilah, kumpulan (ND/a01) dikenali sebagai

nombor Mach bilah.

4.3.1 Kesan mampatan ke atas analisis dimensi

Pertimbangkan sebuah pemampat adiabatik yang menggunakan gas sempurna. Pertam-

bahan entalpi genangan isentropik untuk gas sempurna boleh dituliskan sebagai cp(T02s −T01). Proses mampatan ini ditunjukkan di dalam Rajah 4.7; titik keadaan genangan ber-

ubah pada entropi yang malar antara tekanan-tekanan genangan p01 dan p02.

Menerusi hubungan isentropik yang adibatik,

p

ργ= pemalar

dan persamaan keadaan

p

ρ= RT

ungkapan berikut diperolehi,

T02sT01

=

(p02p01

)(γ−1)/γ


Rajah 4.7: Perubahan adiabatik unggul di dalam keadaan-keadaan genangan merentasi

mesinturbo, Dixon (1978).

Oleh itu,

∆h0s = cpT01

[(p02p01

)(γ−1)/γ

− 1

]

Oleh kerana cp = γR/(γ − 1) dan a201 = γRT01, jadi

∆h0sa201

= f

(p02p01

)

Pekali aliran sekarang lebih mudah jika diungkapkan sebagai

φ =mD2

ρ01a01=

mRT01p01

√γRT01D2

=m√RT01

D2p01√

γ

Oleh kerana

m ≡ ρ01D2(ND)

pekali kuasa boleh ditulis sebagai

ψ =P

ρ01N3D5=

mcp∆T0

[ρ01D2(ND)](ND)2=

cp∆T0

(ND)2=

∆T0T01

Kumpulkan kumpulan tanpa dimensi yang baru diperolehi ini dan gantikan ke dalam

persamaan (4.7), untuk memberikan

p02p01

= f

[m√RT01

D2p01,

ND√RT01

, Re,γ

]

(4.9a)

η = f

[m√RT01

D2p01,

ND√RT01

, Re,γ

]

(4.9b)

∆T0T01

= f

[m√RT01

D2p01,

ND√RT01

, Re,γ

]

(4.9c)


Alasan untukmenggugurkan γ daripada beberapa kumpulan tanpa dimensi di atas ialah

γ sudah pun dianggap sebagai satu pembolehubah bebas, dan untuk sesuatu mesin yang

saiznya ditetapkan dan hanya mengendalikan sejenis gas, biasanya γ, R dan D dikelu-

arkan daripada persamaan (4.9). Di samping itu, jika mesin ini bekerja pada Re yang

tinggi (atau dalam julat laju yang kecil), Re boleh juga digugurkan. Di dalam keadaan-

keadaan ini persamaan (4.9) menjadi

p02p01

, η,∆T0T01

= f

[m√T01

p01,

N√T01

,

]

(4.10)

Perhatian: Dengan mengeluarkan D dan R, pembolehubah-pembolehubah bebas di da-

lam persamaan (4.10) sekarang ini mempunyai dimensi.

4.4 Pam Rotodinamik

4.4.1 Pengkelasan

Terdapat beberapa jenis pam rotodinamik, Rajah 4.8, yang boleh dikelaskan kepada tiga

kategori utama mengikut arah bendalir semasa meninggalkan pendesak;

Pam Aliran Jejari Kategori ini paling banyak digunakan. Mempunyai kecekapan yang

baik pada julat laju tentu yang rendah. Pendesak dibina dengan bilah yang dileng-

kungkan ke belakang, hadapan atau lurus (iaitu bilah jejari).

Pam Aliran Paksi Disebut juga sebagai pam kipas. Penggunaannya banyak tertumpu

kepada turus rendah dan kadaralir tinggi.

Pam Aliran Tercampur Arah aliran mempunyai dua komponen – arah jejari dan paksi.

Tidak banyak digunakan, mungkin kerana saiznya yang lebih besar untuk meng-

hasilkan nilai turus dan kadaraliran yang sama dengan pam aliran jejari.

(a) (b) (c)

Rajah 4.8: Pam rotodinamik—(a) pam aliran jejari, (b) pam aliran tercampur dan (c) pam

aliran paksi, Turton (1984).


4.4.2 Turus Pam

4.4.2.1 Turus Statik

Turus statik ialah jarak tegak di antara aras bendalir di dalam takungan (bawah) dan

tangki (atas). Daripada Rajah 4.9,

Hs = Turus statik pam

zs = Tinggi garis tengah pam di atas permukaan takungan

zd = Tinggi tangki di atas garis tengah pam

dan

Hs = zs + zd (4.11)

Perbezaan di antara aras bendalir di dalam takungan bawah dan aras tangki atau taku-

ngan yang lebih tinggi ini juga disebut daya angkat statik, Hs, sementara zs dinamai turus

statik sedutan dan zd pula dikenali sebagai turus statik penghantaran.

4.4.2.2 Turus Sebenar atau Turus Keseluruhan

Turus sebenar adalah turus keseluruhan yang perlu dihasilkan oleh pam untuk meng-

hantar bendalir daripada takungan ke tangki. Di samping menghasilkan turus statik, se-

sebuah pam perlu juga mengatasi kehilangan-kehilangan di dalam paip dan pemasang-

an, serta kehilangan tenaga kinetik di keluaran paip penghantaran.

Jika

H = Turus sebenar atau keseluruhan pam

hls = Kehilangan-kehilangan di dalam paip sedutan

hld = Kehilangan-kehilangan di dalam paip penghantaran

hl = Jumlah kehilangan di dalam kedua-dua paip

= hls + hld

vd = Halaju bendalir di dalam paip penghantaran

maka

H = zs + zd + hls + hld +v2d2g

= Hs + hl +v2d2g

(4.12)

Kehilangan-kehilangan di dalam bekas dan pemutar pam tidak diambilkira di dalam

turus keseluruhan ini.

Turus keseluruhan ini juga, kadangkala, dikenali dengan berbagai nama yang agak me-

ngelirukan pengguna seperti turus sebenar, turus kasar atau turus berkesan.


4.4.2.3 Turus Manometrik

Biasanya kita tidak mungkin dapat mengukur dengan tepat kehilangan-kehilangan di

dalam bekas dan pemutar pam. Oleh yang demikian, turus manometrik diperkenalkan

bagi mewakili tokokan tenaga tekanan bendalir di dalam pemutar pam.

Jika dua tolok tekanan dipasang sedekat mungkin dengan pam di bahagian sedutan dan

penghantarannya, perbezaan bacaan kedua-dua tolok akan memberikan perubahan tena-

ga tekanan di dalam pam, atau lebih dikenali sebagai turus manometrik.

Jika

Hm = Turus manometrik pam

hps = Bacaan tolok tekanan di sedutan pam

=psρg

hpd = Bacaan tolok tekanan di penghantaran pam

=pdρg

vs = Halaju bendalir di dalam paip sedutan

maka

Hm = hpd − hps


h lsv s

2/2g

zd

z s

H sH mH

vd2/2g

h ld

Pai

p pe

ngha

ntar

anP

aip

sedu

tan

Tangki

Takungan

P a m

Injap penghantaran

Injap sedutan

A

B

C

Rajah 4.9: Turus-turus pam.

Seterusnya kita gunakan persamaan Bernoulli ke titik A di permukaan takungan (yang

bendalirnya tenang) dan titik B pada bahagian sedutan pam—rujuk Rajah 4.9. Dengan


menganggap titik B berada di aras garis tengah pam dan mengambil aras di dalam ta-

kungan sebagai datum,

paρg

+ 0+ 0 =psρg

+v2s2g

+ zs + hls

atau

paρg

= hps +v2s2g

+ zs + hls (4.13)

Langkah yang serupa dilakukan pada titik B dan titik C. Perbezaan tinggi di antara garis

tengah pam dan tolok tekanan yang dipasang di bahagian penghantaran pam diabaikan

jadi hpd mewakili bacaan tekanan di keluaran pam. Denganmengambil garis tengah pam

sebagai datum

pdρg

+v2d2g

+ 0 =paρg

+v2d2g

+ zd + hld

atau

hpd +v2d2g

=paρg

+v2d2g

+ zd + hld (4.14)

Tolakkan persamaan (4.13) daripada persamaan (4.14),(

hpd +v2d2g

)

−(

hps +v2s2g

+ zs + hls

)

=

(

paρg

+v2d2g

+ zd + hld

)

−(paρg

)

dan

hpd − hps =v2s2g

+ (zs + zd) + (hls + hld)

atau

Hm = Hs + hl +v2s2g

(4.15)

Dengan itu turus keseluruhan dan turus manometrik berbeza hanya dalam turus halaju

masing-masing. Dalam turus keseluruhan, turus halaju paip penghantaran dipertim-

bangkan sementara dalam turus manometrik pula, turus halaju paip sedutan yang di-

ambilkira. Apabila kedua-dua paip (sedutan dan penghantaran) mempunyai garispusat

yang sama, turus keseluruhan dan turus manometrik menjadi sama.

Tolakkan persamaan (4.12) daripada persamaan (4.15),

Hm − H =v2s2g

− v2d2g

Hm = H +

(

v2s2g

− v2d2g

)

(4.16)

= H : apabila vs = vd (4.17)


Perlu dibezakan di sini bahawa H ialah jumlah pertambahan tenaga di dalam bendalir

oleh pam, sementara Hm adalah tokokan tenaga tekanan sahaja. Walau bagaimana pun,

oleh kerana perbezaan di antara Hm dan H terlalu kecil, kedua-duanya dikira serupa.

4.4.3 Pam Aliran Jejari

Pam aliran jejari dikenali juga sebagai pam empar. Aliran di dalam pam jenis ini ber-

gerak daripada pusat pemutar mengarah keluar. Pemutar pam, lebih dikenali sebagai

pendesak, berputar di dalam bekas pilin4. Paip sedutan ke masukan adalah dalam arah

paksi dan bendalir memasukimata pendesak5 dengan sedikit, jika ada, komponen pusar-

an halaju mutlak bendalir, Rajah 4.10. Daripada sini bendalir mengalir keluar dalam arah

bilah dan setelah menerima tenaga daripada pendesak, bendalir keluar dengan tekanan

dan halajunya bertambah.

Bilah-bilah pendesak selalunya dilengkungkan ke belakang untuk mendapatkan kece-

kapan yang baik. Bilah-bilah jejari juga banyak digunakan kerana kos pembinaannya

yang lebih murah. Kegunaan bekas ialah untuk menukar sebanyak mungkin turus hala-

ju pada keluaran kepada turus tekanan sebelum aliran masuk ke paip hantaran. Terdapat

dua jenis keluaran pam aliran jejari, Rajah 4.10:

1. ruang tanpa bilah dengan volut,

2. ruang tanpa bilah dengan keluaran terlata6,

(a) (b)

Rajah 4.10: Keluaran pam aliran jejari—(a) ruang tanpa bilah dengan volut dan (b) ruang

tanpa bilah dengan keluaran terlata, Massey (1983).

4.4.3.1 Teori Aliran Dua Dimensi

Aliran sebenar di dalam pemutar pam empar adalah di dalam tiga dimensi dan vektor-

vektor halaju pada masukan, v1, dan keluaran pemutar, v2, boleh dileraikan kepada tiga

4spiral casing5pusat pendesak6keluaran terlata selalunya lebih cekap tetapi kos pembinaannya agak mahal


komponen—jejari (vr1 dan vr1), paksi (vx1 dan vx1) dan tangen (vt1 dan vt1).

Bagi memudahkan analisis, aliran tiga dimensi ini boleh dikurangkanmenjadi aliran dua

dimensi dengan menganggap:

1. aliran di dalam pam adalah mantap,

2. halaju-halaju pada masukan dan keluaran adalah seragam dalam magnitud dan

sudut yang dibuat dengan arah rujukan

3. bilah-bilah pendesak hanya bergerak dalam arah lilitan, jadi hanya komponen daya

dalam arah ini yang melakukan kerja7.

Untuk merekabentuk dan menganalisa proses pertukaran tenaga di dalam pendesak, ki-

ta perlu membina segitiga halaju pada masukan dan keluaran pendesak. Setiap vektor

halaju boleh dileraikan kepada tiga komponen yang saling tertegak. Satu komponen di-

arahkan selari dengan paksi putaran memberikan komponen paksi, satu mengikut arah

jejari menerusi paksi putaran, dan komponen yang terakhir bersudut tepat ke arah jejari,

iaitu arah tangen, memberikan komponen tangen, Rajah 4.11.

Rajah 4.11: Vektor halaju dalam tiga dimensi.

Perubahan magnitud komponen paksi menghasilkan daya paksi yang bertindak ke atas

galas tujah. Sementara perubahan magnitud komponen jejari pula menghasilkan beban

jurnal. Kedua-dua perubahan ini tidak memberi sebarang kesan ke atas gerakan sudut

pendesak kecuali geseran galas.

7Anggapan ini menghadkan perhatian kepada perubahan momentum dalam arah lilitan. Walaupun ter-

dapat juga perubahan momentum dalam arah lain tetapi daya-daya sepadannya tidak mempunyai momen

sekitar paksi putaran pendesak


Perubahan magnitud komponen tangen dan jejari sebaliknya adalah sepadan dengan

perubahan momentum sudut atau momen momentum bendalir dan, menerusi hukum

gerakan Newton, adalah sama dengan jumlahan daya-daya yang dikenakan ke atas pen-

desak, iaitu dayakilas bersih, T. Jadi,

Dayakilas sekitar sesuatu paksi

= Kadar pertambahan momentum sudut sekitar paksi tersebut

Jika satu jisim bendalir m1 memasuki pendesak pada jejari r1 dengan komponen halaju

tangen vt1 dalam jeda masa t dan satu jisim m2 meninggalkan pendesak pada jejari r2dengan komponen halaju tangen vt2 dalam jeda masa t yang sama, dayakilas T yang

dikenakan ke atas bendalir ialah

T =m2

tr2vt2 −

m1

tr1vt1 (4.18a)

= m2r2vt2 − m1r1vt1 (4.18b)

Oleh kerana keterusan wujud,

m1 = m2 = m = ρQ (4.19)

jadi,

T = ρQr2vt2 − ρQr1vt1 (4.20a)

= ρQ (r2vt2 − r1vt1) (4.20b)

Seterusnya,

Kuasa yang diperlukan oleh pendesak

= Kerja terlaku ke atas bendalir seunit masa

iaitu,

TΩ = ρQ (r2vt2 − r1vt1) Ω (4.21)

dan oleh kerana Ωr = U,

Kerja terlaku ke atas bendalir seunit jisim

=Kerja terlaku ke atas bendalir

Kadaralir jisim= U2vt2 −U1vt1

(4.22)

Untuk analisis 2-dimensi, halaju mutlak bendalir, v, boleh dileraikan kepada komponen

jejari vr atau v f dan komponen tangen vt, Rajah 4.12.

Melalui kaedah geometri,

v2f2 = v22 − v2t2


β2α2

β1 α1

v1W 1

U 1

v f1

W 2

v f2v2

U 2

Masukan

Keluaran

Ω Bilahpendesak

β1

W 1

U 1

v1 = v f1

α1= 90ο

v t1 = 0

Masukan tanpa pusaran

v t1

v t2

Rajah 4.12: Segitiga halaju pam aliran jejari pada masukan dan keluaran.

dan

v2f2 = W22 − (U2 − vt2)

2

Kaitkan kedua-dua ungkapan di atas dan kembangkan

v22 − v2t2 = W22 −U2

2 + 2U2vt2 − v2t2

dan

U2vt2 = 12

(v22 + U2

2 −W22

)(4.23a)

Dengan kaedah yang sama pada masukan kita memperolehi

U1vt1 = 12

(v21 + U2

1 −W21

)(4.23b)

Masukkan persamaan-persamaan (4.23a) dan (4.23b) ke dalam persamaan (4.22),


= 12

[(v22 − v21

)+(U2

2 −U21

)−(W2

2 −W21

)] (4.24)

Pam aliran jejari jarang dibekalkan dengan bilah pandu masukan dan bendalir meng-

hampiri mata pendesak tanpa pusaran. Sudut masukan bilah-bilah pendesak direka-

bentuk supaya memberikan segitiga halaju yang bersudut tepat supaya vt1 = 0 dan


momentum sudut permulaan bendalir sifar. Oleh itu persamaan Euler, (4.22), menjadi


= U2vt2

Rajah 4.13: Aliran 3-dimensi di dalam pam empar, Douglas et al. (1985).

Aliran sebenar menerusi pendesak adalah dalam tiga dimensi, Rajah 4.13. Terdapat per-

bezaan halaju melintangi laluan-laluan bilah antara bahagian hadapan sesuatu bilah dan

bahagian belakang bilah yang berdekatan. Di samping itu terdapat juga perbezaan halaju

dalam satah meridional. Dengan itu agihan halaju adalah terlalu kompleks dan bergan-

tung kepada bilangan, bentuk, tebal dan lebar bilah serta kadar perubahan lebar bilah

dengan jejari.

Teori 1-dimensi diperkenalkan bagi mengatasi masalah-masalah di atas dengan meng-

anggap:

1. bilah-bilah pendesak tak terhingga nipis dan perbezaan tekanan menerusi bilah-

bilah digantikan dengan daya-daya jasad bayangan yang bertindak ke atas bendalir

dan menghasilkan dayakilas,

2. bilangan bilah-bilah pendesak tak terhingga banyak, jadi perubahan halaju melin-

tangi laluan bilah dv/dθ = 0 dikurangkan dan cenderung ke sifar,

3. di bahagian pemindahan tenaga, iaitu di dalam laluan bilah pendesak, tidak terda-

pat perbezaan halaju dalam satah meridional, dv/dz = 0

Anggapan-anggapan ini memudahkan analisis dari keadaan 3-dimensi yang sebenar ke-

pada 1-dimensi—iaitu daripada v = f (r, θ, z) kepada v = f (r).


Seterusnya jika kita menganggap keadaan unggul wujud antara masukan dan keluaran

pendesak, tanpa kehilangan-kehilangan likat dan sebagainya, dan bendalir meninggalk-

an pendesak dalam arah tangen ke garis tengah bilah, persamaan unggul Euler dapat

dituliskan sebagai,

gHE = U2v′t2 −U1v

′t1

atau

HE =U2v

′t2 −U1v

′t1

g(4.25)

= Turus unggul Euler

=U2v

′t2

g: jika v′t1 = 0

Secara praktik turus yang dipindahkan daripada pendesak ke bendalir adalah lebih kecil

daripada turus unggul Euler, HE disebabkan oleh;

1. kehilangan likat, dan

2. pusingan relatif di dalam laluan-laluan bilah.

β2α2

W' 2

v r2=

vf2

v'2Segit iga Halaju

Keluaran

Ω

Bilahpemutar

v t2

W 2

β'2

v2

α'2

v' t2U 2

∆v t2

Segit iga halaju unggul

Segit iga halaju sebenar

Gelinciran∆v t2 = v' t2 - v t2

U 2

Rajah 4.14: Gelinciran di keluaran bilah pemutar.

Bendalir lebih cenderung untuk bergerak dalam arah yang sama kerana tabii inersia atau

sifatekun yang menyebabkan bendalir bergerak ke arah pendesak. Oleh itu aliran me-

ninggalkan laluan bilah dengan Wt2 > W ′t2 dan vt2 < v′t2 menyebabkan β2 < β′

2, Ra-

jah 4.14.


Agihan tekanan yang lebih tinggi di atas permukaan hadapan bilah dari di bahagian

belakangnya—Rajah 4.15—menghasilkan agihan halaju yang tidak seragam di dalam la-

luan bilah dan seterusnya menjadikan β2 < β′2. Oleh kerana vt2 < v′t2, kerja terlaku ke

atas bendalir seunit jisim dikurangkan oleh proses pusingan relatif ini. Jadi turus yang

dapat dipindahkan daripada pendesak ke bendalir, setelah mengambilkira faktor kehi-

langan likat dan pusingan relatif di dalam laluan bilah, ialah

Hi =U2vt2 −U1vt1

g(4.26)

=U2vt2g

: jika vt1 = 0

Rajah 4.15: Pusingan relatif di dalam laluan bilah, Douglas et al. (1985).

Perlu ditekankan di sini bahawa penerbitan persamaan-persamaan (4.25) dan (4.26)

adalah berdasarkan kepada pendekatan teori yang bergantung kepada segitiga halaju

semata-mata.

Ringkasnya, boleh dinyatakan di sini bahawa pusingan relatif merupakan faktor utama

yang mengurangkan jumlah turus yang dapat dipindahkan ke bendalir pada keadaan

unggul8, HE, kepada Hi. Jika Hi diambil sebagai satu pecahan, katalah kc, daripada turus

HE kita akan memperolehi

Hi = kcHE (4.27)

dengan

kc =Hi

HE= faktor pusingan relatif

= pekali bilah, µ

Nilai faktor pusingan relatif, kc, atau pekali bilah, µ, ini bergantung kepada bilang-

an bilah, sudut bilah di keluaran dan nisbah jejari masukan ke jejari keluaran pende-

sak. Ia tidak bersandar kepada keadaan-keadaan operasi dan biasanya dikira menerusi

8iaitu tanpa kehilangan likat dan pusingan relatif


hubungan-hubungan empirik, sebagai contoh

µ =1

1+2r22φ

z(r22 − r21)

dengan

φ = 0.60 + 0.6 sin β′2

Jadual 4.1 menunjukkan perubahan pekali bilah, µ, dengan bilangan bilah, z, bagi pam

aliran jejari.

Jadual 4.1: Perubahan pekali bilah, µ, dengan bilangan bi-

lah, z, bagi pam aliran jejari

Bilangan bilah, z 4 6 8 10 14 18 24

Pekali bilah, µ 0.62 0.71 0.77 0.81 0.85 0.88 0.91

4.4.3.2 Ukuran Prestasi

1. Turus Bersih dan Kecekapan Hidraulik

Kehilangan hidraulik adalah kehilangan-kehilangan yang berlaku di antara baha-

gian sedutan dan bahagian penghantaran pam. Ini termasuklah:

• kehilangan kejut di masukan bilah-bilah pendesak dan bekas pilin,

• kehilangan-kehilangan geseran dan ‘eddy’ di dalam laluan-laluan bilah dan

bekas, dan

• kehilangan-kehilangan disebabkan perubahan mendadak dalam luas dan

arah aliran.

Kecekapan hidraulik, ηh, mengambilkira semua kehilangan di atas. Ia ditakrifkan

sebagai nisbah turus sebenar yang terhasil ke turus masukan pendesak, iaitu,

ηh =H

Hi=

gH

U2vt2 −U1vt1(4.28)

dengan,

H ≡ turus sebenar yang terhasil

Hi ≡ turus masukan pendesak

2. Kadaralir dan Kecekapan Isipadu


Rajah 4.16: Bocoran di dalam pam empar, Massey (1983).

Tekanan pada keluaran pendesak lebih tinggi daripada tekanan di masukan. Oleh

yang demikian bendalir lebih cenderung untuk berpatah balik, atau bocor, meneru-

si ketelusan di antara pendesak dan bekas, Rajah 4.16. Selain daripada itu kebocor-

an mungkian berlaku pada kedap. Kedua-dua ini dikelaskan sebagai kehilangan

isipadu.

Kecekapan isipadu, ηv, ialah nisbah luahan sebenar ke jumlah kadar aliran yang

memasuki pam;

ηv =Q

Q + ∆Q=

Q

Qi(4.29)

dengan,

Q ≡ luahan sebenar

Qi ≡ kadar aliran yang memsuki pam

∆Q ≡ Bocoran

Biasanya bendalir memasuki pendesak tanpa pusaran, vt1 = 0. Jadi pada masukan

ke pendesak, kadar aliran isipadu ialah

Q1 = (2πr1b1 − b1zt) v f1

= (2πr1b1 − b1zt) v1 : jika vt1 = 0

= Qi

Pada keluran pendesak pula,

Q2 = (2πr2b2 − b2zt) v f2

= Qi


Bagi rumus-rumus kadar aliran di atas,

b1 ≡ lebar bilah pada masukan

b2 ≡ lebar bilah pada keluaran

d2 ≡ diameter luar pendesak

t ≡ tebal bilah

v f1 ≡ halaju aliran pada masukan

= vr1

v f2 ≡ halaju aliran pada keluaran

= vr2

z ≡ bilangan bilah pendesak

Rajah 4.17: Keratan rentas pemasangan pam empar, Turton (1984).

3. Kesan Geseran dan Kecekapan Mekanikal

Kehilangan-kehilangan tenagamekanikal adalah disebabkan oleh geseran pada pi-

ring, galas dan sesendal kedap, Rajah 4.17. Kehilangan kuasa oleh geseran piring

diberikan sebagai;

Pd =Ω2µ

t

∫ rT

rR

r2πrdrr

=Ω2µπ

32

d2T − d2Rt

dengan,

Ω ≡ halaju putaran (rad/s)

µ ≡ kelikatan bendalir

t ≡ tebal piring

r ≡ jejari piring

d ≡ diameter piring

T ≡ hujung piring

R ≡ pangkal piring


Sementara kuasa yang hilang disebabkan geseran pada galas dan sesendal kedap

pula diberikan sebagai;

Pb = Ω × pemalar : anggap geseran kering

Jadi jumlah kehilangan-kehilangan mekanikal ialah

Pm = Pd + Pb

Kecekapan mekanikal pam ditakrifkan sebagai nisbah;

ηm =Kerja terlaku oleh pendesak seunit berat bendalir

Kuasa yang dibekalkan kepada aci

=Kuasa yang dibekalkan ke aci− Kehilangan mekanikal

Kuasa yang dibekalkan ke aci

=Ps − Pm

Ps

=PiPs

=ρgQiHi

ρgQiHi + Pm(4.30)

dengan

Pi ≡ kuasa terpindah daripada aci ke pendesak

4. Kecekapan Keseluruhan Pam

Kecekapan keseluruhan, η, boleh ditakrifkan sebagai nisbah

η =Kuasa di dalam bendalir yang keluar daripada pam

Kuasa yang dibekalkan kepada aci

=ρgQH

Ps(4.31a)

=H

Hi× Q

Qi× ρgQiHi

Ps(4.31b)

= ηhηvηm (4.31c)

4.4.3.3 Perubahan Turus pada Pendesak dengan Bentuk Bilah

Daripada hukum keterusan kita juga boleh menulis,

Qi = A′2v f2

= (A2 − b2zt) v f2

= kaA2v f2


dengan

A2 ≡ luas susurkeliling pendesak

= 2πr2b2

A′2 ≡ luas bersih di keluaran pendesak

ka ≡ faktor pengurangan bilah

= 1− b2zt

A2

b2zt ≡ ruang ketebalan bilah

Oleh itu,

v f2 =Qi

kaA2(4.32)

=Q

ηvkaA2: untuk Qi =

Q

ηv

=Q

ηvA2: jika ka = 1

Jika kadar aliran Qi berubah, v f2 juga turut berubah kerana hubungan di antara kedua-

duanya menerusi hukum keterusan. Di samping itu vt2 akan turut berubah untuk β2 dan

Ω yang tetap. Daripada segitiga halaju

vt2 = U2 − v f2 cot β2 : biasanya β2 < β′2 (4.33)

Turus atau tenaga seunit berat bendalir pada pendesak ialah

Hi =U2vt2 −U1vt1

g

dan jika dianggap tiada ada pusaran pada masukan, iaitu vt1 = 0, maka

Hi =U2vt2g

Gantikan untuk vt2 menggunakan persamaan (4.33)

Hi =U2

g

(U2 − v f2 cot β2

)

=U2

2

g− U2

g

Qi

kaA2cot β2 (4.34)

Untuk sesebuah pam aliran jejari yang bekerja pada U2 yang malar, hubungan di antara

Hi dan Qi berbentuk satu garisan lurus—Rajah 4.18—dengan syarat β2 dan ηv malar.


β'2 > 90o

(bi lah melengkung ke hadapan)

β'2 = 90o

(bilah jejari)

β'2 < 90o

(bi lah melengkung ke belakang)

Kadar aliran, Q i

Turus, H i

Rajah 4.18: Kesan bentuk bilah ke atas turus.

4.4.4 Pam Aliran Paksi

Bahagian-bahagian asas sesuatu peringkat di dalam mesinturbo aliran paksi biasanya

terdiri daripada barisan bilah pemutar yang diikuti oleh barisan bilah stator. Selalunya

pam-pam aliran paksi tidak dipasang dengan bilah-bilah pandu, Rajah 4.19, kecuali di

dalam beberapa rekabentuk yang khusus. Sementara di dalam pemampat pula, bilah

pemutar biasanya didahului oleh bilah-bilah pandu masukan; bilah-bilah pandu ini di-

gunakan supaya bendalir pada masukan ke bilah pemutar mempunyai komponen pu-

saran atau tangen, vt1, di samping komponen paksi, vx1.

Rajah 4.19: Pendesak pam aliran paksi, Douglas et al. (1985).

Proses pemindahan tenaga berlaku di dalam pemutar. Tekanan mula bertambah pada


masukan ke bilah-bilah pemutar dan bendalir keluar dengan tekanan yang lebih tinggi

pada bahagian keluaran pemutar. Halaju mutlak bendalir pada keluaran pemutar, v2lebih besar daripada nilai v1 di bahagian masukannya dan di sini bilah stator memainkan

peranannya; berfungsi sebagai alat untuk menukar sebahagian daripada tenaga kinetik

atau turus halaju pada keluaran pemutar kepada turus tekanan.

4.4.4.1 Teori

Berbeza dari mesin-mesin aliran radius, contohnya pam empar, aliran di dalam mesin-

mesin aliran paksi adalah di dalam arah paksi dan perubahan daripada masukan ke

keluaran pemutarnya berlaku pada radius yang sama, Rajah 4.20. Jadi

U1 = U2 = U

= Ωr (4.35)

α2

Keluaran

Ω

Bilahpendesak

W 2

U 2

v2

v f2 = vx2

β1

β2

v1

W 1

U 1

α1

Masukan tanpapusaran

Masukan denganpusaran

U 1W 1

v1

β1

v f1 = vx1

Rajah 4.20: Segitiga halaju pam aliran paksi.

Oleh kerana luas aliran sama pada masukan dan keluaran, halaju aliran v f (dalam arah


paksi), boleh diperolehi dari hukum keterusan,

v f1 = v f2 = v f

= Komponen paksi halaju mutlak bendalir

= vx

dan kadaralir jisim,

m = ρπ(r2T − r2R

)v f = ρπ

(r2T − r2R

)vx (4.36)

dengan,

rT ≡ radius hujung

rR ≡ radius pangkal atau hab

rm ≡ radius min

=rT + rR

2

Daripada segitiga halaju keluaran,

tan β′2 =

U − v′t2v f

(4.37)

dan dengan itu,

v′t2 = U − v f2 tan β′2 (4.38)

Gantikan ungkapan untuk v′t2 ini ke dalam persamaan Euler dan anggap bendalir masuk

ke pemutar dalam arah paksi tanpa komponen pusaran, v′t1 = 0,

gHE = Uv′t2= U

(U − v f tan β′

2

)(4.39)

Persamaan ini boleh digunakan pada sebarang nilai radius bilah r dan tidak semestinya

malar dalam julat dari rR ke rT . Untuk menggunakan keadaan ini, pertambahan nilai U

dengan radius mestilah ditimbalbalik dengan pengurangan sebutan v f tan β yang sama

nilainya. Oleh kerana v f malar, bilah-bilah terpaksa dikilas, Rajah 4.21, supaya untuk

radius ra dan rb misalnya,

U2a −Uav f tan β′

2a = pemalar

= U2a −Uav f tan β′

2b

Susunsemula,

v f

(Ub tan β′

2b −Ua tan β′2a

)= U2

b −U2a


Rajah 4.21: Kilasan bilah pendesak pam aliran paksi, Turton (1984).

Tetapi U = Ωr, jadi

v f

(Ωrb tan β′

2b − Ωra tan β′2a

)= Ω

(r2b − r2a

)

memberikan

rb tan β′2b − ra tan β′

2a =Ω

v f

(r2b − r2a

)(4.40)

Walaubagaimana pun, keadaan ini yang dikenali sebagai rekabentuk vorteks bebas sukar

diperolehi.

4.4.4.2 Gerakan Vorteks dan Hubungannya dengan RekabentukMesin-mesin Aliran

Paksi

1. Aliran Vorteks Bebas

Aliran ini berkeadaan

vtr = pemalar, C (4.41)

Untuk satu peringkat,

vt1r = v1 ⇒ vt1 =v1r

vt2r = v2 ⇒ vt2 =v2r

Dari persamaan Euler,

gHi = U (vt2 − vt1)

= Ωr(v2r

+v1r

)

(4.42)

iaitu kerja terlaku ke atas bendalir adalah malar pada sebarang nilai radius r.


2. Aliran Vorteks Paksa

Rekabentuk mesin-mesin aliran paksi yang berdasarkan aliran vorteks bebas se-

lalunya menghasilkan bilah-bilah yang terlalu melengkung. Atas sebab ini aliran

vorteks paksa dipertimbangkan,

vtr

= pemalar, C (4.43)

Dari persamaan Euler,

gHi = U (vt2 − vt1)

= Ωr (v2r + v1r)

= Ωr2 (v2 + v1) (4.44)

iaitu kerja terlaku ke atas bendalir adalah fungsi radius.

4.4.4.3 Darjah Tindakbalas

Konsep tindakbalas selalu digunakan di dalam analisis dan rekabentukmesin-mesin alir-

an paksi sebagai ukuran kadaran relatif pemindahan tenaga yang diperolehi daripada

perubahan tekanan-tekanan statik dan dinamik. Ia juga dikenali sebagai darjah tindakba-

las atau hanya tindakbalas, yang ditakrifkan sebagai

R =

(

Perubahan tenaga hasil daripada perubahan

tekanan statik di dalam pemutar

)

(

Jumlah perubahan tekanan statik

di dalam sesuatu peringkat

)

atau dalam sebutan-sebutan entalpi

R =Perubahan entalpi statik di dalam rotor

Perubahan entalpi statik di dalam satu peringkat

Perubahan tekanan di dalam pemutar ini bersaing dengan perubahan dalam halaju ben-

dalir. Dalam sebutan halaju, darjah tindakbalas boleh diungkapkan sebagai

R = 1−12

(v2t2 − v2t1

)

U (vt2 − vt1)

= 1− vt2 − vt12U

Segitiga halaju bilah pemutar mesin-mesin aliran paksi pada masukan dan keluaran ada-

lah dipengaruhi oleh magnitud tindakbalas, Rajah 4.22.


U 1 = U 2 = U

U 1 = U 2 = U

U 1 = U 2 = U

W 2W 1 v2 v1

W 2W 1 v2 v1

W 2 W 1v2 v1

β2α2 β1

α1

β2

α2β1 α1

β2 α2 β1 α1

v f = vx

v f = vx

v f = vx

R > 50%ββββ2 > αααα1

R = 50%ββββ2 = αααα1

R < 50%ββββ2 < αααα1

Rajah 4.22: Pengaruh tindakbalas ke atas segitiga halaju pam aliran paksi.

4.4.5 Peronggaan di dalam Pam Rotodinamik

Apabila tekanan mutlak, pada suhu tertentu, susut ke satu nilai yang sama atau lebih ke-

cil dari tekanan wap tepu sesuatu cecair, gelembung-gelembung kecil wap terbentuk dan

pendidihan terjadi. Kesusutan ini juga menyebabkan udara terlarut di dalam cecair dike-

luarkan; pengeluaran udara terlarut bersama dengan pemelowapan menyebabkan berla-

kunya fenomena peronggaan.

Mekanisma permulaan peronggaan yang sebenar setakat ini masih dipertikaikan. Sung-

guhpun begitu, fenomena ini sering dikaitkan dengan kewujudan nukleus gas mikrosko-

pik yang menyebabkan terbentuknya gelembung-gelembung pada peringkat awal per-

onggaan. Nukleus-nukleus ini yang terdapat di dalam rongga-rongga bahan pejal di

sempadan bendalir menyebabkan bendalir tidak boleh menahan tegangan. Air, misal-

nya, dianggarkan dapat menahan tegangan dalam julat 500 ke 10,000 atm 9 jika nukleus-

nukleus tadi tidak ada.

Proses semasa gelembung tadi membesar dan kemudiannya pecah apabila tiba pada ti-

tik berlakunya tekanan tinggi berulang kali dalam jeda masa yang singkat, puluhan ribu

kali dalam sesaat, dan ini menghasilkan gelombang tekanan transient yang tinggi keama-

tannya. Tekanan tempatan yang tinggi, sehingga 4000 atm, terhasil dan suhu tempatan

91 atm ≈ 1.01325 bar


juga mungkin bertambah sehingga 800C di permukaan bahan-bahan yang dihempap

oleh gelembung yang pecah.

Di dalam pam rotodinamik, peronggaan biasanya terjadi pada bahagian masuk ke pen-

desak terutama sekali jika pam diletakkan terlalu tinggi di atas permukaan takungan

bekalan.

Dengan menggunakan persamaan Bernoulli antara permukaan takungan dan masukan

ke pendesak, iaitu bahagian tekanan minimum, kita memperolehi,

p0ρg

+v202g

+ z0 − hls =p1ρg

+v212g

+ z1 (4.45)

dengan,

p0 ≡ tekanan di atas permukaan takungan

biasanya (tetapi tidak semestinya) tekanan atmosfera pa

p1 ≡ tekanan pada masukan pendesak, iaitu tekanan minimum di dalam pam pmin

v1 ≡ halaju mutlak bendalir pada masukan pendesak

v0 ≡ halaju mutlak bendalir di dalam takungan, biasanya diabaikan kerana terlalu kecil

hls ≡ segala kehilangan turus antara masukan paip sedutan dan masukan pendesak

Untuk sesuatu rekabentuk pam, turus halaju v21/2g boleh di ambil sebagai satu pecahan

tertentu, katalah σ, daripada turus bersih H yang dihasilkan oleh pam. Jadi

σH =paρg

− pmin

ρg− z1 − hls (4.46)

Untuk mengelakkan peronggaan, pmin mestilah lebih besar dari tekanan wap tepu, pv,

iaitu σc > σ

σcH =paρg

− pvρg

− z1 − hls (4.47a)

= Ha − Hv − z1 − hls (4.47b)

atau,

σcH = NPSH =NPSE

g(4.48)

dengan,

σ ≡ angkali peronggaan

σc ≡ angkali peronggaan kritikal

Ha ≡ turus tekanan atmosfera

Hv ≡ turus tekanan wap tepu

NPSH ≡ Turus Sedutan Positif Bersih

≡ Net Positive Suction Head

NPSE ≡ Tenaga Sedutan Positif Bersih

≡ Net Positive Suction Energy


Jadi z1 mestilah dikecilkan sebanyak mungkin supaya σc > σ. Satu parameter penting

yang lahir dari analisis di atas ialah laju tentu sedutan10, Ks yang ditakrifkan seperti laju

tentu,

Ks =NQ1/2

g(NPSH)3/4(4.49)

4.5 Turbin Hidraulik

4.5.1 Pengkelasan

Turbin hidraulik boleh dikelaskan kepada

1. turbin dedenyut

2. turbin tindakbalas

Di dalam kedua-dua kelas ini, bendalir yang masuk mengenakan daya ke atas pelari

di dalam arah aliran (daya ini disebut denyut sementara pada keluaran pula, bendalir

mengenakan tindakbalas, melawan arah aliran. Untuk roda-roda dedenyut, contohnya

roda Pelton, Banki dan Turgo, kesan dedenyut adalah besar sedangkan di dalam turbin

tindakbalas, turbin Francis dan Kaplan misalnya, kesan daya tindakbalas lebih berpe-

ngaruh.

4.5.1.1 Turbin Dedenyut

Kesemua turus (≡ tenaga seunit jisim) bendalir ditukarkan kepada tenaga kinetik, iaitu

dalam bentuk turus halaju yang keluar daripada satu (atau lebih) muncung. Bendalir

(biasanya air) ditembak keluar daripada muncung ini dalam bentuk jet ke sauk atau

timba yang dipasang di susurkeliling sebuah roda yang berputar di atas satu aci. Semasa

tindakan ini, air bersentuhan dengan udara dan air yang keluar daripada sauk jatuh ke

larian ekor.

4.5.1.2 Turbin Tindakbalas

Di dalam kategori ini, aliran dari aras hulu ke aras keluar berlaku di dalam sistem pem-

buluh tertutup yang tidak terdedah kepada atmosfera pada sebarang titik di sepanjang

laluan aliran. Pada masukan ke pelari, hanya sebahagian daripada turus bendalir ditu-

karkan kepada tenaga kinetik dan lebihannya kepada tenaga atau turus tekanan.

Pelari turbin-turbin jenis ini sentiasa dipenuhi bendalir apabila bekerja sedangkan di da-

lam turbin denyut, roda Pelton misalnya, hanya beberapa sauk atau timba sahaja yang

gunakan (iaitu bersentuhan dengan bendalir) pada sesuatu masa.

10suction specific speed


(a) Roda Pelton (b) Turbin Banki

(c) Turbin Francis (d) Turbin Kaplan

Rajah 4.23: Turbin hidraulik.

Di bawah kategori ini terdapat beberapa kelas yang kriterianya bergantung kepada arah

aliran di dalam pelari semasa proses pemindahan tenaga berlaku; di dalam turbin Ka-

plan aliran bendalir adalah dalam arah paksi sementara aliran di dalam pelari turbin

Francis adalah dalam arah jejarian atau pun jenis aliran tercampur. Di samping dua ke-

las ini, terdapat juga turbin aliran melintang seperti turbin Turgo, Rajah 4.24.

4.5.2 Roda Pelton

Roda Pelton adalah sejenis turbin denyut. Bilah-bilah turbin ini biasanya dipanggil timba

atau sauk yang berbentuk elliptic dan dipasang ke susurkeliling sebuah roda, Rajah 4.25,

yang berputar di atas satu aci. Satu atau dua muncung, Rajah 4.26, kadang-kadang lebih,

muncung memancutkan jet air, dalam arah tangen ke susurkeliling roda, untuk meng-

hentam timba. Timba ini dibentuk menjadi dua bahagian keluar supaya jet air dapat

dipecahkan dan meninggalkan sauk secara simetrikal di kedua-dua bahagiannya. Sis-

tem injap tombak11 dan pemantul digunakan untuk mengawal kelajuan dan arah jet air

11spear valve


Rajah 4.24: Susunan turbin aliran melintang.

pada masukan.

4.5.2.1 Teori

Analisis matematik dibuat dengan menganggap:

1. arah halaju timba U sama seperti arah halaju mutlak jet air V1 atau Vj,

2. bendalir bertindak ke atas timba pada radius r, iaitu radius dari paksi roda ke paksi

jet,

3. bendalir meninggalkan timba pada radius r, dan

4. halaju bendalir adalah mantap dan seragam pada masukan dan keluaran.

Halaju mutlak jet V1 atau Vj ditentukan oleh turus pada muncung,

H = Hg − h f (4.50)

Nilai turus ini kemudiannya dihubungkan dengan halaju mutlak jet menerusi persama-

an berikut:

Vj = V1 = cv√

2gH (4.51)


(a)

(b) (c)

Rajah 4.25: Komponen-komponen penting roda Pelton—(a) roda, (b) nozel dan injap

tombak dan (c) pemantul.

dengan

H ≡ turus pada muncung

Hg ≡ turus kasar takungan

h f ≡ kehilangan turus disebabkan geseran di dalam paip

cv ≡ pekali halaju

≃ 0.97 ke 0.99

Turus halaju di dalam paip yang menyambungkan takungan dan muncung selalunya

diabaikan kerana terlalu kecil. Jumlah tenaga yang dipindahkan ke roda diberikan oleh

persamaan Euler,

Hi =U1Vt1 −U2Vt2

g

Halaju timba adalah sama nilainya pada masukan dan hantaran,

U1 = U2 = U

jadi,

Hi =U

g(Vt1 −Vt2) (4.52)

Daripada segitiga halaju,

Vt2 = U −W2 cos(180 − θ) = U +W2 cos θ (4.53)


Rajah 4.26: Roda Pelton dengan dua nozel.

v t1 = v1Segitiga halaju

masukan

Segitiga halajukeluaran

Nozel

v1

Uθθθθ

W 2

U

v t2

v2

v t1 = v1

U W 1

Rajah 4.27: Segitiga halaju roda Pelton, Douglas et al. (1985).

dan

W2 = kW1 = k (V1 −U)

Sebutan k ialah faktor pengurangan halaju relatif di sebabkan;

1. geseran di permukaan timba, dan

2. hentaman jet ke batas pemisah sauk.

Oleh itu,

Vt2 = U + k(V1 −U) cos θ (4.54)

Vt1 = V1 (4.55)


menjadikan,

Hi =U

g[V1 −U − k (V1 −U) cos θ]

=U

g(V1 −U) (1− k cos θ) (4.56)

Jika k malar,

dHi

dU=

1− k cos θ

g(V1 − 2U) = 0

jadi,

V1 = 2U

U = 12V1 (4.57)

Gantikan nilaiU di atas ke dalam persamaan (4.56), ungkapan untuk pemindahan tenaga

yang maksima diperolehi sebagai;

Hi(max) =V1

2g

(V1 − 1

2V1

)(1− k cos θ)

=V21

4g(1− k cos θ)

Nisbah U/V1 dikenali sebagai nisbah laju dan analisis ini menunjukkan bahawa pemin-

dahan tenaga yangmaksima berlaku apabila nisbah laju bernilai 0.5; tetapi dalam praktik

kecekapan maksima jarang diperolehi pada titik ini, biasanya pada nisbah laju 0.46.


1. Kecekapan Hidraulik

Di dalam beberapa rujukan, kecekapan ini juga dikenali sebagai kecekapan roda dan

ditakrifkan sebagai nisbah;

Kerja terlaku ke atas roda seunit berat bendalir

Turus yang ada di dalam bendalir

Iaitu,

ηh =Hi

H

=U (V1 −U) (1− k cos θ)

gH(4.58)


Daripada persamaan (4.51),

H =V21

2gc2v

jadi,

ηh =U (V1 −U) (1− k cos θ)

g

V21

2gc2v(4.59a)

=2c2vU (V1 −U) (1− k cos θ)

V21

(4.59b)

Pada titik pemindahan tenaga yang maksima,

U = 12V1

jadi,

ηh(max) =2c2v

12V1

(V1 − 1

2V1

)(1− k cos θ)

V21

= c2v1− k cos θ

2(4.60)

2. Kecekapan Mekanikal

Kecekapan hidraulik roda merupakan ukuran keberkesanan roda menukarkan te-

naga kinetik jet kepada tenaga mekanikal putaran. Tidak semua tenaga putaran ini

diperolehi pada aci keluaran roda kerana sebahagian daripadanya digunakan bagi

mengatasi geseran galas dan ‘windage’ (iaitu geseran antara roda dan atmosfera).

Nisbah, untuk seunit berat bendalir,

Kerja terhantar ke aci

Kerja terlaku ke atas roda

dikenali sebagai kecekapan mekanikal, ηm.

ηm =PsPo

=Ps

Ps + Po(4.61)

dengan,

Pm ≡ kehilangan kuasa disebabkan windage dan geseran

Po ≡ kuasa putaran roda hasil dari hentaman tenaga kinetik jet

= ρgHiQ

Ps ≡ kuasa yang terhantar ke aci roda

3. Kecekapan Isipadu

Selalunya di dalam roda Pelton dianggap tidak ada bocoran kerana semua air yang

keluar daripada muncung bertindak ke atas roda. Jadi kecekapan isipadu boleh

dianggap 100%.


4. Kecekapan Keseluruhan

Ditakrifkan sebagai nisbah

Kerja terhantar ke aci seunit berat bendalir


memberikan persamaan untuk kecekapan keseluruhan sebagai,

η = ηm × ηh × ηv

Dalam sebutan-sebutan kuasa dan turus,

η =PsPo

× Hi

H× 1 : anggap ηv = 1

= Po − PmPo ×Hi

H

yang disusun menjadi

η =

(

1− PmρgQH1 ×Hi

H

)

(4.62a)

=Hi

H− Pm

ρgHQ(4.62b)

Ini menunjukkan bahawa kecekapan keseluruhan roda Pelton adalah lebih kecil

daripada kecekapan hidrauliknya, η < ηh.

4.5.3 Turbin Francis

Kebanyakan turbin Francis mempunyai aci tegak dan yang lain, terutama yang bersaiz

kecil, mempunyai aci mendatar.

Bendalir memasuki bekas, selalunya berbentuk volut dan kemudianmelalui laluan- lalu-

an bilah pandu, jenis pegun atau boleh laras, di sekeliling pelari yang berfungsi sebagai

alat untuk mengarah bendalir supaya masuk ke pelari pada sudut yang optimum, Ra-

jah 4.29.

Bendalir yang keluar daripada laluan-laluan bilah pandu tadi memasuki pelari dalam

arah jejari. Semasa melalui pelari, bendalir dipesongkan oleh bilah-bilah pelari supaya

momentum sudutnya bertukar dan di sini proses pemindahan tenaga, daripada bendalir

ke pelari dan seterusnya ke aci turbin, berlaku. Di bahagian keluar bilah-bilah pelari,

bendalir dipesongkan ke arah paksi pelari dan mengalir melalui tiub draf ke larian ekor.

4.5.3.1 Teori

Seperti juga pam, persamaan-persamaan keterusan, momentum dan tenaga digunakan.

Di samping itu beberapa anggapan perlu dibuat:

1. aliran mantap,


(a) Turbin Francis aci tegak(b) Turbin Francis aci men-

datar

Rajah 4.28: Susunan turbin Francis aci tegak dan mendatar.

2. keadaan-keadaan pada masukan dan keluaran adalah seragam

3. halaju-halaju pada masukan dan keluaran adalah seragam dalam magnitud dan

sudut yang dibuat dengan arah rujukan, dan

0 1

2

3 Larian ekor

Tiub draf

Pemutar

Bekas pil in

Bilah pandu

Aci

Rajah 4.29: Laluan bendalir menerusi turbin Francis.

4. gerakan bilah-bilah pelari hanya dalam arah lilitan, jadi hanya komponen-

komponen daya dalam arah ini sahaja yang dianggap melakukan kerja.

Daripada takrif asas,

Dayakilas sekitar sesuatu paksi

= Kadar pertambahan momentum sudut sekitar paksi tersebut


Jadi dayakilas yang dikenakan oleh bendalir ke atas pelari ialah,

T = ρQ (Vt1r1 −Vt2r2) (4.63)

Dayakilas yang yang diperolehi pada aci turbin adalah lebih kecil daripada yang dibe-

rikan oleh persamaan (4.63) kerana terdapat geseran pada galas-galas dan antara pelari

dan bendalir.

Kuasa yang terbentuk pada pelari

= Kerja terlaku oleh bendalir seunit masa

iaitu,

P = TΩ = ρQ (Vt1r1Ω −Vt2r2Ω)

= ρQ (U1Vt1 −U2Vt2) (4.64)

Jadi kerja terlaku oleh bendalir seunit jisim bendalir ialah,

Kerja terlaku seunit masa

Kadaralir jisim= (U1Vt1 −U2Vt2) (4.65)

Persamaan (4.65) ini dikenali sebagai persamaan Euler untuk turbin.

Arah halaju mutlakmasukan ke pemutar turbin,V1 ditentukan oleh sudut bilah pandu α1

yang dilaraskan supaya halaju relatifW1 bertemu bilah pelari pada sudut β1. Kedua-dua

sudut ini diberikan oleh

tan α1 =Vr1

Vt1(4.66)

dan

tan β1 =Vr1

U1 −Vt1(4.67)

Bagi pemutar halaju rendah—rujuk Rajah 4.30 (a)—hukum sinus memberikan

W1

sin α1=

U1

sin(β1 − α1)(4.68)

Dari teorem Bernoulli, antara masukan dan keluaran bilah pandu (stesyen 0 dan 1 Ra-

jah 4.29),

p0ρg

+V20

2g+ z0 − hgv =

p1ρg

+V21

2g+ z1

= H


d2

b1

U1

v t1

W 1v1

v r2

W 2

U2

αααα1 ββββ1

ββββ2

b1

b1

U1 = v t1

αααα1

v1

ββββ1

v r2W 2

U2

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

v f1 = vr1

v f1 = vr1

v f1 = vr1

W 1

ββββ1v1

αααα1

v t1

U1

W 2

v r2

U2ββββ2

a. Pemutar halaju rendah

b. Pemutar halaju sederhana

c. Pemutar halaju tinggi

Rajah 4.30: Segitiga halaju turbin Francis, Rattan (1994).

Daripada persamaan di atas jumlah turus pada masukan ke pelari, H, mengandungi;

1. turus tekanan, p1/ρg,

2. turus halaju, V21 /2g,

3. turus upaya, z1,

dengan hgv mewakili kehilangan turus di dalam bilah pandu. Tenaga di dalam bendalir

yang dipindahkan ke pelari ialah Hi dan bendalir meninggalkan pelari dengan tenaga

kinetik V22 /2g. Antara masukan ke pelari (1) dan keluaran nya (2), persamaan Bernoulli

dapat ditulis sebagai,

p1ρg

+V21

2g+ z1 − Hi − hl =

p2ρg

+V22

2g+ z2


dan hl merupakan kehilangan tenaga di dalam pelari disebabkan oleh geseran, kejutan

dan sebagainya. Kerja terlaku ke atas pelari atau tenaga yang dipindahkan daripada

bendalir ke pelari merupakan turus melintangi pelari Hi yang diberikan oleh persamaan

Euler,

Hi =U1Vt1 −U2Vt2

g

Dari segitiga halaju pada keluaran bilah-bilah pelari,

tan β2 =Vf2

U2 −Vt2

Biasanya pada keluaran pelari dianggap tidak ada pusaran atau gelodakan, jadi Vt2 = 0.

Untukmencapai keadaan ini, bilah-bilah pelari direkabentuk supaya sudut keluarannya,

β2, dapat mengarah halaju mutlak V2 mengikut arah radius, iaitu Vf2 = V2. Oleh itu,

tan β2 =Vf2

U2=

V2

U2

dan,

Hi =U1Vt1

g

Kuasa kasar di dalam bendalir sebelum memasuki turbin, iaitu sebelum sampai pada

titik masukan ke bilah-bilah pandu, ialah

P = ρgHQ

Tetapi oleh kerana terdapat kehilangan-kehilangan hidraulik dan isipadu semasa proses

pemindahan tenaga berlaku di dalam pelari, tenaga yang dipindahkan ke pelari adalah

lebih kecil. Jadi kuasa yang dipindahkan ke pelari Po ialah

Po = ρgHiQi

= ρgHi (Q− ∆Q)

denganQi ialah kadar aliran isipadu yang bertindak ke atas pemutar turbin dan ∆Q pula

ialah kadar aliran bendalir yang bocor.

Akhir sekali, kuasa yang diperolehi pada aci keluaran turbin (iaitu kuasa yang masuk

ke penjana) adalah merupakan kuasa bersih, Ps, setelah ditolak kehilangan-kehilangan

kuasa mekanikal seperti geseran galas, cekera/piring dan sesendal kedap, Pm.

Ps = Po − Pm



Tidak semua turus (iaitu tenaga seunit berat) yang ada di dalam bendalir, H, di-

gunakan untuk melakukan kerja ke atas pelari. Ini adalah disebabkan wujudnya


kehilangan-kehilangan geseran dan ‘eddy’, hl , di dalam laluan aliran di dalam pela-

ri, menyebabkan turus sebenar yang dipindahkan ke pelari, Hi, lebih kecil

Hi = H − hl

Kecekapan hidraulik terbit dari keadaan ini dan ditakrifkan sebagai nisbah

Kerja terlaku ke atas pelari seunit berat bendalir


iaitu,

ηh =Hi

H=

H − hlH


Dari jumlah kadar aliran yangmemasuki turbinQ terdapat sebahagian kadar aliran

yang tidakmelalui pelari, katalah ∆Q. Jadi jumlah kadar aliran yang bekerja ke atas

pelari Qi, adalah lebih kecil dari jumlah sebenar yang masuk ke turbin;

Qi = Q− ∆Q

Sebutan ∆Q dikenali sebagai bocoran. Dengan ini kecekapan isipadu dapat ditak-

rifkan sebagai nisbah iaitu,

ηv =Qi

Q=

Q− ∆Q

Qi


Kuasamekanikal yang diperolehi oleh pelari Po hasil dari tindakan dinamik benda-

lir ke atasnya adalah sebenarnya kuasa yang dipindahkan dari bendalir ke pelari.

Disebabkan adanya kehilangan kuasa mekanikal, Pm, geseran galas, sesendal ke-

dap dan sebagainya, kuasa yang diperolehi di aci (iaitu nilai kuasa yang masuk ke

penjana, Ps) adalah lebih kecil. Kecekapan mekanikal ditakrifkan sebagai



iaitu,

ηm =PsPo

=Ps

ρgQiHi=

Po − PmPo

= 1− PmPo

= 1− PmρgQiHi


Parameter ini merupakan ukuran bagi menentukan keberkesanan turbin menukar

tenaga yang ada di dalam bendalir kepada tenaga yang dapat diperolehi pada aci

keluaran. Ia ditakrifkan sebagai nisbah,

Kerja terhantar ke aci keluaran

Turus atau tenaga yang ada di dalam bendalir


atau,

η =Ps

ρgQH

Persamaan di atas boleh dipecahkan dalam bentuk kecekapan mekanikal, isipadu

dan hidraulik seperti berikut:

η =Ps

ρgQiHi× Qi

Q× Hi

H

= ηm × ηv × ηh

4.5.4 Turbin Kaplan

Turbin Kaplan biasanya mempunyai antara 4 dan 6 bilah pemutar, Rajah 4.31. Benda-

lir yang mengalir melaluinya bergerak selari dengan aci. Bilah pandu pegun selalunya

dipasang dan dari jenis boleh laras.

Rajah 4.31: Pemutar turbin aliran paksi.

Bahagian-bahagian utama sesuatu turbin Kaplan termasuklah rumah berlingkar, bilah

pandu, pemutar dan tiub draf, Rajah 4.32. Bilah-bilah pemutar turbin Kaplan selalu le-

bih tajam dan lebih melengkung jika dibandingkan dengan bilah-bilah pemutar turbin

Francis. Kecekapan turbin Kaplan bergantung pada kedudukan susunan dan lengkung-

an pada hujung bilah pemutarnya.

Turbin Kaplan dengan bilah-bilah pemutar yang tetap lebih murah daripada pemutar

dengan bilah-bilah boleh laras. Justru itu, turbin Kaplan yang pertama tadi dapat meng-

hasilkan julat kuasa yang terhad.

4.5.4.1 Teori

Turbin ini biasanya digunakan pada keadaan yang melibatkan kadaralir yang besar; ka-

daralir adalah maksima apabila aliran mengalir selari dengan paksi putaran pemutar. Bi-

lah pandu terletak pada satah yang memugak ke aci pemutar supaya aliran melaluinya

dalam arah jejari. Antara bilah pandu dan pemutar yang terletak di arusbawah bendalir


Rajah 4.32: Laluan bendalir menerusi turbin Kaplan.

dilencungkan menerusi sudut tepat ke arah paksi. Bilah pandu berfungsi bagi membe-

rikan pusaran pada bendalir supaya bendalir menghampiri pemutar tanpa vorteks, iaitu

komponen tangen halaju mutlak pada masukan Vt1 berkadaran songsang dengan jejari,

U ∝ r dan Vt1 ∝ 1/r. Rajah 4.33 menunjukkan segitiga halaju untuk turbin aliran paksi.

Masalah perbezaan kedua-dua halaju di atas dengan jejari dapat diselesaikan dengan

mengilas bilah pemutar supaya sudut yang dibuat dengan paksi pemutar lebih besar

pada penghujung bilah dari di pangkal atau hab.

Halaju aliran Vx adalah sama pada masukan dan keluaran. Begitu juga dengan halaju

linear bilah, U; tetapi U berubah sepanjang jejari bilah, dari pangkal ke penghujungnya.

Jadi Vx1 = Vx2 = Vx dan U1 = U2 = U.

Pada kecekapan maksima, Vt2 = 0 dan V2 = Vx2 = Vx1 = Vx menjadikan persamaan

Euler,

Hi =U1Vt1 −U2Vt2

g

=U1Vt1

g

dan,

Vt1 = Vx tan α1

∝1

r

Oleh kerana turus yang bekerja ke atas pemutar Hi adalah sama pada pangkal dan peng-

hujung bilah sedangkanU lebih besar pada penghujung bilah, Vt1 mestilah dikurangkan.


Ω

Bilahpemutar

α1β1

U 1

v t1

v1W 1

v x1

W 2v2

U 2U 2

W 2v2 = vx2

α2

β2β2

Masukan

Keluaran tanpa pusaran

Rajah 4.33: Segitiga halaju turbin aliran paksi.

Halaju aliran Vx perlu malar sepanjang jejari bilah pemutar. Untuk menjadikan halaju

aliran malar sepanjang jejari bilah pemutar, tan α1 mestilah dikurangkan mengarah ke

penghujung bilah dengan mengecilkan sudut α1, dan kesannya ke atas bentuk bilah ada-

lah seperti yang ditunjukkan di dalam Rajah 4.21.



Tidak semua turus (iaitu tenaga seunit berat) yang ada di dalam bendalir, H, di-

gunakan untuk melakukan kerja ke atas pelari. Ini adalah disebabkan wujudnya

kehilangan-kehilangan geseran dan ‘eddy’, hl , di dalam laluan aliran di dalam pela-

ri, menyebabkan turus sebenar yang dipindahkan ke pelari, Hi, lebih kecil

Hi = H − hl

Kecekapan hidraulik terbit dari keadaan ini dan ditakrifkan sebagai nisbah



iaitu,

ηh =Hi

H=

H − hlH



Dari jumlah kadar aliran yangmemasuki turbinQ terdapat sebahagian kadar aliran

yang tidakmelalui pelari, katalah ∆Q. Jadi jumlah kadar aliran yang bekerja ke atas

pelari Qi, adalah lebih kecil dari jumlah sebenar yang masuk ke turbin;

Qi = Q− ∆Q

Sebutan ∆Q dikenali sebagai bocoran. Dengan ini kecekapan isipadu dapat ditak-

rifkan sebagai nisbah iaitu,

ηv =Qi

Q=

Q− ∆Q

Qi


Kuasamekanikal yang diperolehi oleh pelari Po hasil dari tindakan dinamik benda-

lir ke atasnya adalah sebenarnya kuasa yang dipindahkan dari bendalir ke pelari.

Disebabkan adanya kehilangan kuasa mekanikal, Pm, geseran galas, sesendal ke-

dap dan sebagainya, kuasa yang diperolehi di aci (iaitu nilai kuasa yang masuk ke

penjana, Ps) adalah lebih kecil. Kecekapan mekanikal ditakrifkan sebagai



iaitu,

ηm =PsPo

=Ps

ρgQiHi=

Po − PmPo

= 1− PmPo

= 1− PmρgQiHi


Parameter ini merupakan ukuran bagi menentukan keberkesanan turbin menukar

tenaga yang ada di dalam bendalir kepada tenaga yang dapat diperolehi pada aci

keluaran. Ia ditakrifkan sebagai nisbah,

Kerja terhantar ke aci keluaran

Turus atau tenaga yang ada di dalam bendalir

atau,

η =Ps

ρgQH

Persamaan di atas boleh dipecahkan dalam bentuk kecekapan mekanikal, isipadu

dan hidraulik seperti berikut:

η =Ps

ρgQiHi× Qi

Q× Hi

H

= ηm × ηv × ηh

Turbin Kaplan biasanya digunakan pada turus antara 15 ke 110 kaki dan kecekapannya

boleh mencapai julat antara 90 dan 93%, dengan kadar kesusutan kecekapannya sama

seperti turbin Francis.


Jadual 4.2: Bilangan bilah dan turus untuk turbin Kaplan

Bilangan bilah pemutar Turus (kaki)

4 35

5 65

6 110

4.5.5 Peronggaan di dalam Turbin Hidraulik

Biasanya peronggaan bermula apabila tekanan susut ke tahap yang terlalu rendah, ter-

utama sekali pada titik-titik yang halaju bendalir terlalu tinggi atau kedudukan turbin

yang tinggi. Dari persamaan Bernoulli, untuk sebarang titik,

p

ρg+

V2

2g+ z = pemalar

peronggaan lebih mudah berlaku jika turus halaju V2/2g dan turus upaya, z, mempu-

nyai nilai-nilai yang tinggi padamasa yang sama. Di dalam turbin, titik yang tekanannya

minima berlaku pada hujung keluaran bilah pelari, iaitu di permukaan hadapannya.

Teorem Bernoulli antara keluaran pelari dan aras air keluar memberikan,

p2ρg

+V22

2g+ z2 − hdt =

p3ρg

+V23

2g+ z3

dengan,

p3 ≡ tekanan pada aras keluar

biasanya (tetapi tidak semestinya) tekanan atmosfera pa

V3 ≡ halaju mutlak bendalir ke aras keluar

(kadang-kadang diabaikan kerana terlalu kecil)

hdt ≡ kehilangan turus disebabkan geseran di dalam tiub draf

Susunsemula persamaan di atas,

V22

2g− V2

3

2g− hdt =

paρg

+p2ρg

− z2 : z3 = 0 (datum)

Bahagian kiri ungkapan ini merupakan satu pecahan tertentu, katalah σ, daripada turus

bersih melintangi pelari Hi,

σHi =paρg

− p2ρg

− z2


Oleh kerana tekanan minima pmin terjadi pada keluaran pelari, iaitu di stesyen 2, jadi

p2 = pmin dan,

σHi =paρg

− pmin

ρg− z2

Peronggaan bermula apabila pmin ≤ pv, dengan pv adalah tekanan wap tepu,

σTHi =paρg

− pvρg

− z2

= Ha − Hv − z2

dengan

Ha ≡ turus tekanan atmosfera

Hv ≡ turus tekanan wap tepu

σT ≡ angkali peronggaan Thoma

Jadi untuk mengelak dari berlakunya peronggaan di dalam pelari, pmin mestilah lebih

besar daripada pv, supaya σT < σ. Ungkapan untuk σT di atas tadi dikenali sebagai

parameter peronggaan Thoma. Biasanya ungkapan ini digunakan bagi menentukan aras

maksima, zmax, di atas aras keluar. Jika pelari berada lebih tinggi daripada nilai zmax,

peronggaan lebih mudah berlaku,

zmax = Ha − Hv − σTHi

Lampiran A

Aliran Likat Dua Dimensi

A.1 Persamaan Keterusan Aliran Likat 2-Dimensi

x

y

( )vv dy

y

ρρ ∂+∂

( )uu dx

x

ρρ ∂+∂uρ

vρ

dy

dx

Rajah A.1: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir.


tebal b seperti di dalam Rajah A.1. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v.

Untuk arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh

didapati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk:

ρub dy−[

ρu +∂(ρu)

∂xdx

]

b dy = −∂(ρu)

∂xb dx dy

130

LAMPIRAN A. ALIRAN LIKAT DUA DIMENSI 131

Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y,

−∂(ρv)

∂yb dx dy

Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertam-

bah sebanyak ∂(ρb dx dy)/∂t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-

rolehi:

−∂(ρu)

∂xb dx dy− ∂(ρv)

∂yb dx dy =

∂(ρb dx dy)

∂t

atau

∂ρ

∂t+

∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y= 0 (A.1)

Persamaan (A.1) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk alir-

an boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ∂ρ/∂t, adalah

sifar.

Untuk aliran tak mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (A.2)

Persamaan (A.2) boleh digunakan untuk aliran mantap tak likat.

A.2 Persamaan Momentum Aliran Likat 2-Dimensi

Rajah A.2: Unsur segiempat bendalir.


tebal b seperti di dalam Rajah A.2.


Menerusi hubungan hukum kedua Newton,

ma = ∑ F

daya-daya yang bertindak ke atas unsur ini, dalam arah-x dan y, ialah F(Fx, Fy):

(ρ b dx dy)︸︷︷︸

m

du

dt︸︷︷︸

ax︸︷︷︸

daya inersia

= ∑ Fx (A.3a)

(ρ b dx dy)︸︷︷︸

m

dv

dt︸︷︷︸

ay︸︷︷︸

daya inersia

= ∑ Fy (A.3b)

Bahagian kiri persamaan di atas mengungkapkan daya inersia, iaitu hasil darab jisim

dan pecutan unsur bendalir.

Perubahan halaju unsur ini adalah hasil gerakan kedudukannya serta perjalanan masa.

Jadi perubahan halaju du dalam jeda masa dt diungkapkan oleh persamaan berikut:

du =∂u

∂tdt

︸︷︷︸

perjalanan masa

+∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy

︸︷︷︸

perubahan kedudukan

Oleh itu pecutan, dalam arah-x, ialah

du

dt=

∂u

∂t+

∂u

∂x

dx

dt+

∂u

∂y

dy

dt(A.4a)

=∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y(A.4b)

Begitu juga dengan perubahan halaju dv dalam jeda masa dt diungkapkan oleh persama-

an berikut:

dv =∂v

∂tdt +

∂v

∂xdx +

∂v

∂ydy

Oleh itu pecutan, dalam arah-y, ialah

dv

dt=

∂v

∂t+

∂v

∂x

dx

dt+

∂v

∂y

dy

dt(A.5a)

=∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y(A.5b)

Gantikan persamaan-persamaan (A.4b) dan (A.5b) ke dalam persamaan (A.3) untuk

mendapatkan

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

b dx dy = ∑ Fx (A.6a)

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

b dx dy = ∑ Fy (A.6b)


Seterusnya, jumlah daya ∑ F yang bertindak ke atas unsur bendalir terdiri dari daya

jasad FB(Bx, By), daya tekanan FP(Px, Py) dan daya likat FS(Sx, Sy), iaitu ∑ Fx dan ∑ Fyboleh diungkapkan oleh persamaan-persamaan berikut:

∑ Fx = Bx + Px + Sx (A.7a)

∑ Fy = By + Py + Sy (A.7b)

Gantikan persamaan-persamaan (A.7) ke dalam persamaan (A.6) untuk memberikan

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

b dx dy = Bx + Px + Sx (A.8a)

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

b dx dy = By + Py + Sy (A.8b)

Daya jasad FB(Bx,By)

Daya-daya ini bertindakmenerusi keseluruhan jisim, seperti daya graviti, daya em-

par, daya elektromagnetik dan sebagainya. Dengan meletakkan X dan Y sebagai

komponen paksi-x dan y daya-daya jasad sedemikian yang bertindak ke atas jisim

bendalir, maka

Bx = X ρ b dx dy (A.9a)

By = Y ρ b dx dy (A.9b)

Untuk daya graviti, X = 0, Y = −g.

Daya tekanan FP(Px,Py)

Daya tekanan diberikan oleh

Px = p b dy−(

p +∂p

∂xdx

)

b dy

= −∂p

∂xb dx dy (A.10a)

Py = −∂p

∂yb dx dy (A.10b)

Daya likat FS(Sx,Sy)

Daya di dalam arah-x disebabkan oleh perubahan bentuk atau perubahan sudut, Sx1,

untuk unsur bendalir (b dx dy) ialah

Sx1 =∂τ

∂yb dx dy

= µ(∂2u

∂y2+

∂2v

∂x∂y

)

b dx dy

= µ(∂2u

∂y2− ∂2u

∂x2

)

b dx dy (A.11)


Daya di dalam arah-x disebabkan oleh penjelmaan linear, Sx2, untuk unsur bendalir

(b dx dy) ialah

Sx2 = 2µ∂2u

∂x2b dx dy (A.12)

Jadi di dalam arah-x

Sx = Sx1 + Sx2

= µ(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

b dx dy (A.13a)

dan begitu juga di dalam arah-y,

Sy = µ( ∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

b dx dy (A.13b)

A.2.1 Persamaan Navier-Stokes Aliran Likat 2-Dimensi

Sekiranya digantikan persamaan-persamaan (A.9), (A.10) dan (A.13) ke dalam persama-

an (A.8), kita memperolehi memperolehi

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

(A.14a)

ρ( ∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= ρY − ∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

(A.14b)

Persamaan (A.14) dikenali sebagai persamaan-persamaan Navier-Stokes dua dimensi. Da-

lam sebutan inersia, kadar-kadar perubahan halaju dengan kedudukan, iaitu

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

dan(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

disebut pecutan konvektif, sementara kadar-kadar perubahan halaju dengan masa, iaitu

∂u

∂tdan

∂v

∂t

disebut pecutan tempatan.

Bibliografi

DIXON, S. L. (1978), Fluid Mechanics, Thermodynamics of Turbomachinery. Pergamon Press,

3rd. edition.

DOUGLAS, J. F., GASIOREK, J. M. & SWAFFIELD, J. A. (1985), Fluid Mechanics. English

Language Book Society/Pitman, 2nd. edition, ISBN 0-273-021354.

DOUGLAS, J. F., GASIOREK, J. M. & SWAFFIELD, J. A. (2001), Fluid Mechanics. Prentice

Hall, 4th. edition, ISBN 0-582-41476-8.

FOX, R. W. & MCDONALD, A. T. (1985), Introduction to Fluid Mechanics. John Wiley &

Sons, Inc., 3rd. edition, ISBN 0-471-82106-3.

HODGE, B. K. & KOENIG, K. (1995), Compressible Fluid Dynamics—With Personal Computer

Applications. Prentice Hall International, ISBN 0-13-366279-9; Prentice Hall Internatio-

nal Editions.

HUGHES, W. F. & BRIGHTON, J. A. (1999), Schaum’s Outline of Theory and Problems of Fluid

Dynamics. McGraw-Hill Book Company, 3rd. edition, ISBN 0-07-031118-8.

JAIN, A. K. (1995), Fluid Mechanics. Khanna Publishers, New Delhi, 8th. edition.

JOHN, J. E. A. (1969), Gas Dynamics. Allyn and Bacon, Library of Congress Catalog Card

Number: 69-13520.

MASSEY, B. S. (1983), Mechanics of Fluids. Van Nostrand Reinhold, 5th. edition, ISBN 0-

442-30552-4.

NAKAYAMA, Y. & BOUCHER, R. F. (1999), Introduction to Fluid Mechanics. Arnold, ISBN

0-340-67649-3.

OOSTHUIZEN, P. H. & CARSCALLEN, W. E. (1997), Compressible Fluid Flow, Mechanical

Engineering Series. The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 0-07-115426-4.

POTTER, M. C. & WIGGERT, D. C. (1997), Mechanics of Fluids. Prentice Hall, ISBN 0-13-

841313-4.

RATTAN, S. S. (1994), A Text Book of Fluid Machines. Khanna Publishers, Delhi, 2nd. edi-

tion.

SAAD, M. A. (1985), Compressible Fluid Flow. Prentice-Hall, Inc.

135

BIBLIOGRAFI 136

SAYERS, A. T. (1990), Hydraulic and Compressible Flow Turbomachines. McGraw-Hill Book

Company, ISBN 0-07-707219-7.

TURTON, R. K. (1984), Principles of Turbomachinery. E. & F.N. Spon, ISBN 0-419-12500-0

Pbk.

WHITE, F. M. (1994), FluidMechanics. McGraw-Hill, Inc., 3rd. edition, ISBN 0-07-113765-3

(International Editions).

nota kuliah skmm 2323 mekanik bendalir ii -...

Documents