aliran lapisan sempadan - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-… · bab 1 aliran...

Bab 1

ALIRAN LAPISAN SEMPADAN

1.1 Kelikatan

Kelikatan adalah sifat bendalir yang mengawal kadar alirannya. Ia terjadi disebabkan

oleh cohesion yang wujud di antara zarah-zarah bendalir yang boleh diperhatikan ketika

bendalir (cecair terutamanya) mengalir. Dalam mengkaji kesan kelikatan, dua anggapan

berikut perlu dibuat:

1. Tidak wujud gerakan relatif di antara bendalir dan sempadan pepejal apabila ben-

dalir bersentuhan dengan jasad pepejal. Zarah-zarah bendalir di dalam lapisan

yang bersebelahan bergerak dengan halaju sempadan pepejal; sekiranya jasad pe-

pejal itu pegun, maka halaju zarah-zarah di dalam lapisan sempadan yang berse-

belahan dengannya adalah sifar dan ini disebut keadaan tanpa geliciran.

2. Tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan berkadaran terus

dengan kadar terikan ricih di dalam arah yang berserenjang dengan gerakan, iaitu

jika dua lapisan bersebelahan bergerak dengan halaju relatif, u, maka kadar terikan

ricih ialah u/y:

τ ∝u

y

Kadar tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan juga berka-

daran dengan u/y, dengan y ialah jarak di antara kedua-dua lapisan.

1.1.1 Hukum Kelikatan Newton

Tegasan ricih, τ, ke atas sesuatu lapisan suatu bendalir adalah berkadaran terus dengan

kadar terikan ricih, u/y. Secara matematik,

τ ∝u

y

= µu

y(1.1a)

1

BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 2

dengan u/y ialah kadar terikan ricih (atau kecerunan halaju) dan µ [kg/(s m2)] ialah

pemalar kekadaran yang dikenali sebagai pekali kelikatan (atau pekali kelikatan mutlak,

atau pekali kelikatan dinamik).

1.1.2 Bendalir Newtonan

Persamaan (1.1a) lazimnya ditulis dalam bentuk kebezaan,

τ = µdu

dy(1.1b)

Bendalir yang mematuhi hukum ini dikelaskan sebagai bendalir Newtonan.

1.2 Daya-daya yang Terbentuk oleh Bendalir

Bergerak

Rajah 1.1: Daya-daya yang terbentuk oleh bendalir bergerak, Douglas et al. (2001).

1. Daya Angkat, FLDaya angkat adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir

ke atas suatu jasad yang berserenjang dengan gerakan relatif bendalir

FL = CL × 12ρU2

∞A (1.2)

dengan CL adalah pekali angkat.

2. Hela atau Daya Seret, FDHela adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir ke atas

suatu jasad yang selari dengan gerakan relatif bendalir.

Hela ke atas sesuatu jasad yang bergerakmenerusi sesuatu bendalir terdiri dari dua

komponen:


• hela geseran kulit, FF, dan

• hela bentuk atau hela tekanan, FP.

Rajah 1.2: Daya-daya yang memberikan hela tekanan dan hela geseran kulit, Douglas

et al. (2001).

Hela geseran kulit, FF, bergantung kepada daya-daya ricih yang bertindak di anta-

ramuka pepejal–bendalir, Rajah 1.2,

FF =∮

τ0 sin θ ds (1.3)

Sementara itu hela tekanan, FP, yang juga dikenali sebagai hela bentuk, bergantung

kepada taburan tekanan di sekeliling jasad, rujuk Rajah 1.2,

FP =∮

ps cos θ ds (1.4)

Jarang sekali kedua-dua komponen hela ini menjadi dominan secara serentak di

dalam sesuatu fenomena aliran. Untuk objek yang tidak menunjukkan kesan daya

angkat, kesan hela geseran kulit terlalu kecil, Rajah 1.3, dan biasanya diabaikan.

Gabungan hela geseran kulit dan hela bentuk atau hela tekanan dikenali juga seba-

gai hela susuk atau hela profail, FD. Jadi

FD =(

FF + FP

)

= CD × 12ρU2

∞A (1.5)

dengan CD adalah pekali hela dan A ialah luas jasad yang terunjur di atas satah yang

serenjang terhadap arah relatif gerakan.

Apabila jasad yang tenggelam di dalam aliran turut menghasilkan daya angkat,

hela teraruh berlaku.


(a) Hela geseran kulit dominan

(b) Hela tekanan/bentuk domin-

an

Rajah 1.3: Komponen-komponen utama hela susuk, Douglas et al. (2001).

1.3 Teori Lapisan Sempadan: Latarbelakang

Bagi aliran luaran, kesan kelikatan terhad kepada:

• suatu lapisan nipis bendalir (iaitu suatu lapisan sempadan) yang bersebelahan de-

ngan dinding, dan

• keracak1 di arus hilir jasad.

Bagi jasad garis arus2 seperti kerajang udara3, anggaran hela yang baik boleh diperolehi

denganmengkamilkan tegasan ricih di permukaan dinding. Untukmenganggar tegasan

ricih di dinding pula, kecerunan halaju di dinding mestilah diketahui. Ini memerlukan

penyelesaian lengkap medan aliran (iaitu satu penyelesaian bagi persamaan-persamaan

Navier-Stokes) di dalam lapisan sempadan.

Bagi plat rata lapisan sempadan bermula sebagai satu aliran laminar dengan ketebalan

sifar di tebing hadapan, atau dengan satu ketebalan terhingga di titik genangan sesuatu

objek tumpul atau suatu airfoil, rujuk Rajah 1.4.

Selepas satu jarak xT yang bergantung kepada

• halaju arus bebas, U∞,

• kelikatan, µ,

• kecerunan tekanan, dp/dy dan dp/dx,

1wake2streamline body3airfoil


Rajah 1.4: Lapisan sempadan di atas plat rate, Massey (1983).

• kekasaran dinding ǫ, dan

• tahap turun-naik arus bebas√u2/U∞,

aliran laminar ini akan mengalami suatu proses peralihan yang menyebabkan (selepas

suatu jarak pendek) aliran menjadi bergelora.

1.3.1 Tebal lapisan sempadan

Tebal lapisan sempadan, δ, ialah jarak tegaklurus terhadap permukaan badan tegar yang

diukur daripada permukaan badan ke bahagian aliran yang mempunyai halaju sama

dengan 99% halaju aliran arus bebas, rujuk Rajah 1.4.

1.3.2 Tebal Anjakan

Daya likat di dalam lapisan sempadan merencatkan aliran, jadi kadar aliran jisim yang

bersebelahan dengan permukaan pejal adalah lebih kecil dari kadar aliran jisim yang

mengaliri kawasan yang sama sekiranya lapisan sempadan tidak wujud.

• Kesusutan kadar aliran disebabkan oleh kesan daya likat ialah∫ ∞

0 ρ(U − u).

• Sekiranya lapisan sempadan tidak wujud, halaju di keratan rentas ini ialah U. Jika

sempadan pejal disesar sejauh δ∗, kadar aliran jisim akanmengalami kurangan atau

defisit sejumlah ρUδ∗.

Tebal anjakan, δ∗, ialah jarak yang mana sempadan pejal harus disesarkan dalam suatu

aliran tanpa geseran untuk memberikan kurangan kadar aliran jisim yang sama seperti

yang wujud di dalam lapisan sempadan;

ρU∞δ∗ =∫ ∞

0ρ(U∞ − u)dy (1.6)


Untuk aliran tak boleh mampat, ρ = pemalar dan

δ∗ =∫ ∞

0

(

1− u

U∞

)

dy (1.7)

≈∫ δ

0

(

1− u

U∞

)

dy (1.8)

Rajah 1.5: Tebal anjakan.

1.3.3 Tebal Momentum

Rencatan aliran di dalam lapisan sempadan juga menyebabkan pengurangan dalam

fluks momentum di keratan yang sepadan dengan aliran tak likat.

• Kurangan atau defisit momentum aliran jisim sebenar,∫ ∞

0 ρ u dy, menerusi lapisan

sempadan ialah∫ ∞

0 ρ u(U − u) dy.

• Sekiranya daya likat tidak wujud, sempadan pejal perlu di gerakkan sejarak θ un-

tuk menghasilkan kurangan momentum ρU2∞θ.

Tebal momentum, θ, ditakrifkan sebagai ketebalan satu lapis bendalir dengan halaju U∞

untuknya menghasilkan fluks momentum sebesar fluks momentum menerusi lapisan

sempadan;

ρU2∞θ =

∫ ∞

0ρu(U∞ − u)dy (1.9)

Untuk aliran tak boleh mampat, ρ = pemalar dan

θ =∫ ∞

0

u

U∞

(

1− u

U∞

)

dy (1.10)

≈∫ δ

0

u

U∞

(

1− u

U∞

)

dy (1.11)

(1.12)


Rajah 1.6: Tebal momentum.

1.3.4 Tebal Tenaga

Tebal tenaga, δ∗∗, ialah tebalnya bendalir diukur tegaklurus terhadap permukaan badan

tegar dan mempunyai fluks tenaga kinetik yang sama dengan tenaga kinetik yang hilang

akibat terbentuknya lapisan sempadan

δ∗∗ =∫ δ

0

ρu

ρ1U∞

[

1−(

u

U∞

)2]

dy (1.13)

Rajah 1.7: Tebal tenaga.

1.4 Asas Analisis Aliran Lapisan Sempadan

Di dalam lapisan sempadan, halaju susut daripada u = 0.99U∞ di y = δ ke u = 0 di

y = 0. Kesusutan yang berlaku dalam jarak yang sebegitu pendek membolehkan kita

menganggar susuk halaju, untuk aliran laminar dan gelora, dengan ketepatan yang baik.

Jika susuk halaju dianggap sebagai sudah diketahui,

1. persamaan keterusan, dan


2. persamaan momentum

akan dapat membantu kita meramal ketebalan lapisan sempadan dan tegasan ricih di

sempadan pepejal dan seterusnya daya geseran kulit.

Berikut ditunjukkan bagaimana kedua-dua persamaan ini diterbitkan bagi aliran likat di

dalam lapisan sempadan.

1.4.1 Persamaan Keterusan Aliran Likat

Isipadu kawalan ABCDEFGHdi dalam Rajah 1.8 di ambil dalam bentuk satu prisma segi

empat kecil dengan tepian dx, dy dan dz. Nilai-nilai min komponen halaju dalam arah x,

y dan z, masing-masing ialah u, v dan w.

Rajah 1.8: Keterusan dalam tiga dimensi.

Pertimbangkan aliran dalam arah-x,

Aliran jisim yang masuk menerusi ABCD per unit masa

= ρ u dy dz

Ketumpatan jisim ρ dan halaju u berubah dalam arah-x

Aliran jisim yang keluar menerusi EFGH per unit masa

=[

ρu +∂

∂x(ρu)dx

]

dy dz

Jadi

Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-x

=∂

∂x(ρu)dx dy dz

begitu juga

Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-y

=∂

∂y(ρv)dx dy dz


dan

Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-z

=∂

∂z(ρw)dx dy dz

Oleh itu

Jumlah aliran jisim per unit masa

=

[∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw)

]

dx dy dz

Di samping itu, ∂ρ/∂t adalah perubahan dalam ketumpatan jisim per unit masa,

Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa

= −∂ρ

∂tdx dy dz

Samakan

Jumlah aliran jisim per unit masa

= Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa

iaitu[

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw)

]

dx dy dz = −∂ρ

∂tdx dy dz

atau

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw) = −∂ρ

∂t(1.14)

Persamaan (1.14) boleh digunakan di sebarang titik di dalam aliran bendalir, samada

mantap atau tidak, boleh mampat atau tak boleh mampat. Bagi aliran tak boleh mampat,

ketumpatan ρ adalah malar dan persamaan (1.14) dipermudahkan menjadi

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (1.15)

Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (1.16)

1.4.1.1 Persamaan Keterusan Untuk Koordinat Silinder

Persamaan keterusan untuk sesuatu sistem koordinat silinder r, θ dan z, dengan r dan θ

diukur dalam satah yang sepadan dengan satah x–y bagi koordinat Cartesan, boleh di-

terbitkan menerusi hubungan-hubungan di antara koordinat kutub dan koordinat Car-

tesan:

r2 = x2 + y2y

x= tan θ


u = vr cos θ − vt sin θ v = vr sin θ + vt cos θ

∂

∂x=

∂

∂r

∂r

∂x+

∂

∂θ

∂θ

∂x

∂

∂y=

∂

∂r

∂r

∂y+

∂

∂θ

∂θ

∂y

Ini menjadikan persamaan (1.15)

1

r

[∂

∂r(rvr)

]

+1

r

∂vt∂θ

+∂w

∂z= 0 (1.17)

1.4.2 Persamaan Momentum Aliran Likat

Persamaan keterusan dalam bentuk kebezaan, persamaan (1.14), boleh diolah semula

sebagai

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw) = 0 (1.18)

Pecutan keseluruhan dalam arah-x boleh ditulis sebagai

du

dt=

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z(1.19)

Kadar perubahan momentum dalam arah-x boleh ditulis sebagai

∂Mx

dt= ρ dx dy dz

( ∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

(1.20)

Daya bersih dalam arah-x yang terdiri dari paduan daya jasad, tegasan normal dan te-

gasan ricih ke atas unsur bendalir ialah

∑ Fx = dx dy dz(

ρX − ∂σx∂x

+∂τyx

∂y+

∂τzx∂z

)

(1.21)

dengan X adalah daya jasad.

Oleh itu dari persamaan-persamaan (1.20) dan (1.21), bentuk umum persamaan momen-

tum dalam setiap dimensi boleh ditulis sebagai

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂y

)

︸︷︷︸

daya inersia=max

= ρX − ∂σx∂x

+∂τyx

∂y+

∂τzx∂z

︸︷︷︸

∑ Fx

(1.22)

ρ(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

︸︷︷︸

daya inersia=may

= ρY +∂τxy

∂x− ∂σy

∂y+

∂τzy

∂z︸︷︷︸

∑ Fy

(1.23)

ρ(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

︸︷︷︸

daya inersia=maz

= ρZ +∂τxz∂x

+∂τyz

∂y− ∂σz

∂z︸︷︷︸

∑ Fz

(1.24)


Dalam sebutan inersia, kadar-kadar perubahan halaju dengan kedudukan, iaitu(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂y

)

,

(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

dan

(

u∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

disebut pecutan konvektif, sementara kadar-kadar perubahan halaju dengan masa, iaitu

∂u

∂t,

∂v

∂tdan

∂w

∂t

disebut pecutan tempatan.

Persamaan-persamaan momentum, (1.22)–(1.24), di atas adalah terlalu umum dan tidak

boleh dikamirkan tanpa merujuk kepada rumus-rumus yang mentakrif semua sebutan

tegasan ricih dan tegasan normal ke permukaan unsur bendalir.

Bendalir Newtonan, walau bagaimana pun, mempamerkan ciri-ciri yang membolehkan

tegasan (ricih dan normal) dikaitkan dengan kecerunan halaju. Perubahan bentuk linear

ditakrif menerusi pekali kelikatan dinamik µ sementara perubahan bentuk isipadu pula

ditakrif menerusi pekali kelikatan kedua λ. Douglas et al. (2001) memberikan

σx = p− 2µ∂u

∂x− λ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

; τxy = µ(∂u

∂y+

∂v

∂x

)

(1.25)

σy = p− 2µ∂v

∂y− λ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

; τxz = µ(∂u

∂z+

∂w

∂x

)

(1.26)

σz = p− 2µ∂w

∂z− λ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

; τyz = µ(∂v

∂z+

∂w

∂y

)

(1.27)

Dalam praktis, kesan pekali kelikatan kedua, λ, adalah kecil; hipotesis Stokes memberi

anggaran λ = − 23µ, sementara tekanan pula diambil sebagai purata ketiga-tiga tegasan

normal dari persamaan-persamaan (1.25)–(1.27).

Untuk bendalir homogeneous, iaitu bendalir yang sifat-sifatnya tidak dipengaruhi oleh ke-

dudukan, gantian untuk sebutan-sebutan tegasan ricih dan normal dari persamaan (1.25)

serta menerusi hipotesis Stokes, bahagian kanan persamaan (1.22) boleh diolah semula

seperti berikut;

Bahagian kanan = ρX − ∂p

∂x+ 2µ

∂2u

∂x2

− 2

3µ

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

+ µ

[∂

∂y

(∂u

∂y+

∂v

∂x

)

+∂

∂z

(∂u

∂z+

∂w

∂x

)]

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2w

∂z2

)

+1

3µ

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

sementara bahagian kiri pula boleh ditulis dalam bentuk

Bahagian kiri = ρDu

Dt


Oleh yang demikian rumus untuk arah-x menjadi

ρDu

Dt= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

+1

3µ

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

(1.28)

dengan rumus bagi arah-y dan z mengambil bentuk yang serupa.

Jika aliran mantap dan tak boleh mampat, persamaan (1.28) boleh diterbitkan semula,

dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order kedua atau lebih, dalam ketiga-tiga

arah koordinat sebagai

ρDu

Dt= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

(1.29)

ρDv

Dt= ρY − ∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

(1.30)

ρDw

Dt= ρZ − ∂p

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)

(1.31)

Persamaan-persamaan (1.29)–(1.31) lebih dikenali sebagai persamaan-persamaan

Navier-Stokes. Bagi aliran laminar, tegasan-tegasan ricih adalah berkadaran terus de-

ngan kelikatan dan kadar terikan ricih, τx = µ(du)/(dy), untuk memudahkan penye-

lesaian persamaan-persamaan Navier-Stokes ini. Sebaliknya, di dalam aliran gelora,

tegasan-tegasan ricihnya lebih kompleks dan tiada model yang berupaya memberikan

penyelakuan yang menyeluruh.

Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi

persamaan-persamaan Navier-Stokes dikurangkan menjadi

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

(1.32)

ρ( ∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= ρY − ∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

(1.33)

1.4.2.1 Persamaan Kamilan Momentum von Karman

Pertimbangkan suatu isipadu kawalan infinitesimal, Rajah 1.9(a). Persamaan kamilan

keterusan membolehkan kita mencari matas. Untuk seunit kedalaman, persamaan kamil-

an keterusan diberikan oleh

matas = mkeluar − mmasuk

=∂

∂x

∫ δ

0ρ u dy dx (1.34)

Persamaan kamilan momentum berbentuk

∑ Fx = Mkeluar −Mmasuk −Matas


denganMmewakili fluksmomentumdi dalam arah-x. Denganmerujuk Rajah 1.9(c) dan

(d) serta mengabaikan sebutan-sebutan kuasa tinggi, persamaan di atas menjadi

−δ dp− τ0 dx =∂

∂x

∫ δ

0ρ u2 dy dx

−(

∂

∂x

∫ δ

0ρ u dy dx

)

U(x) (1.35)

Rajah 1.9: Isipadu kawalan untuk suatu lapisan sempadan, Potter & Wiggert (1997).

Bahagikan keseluruhannya dengan−dx

τ0 + δdp

dx= U(x)

d

dx

∫ δ

0ρu dy− d

dx

∫ δ

0ρu2 dy (1.36)

Persamaan (1.36) selalunya dirujuk sebagai persamaan kamilan von Karman.

Untuk aliran di permukaan plat rata dengan kecerunan tekanannya sifar, jadi dp/dx = 0

dan U(x) = U∞, persamaan kamilan von Karman dipermudahkan menjadi

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρuU∞ dy− d

dx

∫ δ

0ρu2 dy

=d

dx

∫ δ

0ρu(U∞ − u)dy (1.37)

Sekiranya ρ malar, persamaan (1.37) menjadi

τ0 = ρU2∞

dθ

dx(1.38)

dengan θ ialah ketebalan momentum.


1.5 Penyelesaian Lapisan Sempadan Laminar

1.5.1 Kaedah Tepat Blasius

Penyelesaian yang ditemui oleh Blasius pada tahun 1908 ini kadangkala dikenali juga

sebagai penyelesaian tepat. Untuk aliran mantap tanpa daya jasad dalam dua dimensi

dengan kecerunan tekanan sifar, persamaan keterusan menjadi

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (1.39)

sementara persamaan momentum atau persamaan Navier-Stokes pula mengambil ben-

tuk

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= ρX − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2(1.40)

dengan keadaan-keadaan sempadan berikut:

u = 0 di y = 0 (1.41a)

u = U∞ di y = δ (1.41b)

Blasius berpendapat bahawa susuk halaju, u/U∞, patut serupa untuk setiap nilai x, apa-

bila diplot melawan jarak tanpa dimensi daripada sempadan pepejal, katalah η. Untuk

tujuan ini, ketebalan lapisan sempadan, δ, dipilih sebagai parameter untuk menjadikan

jarak daripada sempadan pepejal tak berdimensi. Oleh itu penyelesaian adalah dalam

bentuk

u

U∞

= g(η) dengan η =y

δ(1.42)

Blasius mencadangkan bahawa δ ∼√

νx/U∞ dan menetapkan

η = y

√

U∞

νx(1.43)

Seterusnya menerusi fungsi arus, ψ, dengan

u =∂ψ

∂ydan v = −∂ψ

∂x(1.44)

yang memenuhi persamaan keterusan (1.39) dan dengan menggantikan u dan v ke da-

lam persamaan (1.40) kita dapat mengurangkannya kepada suatu persamaan yang ψ di

dalamnya adalah pembolehubah bersandar yang tunggal.

Jika kita mentakrifkan fungsi arus tanpa dimensi sebagai

f (η) =ψ√

νxU∞

(1.45)


f (η) menjadi pembolehubah bersandar dengan η sebagai pembolehubah tak bersandar

atau pembolehubah bebas di dalam persamaan (1.40). Dengan ψ ditakrif oleh persama-

an (1.45) dan η oleh persamaan (1.43) kita boleh menilai setiap sebutan di dalam persa-

maan (1.40).

Komponen halaju diberikan oleh

u =∂ψ

∂y=

∂ψ

∂η

∂η

∂y=

(dψ

d f

d f

dη

)∂η

∂y

u =√

νxU∞

d f

dη

√

U∞

νx= U∞

d f

dη(1.46)

dan

v = −∂ψ

∂x= −

[

√νxU∞

∂ f

∂x+

1

2f

√

νU∞

x

]

= −[

√νxU∞

d f

dη

(

−1

2η1

x

)

+1

2f

√

νU∞

x

]

v =1

2

√

νU∞

x

[

ηd f

dη− f

]

(1.47)

Dengan membezakan komponen-komponen halaju, kita boleh menunjukkan bahawa

∂u

∂x= −U∞

2xηd2 f

dη2dan

∂u

∂y= U∞

√

U∞

νx

d2 f

dη2

∂2u

∂y2=

U2∞

νx

d3 f

dη3

Gantikan ketiga-tiga persamaan di atas ke dalam persamaan (1.40) untuk mendapatkan

2d3 f

dη3+ f

d2 f

dη2= 0 (1.48)

dengan keadaan-keadaan sempadan

f =d f

dη= 0 pada η = 0, (1.49a)

d f

dη= 1 pada η = ∞ (1.49b)

Persamaan-persamaan kebezaan separa order kedua (rujuk persamaan (1.39), (1.40)) yang

mengawal pertumbuhan lapisan sempadan laminar di atas plat rata telah dijelmakan ke-

pada suatu persamaan kebezaan separa order ketiga tak linear (persamaan (1.48)) dengan

keadaan-keadaan sempadan yang berikan oleh persamaan (1.49).


Jadual 1.1: Fungsi f (η) untuk lapisan sempadan laminar se-

panjang suatu plat rata pada incidence sifar.

η = y

√

U∞

νxf f ′ =

u

U∞

f ′′

0 0 0 0.33206

0.4 0.02656 0.13277 0.33147

1.0 0.16557 0.32979 0.32301

1.4 0.32298 0.45627 0.30787

2.0 0.65003 0.62977 0.26675

2.4 0.92230 0.72899 0.22809

3.0 1.39682 0.84605 0.16136

3.4 1.74696 0.90177 0.11788

4.0 2.30576 0.95552 0.06424

4.4 2.69238 0.97587 0.03897

5.0 3.28329 0.99155 0.01591

5.4 3.68094 0.99616 0.00793

6.0 4.27964 0.99898 0.00240

6.4 4.67938 0.99961 0.00098

7.0 5.27926 0.99992 0.00022

Persamaan (1.48) tidak mungkin dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup; Blasius me-

nyelesaikannyamenerusi suatu “series expansion” yang kemudiannya diperbaiki olehHo-

warth dengan lebih jitu menggunakan kaedah berangka. Nilai-nilai berangka untuk f ,

d f/dη dan d2 f/dη2 diberikan di dalam Jadual 1.1 dan susuk halaju seperti yang ditun-

jukkan di dalam Rajah 1.10 akan diperolehi dalam bentuk tanpa dimensi dengan mem-

plot u/U∞ melawan η.

Rajah 1.10: Susuk halaju laminar dan gelora.

Daripada Jadual 1.1 kita boleh melihat bahawa η = 5.0, u/U∞ = 0.992. Dengan men-


takrif tebal lapisan sempadan, δ, sebagai nilai y apabila u/U∞ = 0.99, maka daripada

persamaan (1.43),

δ ≈ 5.0√U∞/νx

=5.0x√Rex

(1.50)

Tegasan ricih di sempadan pepejal ialah

τ0 = µ∂u

∂y

∣∣∣y=0

= µU∞

√

U∞

νx

d2 f

dη2

∣∣∣η=0

dengan itu

τ0 = 0.332U∞

√

ρµU∞

x= 0.332U∞

√

ρ2µU2∞

ρU∞x=

0.332ρU2∞√

Rex(1.51)

dan pekali geseran tempatan di sempadan pepejal, c f , diberikan oleh

c f =τ0

12ρU2

∞

= 0.332U∞

√

ρµU∞

x× 1

12ρU2

∞

=0.664√Rex

(1.52)

Jumlah daya geseran yang bertindak di keseluruhan permukaan dihitung menerusi

FF =∫ A

0τ0dA (1.53)

dan pekali geseran min untuk keseluruhan permukaan pula dikira mengikut

CF =FF/A12ρU2

∞

=

∫ A0 τ0 dA12ρU2

∞A=

1

A

∫ A0 τ0 dA12ρU2

∞

=1

A

∫ A

0c f dA (1.54)

Pekali geseran min untuk aliran dengan halaju arus bebas , U∞, di atas permukaan plat

rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi dengan menggantikan untuk τ0 dari-

pada persamaan (1.52) ke dalam persamaan (1.54):

CF =1

A

∫

A0.664Rex

−0.5 dA

=1

bL

∫ L

00.664

(U∞

ν

)−0.5

x−0.5 b dx

=0.664

L

(ν

U∞

)0.5 [ x0.5

0.5

]L

0

= 1.328

(ν

U∞L

)0.5

CF =1.328√ReL

(1.55)

Oleh kerana kecerunan tekanan di dalam lapisan sempadan dianggap sifar, hela bentuk

(atau hela tekanan) boleh diabaikan (iaitu FP = 0). Dengan itu, menerusi persamaan (1.5),

jumlah hela, FD, sama dengan hela geseran, FF, dan dengan yang demikian CD sama

dengan CF;

FD = FF + (FP = 0) = FF

CD = CF


1.5.2 Kaedah Anggaran

Kita tetapkan empat keadaan sempadan untuk susuk halaju yang dihajati

u = 0 pada y = 0 (1.56a)

u = U∞ pada y = δ (1.56b)

∂u

∂y= 0 pada y = δ (1.56c)

∂2u

∂y2= 0 pada y = 0 (1.56d)

Persamaan-persamaan (1.56a)–(1.56c) diperolehi daripada sketsa susuk halaju sementa-

ra persamaan (1.56d) pula datangnya daripada komponen-x persamaan Navier-Stokes.

Juga u = v = 0 di sempadan jasad pepejal, ∂2u/∂x2 = 0 di permukaan jasad, dan

dp/dx = 0 untuk aliran mantap yang sedang kita pertimbangkan.

Sebagai contoh, kita andaikan susuk halaju berbentuk polinomial kiub,

u

U∞

= A + By + Cy2 + Dy3 (1.57)

dengan A, B, C, dan D mungkin fungsi x. Menerusi empat keadaan sempadan di atas

kita melihat

A = 0 B =3

2δ

C = 0 D = − 1

2δ3

Oleh itu anggaran yang baik untuk susuk halaju di dalam aliran laminar ialah

u

U∞

=3

2δy− 1

2δ3y3 =

3y

2δ− y3

2δ3(1.58)

Kita seterusnya boleh menggunakan susuk halaju ini untuk mencari δ(x) dan τ0(x). Per-

samaan kamilan von Karman memberikan

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρ(3y

2δ− y3

2δ3

)(

1− 3y

2δ+

y3

2δ3

)

U2∞ dy = 0.139ρU2

∞

dδ

dx(1.59)

Di sempadan jasad pepejal, τ0 = µ∂u/∂y|y=0, atau dengan menggunakan susuk polino-

mial kiub, iaitu persamaan (1.58),

τ0 = µ( 3

2δU∞

)

(1.60)

Samakan persamaan (1.59) dan (1.60),

δ dδ =32µU∞

0.139ρU2∞

dx = 10.8ν

U∞

dx (1.61)


Dengan δ = 0 pada x = 0, persamaan (1.61) boleh dikamilkan untuk mendapat

δ = 4.65

√νx

U∞

=4.65x√Rex

(1.62)

dengan Rex ialah nombor Reynolds tempatan. Nilai δ ini digantikan ke dalam persama-

an (1.60) untuk mendapat tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal

τ0 = 0.323ρU2∞

√ν

xU∞

=0.323ρU2

∞√Rex

(1.63)

Tegasan ricih tempatan , τ0, dijadikan tanpa dimensi secara membahagikannya dengan12ρU2

∞; ini menghasilkan pekali geseran kulit tempatan sebagai:

c f =τ0

12ρU2

∞

=0.323ρU2

∞√Rex

112ρU2

∞

=0.646√Rex

(1.64)

Jika tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal ini dikamilkan sepanjang panjang, L,

daya seret disebabkan oleh geseran kulit di keseluruhan sempadan pepejal, FF, untuk

seunit lebar plat ialah

FF =∫ A

0τ0 dA =

∫ A

0τ0 (1× dx) =

∫ L

0τ0 dx

= 0.646ρU2∞

√

νL/U∞

= 0.646ρU2∞

√

νL2/U∞L

= 0.646ρU2∞L√

ν/U∞L

=0.646ρU2

∞L√ReL

(1.65)

Dari persamaan (1.54), pekali seretan untuk aliran dengan halaju arus bebas , U∞, di atas

permukaan plat rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi menerusi:

CF =1

A

∫ A

0c f dA

=1

A

∫

A0.646Rex

−0.5 dA

=1

bL

∫ L

00.646

(U∞

ν

)−0.5

x−0.5 b dx

=0.646

L

(ν

U∞

)0.5 [ x0.5

0.5

]L

0

= 1.292

(ν

U∞L

)0.5

CF =1.292√ReL

(1.66)

1.6 Penyelesaian Lapisan Sempadan Gelora

Terdapat dua kaedah penyelasaian kepada lapisan sempadan gelora—kaedah hukum

kuasa dan kaedah empirik. Kedua-duanya menggunakan data ujikaji. Kaedah yang


pertama yang dibincangkan di bawah lebih mudah sementara kaedah kedua pula dapat

memberikan lebih maklumat serta lebih tepat tetapi tidak akan dibincangkan di sini.

Di dalam aliran gelora, Rajah 1.11, jejak halaju menunjukkan pergolakan atau gincatan

halaju seketika, u, yang rambang sebagai hasil campur halaju min, u dan komponen

gincatan, u′,

u = u± u′

Oleh kerana aliran mantap, halaju min u tidak berubah dengan masa.

Rajah 1.11: Perubahan halaju dengan masa.

1.6.1 Kaedah Hukum Kuasa

Di dalam kaedah hukum kuasa kita menyesuaikan data untuk susuk halaju dengan per-

samaan hukum kuasa:

u

U∞

=(y

δ

)1/n: n =

7 Rex < 107

8 107 < Rex < 108

9 108 < Rex < 109

(1.67)

dengan

Rex =U∞x

ν

Selepas ini, persamaan von Karman boleh digunakan seperti yang telah digunakan un-

tuk mencari penyelesaian lapisan sempadan laminar, KECUALI ketika tegasan ricih di-

hitung. Bentuk hukum kuasa, persamaan (1.67), menghasilkan(

∂u

∂y

)

y=0

= ∞

jadi susuk ini memberikan keputusan yang kurang memuaskan, terutama untuk pengi-

raan tegasan ricih di sempadan pepejal. Jadi takrif

τ0 =

(

µ∂u

∂y

)

y=0


tidak digunakan, sebaliknya kita menggunakan hubungan empirikal—formula Blasi-

us—yangmenghubungkan pekali geseran tempatan dengan tebal lapisan sempadanme-

nerusi

c f = 0.046

(ν

U∞δ

)1/4

(1.68)

bagi mendapatkan

τ0 = 0.023ρU2∞

(ν

U∞δ

)1/4

(1.69)

Nota:

Satu lagi cara ialah dengan menghubungkan τ0 dengan c f menerusi persamaan

c f =0.646

Rex

Persamaan kamilan von Karman memberikan kita ungkapan yang kedua untuk τ0; gan-

tikan susuk halaju, persamaan (1.67) dengan Rex < 107, ke dalam persamaan

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρu(U∞ − u)dy

untuk memperolehi

τ0 =d

dx

∫ δ

0ρU2

∞

(y

δ

)1/7[

1−(y

δ

)1/7]

dy

=7

72ρU2

∞

dδ

dx(1.70)

Gabungkan kedua-dua ungkapan, persamaan (1.69) dan (1.70), untuk τ0 dan kita mem-

perolehi

δ1/4 dδ = 0.237

(ν

U∞

)1/4

dx (1.71)

Denganmenganggap aliran gelora daripada pinggir depan (iaitu L ≫ xT), kitamendapat

δ = 0.38 x

(ν

U∞x

)1/5

=0.38 x

Re1/5x

: Rex < 107 (1.72)

Gantikan ungkapan di atas ke dalam persamaan(1.68), kita mendapati bahawa

c f =0.059

Re1/5x

: Rex < 107 (1.73)


Dengan mengkamilkan

CF =1

A

∫ A

0c f dA

kita mendapat pekali geseran min sebagai

CF =0.073

Re1/5L

: Rex < 107 (1.74)

dengan

ReL =U∞L

ν

Rumus-rumus untuk δ, τ0, c f , CF dan FF di atas boleh digunakan untuk Rex ≈ 108 tanpa

ralat yang besar.

Jika panjang L tidak begitu besar dibandingkan dengan xT, katalah L = 3xT , bahagian

laminar turut mempengaruhi aliran di pinggir depan plat. Untuk kes sebegini, dengan

ReL < 107, pekali geseran min boleh diubahsuai sebagai

CF =0.073

Re1/5L

− 1060

ReL: Rec = 3× 105 (1.75a)

CF =0.073

Re1/5L

− 1700

ReL: Rec = 5× 105 (1.75b)

CF =0.073

Re1/5L

− 2080

ReL: Rec = 6× 105 (1.75c)

dengan Rec ialah nombor Reynolds genting di titik berlakunya peralihan

Rec =U∞xT

ν

Tebal anjakan, δ∗, dan tebal momentum, θ, masing-masing diberikan oleh

δ∗ =0.048 x

Re1/5x

(1.76)

θ =0.037 x

Re1/5x

(1.77)

aliran lapisan sempadan - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-… · bab 1 aliran...

Documents