Ứng dỤng phƯƠng phÁp tỌa ĐỘ trong khÔng gian ĐỂ …

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI HHKG

“ Đại số hóa hình học “

Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG

“ Phương pháp là thầy của các thầy “

Email: [email protected]

Bỉm sơn: 11 – 02 – 2014

https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ

GIẢI HHKG I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (quan trọng là gốc tọa độ O) Thích hợp có nghĩa là phải căn cứ vào các cặp cạnh vuông góc để từ đó xác định được gốc tọa độ thích hợp, thông thường dựa vào đặc điểm của hình như hình chóp đều, cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên vuông góc với đáy, hay đáy là hình gì…. Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Để xác định được tọa độ các điểm các bạn phải tính được độ dài các cạnh (khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ) hay hình chiếu các điểm đó xuống các cạnh hay mặt phẳng Xem điểm đó thuộc cạnh trục nào, mặt phẳng nào, hay không thuộc mặt phẳng nào, chiều dương hay âm của các trục Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào: - Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). - Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ, tịnh tiến - Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. - Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán. Ưu điểm: Chỉ cần xác định đúng các tọa độ các điểm, áp dụng các kiến thức về hình giải tích như thể tích, diện tích, góc, khoảng cách…, ngoài ra còn ôn lại được các kiến thức về hinh giải tích như viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu… Nhược điểm: Tính toán cồng kềnh, phức tạp làm học sinh dễ nản Chú ý: Vì nhược điểm của bài toán nên khi tính toán chúng ta nên chọn các điểm có tọa độ liên quan nhiều đến số 0 và tận dụng các câu có mối liên quan tới nhau để đỡ mất công tính toán và khi tính các vtvp hoặc vtcp ta chọn sao cho các vecto đó đơn giản dễ tính. Mặt khác phải biết kết hợp các công thức giữa tọa độ và không gian Các dạng toán thường gặp: Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … Định lượng: - Độ dài đoạn thẳng: 2 2 2| | ( ) ( ) ( )B A B A B AAB AB x x y y z z

- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 0 0 00 2 2 2

( ; )Ax By Cz D

d MA B C

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: 0 1

1

;( , )

M M ud M

u

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: ' '

0 0

1 2 '

, .( , )

,

u u M Md

u u

Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]


'

'

, ..( , )

,

AB CD ACd AB CD

AB CD

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

1 2 1 2 1 1

1 2 2 1 2 2

, , ,

, , ,

d P P d M P M P

d P P d M P M P

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

1 2 1 2 1 1

1 2 2 1 2 2

( , ) , ,

( , ) , ,

d d M M

d d M M

- Khoảng cách giữa một đường thẳng song song với một mặt phẳng: , , ,d P M P M

- Góc giữa hai đường thẳng: 1 1

1 1

.cos

u u

u u

Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng: ',

cos.

AB CD

AB CD

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: .

sin.

n u

n u

- Góc giữa hai mặt phẳng: 1 2

1 2

.cos

.

n n

n n

- Thể tích khối tứ diện: 1 . ; .6ABCDV AB AC AD

hoặc 1 . .

3ABCD BCDV S AH với ,AH d A BCD

+ Thể tích hình hộp: ' ' ' ''

.; .ABCD A B C DV AB AD AA

- Diện tích thiết diện

+ Diện tích của tam giác: 1 . ;2ABCS AB AC

+ Diện tích hình hình hành: ;ABCDS AB AD

Thể tích hoặc diện tích của một hình hỗn hợp thì ta chia thể tích thành các phần nhỏ hơn và cộng lại Bài toán cực trị, quỹ tích. …… Sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức, ứng dụng của đạo hàm….. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; (0; ;0)A O B a C a a D a '(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a

Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; (0; ;0)A O B a C a b D b



'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; '(0; ; )A c B a c C a b c D b c Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHA – 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc , biết 1cos6

.

Giải: Tọa độ của các đỉnh còn lại : 1;1;0 , ’ 1;01 , ’ 0;1;1 , ’ 1;1;1C B D C

a. Ta có : 1' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;12

A C MN A M

Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN là :

' , '

' ,' ,

A C MN A Md A C MN

A C MN

Hay :

2 2 2

1 1 1 11 31 0 0 12 32’ ,

1 1 2 21 1 1 1 1 11 0 0 0 0 1

d A C MN

b. Mặt phẳng (Oxy) có 0;0;1n k

. Mặt phẳng (P) có dạng : 0ax by cz d (P) qua A’(0;0;1) thì : 0c d (P) qua C(1;1;0) thì : 0a b d . Từ đó suy ra : : 0 1c d P ax by cz c

Như vậy : ; ;Pn a b c

. Theo giả thiết :

.1 1 2 2 2 2 2 2 2cos 6 5 2

2 2 26 6

n k cP c a b c a b cn k a b cP

Như vậy : 22 2 2 2 22 2 2 05 2 05

b a ca b c b a c b a ca c a ca b c a ac ca a c c

2( ) : 2 0 2 1 0

( ) : 2 0 2 1 02 2

b a c b aP ax ay az a x y z

c a c ab a c b c

P cx cy cz c x y za c a c

Bài 2: (ĐH – B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. HD: Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A O B a C a a a

M

z

y

x

A

B C

D

A’

B’ C’

D’

N



'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a a. Tính khoảng cách

2 2 2

' ;0; , ' ; ; , ' ' ;0;0

' , ' ;2 ;

' , ' , ' ' 6' , '6' , '

A B a a B D a a a A B a

A B B D a a a

A B B D A B ad A B B DA B B D

b. Tính góc

;0; , ; ;0 , 0; ; ; ; , ' ;0; . ' '2 2 2 2 2 2a a a a a aM a N a P a MP a NC a MP NC MP C N

Đáp số: a. 66

a b. ' .MP C N

Bài 3: (ĐH A – 2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A /B/C/D/ có A trùng với gốc của hệ tọa độ biết B(a;0;0), D(0;a;0), A/(0;0;b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC /. a. Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a và b.

b. Xác định tỷ số ab

để hai mặt phẳng (A/BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

HD:

Ta có ; ;0 , ' ; ; , ; ; ; ;0 , 0; ; ; ' ;0;2 2b bC a a C a a b M a a BD a a BM a BA a b

a. Tính thể tích 2

2

'2

, ; ;12 2 , . '6 63, . '

2

BDA M

ab abBD BM aa bV BD BM BA

a bBD BM BA

b. Xác định tỉ số

2 2', ; ; ; , ' ; ;

2 2BDM A BDab abn BD BM a n BD BA ab ab a

Mặt phẳng 2 2 2 2

4'' . 0 0 1

2 2BDM A BDa b a b aBDM A BD n n a a b

b

Đáp số: a. 2

4a b b. 1.a

b

Bài 4: (ĐH – D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Giải:

A’AC vuông cân tại A. Ta có ' ' ,22 2 2

a a aA C a AC AA BC AD AB

Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0A O , ;0;0 , 0; ;0 , ; ;02 2 2 2a a a aB Ox D Oy C

' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ;2 2 2 22 2 2 2

a a a a a a a aA Oz B Oxz C D

Ta có



2

3

' '3

;0;02

, ' 0; ;01 12 2' ;0; , ' . ' .

2 6 62 4 2, ' . '

4 2' ; ;2 2 2

ABB C

aABaAB AB

a a aAB V AB AB ACaAB AB AC

a a aAC

3 248

a

Ta có 2 2 2

0; ;02

, ' ;0; 2;0;14 42 2' ; ;

2 2 2

aBCa a aBC BD

a a aBD

Mặt phẳng (BCD’) đi qua B và có vtpt 2;0;1n

có phương trình

2 1 0 0 2 02 2a ax z x z

Khoảng cách 2

2

62, ’62 1

aad A BCD

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – A1 – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A1(0;0; 2 ). a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P). b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). HD: Tìm được tọa độ 2;0;0 ,C Ox

a. Mặt phẳng : 2 1 0P x y z . Phương trình hình chiếu: 1

2 2

x ty t

z t

b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C thì chứa AC1. Do tam giác AAC1 vuông cân nên mặt phẳng (Q) cắt BB1 và CC1 tại các trung điểm E và F AE cắt A1B tại J, AF cắt A1D tại K. Thiết diện là tam giác IJK Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D có A(0;0;0), B(2;0;0), D1(0;2;2). a. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương

1 1 1 1.ABCD A B C D . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc với nhau . b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N A ) đến hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Hướng dẫn giải: Ta có 0;0;0 ; 2;0;0 ; 2; 2;0 , 0;2;0A B C D ;

1 1 1 10;0;2 ; 2;0; 2 ; 2; 2;2 ; 0;2; 2A B C D

Mặt phẳng 1 1AB D có cặp vtcp là: 1 2,0, 2AB

; 1 0, 2, 2AD



Mặt phẳng 1 1AB D có vtpt là 1 11 , 1, 1,14

u AB AD

Mặt phẳng 1AMB có cặp vtcp là: 2,1,0AM

với

2,1,0M ; 1 2,0, 2AB

Mặt phẳng 1AMB có vtpt là 1 , 1, 2, 12

v AM AB

Ta có: 1 1 1. 1 1 1 2 1 1 0u v u v AB D AMB

b. 1 2, 2, 2AC

Phương trình tham số 1 :x t

AC y tz t

, 1 , ,N AC N t t t

Phương trình 1 1 : 0 0 0 0 0AB D x y z x y z

1 1 1,3 3

t t t td N AB D d

Phương trình 1 : 0 2 0 0 0 2 0AMB x y z x y z

1 2

2 2,

1 4 1 6t t t t

d N AMB d

1

2

6 6 232 2 23 2 3

6

ttd

td t

Vậy tỉ số khoảng cách từ 1 0N AC N A t tới 2 mặt phẳng 1 1AB D và 1AMB không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Bài 3: (ĐHDB – A1 – 2006) Cho hình hộp đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có các cạnh

3, '2

aAB AD a AA và góc 60 .oBAD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh ' 'A D

và ' '.A B Chứng minh 'AC vuông góc với mặt phẳng .BDMN Tính thể tích khối chóp . .A BDMN Hướng dẫn giải: Vì AB AD a và góc 60oBAD ABD là tam giác đều nên đáy là hình thoi Gọi O là tâm hình thoi qua O dựng / / 'Oz AA Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0O là gốc tọa độ

3;0;0 ; ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ' ;0;2 2 2 2 2 2

3 3 3' 0; ; ; ' 0; ; ; ' ;0;2 2 2 2 2 2

a a a a a aA Ox C Ox D Oy B Oy A Oxz

a a a a a aD Oxz B Oxz C Oxz

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh ' 'A D và ' 'A B 3; ;4 4 2a a aM

;

3; ;4 4 2a a aN

Tính 'A C

và tính vecto pháp tuyến của mặt phẳng BDMN là ,n BD BM

. Chứng minh ' / /A C n

Tính thể tích khối chóp33.

16ABDM ABDNaA BDMN V V



Bài 4: (ĐHDB – D2 – 2006) Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng a và điểm K thuộc

cạnh 'CC sao cho 23

CK a . Mặt phẳng ( ) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương

thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

Đáp số: 3

1 3aV ;

3

223aV

Dạng 2: Với hình chóp đều 1. Hình chóp tam giác đều S. ABC Dấu hiệu: Đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h .

3 1 3,2 3 6

a aCI HI CI

Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0I

Khi đó : ;0;0 ; ;0;02 2a aA Ox B Ox

3 30; ;0 ; 0; ;2 6

a aC Oy S h Oz

Hoặc: Chọn hệ trục sao cho 0;0;0H O

Tính 3 3 3 3, 2 2 3 6

a a aCI AB CH HI

Khi đó 3 3; ;0 ; ; ;02 6 2 6a a a aA Ox B Ox

3 3 30; ;0 ; 0; ; ; 0; ;03 6 6

a a aC Oy S h Oz I Oy

Hoặc: Từ A ta dựng hai đường thẳng / / , / /Az SH Ax BC Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho

0;0;0 ,A O3 3 3; ;0 , ; ;0 , 0; ;

2 2 2 2 3a a a a aB Oxy C Oxy S h Oz

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

3 3 3 3, 2 2 3 6

a a aAI BC OA OI

Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

z

a

x

y

hMN

O

IC

A

B

S



O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 3 ; 0; 03

aA

3 ; 0; 06

aI

, 3 ; ;06 2

a aB

,

3 ; ; 06 2

a aC

, 3 ; ;12 4 2

a a hM

và 3 ; ; 12 4 2

a a hN

.

2

( )5 3, ; 0;

4 24AMN

ah an AM AN

,

2

( )3, ; 0;

6SBC

an SB SC ah

2 22

( ) ( )5 1 10( ) ( ) . 0 , 12 2 16

AMN SBC AMNa aAMN SBC n n h S AM AN

Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2003) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 0(0 90 ) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Giải: Vì S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

2 33 3

aAO AM và 36

aOM

,AM BC SM BC SMA

SOM vuông có: 3.tan tan6

aSO OM

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc,

0;0;0 ,A 3 3; ; 0 , ; ; 02 2 2 2a a a aB C

3 3 3 30; ; 0 , 0; ; 0 , 0; ; tan2 3 3 6

a a a aM O S

Thể tích hình chóp: 31 tan. .

3 24ABCaV SO S

Ta có: 3 3; ; tan , ( ;0;0)2 6 6a a aBS BC a

2 23 3; 0; tan ;6 6

a aBS BC n

Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến :n

2 23 3 3tan ( 0) 0

2 6 2 6a a a aO x y z

3( ) : tan tan 0.2

aSBC y z

Khoảng cách d từ A đến (SBC):

2

3 3tan . tan tan2 32 sin .1 2tan 1

cos

a aO Oad

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐH – B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. Đáp số: Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) . 0SC n

với ,n BH BA

C

M

B x

A

z

S

O y



37 1196SABH

aV

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. Hướng dẫn: Gọi H là tâm của tam giác ABC vì M là trung điểm của BC

Ta có: ( deu)

SA SB SCHA HB HC ABC

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc (0; 0; 0),A

3 3 3 3; ; 0 , ; ; 0 , 0; ; 0 , 0; ;2 2 2 2 2 3a a a a a aB C H S h

.

3 3 30; ; , ; ; , ; ;3 2 6 2 6

a a a a aSA h SB h SC h

2

13 3[ ; ] ; ; (3 3; 3 ; 3) . ,

2 2 6 6 6ah ah a a aSA SB h h a n

với 1 (3 3; 3 ; 3)n h h a

2

23 3[ ; ] ; ; (3 3; 3 ; 3) . ,

2 2 6 6 6ah ah a a aSA SC h h a n

với 2 (3 3; 3 ; 3)n h h a .

Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương ;SA SB

nên có pháp vectơ 1n .

Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương ;SA SC

nên có pháp vectơ 2n .

1 2( ) ( ) cos( ; ) 0SAB SAC n n

2 2 2

2 2

3 3.3 3 3 .3 3( 3) 0 27 9 3 0

618 3 .6

h h h h a a h h a

ah a h

Vậy khoảng cách cần tìm là 6 .6

ah

2. Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD Dấu hiệu: Đáy là hình vuông, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO h và đường chéo 2a Chọn 0;0;0O là tâm của hình vuông và là gốc tọa độ

Khi đó : 2 2;0;0 ; ;0;02 2

a aA Ox C Ox

2 20; ;0 ; 0; ;0 ; 0;0;2 2

a aB Oy D Oy S h Oz

Hoặc: Trục / /Ox AD , / /Oy BC

Khi đó ; ;0 ; ; ;02 2 2 2a a a aA Oxy C Oxy

S z

A

z H

B

M y

C



; ;0 ; ; ;0 ; 0;0;2 2 2 2a a a aB Oxy D Oxy S h Oz

Hoặc: Lấy một đỉnh bất kỳ và dựng đường thẳng song song với SO Giả sử từ A ta dựng / /Az SO . Chọn hệ trục như sau

0;0;0A O , ;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , ; ;2 2a aD a Ox B a Oy C a a Oxy S h

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Chọn hệ trục tọa độ 0;0;0O , 2 ;0;02

aA Ox

, 2 ;0;02

aC Ox

20; ;02

aB Oy

, 20; ;02

aD Oy

, 0;0;S h Oz

Gọi H là trung điểm của SA 2 ;0;4 2

a hH

E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA 2 2; ;

2 2a aE h

M là trung điểm của AE 2 2; ;2 4 2

a a hM

N là trung điểm của BC 2 2; ;04 4

a aN

Chứng minh MN vuông góc với BD

3 2 ;0;4 2 . 0

0; 2;0

a hMNMN BD MN BD

BD a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

2

3 2 ;0;24 2 , 0; ;0

22;0;0

,2 40; ;4 2

a hMNahMN AC

AC aa hMN AC MAa hMA

2

, 24,42,

2

a hMN AC MA ad MN AC

ahMN AC

z S

x A B y

C D

O

h



Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – D1 – 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Đáp số: 3

2 2

2 .3 16

a bVa b

Bài 2: (ĐH – B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ( 00 < < 900 ) . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và .

Đáp số: tan 2 tanSMO và 3.

2 tan6S ABCDV a

Dạng 3. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy A. Hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) 1. Đáy là một hình chữ nhật ABCD Dấu hiệu: Các cạnh của hình chữ nhật vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: ABCD là hình chữ nhật ;AB a AD b chiều cao bằng SA h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0A O

Khi đó : ;0;0 ; ; ;0B a Ox C a b Oxy ;

0; ;0 ; 0;0;D b Oy S h Oz 2. Đáy là một hình thoi ABCD Dấu hiệu: Hai đường chéo vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng SA h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0O là tâm hình thoi và là gốc tọa độ, từ O dựng / /Oz SA Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OC, OD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D và suy ra tọa độ điểm S với , ; ,A C Ox B D Oy Hoặc: ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0A O , qua A dựng / /Ay BD

0;0;S Oz S h . Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OA, OB từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D 3. Đáy là hình thang vuông tại A, D (tương tự với B, D) Dấu hiệu: Hình thang vuông tại A, D và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng SA h Chọn hệ tọa độ sao cho 0;0;0A O ; 0;0;S Oz S h Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với

; ,D Oy B Ox C Oxy Hoặc: ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng SA h Chọn hệ tọa độ sao cho 0;0;0D O ; / /Dz SA



Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với ; ,A Oy C Ox B Oxy

4. Đáy là hình vuông ABCD (thiết lập tương tự như hình thoi hoặc hình chữ nhật) Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang 090ABC BAD , BA = BC = a , AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho

0;0;0 , 0; ;0 , 2 ;0;0 , ; ;0 , 0;0; 2A O B a Oy D a Ox C a a Oxy S a Oz

0; ; 2SB a a

. Đường thẳng SB đi qua B và có vtcp SB

nên có 0

:

2

xSB y a at

z a t

.

Gọi H là hình chiếu của A trên SB 0; ; 2 0; ; 2H SB H a at a t AH a at a t

Ta có 2 2 2 1 2 2. 0 2 0 0; ;3 3 3

a aAH SB a a t a t t H

Chứng minh tam giác SCD vuông

Ta có

; ; 2. 0

; ;0

CS a a aCS CD CS CD CSD

CD a a

vuông tại C

Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Mặt phẳng (SCD) đi qua C và có vtpt 2 2 2 2. 2; 2;2 2 1;1; 2n CS CD a a a a

có phương

trình 1 1 2 0 0 2 2 0x a y a z x y z a

2 22 23 3

,31 1 2

a a aad H SCD

Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0A O , ;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;B a Ox D a Oy C a a Oxy S a Oz Gọi E là trung điểm của cạnh CD

2

2 2; ;0 ; ;0 , ;0; , ; ;2 2 2a a aE a BE a SB a a SB BE a a

4 24 4

2

22

3, 3 54 2,

5524

a aa aSB BE ad S BEaBE a a



Bài 3: (ĐH – A 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết 2;0;0 , 0;1;0 ,A B 0;0; 2 2 .S Gọi M là trung

điểm của cạnh SC. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN. HD: a. O là trung điểm BD 0; 1;0D ; O là trung điểm AC 2;0;0C

M là trung điểm SC 1;0; 2M ( 2;0;2 2)SA

; ( 1; 1; 2)BM

;

Gọi là góc nhọn tạo bởi SA và BM : cos = 2 0 4 3

24 8 1 1 2

= 300

Gọi ( ) là mặt phẳng chứa SA và // BM. Suy ra PT : : 2 2 2 0x z

Ta có : 2 6, ,3

d SA BM d B

PT mp (ABM): 2 2 2 3 2 2 0x y z

PT tham số SD: 0

1 ( )

2 2

xy t t R

z t

Tọa độ điểm N = SD (ABM) 10; ; 22

N

(0; 1;2 2)BS

; (2; 1;0)BA

; 30; ; 22

BN

; ( 1; 1; 2)BM

, (2 2;0;0)BS BN

; , . 4 2BS BN BA

; , . 2 2BS BN BM

Vậy VSABMN = VSABN + VSMNB = 1 1.4 2 .2 2 26 6

(đvdt)

Bài 4: (ĐH – B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho

0;0;0 , ;0;0 , 0; 2;0 ,

; 2;0 , 0;0;

A O B a Ox D a Oy

C a a Oxy S a Oz

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC 2 20; ;0 ; ;

2 2 2 2a a a aM N

Đường thẳng BM đi qua điểm M và có vtcp

2; ;0 2; 1;02 2

a aBM a

có phương trình2

:0

x a tBM y t

z

z

S

x

B C

y

D N M A

I



Đường thẳng AC đi qua A và có vtcp ; 2;0 1; 2;0AC a a a

có phương trình

'

: 2 '0

x t

AC y tz

Tọa độ điểm I BM AC là nghiệm của phương trình

22 ' 23 ; ;0

3 32 ' '3

ata t t a aIat t t

Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).

Mặt phẳng (SAC) có vtpt

2 2; 2;0

, 2; ;00;0;

SAC

AC a an AC AS a a

AS a

Mặt phẳng (SBM) có vtpt

2 22

;0;2 2, ; ;2 2 2; ;0

2SBM

BS a aa an BS BM aaBM a

Vì . 0SAC SBMn n SAC SBM

Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

2 2

3

3

;0;0 2, 0; ;2 22 1 2; ; , .

2 2 2 6 362, .62; ;0

3 3

ANBI

AB B a a aAB ANa a a aAN V AB AN AI

aAB AN AIa aAI

Chú ý: Có thể nhận xét nhanh I là AC và BM nên I là trọng tâm của tam giác ABD 2; ;0

3 3a aI

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – B1 – 2006) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ,a 60 ,oBAD SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA a . Gọi 'C là trung điểm của SC . Mặt phẳng P đi qua

'AC và song song với ,BD cắt các cạnh ,SB SD của hình chóp lần lượt tại ', '.B D Tính thể tích của khối chóp . ' ' '.S AB C D

Đáp số: 3

. ' ' '3

18S AB C DaV

Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho

0( , ) 60SAB SBC . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC.

Đáp số: 3

.6

12S ABCRV

Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.



Đáp số: 3

.3

6S ACDaV và 1cos

2 2

Bài 4: (ĐHDB – A2 – 2006) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .o Trên cạnh

SA lấy điểm M sao cho 33

aAM . Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại điểm N . Tính thể tích khối

chóp . .S BCNM

Đáp số: 3

.10 3

27S BCNMaV

Bài 5: (ĐHDB – B1 – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = 2a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD . Chứng minh ( )SC AHK và tính thể tích hình chóp OAHK.

Đáp số: 3 227OAHK

aV

B. Hình chóp S.ABC có SA (ABC) 1. Đáy là tam giác vuông tại A (bài toán tam diện vuông) Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại A và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại A có ;AB a AC b đường cao bằng SA h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0A O

Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0B a Ox b Oy ; 0;0;S h Oz 2. Đáy là tam giác vuông tại B (tương tự vuông tại C) Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại B có ;BA a BC b đường cao bằng SA h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0B O , dựng / /Bz SA

Khi đó : ;0;0 ; 0; ;0A a Ox C b Oy ; ;0;S a h Oz Hoặc: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0A O , dựng / /Ay BC

Khi đó : ;0;0 ; ; ;0B a Ox C a b Oxy ; 0;0;S h Oz Hoặc: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0A O , dựng / /Ay BI , với I là trung điểm của AC

2 2

2 2AC b aAI BI

Khi đó : 2 2 2 2

2 2 ;0;0 ; ; ;02 2

b a b aC b a Ox B Oxy

; 0;0;S h Oz

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHDB – D2 – 2002) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng

62

aSA .

Giải:



Gọi I là trung điểm của BC. Chọn hệ trục như hình vẽ:

0;0;0I O , 3 3 6;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;2 2 2 2 2a a a a aC Ox B Ox A Oy S Oz

Ta có

2 2 2

;0;06 3 3, 0; ; 0; 2; 13 6 2 2 2; ;

2 2 2

BC aa a aBC BSa a aBS

Mặt phẳng (SBC) đi qua B và có vtpt 0; 2; 1n

có phương trình

0 2 0 1 0 0 2 02ax y z y z

Khoảng cách 2

2

32.2 2,

22 1

aad A SAC

Bài 2: (ĐHDB – D1 – 2003) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a . Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0B O , ;0;0 , 0; 2 ;0 , ;0;2A a Ox C a Oy S a a Oxz

M là trung điểm của SC ; ;2aM a a

.

Ta có ; ;

2 32

; ;2

aMA a aaMA MB MAB

aMB a a

cân tại M

Mặt khác 2

2 2 1 2, 0; ; ,2 2AMB

aMA MB a a S MA MB

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại B có:

2 2 2 2 2 24 5 5AC AB BC a a a AC a Dựng ( ),BH AC H AC ta có:

2 2

5 5AB a aAHAC a

2 2 2 2

1 1 1 54BH AB BC a

2

5aBH

Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với 2(0;0;0), (0; 5;0), (0;0;2 ), ; ;0

5 5a aA C a S a B

Tọa độ trung điểm M của SC là 50; ;2

aM a

Ta có: 5 30; ;2 2

a aMA a MA

2 3 3; ; .25 2 5

a a aMB a MB

Suy ra: MA = MB tam giác MAB cân tại M.

z S

2a

M

C y

a 5 H

B

A

K x a

5



Ta có: 2 2

2 22[ ; ] ; ; [ ; ] 25 5

a aMA MB a MA MB a

Diện tích tam giác MAB: 2

21 1 2[ ; ] . 2 .2 2 2MAB

aS MA MB a

Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2004) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ở B bằng 1200 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Giải: Gọi I là trung điểm của AC.

Ta có trong tam giác vuông ABI tại I có 0

0

cos30 . 3sin 30 .

AI CI AB aBI AB a

Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0I O , 3 ;0;0 , 3 ;0;0 , 0; ;0 , 3 ;0;3C a Ox A a Ox B a Oy S a a Oxz

Ta có 2 2 2 2

3 ; ;3, 3 ;3 3; 2 3 3 3;3; 2

3 ; ;0

BS a a aBS BC a a a a

BC a a

Mặt phẳng (SBC) đi qua điểm B và có vptp 3;3;2n

có phương trình là

3 0 3 2 0 0 3 3 2 3 0x y a z x y z a

Khoảng cách 2

2 2

3 . 3 3 6 3,4 23 3 2

a a a ad A SBC

Bài 4: (ĐH – D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Giải: Gọi I là trung điểm của BC. Chọn hệ trục như hình vẽ:

0;0;0I O , 3 3;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;22 2 2 2a a a aC Ox B Ox A Oy S a Oz

Đường thẳng SB đi qua điểm B và nhận vecto 3; ; 22 2a aSB a

làm vtcp nên có phương trình

3: ; ; 22 2 2a a aSB x t y t z at

Gọi M là hình chiếu của A trên SB M

Đường thẳng SC đi qua điểm C và nhận vecto 3; ; 22 2a aSC a

Gọi M là hình chiếu của A trên SC N Thể tích khối chóp A.BCNM

.A BCNM ABCM ABCNV V V Bài tập tự giải: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông có AB = AC = a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC) và 22

aSA .

a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm của cạnh BC.



Hướng dẫn: Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O (0;0;0)A , B(a;0;0),

C(0;a;0), 2(0;0; )2

aS

a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC): Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là (1;0;0)i

Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương: 2 2( ;0; ); (0; ; )

2 2a aSB a SC a

Ta có 2 2 2

22 2 2, ; ; (1;1; 2)2 2 2

a a aSB SC a

nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến (1;1 2)n

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ta có:

0. 1 1cos 60

21 1 2.

i n

i n

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:

Vì I là trung điểm của BC ; ;02 2a aI

nên ta có:

2 2 2

3

4 4 4 2

2 2 2 2; ;0 , 0; ; , , ; ; , 0;0;2 2 2 4 4 2 2

2, .4

,8 8 4 2

a a a a a a aAI SC a AI SC AS

aAI SC AS

a a a aAI SC

Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AI và SC là:

3

2

, . 2 2( , ) .4 2,

AI SC AS a ad AI SCaAI SC

Dạng 4: Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy (hoặc mặt bên là tam giác vuông cân, vuông, đều, cân) A. Hình chóp S.ABCD có (SAB) (ABCD) Dấu hiệu: Đáy là hình vuông và mặt bên vuông góc với đáy nên từ S hạ SH vuông góc với AB Cách chọn: ABCD là hình vuông cạnh a, dựng / /Az SH với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho

0;0;0A O , ;0;0B Ox B a , 0; ;0D Oy D a , ; ;0C Oxy C a a , để tọa độ điểm S ta tính đoạn SH và HA Hoặc: ABCD là hình vuông cạnh a, dựng / /Hy BC với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho

0;0;0H O , tính độ dài đoạn HA, HB, SH từ đó suy ra tạo độ các điểm còn lại với B Ox , D Oy ,

,C Oxy S Oz

z

x

y A

S

B

C

I



Trường hợp đặc biệt khi các mặt bên là tam giác đều, tam giác cân thì ta dễ dàng tìm tọa độ các điểm Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. HD: Vì mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy nên gọi H là tung điểm của AD thì SH AD

Chọn hệ trục tọa độ 0;0;0H O , ;0;02aD Ox

, ;0;0

2aA Ox

, ; ;0

2aB a Oxy

; ;02aC a Oxy

, 30;0;

2aS Oz

M là trung điểm của SB 3; ;4 2 4a a aM

, N là trung điểm của BC 0; ;0N a

P là trung điểm của CD ; ;02 2a aP

Chứng minh AM vuông góc với BP 3; ;

4 2 4. 0

; ;02

a a aAMAM BP AM BP

aBP a

Tính thể tích của khối tứ diện CMNP

2

3

3

3 3; ;4 2 4 3, 0; ;0

8;0;0

2 3, .160; ;0

2

1 1 3 3, . .6 6 16CMNP

a a aCMaCM CN

aCNaCM CN CPaCP

a aV CM CN CP

3

96

Đáp số: VCMNP =33

96a .

Chú ý: Có thể chọn hệ tọa độ như sau: Qua A dựng Az vuông góc với AD / /Az SH

0;0;0A O , ;0;0D Ox D a , 0; ;0B Oy B a , ; ;0C Oxy C a a , 3;0;2

aS a

Bài 2: (ĐH – B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Giải: Dựng Az song song với SH với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB



2

2 2 2 32 2

a aHA SA SH a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho 0;0;0 ;A O 3;0;2 2a aS Oxz

, 0;2 ;0 , 2 ;0;0D a B a ,

;0;0 ,M a 2 ;2 ;0 ; 2 ; ;0C a a N a a 3;0;2 2a aSM

; (2 ; ;0)DN a a

Từ đó ta tính . . .S BMDN S DMN S MNBV V V

2

2 22 2

1cos ( , )53 (4 )

4 4

aSM DN

a a a a

Chú ý: Ta có thể chọn hệ tọa độ như sau Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB

2

2 2 2 32 2

a aHA SA SH a

; 2

22 2 3 33

2 2a aHB SB SH a

0;0;0H O , 3 3;0;0 , ;0;02 2a aB A

, 3 ;2 ;0

2aC a

, 3 ;2 ;02aD a

; 30;0;

2aS

B. Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC) 1. Khi tam giác SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C Tam giác ABC vuông cân tại C có CA CB a đường cao bằng SH h . H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0H O

Khi đó : ;0;0 ; 0; ;02 2

a aC Ox A Oy

;

0; ;0 ; 0;0;2

aB Oy S h Oz

Hoặc: Từ C dựng / /Cz SH 2. Khi tam giác SAB cân tại S và ABC vuông tại A (hoặc tại B) ABC vuông tại A có ;AB a AC b chiều cao bằng SH h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0A O

Khi đó : ;0;0 ; 0; ;0B a Ox C b Oy ; 0; ;2aS h Oz

Hoặc: Từ H dựng / /Hy AC . Chọn hệ trục tọa độ sao cho

0;0;0H O 3. Khi tam giác SAB cân tại S và ABC vuông tại C ABC vuông tại C ;CA a CB b chiều cao bằng SH h H là trung điểm của AB



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 0;0;0C O

Khi đó : ;0;0 ; 0; ;0A a Ox B b Oy ; ; ;2 2a bS h Oz

Chú ý: Khi giả thiết không cho tam giác SAB cân (vuông cân hoặc đều) mà không nói (SAB) vuông góc với (ABC) thì giả thiết sẽ cho SI vuông góc với AB. Khi đó ta dựng tương tự như trên Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 3 , 4 ;BA a BC a mặt

phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a và SBC = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Giải: Vì (SBC) (ABC). Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống BC SH BC Ta có 0 0.cos30 3 , .sin 30 3BH SB a SH SB a Qua B dựng / /Bz SH . Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho 0;0;0B O , 4 ;0;0C a Ox ,

0;3 ;0A a Oy , 3 ;0; 3S a a Oxz . Ta có

3 3.

2 2 2

3

3 ; 3 ; 3

;0; 31 13 ;0; 3 , . 12 3 2 36 6

, 3 3; 4 3; 3

, . 12 3

S ABC

SA a a a

SC a a

SB a a V SA SC SB a a

SA SC a a a

SA SC SB a

Mặt phẳng (SAC) đi qua S và có vtpt 2 2 2 2, 3 3; 4 3; 3 3 3;4; 3n SA SC a a a a

nên có

phương trình 3 3 4 0 3 3 0 3 4 3 12 0x a y z a x y z a

Khoảng cách 2

2 2

12 6 7,73 4 3

a ad B SAC

Bài 2: (ĐH – A 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Giải:

Gọi M là trung điểm AB, ta có 2 3 6a a aMH MB HB

- Theo giả thiết ( )SH ABC SH HC SHC vuông tại H

và 0, ( ) 60SC ABC SCH - Theo định lý pitago trong tam giác vuông HCM ta có

2 2 22 2 2 3 28

2 6 36a a aCH CM MH

73

aCH . Với 32

aCM đường cao của tam giác đều ABC

M

S

H B

C

A

z

x

y



Trong tam giác vuông SHC ta có SH = CH.tan600 = 213

a

Dựng Mz // HS . Chọn hệ trục Mxyz với 0;0;0M O (như hình vẽ) Tính MH và SH như trên khi đó tọa độ các điểm như sau

3 21;0;0 ; ;0;0 ; 0; ;0 ; ;0;2 2 2 6 3a a a a aA B C S

Tính thể tích

Ta có

21 2 21;0; ; ;0;3 3 3 3

3 21 3; ; ; ; ;06 2 3 2 2

a a a aSB SA

a a a a aSC BC

2

2 3 3

3

21, 0; ;03

21 1 1 63 7, , . .3 6 6 6 12

63, .6

SABC

aSA SB

a a aSA SB V SA SB SC

aSA SB SC

Tính khoảng cách

2 2 2

4 4 4 2 3

2

3

21 7 3, ; ;6 2 3

, .21 63 12 4 6 7 6 42, ,36 36 36 6 2 84 6,

7, .2

a a aSA BC

SA BC ABa a a a a aSA BC d SA BCaSA BC

aSA BC AB

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – A2 – 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.

Đáp số: 3

18aV

Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.

Đáp số: 3

.2

12A BCDaV và 0, 60AD BC

Bài 3: (ĐH – A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chop S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a HD:



Theo giả thiết

SAB SAC

SA ABC SASAB SAC SA

là đường cao hình

chóp S. BCMN

Do 0, 60BC SA

BC SAB SBC ABC SABBC AB

Trong tam giác vuông SAB ta có 0. tan 60 2 3SA AB a . Dựng / /Bz SA Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0 , 2 ;0;0 , 0; 2 ;0 , 2 ;0;2 3B O A a Ox C a Oy S a a Oxz

M là trung điểm của AB nên ;0;0M a , N là trung điểm của BC nên ; ;0N a a

Khi đó 3. . . 3S BCNM B MSN B CSNV V V a và

, . 12,13,

AB SN AS ad AB SNAB SN

Dạng 5: Bài toán với hình lăng trụ Việc thiết lập hệ trục tọa độ cho hình lăng trụ (đặc biệt là lăng trụ đứng) cũng giống như hình chóp mà có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, khi đó ta xem đáy là hình gì để thiết lập hệ trục tọa độ cho đúng Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – D 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết ;0;0 , ;0 : 0 ;A a B a 10;1;0 ; ;0; , 0, 0C B a b a b

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b. b. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4 . Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất . Giải: a. Dựa vào các tọa độ cho trước của giả thiết ta chọn hệ trục tọa độ như sau Gọi 0;0;0I O là trung điểm của AB và cũng là gốc tọa độ

;0;0 , ;0 : 0A a Ox B a Ox , 10;1;0 , ;0;C Oy B a b Oxz . Ta sẽ tìm được tọa độ điểm

1 0;1;C b Oyz . a. Tính khoảng cách

Ta có

1

11 1 1

1 1 12 2 2 2

1 11 1

1 1 1

;1;

;1;, . 2

2 ;0; , *, 4

, 2 ;0; 2

, . 2

B C a b

AC a bB C AC B A ab abB A a b d B C AC

B C AC a b a bB C AC b a

B C AC B A ab

b. Tìm max khoảng cách

Ta có 2 24 16 2a b a b ab . Thay vào (*) ta được 16 2

abdab

Đặt 2cos

0 42

i a bt ab

ta được 2

2

16 2td f t

t

với 0;4t

2

16' 016 2

f tt

với 0; 4t nên f t là hàm đồng biến trên 0;4



max0;4

4 2 2Max f t f d

Dấu “=” xảy ra 4

24

t aba b

a b

Hoặc:

cos

1 12 2

2.,22.

iab ab abd B C ACaba b

. Mặt khác 2cos

42

i a bab

max 2d . Dấu “=” xảy ra 24

a ba b

a b

Bài 2: (ĐH – B 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với 0; 3;0 , 4;0;0A B , 0;3;0C , 1 4;0;4B

1. Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1). 2. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. Giải: Dựa vào các tọa độ cho trước của giả thiết ta chọn hệ trục tọa độ như sau Gọi 0;0;0I O là trung điểm của AC và cũng là gốc tọa độ 0; 3;0 , 4;0;0A Oy B Ox ,

0;3;0C Oy , 1 4;0;4B Oxz . Ta sẽ tìm được tọa độ điểm 1 10; 3;4 , 0;3;4A Oyz C Oyz .

a. Ta có

1

1

4;3;0, 12;16;0 4 3; 4;0

4;3;4

BCBC BC

BC

Mặt phẳng (BCC1B1) đi qua điểm B và có vptp 3;4;0n

có phương trình

3 0 4 3 0 3 4 12 0x y x y

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) 1 1 2 2

4. 3 12 24,53 4

d A BCC B R

Vậy phương trình mặt cầu tâm A, bán kính 245

R có phương trình là 22 2 576325

x y z

b. Gọi M là trung điểm của A1B13 32; ;4 2; ;42 2

M AM

và 1 4;3;4BC

Mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC1 nên (P) đi qua A và có vtpt 1, 6; 24;12 6 1; 4; 2Pn AM BC

nên có phương trình

1 0 4 3 2 0 0 4 2 12 0x y z x y z

Đường thẳng A1C1 đi điểm A1 và có vtcp 1 1 0;6;0 6 0;1;0A C

có phương trình 1 1

0: 3

4

xA C y t

z

Tọa độ điểm 1 1N P A C là nghiệm của phương trình

174 3 2.4 12 0 2 0; 1; 42

t t N MN MN

Bài 3: (ĐHDB – A2 – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng 1 1 1.OAB O A B với O(0;0;0), 12;0;0 , 0; 4;0 , 0;0;4 .A B O a. Tìm tọa độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A1, B1, O1. b. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA, A1A lần lượt tại K, N . Tính độ dài đoạn KN.



Giải: Vì 1 1 2,0, 4AA Oxy A ; 1 1 0, 4,4BB Oxy B a. Viết phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B, O1 Giả sử phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d Vì 0O S d

Vì 4 4 0 1A S a a

Vì 16 8 0 2B S b b

Vì 1 16 8 0 2O S c c

Vậy (S) có tâm 1, 2,2I . Ta có 2 2 2 2 2 1 4 4 9d a b c R R

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 21 2 2 9x y z b. Tính KN Ta có 1,2,0M , 1 2,0, 4 2 1;0; 2O A

Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với 1O A nên nhận 1O A

làm PVT phương trình (P): 1 1 0 2 2( 0) 0 2 1 0x y z x z

Phương trình tham số OA là 00

x tyz

Thế vào phương trình (P): 1 0 1 1,0,0t t OA P N

Phương trình tham số 1O A là: '

02 '

x tyz t

Thế vào phương trình (P): 11 1 2' 4 ' 1 0 ' ,0,3 3 3

t t t OA P K

Vậy 2 2

21 2 20 20 2 51 0 0 03 3 9 3 3

KN

Bài 4: (ĐH – D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên ' 2AA a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Giải: Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

0;0;0B O ,

;0;0 , 0; ;0 , ' 0;0; 2 , ' ;0; 2 , ' 0; ; 2A a Ox C a Oy B a Oz A a a Oxz C a a Oyz

Gọi M là trung điểm của cạnh BC 0; ;02aM

Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Cách 1: . ' ' '1. ' , . '2ABC A B C ABCV S BB BA BC BB



Với

32 2

. ' ' '

;0;01 1 20; ;0 , 0;0; , . ' . 22 2 2

' ' 2ABC A B C

BA aaBC a BA BC a V BA BC BB a a

BB AA a

Hoặc: Vì tam giác ABC vuông tại B nên 21 1.2 2ABCS AB AC a

Cách 2: Vì lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân nên

. ' ' ' '13 , . '2ABC A B C BACCV V BA BC BC

Với

23

3. ' ' '

, 0;0; 1 2, . ' 2 , . '2 2' 0; ; 2

ABC A B C

BA BC a aBA BC BC a V BA BC BCBC a a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.

22 2

3

44 4 2

2, ' ; 2;; ;0 22

2' 0; ; 2 , ' . '2

' ;0; 2 7, ' 22 2

aAM B C a aaAM a

aB C a a AM B C AB

AB a a aAM B C a a a

3

2

2, ' . ' 72, '

77, '2

aAM B C AB ad AM B C

AM B C a

Bài 5: (ĐH – D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’. I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (IBC) Giải: Trong tam giác vuông A’AC có 2 2' ' 5AC A C AA a

Trong tam giác vuông BAC có 2 2 2BC AC AB a Chọn hệ trục tọa độ sao cho Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

0;0;0B O , ;0;0 , 0;2 ;0 , ' 0;0;2 , ' ;0;2 , ' 0; 2 ; 2A a Ox C a Oy B a Oz A a a Oxz C a a Oyz

Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’ ; ;22aM a a

Đường thẳng AM đi qua điểm A và có vtcp ; ;2 1; 2; 42 2a aAM a a

có phương trình

: 24

x a tAM y t

z t

Đường thẳng A’C đi qua điểm C và có vtcp ' ;2 ; 2 1; 2;2A C a a a a

có phương trình

'' : 2 2 '

2 '

x tA C y a t

z t



Tọa độ điểm 'I AM A C là nghiệm của phương trình '

2 2 432 2 2 ' ; ;2 3 3 3'4 2 '3

aa t t ta a at a t I

att t

Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

2 2

3

3

0; 2 ;0 8 4, ;0;2 2 4 1 43 3; ; ,3 3 3 6 98,;0;0 3

IABC

BC a a aBC BIa a a aBI V BC BI BA

aBC BI BABA a

Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (IBC)

Mặt phẳng (IBC) đi qua điểm B và có vtpt 2 2 28 4 4, ;0; 2;0;1

3 3 3a a an BC BI

có phương trình

là 2 0 1 0 0 2 0x z x z

2 2

2 2 552 1

a ad A IBC

Bài 6: (ĐH – A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. Giải: Gọi M là trung điểm BC.

vuông ABC có 2 2 2

1 1 1 AM aAM AB AC

vuông AMA’: ' 2 ' 2 2A M AA AM ' 2 2 2 24 3 ' 3A M a a a A M a

'

3' '1 1 1 1. . . . . . 3. 3

3 3 2 6 2ABCA ABC

aV S A M AB AC A M a a a .

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N

N là trung điểm của AC 2 2

AB aMN

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P

P là trung điểm của AC 32 2

AC aMN

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Dựng / / 'Az A M . 0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0A O B a Ox C a Oy

3; ; 32 2a aA a

, 3; ;02 2a aM Oxy

Đường thẳng AA’ có vtcp là 1; 3;2 3a

Đường thẳng B’C ‘có vtcp là 1; 3;0b

(do B’C’//BC)

Gọi là góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’ có . 1cos cos ,

4.

a ba b

a b

y

x

z

A

B C

A’

B’

C’

M



Hoặc: '

1 , . '6A ABCV AB AC AA

hoặc: 2 2

2 2BC AB ACAM a

Bài 7: (ĐH – B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. Giải: Theo giả thiết ABCD là hình thoi và BAD = 600 nên tam giác ABD đều. Đặt 'AA h . Gọi O là giao điểm của AC và BD Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

3 30;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;02 2 2 2

3 3' ;0; , ' 0; ; , ' 0; ;2 2 2

a a a aO B Ox C Oy D Ox A Oy

a a aD h Oxz C h Oyz A h Oyz

M là trung điểm của AA’ 30; ;2 2

a hM

N là trung điểm của CC’ 30; ;2 2

a hN

Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng

Ta có

23; ; 3 32 2 2 , ;0;2 2 , ' 0

3; ; ' ;0;2 2 2

a a hDM ah aDM DNDM DN DB

a a hDN DB a h

4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’

Ta có 2

2' ' '4hB N ND DM MB a B MDN là hình thoi. Để 'B MDN là hình vuông thì

2 2 23. 0 0 2 ' 24 4 4a a hDM DN DM DN h a AA a

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – A1 – 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có 0; 0; 0 , 2; 0; 0 , 0; 2; 0 , ' 0; 0; 2A B C A .

1. Chứng minh 'A C vuông góc với '.BC Viết phương trình mặt phẳng ' .ABC

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ' 'B C trên mặt phẳng ' .ABC Đáp số:

1. ' : 0ABC y z 2. 42 1 1

x y z

Bài 3: (ĐHDB – A1 – 2003) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc 0120BAC , cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng tam giác ABI’ vuông ở A. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).



Đáp số: 30cos10

Bài 4: (ĐHDB – B2 – 2006) Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có '.A ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy ,AB a cạnh bên ' .A A b Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và 'A BC . Tính tan và thể

tích của khối chóp '. ' ' .A BB C C

Đáp số: 2 22 3tan b aa

và 2 2 2

'. ' ' .3

6A BB C Ca b aV

Bài 5: (ĐHDB – A1 – 2007) Cho lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C có AB = a , AC = 2a , 1 2 5AA a và góc 0120BAC . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh 1MB MA và tính khoảng cách từ điểm

A tới mặt phẳng 1( )A BM

Đáp số: 15, ( )

3ad A A BM

Bài 6: (ĐHDB – D1 – 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh 1BM B C và tính 1( , )d BM B C .

Đáp số: 130( , )

10ad BM B C

Bài 7: (ĐHDB – D2 – 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính thể tích hình chóp MA1BC1 .

Đáp số: 3 212

aV

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc 120oBAC , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh tam giác AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm BC AH BC Tam giác ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

2aAH và 3 3

2aBH BC a

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

/

/ /

3 3; ; 0 , ; ; 0 , (0; 0; ),2 2 2 2

3 3 3; ; , ; ; , ; ;2 2 2 2 2 2 2

a a a aB C A a

a a a a a a aB a C a I

/ 3 3; ; , ; ;2 2 2 2 2

a a a a aAB a AI

Ta có: 2 2 2/ 3 3 3 2. . . . 0

2 2 2 2 2 4 4 4a a a a a a a aAB AI a

/.AB AI

Vậy, tam giác AB/I vuông tại A. Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ 1 (0; 0; 1)n

60o

B/ A/

C/ z

a

B

C A

H

I

y z



Mặt phẳng (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương /,AB AI

, nên có pháp vectơ

2 2 2 2 2/

23 3 2 3[ ; ] ; ; (1; 3 3; 2 3) .

4 4 4 4 4a a a a aAB AI n

với 2 (1; 3 3; 2 3)n .

Gọi là góc giữa (ABC) và (AB/I), ta có: 0 0 2 3 2 3 30cos .

100 0 1. 1 27 12 40

Bài 9: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, A’C’, C’B’. Tính khoảng cách giữa DE và A’F. Hướng dẫn: Xét hệ trục Đề –các vuông góc A’xyz với tọa độ các điểm là :

3 3 3'(0;0;0), 0; ;0 , 0; ; , ; ;02 2 4 4

3 3 3; ; ; ' 0; ;0 , ' ; ;04 4 2 4 4

3 3, ' ;0;2 8

a a a aA F D a E

a a a a aED a A F A E

a aED A F

Ta có :

2

2 2

3, ' . ' 8

( , ' )173 3, ' 0

4 64

aED A F A E ad DE A F

a aED A F

Vậy khỏang cách giữa hai đường thẳng DE và A’F là 1717

a

Dạng 6: Bài toán hình không mẫu mực Với hình không mẫu thì tùy từng trường hợp cụ thể mà ta thiết lập hệ trục tọa độ, chú ý các yếu tố vuông góc, song song Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng d. Trên d lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho 0;0;0A O , ;0;0B a Ox , 0;0;C a Oz , ; ;0D a a Oxy , 0a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ; ;I x y z là tâm của mặt cầu. Ta có

2 2 2 2 2 22 2

22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a x y z x y zIB IAIA IB IC ID IC IA x y a z x y z

ID IA a x a y z x y z



23; ;

2 2 2 2 2

2

ax

a a a a az I R IA

ay

Khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.

2 2 2;0;

;0; 1;0; 10; ;0

BC a an a a a

BD a

Mặt phẳng (BCD) đi qua B và có vtpt 1;0; 1n

có phương trình

1 0 0 1 0 0 0x a y z x z a

22

2,21 1

a ad A BCD

Bài 2: Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABA’B’ là hình thoi cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt bên ACC’A’ hợp với đáy góc nhọn . a. Tính diện tích xung quanh lăng trụ và thể tích khối trụ b. Gọi là góc nhọn mà mp(BCC’B’) hợp với mặt đáy. Chứng minh rằng: tan 2 tan Giải:

j

A'

B

C'

B'

A

Cx

y

z

H

a. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Theo giả thiết ta có góc ˆ'A AB , cos ; ' a sin ;AH a A H Suy ra 0;0;0 ; 0; cos ;0 ; 0; 1 cos ;0 ; ' 0;0; sinH A a B a A a

0; cos ;0 ; ' ;0;a sin ; ' 0; ;a sinC a C a B a

Từ đó tính được 2 21 sin 1 sinxqS a ; 31 sin2

V a

b. Ta có: 22

cos 2cos sin sin1 sin1 sin



Suy ra tan 2 tan (đpcm) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh 0 .a a Cạnh SA vuông góc với

đáy và SA = 3a . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM MD. Tính tỉ số SMSB

.

Giải:

Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Suy ra ta có: 0;0;0 , 2 ;0;0 , 0;0; 3A O D a S a và 3; ;02 2a aB

.

Suy ra phương trình của SB là: 2 2 33 3

x y z aa a a

Gọi 0 0 0; ; M x y z thuộc cạnh SB, ta có: 0 0

0 0

3

3 2 3

y x

z a x

.

Mặt khác AM DN . 0AM DM

2 2 20 0 0 0 0

3– 2 08ax ax y z x

3 3 3 3 3; ;8 8 4 4a a aM SM SB

hay 3

4SMSB

.

Bài tập tổng hợp: Bài 1: (ĐHDB – A2 – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết ( 2; 1;0), ( 2; 1;0), (0;0;3)A B S a. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường thẳng AD, SC. b. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). Bài 2: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình chữ nhật: ( )SA ABCD ; 1AB SA ; 2AD . Gọi

;M N là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC .Tính thể tích khối tứ diện ANIB . Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ sao cho (0;0;0)A ; (0;1;0)B ; ( 2;1;0)C ; ( 2;0;0)D ; (0;0;1)S

Vì ;M N là trung điểm của AD và SC 2 ;0;02

M

2 1 1; ;2 2 2

N

Ta có I là trọng tâm của ABD 2 1; ;03 3

I

2 1 1; ;2 2 2

AN

; (0;1;0)AB

; 2 1; ;03 3

AI

A D

B C

S

H



1 2; ;0;2 2

AN AB

2; .6

AN AB AI

236ANIBV

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , 2 2AB a AD a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. Hướng dẫn: Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo gt ( )SH ABCD

Gọi 2 1 23 3

O AC BD CH CO AC a AH AC HC a

SA tạo với đáy góc 450 suy ra 045 2SAH SH AH a

31 1 4 2. .2 2 .23 3 3ABCDV S SH a a a a

Gọi M là trung điểm của SB. Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD Do đó ( ; ) ( ;( )) ( ; ( ))d SD AC d SD ACM d D ACM Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

2 4 2(0;0;0), ( ;0;0), (0; 2 2 ;0), ; ; 2 , ( ; 2 2 ;0)3 3a aA B a D a S a C a a

5 2 2; ;6 3a aM a

. ( ;2 2 ;0)AC a a

5 2 2; ;6 3a aAM a

2 2 2(2 2 ; ; 2 )AC AM a a a

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt (2 2; 1; 2)n

nên có phương trình là

2 2 2 22 2 2 0 ( ; ( ))8 1 2 11

a ax y z d D ACM

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, có tam giác ABC vuông tại B, , 3AB a BC a , mp(SAC) vuông góc mp(ABC), 2SA SC a . Gọi M, N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAC. Tính thể tích của khối chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a . Hướng dẫn:

M

HO

B

DC

A

S



Tính SAMNV : Ta có 2 2 22AC a SA SC AC SA SC Hạ SH AC , do ( ) ( ) ( ),SAC ABC SH ABC SH a

Gọi K là trung điểm của AB . Ta có 2 2 4. .3 3 9

SAMN

SAKH

V SM SNV SK SH

34 4 1 4 1 1 3 3. . . . . . . .9 9 3 9 3 2 2 2 54SAMN SAKH AKH

a a aV V S SH a

Tính ( , )d SC AB :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ sao cho 3(0;0;0), (0; ;0), ( 3;0;0), ( ; ; )2 2

a aB A a C a S a

Ta có 3 ; ; , (0; ;0), ( 3; ;0)2 2

a aSC a AB a CA a a

, . 2 21( , )7,

SC AB CA ad SC ABSC AB

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ' ' '.ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 3a, 'AA a và góc giữa 'A B với mặt phẳng trung trực đoạn BC bằng 300. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ' ' '.ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng 'A B với AC. Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có 0;0;0 ; '(0;0; ); ;0;0 ; 0; ;0A A a B m C n Trong đó ,m AB n AC Tam giác ABC vuông tại A, 3BC a 2 2 29m n a

; ;0BC m n

là VTPT của mp trung trực đoạn BC

' ;0;A B m a

là VTCP của 'A B Ta lập được phương trình sau

A

B

C

A’

x

y

z



2

2 2 2 2

12

m

m n m a

24 2 29

4am m a

4 2 2 44 9 9 0m a m a 3m a 6n a 2

. ' ' '1 3 2. 6. 32 2ABC A B C

aV a a a (đvtt)

* Tính ' ,d A B AC

VTCP của AC là 0;1;0j

; VTCP của 'A B là

3;0; 1n

; ' 0;0;AA a

; 1;0; 3n j

; ; . ' 3; ; 2n j AA a n j

Khi đó ' ,d A B AC = 32

a

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có C(0;0;0 ), B(4;0;0), D(0;4;0), C1(0;0;4). Gọi M, N tương ứng là trung điểm của B1C1 và AB; P, Q là các điểm thuộc các đường thẳng BD và CD1 sao cho PQ song song với MN. Lập phương trình mặt phẳng (R) chứa hai đường thẳng MN và PQ. Hướng dẫn: Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ Do 10;0;0 , 4;0;0 , 0; 4;0 , 0;0; 4C B D C 1 14;0;4 , 4; 4;0 , 0;4; 4B A D

M là trung điểm B1C1 2;0; 4M ; N là trung điểm AB 4; 2;0N

Ta có: 2;2; 4MN

VTCP của (MN ) là 1;1; 2u

( 4;4;0)BD

VTCP của (BD) là 1 (1; 1;0)u

(BD):1

1

4

0

x ty tz

1 (0; 4;4)CD

VTCP (CD1 ) là 2 (0;1;1)u

(CD1 ): 2

2

0xy tz t

Điểm P BD 1 14 ; ;0P t t , Q (CD1) 2 20; ;Q t t 1 2 1 2( 4 ; ; )PQ t t t t

PQ // MN 1 2 1 21 2

43, 2

1 1 2t t t t t t

1;3;0 , 0;2;2P Q

2 ;2; 4MN

, 1;3; 4MP

VTPT (R) là 4;12;8n

Nên có phương trình là :1 1 3 3 2 0 0 3 2 10 0R x y z x y z Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1. Gọi I, J, K lần lượt là trung điển của các đoạn thẳng AA’, CD và A’D’. a. Tính thể tích khối tứ diện BIJK. b. Biết BK vuông góc với mặt phẳng (A’C’D). Tính độ dài các cạnh của hình hộp . c. Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J. Hướng dẫn: Gọi a, b, c là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có a.b.c = 1. Xét hệ trục Đề –các vuông góc Axyz với tọa độ các điểm là :

(0;0;0), ( ;0;0), ( ; ;0), (0; ;0), '(0;0; ), '( ;0; ), '( ; ; ),

'(0; ; ), 0;0; , ; ;0 , 0; ;2 2 2

A B a C a b D b A c B a c C a b cc a bD b c I J b K c

a. Gọi V là thể tích của tứ diện BIJK ta có:

z

x

y

C1

B

D

D1

B1

M

C P

A1

Q

N A

x

B

B’

A’

z

C’

D’

D y

C

A

I

J

K



C’

O

M

N

H

A

C D

B

B’

;0; , ( ; ;0) , ; ;2 2 2 4

; ;2

56 , . 62 8 8

c a bc acBI a BJ b BI BJ ab

bBK a c

abc abc abcV BI BJ BK V abc

Vậy 548

V ( vì a.b.c =1 )

b. Ta có ' ' . ' ' 0

( ' ' )' . ' 0

BK A C BK A CBK mp A C D

BK A D BK A D

(1)

Với ; ; , ' ' ( ; ;0), ' (0; ; )2bBK a c A C a b A D b c

Thế vào hệ (1) ta được

22

2 62

0 122 20

2

ba ba cb c

, từ đó suy ra độ dài các cạnh của hình hộp

chữ nhật. c. Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J là h , ta có;

2 2 2 2 2 2

2 2 2

, ' . ' 14 4 94 4 9, '

CI A J A I abchb c b a a cCI A J

a c b

Áp dụng BĐT Cô si với a.b.c = 1 ta có: max3

1

3. 144h đạt được khi

3

12 2 3 12a c b

Bài 8: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’, CC’. a. Chứng minh B’, M, D, N cùng một mặt phẳng . b. Tính AA’ theo a để BMDN là hình vuông. Hướng dẫn: Cách 1: Phương pháp hình học



C’ M

N

O

A

C

D’

A’

D

z

y

O’

a. Ta có A’M // CN; A’M // CN A’MCN là hình bình hành A’C MN tại O là trung điểm của mỗi đường là I nên B’MDN là hình bình hành. Do đó B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng. b. Ta có: DM2 = AD2 + AM2 (1) DN2 = CD2 + CN2 Vì : BAD = 600 ∆ BAD đều AD = CD (2) Từ (1), (2) DM2 = DN2 DM = DN B’DMN là hình thoi. Để B’DMN là hình vuông thì MN = B’D AC2 = B’D2 (1’) Gọi H = AC BD H là trung điểm của AC và BD

∆ BAD đều H là đường cao AH = 32

a AC = 3a (2’)

Trong ∆ vuông BB’D ta có B’D2 = BB’2 + BD2(3’) Từ (1’), (2’), (3’) 3a2 = BB’2 + BD2 BB’2 = 3a2- a2 = 2a2

BB = 2a AA’ = 2a Vậy nếu AA’ = 2a thì B’MDN là hình vuông Cách 2: Phương pháp tọa độ a. ∆ BAD có BAD = 600 ∆ BAD đều Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’

Ta có : AO = OC = 32

a ; OB = OD = 2

BD =2a

Giả sử : AA’ = b. Chon hệ trục tọa độ Ozyz sao cho O là gốc tọa độ, COx , DOy , O’Oz.

Khi đó O(0;0;0), A(- 32

a ;0;0), B(0; -2a ;0), C( 3

2a ;0;0), D(0;

2a ;0); A’(- 3

2a ;0;b); B’(0;-

2a ;b),

C’( 32

a ;0;b); D’(0;2a ;b), M(- 3

2a ;0;

2b ); N( 3

2a ;0;

2b )

Ta có 3( ;2

aDM

2a ;

2b ); 'NB

= ( 3

2a ;

2a ;

2b )

'DM NB

DM = B’N DM // B’N B’DMN là hình bình hành Vậy 4 điểm M, N, B’, D cùng 1 mặt phẳng



b. Ta có : 'MB

( 32

a ;2a ;

2b ) ' ' 'DM NB MB

Hay B’MDN là hình thoi. để B’MDN là hình vuông thì '. 0MB MN

2 2 2 2 2 2 2

2 23 0 2 . 24 4 4 4 2 4 2a a b b a b a b a b a

Vậy nếu AA’ = 2a thì B’MDN là hình vuông.

Mọi chi tiết xin liên hệ Email: [email protected] hoặc https://www.facebook.com/trithuc.viet.37

Ứng dỤng phƯƠng phÁp tỌa ĐỘ trong khÔng gian ĐỂ …

Documents