giẢi tam giÁc trong tỌa ĐỘ phẲng

Chuyên đề

Tọa độ phẳng

GV: PHAN NHẬT NAM

GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG

A I(-1; 0)

O

D(1; 0)


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

I. CÁC CÔNG THỨC ĐỊNH LƯỢNG

ABC có :

r là bán kính đường tròn nội tiếp

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

am là độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A.

ah là độ dài đường cao kẻ từ A.

p một nữa chu vi 2 2

BC AC AB a b cp

1. Hệ thức lương trong tam giác a. Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.

222 BCACAB

2 . ,AB BC BH 2 .AC BC CH , 2 .AH BH CH ,

. .AB AC AH BC

222

111

ACABAH

b. Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là cba mmm ,, bán kính đường tròn

ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p. Định lý hàm số cosin:

Abccba cos.2222

Baccab cos.2222

Cabbac cos.2222

Định lí hàm số sin: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

Công thức độ dài trung tuyến:

42

2222 acb

ma

42

2222 bca

mb

42

2222 cba

mc

2. Công thức tính diện tích tam giác

cba hchbhaS .2

1.

2

1.

2

1

CabBcaAbcS sin.2

1sin.

2

1sin

2

1

R

abcS

4 prS

))()(( cpbpappS

ABC vuông tại A : AHBCACABS .2

1.

2

1

ABC đều cạnh a: 4

.3 2aS

http://www.toanhocdanang.com/



II. CÁC PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH THƯỜNG GẶP

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì I thuộc đường trung trực của các cạnh và IA = IB = IC.

Nếu đề toán cho AH là đường cao của ABC thì

AHMNBCNMAHBC

xAAHA

,

0

Nếu đề cho AM là trung tuyến của ABC thì

AMyyxx

M

xAAMA

CBCB

2;

2

0

{M là trung điểm của BC}

Nếu đề cho d là đường trung trực của BC thì

dyyxx

M

BCd

CBCB

2;

2

Nếu đề cho d là đường trung bình của ABC (d đi qua trung điểm AB, AC)

thì

AMmeđitrunglàIthìIdAMBCM

dBC

ˆ

// hay dAdBCAd ,2,

Nếu đề cho AM là phân giác trong góc A của ABC thì ta thực hiện theo các bước:

Chọn trên hai đường thẳng AB, AC một điểm mà ta đã biết được tọa độ của nó.

Giả sử là điểm C.

Lập phương trình đường thẳng d qua C và vuông góc với AD

Gọi ADdH H và gọi ADdC '

Vì AH vừa là đường cao vừa là phân giác của

ACC’ ACC’ cân tại A H là trungđiểm của CC’

tọa độ điểm CHCH yyxxC 2;2' thuộc AB

{hay A, B, C’ thẳng hàng}

III. CÁC TÍNH CHẤT THƯỜNG GẶP CỦA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

1. Trọng tâm: (giao điểm của ba đường trung tuyến)

G là trọng tâm của

3

3

2

3

A B CG

A B CG

x x xx

y y yABC y

AG AM

(với M là trung điểm của BC)

Chú ý: G, H, I lần lượt là trọng tâm , trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi A’ đối xứng A qua I , M là trung điểm của BC

Khi đó dễ dàng chứng minh được HBA’C là hình bình hành

Và OM là đường trung bình của ' 2AHA OM AH

M là trung điểm BC 2OB OC OM OB OC AH

OG GB OG GC AG GH

2OG GA GB GC GH 2OG GH

Từ đây nếu đề toán cho hai trong ba điểm G, H, I thì ta sẽ tìm được điểm thứ 3

A B d

C

H D

C’

.

A

B C

I

A’

H

M




2. Trực tâm : (giao điểm của 3 đường cao)

H là trực tâm của tam giác ABC AH BC

BH AC

Chú ý : Tính chất cần nhớ của trực tâm

Xét các điểm như hình vẽ ta có:

D đối xứng với A qua I HBDC là hình bình hành

M là trung điểm BC 2AH IM

Goi K là giao điểm của AH và (I) (K A)

Khi đó ta có: KBC KAC HBC

KBH cân tại B (vì đường cao BA’cũng là phân giác)

BC là trung trực của HK

Xét đường tròn ngoại tiếp ABA’B’ ta có: ' 'HB A HAB

Xét đường tròn ngoại tiếp AB’HC’ ta có: ' 'HB C HAB

' ' ' ' 'HB C HB A B H là phân giác ' ' 'C B A

Tương tự ta cũng có: 'C H là phân giác ' ' 'B C A

H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’

Ta có: :BCD KBC HBC

đường tròn ngoại tiếp HBC là ảnh của đường tròn (I) qua phép đối xứng trục BC.

Xét đường tròn ngoại tiếp AB’HC’ ta có : ' ' 'AB C AHC

mà 'AHC ABC (cùng bù ' 'C HA ) và 1

2ABC EIC AIC ' 'EIC AB C

lại có 'ICE FAB 'AFB đồng dạng với 0' 90 ' 'CEI AFB CEI AI B C

Gọi ( ) : ( , ) 0C f x y là đường tròn ngoại tiếp BCB’C’. ( ') : ( , ) 0C g x y là đường tròn ngoại tiếp

AB’HC’ ' ' : ( , ) ( , ) 0B C f x y g x y

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp: (giao điểm của ba đường trung tực)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IA IB

IA IB

Chú ý : Tính chất cần nhớ của tâm đường tròn ngoại tiếp

Xét đường tròn (C) có tâm I là đường tròn ngoại tiếp ABC

1

2BAC BIC BIM (với M là trung điểm của BC)

BD, CD là hai tiếp tuyến của (C)

BAC BCD CBD

Gọi K là giao điểm của đoạn ID và (C)

K là tâm đường tròn nội tiếp BCD

.

A

B C

D K .

C’

B’

A’

H I

I’

M

A

B

C

D

I M

K




4. Tâm đường tròn nội tiếp: (giao điểm ba đường phân giác)

J là tâm đường tròn nội tiếp ABC ( , ) ( , )

( , ) ( , )

d J AB d j AC

d J AB d j BC

Chú ý : Tính chất cần nhớ của tâm đường tròn ngoại tiếp

Xét (C) có tâm J là đường tròn nội tiếp ABC

và D là chân đường phân giác trong BAC

AB

DB DC DAC

; BA

JA JD JBD

EAB EAC EB EC EB EC IE BC

,

BJE JBA JABBJE JBC CBE JBE

JBA JBC JAB CBE

BJE cân tại E EB EC EJ

IV. Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: (D - 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của

cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7 2 3 0x y và

6 4 0x y . Viết phương trình đường thẳng AC.

Giải:

Gọi AH, AK lần lượt là trung tuyến và đường cao kẻ từ A

Khi đó ta có: A AH AK

tọa độ A là nghiệm của hệ 7 2 3 0

(1; 2)6 4 0

x yA

x y

M là trung điểm của AB (3; 2)B

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc AH

: 6 9 0BC x y .

Ta có: C BC ( 6 9 ; )C m m

K là trung điểm của AB 2

3 3;2

mK m

Lại có 2

7( 3 3) 2 3 0 1 ( 3; 1)2

mK AK m m C

Đường thẳng AC đi qua A và C (1;2) 1 2

: : 3 4 5 04 3(4;3) `

A AC x yAC AC x y

CA l a VTCP AC

Vậy đường thẳng cần tìm là AC: 3x - 4y + 5 = 0

. .

A

B C

J I

M

E

A

.

B C K H




Ví dụ 2: (B - 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác

ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1; -1),

đường phân giác trong của góc A có phương trình 2 0x y và đường cao kẻ từ B

có phương trình 4 3 1 0x y

Giải:

Gọi AD là phân giác và BK là đường cao như hình vẽ

Gọi d là đường thẳng qua H và vuông góc AD

: 2 0d x y

Gọi I là giao điểm của AD và d

tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình

2 0

2 0

x y

x y

( 2; 0)I

Gọi H’ là giao điểm của d và AC 'AHH cân tại A

I là trung điểm HH’ '( 3;1)H

AC đi qua H’ và vuông góc BK :3 4 13 0AC x y

A là giao điểm của AC và AD tọa độ của A là nghiệm của hệ 2 0

3 4 13 0

x y

x y

(5;7)A

CH đi qua H và vuông góc AH :3 4 7 0HC x y

C là giao điểm của AC và HC tọa độ của C là nghiệm của hệ 3 4 7 0

3 4 13 0

x y

x y

10 3;

3 4C

Ví dụ 3: (B - 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các

đỉnh B, C thuộc đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ của B và C, biết diện tích

của tam giác ABC bằng 18.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d

AH qua điểm A và vuông góc BC : 3 0AH x y

H là giao điểm của AH và đường thẳng d

tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình

3 0 7 1;

4 0 2 2

x yH

x y

Ta có: ( ; 4)B d B m m , lại có H là trung điểm của BC (7 ; 3 )C m m

2 2(2 7) (2 7) 2 7 2BC m m m và 9

( , )2

AH d A d

1 9 3

18 2 7 2. 18 2 7 42 22

ABCS m m m hoặc 11

2m

Với 3 3 5

;2 2 2

m B

và 11 3

;2 2

C

Với 11

2m

11 3;

2 2B

và 3 5

;2 2

C

Vậy hai điểm cần tìm là 3 5

;2 2

B

, 11 3

;2 2

C

hoặc 11 3

;2 2

B

,3 5

;2 2

C

A

B C

H’

D

K

I

A(-1; 4)

B C

H




Ví dụ 4: (D - 2010) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -7), trực

tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết hoành độ

của điểm C là một số dương

Giải:

Gọi M là giao điểm của AH và BC,

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

( )C có tâm I và bán kính 74IA

2 2( ) : 2 74C x y

AH qua A và H : 3 0AH x

K là giao điểm của khác A của AH và đường tròn (C)

2 22 74

(3 ; 7)3 0

x yK

x

(vì k A )

Gọi M là trung điểm của HK (3;3)M

Ta có: KBC KAC

KBC HBCKBC HBC

HBK là tam giác cân tại B BC là trung trực của HK

BC qua M và vuông góc HK : 3 0BC y

C là giao điểm của BC và đường tròn (C)

2 22 74( 2 65 ; 3)

3 0

x yC

y

Ví dụ 5: (B - 2010) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh

C(-4; 1), Phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường

thẳng BC, biết diện tich tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ là một số dương

Giải: Gọi AD là đường phân giác trong của góc A.

Gọi d là đường thẳng qua C và vuông góc AD : 5 0d x y

Gọi M là giao điểm của d và AD

tọa độ M là ngiệm của hệ 5 0

(0; 5)5 0

x yM

x y

Gọi C’ là giao điểm của d và AD 'CAC là tam giác cân tại A

M là trung điểm của CC’ '(4; 9)C

Ta có: ; 5A AD A m m (m > 0)

' 4 ; 4AC m m , 4 ; 4AC m m

ABC vuông taih A

4' . ' 0 (4 )( 4 ) ( 4 )(4 ) 0 (4 ;1)

4 ( )

mAC AC AC AC m m m m A

m loai

AB qua A và vuông góc với AC 4 0x

Ta có: (4 ; )B AB B b 1AB b và 8AC

124 . 24 1 6 7

2ABCS AB AC b b hoặc 5b

Với 5 (4; 5)b B (loại)

{vì B, C nằm cùng phía so với AD do đó trong trường hợp này AD là phân giác ngoài của góc A}

Với b = 7 (4;7)B

{thỏa đề toán vì B và C nằm khác phía so với AD, Khi đó AD là phân giác trong của góc A}

A(3;-7)

B C

H(3; -1) I(-2;0)

K

.

M

A

B

C’

C(-4; 1)

M D




BC qua B và C nên 4 1

: : 3 4 16 08 6

x yBC BC x y

Vậy đường thẳng cần tìm là :3 4 16 0BC x y .

Ví dụ 6: (D - 2011) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng

tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0.

Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

Giải: Gọi M là trung điểm của AC, gọi AD là phân giác trong góc A

G là trọng tâm của 2ABC BG GM

71 ( 4) 2( 1) 7

;121 1 2( 1) 2

1

M M

MM

x xM

yy

Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AD

: 3 0d x y

Gọi I là giao điểm của d và AD

Tọa độ của điểm I là nghiệm của hệ phương trình:1 0

( 1; 2)3 0

x yI

x y

Gọi B’ là giao điểm của d và AC 'ABB là tam giác cân tại A

I là trung điểm của BB’ '(2; 5)B

Đường thẳng AC đi qua M và B’ : 4 13 0AC x y

Ta có: A là giao điểm của AD và AC (4; 3)A . M là trung điểm của AC (3; 1)C

Vậy hai điểm cần tìm là A(4; 3), C(3; -1)

Ví dụ 7: (B - 2011) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 1

;12

B

.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại

các điểm D, E, F. Cho D(3;1) và đường thẳng EF: y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A

có tung độ là một số dương.

Giải:

BC đi qua B và D : 1 0BC y

Dễ thấy BC // EF ABC là tam giác cân tại A

AD đi qua D và vuông góc BD : 3 0AD x

Ta có: ( ;3)F EF F m

BF = BD

2

21 252 1

2 4m m

hoặc 2m

Với 1m ( 1;3)F

AB qua B và F : 4 3 5 0AB x y

A là giao điểm của AD và AB tọa độ A là nghiệm của hệ 3 0 7

3;4 3 5 0 3

xA

x y

(loại)

Với 2m (2 ;3)F

AB qua B và F : 2 3 5 0AB x y

A là giao điểm của AD và AB tọa độ A là nghiệm của hệ 3 0 13

3 ;4 3 1 0 3

xA

x y

Vậy điểm cần tìm là 13

3 ;3

A

B(-4;1)

B’

A

G(1;1)

C D

M

I

A

C

D(3;1)

E F




Ví dụ 8: (D - 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân

giác trong của góc A là điểm D(1; -1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – 9 = 0.

Tiếp tuyên tại A của đường tròn ngoại tam giác ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0.

Viết phương trình đường thẳng BC.

Giải: A là giao điểm của AB và At

tọa độ của A là nghiệm của hệ 2 7 0

(1; 3)3 2 9 0

x yA

x y

AD đi qua A và D : 1 0AD x

Cách 1:

Gọi M(3; 0) AB .

Goi d là đường thẳng qua M và vuông góc AD 0y

I là giao điểm của AD và d (1;0)I

Gọi M’ là giao điểm của d và AC

'AMM cân tại A I là trung điểm của MM’ '( 1;0)M

AC qua A và M’ :3 2 3 0AC x y

(1;2), (3;2), (3; 2)At AB ACn n n và ( ; )BCn a b lần lượt là VTPT của At, AB, AC và BC

Vì At là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC , ,AB At AC BC

2 2 2 2 2 2 2 2

. . 23 27

2 29. . 1 2 3 2 3 ( 2)

At AB AC BC

At AB AC BC

n n n n a ba b

a bn n n n a b

Với 2 29a b ta có: / /(29; 2) : 29 2 31 0BCn BC x y

Khi đó ta có: 17 45

;13 13

C AC BC C

và 5 21

;4 8

B AB BC B

Không thỏa đề toán vì B, C nằm cùng phía so với AD nên AD là phân giác ngoài của góc A

Với 2a b ta có: ( ; 2 ) : 2 3 0BCn a a BC x y

Khi đó ta có: ( 3; 3)C AC BC C và (3;0)B AB BC B

Thỏa đề toán vì B, C nằm khác phía so với AD nên AD là phân giác trong của góc A

Vậy đường thẳng cần tìm là : 2 3 0BC x y

Cách 2: Gọi E là giao điểm của At và BC

Gọi K là trung điểm AD (1;1)K . Trung trực của AD là d: y – 1 = 0

Ta co: EAB ACB và BAD DAC EAD EAD EAD ACB DAC ADE

ADE cân tại E E là giao điểm của At và d (5;1)E

Đường thẳng AD đi qua điểm D và E : 2 3 0BC x y

Vậy đường thẳng cần tìm là : 2 3 0BC x y

t

M I

A

D(1;-1) B C

M’

E




Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọ a độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường

trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0.

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

Gọi B(a;b) suy ra M5 2

;2 2

a b

. M nằm trên trung tuyến nên : 2a – b + 14 = 0 (1).

B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :x a t

BC t Ry b t

Từ đó suy ra tọa độ N :

6

2

3 6

26 0

6

2

a bt

x a ta b

y b t x

x yb a

y

3 6 6;

2 2

a b b aN

. Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )

Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a - 2b – 9 = 0 (2)

Từ (1) và (2) : 2 14 0 37

37;88 , 20; 315 2 9 0 88

a b aB C

a b b

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M .

Giải

Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên AC qua K(0;2) có

véc tơ pháp tuyến 1; 2 : 2 2 0 2 4 0KH AC x y x y .

B nằm trên BH qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương 1; 2 1 ; 2KH B t t .

M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).

Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 .

Do đó A(4;4),B(2;-2)

Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,

2 2;4 , 3;4BC t t HA . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :

. 0 3 2 2 4 4 0 1HA BC t t t . Vậy : C(-2;1).

A(5;2)

B C x+y-6=0

2x-y+3=0

M

N

H(1;0)

K(0;2)

M(3;1)

A

B C




AB qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương 4 4

2;6 / / 1;3 :1 3

x yBA u AB

:3 8 0AB x y

BC qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến 3;4HA

: 3 2 4 2 0BC x y :3 4 2 0BC x y .

Ví dụ 11: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường

phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0

Giải

Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC):2 3

1 4

x t

y t

, hay :

2 1

4 3 7 0 4;33 4

x yx y n

(BC) cắt (CK) tại C :

2 3

1 4

2 5 0

x t

y t

x y

1 1;3t C

(AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến ;n a b

Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi 4 6 10 2

os =5 16 9 5 5 5

KCB KCA c

Tương tự : 2 2 2

2 2 2 2

a+2b a+2b 2os = 2 4

55 5c a b a b

a b a b

2

0 3 0 3 0

3 4 0 4 41 3 0 4 3 5 0

3 3

a b y y

a ab ba x y x y

(AC) cắt (AH) tại A : 1 2

3

3 0 5

3 4 27 0 31 58231 5;3 , ;25 254 3 5 0 25

3 4 27 0 582

25

y

y x

x yA Ax

x y

x yy

Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ).

B(2;-1)

A

C

3x-4y+27=0

H

K




Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1;3), trung điểm AC là J(-3;1). Điểm A thuộc

Oy , và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường

thẳng BC và đường cao vẽ từ B ?

Giải

- Do A thuộc Oy cho nên A(0;m).

(BC) qua gốc tọa độ O cho nên (BC): ax+by=0 (1).

- Vì IJ là 2 trung điểm của (AB) và (AC) cho nên IJ //BC

suy ra (BC) có véc tơ chỉ phương :

IJ 4; 2 // 2;1 : 2 0u BC x y .

- B thuộc (BC) suy ra B(2t;t) và A(2-2t;6-t) . Nhưng A thuộc Oy cho nên : 2-2t=0 , t=1

và A(0;5). Tương tự C(-6;-3) ,B(0;1).

- Đường cao BH qua B(0;1) và vuông góc với AC cho nên có

1

6; 8 // 3;4 : 4 3 3 03 4

x yAC u BH x y

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. (D - 2013)Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có điểm 9 3

;2 2

M

là trung điểm

cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.

HD: BC qua M và vuông góc IM : 7 33 0AB x y .

( ;7 33)A AB A m m , M là trung điểm AB ( 9; 7 30)B m m

. 0 4HA HB m hoặc 5m

AC qua A và H AC , C AC

CIC IA

ĐS: C(4; 1) và C(-1; 6)

Bài 2. (THPTQG) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của

A lên BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của C lên AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và

trung điểm AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

HD: Gọi M là trung điểm AC : 10 0

(0;10)M d x y

MMH MK

I(1;3) J(-3;1)

A

B C ax+by=0

H




Sử dụng góc để chứng minh AK HM phương trình đường thẳng AK

Ta có: A AK

AMA MH

(loại điểm A trùng K)

ĐS: A(-15; 5)

Bài 3. (B – 2013) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là

17 1;

5 5H

, chân đường phân giác của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M(0;1). Tìm tọa

độ điểm C.

HD: BC qua H và D : 2 7 0BC x y . AH qua H và vuông góc BC : 2 3 0AH x y

A AH

B BC

và M là trung điểm của AB

( 3;3)

(3; 1)

A

B

. AD: y – 3 = 0.

N đối xứng M qua AD (0;5)N . AC qua A và N : 2 3 15 0AC x y

(9;11)C AC BC C

Bài 4. (D – 2013) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn 2 2( ) : ( 1) ( 1) 4C x y và đường

thẳng d: y – 3 = 0.Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc đường thẳng d,

đỉnh M và trung điểm MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P.

HD: ta có: ( , )d I d R d tiếp xức với (C).

MI qua I và vuông góc d : 1 0MI x . ( ) (1; 1)M MI C M (M không thuộc d)

( ;3)N d N m . K là trung điểm MN 1

;12

mK

. ( )K C m = 5; m = -3

. 0MP NI P

ĐS: P(-1; 3) và P(3; 3)

Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ

từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình : x + y – 3 = 0. x – y + 1 = 0 và 2x + y + 1

= 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

HD: ( ;3 )A AD A a a (AD: phân giác, BM : trung tuyến, CH: đường cao)

AB qua A và vuông góc BH : 2 3 6 0AB x y a

(3 8;3 7)B AB BM B a a . Gọi B’ đối xứng B qua AD '(10 3 ;11 3 )B a a AC

Dễ thấy B’ trùng với M do đó B’ là trung điểm AC (20 7 ;19 7 )C a a

15

7C CH a , ,A B C




Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có M(-1; 2), 3 9

;2 2

N

lần lượt là trung điểm của

AB, AC. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC, biết H(2; 1) là trực tâm của tam giác ABC.

HD: AH qua H và vuông góc MN : 3 0AH x y . ( ;3 )A AH A a a

M là trung điểm AB ( 2 ;1 )B a a . N là trung điểm AC (3 ;6 )C a a

. 0BH AC a

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH và

trung tuyến AM lần lượt là: x – 2y – 13 = 0 và 13x – 6y – 9 = 0. Biết tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC là I(- 5; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

HD: (3; 5)A AH AM A .

IM qua I và // AH :3 4 11 0IM x y . 3 17

( ; )7 7

M IM AM M

BC qua M và vuông góc AH BC . ( )B BC B b

M là trung điểm BC ( )C b . ,IB IA b B C

Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn

2 2( ) : 4 4 0C x y y Đường thẳng d: 2x – y – 1 = 0 đi qua trung điểm M của cạnh AB. Viết

phương trình đường thẳng chứa cạnh AB và tìm tọa độ của đỉnh C.

HD: M (2 ;2 1)d M m m . IM = 1

22

R M .

2CI IM C . AB qua M và vuông góc IM AB

Bài 9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy chotam giác ABC cân tại A, phương trình đường thẳng AB, BC lần

lượt là 2 5 0 à 3 7 0x y v x y tìm tọa độ A, C biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm F(1; -3).

HD: viết phương trình AC đi qua F và (AB,BC) = (AC,BC)

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 1 và đường tròn

2 2

C : x 3 y 2 25 . Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn C ( B, C khác A ). Viết

phương trình đường thẳng BC , biết I 1;1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

HD: Viết phương trình phân giác trong AI . Gọi D là giao điểm khác A của AI và (C).

Chứng minh DB = DC = DI ,B C đường tròn (C’) tâm D và bán kính ID

, ( ) ( ')B C C C




Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2), phân giác trong của góc A có

phương trình : 2 1 0d x y , khoảng cách từ C đến đường thẳng d bằng 2 lần khoảng cách từ B đến

đường thẳng d. Tìm tọa độ hai điểm A, C . Biết điểm C thuộc trục tung.

HD: ( ;1 2 )A d A a a

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d . ( , ) 2 ( , )d C d d B d

'B là trung điểm của AC ( )C a

6

( , ) 2 ( , )5

d C d d B d a

Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H(2; 1) và tâm

đường tròn ngoại tiếp I(1; 0). Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình 2 1 0x y .

Tìm tọa độ các đỉnh B, C . Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; -1) và

hoành độ điểm B nhỏ hơn 4.

HD: : ( ) ( )BCD ABC HBC

Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2( ) : 2 24 0C x y x có tâm I và

đườngthẳng d: 3x + 4y – 28 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc (C) và điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC

nhận I làm trực tâm và trung điểm cạnh AC thuộc đường tròn (C), biết điểm C có hoànhđộ dương.

Bài 14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy chohai đường thẳng d: 3x +y +5 = 0, d’: x – 3y +5 = 0 và điểm I(1: -2).

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d, d’ lần lượt

tại B, C sao cho 2 2

1 1

AB AC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn 2 2: 2 4 20 0C x y x y và điểm

A(5; - 6), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao là AD, BE, CF (với

D, E, F lần lượt là chân các đường cao ) . Biết tọa độ các điểm D(-1; -2), E(2; 2), F(-1; 2). Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC. (sử dụng tính chất Trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp AEF)

Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết B(1; -1), Trung tuyến kẻ từ A và kẻ

từ B lần lượt có phương trình là 2 0x y và 7 6 0x y . Cho diển tích của tam giác ABC bằng 2,

Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác (xác định trọng tâm và tham số hóa)

Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 4) đường thẳng chứa cạnh BC có phương

trình 2 0x y , đường trung tuyến từ C có phương trình 13 4 10 0x y . Hãy viết phương trình




đường thẳng d đi qua B và cắt cạnh AC đồng thời tổng khoảng cách từ hai điểm A , C đến đường thẳng

d đạt giá trị lớn nhất.

Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có trực tâm H(5; 5), đường thẳng chứa

cạnh BC có phương trình x +y – 8 = 0. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giácABC đi qua hai điểm M(7;

3) , N(4; 2). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(2; 1). Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm B, C sao cho

tam giác ABC vuông tại A. Xác định tọa độ hai điểm B, C khi diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ

nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần

lượt có phương trình là : 3x + 5y – 8 = 0 và x – y – 4 = 0. Đường thẳng qua A vuông góc BC cắt đường

tròn ngoại tiếp ABC tại điểm D(4; -2). Viết phương trình đường thẳng AB và AC biết rằng hoành độ

của điểm B không lớn hơn 3.

Bài 22. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

2 2C :x y 4x 2y 0 và đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 0 . Biết diện

tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC ( với I là tâm của đường tròn C ) và điểm A có

tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 23. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2( ) : 2 24 0C x y x có tâm I và đường

thẳng d: 3x + 4y – 28 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc (C) và điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC

nhận I làm trực tâm và trung điểm cạnh AC thuộc đường tròn (C), biết điểm C có hoành độ dương.

Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 0135BAC , đường cao BH có phương

trình 3x + y + 10 = 0. Trung điểm của cạnh BC là 1 3

;2 2

M

và trực tâm H(0; -10). Biết tung độ của

điểm B âm. Xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 25. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của đoạn AB.

Biết rằng 11 5 13 5

; , ;3 3 3 3

I E

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC;

các điểm M(3; - 1), N(-3; 0) lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết A

có tung độ dương.

Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, biết B(1; 4), trọng tâm G(5;

4) và AC = 2AB. Tìm tọa độ điểm A, C.

Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC

sao cho AB = 3AM. Đường tròn tâm I(1; -1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của




tam giác ABC, biết đường thẳng BC đi qua 4

; 03

N

, phương trình đường CD : x – 3y – 6 = 0 và điểm C

có hoành độ dương.

Bài 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (3; 3),A tâm đường tròn ngoại tiếp (2;1),I

phương trình đường phân giác trong góc BAC là 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng 8 5

5BC và

góc BAC nhọn.

Bài 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao

kẻ từ B là 3 18 0,x y phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC là 3 19 279 0,x y

đỉnh C thuộc đường thẳng : 2 5 0.d x y Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng 0135 .BAC

Bài 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. Gọi D là trung điểm của

AB, E nằm trên đoạn AC sao cho AC = 3EC. Biết phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là x – 3y + 1 = 0 và

điểm 16

;13

E

. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Bài 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) và H là trực tâm. Gọi

2 2: 2 4 4 0C x y x y là đường tròn đi qua các trung điểm của các đoạn thẳng HA, HB, HC. Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.


giẢi tam giÁc trong tỌa ĐỘ phẲng

Education