bÀi 1 vectƠ vÀ tỌa ĐỘ -...

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH

5

BÀI 1

VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. HỆ TỌA ĐỘ

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy gồm hai trục vuông góc nhau x’Ox và y’Oy với 2 vectơ đơn vị lần lượt là i

r

và j mà: 1|||| == jir

x’Ox: trục hoành

y’Oy: trục tung

O: gốc tọa độ

II. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Cho hệ tọa độ Oxy và một vectơ u tùyý. Luôn luôn có một cặp số thực duy nhất (u1;u2) sao cho:

juiuu .. 21 +=

Cặp số thực (u1;u2) này được gọi là tọa độ của vectơ u và ký hiệu là )u;(u 21=u

Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ: )u;(u 21=u và )v;(v 21=v . Ta có:

1.) îíì

==

Û=.

.

22

11

vu

vuvu

2.) );( 2211 vuvuvu ±±=±

3.) )..;.(. 21 ukukuk = )( RkÎ

4.) Tích vô hướng: .... 2211 vuvuvu +=

5.) Độ dài vectơ: 22

21|| uuu +=

6.) 2

22

12

22

1

2211

.||.||

.),cos(

vvuu

vuvu

vu

vuvu

++

+==

7.) 0. =Û^ vuvu

8.) u và v cùng phương khi và chỉ khi: 0.. 1221 =- vuvu

III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM


6

Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M tùy ý. Tọa độ (x; y) của vectơ

OM được gọi là tọa độ của điểm M và ký hiệu là: M(x; y).

x: hoành độ.

y: tung độ.

Chú ý:

Nếu hạ MP OyMQOx ^^ ; thì OQyOPx == , .

Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Ta có:

1.) );( ABAB yyxxAB --=

2.) 22 )()( ABAB yyxxAB -+-=

3.) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số 1¹k , tức là: MBkMA .= , thì tọa độ của M là:

kyky

yMkxkx

x BABAM -

-=

--

=1

.;

1.

4.) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

2;

2BA

IBA

I

yyy

xxx

+=

+=

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

1. Cho tam giác ABC với: A(1; 0), B(5; 0), C(2; 3). Tìm các điểm sau của tam giác:

a.) Trọng tâm G.

b.) Trực tâm H.

c.) Chân A’ của đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.

d.) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp.

Giải

Gọi (x; y) là tọa độ của điểm cần tìm.

a.) G là trọng tâm tam giác ABC nên:

;38

3=

++= CBA

G

xxxx 1

3=

++= CBA yyy

yG

Vậy: G ( 1;38

)

b.) H là trực tâm tam giác ABC nên:

ïî

ïíì

=

=

0.

0.

ACBH

BCAH

Mà: );1( yxAH -= ; )3;3(-=BC ;

);5( yxBH -= ; )3;1(=AC


7

Nên điều kiện trên thành:

îíì

=+-=+--03)5(1

03)1(3

yx

yx

îíì

=+=-

Û53

333

yx

yx

Giải hệ này ta được: x = 2, y = 1

Vậy: H(2; 1)

c.) A’ là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC nên:

Mà: );;1(' yxAA -= );3;3(-=BC );5(' yxBA -=


îíì

=+-=+--03)5(3

03)1(3

yx

yx

îíì

=+=-

Û5

1

yx

yx


Vậy: A’(3; 2)

d.) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên:

îíì

==

ICIA

IBIA

ïî

ïíì

=

=Û

22

22

ICIA

IBIA

ïî

ïíì

-+-=+-

+-=+-Û

2222

2222

)3()2()1(

)5()1(

yxyx

yxyx

îíì

=+=-

Û63

0248

yx

x

Giải hệ này ta được: x = 3 ; y = 1

Vậy: I(3;1)

2. Cho tam giác ABC với: A(1; 5), B(-4; -5), C(4; -1). Tìm tọa độ các điểm sau của tam giác:

a.) Chân D của đường phân giác trong góc A trên cạnh BC.

b.) Chân D’ của đường phân giác ngoài góc A trên cạnh BC.

c.) Tâm J của đường tròn nội tiếp.

Giải

Gọi (x; y) là tọa độ của điểm cần tìm.

a.) D là chân đường phân giác trong góc A trên cạnh BC nên D chia đoạn BC

theo tỷ số:

35

53

55

)55()14(

)55()41(22

22

-=-=++-

+++-=-=

ACAB

k

Do đó tọa độ của D là:


8

54 .4

3 1;51 13

B Cx kxx

k

- +-= = =

- +

55 .( 1) 53

51 213

B Cy kyy

k

- + --= = = -

- +

b.) D’ là chân đường phân giác ngoài góc A trên cạnh BC nên D’ chia đoạn BC theo tỷ số: 35

==ACAB

l

Do đó tọa độ của D’ là:

;16

35

1

4.35

4

1=

-

--=

--

=llxx

x CB 5

35

1

)1.(35

5

1=

-

---=

--

=llyy

y CB

c.) J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BJ là đường phân giác trong góc B trong tam giác ABD. Ta có J là chân đường phân giác trong góc B trên cạnh AD nên J chia đoạn AD theo tỷ số:

2-=-=BDBA

h

Do đó tọa độ của J là:

;1211.21

1=

++

=--

=hhxx

x DA 021

)25

(25

1=

+

-+=

--

=hhyy

y DA

3. Cho ba điểm: A(-3; 3), B(-5; 2), C(1; 1)

a.) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

b.)Chứng tỏ CAB ˆ là góc tù.

c.) Tính diện tích tam giác ABC.

d.) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải

a.) Ta có: )2;4(),1;2( -=--= ACAB

Và: .084).1()2).(2( ¹=----

Nên AB và AC không cùng phương, tức là ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Do �ó A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

Ta có: )( .053

)2()4(.)1()2(

)2).(1()4).(2(,cosˆcos

2222<-º

-+-+-

--+-º= BABACAB

rr

Nên CAB ˆ là góc tù.

b.) Diện tích tam giác ABC:

)(4259

1.20.521ˆcos1..

21ˆsin..

21 2 đvdtCABACABCABACABS =-=-==

c.) Ta có: S = pr

Mà: )3753(21

)52375(21

)(21

+=++=++= CABCABp

Nên: 3753)3753).(3753(

)3753(8

)3753(21

4-=

-+-

=+

==pS

r


9

4. Chứng minh các bất đẳng thức:

a.) yxyxyxyxyx ,,2)(sinsinsin4)(sincoscos4 222222 "³-++-+

b.) zyxzyzyzxzxyxyx ,,,222222 "++³+++++

Giải

a.) Trong hệ tọa độ Oxy:

Với mọi x, y xét hai vectơ:

));sin(;cos2( yxxcoxya -= ))sin(;sinsin2( yxyxb -=

Ta có: ))sin(2);cos(2( yxyxba --=+

Và: |||| ba + ³ || ba +

Nên:

.,,;2)(sinsinsin4)(sincoscos4 222222 yxyxyxyxyx "³-++-+

Trong hệ tọa độ Oxy:

Với mọi x, y, z, xét hai vectơ:

);2

3;

2(

yyxa += )

23

;2

(zz

xb -+=

Ta có: )2

32

3;

22(

zyzyba +-=-

Và: |||| ba + ³ || ba -

Nên:

2222 )2

3()

2()

23

()2

(zz

xyy

x -+++++ ³ 22 )2

32

3()

22(

zyzy++-

Hay: zyxzyzyzxzxyxyx ,,;222222 "++³+++++

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

13cos6cos2cos2cos 22 ++++-= aaaay

Giải

Ta có: 4)3(cos1)cos1( 22 ++++-= aay

Trong hệ tọa độ Oxy, xét hai vectơ: )1;cos1( a-=a và Rb Î+= aa ),2;3(cos

Thì: )3;4(=+ ba

Và áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được:

|||| bay += ³ a"=+=+ ,534|| 22ba

ay Û= 5 và b cùng hướng bkak .:0 =>$Û


10

îíì=

+=-Û

k

k

21

)3.(coscos1 aa

ïïî

ïïí

ì

=

-=Û

21

31

cos

k

a

Vậy: 5min =yR

C. CÁC BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Cho ba điểm: A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2). Tìm điểm D sao cho:

a.) ACABCD .3.2 -=

b.) 0.4.2r

=-+ CDBDAD

c.) ABCD là hình bình hành

d.) DÎOx và ABCD là hình thang đáy là AB.

2. Cho điểm A(3; 1). Tìm các điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc tọa độ thứ nhất.

3. Cho một tam giác có trung điểm các cạnh là : M(1; 4), N(3; 0),

P(-1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

4. Cho hai điểm A(1; -1), B(4; 3). Tìm tọa độ những điểm M, N chia AB thành ba đoạn bằng nhau.

5. Cho tam giác ABC có A(-1; 2), B(2; 1) và trực tâm H(1; 2). Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp.

6. Cho tam giác đều ABC có A(2; 1) và B(-1; 2). Tìm đỉnh C.

7. Cho hai điểm A(-3; 2) và B(1; 1). Tìm điểm M trên Oy sao cho:

a.) Diện tích tam giác ABM là 3.

b.) MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

8. Cho hai điểm A(1; -1) và B(3; 2). Tìm điểm M trên Oy sao cho:

a.) 045ˆ =BMA b.) BMA ˆ nhỏ nhất

9. Chứng minh các bất đẳng thức:

a.) xxxxx "³++++- ,525252 22

b.) yxyyyxyxx ,,5106124 2222 "³+-+++-++

c.) ,24)(6226)(2 ³+-+++ yxyx với mọi x, y

thỏa x2 + y2 = 4

d.) Rcbabacbacba Î+³++++- ,,,2)()( 222222

10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

32822 22 +-++-= xxxxy

ĐÁP SỐ

1. a.) (-5; -2) b.) (11; 2) c.) (4; -4) d.) ( 0;3

10)


11

2. B(2; 4), C(-1; 3)

3. (-3; 5), (5; 3), (1; -3)

4. M(2; 31

), N(3; 35

)

5. I(1; 3)

6. C1(2

333;

231 ++

), C2(2

333;

231 --

)

7. a.) M1(0; 4

11), M2(0; -

41

) b.) M(0; 23

)

8. a.) M1(0; -1), M2(0; 4) b.) M(0; -25

)

10. 34min =y

BÀI 2

ĐƯỜNG THẲNG


I. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1.) Vectơ chỉ phương:

Một vectơ 0¹u được gọi là một vectơ chỉ phương của đường

thẳng )(D nếu giá của u song song hoặc trùng với (D ).

2.) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ );( 21 uuu = làm vectơ chỉ phương là:

îíì

+=+=

20

10

tuyy

tuxx ( RtÎ )

Chú ý: nếu đường thẳng )(D có vectơ chỉ phương );( 21 uuu = với u1¹ 0 thì )(D có hệ số góc: 1

2

uu

k =


12

3.) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và có vectơ chỉ phương );( bau = với a và b khác 0 là:

byy

axx 00 -=

-

4.) Vectơ pháp tuyến:

Một vectơ 0¹n được gọi là một vectơ

pháp tuyến của đường thẳng )(D nếu n vuông góc với vectơ chỉ phương của )(D .

5.) Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến );( ban = là:

0)()( 00 =-+- yybxxa

6.) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

0=++ cbyax )0( 22 ¹+ ba

Ta có: );( ban = là một vectơ pháp tuyến, còn );( abu -= hoặc );( ab- là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

7.) Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) với a và b khác 0 là:

1=+by

ax

8.) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: y = kx + b

Trong đó atan=k là hệ số góc của đường thẳng , a là góc giữa tia Mt (phần đường thẳng nằm phía trên Ox, M là giao điểm của đường thẳng với Ox) với tia Mx.

9.) Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) và có hệ số góc bằng k là:

)( 00 xxkyy -=-

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho hai đường thẳng:

0:)( 1111 =++D cybxa

0:)( 2222 =++D cybxa

Đặt: ;122122

11 bababa

baD -== ;1221

22

11 cbcbcb

cbDx -==

122122

11 acacac

acDy -==

Ta có:

1.) ( 1D ) và )( 2D cắt nhau khi và chỉ khi D 0¹ . Tọa độ giao điểm:

.;D

Dy

DD

x yx ==

2.) )//()( 21 DD khi và chỉ khi D = 0 và 0¹xD hay 0¹yD .


13

3.) )()( 21 DºD khi và chỉ khi D = Dx = Dy = 0.

Đặc biệt nếu a2, b2, c2 khác 0 thì:

1.) ( 1D ) và )( 2D cắt nhau khi và chỉ khi 2

1

2

1

bb

aa¹

2.) )//()( 21 DD khi và chỉ khi 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

¹=

3.) )()( 21 DºD khi và chỉ khi 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

==

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hai đường thẳng )( 1D và )( 2D cắt nhau tạo thành 4 góc đôi một bằng nhau. Số đo của góc bé nhất trong bốn góc đó được gọi là số đo của góc hợp bởi hai đường thẳng )( 1D và )( 2D .

Vậy nếu j là góc hợp bởi hai đường thẳng )( 1D và )( 2D thì: 00 900 ££j .

Góc j hợp bởi hai đường thẳng:

0:)( 1111 =++D cybxa

0:)( 2222 =++D cybxa

luôn luôn bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến );( 111 ban = và );( 222 ban = của hai đường thẳng nên:

22

22

21

21

2121

21

2121

.

||

||.||

|,||),cos(|cos

baba

bbaa

nn

nnnn

++

+===j

Dĩ nhiên ta cũng có : |),cos(|cos vu=j , với vu, lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

V. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho điểm M0(x0; y0) và đường thẳng

)0(0:)( 22 ¹+=++D bacbyax

Khoảng cách từ điểm M0 tới đường thẳng )(D là:

22

000

||);(

ba

cbyaxMd

+

++=D

· Chú ý: Cho hai điểm M(xM; yM), N(xN; yN) và đường thẳng 0:)( =++D cbyax

Ta có:

M và N nằm cùng phía đối với )(D khi và chỉ khi: 0))(( >++++ cbyaxcbyax NNMM

M và N nằm cùng phía đối với )(D khi và chỉ khi: 0))(( <++++ cbyaxcbyax NNMM


1.1.) Cho tam giác ABC biết A(1; 3), B(-1; 2),C(5; 1). Viết phương trình của:

a.) Đường cao AH.

b.) Đường trung trực )(D của cạnh BC.


14

2.) Cho đường thẳng (D): 0143 =+- yx và điểm M(3; 2). Viết phương trình của đường thẳng (D’) một khoảng bằng 4 trong các trường hợp sau:

a.) (D’) nằm trong nửa mặt phẳng giới hạn bởi (D) chứa M.

b.) (D’) nằm trong nửa mặt phẳng giới hạn bởi (D) không chứa M.

Giải

0.);( =ÛÎ BCAMAHyxM 1.) a.) Ta có:

)1;6(),3;1( -=--= BCyxAM Mà:

Nên:

0)3(1)1(6);( =---ÛÎ yxAHyxM

036 =--Û yx

Vậy phương trình đường cao AH là: 036 =-- yx

b.) Ta có:

021212

)1()5()2()1(

)1()5()2()1(2222

2222

=--Û-+-=-++Û

-+-=-++Û

yx

yxyx

yxyx

Vậy phương trình đường trung trực (D )của cạnh BC là: 021212 =-- yx

2.) a.) Ta có:

îíì

=>+-+-

ÛÎ4))(,(

0)143).(143()'();(

DNd

yxyxDyxN MMNN

NN

ïî

ïíì

=+-

>+-Û

45

|143|

0)143(2

NN

NN

yx

yx

01943 =--Û NN yx

Nên phương trình của (D’) là: 01943 =-- yx

b.) Ta có:

îíì

=<+-+-

ÛÎ4))(,(

0)143).(143()'();(

DNd

yxyxDyxN MMNN

NN

ïî

ïíì

=+-

<+-Û

45

|143|

0)143(2

NN

NN

yx

yx

02143 =+-Û NN yx

Nên phương trình của (D’) là: 02143 =+- yx

2. 1.) Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết trung điểm ba cạnh AB, BC, AC lần lượt là: M(2; 1), N(5; 3), P(3; -4)

2.) Cho tam giác ABC biết A(-2; 1), B(2; 5), C(4; 1). Viết phương trình của:

M

H

A

B C


15

a.) Đường cao BH.

b.) Đường trung trực của cạnh AB.

Giải

1.) Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có: NP//AB.

Cạnh AB chính là đường thẳng đi qua M(2; 1) nhận )7;2( --=NP làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

0122771

22

=--Û--

=--

yxyx

Tương tự phương trình các cạnh BC và AC lần lượt là:

01832

0285

=--=-+

yx

yx

2.) a.) Đường cao BH chính là đường thẳng qua B(2; 5) nhận )0;6(=AC làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của đường cao BH là:

020)5(0)2(6 =-Û=-+- xyx

b.) Đường trung trực của cạnh AB là đường thẳng vuông góc

với cạnh AB tại trung điểm I của AB, nên chính là đường thẳng đi qua

I(0; 3) nhận )4;4(=AB làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của đường trung trực cạnh AB là:

030)3(4)0(4 =-+Û=-+- yxyx

3. 1.) Cho tam giác ABC biết A(1; 3), B(-1; 2), C(5; 1). Viết phương trình của:

a.) Các cạnh của tam giác.

b.) Đường trung tuyến AM.

c.) Đường phân giác trong AD của góc A.

d.) Đường phân giác ngoài AD’ của góc A.

2.) Cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; -1), C(11; 2). Viết phương trình đường thẳng qua A và chia tam giác ABC thành hai tam giác có tỷ số diện tích bằng 2.

Giải

1.) a.) Cạnh AB chính là đường thẳng đi qua A(1; 3) nhận )1;2( --=AB làm vectơ chỉ phương. Vậy phương trình của cạnh AB là:

05213

21

=+-Û--

=--

yxyx

Tương tự: Phương trình cạnh AC: 072 =-+ yx

Phương trình cạnh BC: 0116 =-+ yx


16

b.) Tọa độ trung điểm M của cạnh BC là M (2; 23

)

Đường trung tuyến AM chính là đường thẳng đi qua hai điểm A và M, nên tương tự câu a.) phương trình của đường trung tuyến AM là:

0923 =-+ yx

c.) Tương tự câu a.) của ví dụ 2 trang 3, ta tìm được D(1; 35

)

Đường phân giác trong góc A chính là đường thẳng đi qua hai điểm A và D nên tương tự câu a.) ta có phương trình của đường phân giác trong AD là:

01=-x

d.) Tương tự câu b.) của ví dụ 2 trang 3 ta tìm D’(-7; 3)

Đường phân giác ngoài góc A chính là đường thẳng đi qua hai điểm A và D’ nên tương tự câu a.) ta có phương trình của đường phân giác ngoài AD’ là: 03 =-y .

2.) Gọi D là giao điểm của đường thẳng cần tìm với cạnh BC và hạ AH^BC. Ta có hai trường hợp:

a.) 2)()(=

DDACDSABDS

Suy ra: 2

.21

.21

=AHCD

AHBD hay: 2=CDBD

Vậy D chia cạnh BC theo tỷ số k = - 2 nên tọa độ của D là:

11 2.28

1 1 2B Cx kx

xk

- += = =

- +,

1 2.21

1 1 2B Cy ky

yk

- - += = =

- +

Phương trình của đường thẳng cần tìm chính là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 3) và D(8; 1). Nên tương tự câu 1.2) ta có phương trình của đường thẳng này là:

2x + 5y – 21 = 0

Tương tự ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 01523 =-+ yx

b.) ( )

2( )

S ACDS BCDD

=D

Suy ra:

1.

2 2 21

.2

CD AH CDhay

BDBD AH= =

Vậy D chia cạnh CB theo tỷ số k = -2 nên tọa độ của D là

11 2.2 2 2( 1)5, 0

1 1 2 1 1 2c b c bx kx y ky

x yk k

- -+ + -= = = = = =

- + - +

4. 1.) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và tạo với đường thẳng (D): 0432 =++ yx một góc 1350

2.) Một tam giác cân có cạnh đáy và một cạnh bên có phương trình lần lượt là: ;053 =+- yx 012 =-+ yx

Viết phương trình của cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1; -3)

A

B CH D


17

3.) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm P(2; 5) sao cho khoảng cách từ điểm Q(5; 1) đến đường thẳng đó bằng 3.

Giải

1.) Gọi );( ban = 0¹ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua M(2; 1) thì phương trình của đường thẳng có dạng:

0)2(0)1()2( =+-+Û=-+- babyaxybxa

Đường thẳng này tạo với đường thẳng (D) một góc 1350, tức là tạo với (D) một góc nhọn 450, nên:

222222

0

.13

|32|22

.32

|32|45cos

ba

ba

ba

ba

+

+=Û

++

+=

|32|2)(26 22 baba +=+Û 222 )32(4)(26 baba +=+Û

05245 22 =--Û baba

Xem đẳng thức này như phương trình bậc 2 theo a, giải ra ta được:

55

baba -=Ú=

Vậy có thể chọn: a = 5, b = 1 và b = - 5, a = 1

Ta được phương trình của đường thẳng cần tìm là:

0115 =-+ yx hay 035 =+- yx

2.) Gọi 0);( ¹= ban là một vectơ pháp tuyến của cạnh bên đi qua M(1; -3) thì phương trình cạnh bên này có dạng:

0)3(0)3()1( =-++Û=++- abbyaxybxa

Tam giác cân có góc tạo thành bởi hai cạnh bên với đáy bằng nhau nên:

22

22222222|3|.5

21.)1(3

|2.11.3|

.)1(3

|3|baba

ba

ba+=-Û

+-+

+=

+-+

- 222)3(5 baba +=-Û

021522 22 =+-Û baba

Xem đẳng thức này như phương trình bậc hai theo a, giải ra ta được:

112

2b

ab

a =Ú=

Vậy có thể chọn: b = 2, a = 1 và b = 11, a = 2

Với a = 1, b = 2 ta có đường thẳng x + 2y + 5 = 0, song song với cạnh bên đã cho nên không thể là cạnh bên còn lại của tam giác.

Với a = 2, b = 11 ta có phương trình của cạnh bên còn lại của tam giác cân là:

031112 =++ yx

3.) Gọi 0);( ¹= ban là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua P(2; 5) thì phương trình của đường thẳng có dạng:

0)52(0)5()2( =+-+Û=-+- babyaxybxa

Khoảng cách từ Q(5; 1) đến đường thẳng này bằng 3 nên:


18

Với b = 0 thì a ¹ 0 nên phương trình đường thẳng là: x – 2 = 0.

Với 7b = 24a ta có thể chọn b = 24, a = 7. Và phương trình của đường thẳng là:

0134247 =-+ yx

5.) 1.) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 2) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B khác gốc 0 sao cho: OA = OB.

2.) Viết phương trình đường thẳng qua N(1; 3) cắt hai nửa trục dương Ox, Oy tại P và Q sao cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ nhất.

Giải

1.) Gọi 0);( ¹= ban là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng qua M(1; 2) thì phương trình của đường thẳng là:

0)2(0)2()1( =+-+Û=-+- babyaxybxa

Vì đường thẳng cắt Ox và Oy tại A, B khác O nên ta có: ba ¹¹ 0 và 02 ¹+ ba

Hoành độ giao điểm A: .2

0a

baxy A

+=Þ=

Tung độ giao điểm B: b

bayx B

20

+=Þ=

Ta có: ||

1||

1|2||2|||||

babba

aba

xxOBOA BA =Û+

=+

Û=Û= (vì 0|2| ¹+ ba )

baba ±=Û=Û ||||

a.) a = b: Phương trình đường thẳng là: 03 =-+ yx

b.) a = -b: Phương trình đường thẳng là: 01=+- yx

2.) Gọi );( ban = với a > 0, b > 0 là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua N(1; 3) thì phương trình của đường thẳng là:

0)3()1( =-+- ybxa 0)3( =+-+Û babyax

Hoành độ giao điểm P: 03

0 >+

=Þ=a

baxy P

Tung độ giao điểm Q: 03

0 >+

=Þ=b

bayx Q

Diện tích tam giác OPQ:

329

2269

2)3(

||.||.21

..21 222

++=++

=+

===ab

ba

ababba

abba

yxOQOPS QP

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

329

.2

229

2=³+

ab

ba

ab

ba

Vậy : 6³S

Và: babaab

ba

S 3929

26 22 =Û=Û=Û= (vì a > 0, b > 0)


19

Nên: 6min =S , đạt được khi: a = 3b.

Lúc đó chọn: b = 1 thì a = 3 và ta được phương trình của đường thẳng là: 063 =-+ yx

6. 1.) Viết phương trình của đường thẳng (D2) đối xứng với đường thẳng (D1): 0542 =++ yx qua điểm M(1; 2)

2.) Viết phương trình của đường thẳng (D2) đối xứng với đường thẳng 0122:)( 1 =-- yxD qua đường thẳng (D): x – y – 3 = 0

Giải

1.) Đường thẳng (D2) đối xứng với (D1) qua M nên (D2)//(D1). Vậy phương trình của )( 2D có dạng: 042 =++ cyx

Mặt khác:

255151042

15

42

|10|),(),(

222212 -=Ú=Û±=+Û+

=+

+Û= CCC

CDMdDMd

Với C = 5 thì (D2)º (D1), không nhận được.

Với C = - 25 thì phương trình của (D2) là: 2x + 4y – 25 = 0

2.) Các đường thẳng (D1) và (D) song song với nhau nên (D2) đối xứng với (D1) qua (D) thì (D2)//(D1)

Vậy phương trình của (D2) có dạng: 022 =+- Cyx

Trong phương trình của (D) cho y = 0 ta được x = 3.

Nên điểm I(3; 0) Î (D). Ta có : d(I; D2) = d(I; D1)

1115656)2(2

5

)2(2

62222

-=Ú-=Û±=+Û=+Û-+

=-+

+Û CCCC

C

Với C = -1 ta có (D2) º (D1) nên không nhận được.

Với C = -11 ta có phương trình của (D2) là : 2x – 2y – 11 = 0.

7. Viết phương trình của đường thẳng (D) cách A(1; 1) một khoảng bằng 2 và cách B(2; 3) một khoảng bằng 4.

Giải

Phương trình tổng quát của đường thẳng (D):

ax + by + c = 0. (a2 + b2 ¹ 0)

Ta có:

îíì

==

.4),(

.2),(

DBd

DAd

ïïî

ïïí

ì

=+

++

=+

++

Û

.432

.2

22

22

ba

cba

ba

cba

ïî

ïíì

+=++

+=++Û

.432

.2

22

22

bacba

bacba


20

( ) ( )( ) ( )

( )îíì

++±=+++=++

Ûïî

ïíì

+=++

++=++Û

.232

.4

.4

.232 222

222 cbacba

bacba

bacba

cbacba

( ) ( )( )

( ) ( )îíì

++-=+++=++

Úîíì

++=+++=++

Û).(232

.4

.232

.4 222222

cbacba

bacba

cbacba

bacba

ïî

ïíì

--=

+=++Ú

îíì

=+=++

Û.

354

).(4)(

.

).(4)(222

222

bac

bacba

cb

bacba

.0.

.34

0

.3

54

.032435

.

.04322

2

===Úïî

ïíì

=

=Ú=Û

ïî

ïíì

--=

=+-Ú

îíì

==-

Û cbacb

baaba

c

baba

cb

aba

).0()34

()0( ===Ú=Ù=Ú=Ù=Û cbacbbacba

Vậy:

* a = 0Ù b = c : Ta có b = c ¹ 0 vì a2 + b2 ¹ 0. Nên phương trình đường thẳng là: y + 1 = 0.

* a = cbb =Ù34

: Chọn b = c = 3 thì a = 4 và phương trình đường thẳng là: 4x + 3y + 3 = 0.

* a = b = c = 0 : Trường hợp này không nhận được.

Tóm lại có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của bài toán có phương trình là: y + 1 = 0 ; 4x + 3y + 3 = 0.

8. Cho hai đường thẳng:

:)( 1D (m – 2)x + (m – 6)y + m – 1 =0.

:)( 2D (m – 4)x + (2m – 3)y + m – 5 = 0.

Biện luận theo m vị trí tương đối của )( 1D và ( 2D ).

Khi )( 1D và )( 2D cắt nhau tại I, tìm quỹ tích của I.

Giải

a.) Xét hệ gồm hai phương trình của (D 1) và (D 2). Ta có:

D = (m - 2)(2m - 3) – (m - 4)(m - 6) = m2 + 3m – 18 = (m + 6)(m – 3)

Dx = ( m – 6)(m – 5) – (2m – 3)(m – 1) = - m2 – 6m + 27

= - (m + 9)(m – 3).

Dy = (m – 1)(m – 4) – (m – 5)(m – 2) = 2(m – 3).

Nên: D = 0Û m = -6 v m = 3.

Vậy:

Nếu m ¹ -6 và m ¹ 3 thì D ¹ 0 nên (D 1)và (D 2) cắt nhau.

Nếu m = -6 thì D = 0 và Dx = 27 ¹ 0 nên (D 1) // ( 2D )

Nếu m = 3 thì D = Dx = Dy = 0 nên(D 1)trùng ( 2D )

b.) Nếu m ¹ -6 và m ¹ 3 thì (D 1)và (D 2) cắt nhau tại I.

Ta có:


21

I

ïïî

ïïí

ì

¹+

==

-¹+

--=++

-==

.06

2

16

31

69

mD

Dy

mmm

DDx

x

y

Suy ra: 2x + 3y = -2.

Vậy quỹ tích của I là đường thẳng (d): 2x + 3y + 2 = 0, bỏ đi điểm A (-1; 0).

Cho đường thẳng (D m): (2m + 1)x + (3m – 2)y + m – 3 = 0.

Chứng minh rằng khi m hay đổi, (D m)luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Giả sử I (xo; yo) là điểm cố định của đường thẳng(D m) khi m thay đổi, thì:

(2m + 1)xo + (3m – 2)yo + m – 3 = 0, "m

Û (2xo + 3yo + 1)m + (xo – 2yo – 3), "m

îíì

=--=++

Û032

0132

oo

oo

yx

yx

Giải hệ này ta được: xo = 1; yo = -1.

Vậy khi m thay đổi, (D m)luôn luôn đi qua một điểm cố định I(1; -1).

10. Cho họ đường thẳng (D m): mx – m2y – 1 = 0. Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho:

a.) Có một đường thẳng của họ (D m) đi qua.

b.) Không có đường thẳng thẳng nào của họ (D m) đi qua.

Giải

Giả sử I(x0;y0) là điểm cần tìm

a.) Có một đường thẳng của họ )( mD đi qua I khi phương trình theo ẩn số m: 0102

0 =+- mxmy có một nghiệm.

Điều đó xảy ra trong các trường hợp:

ïî

ïíì

=-

¹Û

îíì

=D¹

¹Ù=

04

0

0

0.)

00.)

02

0

00

00

yx

yy

xy

b

a

Vậy các điểm cần tìm ở trên trục hoành: y = 0 và parabol ,4

2xy = bỏ điểm O(0;0).

b.) Không có đường thẳng nào của họ )( mD đi qua I khi phương trình theo ẩn số m: 0102

0 =+- mxmy vô nghiệm

Điều đó xảy ra trong các trường hợp:

ïî

ïíì

<-

¹Û

îíì

<D¹

==

04

0

0

0.)

0.)

02

0

00

00

yx

yy

xy

b

a

Vậy các điểm cần tìm là gốc O(0; 0) và các điểm thuộc mặt phẳng Oxy giới hạn bởi parabol 4

2xy = gạch

chéo trên đồ thị (không kể biên).


22

ïî

ïíì DÎ

AH

H )(

11. a.) Tính góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng: 052 =+- yx , 063 =-+ yx

b.) Tính góc tù tạo bởi hai đường thẳng: 02673 =+- yx , 01352 =-+ yx

Giải

a.) Gọif là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng,ta có:

2

1

13).1(2

1).1(.3.2cos

222=

+-+

+=f

Suy ra: f =450.

b.)Gọi a là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng,ta có:

.2

1

52.)7(3

5).7(2.3cos

2222=

+-+

-+=a

Suy ra: a =450

Do đó góc tù tạo bởi hai đường thẳng là: .135180 00 =-= ab

12.) Cho đường thẳng (D): x-2y+4=0 và điểm A(4;1)

a.)Tính khoảng cách từ A tới (D) và tọa độ hình chiều vuông góc H của A xuống (D)

b.)Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (D)

Giải

a.) Khoảng cách từ A đến (D ) là:

556

5

|424|

)2(1

|42|),(

22=

+-=

-+

+-=D AA yx

Ad

Gọi (xH; yH) là tọa độ của H ta có:

cùng phương với vectơ pháp tuyến )2;1( -=nr

của (D )

Ta có: )1;4( --= HH yxAH


îíì

=----=+-

0)1()4(2

042

HH

HH

yx

yx îíì

=-+=+-

Û092

042

HH

HH

yx

yx

Giải hệ này ta được: 5

17;

514

== HH yx


23

Vậy: )5

17;

514

(H

b.) Gọi (x;y) là tọa độ của A’. Ta có A’ đối xứng với A qua )(D nên H là trung điểm của đoạn AA’. Do đó:

ïïî

ïïí

ì

=

=Û

ïïî

ïïí

ì

+=

+=

52958

21

517

24

514

y

x

x

x

Vậy: )529

;58

('A

13. Cho đường thẳng ( mD ) : 012)1()2( =-+-+- mymxm . Định m để ( mD ) cắt đoạn thẳng BC với B(2; 3) và C(1; 0)

Giải

Ta có )( mD cắt đoạn thẳng BC khi hai điểm B, C nằm hai bên của đường thẳng ( mD ). Điều đó xảy ra khi:

0]12)1()2].[(12)1()2[( £-+-+--+-+- mymxmmymxm CCBB

0]12)2].[(12)1(3)2(2[ £-+--+-+-Û mmmmm

78

1

0)33)(87(

££Û

£--Û

m

mm

14. a.) Lập phương trình của đường phân giác góc nhọn hợp bởi hai đường thẳng:

;01243:)( 1 =+-D yx 07512:)( 2 =-+D yx

b.) Lập phương trình của đường phân giác góc tù hợp bởi hai đường thẳng:

;0634:)( 1 =+- yxd 010125:)( 2 =++ yxd

Giải

a.) Phương trình của đường phân giác của góc hợp bởi )( 1D và ( 2D ) là:

2222 512

|7512|

)4(3

|1243|

+

-+=

-+

+- yxyx

êë

é=+-=-+

Û).(01212799

).(01917721

2

1

Dyx

Dyx

Trong phương trình của đường thẳng )( 1D cho x = 0 ta được

y = 3, nên M(0; 3) là một điểm thuộc )( 1D và ta có M không thuộc )( 2D .

Mặt khác:

2222212799

40))(;(

7721

40))(;(

+=>

+= DMdDMd

Nên đường phân giác của góc nhọn hợp bởi hai đường thẳng )( 1D và ( 2D ) là (D2): 99x – 27y + 121 = 0

b.) Phương trình của đường phân giác của góc hợp bởi (d1) và (d2) là:

2222 125

|10125|

)3(4

|634|

+

++=

-+

+- yxyx


24

êë

é=++=+-

Û)(01282177

)(0289927

2

1

Dyx

Dyx

Trong phương trình của đường thẳng (d1) cho x = 0 ta được y = 2, nên M(0; 2) là một điểm thuộc (d1) và ta có M không thuộc (d2)

Mặt khác:

2222212177

170))(;(

9927

170))(;(

+=<

+= DMdDMd

Nên đường phân giác của góc tù hợp bởi hai đường thẳng (d1) và (d2) là (D2): 01282177 =++ yx

15. Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm P(2; -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng ( 1D ) ;052: =+- yx 0163:)( 2 =-+D yx , tạo ra một cảm giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường

thẳng )( 1D và )( 2D

Giải

Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng đi qua P vuông góc với các đường phân giác của góc hợp bởi ( 1D ) và ( 2D )

Phương trình của các đường phân giác này là:

2222163

163

)1(2

52:)(

+

-+=

-+

+- yxyxd

Hay: 01693 =+- yx

Hay: 01439 =++ yx

Đường thẳng qua P vuông góc với (d1) nhận vectơ chỉ phương của (d1) là )3;9(=u làm vectơ pháp tuyến

nên phương trình là: 0)1(3)2(9 =++- yx hay 053 =-+ yx .

Đường thẳng P vuông góc với (d2) nhận vectơ chỉ phương của (d2) là )9;3( -=v làm vectơ pháp tuyến

nên phương trình là: 0)1(9)2(3 =+-- yx hay 053 =-- yx

Tóm lại có hai đường thẳng có phương trình là:

053 =-+ yx và 053 =-- yx

16. Cho đường thẳng 022:)( =--D yx và hai điểm A(1; 2),

B(2; 5). Tìm điểm M trên (D ) để MA + MB nhỏ nhất.

Giải

Ta có: 050)2102)(241()22)(22( >=----=---- BBAA yxyx

Nên hai điểm A và B nằm cùng bên đối với )(D

Gọi )';'(' yxA là điểm đối xứng của A qua (D ), ta có )2';1'(' --= yxAA cùng phương với vectơ pháp

tuyến )2;1( -=n của )(D và trung điểm )2

1';

21'

(++ yx

H của đoạn AA’ ở trên )(D nên:


25

ïî

ïíì

=-+

-+

=----

02)2

2'(2)

21'

(

0)2'(1)1'(2

yx

yx

îíì

=--=-+

Û07'2'

04''2

yx

yx

Giải hệ này ta được: 2';3' -== yx

Vậy : )2;3(' -A

Ta có A’ đối xứng với A qua )(D nên MA = MA’

Suy ra: MA + MB = MA’ + MB

Trong tam giác MA’B ta có: MA’ + MB ³A’B (không đổi)

Và: MA’ + MB = A’B khi M ở trên đoạn A’B, mặt khác M )(DÎ nên M chính là giao điểm của (D ) với đọan A’B.

Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi điểm M là giao điểm của (D ) với đoạn A’B, Vì A’ và B nằm hai bên đối với )(D nên giao điểm này cũng chính là giao điểm của (D ) với đường thẳng A’B.

Đường thẳng A’B chính là đường thẳng đi qua )2;3(' -A nhận )7;1(' -=BA làm vectơ chỉ phương nên phương trình là:

72

13 +=

-- yx

0197 =-+Û yx

Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:

îíì

=-+=--

0197

022

yx

yx

Giải hệ này ta được: 31

,38

== yx

Vậy : )31

;38

(M


B(2; -3). Tìm điểm M trên )(D để |MA – MB| lớn nhất.

Giải

Ta có: 050)192)(195()13)(13( <-=-+--=---- BBAA yxyx

Nên hai điểm A và B nằm hai bên )(D

Gọi )';'(' yxA là điểm đối xứng của A qua )(D , ta có )3';5'(' --= yxAA cùng phương với vectơ pháp

tuyến )3;1( -=n của )(D và trung điểm H(2

3';

25' ++ yx

) của đoạn AA’ ở trên )(D nên:

ïî

ïíì

=-+

-+

=----

01)2

3'(3)

25'

(

0)3'(1)5'(3

yx

yx

îíì

=--=-+

Û06'3'

018''3

yx

yx

Giải hệ này ta được: 6'=x ; 0'=y

Vậy: )0;6('A

Ta có A’ đối xứng với A qua (D ) nên MA = MA’


26

Suy ra: |MA – MB|=|MA’ – MB|

Trong tam giác MA’B ta có: |MA’ – MB|£A’B (không đổi)

Và: |MA’ – MB|= A’B khi M ở ở trên đường thẳng A’B nhưng không ở giữa A’ và B, mặt khác M )(DÎ nên M chính là giao điểm của )(D với phần đường thẳng A’B đó.

Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi điểm M là giao điểm này cũng chính là giao điểm của )(D với

đường thẳng A’B.

Đường thẳng A’B chính là đường thẳng đi qua A’(6; 0) nhận )3;4(' --=BA làm vectơ chỉ phương nên phương trình là:

30

46

--

=-- yx

01843 =--Û yx

Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:

îíì

=--=--

01843

013

yx

yx


Vậy: M(10; 3)

18. Chứng minh rằng khi m thay đổi , họ đường thẳng ( mD )

0342)1( 22 =+-++- mmmyxm

luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Giải

Giả sử khi m thay đổi , họ đường thẳng )( mD luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định tâm I(x0;y0),

bán kính R(x0; y0 hằng số còn R là hằng số dương)

Ta có: d(I; mD ) = R, m"

mRmm

mmmyxm"=

+-

+-++-Û ,

)2()1(

|342)1(|222

200

2

mmRmmmyxm

mmRmmmyxm

"+±=+-++-Û

"+=+-++-Û

),1(342)1(

),1(|342)1(|22

002

2200

2

Xét hai trường hợp:

a.) mmRmmmyxm "+=+-++- ),1(342)1( 2200

2

ïî

ïí

ì

=-+=-=-+-

Û

"=-++-+-+-Û

03

0)2(2

01

,0)3()2(2)1(

0

0

0

0020

Rx

y

Rx

mRxmymRx

2;2;1 00 ==-=Û Ryx

b.) mmRmmmyxm "+-=+-++- ),1(342)1( 2200

2


27

ïî

ïí

ì

=++=-=++-

Û

"=+++-+++-Û

03

0)2(2

01

,0)3()2(2)1(

0

0

0

0020

Rx

y

Rx

mRxmymRx

2,2,1 00 -==-=Û Ryx (loại)

Vậy với mọi m, )( mD luôn luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I(-1; 2), bán kính R = 2.

C. BÀI TẬP THỰC TẬP

1. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2)

a.) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết phương trình các đường cao: BH: ;0439 =-- yx CH: 02 =-+ yx

b.) Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AC.

2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh là: M(-1; -1), N(1; 9), P(9; 1)

3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 3) và hai đường trung tuyến có phương trình là: 012 =+- yx và 01 =-y

4. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua M(8 ;6) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12 (đvdt)

5. Cho ba điểm: A(1; 2), B(3; 0), C(-4; -5)

a.) Viết phương trình của đường thẳng đi qua A cách đều hai điểm B và C.

b.) Viết phương trình của đường thẳng cách đều ba điểm A, B, C.

6. Viết phương trình của đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng:

0532:)(,0123:)( 21 =+-D=+-D yxyx

a.) Đi qua điểm M(2; 1)

b.) Song song với đường thẳng 2x-7y-2=0

7. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2; -1), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là: 02743 =+- yx và 052 =-+ yx

8. Cho hình vuông có một đỉnh A(-4; 5) và có một đường chéo đặt trên đường thẳng 087 =+- yx . Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông đó.

9. Lập phương trình của đường thẳng đi điểm I(-2; 0) và tạo với đường thẳng 033 =-+ yx một góc 450.

10. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết:

a.) Đỉnh B(2; 6), phương trình một đường cao và một đường phân giác vẽ từ cùng 1 đỉnh là: 0157 =+- yx và 057 =++ yx

b.) Đỉnh A(3; -1), phương trình một đường phân giác và một đường trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau là: 0104 =+- yx và 059106 =-+ yx

11. Viết phương trình của hai đường thẳng lần lượt qua A(1; 5), B(3; -1) và đối xứng với nhau qua đường thẳng (D): 0623 =-- yx

12. Cho hai đường thẳng (D) và (D’) có phương trình chung: 06 22 =-+ yxyx

a.) Chứng tỏ rằng đó là hai đường thẳng phân biệt, và hãy viết phương trình của mỗi đường thẳng đó.


28

b.) Viết phương trình chung của các đường phân giác của góc tạo bởi (D) và (D’)

13. Viết phương trình đường thẳng qua N(1; 3) cắt hai nửa trục dương Ox, Oy tại P và Q sao cho:

a.) OP + OQ nhỏ nhất

b.) 22

11OQOP

+ nhỏ nhất

14. Cho hai điểm M và N lần lượt lưu động trên trục Ox và Oy sao cho: kONOM =+ (k là một hằng số). Gọi E là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật mà hai cạnh là OM và ON. Chứng minh rằng đường thẳng qua E vuông góc với MN thì đi qua một điểm cố định.

15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác vuông ABC có cạnh vuông AC = 2, BC = 1. A di động trên Ox, B di động trên Oy. Tìm quỹ tích đỉnh góc vuông C của tam giác đó.

16. Cho họ đường thẳng ( mD ): .012 =+-myxm Tìm quỹ tích các điểm trong mp sao cho:

a.) Có một đường thẳng của họ ( mD ) đi qua.

b.) Có hai đường thẳng của họ ( mD ) đi qua.

17. Tìm các giá trị nguyên của m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên:

03:)( 1 =-+D ymx ; 012:)( 2 =--+D mmyx

18. Cho phương trình : mx + m(m – 1)y – 1 = 0 (1)

a.) Định m để (1) là phương trình của đường thẳng ( mD )

b.) ( mD ) có đi qua điểm cố định nào không ?

19. Cho đường thẳng (D): 01cos2sincos =+++ aaa yx

a.) Chứng minh rằng khi a thay đổi, (D) luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

b.) Cho điểm I(-2; 1). Dựng IH vuông góc với (D), H )(DÎ và kéo dài IH một đoạn HN = 2 IH. Tính tọa độ của N theo a .

20. Cho hai điểm A(1; 1), B(7; 4) và đường thẳng (d): 042 =-- yx . Chứng minh rằng (d) cắt đoạn AB tại một điểm M. M chia đoạn AB theo tỷ số nào ?

21. Cho đường thẳng )( mD : 012)1()2( =-+-+- mymxm

a.) Chứng minh rằng )( mD luôn luôn đi qua một điểm cố định A.

b.) Xác định đường thẳng )( mD cách B(2; 3) một đoạn lớn nhất.

22. Xác định tọa độ các đỉnh của một tam giác có M(-1; 1) là trung điểm của một cạnh còn hai cạnh kia có phương trình là: 02 =-+ yx ; 0362 =++ yx


B(2; 5). Tìm điểm M trên )(D sao cho || MBMA + nhỏ nhất.

24. Cho đường thẳng 013:)( =--D yx và hai điểm A(5; 3), B(2; -3). Tìm điểm M trên )(D sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.

ĐÁP SỐ

1. a.) x – y = 0; x + 3y – 8 = 0; 7x + 5y – 8 = 0.b.) 3x – y – 4 = 0

2. 0145;0;0145 =-+=-=-+ yxyxyx

3. 014:;072:;02: =--=-+=+- yxBCyxACyxAB


29

4. 02483;01223 =+-=-- yxyx

5. a.) 0975 =+- yx

b.) 0375 =-- yx , ,0957 =-- yx 03 =++ yx

6. a.) 01938 =-+ yx b.) 0773510 =+- yx

7. ,0534: =-+ yxBC 0174:,03: =-+=- yxAByAC

8. Đường chéo: .0317 =-+ yx Các cạnh:

0743;02434;0134;03243 =+-=-+=++=+- yxyxyxyx

9. 042;022 =++=+- yxyx

10. a.) 0543;0207;01034 =-+=-+=+- yxyxyx

b.) 0411318;02576;0659 =-+=--=-+ yxyxy

11. 019229;052 =--=-- yxyx

12. a.) 03,02 =+=- yxyx b.) 014 22 =-- yxyx

13. a.) 0)31(333 =+-+ yx b.) 0103 =-+ yx

14. (k; k)

15. 2||,1||,2 ££±= yxxy

16. a.) x = 0, y2 – 4x = 0, bỏ điểm (0; 0) b.) y2 – 4x > 0, x ¹ 0

17. m = 0, m = -2.

18. a.) 0¹m b.) không

19. a.) I(-2; 0); R = 1

b.)N( )1(sinsin31);1(sincos32 +-+-- aaaa )

20. k = 21

21. a.) A(1; -3) b.) x + 6y + 17 = 0

22. A(47

;4

15- ), )

41

;49

(),47

;41

( -CB

23. M(21

;3 )

24. M(43

;4

13)

BÀI 3

ĐƯỜNG TRÒN


I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R. 222 )()( Rbyax =-+-


30

2. Phương trình: 02222 =+--+ cbyaxyx với 022 >-+ cba , là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán

kính cbaR -+= 22

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Cho đường thẳng )(D và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R.

Gọi d(I,D ) là khoảng cách từ I đến )(D . Ta có:

d(I,D ) < R Û )(D cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

d(I,D ) = R Û )(D tiếp xúc với (C) .

d(I,D ) < R Û )(D không cắt (C) .

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Cho hai đường tròn (C1) và (C2) có tâm và bán kính lần lượt là I1,R1 và I2,R2. Ta có:

212121 || RRIIRR +<<- Û (C1) và (C2) cắt nhau

2121 RRII += Û (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài.

|| 2121 RRII -= Û (C1) và (C2) tiếp xúc trong.

2121 RRII +> Û (C1) và (C2) ở ngoài nhau.

|| 2121 RRII -< Û (C1) và (C2) ở trong nhau.

B. BÀI TẬP ỨNG DỤNG

1. Lập phương trình của các đường tròn:

a.) Đường kính AB với A(1; 2) và B(-2; 0)

b.) Đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 3), B(1; 1) và C(2; 4)

Giải

a.) Đường tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm của đoạn AB và có bán kính R = 2AB

Ta có: I( 1;21

- ) và 213

)02()21(21

222 =-++==

ABR

Nên phương trình của đường tròn đường kính AB là:

413

)1()21

( 22 =-++ yx

b.) Phương trình của đường tròn có dạng:

02222 =+--+ cbyaxyx

Đường tròn qua ba điểm A, B, C nên:

ïî

ïí

ì

=+--+=+--+=+-++

084164

02211

06291

cba

cba

cba

ïî

ïí

ì

=-+=-+-=+-

Û2084

222

1062

cba

cba

cba

Giải hệ này ta được: 5,4

11,

43

=== cba


31

Vậy phương trình của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là:

052

112322 =+--+ yxyx

2. Cho (Cm): 0138)2(2)1(2 222 =+-+---++ mmymxmyx

a.) Tìm m để (Cm) là đường tròn.

b.) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn (Cm) khi m thay đổi.

Giải

a.) (Cm) là đường tròn khi:

0)138()2()]1([0 22222 >+---+--Û>-+ mmmmcba

)(24

822

a>Ú-<Û-+Ûmm

mm

b.) Lúc đó tọa độ tâm I của đường tròn (Cm) là:

îíì

-=-=

)2(2

)1(1

my

mxI

Khử m giữa tọa độ của I ta được: 01 =++ yx

Mặt khác từ (1) ta có: m = 1 – x, và do điều kiện )(a ta suy ra:

512141 >Ú-<Û>-Ú-<- xxxx

Vậy quỹ tích của I là phần đường thẳng : 1++ yx = 0 với 1-<x hay 5>x

3. Cho (Cm): 01)4()2(22 =+++-+++ mymxmyx

a.) Xác định m để (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

b.) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.

c.) Tìm tập hợp tất cả các điểm mà (Cm) không thể đi qua.

Giải

a.) Ta có:

b.) )84(21

)1()2

4()

22

( 22222 ++=+-+

++

-=-+ mmmmm

cba

0]4)2[(21 2 >++= m , với mọi m.

Nên (Cm) luôn luôn là đường tròn

Bán kính của (Cm) là:

2]4)2[(21 222 ³++=-+= mcbaR , với mọi m

Và: R = 2022 -=Û=+Û mm

Nên R nhỏ nhất bằng 2 khi m = -2

Vậy khi m = -2 thì (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

b.) Giả sử (Cm) luôn luôn đi qua điểm cố định I(x0;y0) thì:

x02 + y0

2 + (m + 2)x0 - (m + 4)y0 + m + 1 = 0, m"


32

myxyxmyx "=+-++++-Û ,0)142()1( 002

02

000

îíì

=+-++=+-

Û)2(0142

)1(01

002

02

0

00

yxyx

yx

Từ (1) ta suy ra: y0 = x0 + 1

Thế vào (2) ta được: 01)1(42)1( 002

02

0 =++-+++ xxxx

1

01

0

20

±=Û=-Û

x

x

Vậy: x0 = 1 Þy0 = 2

x0 = -1 Þy0 = 0

Do đó (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định có tọa độ (1; 2) và (-1; 0)

c.)Giả sử M(x1; y1) là điểm mà (Cm) không thể đi qua,thì phương trình theo ẩn số m: 01)4()2( 11

21

21 =+++-+++ mymxmyx

0)142()1( 112

12

111 =+-++++-Û yxyxmyx

là phương trình vô nghiệm.

Xảy ra khi:

îíì

¹+-++

=+-

0142

01

112

12

1

11

yxyx

yx

îíì

±¹=+-

Û1

01

1

11

x

yx

Vậy tập hợp tất cả các điểm mà (Cm) không thể đi qua là đường thẳng: x – y + 1 = 0, bỏ đi hai điểm có hoành độ x = 1±

4. Cho ba điểm: A(-5; -1), B(-2; 1), C(4; 5). Tìm quỹ tích các điểm M nhìn hai đoạn thẳng AB, BC dưới hai góc bằng nhau.

Giải

Ta có: )2;3(=AB , )6;9(=AC

Nên: ABAC 3= , do đó hai vectơ ACAB. cùng phương. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Ta có điểm M nhìn hai đoạn thẳng AB, AC dưới hai góc bằng nhau nên MB chính là đường phân giác trong góc M của tam giác MAC. Suy ra:

MAMCBCAB

MCMA

221

132

13=Û===

Gọi (x; y) là tọa độ điểm M, ta có:

MC = 2MA

22 4MAMC =Û

021616

])1()5[(4)5()4(22

2222

=++++Û

+++=-+-Û

yxyx

yxyx

Đây là phương trình đường tròn tâm I(-8; -3), bán kính

A B C

M


33

R = 13221)3()8( 22 =--+-

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(-8; -3), bán kính

R = 2 13

5. Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng )(D :

mx – y – 3m – 2 = 0 với đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0

Giải

Ta có (C) là đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = 5

Khoảng cách từ I đến )(D là: d(I,D )=1

|3|2 +

+

m

m

Ta có: d(I, D ) < R 51

|3|2

<+

+Û

m

m )1(5|3| 2 +<+Û mm

)1(5)3( 22 +<+Û mm 0232 2 >--Û mm

221

>Ú-<Û mm

Nên: nếu m < 21

- hay m > 2 thì d(I,D ) < R nên )(D cắt (C).

Nếu m = -21

hay m = 2 thì d(I, D ) = R nên )(D tiếp xúc (C).

Nếu 221

<<- m thì d(I, D ) > R nên (D ) không cắt (C)

6. Viết phương trình của đường thẳng cắt đường tròn (C):

x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0 theo một dây cung đi qua M(3; 0) có độ dài nhỏ nhất, lớn nhất.

Giải

(C) là đường tròn tâm I(-1; 2), bán kính R = 5

Ta có IM2 – R2 = - 5 < 0, nên M nằm trong đường tròn (C).

Đường thẳng đi qua M cắt (C) theo dây AB.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

MA + MB 2³ MBMA. (không đổi)

Đẳng thức xảy ra khi: MA = MB

Vậy dây AB có độ dài nhỏ nhất khi M là trung điểm AB lúc đó IM ^AB.

Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua M nhận )2;4( -=IM làm vectơ pháp tuyến nên phương trình

là:

0)0(2)3(4 =--- yx hay: 062 =-- yx

Mặt khác AB R2£

Nên dây AB lớn nhất khi AB là đường kính của (C)

AM

B

I


34

Lúc đó đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng đi qua hai điểm I và M. Đó là đường thẳng đi qua M

nhận )2;4( -=IM làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

20

43

--

=- yx

Hay: x + 2y – 3 = 0

7. Tìm điểm M trên đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 4y + 9 = 0, sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng )(D : 3x – 4y + 8 = 0, là nhỏ nhất, lớn nhất.

Giải

Ta có: x2 + y2 – 6x + 4y + 9 = 0 Û (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4

(C) là đường tròn tâm I(3; -2), bán kính R = 2

Gọi M(x0;y0) là điểm cần tìm trên (C), ta có:

(x0 – 3)2 + (y0 + 2)2 = 4 (1)

Khoảng cách từ M đến )(D là:

0 0 0 0

1 1( , ) | 3 4 8 | | 3( 3) 4( 2) 25 |

5 5d M x y x yD = - + = - - - +

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta được:

10)2()3(.)4(3|)2(4)3(3| 20

20

2200 =++--+£--- yxyx [do(1)]

3525)2(4)3(315

10)2(4)3(310

00

00

£++--£Û£+--£-Û

yx

yx

Vậy ta có: ]25)2(4)3(3[51

),( 00 ++--=D yxMd

Và: 3 £ d(M,D ) £ 7

Trong bất đẳng thức trên dấu bằng xảy ra khi:

)3(34

24

23

300

00 --=+Û-+

=-

xyyx

Thế vào (1) ta được:

59

521

2536

)3(4)3(9

16)3( 00

20

20

2 =Ú=Û=-Û=-+- xxxxx

Và 52

59

;5

18521

0000 -=Þ=-=Þ= yxyx

Vậy:

ïî

ïíì

-==Û=D

³D

52

;59

3),(

3),(

00 yxMd

Md

Nên điểm M1(52

;59- ) ở trên (C) có khoảng cách đến đường thẳng (D ) là nhỏ nhất

Và:


35

ïî

ïíì

-==Û=D

£D

518

;521

7),(

7),(

00 yxMd

Md

Nên điểm M2(5

18;

521

- ) ở trên (C) có khoảng cách đến đường thẳng )(D là lớn nhất.

8. Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 4y – 1 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến )(D với (C) biết:

a.) )(D tiếp xúc (C) tại M(1; 2)

b.) )(D đi qua A(0; -1)

c.) )(D song song với (D): 3x – 4y + 2011= 0

Giải

Ta có (C) là đường tròn tâm I(-2; 2) bán kính R = 3

a.) )(D tiếp xúc (C) tại M nên )(D chính là đường thẳng đi qua M(1; 2) nhận

)0;3(=IM làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của )(D là: 3(x – 1) = 0

hay x – 1 = 0

b.) Gọi ( ; ) 0n a b= ¹r r

là vectơ pháp tuyến của )(D thì phương trình của )(D có dạng:

a(x – 0) + b(y + 1) = 0

Û ax + by + b = 0

)(D là tiếp tuyến của (C) nên:

RId =D),( 3|32|

22=

+

+-Û

ba

ba

223|32| baba +=+-Û

Nếu a = 0 thì b ¹ 0 nên phương trình của )(D là: y + 1 = 0

Nếu 5a + 12b = 0 thì ta có thể chọn a = 12, b = -5 nên phương trình của )(D là: 12x – 5y – 5 = 0

c.) )(D song song với (D): 3x – 4y + 2011 = 0, nên )(D nhận vectơ chỉ phương u =(4;3) của (D) làm vectơ chỉ phương nên phương trình của )(D có dạng: 3x – 4y + c = 0

Vì )(D là tiếp tuyến của (C) nên:

129151415|14|35

|14|),( -=Ú=Û±=-Û=-Û=

-Û=D cccc

cRId

Vậy có hai tiếp tuyến là: 02943:)( 1 =+-D yx

0143:)( 2 =--D yx

I

I

M

R

A


36

9. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

(C1): 05622 =+-+ xyx

(C2): 04461222 =+--+ yxyx

Giải

Ta có: (C1) là đường tròn tâm I1(3;0), bán kính R1 = 2

(C2) là đường tròn tâm I2(6;3), bán kính R2 = 1

Đường thẳng )(D : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0¹ ) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) khi:

îíì

=D=D

22

11

),(

),(

RId

RId

ïïî

ïïí

ì

=+

++

=+

+

Û1

|36|

2|3|

22

22

ba

cbaba

ca

ïî

ïíì

+=++

+=+Û

22

22

|36|

2|3|

bacba

baca

îíì

++=++=+

Û|36|2|3|

)(4)3( 222

cbaca

baca

îíì

++±=++=+

Û)36(23

)(4)3( 222

cbaca

baca

a.) Trường hợp 1:

îíì

++=++=+

)36(23

)(4)3( 222

cbaca

baca

)2(

)1(

Từ (2) ta suy ra: c = -9a -6b (3)

Thế vào (1) ta được: 0944)(4)66( 22222 =++Û+=-- abbababa

Coi phương trình này như phương trình bậc hai theo a, giải ra ta được:

ba )8

179(

±-=

Chọn b = 1 thì 8

179 ±-=a và

817933

68

)179(9 ±=-

±--=c

Vậy ta được hai tiếp tuyến chung là:

0)17933(8)179(

0)17933(8)179(

=----

=+--+

yx

yx

b.) Trường hợp 2: ( ) ( )

( )îíì

++-=++=+

cbaca

baca

3623

43 222

( )( )4

1

từ (4) ta suy ra: c = -5a – 2b.

Thế vào (1) ta được: ( ) ( ) 04422 222 =Û+=-- abbaba .

Vì a, b không cùng bằng 0, nên ta có:

* a = 0¹ b, c = - 2b

* a¹ 0 = b, c = -5a.

Vậy ta được hai tiếp tuyến chung là: y – 2 = 0 và x – 5 = 0.


37

Tóm lại (C1) và (C2) có bốn tiếp tuyến chung có phương trình là:

x – 5 = 0.

y – 2 = 0.

( ) ( ) .0179338179 =+--+ yx

( ) ( ) .0179338179 =---- yx

10. Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 9, và một điểm A (4; -6) nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AT1 và AT2 với đường tròn, trong đó T1, T2 là các tiếp điểm. Viết phương trình của đường thẳng T1T2.

Giải

a.) Ta có (C) là đường tròn tâm O, bán kính R = 3.

Mặt khác AT1 và AT2 là các tiếp tuyến của (C).

Nên AT1^OT1, AT2^OT2. Do đó T1, T2 ở trên đường tròn đường kính OA.

Đường tròn này có tâm I là trung điểm OA nên

( )13

264

2

22

=-+

=OA

I ( )3;2 - và bán kính R` =

Nên có phương trình:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 13.

Hay x2 + y2 - 4x + 6y = 0

Ta có tọa độ của T1 và T2 là nghiệm của hệ phương trình:

ïî

ïíì

=+-+

=+

064

922

22

yxyx

yx

Suy ra tọa độ của T1 và T2 nghiệm đúng phương trình:

4x – 6y – 9 = 0.

Nên phương trình này chính là phương trình của đường thẳng T1T2.

11. Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 – 1 = 0.

Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.

Giải

Ta có (Cm) là họ đường tròn tâm I (m, -m), Bán kính R = 1.

Giả sử (Cm) luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định:

( Δ ):ax + by + c = 0 (a2 + b2± 0).

Ta có:

d(I, Δ ) = R, "m 3 .,122

mba

cbmam"=

+

+-Û

.,22 mbacbmam "+=+-Û

( ) .,222 mbacbmam "+=+-Û

IA O

T

T

1

2


38

( ) ( ) mbacmbacmba "=--+-+-Û ,02 22222

( )ïî

ïí

ì

=--=-

=-Û

0

02

0

222 bac

bac

ba

( )( )( )3

2

1

Từ (1) ta có: a = b, Và (2) luôn luôn thỏa.

Mà a2 + b2 ¹ 0 nên a, b đều khác O.

Từ (3) ta có: c2 = a2 + b2 = 2b2 2bc ±=Û .

Vậy phương trình của ( Δ ) là:

bx + by 2b± = 0 .02 =±+Û yx

(Cm) luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định có phường trình: .02 =±+ yx

12. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường tròn:

(C1): x2 + y2 - 1 = 0.

(C2): x2 + y2 - 2(m + 1) + 4my – 5 = 0.

Giải

Ta có: (C1) là đường tròn tâm O, bán kính R = 1.

(C2) là đường tròn tâm I(m + 1; -2m) , bán kính

R2 = ( ) ( ) 521 22 +-++ mm .

Suy ra: OI = ( ) ( )22 21 mm -++ ,

R1 + R2 = ( ) ( ) 521 22 +-++ mm +1.

Rõ ràng: R2 > R1 nên

|R2 – R1| = R2 – R1 = ( ) ( ) 521 22 +-++ mm - 1.

Ta có: OI < R1 + R2, với mọi m.

Còn: OI > |R2 – R1| ( ) ( ) ( ) ( ) 152121 2222 -+-++>-++Û mmmm

( ) ( ) ( ) ( ) .521211 2222 +-++>-+++Û mmmm

( ) ( ) ( ) ( ) .521211 222

22 +-++>÷øöç

èæ -+++Û mmmm

( ) ( )22 21 mm -++Û

( ) ( ) 421 22 >-++Û mm

0325 2 >-+Û mm

.53

1 >Ú-<Û mm

Vậy:

a.) Nếu m < -1 hay m > 53

thì |R2 – R1| <OI < R1+R2 nên (C1) và (C2) cắt nhau.


39

b.) Nếu m = -1 hay m = 53

thì OI = |R2 – R1| nên (C1), (C2) tiếp xúc nhau.

c.) Nếu -1 < m < 53

thì OI < |R2 – R1| nên (C1) nằm trong (C2).

13. Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 – 2(m – 1)x – (m +6)y +m + 10 = 0.

Chứng minh rằng các đường tròn(Cm) luôn luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định A khi m thay đổi.

Giải: Ta chứng minh bất kỳ hai đường tròn khác nhau nào thuộc họ (Cm) luôn luôn có một điểm chung duy nhất là điểm A cố định.

Điều đó xảy ra khi hệ sau đây:

( ) ( )( ) ( )ïî

ïíì

=+++---+

=+++---+

010612

010612

22222

11122

mymxmyx

mymxmyx

( )( )2

1

Luôn luôn có nghiệm duy nhất không phụ thuộc m1, m2 với mọi m1, m2 mà m1¹ m2.

Trừ (1) cho (2) theo từng vế ta được: (m1 – m2)(2x + y – 1) = 0.

Suy ra: 2x +y – 1 = 0.(vì m1 – m2 )0¹

Hay: y = 1 – 2x.

Thế vào (1) xong rút gọn ta được: x2 + 2x + 1 = 0.

Suy ra: x = -1 do đó y =3.

Vậy hệ luôn luôn có nghiệm duy nhất x = -1, y = 3 không phụ thuộc m1, m2, với mọi m1, m2 mà m1¹ m2.Nên các đường tròn thuộc họ (Cm) luôn luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định A (-1; 3) khi m thay đổi.


1. Lập phương trình của đường tròn;

a.) Tâm I (1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ( Δ ): x – 2y – 2 = 0

b.) Tâm I (3; 1) và chắn trên đường thẳng ( Δ ): x – 2y + 4 = 0 một đoạn bằng 4.

c.) Qua hai điểm E (-1; 2), F (-2; 3) và có tâm nằm trên đường thẳng ( Δ ): 3x – y + 10 = 0.

d.) Qua hai điểm E (1; 2), F (3; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ( Δ ): 3x + y – 3 = 0.

e.) Có bán kính R = 10 , tiếp xúc với đường thẳng ( Δ ):

3x + y – 3 = 0 và có tâm ở trên đường thẳng ( Δ `):x + y – 5 = 0.

f.) Đi qua M (1; 0) và tiếp xúc với hai đường thẳng ( Δ 1):

x + y – 2 = 0 và ( Δ 2): x + y + 3 = 0.

g.) Đi qua M (3; 1) và có bán kính R = 2 và tiếp xúc với đường thẳng ( Δ ): x + y – 1 = 0

h.) Có bán kính R = 5 và nằm trong góc nhọn hợp bởi hai đường thẳng ( Δ 1): 2x – y + 2 = 0 và ( Δ 2): 2x + y – 4 = 0 và tiếp xúc với chúng.

i.) Có bán kính R = 3 5 và tiếp xúc với đường tròn (C):

x2 + y2 = 5 tại M(2; 1)

j.) Đi qua M (4; -1) và tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 = 5 tại N(2; 1)

k.) Có tâm nằm trên đường thẳng ( Δ 1): 2x – y = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng ( Δ 2): 3x – y + 3 = 0 và ( Δ 3): x - 3y + 9 = 0.


40

1. a.) Lập phương trình của đường tròn đối xứng với đường tròn

(C): x2 + y2 – 2x – 6y – 6 = 0 qua đường thẳng ( Δ ):x + y + 1=0.

b.) Lập phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn

(C): x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 qua phép vị tự tâm S(-1; 0), tỷ số

k = 2.

3. Cho họ (Cm): x2 + y2 – 2(cosα - 2 )x + 2 (sinα )y – 2 = 0 (α là tham số).

a.) Xác định α để (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất.

b.) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn (C α ) khi α thay đổi.

4. Cho tam giác ABC với: A (-2; 1), B(3; -1), C(4; 2). Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA2 + MB2 = MC2.

5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 3x– 4y + 5 = 0.Lập phương trình tiếp tuyến ( Δ ) với (C) biết:

a.) ( Δ ) tiếp xúc (C) tại A (2; 3)

b.) ( Δ ) xuất phát từ B(4; 2).

6. Lập phương trình tiếp tuyến ( Δ ) của đường tròn (C):

x2 + y2 – 4x – 5 = 0, biết ( Δ ) vuông góc với đường thẳng (D):

12x +5y + 2000 = 0.

7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

x2 + y2 – 10x + 24y = 56

x2 + y2 – 2x – 4y = 20

8. Lập phương trình của đường thẳng đi qua M (2; 3) và cắt đường tròn (C): x2 + y2 = 25 thành dây cung có độ dài bằng 8.

9. Cho hai đường tròn: 01562:)( 221 =---+ yxyxC

0326:)( 222 =---+ yxyxC

Tìm trên trục tung những điểm M mà từ đó có thể kẻ tới hai đường tròn này những đoạn tiếp tuyến có độ dài bằng nhau (Đoạn tiếp tuyến là đoạn thẳng nối từ M tới tiếp điểm)

10. Tìm trên đường thẳng 05:)Δ( =-+ yx , những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đường tròn (C): x2 + y2 = 1, những đoạn tiếp tuyến có độ dài ngắn nhất.

11. Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ tới đường tròn 9:)( 22 =+ yxC các đoạn tiếp tuyến có độ dài bằng 4. 12. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(3; 2), B(1; 4) và tiếp xúc với trục hoành. Tìm tiếp điểm.

13. Chứng minh rằng họ đường tròn

021

29

24:)( 222 =--+--+ mmmymxyxCm

luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.

14. Cho họ đường tròn 01222:)( 222 =-++-+ mmymxyxCm

a.) Chứng minh rằng các đường tròn (Cm) luôn luôn bằng nhau.

b.) Tùy theo m, biện luận vị trí của điểm A(0; 1) đối với các đường tròn (Cm).

15. Cho hai đường tròn 046y-4x-yx:)(C 221 =++

07014y-10x-yx:)(C 222 =++

Chứng tỏ (C1) và (C2) tiếp xúc nhau, lập phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.


41

ĐÁP SỐ

1. a.) 5)2()1( 22 =-+- yx

b.) 9)1()3( 22 =-+- yx

c.) 5)1()3( 22 =-++ yx

d.) 01273;0728 2222 =+--+=+--+ yxyxyxyx

e.) 10)11()6(;10)1()4( 2222 =-++=-+- yxyx

f.) 825

)47

()45

(,825

)41

()43

( 2222 =++-=-++ yxyx

g.) 2)2

31()

235

(,2)2

31()

235

( 2222 =-

-++

-=+

-+-

- yxyx

h.) 5)2()21

(;5)8()21

( 2222 =++-=-+- yxyx

i.) 45)4()8(;45)2()4( 2222 =-+-=+++ yxyx

j.) 20)3()6( 22 =-+- yx

k.) 5

18)6()3(;

58

)2()1( 2222 =-+-=-+- yxyx

2. a.) 16)2()4( 22 =+++ yx b.) 20)6()3( 22 =++- yx

3. a.) (C α ) là đường tròn với mọi α .Rmin khi ,2πkα = Rmax khi πkπα 2+=

b.) (x + 2)2 + y2 = 1

4. x2 + y2 + 6x + 4y – 5 = 0 (đường tròn tâm I(-3; -2), bán kính

R = 23 )

5. a.) x + 2y – 8 = 0 b.) x – 2y = 0, x + 2y – 8 = 0

6. 5x – 12y – 49 = 0, 5x – 12y + 29 = 0

7. b.)(14 + 710 )x – 21y + (203 + 10 7 ) = 0

(14 - 710 )x – 21y + (203 - 10 7 ) = 0

8. y – 3 = 0; 12x + 5y – 39 = 0

9. M(0; -3)

10. M(25

;25

)

11. ( 0;5± )

12. (9; 0), (1; 0)

13. x – y + 1 = 0; x – 7y – 5 = 0

14. a.) R = 1, m"

b.) m < -1Úm > 0: A ở ngoài (Cm);

m = - 1Úm = 0: A ở trên (Cm);

- 1< m <0: A ở trong (Cm)

15. 3x + 4y – 33 = 0

BÀI 4

ELIP


42


I. ĐỊNH NGHĨA

Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2= 2c > 0. Xét hằng số 2a > 2c.

Elip (E) = { }aMFMFM 2| 21 =+ .

F1 và F2 là các tiêu điểm.

F1F2 = 2c là tiêu cự.

Nếu M Î(E) thì MF1 và MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M.

II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

Xét elip (E) = { }aMFMFM 2| 21 =+ , trong đó F1F2 = 2c.

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho F1 (-c;0) và F2 (c;0) (hình 1a)

Ta có: M (x, y) Î(E) ).(1 2222

2

2

2

cabby

ax

-==+Û

Nên phương trình chính tắc của elip là:

).(1 2222

2

2

2

cabby

ax

-==+

Chú ý:

a.) Trong phương trình trên ta có a >b > 0.

b.) Nếu M (x, y) Î(E) thì các bán kính qua tiêu của điểm M là:

MF1 = a + acx

và MF2 = a - acx

.

c. ) Nếu ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho F1 (0; -c ) và F2 (0; c) (hình 1b) thì elip (E) trên có phương trình:

).0;(1 2222

2

2

2

>>-==+ bacabby

ax

Cần chú ý rằng phương trình này không gọi là phương trình chính tắc của elip.

III. HÌNH DẠNG CỦA ELIP

Xét elip (E): ).0;(1 2222

2

2

2

>>-==+ bacabby

ax

a.) Elip (E) có tâm đối xứng là O và có hai trục đối xứng là Ox và Oy.

b.) Elip (E) cắt Ox tại hai điểm A1 (-a; 0) và A2 (a; 0); cắt Oy tại hai điểm.

B1 (0; -b) và B2 (0; b). Bốn điểm đó được gọi là bốn đỉnh của elip.

Đoạn thẳng A1A2 được gọi là trục lớn còn đoạn thẳng B1B2 được gọi là trục bé của elip.

Ta gọi 2a là độ dài trục lớn còn 2b là độ dài trục bé của elip.


43

Chú ý rằng hai tiêu điểm của elip luôn luôn nằm trên trục lớn.

c.) Nếu M (x, y) Î(E) thì –a ax ££ và byb ££- nên toàn bộ elip (E) thuộc hình chữ nhật giời hạn bởi bốn đường thẳng x = a± và y = b± . Hình chữ nhật đó được gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

IV. TÂM SAI CỦA ELIP

Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiên cự và độ dài trục lớn của elip. Ký hiệu là e.

Ta có: e = ac

Tâm sai của mọi elip đều bé hơn 1.

V. ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP

a.) Định nghĩa:

).0(12

2

2

2

>>=+ baby

ax

Hai đường Cho elip (E):

thẳng ( )1Δ :

x = ea

- và ( )ea

x =:Δ2 được gọi là các đường chuẩn của elip.

( )1Δ được gọi là các đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1.

( )Δ2 được gọi là các đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2.

* Chú ý : Đường chuẩn luôn luôn vuông góc với trục lớn.

b.) Định lý: Tỉ số khoảng cách từ một điềm bất kỳ của elip đền một tiêu điểm và đường chuẩn tương đương bằng tâm sai e của elip.

VI. TÓM TẮT

12

2

2

2

=+by

ax

(b2 = a2 – c2 => 0 < b < a) 12

2

2

2

=+ay

bx

( Phương trình chính tắc)

F1 (-c; 0); F2 (c; 0) Tiêu điểm F1 (0; -c); F2 (0; c)

F1F2 = 2c Tiêu cự F1F2 = 2c

Ox Trục lớn Oy (tiêu điểm nằm trên trục lớn )

Oy Trục bé thuộc Ox

A1 (-a; 0); A 2 (a; 0) Đỉnh trên trục lớn A1 (0;-a ) ; A 2 (0 ;a)

B1 (0; -b) ;B2 (0; b) Đỉnh trên trục bé B1 (-b; 0); B2 (b; 0)

A1A2 = 2a Độ dài trục lớn A1A2 = 2a

B1B2 = 2b Độ dài trục bé B1B2 = 2b

e 1<=ac Tâm sai e 1<=

ac

r1 = MF1 = a + ex Bán kính qua tiêu r1 = MF1 = a + ey

r2= MF2= a – ex của điểm MÎ(E) r2= MF2= a – ey

( )Δ1 :x = ea

- Đường chuẩn ( )ea

y -=:Δ1


44

( )ea

x =:Δ2 ( vuông góc với trục lớn) ( )ea

y =:Δ2

x= ± a; y = ± b Phương trình các cạnh x= ± b y = ± a

của hình chữ nhất cơ sở

O Tâm đối xứng: Ox; Oy

O Trục đối xứng: Ox; Oy


1. a.) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu cự 2c = 8, tâm sai e = 54

.

b.) Viết phương trình của elip (E) có tiêu điểm F1 (-1; -1),

F2 (1; 1) và có độ dài trục lớn 2a = 4.

Giải

a.) Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng:

).(1 2222

2

2

2

cabby

ax

-==+

Ta có: 2c = 8 => c = 4

Và: e = 54

=> 554

==>= aac

(vì c = 4)

222 cab -= = 52 – 42 = 9.

Vậy phương trình của elip (E) là: .1925

22

=+yx

b.) Ta có: M(x, y) Î(E) 421 =+Û MFMF

( ) 16221 =+Û MFMF

( ) .016221 =-+Û MFMF

Mặt khác: 42121 =+<- MFMFMFMF

Nên: ( ) .016221 ¹-+MFMF

Do đó đẳng thức trên tương đương với:

( )[ ] ( )[ ] 016.16 221

221 =---+ MFMFMFMF


45

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0161111321111

.01632

2222222222

222

21

222

21

=+-+-++++-----+++Û

=++--Û

yxyxyxyx

MFMFMFMF

( )[ ] ( ) .0162644 2222 =+++-+Û yxyx

.08233 22 =--+Û xyyx

Vậy phương trình của elip (E) là : 3x2 + 3y2 – 2xy -8 = 0.

2. Tìm điểm M trên elip (E): .1925

22

=+yx

sao cho:

a.) MF1 = 2MF2.

b.) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

c.) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60o.

Giải

Gọi (xo; yo) là tọa độ của M. Ta có: M Î(E) Û .1925

22

=+ oo yx (1)

Mặt khác: a2 = 25, b2 = 9 => c2 = a2 – b2 = 16 => c = 4.

Nên: e .54

==ac

a.) Ta có: MF1 = 2MF2 ó a + exo = 2 (a – exo )

ó 3exo = a

ó xo = .1225

54

3

53

=´

=ea

Thế vào (1) ta suy ra:

y4

119121193

121199

251225

19 22

22 ±=±=Û

´=÷÷

ø

öççè

æ´

-= oo y

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài có tọa độ là:

÷÷ø

öççè

æ±

4119

;1225

b.) M nhìn hai tiêu điểm F1 (-4; 0), F2 (4; 0) dưới một góc vuông nên M ở trên đường tròn đường kính F1F2 , đó chính là đường tròn tâm O có bán kính 4. Phương trình đường tròn này là: x2 + y2 = 16.

M ở trên đường tròn này nên: x2 o+ y2 o= 16. (2)

Suy ra: y2 o= 16 - x2 o .

Thay vào (1) ta được:

475

16257

.19

1625

222

±=Û´

=Û=-

+ oooo xx

yx

Suy ra: 49

1681

16257

1616 22 ±=Û=´

-=-= ooo yxy

Vậy bốn điểm M có tọa độ thỏa mãn điều kiện của đề bài có tọa độ là: .49

;4

75÷÷ø

öççè

æ±±


46

c.) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60o nên:

F1F22 = MF1

2 + MF22 - 2 MF1. MF2cos60 o

( ) 212

212 34 MFMFMFMFc -+=Û

( )( )oo exaexaac -+-=Û 344 22

( )22222 344 oxeaac --=Û

÷øö

çèæ --=Û 2

2516

25310064 ox

2613252 ´

=Û ox

4135

±=Û ox

Thay xo vào (1) ta được:

433

16139

1613

1925

192

2 ±=Û´

=÷øö

çèæ -=÷÷

ø

öççè

æ-= o

oo y

xy

Vậy bốn điểm M có tọa độ thỏa mãn điều kiện của đề bài có tọa độ là: .4

33;

4135

÷÷ø

öççè

æ±±

3. Cho elip (E): .11625

22

=+yx

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp trong elip mà các cạnh song song

với hai trục, có diện tích lớn nhất.

Giải

Gọi M(xo, yo) là đỉnh hình chữ nhật nằm trong góc phần tư thứ nhất, thì xo > 0, yo > 0. Mặt

khác:MÎ(E)Û .11625

22

=+ oo yx

Hình chữ nhật nội tiếp trong elip (E) mà các cạnh song song với hai trục nên ba đỉnh còn lại N, P, Q lần lượt đối xứng với đỉnh M qua Ox, O và Oy.

Diện tích hỉnh chữ nhật MNPQ:

80 ÷øö

çèæ÷øö

çèæ

45oo yx

S = 2xo.2yo = 4 xoyo =

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

S = 80 ÷øö

çèæ÷øö

çèæ

45oo yx

401625

4045

402222

=úû

ùêë

é+=

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ£ oooo yxyx (do (1))

Đẳng thức xảy ra khi: .45÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ oo yx

Thế vào (1): 25

2ox +

25

2ox = 1 ó xo

2 = 2

251

15=Û ox (vì xo > 0)

yo = 2254

=ox


47

Vậy S lớn nhất khi: xo = 2

25 và yo = 22 .

Tọa độ các đỉnh hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện của đề bài là:

.22;2

25,22;

225

,22;2

25,22;

225

÷÷ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ--÷÷

ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æQPNM

4. Cho elip (E): ).0(12

2

2

2

>>=+ baby

ax

a.) Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc elip, ta đều có:

b £ OM £ a.

b.) Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y = kx với elip (E). Tính OA theo a, b, k.

c.) Gọi A, B là hai điểm thuộc elip sao cho OA^OB. Chứng minh rằng:

22

11OBOA

+ có giá trị không đổi.

Giải

a.) Gọi (xo, yo) là tọa độ của điểm MÎ(E) thì: .12

2

2

2

=+by

ax oo

Ta có: a > b > 0 .x

bx

11

0 2

2o

2

2o

2222

ababa ³Û<Û>>Û

Nên: .1 2222

2

2

2

2

2

2

2

byxby

ax

by

bx

oooooo ³+Û=+³+

Vậy: OM 22 b³ hay OM .b³

Tương tự: OM£ a

Tóm lại: b £ OM £ a.

b.) A là giao điểm của đường thẳng y = kx với elip (E) nên tọa độ của A là nghiệm của hệ

ïî

ïíì

=

=+

kxyby

ax

12

2

2

2

Suy ra: ., 222

222222

222

222

kabkba

xkykab

bax

+==

+=

Vậy: OA = ( )

.1

222

22222

kabkba

yx++

=+

d.) Gọi k là hệ số góc của OA thì theo câu b.) :

OA2 = ( )

222

222 1kabkba

++

.

Vì OB ^OA nên hệ số góc của OB sẽ là ( )01

¹- kk

và do đó tương tự câu b.) ta có:

OB2 = ( )

.1

1

11

222

222

222

222

kabkba

kab

kba

++

=+

÷øö

çèæ +

.


48

Vậy:

( ) ( )( )( )

( ) .11

11

1111

22222

222

222

222

222

222

22 bakbakba

kbakba

kbakab

OBOA+=

+++

=+

++

++

=+

Nếu k = 0 thì OA = a, OB = b nên đẳng thức trên vẫn đúng.

Vậy: .1111

2222 baOBOA+=+ ( không đổi ).

5. Tỉm điểm M thuộc elip (E): 2 2

1.9 4x y+ = có khoảng cách ngắn nhất tới đường thẳng ( Δ ): 3x + 4y + 24 = 0.

Giải

Gọi (xo, yo) là tọa độ của điểm M

Ta có: MÎ(E) Û 2 2

19 4o ox y+ =

Khoảng cách từ M tới đường thẳng ( Δ )là:

d(M, Δ ) 242

83

951

244351

+÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ=++= oo

oo

yxyx

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

14549

.892

83

922

22 =++£÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ oooo yxyx

1452

83

9145 £÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ£-Û oo yx

14524242

83

914524 +£+÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ£-Û oo yx

5

145245

242

83

9

514524 +

£+÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ

£-

Û

oo yx

Vậy d(M, Δ ) = 5

145245

242

83

9-

³+÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ oo yx

(2)

Ta có: d(M, Δ ) = 5

14524-

Khi: 16278

293 oo

oo

yxyx

=Û= (3)

Giải hệ gồm (3) và (1) ta được: xo = .145

16,

145

27±=± oy

Rõ ràng: xo = -145

16,

145

27-=oy thỏa (2)


49

Tóm lại trên elip (E), điểm M27 16

;145 145

-æ ö-ç ÷è ø

có khoảng cách tới ( Δ ) ngắn nhất bằng 5

14524 -


1. Viết phương trình chính tắc của lip (E) trong các trường hợp sau:

a.) (E) đi qua M ÷øö

çèæ 15;

45

và có hai tiêu điểm F1(-3; 0), F2 (3; 0).

b.) (E) đi qua M ÷øö

çèæ -

35

;2 và có tâm sai e = .32

c.) (E) có hai tiêu điểm F1(-6; 0), F2 (6; 0) và tâm sai e = .32

d.) (E) có hai tiêu điểm F1(-6; 0), F2 (6; 0) và tỷ số hai trục là 45

=ba

e.) (E) có trục lớn 2a = 8 và khoảng cách giữa hai đỉnh lien tiếp là A1B1 = 5.

g.) (E) qua hai điểm M ( )3;4 - và N ( ).3;32

h.) ÷÷ø

öççè

æ-

49

;4

75M ở trên (E) nhìn hai tiêu điểm F1, F2 ÎOx dưới một góc vuông.

i.) ÷÷ø

öççè

æ

334

;2M ở trên (E) nhìn hai tiêu điểm F1, F2 ÎOx dưới một góc 60o.

j.) (E) có tiêu điểm trên Ox, khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5 và khoảng cách giữa hai tiêu điểm là 4.

k.) (E) có tiêu điểm trên Ox, tâm sai e = 43

và khoảng cách từ tâm đổi xứng đền đường chuẩn là .3

16

l.) (E) có đường chuẩn 3x 038 =± , độ dài trục nhỏ bằng 4.

2. Tìm hai điểm M, N trên elip (E): ): .149

22

=+ oo yxsao cho A2MN là tam giác đều.

3. Cho elip (E): .149

22

=+ oo yxvà hai đường thẳng (D): ax – by = 0, (D’): bx + ay =0 với a2 + b2 > 0.

a.) xác định các giao điểm M, N, P, Q lần lượt của (D) và (D’) với (E).

b.) tính theo a, b diện tích tứ giác MPNQ.

c.) Tìm điều kiện đồi với a, b để diện tích ấy lớn nhất, nhỏ nhất.

4. Cho elip (E): .148

22

=+yx

và đường thẳng (D): x - y 2 + 2 = 0. Đường thẳng (D) cắt (E) tại hai điểm B

và C. Tìm điểm A trên elip (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

5. Cho elip (E): ).0(12

2

2

2

>>=+ baby

ax Gọi A, B là hai điểm thuộc elip sao cho OA^OB. Hãy xác định vị trí

A, B trên elip để tam giác OAB có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất đó.

ĐÁP SỐ

1.


50

a.) .11615

22

=+yx b.) .1

49

22

=+yx c. ) .1

4581

22

=+yx

d.) .164100

22

=+yx e.) .1

916

22

=+yx g.) .1

1520

22

=+yx

h.) .1925

22

=+yx i.) .1

812

22

=+yx

j.) ): .115

22

=+yx

k.) .1716

22

=+yx l.) .1

416

22

=+yx hay .1

4163 22

=+yx

2 . ÷÷ø

öççè

æ--÷÷

ø

öççè

æ-

738

,73

,7

38;

73

3.a.) ÷÷ø

öççè

æ

++ 2222 49

6;

49

6

ba

a

ba

aM ÷÷

ø

öççè

æ

+

-

+

-2222 49

6;

49

6

ba

a

ba

aN ÷÷

ø

öççè

æ

++

-2222 49

6;

49

6

ba

a

ba

aP ,

÷÷ø

öççè

æ

+

-

+ 2222 49

6;

49

6

ba

a

ba

aQ

b.) S = ( )( )( )2222

22

9449

72

baba

ba

++

+ (đvdt)

c.) S lớn nhất khi a = 0 b¹ hay a .0 b=¹

S nhỏ nhất khi a = b± .

4. A ( )2;2 -

5. min S .;0,2

max;,2222

22

axab

Sba

abx

baba

ABAB ±==+

±=+

=

BÀI 5

HYPERBOL


I. ĐỊNH NGHĨA

Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2= 2c > 0. Xét hằng số 0 < 2a < 2c.

Hyperbol (H) = { }aMFMFM 2| 21 =- .

F1 và F2 là các tiêu điểm.

F1F2 = 2c là tiêu cự.

Nếu M Î(E) thì MF1 và MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M.

II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPERBOL

Xét hyperbol (H) = { }aMFMFM 2| 21 =- , trong đó F1F2 = 2c.

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho F1 (-c;0) và F2 (c;0)

).(1 2222

2

2

2

acbby

ax

-==-Û Ta có: M (x, y) Î(E)


51

Nên phương trình chính tắc của hyperbol là: ).(1 2222

2

2

2

acbby

ax

-==-

Chú ý:

a.) Nếu M (x, y) Î(E) thì các bán kính qua tiêu của điểm M là:

* x > 0: MF1 = a + acx

và MF2 = -a + acx

.

* x < 0: MF1 = -a - acx

và MF2 = a - acx

.

b. ) Nếu ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho F1 (0; -c ) và F2 (0; c) thì hyperbol (H) trên có phương trình: 2 2

2 2 22 2

1( ).y x

b c aa b

- = = -

Cần chú ý rằng phương trình này không gọi là phương trình chính tắc của hyperbol

III. HÌNH DẠNG CỦA HYPERBOL

Xét hyperbol (H): ).(1 2222

2

2

2

acbby

ax

-==-

a.) Hyperbol (H) có tâm đối xứng là O và có hai trục đối xứng là Ox và Oy.

b.) Hyperbol (H) cắt Ox tại hai điểm A1 (-a; 0) và A2 (a; 0), chúng được gọi là đỉnh của Hyperbol . Ox được gọi là trục thực của hyperbol.

Hyperbol không cắt trục Oy, trục này gọi là trục ảo của hyperbol.

Ta gọi 2a là độ dài trục thực còn 2b là độ dài trục ảo của hyperbol.

Chú ý rằng hai tiêu điểm của hyperbol luôn nẳm trên trục thực.

b.) Nếu M (x, y) Î(E) thì ax -£ hoặc ax ³ nên hyperbol gồm hai nhánh: nhánh phải gồm những điểm nằm bên phải đường thẳng

x = a, và nhánh trái gồm những điểm nằm bên trái đường thẳng x = -a.

IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HYPERBOL

Hyperbol (H) ).(1 2222

2

2

2

acbby

ax

-==- có hai đường tiệm cận là:

y = .xab

±

Chú ý:

Từ hai đỉnh của (H) ta vẽ hai đường thẳng song song với Oy, Chúng cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm: P, Q, R, S . Đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật, gọi là hình chữ nhật cơ sở của hyperbol. Các cạnh của hình chữ nhật đó là 2a và 2b, đường chéo là 2c.

V. TÂM SAI CỦA HYPERBOL

Tâm sai của hyperbol là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hyperbol. Ký hiệu là e.

Ta có: e = ac

Tâm sai của mọi elip đều lớn hơn 1.

VI. ĐƯỜNG CHUẨN CỦA HYPERBOL

a.) Định nghĩa:


52

Cho hyperbol (H): .12

2

2

2

=-by

ax Hai đường thẳng ( )1Δ : x =

ea

- và ( )ea

x =:Δ2 được gọi là các đường

chuẩn của hyperbol.

( )1Δ được gọi là các đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1.

( )Δ2 được gọi là các đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2.

* Chú ý : Đường chuẩn luôn luôn vuông góc với trục thực.

b.) Định lý: Tỉ số khoảng cách từ một điềm bất kỳ của elip đền một tiêu điểm và đường chuẩn tương đương bằng tâm sai e của hyperbol.

VI. TÓM TẮT

12

2

2

2

=-by

ax , (b2 = a2 – c2 => 0 < b < a) 12

2

2

2

=-bx

ay

( Phương trình chính tắc)

F1 (-c; 0); F2 (c; 0) Tiêu điểm F1 (0; -c); F2 (0; c)

F1F2 = 2c Têu cự F1F2 = 2c

Ox Trục thực thuộc Oy (tiêu điểm nằm trên trục thực )

Oy Trục ảo thuộc Ox

A1 (-a; 0); A 2 (a; 0) Đỉnh A1 (0;-a ) ; A 2 (0 ;a)

A1A2 = 2a Độ dài trục thực A1A2 = 2a

B1B2 = 2b Độ dài trục ảo B1B2 = 2b

e 1>=ac

Tâm sai e 1>=ac

x > 0: r1 = MF1 = a + ex Bán kính qua tiêu điểm y > 0: r1 = MF1 = a + ey

r2= MF2= -a + ex của điểm MÎ(H) r2= MF2= -a +ey

x < 0: r1 = MF1 = -a - ex y < 0: r1 = MF1 = -a - ey

r2= MF2= a - ex r2= MF2= a – ey

y = xab

± Đường tiệm cận y = xba

±

( )Δ1 :x = ea

- Đường chuẩn ( )ea

y -=:Δ1

( )ea

x =:Δ2 ( vuông góc với trục thực) ( )ea

y =:Δ2

x= ± a; y = ± b Phương trình các cạnh x= ± b y = ± a

của hình chữ nhất cơ sở

O Tâm đối xứng O

Ox; Oy Trục đối xứng Ox; Oy


53


1. a.) Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có hai đường

Tiệm cận: 4x 03 =± y và hai đường chuẩn: 5x 09 =± .

b.) Viết phương trình của hyperbol (H) có tiêu điểm F1(-1; 2), F2(2;-2) và có độ dài trục thực 2a = 4.

Giải

a.) Phương trình chính tắc của hyperbol (H) có dạng:

).(1 2222

2

2

2

acbby

ax

-==-

Hai đường tiệm cận: 4x 03 =± y hay: y = x34

± nên: 34

=ab

(1)

Hai đường chuẩn: 5x 09 =± hay x = 59

± nên: 592

=ca

(2)

Từ (1) ta có: 43ba

= hay 25169169

22222 cbaba=

++

== (3)

Từ (2) ta có: 59

2 ca= hay

2581

24 ca= (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra: 981

24 aa= hay: a2 = 9.

Và: 116

2

=b

hay b2 = 16.

Vậy phương trình chính tắc của hyperbol (H) là: 1169

22

=-yx

b.) Ta có: M (x, y) Î(H) 421 =-Û MFMF

( ) 16221 =-Û MFMF

( ) 016221 =--Û MFMF

Mặt khác: .4 2121 MFMFMFMF +<-=

Nên: ( ) 016221 ¹-+MFMF

Do đó đẳng thức trên tương đương với:


54

( ) ( )2 2

1 2 1 2MF 16 MF 16 0MF MFé ù é ù- - + - =ë û ë û

( ) ( ) 016MF32 222

21

222

21 =++--Û MFMFMF

( ) ( ) 02561322232386 222 =++-+---Û xyxyx

015148289628 2 =+--+Û yxxyx

Vậy phương trình của hyperbol (H) là:

28x2 + 96xy – 28x – 48y +151 = 0

2. Cho đường tròn (C): x2 +y2 =1, cắt trục tung ở A (0; 1) và B (0; -1). Đường thẳng y = m ( 0,11 ¹<<- mm ) cắt (C) ở T và S. Đường thẳng AT cắt đường thẳng BS tại P. tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi.

Giải

Tọa độ giao điểm S và T là nghiệm của hệ:

îíì

==+

my

yx 122

Giải hệ này ta suy ra: T ( )mm ;1 2-- và S( mm ,1 2- ).

Phương trình của đường thẳng AT:

( ) 01.11 22 =-+--- mymxm (1)

Tương tự phương trình của đường thẳng BS là:

( ) 01.11 22 =----+ mymxm (2)

Tọa độ giao điểm P là nghiệm của hệ gồm (1) và (2).

Giải hệ này ta được:

P

ïïî

ïïí

ì

=

-=

my

mm

x

1

1 2

Khử m giữa tọa độ của P ta được: y2 – x2 = 1

Vì y = m1

mà -1 < m < 1 và m 0¹ nên: y < -1 hay y > 1.

Vậy tập hợp các điểm P là hyperbol (H): y2 – x2 = 1, bỏ đi hai đỉnh.

3. Cho hyperbol (H): x2 – 4y2 + 4 = 0.

a.) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ là những số nguyên.

b.) Đường thẳng (D) qua A (4; 1) cắt (H) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho a là trung điểm đoạn MN. Xác định tọa độ M, N.

Giải

a.) Gọi I (xo, yo) là điểm cần tìm trên (H) và x0, yo ÎZ.

Ta có: I Î(H) 044 22 =+-Û oo yx (1)

( )( ) 422 =+-Û oooo xyxy


55

Nhận xét nếu (xo, yo) thỏa (I) thì (-xo; yo), (xo; -yo) , (-xo; -yo) cũng thỏa (1), nên ta chỉ cần xét trường hợp xo, yoÎZ +

0 .

Lúc đó: 2yo -xo£ 2yo +xo và 2yo – xo với 2yo + xo cùng dấu.

Nên ta suy ra:

îíì

=+=-

42

12

oo

oo

xy

xy

îíì

==

Ûîíì

=+=-

Ú1

0

22

22

o

o

oo

oo

y

x

xy

xy

Vậy hai điểm trên (H) có tọa độ là các số nguyên: (0; ).1±

b.) gọi (x1, y2) , (x2, y2) lần lượt là tọa độ của M, N.

Ta có: M, N Î(H) nên: x 044 41

21 =+- y (1)

044 22

22 =+- yx (2)

Và A là trung điểm của đoạn MN nên: x 821 =+x (3)

y 221 =+ y (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra: 12 8 xx -= (5)

12 2 yy -= (6)

Thế vào (2) ta được: ( ) ( ) 04248 21

21 =+--- yx

05216416 1211

21 =++-- yyxx

-16x 04816 11 =++ y do (1)

-x 0311 =++ y

Suy ra: y1 = x1 – 3 (7)

Thế vào (1) ta được: ( ) 0434 21

21 =+-- xx

3x 03224 121 =+- x

Giải phương trình này ta suy ra: x3

34121

±= .

Nếu x3

34121

+= thì thế vào (7) ta được: y

3343

1

+= và do từ (5) và (6) ta suy ra: x

33412

2

-= ,

y3

3432

-=

Nếu x3

34121

-= thì tương tự ta có:

y3

3431

-= , x

33412

2

+= , y

3343

2

+= .

Tóm lại, tọa độ của M, N là: ÷÷ø

öççè

æ --÷÷ø

öççè

æ ++3

343;

33412

,3

343;

33412

.

4. Cho hyperbol (H): 12

2

2

2

=-by

ax . Chứng minh rằng:


56

a.) Hình chiếu vuông góc của tiêu điểm lên các tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.

b.) Tính các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (H) đến hai đường tiệm cận là một hằng số.

c.) Diện tích hình bình hành xác định bởi hai tiệm cận và hai đường thẳng phát xuất từ một điểm trên (H) song song với hai tiệm cận là một hằng số.

Giải

a.) Do tính đối xứng của hyperbol (H) ta chỉ cần chứng minh hình chiếu vuông góc của tiêu điểm F1(-c; 0) trên đường tiệm cận (D1):

y = - xab

hay bx + ay = 0, nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là ( 1Δ ): x = .2

ca

ea

-=-

Gọi I là giao điểm của (D1) và ( 1Δ ) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ:

ïïî

ïïí

ì

-=

-=

ca

x

xab

y

2

Suy ra: .;2

÷÷ø

öççè

æ-

cab

ca

I

Ta có: .;;;2

1

2

÷÷ø

öççè

æ+-=÷÷

ø

öççè

æ-=

cab

cca

IFcab

ca

IOrr

Suy ra: ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 21 2 2 2 2 2

a a a a a a a. a 0

b b b bOI F I c c

c c c c c c c

æ ö= - - + + = - - + + = - + =ç ÷

è ø

uur uuur

Vậy hình chiếu vuông góc của F1 trên (D1) nằm trên đường chuẩn ( 1Δ ).

b.) (H) có hai tiệm cận: (D1): bx + ay = 0

(D2): bx – ay = 0

Gọi M(xo; yo) là một điểm bất kỳ trên (H).

Khoảng cách từ M tới (D1), (D2) là:

d(M, D1) = 22 ba

aybx oo

+

+ ; d(M, D2) =

22 ba

aybx oo

+

-

Suy ra: d(M, D1).d(M, D2) = 22

2222

ba

yaxb oo

+

-.

Mà: M(xo; yo) Î(H) nên 12

2

2

2

=-by

ax oo hay b2xo

2 - a2 yo2 = a2 b2.

Vậy:d(M, D1).d(M, D2) = 22

22

baba+

(không đổi).

c.) Lấy điểm M(xo; yo) Î(H) . Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua M song song với (D2), cắt (D1), và của đường thẳng qua M song song với (D1), cắt (D2).


57

Ta có: MP// (D2)

Nên phương trình của MP có dạng: bx – ay + C = 0

MP đi qua M(xo; yo) nên:

bxo – ayo +C = 0 ó C = ayo - bxo

Vậy phương trình đường thẳng MP: bx – ay + (ayo- bxo) = 0

Tọa đô giao điểm P của MP với (D1) là nghiệm của hệ:

( )îíì

=-+-=+

0

0

0 obxayaybx

aybx

Giải hệ này ta suy ra: P ÷øö

çèæ --

abxay

baybx ooo

2;

20

Khoảng cách từ M tới (D1) là:

d(M, (D1)) = 22 ba

aybx oo

+

+ = ( )22

2

baaybx oo

++

Diện tích hình bình hành OPMQ:

S = OP.d(M, (D1)) = ( ) ( ) ( ).

bx .

44 22

20o

2

2

2

2

baay

abxay

baybx oooo

++-

++

= ( )

( )( )

( ) .44 222

22222

222

22222

baaxbya

babyaxb oooo

+-

++

+

Mà: M(x ); oo y ÛÎ )(H 12

2

2

2

=-b

y

a

xÛ b2x2 - a2 y2 = a2 b2.

Nên:

S( ) ( )

( )( )

2 2 2 24 4 4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4

a b a ba b a b ab

a a b a a b a b

+= + = =

+ + + (hằng số)

5. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa ( Δ ): 4x – 5y -32 = 0 và (H): y = .92 +x

Giải

Lấy (xo; yo) Î(H) ta có: yo = 920 +x (1)

Khoảng cách từ M tới đường thẳng ( Δ ):

D = 3295441

13254

41

1 2 -+-=-- oooo xxyx do (1)

Khoảng cách ngắn nhất giữa ( )()Δ Hvà chính là giá trị nhỏ nhất của d:


58

Đặt: f(xo) = 4xo - 5 .3292 -+ox

Ta có: f`(xo) = 4 - 9

594

9

52

2

2

0

+

-+=

+ o

oo

o x

xx

x

x

Xét dấu f`(xo):

Nếu x 0£o thì f`(xo) .0>

Nếu xo > 0 thì 4 059x 02o >++ x nên f`(xo) cùng dấu với:

[ ][ ] ( ) ( ).16925916594.594 22222ooooooo xxxxxxx -=-+=++-+

Xét dấu 16 - 2ox khi xo > 0

Bảng biến thiên:

Vậy: min d = 41


22

=-yx

. Gọi (D) là đường thẳng đi qua gốc tọc độ O và có hệ số góc k xác định và

khác 0, (D`) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (D).

a.) Tìm điều kiện đổi với k để (D) và (D`) đều cắt (H).

b.) Tính theo k diện tích hình thoi có bốn đỉnh là bốn giao điểm của (D) và (D`) với (H).

c.) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất.

Giải

a.) Phương trình của (D): y = kx

(D) cắt (H) thì phương trình sau có nghiệm:

( ) ( ) 36493649194

2222222

=-Û=-Û=- xkxkxkxx

Điều đó xảy ra khi: 9 – 4k2 > 023

23

<<-Û k (k 0¹ ) (1)

(D`) vuông góc vời (D) nên có hệ số góc: -k1

.

Trong (1) thay k bởi : -k1

, ta có (D`) cắt (H) khi:

32

32

32

231

231

23

>Ú-<Û>Û<Û<<- kkkkk

(2)


59

Từ (1) và (2) ta suy ra (D) và (D`) đều cắt (H) khi:

32

23

-<<- k hay 23

32

<< k (3)

b.) ta có (D) cắt (H) tại điểm M, N có tọa độ thỏa:

2

22

22

4936

;49

36k

ky

kx

-=

-=

(D`) cắt (H) tại điểm P, Q có tọa độ thỏa:

4936

149

136

,49

36

149

3622

2

22

2

22

-=

÷øö

çèæ--

÷øö

çèæ-

=-

=

÷øö

çèæ--

=k

k

kyk

k

k

x

Diện tích hình thoi MPNQ:

S ( )( )( )4949

17249

3649

36.

4936

4936

2.222

2

22

2

2

2

2--

+=

-+

--+

-==

kk

kkk

kk

kk

OPOM (đvdt)

c.) Ta có S > 0 nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi S2 nhỏ nhất:

z = S2 = ( )

( )( )49k49172

22

222

--+

kk

Đặt t = k2 thì do (3) ta có 49

94

<< t và:

z = ( )

( )( )49k49172

22

222

--+

kk

= ÷÷ø

öççè

æ-+-

++369736

1272 2

22

tttt

Đạo hàm z` = ( )

( ) úúûù

êêë

é

-+-

+22

22

369736

116972

tt

t

Ta có: z` = 0 khi t = 1 vì t ÷øö

çèæÎ

49

;94

Xét dấu z`: ta có z` cùng dấu với t2-1 nên:

Vậy z đạt cực trị duy nhất là cực tiểu tại t = 1 ÷øö

çèæÎ

49

;94

nên z đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 1 hay k2 = 1

Suy ra S nhỏ nhất khi k = ± 1.


1. Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) trong các trường hợp:

a.) (H) có tiêu điểm F1( )0;53(),0;53 2F- và đi qua M ( )52;25

b.) (H) đi qua A ( )3;24 và có cùng tiêu điểm với elip (E):


60

11035

22

=+yx

c.) (H) đi qua M (-5; 3) và có tâm sai e = 2

d.) (H) có trục ảo trên Ox và có độ dài bằng 6 và tiêu cự bằng 10.

e.) (H) có khoảng cách giữa hai đỉnh bằng 6 và đi qua A ( )32;6 -

g.) (H) đi qua M (24; 5) và có hai tiệm cận là 5x 012 =± y

h.) (H) đi qua hai điểm A ( ) ( )1;6,6;4 -B

i.) (H) có độ dài nửa trục thực bằng 3 và đi qua điểm ( )32;6

j.) (H) đi qua M(6; 3) và góc giữa hai tiệm cận bằng 600.

k.) (H) đi qua M ÷÷ø

öççè

æ

59

;5344

và nhìn hai tiêu điểm trên Ox dưới một góc vuông.

l.) (H) đi qua M ÷÷ø

öççè

æ

32

;3

54 và nhìn hai tiêu điểm trên Ox dưới một góc 600.

m.) (H) có hai đường tiệm cận 3x± 4y = 0 và hai đường chuẩn 5x± 16 = 0.

2. Tìm tập hợp tâm của đường tròn:

x2 + y2 – 2x tgt - ÷øö

çèæ Î+¹=-+ Zkπk

πtty

t,

201sin

cos6

.

3. Một đường thẳng (D) lưu động cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện

tích không đổi bằng S. Tìm quỹ tích các điểm M ở trên (D) sao cho: MBkMA .= (k là hằng số khác 0 và khác 1).

4. Tìm những điểm trên hyperbol (H): 9x2 – 16y2 – 144 = 0, nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120o.


2

2

2

=-by

ax

và một điểm M thuộc (H). Chứng minh:

a.) OM2 – F1M.F2M = a2 - b2.

b.) (F1M + F2M)2 = 4(OM2 + b2)

ĐÁP SỐ

1. a.) 12025

22

=-yx

b.) 1916

22

=-yx

c.) x2 – y2 = 16

d.) 1916

22

=-yx

e.) 149

22

=-yx

hay 11089

22

=-yx

j.) 139

22

=-yx

hay 19933

22

=-yx

k.) 1916

22

=-yx

l.) 148

22

=-yx

m.) 1916

22

=-yx

2. a.) 14

22

=+ yx

b.) 14

22

=+ xy


61

3. xy = ( )21

2

k

ks

-±

4. ÷÷ø

öççè

æ±±

533

;5

78.

BÀI 6

PARABOL


I. ĐỊNH NGHĨA

Cho một đường thẳng ( Δ ) cố định và một điểm F cố định không thuộc ( Δ ).

Parabol (P) = ( ){ }Δ,| MdMFM = .

F là tiêu điểm

( Δ ) là đường chuẩn

D(F, Δ ) = p là tham số tiêu

MF là bán kính qua tiêu của điểm M.

II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA PARABOL

Xét parabol: (P) = ( ){ }Δ,| MdMFM =

Chọn hệ tọa độ Oxy như sau: Trục Ox là đường thẳng đi qua F và vuông góc với ( Δ ), hướng dương từ P đến F { }[ ]) Δ(Ç= OxP . Trục Oy là trực đoạn PF. Gốc tọa độ O là trung điểm PF.

Ta có: F ( )2

:Δ;0;2

Px

P-=÷

øö

çèæ

Và: M ( ) ( ) pxyPyx 2, 2 =ÛÎ

Vậy phương trình chính tắc của parabol là:

y2 = 2px.

Chú ý: Nếu M(x, y) ( )PÎ thì bán kính qua tiêu của điểm M là:

MF = x + 2P

III. HÌNH DẠNG CỦA PARABOL

Xét parabol (P): y2 = 2px

a.) Parabol (P) có trục đối xứng là Ox.

b.) Giao của parabol (P) với trục đối xứng Ox được gọi là đỉnh của parabol, đó chính là điểm O.

c.) Các điểm của parabol đều nằm phía bên phải trục Oy.

IV. TÂM SAI CỦA PARABOL


62

Tâm sai của parabol luôn luôn bằng 1.


1. Viết phương trình của parabol (P) có tiêu điểm F(3; -1) và đường chuẩn ( )Δ : x – 2y + 1 = 0.

Giải

Ta có: M (x, y) ( )PÎ Û MF = d(M, )Δ

( ) ( )5

1213 22 +-

=++-Ûyx

yx

( ) ( )[ ] ( )222 12135 +-=++-Û yxyx

049143244 22 =++-++Û yxxyyx

Vậy phương trình của (P) là:

049143244 22 =++-++ yxxyyx

2. Cho parabol (P): x2 = 4y và đường thẳng (D): x – 2y + 4 = 0

a.) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (D).

b.) Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và hai dây cung MA, MB nhỏ nhất.

Giải

a.) Tọa độ giao điểm A, B của (P) và (D) là nghiệm của hệ:

îíì

=+-=

042

42

yx

yx

Giải hệ này ta suy ra : A(x-2, 1) , B(4, 4)

b.) Gọi (xo, yo) là tọa độ của điểm M trên cung AB của parabol (P).

Ta có: x oo y42= (1)

Và: 42 ££- ox (2)

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (D) là không đổi. Nên : diện tích phần hình phẳng đề cập trong đề bài sẽ nhỏ nhất khi diện tích tam giác MAB lớn nhất.

Diện tích tam giác MAB:

S ))(,(53.21

))(,(..21

DMdDMdAB ==

Nên S lớn nhất khi d(M, (D)) lớn nhất:

Ta có: d(M, (D)) = 4251

+- oo yx

425

1 2

+-= oo

xx do (1)

Mà: 042

2

³++- oo x

xdo(2)

Nên : d =


63

( ) ( )[ ]109

91101

82101

425

1 222

£+--=++-=÷÷ø

öççè

æ++- oooo

o xxxxx

.

Và: d = 101109

=Û=-Û oo xx

Suy ra: y41

4

2

== oo

x

Vậy d lớn nhất khi x41

,10 == oy .

Tọa độ của M là: ÷øö

çèæ

41

;1

3. Cho parabol (P): y px22= . Hai điểm M, N lưu động trên (P) sao cho tam giác OMN vuông tại O. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Gọi m, n lần lượt là tung độ của M, N vì M, N không thể trùng O nên m 0¹ , n 0¹

Tọa độ: M ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æn

pn

Nmp

m;

2,;

2

22

Ta có: ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ= n

pn

ONmp

mOM ;

2;;

2

22

Nên: tam giác OMN vuông tại O 0. =Û ONOM

04 2

22

=+Û mnpnm

04 2 =+Û pmn

24pmn -=Û (1)

Đường thẳng MN có phương trình: 2x – (m + n)y + mn = 0

Hay: 2px – (m + n)y – 4p2 = 0, (do(1)).

Giả sử MN luôn luôn đi qua điểm I(xo, yo) cố định thì:

2pxo – (m + n) yo – 4p2 = 0, "m, n.

( ) ( ) 02_2 =++-Û pxpynm o

îíì

=-=

Û02

0

px

y

o

o

2 , 0o ox p yÛ = =

Vậy MN luôn luôn đi qua điểm cố định I(2p; 0).

4. Tìm điểm m thuộc parabol (P): y2 = 64x, và điểm N thuộc đường thẳng ( )Δ : 4x + 3y + 46 =0, để đoạn MN là ngắn nhất.

Giải


64

Cứ với mỗi điểm M(xo, yo)Î (P) thì đoạn vuông góc hạ từ M xuống ( )Δ ngắn hơn mọi đoạn xiên nối từ

M tới ( )Δ . Nếu muốn tìm M Î (P) , NÎ ( )Δ để đoạn MN ngắn nhất ta chỉ cần tìm đoạn ngắn nhất trong tất cả

các đoạn vuông góc hạ từ M Î (P) xuống ( )Δ .

Ta có: d(M, ( )Δ = 463451

0 ++ yxo

Vì: M(xo, yo)Î (P) nên : yo2 = 64xo.

Do đó: d(M, Δ ) = 463451

0 ++ yxo = ÷÷ø

öççè

æ++ 463

1651

0

2

yyo

Vì: 46316 0

2

++ yyo > 0 do Δ = 9 046.

161

.4 <-

Ta có: d(M, Δ )

25

10106

451

1036316y

51

22o =³

úúû

ù

êêë

é+÷

øö

çèæ +=ú

û

ùêë

é+÷÷ø

öççè

æ++= oyy

Và: d(M, Δ ) = 2 24064

-=Û=+Û oo y

y

Vậy MN ngắn nhất bằng 2 khi có tọa độ: yo = -24 , xo = 964

2

=oy

Bây giờ ta xác định tọa độ (x1, y1) của N:

Ta có: N(x1, y1)Î( Δ ) 04634 11 =++Û yx (1)

Mặc khác MN ( )Δ^ nên ( )24;9 11 +-= yxMN vuông góc với vectơ chỉ phương ( )4,3-=u của ( Δ ). Do đó:

-3(x1 – 9) + 4(y1+24) = 0 012343 11 =++-Û yx (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được: x1 = (9, -24) ; N ÷øö

çèæ -

5126

;5

37

Vậy: M(9; -24) và N ÷øö

çèæ -

5126

;5

37

C. BÀI TẬP TỰ LUẬN

1. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) trong các trường hợp sau:

a.) (P) có trục là Ox và khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 3.

b.) (P) có đường chuẩn x + 15 = 0

2. Cho parabol (P): y2 = 4x. Một đường thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rẳng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của (P) không đổi.

Đáp số

1. a.) y2 = 6x b.) y2 = 60x.

TOÁN ÔN


65

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là: 033 =-- yx , các đình A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

(C1): x2 + y2 – 10x = 0; (C2): x

2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0.

a.) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và tâm nằm trên đường thẳng (D): x + 6y – 6 = 0.

b.) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1), (C2).

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ÷øö

çèæ 0;

21

, phương trình đường thẳng

AB là x – 2y + 2 = 0 và

AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng điểm A có hoành độ âm.

4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

(C1): x2 + y2 – 4y - 5 = 0; (C2): x

2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0.

Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1), (C2).

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D):

x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thằng (D) mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A và B sao cho oBMA 60ˆ = .

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2 = x và điểm I(0; 2). Tìm tọa độ hai điểm M, N

thuộc (P) sao cho NIMI 4= .

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

AB = AC, góc BAC = 90o. Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G ÷øö

çèæ 0;

32

là trọng tâm tam giác ABC. Tìm

tọa độ các đỉnh A, B, C.


x – 7y + 10 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( Δ ) : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng (D) tại điểm

A(4; 2).

9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng (D): x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C`) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (D) . Tỉm tọa độ các giao điểm của (C) và (C`).

10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương đương ứng là: x – 2y + 1 = 0. và 3x + y – 1 = 0. Tính diện tích của tam giác ABC.

11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 2) và

B(- )1;3 - .Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.


x – y + 2 - 2 = 0, và điểm A (-1; 1). Viết phương trình của đường tròn đi qua điểm A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng (D).


66

13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (0; 2) và đường thẳng (D): x – 2y + 2 = 0. Tìm trên đường thẳng (D) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.

14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 1),

B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng (D): x – 2y – 1 = 0, sao cho khoảng cách từ C đền đường thẳng AB bằng 6.

15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (-2; 0) và hai đường thẳng (D1): 2x – y + 5 = 0, (D2): x + y – 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng (D1), (D2) lần lượt tại

A,B sao cho; IBAI 2=

16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A (-1;0),

B(4; 0) , C(0, m) với m¹ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giacABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Biết A( -1; 4), B(1; 4) và đường

thẳng BC đi qua điểm M ÷øö

çèæ

21

;2 . Tìm tọa độ đỉnh C.

18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (D1):

x – y = 0, (D2): 2x + y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc (D1), đỉnh C thuộc (D2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, có trọng tâm G ÷øö

çèæ

31

;34

, phương

trình của đường thẳng BC:

x – 2y – 4 = 0 và đường thẳng BG: 7x – 4y – 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 12x – 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với (C).

21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2; 0), B (6; 4). Viết phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C (2; 0) và elip (E): 14

22

=+ yx

. Tìm tọa độ các điểm A,

B thuộc (E) , biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.


x2 + y2 - 4x – 6y – 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d): 2x – y + 3 = 0, sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm còn R là bán kính của đường tròn (C).

24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (0; 5),

B (2; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 .

25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:

(D1): x + y + 3 = 0, (D2): x – y – 4 = 0, (D3): x – 2y = 0.

Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (D3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (D1) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng (D2).

26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): 1212

22

=+yx

. Viết phương trình của hyperbol (H) có

hai đường tiệm cận là:

y = x2± và có hai tiêu điểm của (E).


67

27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0. Cạch BC song song với d. Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0, và trung điểm cạnh AC là M (1; 1). Tìm tọa độ các định A, B, C.


x2 + y2 –2x –6y + 6 = 0 và điểm M (-3; 1). Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). viết phương trình đường T1T2.

29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với A (1; -1), C(3; 5). Điểm B nằm trên đường thẳng d: 2x – y = 0. Viết phương trình của các đường AB, BC.

30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình: x – 3y – 7 = 0, và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là: x + y + 1 = 0. xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.


x2 + y2–2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:

x – y + 1 – 2 = 0 và điểm A (-1; 1). Viết phương trình của đường tròn (C) đi qua A, O và tiếp xúc với d.

33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn.


A (0; 2), B (-2; -2), và C (4; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M vàN lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.


x2 + y2 = 1. Đường tròn (C`) tâm I (2; 2) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB.

36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (-2; 0), biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự lần lượt là: 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2; 2) và các đường thẳng: d1: x + y – 2=0, d2: x + y – 8 = 0.

Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

38. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Îd.

39. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C`) có tâm M (5; 1) biết (C`) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 .

40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( ) ( ) 921 22 =++- yx và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2;1) , lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x³0 và điểm C thuộc trục Oy có tung độ y³0 sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A (0;1),

B (2; -1) và các đường thẳng:

d1: (m – 1)x + (m – 2 )y + 2 – m =0


68

d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – 5 = 0.

Chứng minh rằng d1 và d2 luôn luôn cắt nhau. Gọi P là giao điểm của d1 và d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất.

43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai

bẳng 35

và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đinh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm

H (-1; -1) , đường phân giác trong của góc A có phương trình

x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0.

45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 16x và điểm A (1; 4). Hai điểm phân biệt B, C (

B và C khác A ) di động trên (P) sao cho góc oCAB 90ˆ = .Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.

46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm

M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ( Δ ) x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.


(x – 2)2 + y2 = 54

và hai đường thẳng Δ 1: x – y = 0; Δ 2: x – 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính

đường tròn(C1) ; biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1D , Δ 2 và tâm K thuộc đường tròn(C).


M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và

6x – y – 4 = 0.Viết phương trình đường thẳng AC.

49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:

3 x + y = 0 và d2: 3 x - y = 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao

cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 23

và điểm

A có hoành độ dương.

50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (-4; 1), phân giác trong góc A có phương trình

x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; -7), trực tâm là H ( 3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I (-2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

52. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ( Δ ): x + my – 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ( Δ ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A ,đỉnh A (-1; 4), và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ :x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.


69


(x – 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho oOMI 30ˆ =

55. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2; 3 ) và elip (E): .123

22

=+yx

Gọi F1 và F2 là các

tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.

57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ . Viết phương trình đường thẳng Δ , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

ĐÁP SỐ

1. G .3

326;

3134

3326

;3

347÷÷ø

öççè

æ ----Ú÷÷ø

öççè

æ ++G

2. x2 + y2 - 24x + 2y + 20 = 0; x + 7y - 5 225± = 0.

3. A(-2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D (-1; -2).

4. 2x + y - 2 53± = 0; y +1 = 0; 4x – 3y – 9 = 0

5. M (3; 4) v M (-3; -2 )

6. M(4; -2), N(1; 1) v M (36; 6), N (9 ; 3).

7. A (0; 2), B (4; 0), C (-2; -2).

8. (x – 6)2 + (y + 12)2 = 200.

9. A (1; 0), B (3; 2).

10. 14 (đvdt).

11. H( ( ).1;3),1;3 -- I

12. x2 + (y – 1)2 = 1; (x + 1)2 +y2 = 1.

13. B ( ) ÷øö

çèæÚ÷

øö

çèæ

57

;54

1;0;56

;52

CC

14. ( ) ÷øö

çèæ --Ú

1127

;1143

3;7 CC .

15. 7x – 3y + 14 = 0.

16. G 63;3

;1 ±=÷øö

çèæ m

m.

17. C(3;5)

18. A (1; 1), B(0;0), C (1; -1), D (2; 0) hoặc A (1;1), B(2;0), C (1; -1), D (0; 0).

19. A (0; 3), B(0; -2), C (4; 0).


70

20. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 ; (x + 18)2 + (y – 18)2 = 18.

21. (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 ; (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1.

22. ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-Ú÷÷

ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ7

34;

72

;7

34;

72

734

;72

;7

34;

72

BABA .

23. M(-4; -5) v M ÷øö

çèæ

563

;5

24.

24. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 10 ; (x – 3)2 + (y – 6)2 = 10.

25. M(-22; -11) hoặc M(2; 1) .

26. 182

22

=-yx

.

27. A ÷øö

çèæ-÷

øö

çèæ --

38

;38

),1;4(,32

;32

CB .

28. 2x + y – 3 = 0.

29. AB: 23x – y – 4 = 0 BC: 19x – 13y + 8 = 0

30. B (-2; -3), C (4; -3)

31. M (1; 4) hoặc M (-2; 1).

32. x2 + y2 – 2y = 0 hoặc x2 + y2 + 2x = 0

33. 148

22

=+yx

.

34. x2 + y2 – x + y – 2 = 0

35. x + y ± 1 = 0.

36. A (-4;2), B (-3; -2) , C (1; 0).

37. B (-1; 3) , C (3; 5) hoặc B (3; -1) , C (5; 3)

38. A (2;-1), B (2; -5) , C (6; -5), D (6; -1) hoặc A (6;-5), B (6; -1) , C (2; -1), D (2; -5)

39. (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 ; (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43.

40. m = 19, m = -41.

41. B (0; 0), C (0; 5)

42. m = 1, m = 2.

43. 149

22

=+yx

.

44. C ÷øö

çèæ-

43

;3

10.

45. (17;-4)

46. y – 5 = 0 hoặc x – 4y + 19 = 0.

47. K8 4 2 2

; ;5 5 5

Ræ ö =ç ÷è ø

.


71

48. 3x – 4y + 5 = 0.

49. 123

63

22

=÷øö

çèæ ++÷÷

ø

öççè

æ+ yx .

50. 3x – 4y + 16 = 0

51. C ( )3;652 +-

52. m = 0 v m = 158

.

53. B11 3 3 5 3 5 11 3

; , ; ; , ;2 2 2 2 2 2 2 2

C B Cæ ö æ ö æ ö æ ö- Ú -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø

.

54. M ÷÷ø

öççè

æ±

23

;23

55. B (0; -4) , C (-4; 0) v B (-6; 2) , C (2; -6)

56. ( )34

332

12

2 =÷÷ø

öççè

æ-+- yx .

57. ( ) 025215 =-±- yx .

bÀi 1 vectƠ vÀ tỌa ĐỘ -...

Documents