các khái niệm mở đầu về vectơ
TRANSCRIPT
DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
HÌNH HỌC 10
GV:Phan Nhật Nam
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
I. Cơ sở lý thuyết :
Các định nghĩa :
ĐN 1: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng.
Có một điểm đầu và một điểm cuối.
Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối là hướng của vectơ
Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của vectơ
Ký hiêu : AB : A-điểm đầu, B-điểm cuối. AB : Độ dài của AB
a : là vectơ tự do (Chỉ biết được chiều và độ lớn) .
ĐN 2: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Độ dài bằng 0.
Hướng tùy ý.
Ký hiệu : 0 ví dụ : AA = 0
ĐN 3: Hai vectơ cùng phướng : CD và AB cùng phương thì
AB cùng phương CD
CDAB
CDAB //
ĐN 4: Hai vectơ cùng hướng :CD và AB cùng hương thì
uêchicùngCDABtiahai
CDABCDAB
`,
//
ĐN 5: Hai vectơ ngược hướng :CD và AB ngược hương thì
/ /
, ùng `
AB CDAB CD
hai tia AB CD không c chi êu
ĐN 6: Hai vectơ bằng nhau :CD và AB bằng nhau thì
CDAB
CDABCDAB
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
ĐN 7: Hai vectơ đối nhau :CD và AB đối nhau thì
CDAB
CDABCDAB
ĐN 8: Góc của hai vectơ : Góc của CD và AB là góc tạo bởi 2 tia Ox
và Oy lần lượt cùng hướng với hai vectơ trên )180),(0( oo CDAB
Chú ý : Chứng minh 2 vectơ bằng nhau, thông thường ta sử dụng các mệnh đề sau:
1. ABCD là hình bình hành AB DC
AD BC
AB CD
2. M là trung điểm AB AM MB MA MB
3. 1 2
1 1 2
1 1 2
, ,...,...
...
n
n
n
M M M ABAM M M M B
AM M M M B
II. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?
Ví dụ 2: Cho 2 vectơ 0AB và 0AC cùng phương nhau. Kết luận gì về 3 điểm A, B, C.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AC.
a. Ta có AB AC đúng hay sai ?
b. Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB ? Các vectơ ngược hướng với BC ?
c. Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên
đoạn CD sao cho AM = CN. Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và DC.
AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F.
Chứng minh rằng : DE EF FB
Ví dụ 6: Cho điểm A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a. 4AM cm
b. AM cùng phương với 0a cho trước.
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D.
Chứng minh rằng : AE BD
Ví dụ 8: Cho nữa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường
kính AD. Chỉ ra các vec tơ bằng với BC
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của tam giác ABC đó.
Gọi A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt
là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.
a. Chứng tỏ: AQ CN và AM PC
b. Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.
Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC.
Chứng minh rằng nếu MN AB
MN DC
thì ABCD là hình bình hành.
Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD bất kỳ . Chứng minh rằng: AB DC AD BC
Ví dụ 12: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :
a. Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA
b. Tìm các vectơ bằng vectơ AB , OE
Ví dụ 13: Cho tam giác đều ABC. Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?
a. AB BC b. AB AC c. AB AC
Ví dụ 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của
BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.
Chứng minh rằng: AM NC và DK NI
Ví dụ 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng: MN QP và NP MQ
Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi B’
là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm
của cạnh BC.
a. Chứng minh rằng : 'AH B C
b. Chứng minh rằng : AI OM
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Hướng dẩn giải các ví dụ :
Ví dụ 1:Cho hai điểm A, B. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?
Giải:có 2 vectơ là AB và BA
Ví dụ 2:Cho 2 vectơ 0AB và 0AC cùng phương nhau.
Kết luận gì về 3 điểm A, B, C.
Giải:
AB và AC cùng phương nhau/ / ( )
, ,AB AC loai
A B CAB AC
thẳng hàng
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC
và N là trung điểm AC.
a. Ta có AB AC đúng hay sai ?
b. Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB ? Các vectơ ngược hướng với BC ?
c. Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?
Giải:
a. AB AC sai (vì AB và AC không cùng chiều)
b. NM cùng hướng với AB . CB ngược hướng với BC
c. AN NC (hay NA CN ), BM MC (hay MB CM )
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N
trênđoạn CD sao cho AM = CN. Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?
ABCD là hình bình hanh
AB DC hay BA CD
AD BC hay DA CB
/ /
AM CNgt
AM CN
AMCN là hình bình hành
AM NC hay MA CN
AN MC hay NA CM
/ /
BM DNgt
BM DN
AMCN là hình bình hành
BM ND hay MB DN
BN MD hay NB DM
A B
C D
M
N
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F.
Chứng minh rằng : DE EF FB
Ta có :/ /
AM CNAMCN
AM CN
là hình bình hành
Theo gt ta có: N là trung điểm DC và NE // FC NE là đường trung bình của DFC
E là trung điểm của DF (1)DE EF
Tương tự ta cũng có : F là trung điểm của BE nên (2)EF FB
Vậy từ (1) và (2) ta có: DE EF FB (đpcm)
Ví dụ 6: Cho điểm A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a. 4 4AM cm AM cm M luôn cách điểm A cố định một khoảng không
đổi 4cm Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính R = 4cm.
b. AM cùng phương với 0a giá của AM là đường thẳng d cùng phương
với 0a (với d là đường thẳng luôn đi qua A và M)
Do đó tập hợp tất cả các điểm M là đường thẳng d đi qua A và song song với
giá của a
Ví dụ 7:Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D.
Chứng minh rằng : AE BD
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có : (1)BA CD
Ta có: E đối xứng của C qua D D là trung điểm của CE (2)CD DE
Từ (1) và (2) ta có: BA DE ABDE là hình bình hành AE BD (đpcm)
A B
C D
M
N
E F
A
B C
D
E
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 8:Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường
kính AD. Chỉ ra các vec tơ bằng với BC
Giải:
Với những điểm cho trong giả thiết thì ta có:
ABCO là hình bình hành BC AO
BCDO là hình bình hành BC OD
Vậy chỉ có hai vec tơ bằng BC là AO và OD
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của
tam giác ABC đó. Gọi A’, B’, C’lần lượt là
trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt
là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.
a. Chứng tỏ: AQ CN và AM PC
b. Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.
Giải:
a. Từ giả thiết ta có:
C’ đồng thời là trung điểm của AB và MQ
AMBQ là hình bình hành (1)AQ MB
A’ đồng thời là trung điểm của BCvà MN
BMCN là hình bình hành (2)MB CN
Từ (1) và (2) ta có: AQ CN (đpcm)
B’ đồng thời là trung điểm của AC và MP
AMCP là hình bình hành AM PC (đpcm)
b. Theo câu a ta có: AQ CN ACNQ là hình bình hành
Gọi I AN CQ .
Khi đó I đồng thời là trung điểm của AN và CQ.
Ta có AMBQ là hình bình hành nên AM QB
mà ta lại có AM PC QB PC BCPQ là hình bình hành
Do đó I là trung điểm của BP (vì I là trung điểm của CQ)
A D
B
O
C
A
B C
M
A
’
B
’ C
’
N
P Q
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Vây AN, BP và CQ đồng quy tại I (với I là trung điểm của mỗi đoạn )
Ví dụ 10:MN AB
AB DCMN DC
ABCD là hình bình hành.
Ví dụ 11: AB DC ABCD là hình bình hành AD BC
Ví dụ 12:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :
a. Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA
b. Tìm các vectơ bằng vectơ AB , OE
Giải:
a. các vectơ khác 0 và cùng phương với OA là : , , , , , ,AO BC CB EF FE OD DO
b. Có 3 vectơ bằng AB là , ,FO OC ED
Có 3 vectơ bằng OE là , ,AFBO CD
Ví dụ 13:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH,
M là trung điểm của cạnh BC.
a. Chứng minh rằng : 'AH B C
b. Chứng minh rằng : AI OM
Giải:
a. AB BC (sai vì 2 vec tơ không cùng phương)
b. AB AC (sai vì 2 vec tơ không cùng phương)
c. AB AC (đùng vì AB AC AB AC và ABC là tam giác đều)
Ví dụ 14:Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm
của BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.
Chứng minh rằng: AM NC và DK NI
Theo giả thiết ta có: MC // AN và MC = AN
AMCN là hình bình hành AM NC (đpcm)
A
D
B
C
M N
I K
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Ta có : AN BM ANMB là hình bình hành I là trung điểm của AM
Tương tự ta cũng có K là trung điểm của DM
Do đó IK là đường trung bình của AMD / /IK ND
IK ND
IKDN là hình bình hành DK NI (đpcm)
Ví dụ 15:Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MN QP và NP MQ
Giải:
Ta có : M, N lần lượt là trung điểm BA và BC
nến MN là đường trung bình của ABC
Do đó :1
2
/ /
MN AC
MN AC
(1)
Tương tự ta cũng có 1
2
/ /
PQ AC
PQ AC
(2)
Từ (1) và (2) ta có: / /MN PQ
MN PQ
MNPQ là hình bình hành MN QP
NP MQ
(đpcm)
Ví dụ 16:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH, M
là trung điểm của cạnh BC.
a. Chứng minh rằng : 'AH B C
b. Chứng minh rằng : AI OM
Giải:
a. Vì H là trực tâm của tam giác ABC
AH BC
Ta lại có BB’ là đường kính của đường tròn (O)
0' 90 'BCB AB BC
Suy ra AH // B’C (1)
Tương tự ta có: '
CH AB
AB AB
CH // AB’ (2)
D
A
B
C
M
N
Q
P
A
.
B
B
’
C
H
M
O
I
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Từ (1) và (2) ta có: AHCB’ là hình bình hành 'AH B C
b. Ta có O và M lần lượt là trung điểm của BB’ và BC nên OM là đường trung bình
của tam giác BB’C
/ / '
1'
2
OM B C
OM B C
(3)
Lại có: I là trung điểm của AH
/ /
1
2
AI BC
AI BC
(4) (vì AHCB’ là hình bình hành)
Từ (3) và (4) ta có: / /AI OM
AI OM
AIMO là hình bình hành AI OM