módulo 5 · ... de la matemática y en cuestiones de la vida diaria donde ... son funciones...

Seminario Universitario – Matemática

Módulo 5

Funciones

“Una función no es: ni una tabla de valores, ni una representación gráfica, ni una serie de teclas de una calculadora, ni una fórmula. Es todo eso a la vez”.

Miguel de Guzmán La primera idea de la palabra función es dependencia, por ejemplo, el área de un círculo es función de su radio, el costo de envío de una carta es función de su peso y así podemos encontrar muchos ejemplos dentro de la matemática y en cuestiones de la vida diaria donde aparece este concepto. El objeto de este módulo es precisar la idea de función, para hacerlo, recordemos algunos conceptos importantes: Empecemos con un ejemplo: Supongamos que vas al cine, y tu entrada dice: “fila 4 asiento 15”. Evidentemente, no es lo mismo que diga “fila 15, asiento 4”, es decir, el orden en el que están dados los números es muy importante para poder ubicar correctamente tu asiento. Cuando estudiaste geografía, usaste un sistema de coordenadas para ubicar puntos de la Tierra (latitud y longitud), y te habrás dado cuenta que el punto ubicado en 60° de latitud sur y 30° de longitud oeste, no es el mismo que el que tiene por coordenadas 30° de latitud sur y 60° de longitud oeste. Podemos escribir estos dos ejemplos de la siguiente forma:

( ) ( )4;15 60 ;30° °

O sea, tenemos un conjunto de dos elementos dados en un cierto orden. A ese conjunto lo llamaremos par ordenado. El primer elemento del par se llama primera componente y el segundo elemento, segunda componente. Importante: ( ) ( ); ;a b b a≠

Consideremos dos conjuntos: { } { }1;2;3 ,A B m n= =

Vamos a formar un conjunto que tenga por elementos pares ordenados con la siguiente condición: la primera componente del par ordenado debe pertenecer al 123

Módulo 5

conjunto A, y la segunda al B. A ese conjunto lo denotaremos AxB y lo llamaremos producto cartesiano.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, ; 1, ; 2, ; 2, ; 3, ; 3,A B m n m n m n× = ¿Cuántos pares ordenados tiene AxB?.... Se obtiene multiplicando la cantidad de elementos de A por la cantidad de elementos de B. Ahora, forma el producto cartesiano BxA:

}{...............................................................................................B A× =

¿Son iguales?... ¿Por qué?...

ACTIVIDAD 1 Dados los siguientes conjuntos, hallar AxB, BxA, AxA = A2, B2:

{ } { }{ } { }{ } { }

) 2;4;5 ; 2;7;0

) , , ; ,

) 1;3;5;7 ; 2;4;6;8

a A B

b A x y z B

c A B

α β

= =

= =

= =

RELACIONES Partamos de un producto cartesiano: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1;4 ; 1;5 ; 1;6 ; 2;4 ; 2;5 ; 2;6A B× = .

Y ahora formemos un subconjunto R1 con todos aquellos pares ordenados del producto AxB que cumplen con la condición de que la segunda componente es igual a la primera aumentada en tres. Simbólicamente podemos escribir: ( ){ }1 ; 3R x y y x= = +

Definido por extensión este conjunto es: ( ) ( ){ }1 1;4 ; 2;5R =

Hemos definido una relación, es decir un subconjunto de un producto cartesiano. Atención: Diremos que 4 es imagen de 1 1 es preimagen de 4 Esta relación puede representarse gráficamente:

Por diagramas de Venn - Euler: O por gráfico cartesiano:

0.5 1 1.5 2

12345

1

2

4

5

6

A B

124


ACTIVIDAD 2 a) Dados los siguientes conjuntos, definirlos por extensión, hallar AxB y dar por

extensión las siguientes relaciones incluidas en el producto cartesiano: { } { }2 6 5 9A x x x B x x x= ∈ ∧ < ≤ = ∈ ∧ ≤ <

( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ){ }

1 2 3

4 5 6

; ; ;

; 11 ; 1 ;

R x y x y R x y x y R x y x y

R x y x y R x y x y R x y x y

= < = ≤ = =

= + = = − = =

b) Representar en diagramas de Venn-Euler y en gráficos cartesianos las

relaciones dadas. Algunas precisiones A los conjuntos A y B los llamaremos conjunto de partida y conjunto de llegada de la relación, respectivamente. Al subconjunto del conjunto de partida formado por los elementos que son primeras componentes de la relación lo llamaremos Dominio (conjunto de las preimágenes) y al subconjunto de B, cuyos elementos son segundas componentes de la relación, lo llamaremos Recorrido (conjunto de las imágenes). En una relación el dominio puede coincidir con el conjunto de partida y el recorrido con el de llegada.

ACTIVIDAD 3 Definir por extensión el dominio y el recorrido de las relaciones de la Actividad 2.

FUNCIONES

Dentro de las relaciones, estudiaremos un tipo especial de éstas, llamadas funciones. Diremos que una relación es función, si y sólo si se cumplen dos condiciones:

• Condición de existencia: Todos los elementos del conjunto tienen imagen en el segundo conjunto.

• Condición de unicidad: Todos los elementos del primer conjunto tienen una sola imagen en el segundo. (Aunque un elemento del segundo puede tener varias preimágenes en el primero).

Veamos algunos ejemplos gráficamente:

125

Módulo 5

No es función, no se cumple la condición de existencia.

No es función, aunque se cumple la condición de existencia, no se cumple

la condición de unicidad.

No es función, no se cumple ninguna de las dos condiciones.

Este sí es el gráfico de una función (¡por fin!), se cumplen ambas

condiciones.

¿Cómo representar funciones?... Hay diferentes formas de representar una función: a) Por extensión: ( ) ( ) ( ){ }1;2 ; 3;6 ; 5;6f =

b) Por tabla: c) Por diagrama de Venn - Euler:

x y 1 2 3 6 5 6

1

3

2

6 5

A B

*

*

*

*

A B

*

*

*

* *

A B

*

*

*

*

* * *

A B

*

*

*

*

* *

*

A B

*

*

126


d) Por diagrama cartesiano:

El tipo de representación que elijamos estará condicionada por las necesidades de cada caso.

FUNCIONES ESCALARES Dentro del conjunto de las funciones tienen especial interés para nosotros las funciones escalares, que son aquellas cuyo dominio y recorrido son subconjuntos de los números reales. Las funciones escalares también se conocen como funciones numéricas. Es usual dar la relación entre las variables de las funciones numéricas mediante fórmulas, así por ejemplo:

1

2 2

3

( ) 3 21( )3

( ) cos

f x xxf xx

f x x

= +

+=

+=

etc...

Características de las funciones escalares

Además del dominio, codominio y recorrido de una función, interesa analizar las siguientes características:

Función continua Podemos hacernos una idea intuitiva de lo que es una función continua pensando en su gráfica, y decir que es aquella en la cual no es necesario levantar el trazo del lápiz para realizar su representación gráfica. Las funciones polinómicas son funciones continuas. Si la función no es continua se llama discontinua. Conjunto de positividad Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) para los cuales dicha función toma valores positivos.

127

Módulo 5

Se representa como C+. C+ = {x ∈ Domf / f(x) > 0}

Conjunto de negatividad Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) para los cuales dicha función toma valores negativos. Se representa como C–.

C– = {x ∈ Domf / f(x) < 0} Conjunto de ceros Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) para los cuales dicha función vale cero. Se representa como C0.

C0 = {x ∈ Domf / f(x) = 0} Funciones monótonas

Función estrictamente creciente Una función y = f(x) es estrictamente creciente en un intervalo incluido en su dominio si y sólo si para todo par de valores distintos de la variable independiente pertenecientes a dicho intervalo se verifica que la imagen del menor es menor que la imagen del mayor.

f es estrictamente creciente en (a; b) ⊆ Domf ⇔ ⇔ ∀ x1 ∈ (a; b) ∧∀ x2 ∈ (a; b) ∧ x1 ≠ x2 : [x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)]

El conjunto de crecimiento, que se representa como C↑, es el intervalo o la unión de intervalos donde la función es creciente. Función estrictamente decreciente Una función y = f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo incluido en su dominio si y sólo si para todo par de valores distintos de la variable independiente pertenecientes a dicho intervalo se verifica que la imagen del menor es mayor que la imagen del mayor.

f es estrictamente decreciente en (a; b) ⊆ Domf ⇔ ⇔ ∀ x1 ∈ (a; b) ∧∀ x2 ∈ (a; b) ∧ x1 ≠ x2 : [x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)]

El conjunto de crecimiento, que se representa como C↓, es el intervalo o la unión de intervalos donde la función es creciente. Función Periódica

Una función y = f(x) es periódica si existe un número real positivo T, tal que para todo x que pertenece al dominio de la función se verifica que:

f(x) = f(x + k T)

donde k es un número entero, y el número real positivo T se llama período. De las funciones que se estudian en este curso, sólo las trigonométricas son periódicas.

128


Estudiaremos con más detalle algunas funciones numéricas. FUNCIONES POLINÓMICAS

Tienen la forma 1 21 2 1 0( ) .....n n

n nf x a x a x a x a x a−−= + + + + + .

Profundicemos el estudio de algunas funciones polinómicas. FUNCIÓN LINEAL Llamaremos función lineal a toda función dada por un polinomio de primer grado, podemos simbolizar su forma así:

y = m x + b Son ejemplos de funciones lineales:

1 2 32 1( ) 2 4 ; ( ) 3 ; ( )5 2

f x x f x x f x x= + = − = −

ACTIVIDAD 4 Completar la siguiente tabla de valores para la función y = 3 x – 2 y representarla en un sistema de ejes cartesianos.

x y –2 –1 0 1 2

Si hiciste las cosas bien, la gráfica seguramente habrá resultado una recta. En efecto, todas las funciones del tipo y = m x + b tienen por representación gráfica una recta. Esta es la gráfica que tenías que hacer: Al coeficiente m se lo llama pendiente de la recta, y b se llama ordenada al origen.

¿Cómo representar gráficamente una función lineal?... Seguramente recordarás de la escuela secundaria, que al comenzar a estudiar geometría enunciaste los axiomas de Euclides, uno de ellos decía más o menos

129

Módulo 5

así: por dos puntos pasa una y sólo una recta, o alguna expresión similar. Entonces bastará con determinar dos puntos que verifiquen la ecuación dada para poder representarla gráficamente. Consideremos por ejemplo, la recta y = 2 x + 1. Como su ordenada al origen es 1, podemos asegurar que la recta pasa por el punto (0; 1), entonces sólo falta determinar otro punto de la misma para poder trazarla.

El segundo punto se halla de la siguiente forma: como la pendiente de la recta es 2 construimos un triángulo rectángulo cuyo cateto adyacente a α mida 1 y cuyo cateto opuesto mida 2. O sea, desde la ordenada al origen “salimos” 1 unidad a la derecha y “subimos” 2 unidades. En el extremo del último segmento encontramos el segundo punto que necesitamos para trazar la recta.

Veamos otros ejemplos:

En este caso, hemos representado la

recta 12

y x= − , observemos que su

ordenada al origen es 0 y que como la pendiente es negativa, después de “salir” 2 unidades hacia la derecha, “bajamos” 1 unidad.

Esta recta tiene por ecuación 3 22

y x= − .

ACTIVIDAD 5 Graficar las siguientes rectas:

3) 3 5 )2

a y x b y x= − = − +

Intersecciones de una recta con los ejes coordenados Los puntos donde la recta corta a los ejes coordenados se llaman abscisa y ordenada al origen. Para hallarlos procedemos así:

α 1

1

2

α x

y

x

y

O 1

2 x

y

O 3

2 –2

130


La abscisa al origen, es el “valor de x” para el cual y = 0, por lo tanto: 0 = m x + b

Despejando x: x = bm

−

Este valor también se conoce como cero o raíz de la función lineal. La ordenada al origen es el “valor de y” que se obtiene para x = 0:

y = m 0 + b

y = b Expresión que ya conocíamos. Posiciones especiales de la recta

1. Recta horizontal Una recta horizontal tiene por ecuación y = b, siendo b constante. Es una recta paralela al eje x, que no lo corta si b ≠ 0, y pasa por el punto (0; b). Es la representación gráfica de la función constante. En consecuencia, en el plano de coordenadas cartesianas, como el eje x es una recta horizontal que pasa por el origen de coordenadas, su ecuación es y = 0. 2. Recta vertical Una recta vertical tiene por ecuación x = a, con a constante. Es una recta paralela al eje y, que no lo corta si a ≠ 0, y pasa por el punto (a; 0). No representa una función. Por consiguiente, en el plano de coordenadas cartesianas, como el eje y es una recta vertical que pasa por el origen de coordenadas, su ecuación es x = 0. Ecuación de la recta que pasa por un punto Para determinar la ecuación de la recta que pasa por un punto (x0; y0), procederemos de la siguiente manera: Sabemos que la ecuación de una recta es y = m x + b [ 1 ] Además si el punto (x0; y0) pertenece a la recta, verifica su ecuación, es decir:

0 0y mx b= + [ 2 ] Restando miembro a miembro las ecuaciones [ 1 ] y [ 2 ]:

131

Módulo 5

( )0 0

0 0

y y mx b mx by y mx b mx b

− = + − +

− = + − −

Cancelando b y extrayendo factor común m:

( )0 0y y m x x− = −

Que es la ecuación de la recta que pasa por el punto (x0; y0) y tiene pendiente m. Veamos un ejemplo: Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (–3; 2) y tiene pendiente 5. Aplicando la fórmula deducida: y – 2 = 5 (x + 3) Operando queda: y – 2 = 5 x + 15 y = 5 x + 17

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ahora vamos a deducir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (x1; y1) y (x2; y2). Para ello, observemos que según la ecuación de la recta que pasa por un punto, la pendiente de una recta puede escribirse de la siguiente forma:

0

0

y ym

x x−

=−

Donde x0 e y0 son las coordenadas de un punto en particular de la recta, y “x” e “y” son las coordenadas de un punto cualquiera perteneciente a la misma. Entonces, ya que los puntos (x1; y1) y (x2; y2) pertenecen a la recta, podemos escribir:

12

12

y ym

x x−

=−

Entonces, hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (x1; y1) (podríamos haber elegido el otro punto), y que tiene la pendiente m:

( )1 1y y m x x− = − y reemplazando m por la expresión que obtuvimos queda:

( )121 1

12

y yy y x x

x x−

− = −−

Esta expresión puede escribirse también como:

1 1

1 12 2

y y x xy y x x

− −=

− −

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–3; 5) y (2; –2).

( ) ( )( )

( )

− −− = − −

− −

− −− = +

+

2 55 32 32 55 32 3

y x

y x

132


( )−− = +

− = − −

= − +

75 357 2155 5

7 45 5

y x

y x

y x

ACTIVIDAD 6

Encontrar las ecuaciones de las siguientes rectas: a) que pasa por el punto (–2; 2) y tiene pendiente 3; b) que pasa por los puntos (–1; 4) y (2; 5). Paralelismo y perpendicularidad entre rectas

Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Por ejemplo, las rectas 2 ; 2 5 ; 2 4y x y x y x= = − = + son paralelas. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es la recíproca y opuesta de la pendiente de la otra. Podemos decir que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares (que no sean una vertical y la otra horizontal) entre sí es igual a –1.

Por ejemplo, las rectas 13 2 43

y x e y x= − = − + son perpendiculares.

Forma implícita de la ecuación de la recta Se escribe: A x + B y + C = 0, siendo A, B y C números reales, con A y B no simultáneamente nulos. De A x + B y + C = 0, si B ≠ 0 podemos despejar “y”, resultando:

A Cy xB B

= − −

Siendo AB

− la pendiente de la recta y CB

− su ordenada al origen. Como vemos,

en la ecuación implícita de una recta no se leen directamente los valores de m y b.

Intersección entre rectas Sabemos que dadas dos rectas en el plano, pueden darse tres situaciones: a) Que se corten en un punto. (Rectas concurrentes.) b) Que no tengan ningún punto en común. (Rectas paralelas.) c) Que tengan todos sus puntos en común. (Rectas coincidentes.) 133

Módulo 5

Para determinar, si existe, el punto de intersección de dos rectas, se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Usando la forma implícita:

1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ = + =

Si este sistema tiene solución (única), los valores de x e y son las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas. La resolución de un sistema de 2x2 se puede hacer por varios métodos, aquí sólo veremos dos: método de sustitución y método de determinantes.

Método de sustitución Para conocer el Método de Sustitución resolvamos el siguiente sistema para explicarlo:

+ = − = −

2 8 [1]3 2 2 [2]

x yx y

En primer lugar de una de las ecuaciones despejamos una variable cualquiera, por ejemplo, despejaremos la variable y de la ecuación [1]:

de [1] : 8 2 [3]y x= − Luego, reemplazamos esta expresión en la otra ecuación:

( )− − = −[3] en [2] : 3 2 8 2 2x x Obtuvimos una ecuación de primer grado con una incógnita. Resolviendo:

− + = −= − +

=

=

=

3 16 4 27 2 167 14

147

2

x xxx

x

x

Por último, reemplazamos el valor de x en la ecuación [3]: en [3] : 8 2 2 8 4 4y = − ⋅ = − =

Por lo tanto, vemos que el punto de intersección de las rectas es (2; 4), y el conjunto solución del sistema es S = {(2; 4)}. Verificamos esto haciendo las gráficas:

134


Cuando, como en este caso, el sistema tiene solución única (las rectas se intersecan en un punto), se denomina sistema compatible determinado. Resolvamos otro sistema:

− =

− + = −

2 4 [1]1 2 [2]2

x y

x y

( )

= −

− + − = −

− + − = −/ /− = −

de [1]: 2 4 [3]1[3] en [2]: 2 4 22

2 22 2

y x

x x

x x

¿Qué ha sucedido?, hemos eliminado la incógnita x y obtuvimos una igualdad (verdadera). Aquí debemos detener el método. Llevemos ambas ecuaciones a su forma explícita:

( )

= −

= −

⇒ = − = −

de [1]: 2 41de [2]: 22

2 2 2 4

y x

y x

y x x

Ambas ecuaciones representan la misma recta, por lo tanto el sistema admite infinitas soluciones, (cualquier punto de la recta y = 2 x – 4 verificará ambas ecuaciones del sistema). En este caso, decimos que el sistema es compatible indeterminado. Gráficamente, las rectas son coincidentes.

Para obtener algunas de las infinitas soluciones del sistema, damos valores a x para obtener los correspondientes de y; el conjunto solución es:

S = {(0; –4); (1; –2); (–1; –6); …} Por último resolvamos el sistema:

− + = − =

3 2 [1]6 2 4 [2]

x yx y

135

Módulo 5

( )= +

− + =

/ /− − =/ /− =

de [1]: 3 2 [3][3] en [2] : 6 2 3 2 4

6 6 4 44 4

y xx x

x x

También en este caso se ha eliminado la incógnita x pero la igualdad que se obtuvo es evidentemente falsa. Llevando las ecuaciones a su forma explícita:

= +− = − +

− + −= = +

− − −= −

de [1]: 3 2de [2]: 2 6 4

6 4 6 42 2 2

3 2

y xy x

xy x

y x

Ambas rectas tienen igual pendiente (son paralelas), es decir, no existe punto de intersección, en este caso el sistema es incompatible: S = ∅ .

Método de determinantes Para desarrollar el método de determinantes comencemos definiendo un determinante de segundo orden. Un determinante de segundo orden es una disposición de números como la siguiente:

a bc d

Llamaremos filas a las formadas por los elementos a _ b y c _ d; y columnas a las formadas por a _ c y b _ d. Las diagonales son a _ d (diagonal principal), y b _ c (contradiagonal). Un determinante da por resultado un número, que para uno de segundo orden se calcula así:

a ba d b c

c d= ⋅ − ⋅

136


ACTIVIDAD 7 Calcular los siguientes determinantes:

11 4 9 2 6

) ) ) 32 5 9 6 4 9a b c

−= = =

−

Ahora, apliquemos los determinantes a la solución de sistemas de 2x2:

Consideremos el sistema: 1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ = + =

Llamaremos determinante principal del sistema y lo designamos con ∆ al formado por los coeficientes de las incógnitas:

1 1

2 2

a ba b

∆ =

Además, formaremos otros dos determinantes llamados ∆x y ∆y:

1 11 1

2 22 2x y

a cc ba cc b

∆ = ∆ =

Estos determinantes son muy fáciles de recordar, teniendo en cuenta que ∆x se forma cambiando la columna de coeficientes de x por los términos independientes, y lo mismo sucede para ∆y.

Se puede demostrar que los valores de x y de y se obtienen haciendo los cocientes:

yxx y∆∆

= =∆ ∆

Ejemplo:

Resolver + =

− = −

3 2 13

x yx y

Formamos los determinantes:

∆ = = − − = −−

∆ = = − + =− −

∆ = = − − = −−

3 23 2 5

1 1

1 21 6 5

3 1

3 19 1 10

1 3

x

y

Calculamos las incógnitas: 5 1510 25

x

y

x

y

∆= = = −

∆ −∆ −

= = =∆ −

∴S = {(–1; 2)

137

Módulo 5

ACTIVIDAD 8 La compatibilidad de un sistema puede analizarse fácilmente en base a los valores de los determinantes. Aplica el método de determinantes a los sistemas que hemos resuelto por sustitución y completa el siguiente cuadro (Importa el hecho de saber si los determinantes son nulos o no):

Tipo de sistema ∆ ∆x ∆y

Interpretación Gráfica

Aplicaciones Los sistemas de 2x2 sirven para resolver un gran número de problemas, por ejemplo: Hallar dos números sabiendo que el duplo del primero más el triplo del segundo es igual a –10 y que la diferencia entre el primero y el segundo también es –10.

De la primera parte del enunciado podemos deducir la ecuación 2 3 10x y+ = − , y de la segunda x – y = – 10. Formando el sistema:

2 3 1010

x yx y

+ = − − = −

y resolviéndolo por cualquier método se obtiene la solución = − =8; 2x y .

FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Su forma general es 2( )f x a x b x c= + + (a ≠ 0) y su representación gráfica es una curva llamada parábola. Estudiemos la parábola más sencilla, la llamaremos parábola matriz, su ecuación es y = x2. Vemos que la parábola está compuesta por dos ramas, que se unen en el punto (0; 0). A ese punto lo denominaremos vértice. También se observa a simple vista que la curva presenta simetría axial con respecto al eje y, que es el eje de simetría. Por lo tanto, podemos resumir esta información diciendo que la parábola matriz y = x2 tiene vértice en el punto (0; 0) y eje de simetría x = 0. 138


Ahora veamos el efecto que produce en la gráfica la variación del coeficiente “a”, para ello, grafiquemos las siguientes funciones:

= =2 21) 2 )2

a y x b y x

Por ser a un número positivo, decimos que estas parábolas tienen concavidad positiva.

Hemos usado el trazo (– – – –) para y = 2 x2, el (– · – · – · – ·) para 212

y x= , y

en línea continua graficamos la parábola matriz. Observemos que cuando el coeficiente a es mayor que 1, las ramas de la parábola se acercan al eje de ordenadas (podríamos decir que la parábola se “cierra”), en cambio, si 0 < a < 1, las ramas de la curva se acercan al eje de abscisas (la parábola se “abre”). Pero, ¿qué sucede si a es negativo? Veamos las gráficas correspondientes a las

siguientes parábolas: = − = − = −2 2 2122

y x y x y x

139

Módulo 5

Hemos usado el trazo (– – – –) para 22y x= − , el (– · – · – · – ·) para 212

y x= − ,

y en línea continua y = –x2, y observamos que todas ellas tienen en común que su concavidad es negativa y a medida que el valor absoluto de a aumenta, las curvas tienden a acercarse al eje de ordenadas y si está comprendido entre 0 y 1, al de abscisas. Notemos que todas ellas, tienen por vértice al punto (0; 0) y por eje de simetría a la recta x = 0. Resumiendo: Todas las parábolas cuya ecuación es de la forma y = a x2 tienen vértice en (0; 0) y eje de simetría el eje de ordenadas. El signo de a define la concavidad de la curva y si |a| > 1, las ramas se cierran, mientras que si 0 < |a| < 1, las ramas se abren. Estudiemos ahora la función y = a x2 + k.

Para ello grafiquemos la función:

y = x2 + 2

Vemos ahora que el vértice tiene coordenadas (0; 2) pero el eje de simetría sigue siendo el eje de ordenadas.

Veamos ahora la gráfica de: y = x2 – 3:

Las coordenadas del vértice son ahora (0; –3) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.

140


Podemos concluir que y = a x2+ k es el gráfico de la función y = a x2 trasladado k unidades hacia arriba si k > 0 y k unidades hacia abajo en caso contrario. El vértice tiene coordenadas (0; k), y el eje de simetría tiene por ecuación x = 0. Veamos ahora las parábolas de la forma y = a (x – h)2:

La ecuación de esta parábola es:

y = (x – 2)2,

El vértice tiene coordenadas

(2; 0).

El eje de simetría es la recta de ecuación:

x = 2.

Gráfico de: y = –(x + 2)2.

Vértice: (–2; 0)

Eje de simetría: x = –2.

Vemos que el término h desplaza el vértice h unidades hacia la derecha si h > 0 o a la izquierda si h < 0. Esto produce un desplazamiento del eje de simetría, cuya ecuación es x = h. Resumiendo: La parábola y = a (x – h)2 tiene vértice en el punto (h; 0), siendo la ecuación del eje de simetría x = h.

141

Módulo 5

En general:

La gráfica de la función y = a (x – h)2 + k es una parábola cuyo vértice es el punto de coordenadas (h; k) y tiene por eje de simetría a la recta x = h.

Gráfica de y = ½ (x + 2)2 – 4

Como a es positivo y 0 < a < 1, tiene concavidad positiva y es más abierta que la parábola matriz. Su vértice es el punto (–2; –4) y su eje de simetría es la recta vertical x = –2.

A esta forma de escribir la ecuación de una parábola se la llama forma canónica. En ella es muy fácil determinar las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría. Estos datos no se obtienen directamente de la forma polinómica, pero veremos cómo hacer para lograrlo. Pasaje de la forma polinómica a la canónica

( )2 2

forma polinómicaforma canónica

a x h k a x b x c− + = + +

Desarrollemos el cuadrado del primer miembro y agrupemos términos semejantes: a (x2 – 2 h x + h2) + k = a x2 + b x + c

a x2 – 2 a h x + a h2 + k = a x2 + b x + c

a x2 – 2 a h x + (a h2 + k) = a x2 + b x + c Por igualdad de polinomios debe ser:

=− =

+ =2

2 [1]

[2]

a aa h b

a h k c

2

2 2

2

de [1] : 2

de [2]:

reemplazando :2 4

bha

k c a h

b bh k c a c aa a /

−=

= −

−= − = − ⋅ /

2

4bk ca

= −

142


Por lo tanto, las coordenadas del vértice de la parábola y = a x2 + b x + c son: 2

;2 4b bV ca a

−= −

Y la ecuación del eje de simetría es: 2bxa

−= .

Observación: Existe una forma más simple de encontrar la ordenada del vértice,

es el valor numérico de la función para 2bxa

−= , con lo que las coordenadas del

vértice se pueden expresar como: ;2 2b bV fa a

− − ≡ .

Dominio y recorrido de la función de segundo grado Por ser una función polinómica, el dominio de la función de segundo grado es el conjunto de los números reales. Su recorrido, en cambio, es un subconjunto que depende de la posición del vértice y de la concavidad.

La función no toma valores menores que 1, que es la ordenada del vértice.

Por lo tanto:

Rec = {y ∈ / y ≥ 1}

En este caso, la función no toma valores mayores que la ordenada del vértice, que es 2, por lo que su recorrido es:

Rec = {y ∈ / y ≤ 2}

143

Módulo 5

En consecuencia, podemos afirmar que, si la parábola tiene concavidad alcanza su valor mínimo en el vértice y que si tiene concavidad negativa, alcanza su valor máximo en dicho punto. Intersección de la parábola con los ejes coordenados • Intersección de la parábola con el eje de ordenadas La intersección de la curva con el eje de ordenadas se obtiene para x = 0. Entonces, la parábola y = a x2 + b x + c corta al eje x en el punto (0; c), pues:

f (0) = a 02 + b 0 + c = c • Intersecciones de la parábola con el eje de abscisas Las intersecciones con el eje de abscisas se obtienen para y = 0, resulta entonces:

a x2 + b x + c = 0 Los valores de x se obtienen, como ya hemos visto mediante la fórmula resolvente. Pero, pueden darse tres casos:

Caso 1: La parábola corta al eje de abscisas en dos puntos.

Caso 2: La parábola tiene un solo punto de contacto con el eje de abscisas.

Caso 3: La parábola no corta al eje de abscisas.

Evidentemente, el hecho de que la curva corte o no al eje x depende del tipo de raíces que presenta la ecuación. Para ello hagamos un análisis más detallado de la misma:

− ± −=

2

1;24

2b b a c

xa

La expresión que aparece debajo del radical se denomina discriminante de la ecuación de segundo grado, lo simbolizamos con la letra griega delta mayúscula (∆).

2 4b a c∆ = −

• Si ∆ > 0, en la fórmula resolvente aparece la raíz cuadrada de un número positivo, (el resultado es un número real). Por lo tanto, las raíces serán reales y distintas. (Dos intersecciones con el eje de abscisas).

144


• Si ∆ = 0, las raíces son reales e iguales (ya que se anula el segundo sumando del numerador). Hay un solo punto de contacto entre la parábola y el eje de abscisas. (Este punto es el vértice).

• Si ∆ < 0, su raíz cuadrada es un número imaginario, en consecuencia las raíces son números complejos conjugados. (no hay intersección con el eje de abscisas).

ACTIVIDAD 9 Dada la parábola cuya ecuación es: y = x2 – 4 x + 3, a) Encontrar las coordenadas de su vértice. b) Dar su dominio y recorrido. c) Hallar sus intersecciones con los ejes coordenados. Intersección entre recta y parábola

Encontrar las intersecciones entre una recta y una parábola es resolver un sistema de ecuaciones del tipo:

2

y m x n

y a x b x c

= +

= + +

Este sistema, formado por una ecuación lineal y una no lineal se denomina sistema mixto. Ejemplo:

Encontrar los puntos de intersección de la parábola y = x2 – 3 x + 2 y la recta y = – x + 5.

El sistema mixto asociado al problema es:

2 3 25

y x xy x

= − +

= − +

Igualando los segundos miembros:

x2 – 3 x + 2 = – x + 5

agrupando términos semejantes en el primer miembro:

x2 – 2 x – 3 = 0

Al resolver la ecuación de segundo grado se obtienen las raíces:

x1 = 3 y x2 = –1.

Estas soluciones son las abscisas de los puntos de intersección. Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos las ordenadas correspondientes:

Si x1 = 3 ⇒ y1 = –3 + 5 = 2

Si x2 = –1 ⇒ y2 = –(–1) + 5 = 6

∴ S = {(–1; 6); (3; 2)} 145

Módulo 5

Podemos comprobar en la figura, que los puntos hallados son los de intersección entre ambas gráficas.

En este tipo de sistemas pueden darse tres situaciones:

• Dos puntos de intersección.

• Un punto de intersección (en este caso la recta es tangente a la curva).

• Ningún punto de intersección.

La recta es tangente a la parábola. La ecuación que resuelve el sistema tiene raíces reales e iguales.

La recta y la parábola no se intersecan. La ecuación que resuelve el sistema tiene raíces complejas.

146


Intersección entre dos parábolas Los puntos de intersección entre dos parábolas se hallan de la misma manera que los de una recta y una parábola. Ejemplo: Hallar los puntos de intersección de:

=

= −

2

22

y x

y x x

Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior:

( )

( )

2 2

2 2

2

1 2

2

2 0

2 2 02 1 0

0 1

x x x

x x x

x xx x

x x

= −

− − =

− =

− =

= =

Los puntos de intersección son:

( ) ( )1 20;0 , 1;1P P≡ ≡ .

FUNCIONES RACIONALES Una función racional es aquella cuya expresión matemática es el cociente entre dos polinomios.

( )( )( )

P xf xQ x

=

El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales que no anulan el denominador. Ecuaciones racionales

Un número real a es solución de una ecuación racional ( ) 0( )

P xQ x

= si y sólo si

( ) 0 ( ) 0P a Q a= ∧ ≠ . Es decir, resolver una ecuación racional es encontrar aquellos valores de la indeterminada que anulan el numerador pero no anulan el denominador. Las soluciones son los ceros de la función racional f(x) = P(x)/Q(x).

Por ejemplo, resolver: 2 13 3

x xx x x

+− =

− +

+− − =

− +2 1 0

3 3x x

x x x

147

Módulo 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+ − − − + + −=

− +

2 3 2 3 1 3 30 (Común denominador)

3 3

x x x x x x xx x x

Dom = – {–3; 0; 3}

Como debemos buscar los ceros del numerador, eliminamos el denominador pues sabemos que es distinto de cero ya que los valores que lo anulan no pertenecen al dominio (notemos que es lo mismo que si lo pasamos multiplicando al segundo miembro).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 3 2 3 1 3 3

3 3

x x x x x x x

x x x

+ − − − + + −

+ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0

3 2 3 1 3 3 0x x x x x x x

=

+ − − − + + − =

Distribuyendo: 3 2 2 2 33 2 6 9 9 0x x x x x x x+ − + − + − + =

Y después de realizar la suma indicada, obtenemos la ecuación: 315 9 0 cuya solución es 5

x x+ = = −

Como este valor no anula ninguno de los denominadores de la ecuación propuesta, o sea pertenece al dominio de la función, es solución de la misma.

ACTIVIDAD 10 Resolver las siguientes ecuaciones racionales:

2

2

2 87 3 1) ) 05 2 27 10

xx xa bx x xx x

−+ += − =

+ + −− +

Inecuaciones racionales

Una inecuación racional es de la forma ( ) 0( )

M xN x

≠ , donde M(x) y N(x) son

polinomios, y el signo de desigualdad es alguno de los siguientes: “<” o “>” (desigualdad estrictas); o “≤” o “≥” (desigualdades amplias).

Ejemplo 1: 3 1 12 3 2

xx

−>

+ es una inecuación racional.

Para resolverla, procedemos de la siguiente manera, aplicando propiedades:

( ) ( )( )

−− > −

+

⋅ − − ⋅ +>

+ ⋅

− − −>

+

3 1 1 1 12 3 2 2 22 3 1 1 2 3

02 3 2

6 2 2 30

4 6

xx

x xx

x xx

−>

+

4 50

4 6xx

148


Para que el cociente obtenido sea mayor que 0, es necesario que los polinomios, numerador y denominador, tengan el mismo signo. Existen dos posibilidades, que ambos sean mayores que 0, o que ambos sean menores que 0. o Para la primera posibilidad: 4 5 0 4 6 04 5 5 0 5 4 6 6 0 64 5 4 64 45 64 4 4 4

5 34 2

x xx xx xx x

x x

− > ∧ + >− + > + ∧ + − > −> ∧ > −

−> ∧ >

> ∧ > −

1 2

1 2 1 2 1

5 3; ;4 2

5 ;4

S S

S S S y como S S S S

= + ∞ ∧ = − + ∞

= ⊂ ⇒ = = + ∞

Además, sabemos que − <3 52 4

, entonces, para que el cociente sea mayor que 0

el conjunto solución de la primera posibilidad es el intervalo 5 ;4

+ ∞

.

o Para la segunda posibilidad: 4 5 0 4 6 04 5 5 0 5 4 6 6 0 64 5 4 64 45 64 4 4 4

5 34 2

x xx xx xx x

x x

− < ∧ + <− + < + ∧ + − < −< ∧ < −

−< ∧ <

< ∧ < −

1 2

1 2 2 1 2

5 3; ;4 2

3;2

S S

S S S y como S S S S

= −∞ ∧ = −∞ −

= ⊂ ⇒ = = −∞ −

Además, sabemos que 3 52 4

− < , entonces, para que el cociente sea menor que 0

el conjunto solución de la segunda posibilidad es el intervalo 3;2

−∞ −

.

Los dos intervalos obtenidos verifican la inecuación, por lo que el resultado de la misma es la unión de dichos intervalos.

S = 3 5; ;2 4

−∞ − ∪ + ∞

149

Módulo 5

Otra forma de solución es realizando un cuadro de signos como el siguiente:

(-∞; –3/2 ) (–3/2; 5/4) (5/4; +∞)

4 x – 5 – – +

4 x + 6 – + +

(4 x – 5)/(4 x + 6) + – +

Si observamos la última fila, resultan positivas o mayores que 0, la primera y tercera columna, lo que indica que la inecuación se verifica para dichos intervalos.

Entonces: S = 3 5; ;2 4

−∞ − ∪ + ∞

es el conjunto solución de la misma y su

representación sobre la recta real es la que sigue.

Ejemplo 2: 2 3 1

3 5x

x+

≤−

es una inecuación racional.

Para resolverla, procedemos de la siguiente manera, aplicando propiedades:

( ) ( )( )

2 3 13 5

2 3 1 1 13 5 5 5

2 3 5 1 30

3 5

10 15 30

5 159 18

05 15

xxxx

x xx

x xx

xx

+≤

−+

− ≤ −−

+ ⋅ − ⋅ −≤

− ⋅

+ − +≤

−+

≤−

Para que el cociente obtenido sea menor que 0, es necesario que los polinomios, numerador y denominador, tengan distintos signos. Existen dos posibilidades, que el numerador sea mayor que 0 y el denominador menor que 0, o que el numerador sea menor que 0 y el denominador mayor que 0. Recordamos que el denominador nunca puede ser nulo, por lo que la igualdad sólo es considerada para el polinomio numerador. o Para la primera posibilidad: 9 18 0 5 15 09 18 18 0 18 5 15 15 0 159 18 5 159 518 159 9 5 5

2 3

x xx xx xx x

x x

+ ≥ ∧ − <+ − ≥ − ∧ − + < +≥ − ∧ <

−≥ ∧ <

≥ − ∧ <

5/4 –3/2 ( )

150


) ( ))

1 2

1 2

2; ;3

2;3

S S

S S S

= − + ∞ ∧ = −∞= = −

o Para la segunda posibilidad:

+ ≤ ∧ − >+ − ≤ − ∧ − + > +≤ − ∧ >

9 18 0 5 15 09 18 18 0 18 5 15 15 0 159 18 5 15

x xx xx x

−≤ ∧ >

≤ − ∧ >

9 518 159 9 5 5

2 3

x x

x x

( )1 2

1 2 1 2

; 2 3;S SS S S pero S S S

= −∞ − ∧ = + ∞ = = ∅ ⇒ = ∅

Como la solución de la inecuación es la unión de los intervalos y el segundo es vacío, resulta:

)2;3S = − .

Otra forma de solución es realizando un cuadro de signos como el siguiente:

(–∞ ; –2) (–2; 3) (3; +∞)

9 x + 18 – + +

5 x – 15 – – +

(9 x + 18)/(5 x – 15) + – +

Si observamos la última fila, resulta negativa, o sea menor que 0, para la segunda columna, lo que indica que la expresión racional es negativa en dicho intervalo. Además es igual a cero para x = –2. Entonces: )2;3S = − es el conjunto solución de la misma y su representación

sobre la recta real es la que sigue.

ACTIVIDAD 11: Resolver las siguientes inecuaciones racionales.

5 3 3)2 2 24 5 5)

2 34 2)

2 3 52 1)1 3

xa

xx

bxx

cx

xd

x

+≥ −

−−

<−+

≤ −+

−>

+

3 –2 ) [

151

Módulo 5

ACTIVIDAD 12 Representar en la recta real los conjuntos soluciones de las inecuaciones de la actividad anterior. Gráfica de una función racional

El ejemplo más simple de función racional es 1yx

= , cuya gráfica se llama

hipérbola equilátera, y que has graficado cuando estudiaste el tema magnitudes inversamente proporcionales en el secundario. Su gráfico es:

El dominio de esta función está formado por todos los números reales distintos de cero, ya que este valor anula el denominador:

Dom = – {0}

A. V: x = 0. A. H: y = 0.

C0 = { }; C+ = +; C– = –

Es estrictamente decreciente Es discontinua en x = 0

Rec = – {0}

Una función racional de la forma y = a x bc x d

++

con a, b, c, d ∈ ∧ c ≠ 0 y siendo

a x + b y c x +d coprimos, se puede graficar efectuando la división indicada y

desplazando, expandiendo, contrayendo o reflejando la gráfica de y = 1x

.

FUNCIONES IRRACIONALES

Una función irracional es aquella en cuya expresión la variable está afectada por la operación radicación.

( ) ( )nf x g x= El dominio de una función irracional depende de la paridad del índice. Si n es par el radicando está definido para g(x) ≥ 0; si n es impar el dominio de f coincide con el de g. Ecuaciones irracionales Las expresiones en las que la variable aparece afectada de la radicación se denominan irracionales. En consecuencia, en una ecuación irracional la incógnita aparece debajo de un radical (o afectada de exponente fraccionario).

152


Ejemplo: 8 2 4x x+ + = +

Restamos 2 a ambos miembros, para dejar solo el radical en el primer miembro: 8 4 2

8 2

x x

x x

+ = + −

+ = +

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

( ) ( )2 2

2

8 2

8 4 4

x x

x x x

+ = +

+ = + +

Agrupando en el primer miembro: 2

2

3 4 0

3 4 0

x xx x− − + =

+ − =

Aplicamos fórmula resolvente:

( )2

1;2

1

2

3 3 4 1 4 3 9 16 3 25 3 52 1 2 2 2

14

x

xx

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± − ±= = = =

⋅=

= −

Si reemplazamos las soluciones en la ecuación propuesta vemos que 1 la verifica, pero que –4 no (es una raíz extraña, que aparece debido a que hemos elevado al cuadrado). Por lo tanto, la ecuación propuesta tiene una sola solución

1x = .

ACTIVIDAD 13 Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

) 1 6 1 ) 21 12 14 5a x x b x+ − + = − + + + =

Grafica de una función irracional Por ejemplo, la gráfica de la función y x= es:

Observemos que esta función no existe para valores negativos de x. (El valor de y es imaginario si x < 0)

Dom = 0+

C0 = {0}; C+ = + Es estrictamente creciente en todo su dominio.

Rec = 0+

153

Módulo 5

ACTIVIDAD 14

Para la función y x= , hallar: a) dominio y recorrido; b) Intersección con los ejes coordenados; c) realizar la representación gráfica; y d) dar características.

FUNCIONES TRASCENDENTES

Hasta ahora hemos estudiado funciones en las que la variable x estaba afectada por operaciones algebraicas (funciones algebraicas), pero existen otras funciones en las que la variable está afectada por operaciones no algebraicas, dichas funciones reciben el nombre de funciones trascendentes. Ejemplos de funciones trascendentes son:

• La función exponencial • La función logarítmica • Las funciones trigonométricas

Nos referiremos brevemente a las dos primeras en este módulo, a las trigonométricas las estudiaremos en el módulo siguiente.

FUNCIONES EXPONENCIALES

La expresión general de una función exponencial es:

y = a x, con a > 0 ∧ a ≠ 1. El dominio de una función exponencial es todo el conjunto de números reales. • Ecuaciones Exponenciales En las ecuaciones exponenciales, la incógnita figura como exponente. Ejemplo:

2 16x = Para resolverlas, se aplican propiedades de los logaritmos (como utilizaremos la calculadora, usaremos logaritmos naturales o decimales):

log2 log16log2 log16

log16log2

4

x

x

x

x

=⋅ =

=

=

ACTIVIDAD 15 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: −= = − − + =2) 5 )2 8 ) 3 4 0xx xa e b c . 154


Gráfica de una función exponencial

Veamos la gráfica de las funciones exponenciales, para ello se deben considerar dos casos:

Si a > 1, como ejemplo: y = 2x; y si 0 < a < 1, como ejemplo: y = (½)x.

Esta es la gráfica correspondiente a la función y = 2x, como la base es un número mayor que 1, dicha función es siempre creciente.

Esta es la gráfica correspondiente a la

función 12

x

y =

, como la base es un

número comprendido entre 0 y 1, dicha función es siempre decreciente.

El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales, su recorrido es el conjunto de los reales positivos, al que simbolizaremos +. La función exponencial tiene asíntota horizontal, que es el eje x. Entonces, la ecuación de la asíntota horizontal es la ecuación del eje x: y = 0. Si la base utilizada es el número e, la función se denomina función exponencial natural.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La expresión general de una función logarítmica es:

y = log b x, con b > 0 ∧ b ≠ 1. El dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos. • Ecuaciones logarítmicas La incógnita aparece afectada por un logaritmo.

155

Módulo 5

Ejemplo: log 2 x = 5

Aplicando la definición de logaritmo: x = 25 x = 32.

ACTIVIDAD 16 Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

= = + − =3 2) 8 ) 2 ) ( 1) 4 0a log x b ln x c log x .

Gráfica de una función logarítmica Si recordamos la definición de logaritmo estudiada en el módulo 2:

= ⇔ =log yb x y b x

podremos observar que existe una relación importante entre las funciones exponencial y logarítmica: son funciones inversas. Que dos funciones sean inversas significa que si a una expresión le aplicamos primero una de ellas y al resultado así obtenido le aplicamos la otra volvemos a la expresión inicial, indistintamente del orden en qué apliquemos las funciones. Las curvas que representan a funciones inversas tienen simetría axial con respecto a la bisectriz del primer cuadrante, que es la recta y = x. Veamos las gráficas de las funciones y = e x, la de su inversa y = ln x, e y = x:

La función logarítmica tiene por dominio al conjunto de los reales positivos (+) y por recorrido al conjunto de los números reales. La función logarítmica tiene asíntota vertical, que es el eje y. Es decir que la ecuación de la asíntota vertical es la ecuación del eje y: x = 0.

y = e x

y = ln x

y = x

156


SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividad 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }× =) 2;2 ; 2;7 ; 2;0 ; 4;2 ; 4;7 ; 4;0 ; 5;2 ; 5;7 ; 5;0a A B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }× = 2;2 ; 7;2 ; 0;2 ; 2;4 ; 7;4 ; 0;4 ; 2;5 ; 7;5 ; 0;5B A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

2

2;2 ; 2;4 ; 2;5 ; 4;2 ; 4;4 ; 4;5 ; 5;2 ; 5;4 ; 5;5

2;2 ; 2;7 ; 2;0 ; 7;2 ; 7;7 ; 7;0 ; 0;2 ; 0;7 ; 0;0

A

B

=

=

Análogamente para los demás conjuntos. Actividad 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3;5 ; 3;6 ; 3;7 ; 3;8 ; 4;5 ; 4;6 ; 4;7 ; 4;8 ; 5;5 ; 5;6 ; 5;7 ; 5;8 ; 6;5 ; 6;6 ; 6;7 ; 6;8A B× =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

1

2

3

4

5

6

3;5 ; 3;6 ; 3;7 ; 3;8 ; 4;5 ; 4;6 ; 4;7 ; 4;8 ; 5;6 ; 5;7 ; 5;8 ; 6;7 ; 6;8

3;5 ; 3;6 ; 3;7 ; 3;8 ; 4;5 ; 4;6 ; 4;7 ; 4;8 ; 5;5 ; 5;6 ; 5;7 ; 5;8 ; 6;6 ; 6;7 ; 6;8

5;5 ; 6;6

3;8 ; 4;7 ; 5;6 ; 6;5

6;5

3;6 ; 4;8 ; 5;5 ; 6;6

R

R

R

R

R

R

=

=

=

=

=

=

Actividad 3:

{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

3;4;5;6 Rec 5;6;7;8

3;4;5;6 Rec 5;6;7;8

5;6 Rec 5;6

3;4;5;6 Rec 5;6;7;8

6 Rec 5

3;4;5;6 Rec 5;6;8

R R

R R

R R

R R

R R

R R

D

D

D

D

D

D

= =

= =

= =

= =

= =

= =

Actividad 4:

x y –2 –8 –1 –5 0 –2 1 1 2 4

Actividad 5: A cargo del alumno.

Actividad 6: 1 13) 3 8 )

3 3a y x b y x= + = +

157

Módulo 5

Actividad 7: a) –3 b) –72 c) 27 Actividad 8:

Tipo de sistema ∆ ∆x ∆y

Interpretación gráfica

Compatible determinado

≠ 0 cualquier valor

cualquier valor

rectas concurrentes

Compatible indeterminado

= 0 = 0 = 0 rectas coincidentes

Incompatible = 0 ≠ 0 ≠ 0 rectas paralelas

Actividad 9: ( ) { }− = = ≥ −) 2; 1 ) Rec 1a b D R y y

( )( ) ( )

)Intersección con eje de ordenadas: 0;3

Intersecciones con eje de abscisas: 1;0 ; 3;0

c

Actividad 10: 3) 1 ) 1 ;

2a x b x x= = − =

Actividad 11: a) S = (–∞; 0] ∪ (1; +∞) b) S = (5/7; 2) c) S = [–26/9; –3/2) d) S = (–∞; –1) ∪ (7/2; +∞) Actividad 12: A cargo del alumno. Actividad 13: ) 3 ) 4a x b x= =

Actividad 14: A cargo del alumno. Verificar la gráfica empleando un graficador. Actividad 15: ) 5 ) {} ) 36a x ln b S c x= = = .

Actividad 16: 2) 6561 ) ) 15a x b x e c x= = = .

158

módulo 5 · ... de la matemática y en cuestiones de la vida diaria donde ... son funciones...

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