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TEMA 3: Funciones de varias variables: lımites ycontinuidad
Calculo
Ingeniero de Telecomunicacion
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 1 / 69
1 Funciones Elementales
2 El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
Principales tipos de coordenadas en R3
3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta
4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares
Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales
5 Funciones continuasFunciones continuas en compactos
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 2 / 69
Indice1 Funciones Elementales2 El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
Principales tipos de coordenadas en R3
3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta
4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares
Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales5 Funciones continuas
Funciones continuas en compactosCalculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 3 / 69
Funcion exponencial
Dado un numero real a > 0,
f : R −→ Rx 7−→ ax
Propiedades
Dom(f ) = R, Im(f ) =
{R+ si a 6= 1
1 si a = 1
f es continua en R.
f es derivable en R, con f ′(x) = ax ln a.
Si a ≥ 1, f es creciente. Si 0 < a < 1, f es decreciente.
a0 = 1
axay = ax+y
ax
ay= ax−y
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Funcion exponencial
Dado un numero real a > 0,
f : R −→ Rx 7−→ ax
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 4 / 69
Funcion logarıtmica
Sea a > 0, a 6= 1. Se llama funcion logarıtmica de base a, f (x) = loga(x), a lafuncion inversa de la exponencial ax .
aloga(x) = x loga(ax) = x
Si a = e, hablamos del logaritmo neperiano, denotado ln x .
Propiedades
Dom(f ) = R+, Im(f ) = Rf es continua en R+. f es derivable, con f ′(x) = 1
x ln a .
Si a ≥ 1, f es creciente. Si 0 < a < 1, f es decreciente.
loga(1) = 0.
loga(xy) = loga(x) + loga(y), ∀x , y ,∈ R+.
loga(xy ) = y loga(x), ∀x , y ,∈ R+.
loga( xy ) = loga(x)− loga(y), ∀x , y ,∈ R+; 6= 0.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 5 / 69
Funcion logarıtmica
Sea a > 0, a 6= 1. Se llama funcion logarıtmica de base a, f (x) = loga(x), a lafuncion inversa de la exponencial ax .
aloga(x) = x loga(ax) = x
Si a = e, hablamos del logaritmo neperiano, denotado ln x .
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 5 / 69
Funcion seno
f : R −→ [−1, 1]x 7−→ sin x
Propiedades
Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1].
sin x es continua en R.
sin x es derivable, conf ′(x) = cos x .
sin x es una funcion impar.
sin(x + 2π) = sin x .
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Funcion coseno
f : R −→ [−1, 1]x 7−→ cos x
Propiedades
Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1].
cos x es continua en R.
cos x es derivable, conf ′(x) = − sin x .
cos x es una funcion par.
cos(x + 2π) = cos x .
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Funcion tangente
f : R −→ Rx 7−→ tan x = sin x
cos x
Propiedades
Dom(f ) = R−{π2 +kπ, k ∈ Z},Im(f ) = R.
tan x es continua en sudominio.
tan x es derivable, conf ′(x) = 1
cos2 x .
tan x es una funcion impar.
tan(x + π) = tan x .
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Funcion cosecante
f : R −→ R
x 7−→ cosec x =1
sin x
Propiedades
Dom(f ) = R− {kπ, k ∈ Z},Im(f ) =]−∞,−1] ∪ [1,+∞[.
cosec x es continua en sudominio.
cosec x es derivable, conf ′(x) = − cosec x cot x .
cosec x es una funcion impar.
cosec(x + 2π) = cosec x .
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Funcion secante
f : R −→ R
x 7−→ sec x =1
cos x
Propiedades
Dom(f ) = R−{π2 +kπ, k ∈ Z},Im(f ) =]−∞,−1] ∪ [1,+∞[.
sec x es continua en sudominio.
sec x es derivable, conf ′(x) = sec x tan x .
sec x es una funcion par.
sec(x + 2π) = sec x .
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Funcion cotangente
f : R −→ Rx 7−→ cot x =
cos x
sin x
Propiedades
Dom(f ) = R− {kπ, k ∈ Z},Im(f ) = R.
cot x es continua en sudominio.
cot x es derivable, conf ′(x) = − cosec2 x .
cot x es una funcion impar.
cot(x + π) = cot x .
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Funcion arcoseno
Para cada x ∈ [−1, 1], se define arcsin x como el unico y ∈ [−π2 ,π2 ] tal que
sin(y) = x .arcsin(sin x) = x sin(arcsin x) = x
Propiedades
Dom(f ) = [−1, 1],Im(f ) = [−π2 ,
π2 ].
arcsin x es continua en [−1, 1].
arcsin x es derivable, con
f ′(x) =1√
1− x2.
arcsin x es una funcion impar.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 12 / 69
Funcion arcocoseno
Para cada x ∈ [−1, 1], se define arccos x como el unico y ∈ [0, π] tal quecos(y) = x .
arccos(cos x) = x cos(arccos x) = x
Propiedades
Dom(f ) = [−1, 1],Im(f ) = [−π, π].
arccos x es continua en [−1, 1].
arccos x es derivable, conf ′(x) = − 1√
1−x2.
arccos x es una funcion par.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 13 / 69
Funcion arcotangente
Para cada x ∈ R, se define arctan x como el unico y ∈]− π2 ,
π2 [ tal que tan(y) = x .
arctan(tan x) = x tan(arctan x) = x
Propiedades
Dom(f ) = R,Im(f ) =]− π
2 ,π2 [.
arctan x es continua en R.
arctan x es derivable, con
f ′(x) =1
1 + x2.
arctan x es una funcion impar.
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Relaciones trigonometricas
1 sin2 x + cos2 x = 1.
2 sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ; sin(2x) = 2 sin x cos x .
3 cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y ; cos(2x) = cos2 x − sin2 x .
4 tan(x + y) = tan x+tan y1−tan x tan y .
5 sin2 x = 1−cos(2x)2 .
6 cos2 x = 1+cos(2x)2 .
7 sec2 x = 1 + tan2 x .
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Indice1 Funciones Elementales2 El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
Principales tipos de coordenadas en R3
3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta
4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares
Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales5 Funciones continuas
Funciones continuas en compactosCalculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 16 / 69
El conjunto Rn
DefinicionEl conjunto Rn es el producto cartesiano Rn = R× R× · · · × R, es decir
Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xj ∈ R, para j = 1, 2, . . . , n}
El conjunto Rn con las operaciones usuales de suma y producto por escalares, esdecir:
~x + ~y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
λ~x = (λx1, λx2, . . . , λxnxn)
siendo ~x = (x1, x2, . . . , xn), ~y = (y1, y2, . . . , yn) y λ ∈ R, tiene estructura deespacio vectorial, cuya dimension es n.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 17 / 69
Distancia euclıdea
Norma de un vectorSi se define el producto escalar ordinario como
~x · ~y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn
Rn tiene estructura de espacio euclıdeo, pudiendose definir la norma de un vectorcomo
||~x || =√~x · ~x =
√x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n
Definicion
La distancia euclıdea entre dos vectores ~x = (x1, x2, . . . , xn) y ~y = (y1, y2, . . . , yn)se define como
d(~x , ~y) = ||~x − ~y || =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 18 / 69
Topologıa en Rn
Bola con centro ~a y radio r
Dado el vector ~a de Rn, la bola con centro ~a y radio r es el conjunto
Br (a) = {~x ∈ Rn | d(~x ,~a) = ||~x −~a|| < r}
Ejemplo
La bola de R2 con centro el vector~a = (a1, a2) y radio r esprecisamente el conjunto de lospuntos interiores a la circunferenciacon centro ~a y radio r .
Br (~a) = {(x1, x2) ∈ R2 |√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r}
= {(x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2< r2}
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 19 / 69
Topologıa en Rn
Punto interior y conjunto abierto
Un punto x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se dice que es un punto interior del conjuntoA (x ∈ int(A)) si existe una bola con centro x totalmente contenida en A, esdecir,
x punto interior de A si ∃Br (x) ⊆ A
Se dice que el conjunto A es abierto si todos sus puntos son interiores.
Ejemplo
El conjunto A = {(x , y) ∈ R2 | (x − 1)2 + (y + 1)2 < ( 12 )2} es abierto.
El conjunto B = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 13} no es abierto.
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Topologıa en Rn
Punto frontera
Un punto x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se dice que es un punto frontera delconjunto A (x ∈ Fr(A)) si toda bola con centro x contiene puntos de A ypuntos no pertenecientes a A.
El conjunto frontera de A esta formado por todos los puntos frontera de A.
NotaUn punto frontera de A no pertenece necesariamente a A.
Ejemplo
Siendo A y B los conjuntos del ejemploanterior,
Fr(A) = {(x , y) ∈ R2 | (x−1)2+(y+1)2 = (1
2)2}
Fr(B) = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y 2 =1
3}.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 21 / 69
Topologıa en Rn
Conjunto cerrado
Se dice que el conjunto A es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.
Ejemplo
En muchos de los problemas de optimizacion, los dominios estaran definidos poruna o mas desigualdades. Por ejemplo, si p, q y m son parametros positivos, elconjunto de los puntos (x , y) que verifican las desigualdades
px + qy ≤ m, x ≥ 0, y ≥ 0
es cerrado.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 22 / 69
Topologıa en Rn
Conjunto cerrado
Se dice que el conjunto A es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.
Importante
En general, si g(x) = g(x1,, . . . , xn) es una funcion continua de n variables y c esun numero real, los tres conjuntos
{x ∈ Rn | g(x) ≥ c} {x ∈ Rn | g(x) ≤ c} {x ∈ Rn | g(x) = c}
son cerrados. Si sustituimos ≥ por > o ≤ por <, los conjuntos correspondientesson abiertos.
Ejemplo
El conjunto C = {(x , y) | 2x − 3y ≤ 12} es cerrado.
El conjunto D = {(x , y) | 2x − 3y < 12} es abierto.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 23 / 69
Topologıa en Rn
Conjunto acotado
Se dice que el conjunto A es acotado si existe una bola que lo contenga.
Ejemplo
El conjunto {(x , y) | 4 < x2 + y 2 ≤ 9} es acotado.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 24 / 69
Topologıa en Rn
Conjunto acotado
Se dice que el conjunto A es acotado si existe una bola que lo contenga.
Ejemplo
El conjunto {(x , y) | 4 < x2 + y 2} no es acotado.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 24 / 69
Topologıa en Rn
Conjunto compacto
Se dice que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.
Ejemplo
El conjunto {(x , y) | 4 < x2 + y 2 ≤ 9} no es compacto, pues es acotado pero nocerrado. Sin embargo, el conjunto {(x , y) | 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} sı es compacto.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 25 / 69
Topologıa en Rn
Conjunto compacto
Se dice que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.
Ejemplo
El conjunto {(x , y) | 4 ≤ x2 + y 2} no es compacto, pues es cerrado pero noacotado.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 25 / 69
Coordenadas en R2
Coordenadas en R2
Coordenadas cartesianas: Un punto P tiene como coordenadas cartesianas(x , y), siendo x la abcisa e y la ordenada del punto P.
Coordenadas polares: Un punto P tiene como coordenadas polares (ρ, θ),siendo
ρ es la distancia del punto P al origen, es decir ρ =√
x2 + y 2.
θ ∈ [0, 2π[ es el angulo que forma el vector→OP con el semieje positivo de las x .
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 26 / 69
Coordenadas en R2
C.cartesianas −→ C.polares
Dado un punto (x , y) en coordenadascartesianas, obtenemos (r , θ) como
ρ =√
x2 + y 2 θ = arctany
x
C.polares −→ C.cartesianas
Dado un punto (r , θ) en coordenadascartesianas, obtenemos (x , y) como
x = ρ cos θ y = ρ sin θ
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 27 / 69
Coordenadas en R2
C.cartesianas −→ C.polares
Dado un punto (x , y) en coordenadascartesianas, obtenemos (r , θ) como
ρ =√
x2 + y 2 θ = arctany
x
C.polares −→ C.cartesianas
Dado un punto (r , θ) en coordenadascartesianas, obtenemos (x , y) como
x = ρ cos θ y = ρ sin θ
Ejemplos
El punto de R2 cuyas coordenadas cartesianas son (√
2,√
2) tiene comoexpresion en coordenadas polares (2, π4 ).
La circunferencia de radio 1 y centrada en el origen, x2 + y 2 = 1, vieneexpresada como ρ = 1 en coordenadas polares.
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Coordenadas en R3
Coordenadas cartesianas en R3
Un punto P tiene como coordenadas cartesianas (x , y , z).
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Coordenadas en R3
Coordenadas cilındricas en R3
Un punto P tiene como coordenadas cilındricas (ρ, θ, z), siendo (ρ, θ) lascoordenadas polares del punto Q proyeccion de P sobre el plano OXY .
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 29 / 69
Coordenadas en R3
C.cartesianas −→ C.cilındricas
Dado un punto (x , y , z) enc.cartesianas, obtenemos (ρ, θ, z)como
ρ =√
x2 + y 2 θ = arctany
xz = z
C.cilındricas −→ C.cartesianas
Dado un punto (ρ, θ, z) encoordenadas cilındricas, obtenemos(x , y , z) como
x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 30 / 69
Coordenadas en R3
C.cartesianas −→ C.cilındricas
Dado un punto (x , y , z) enc.cartesianas, obtenemos (ρ, θ, z)como
ρ =√
x2 + y 2 θ = arctany
xz = z
C.cilındricas −→ C.cartesianas
Dado un punto (ρ, θ, z) encoordenadas cilındricas, obtenemos(x , y , z) como
x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z
Ejemplos
El punto de R3 cuyas coordenadas cartesianas son (√
3,√
3,√
3) tiene comoexpresion en coordenadas cilındricas (
√6, π4 ,
√3).
El cilindro de radio 1 con eje el eje z , x2 + y 2 = 1, viene expresado comoρ = 1 en coordenadas cilındricas.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 30 / 69
Coordenadas en R3
Coordenadas esfericas en R3
Un punto P tiene como coordenadas cilındricas (ρ, θ, ϕ), donde ρ ≥ 0,0 ≤ θ < 2π y 0 ≤ ϕ < π, siendo:
ρ el modulo del vector ~OP, es decir, ρ es la distancia del punto P al origen.
θ es el angulo formado por el vector ~OQ con el semieje positivo de OX ,siendo Q el punto proyeccion de P sobre el plano OXY .
ϕ es el angulo formado por ~OP y el eje OZ .
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 31 / 69
Coordenadas en R3
C.cartesianas −→ C.esfericas
Dado un punto (x , y , z) en coordenadas cartesianas, obtenemos (ρ, θ, ϕ) como
ρ =√
x2 + y 2 + z2 θ = arctany
xϕ = arccos
z√x2 + y 2 + z2
C.esfericas −→ C.cartesianas
Dado un punto (ρ, θ, ϕ) en coordenadas esfericas, obtenemos (x , y , z) como
x = ρ cos θ sinϕ y = ρ sin θ sinϕ z = ρ cosϕ
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 32 / 69
Coordenadas en R3
Ejemplos
El punto (3, π4 ,π4 ) en coordenadas esfericas tiene como coordenadas
cartesianas ( 32 ,
32 ,
3√
22 ).
La esfera de radio 1 centrada en el origen, x2 + y 2 + z2 = 1, viene expresadocomo ρ = 1 en coordenadas esfericas.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 33 / 69
Indice1 Funciones Elementales2 El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
Principales tipos de coordenadas en R3
3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta
4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares
Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales5 Funciones continuas
Funciones continuas en compactosCalculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 34 / 69
Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion f : A ⊂ Rn −→ Rm es una aplicacion que a cada punto ~x ∈ A ⊂ Rn
le hace corresponder ~y ∈ Rm
f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 35 / 69
Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion f : A ⊂ Rn −→ Rm es una aplicacion que a cada punto ~x ∈ A ⊂ Rn
le hace corresponder ~y ∈ Rm
f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm
Ejemplo
Si expresamos el area de un triangulo en funcion de la base y de la altura,tendremos una funcion de dos variables:
A = 12 bh =⇒ A = f (b, h)
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 35 / 69
Funciones de varias variables
Definicion
Una funcion f : A ⊂ Rn −→ Rm es una aplicacion que a cada punto ~x ∈ A ⊂ Rn
le hace corresponder ~y ∈ Rm
f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm
Si m = 1, se denomina funcion escalar y si m > 1, funcion vectorial.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 35 / 69
Dominio e Imagen
DefinicionDada f : Rn −→ Rm, se define su dominio como
Dom(f ) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | ∃ f (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rm}
Ejemplos
Si f (x , y) =√
x + y , entonces Dom(f ) = {(x , y) ∈ R2 | x + y ≥ 0}
Si g(x , y) = (sin(xy),y
x2 + y 2, entonces Dom(g) = R2 − {(0, 0)}
Si h(x , y) =e√
x2+8
ln(x + y − 1), entonces
Dom(h) = {(x , y) ∈ R2 | x + y − 1 > 0, x + y 6= 2}.Si l(x , y) = (x , log y , arcsin x), entonces
Dom(l) = {(x , y) ∈ R2 | y > 0} ∩ {(x , y) ∈ R2 | |x | ≤ 1}.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 36 / 69
Dominio e Imagen
DefinicionSea f : Rn −→ Rm. La imagen de f se define por
Im(f ) = {(y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm | ∃ (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn con f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym)}
Ejemplos
Si f (x , y) =√
x + y , entonces Im(f ) = [0,+∞[
Si g(x , y) = ln(xy), entonces Im(g) = RSi h(x , y) = sin(x + y), entonces Im(h) = [−1, 1].
Si h(x , y) = (ln(x + y − 1), exy , sin(x − y), 2x√1−x−y
), entonces Dom(h) = ∅
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 37 / 69
Funcion compuesta y funcion inversa
Definicion
Sean f : Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp. Si Im(f ) ⊂ Dom(g), se define la funcioncompuesta (g ◦ f ) : Rn −→ Rp como
Rn f−→ Rm g−→ Rp
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
Ejemplos
Sean
f : R2 −→ R3 definida por f (x , y) = (x + y , x − y , x2)
g : R3 −→ R definida por g(x , y , z) = x2 + y 2 + z2
Entonces,(g ◦ f )(x) = (x + y)2 + (x − y)2 + x4
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 38 / 69
Funcion compuesta y funcion inversa. Funcion acotada
DefinicionSea f : Rn −→ Rm. Si f es inyectiva, se puede definir la funcion inversaf −1 : Im(f ) ⊂ Rm −→ Rn de modo que,
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = x ∀x ∈ Dom(f )
Ejemplos
Sea f : R2 −→ R definida por f (x , y) = ex+y . Entonces, f −1(z) = ln z
Si g : R −→ R esta definida por g(x) = sin x , entonces g−1(x) = arcsin x
Si h : R −→ R esta definida por h(x) = cos x , entonces h−1(x) = arccos x
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 39 / 69
Funcion acotada
DefinicionSea f : A ⊆ Rn −→ R. f esta acotada en A si
∃M ∈ R tal que |f (x)| ≤ M ∀x ∈ A,
o equivalentemente, Im(f ) es un subconjunto acotado de R.
Ejemplos
Sea f : R2 −→ R definida por f (x , y) = sin2(x + y) cos(x − ey ). Entonces, festa acotada, pues
|f (x , y)| ≤ 1 ∀(x , y) ∈ R2.
Si g : R3 −→ R esta definida por g(x , y , z) = ex+y + z , entonces g no estaacotada.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 40 / 69
Curvas de nivel
Funciones escalaresPara representar funciones escalares f : Rn −→ R, necesitamos “n+1”dimensiones. Por ello, analizaremos principalmente funciones f : R2 −→ R. Dadauna funcion f : R2 −→ R, el conjunto de puntos de la forma (x , y , z) conz = f (x , y) (grafo de una funcion), es una superficie en R3 que denominaremosrepresentacion grafica de f .
Definicion
Curvas de nivel Dada la funcion f : A ⊂ R2 −→ R y una constante c, la curva denivel c de la superficie z = f (x , y) es el conjunto
Tc = {(x , y) ∈ A : f (x , y) = c}
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 41 / 69
Curvas de nivel
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 42 / 69
Indice1 Funciones Elementales2 El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
Principales tipos de coordenadas en R3
3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta
4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares
Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales5 Funciones continuas
Funciones continuas en compactosCalculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 43 / 69
Lımite de una funcion de dos variables
Definicion
Sea f : R2 → R. Entonces,
lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = L
si y solo si para cada ε > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que
|f (x , y)− L| < ε, siempre que 0 <√
(x − a)2 + (y − b)2 < δ
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 44 / 69
Lımite de una funcion de dos variables
Significado
El lımite de una funcion en un punto P = (a, b) es L si los valores que toma lafuncion en los alrededores de P = (a, b) estan tan cerca de L como queramos. Esimportante tener en cuenta que el valor que la funcion tome en P no interesa a lahora de calcular el lımite.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 45 / 69
Lımite de una funcion de dos variables
El estudio de los lımites de funciones de dos variables es mucho mas complejo queel de funciones de una variable, pues en este unicamente se tienen dos caminospara acercarse a un punto, por la derecha o por la izquierda. Sin embargo, en elcaso de dos variables, existe una infinidad de caminos para acercarnos al punto(a, b), como muestra la siguiente figura.
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Propiedades
Sean f : Rn → R, g : Rn → R tales que los lımites limx→x0
f (x) y limx→x0
g(x) existen y
valen L y M, respectivamente. Entonces:
1 limx→x0
(f + g)(x) existe y vale L + M.
2 limx→x0
λf (x) existe y vale λL, ∀λ ∈ R.
3 limx→x0
|f (x)| existe y vale L. limx→x0
f (x)
g(x)existe y vale
L
M, si M 6= 0.
4 limx−x0→0
f (x) = L.
5 limx→x0
(f · g)(x) exixste y vale L ·M.
6 limx→x0
|f (x)| = 0⇐⇒ limx→x0
f (x) = 0
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Lımites iterados o reiterados
Definicion
Dada una funcion f : R2 → R, los lımites iterados de f en (a, b) se definen, siexisten, como
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 y lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
= L2
Para calcular el lımite iterado limy→b
(limx→a
f (x , y))
= L2, en primer lugar fijamos la
variable y , y hacemos que la variable x se aproxime al punto a. Al hacer estelımite, obtenemos una funcion de una variable, que depende unicamente de y .Calculamos entonces el lımite de dicha funcion cuando y se acerca a b.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 48 / 69
Lımites iterados o reiterados
Definicion
Dada una funcion f : R2 → R, los lımites iterados de f en (a, b) se definen, siexisten, como
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 y lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
= L2
Ejemplos
Los lımites reiterados de f (x , y) =xy
x + yen (1, 2) son:
limx→1
(limy→2
xy
x + y
)= lim
x→1
2x
x + 2=
2
3
limy→2
(limx→1
xy
x + y
)= lim
y→2
y
1 + y=
2
3
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 48 / 69
Lımites iterados o reiterados
Definicion
Dada una funcion f : R2 → R, los lımites iterados de f en (a, b) se definen, siexisten, como
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 y lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
= L2
Ejemplos
Los lımites reiterados de f (x , y) =x2 + y 3
x2 + y 2en (0, 0) son:
limx→0
(limy→0
x2 + y 3
x2 + y 2
)= lim
x→01 = 1
limy→0
(limx→0
x2 + y 3
x2 + y 2
)= lim
y→0y = 0
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 48 / 69
Lımites iterados o reiterados
Nota
Sea f : R2 → R. Si existe el lımite doble lim(x,y)→(a,b)
f (x , y) = L, y existen los
lımites reiterados,
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 y lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
= L2
entonces los tres lımites deben ser iguales, es decir, L = L1 = L2.
Importante
Aunque f : R2 → R tenga los lımites iterados iguales
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 = L2 = lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
eso no significa que exista lim(x,y)→(a,b)
f (x , y).
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Lımites iterados o reiterados
Importante
Si f : R2 → R verifica que
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 6= L2 = lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
entonces no existe el lımite doble lim(x,y)→(a,b)
f (x , y).
EjemploComo los lımites reiterados de
f (x , y) =x + y
x − y
son distintos,
6 ∃ lim(x,y)→(0,0)
x + y
x − y
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Lımites iterados o reiterados
Importante
Si f : R2 → R verifica que
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 6= L2 = lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
entonces no existe el lımite doble lim(x,y)→(a,b)
f (x , y).
Ejemplos
Como los lımites reiterados de f (x , y) =x2 + y 3
x2 + y 2en (0, 0) son distintos,
limx→0
(limy→0
x2 + y 3
x2 + y 2
)= lim
x→01 = 1 6= lim
y→0
(limx→0
x2 + y 3
x2 + y 2
)= lim
y→0y = 0
tenemos que no existe lim(x,y)→(0,0)
x2 + y 3
x2 + y 2.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 51 / 69
Lımites iterados o reiterados
Importante
Si f : R2 → R verifica que
limx→a
(limy→b
f (x , y)
)= L1 6= L2 = lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
entonces no existe el lımite doble lim(x,y)→(a,b)
f (x , y).
Ejemplos
Como los lımites reiterados de f (x , y) =x − y
x + yen (0, 0) son distintos,
limx→0
(limy→0
x − y
x + y
)= lim
x→01 = 1 6= lim
y→0
(limx→0
x − y
x + y
)= lim
y→0−1 = −1
tenemos que no existe lim(x,y)→(0,0)
x − y
x + y.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 51 / 69
Lımites direccionales
Teorema
Sea f : R2 → R. Si lim(x,y)→(x0,y0)
f (x , y) = L , entonces para toda funcion continua
y = g(x) tal que g(x0) = y0, se tiene:
lim(x , y)→ (x0, y0)
y = g(x)
f (x , y) = limx→x0
f (x , g(x)) = L
Similarmente, para toda funcion continua x = h(y) tal que h(y0) = x0, se tiene:
lim(x , y)→ (x0, y0)
x = h(y)
f (x , y) = limy→y0
f (h(y), y) = L
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 52 / 69
Lımites direccionales
Ejemplos
Vamos a probar que el lımite lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y 2no existe.
Si nos acercamos al origen a traves de la recta y = mx , obtenemos que
lim(x , y)→ (0, 0)
y = mx
xy
x2 + y 2= lim
x→0
mx2
x2 + (mx)2=
m
1 + m2
Como el lımite a traves de la recta y = mx , depende de la pendiente de esta,tenemos que
6 ∃ lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y 2
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 53 / 69
Teorema del Sandwich o de compresion
TeoremaSean f , g , h : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn, verificando
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A
y limx→a
g(x) = limx→a
h(x) = L. Entonces,
limx→a
f (x) = L
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Teorema del Sandwich o de compresion
Ejemplo
Estudiar la existencia del lımite en el origen para la funcion
f (x , y) =x2y
x2 + y 2
Como|x | =
√x2 ≤
√x2 + y 2
|y | =√
y 2 ≤√
x2 + y 2
entonces:
|f (x , y)| =|x |2|y |
x2 + y 2≤ (x2 + y 2)
√x2 + y 2
x2 + y 2=√
x2 + y 2
Ahora bien, como lim(x,y)→(0,0)
√x2 + y 2 = 0, entonces, aplicando el Teorema del
Sandwich:
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y 2= 0
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 55 / 69
Teorema del Sandwich o de compresion
CorolarioSean f , g : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn, verificando
f (x) acotada y limx→a
g(x) = 0
Entonces,limx→a
f (x)g(x) = 0
Ejemplos
lim(x,y)→(0,0)
xy sin(1
xy) = 0, ya que
−1 ≤ sin(1
xy) ≤ 1 y lim
(x,y)→(0,0)xy = 0
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 56 / 69
Teorema del Sandwich o de compresion
CorolarioSean f , g : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn, verificando
f (x) acotada y limx→a
g(x) = 0
Entonces,limx→a
f (x)g(x) = 0
Ejemplos
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y 2cos(x − y 2) = 0, ya que
−1 ≤ cos(x − y 2) ≤ 1 y lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y 2= 0
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 56 / 69
Infinitesimos equivalentes
Definicion
Sea f : Rn → R. Diremos que f (x) es un infinitesimo en a ∈ Rn si
limx→a
f (x) = 0
Definicion
Sean f , g : Rn → R infinitesimos en a. Diremos que f (x) es de orden superior,
igual o inferior a g en x = a si limx→a
f (x)
g(x)= l con l = 0, l ∈ R− {0} o ∞,
respectivamente.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 57 / 69
Infinitesimos equivalentes
Definicion
Sean f , g : Rn → R infinitesimos en a. Diremos que f (x) y g(x) son infinitesimos
equivalentes en a si limx→a
f (x)
g(x)= 1. En este caso, escribiremos f (x) ∼ g(x) si
x → a.
Tabla de infinitesimos equivalentes
Si ε(x) es un infinitesimo en a (es decir, limx→a
ε(x) = 0, entonces:
ε(x) ∼ sin ε(x) ∼ tan ε(x)
ε(x) ∼ arcsin ε(x) ∼ arctan ε(x)
ln(1 + ε(x)) ∼ ε(x)
1− cos(ε(x)) ∼ 12 (ε(x))2
(1 + ε(x))p − 1 ∼ pε(x)
aε(x) − 1 ∼ ε(x) ln a
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 58 / 69
Princinpio de sustitucion
Principio de sustitucion
Sean f , g : Rn → R infinitesimos en a y ψ : R→ R. Entonces
limx→a
ψ(x)f (x) = limx→a
ψ(x)g(x)
limx→a
ψ(x)
f (x)= lim
x→a
ψ(x)
g(x)
Ejemplos
lim(x,y)→(0,0)
sin2(xy)
1− cos(x)= lim
(x,y)→(0,0)
(xy)2
12 x2
= lim(x,y)→(0,0)
y 2 = 0
lim(x,y)→(1,1)
ln(1 + (x − y))
tan(x − y)= lim
(x,y)→(1,1)
x − y
x − y= 1
lim(x,y)→(2,1)
x − 2y
(1 + (x − 2y))3 − 1= lim
(x,y)→(2,1)
x − 2y
3(x − 2y)=
1
3
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 59 / 69
Cambio a coordenadas polares
Teorema
lim(x,y)→(0,0)
f (x , y) = L si y solo si exixte una funcion G (ρ) ≥ 0 tal que
limρ→0
G (ρ) = 0 y de forma que:
|f (ρ cos θ, ρ sin θ)− L| ≤ G (ρ)
Importante
Si limρ→0
f (ρ sin θ, ρ cos θ) = L depende del angulo θ, entonces el lımite doble
lim(x,y)→(0,0)
f (x , y) no existe.
El cambio a coordenadas polares se emplea unicamente cuando calculamoslımites para (x , y)→ (0, 0).
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 60 / 69
Cambio a coordenadas polares
Ejemplos
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y 2= 0
Pasando a coordenadas polares:
limρ→0
(ρ cos θ)2(ρ sin θ)
(ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2= limρ→0
ρ3 cos2 θ sin θ
ρ2= limρ→0
ρ cos2 θ sin θ = 0
lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y 2no existe.
Pasando a coordenadas polares:
limρ→0
(ρ cos θ)(ρ sin θ)
(ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2= limρ→0
ρ2 cos θ sin θ
ρ2= limρ→0
cos θ sin θ = cos θ sin θ
EL LIMITE DEPENDE DEL ANGULO!!, luego no existe el lımite doble
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 61 / 69
Caracterizacion sucesional del lımite
TeoremaSea f : A ⊆ Rn → R. Entonces, son equivalentes:
limx→a
f (x) = L
Para cualquier sucesion {xn}n∈N ⊆ A ∼ {a} convergente a a, se tiene que lasucesion {f (xn)} converge a L.
Ejemplo
Demostrar que 6 ∃ limx→0
sin(1
x)
En efecto, consideremos las siguientes sucesiones convergentes a 0:
{xn}n∈N = {1
nπ}n∈N e {yn}n∈N = {
1π
2+ 2nπ
}n∈N
Entonces,
limn→∞
sin(1
xn) = lim
n→∞sin(nπ) = 0
mientras que
limn→∞
sin(1
yn) = lim
n→∞sin(
π
2+ 2nπ) = 1
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 62 / 69
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales
TeoremaSea f : A ⊆ Rn → Rm. Sean f1, f2, . . . , fm las funciones coordenadas de f , esto es,f (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) y L = (L1, L2, . . . , Lm) ∈ Rm. Entonces, sonequivalentes:
limx→a
f (x) = L
limx→a
fi (x) = Li ∈ R ∀i
Importante
Para calcular el lımite de una funcion vectorial en un punto a ∈ Rn, basta concalcular por separado el lımite de cada una de sus funciones coordenadas ena ∈ Rn.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 63 / 69
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales
TeoremaSea f : A ⊆ Rn → Rm. Sean f1, f2, . . . , fm las funciones coordenadas de f , esto es,f (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) y L = (L1, L2, . . . , Lm) ∈ Rm. Entonces, sonequivalentes:
limx→a
f (x) = L
limx→a
fi (x) = Li ∈ R ∀i
Ejemplo
Sea F : R2 → R3 definida por F (x , y) = (1 + y sin( xy ),
x2y
x2 + y 2, xy). Entonces,
lim(x,y)→(0,0)
F (x , y) = (1, 0, 0)
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 63 / 69
Indice1 Funciones Elementales2 El conjunto Rn
Estructuras en Rn
Principales tipos de coordenadas en R2
Principales tipos de coordenadas en R3
3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta
4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares
Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite
Calculo practico de lımites de funciones vectoriales5 Funciones continuas
Funciones continuas en compactosCalculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 64 / 69
Funciones continuas
Definicion
Decimos que f : A ⊆ Rn → Rm es una funcion continua en el punto a ∈ Dom(f )si existe el lımite de f cuando x tiende a a y ademas coincide con f (a),
∃ limx→a
f (x) = f (a).
DefinicionDecimos que f : A ⊆ Rn → Rm es una funcion continua en A si es continua encualquier punto a ∈ A
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 65 / 69
Funciones continuas
Las siguientes funciones son continuas en su dominio:
Funciones constantes. (Ej: f (x , y) = 2)
Polinomios. (Ej: f (x , y) = x2 + xy + 2)
Exponenciales. (Ej: f (x , y) = ex−y )
Seno, coseno, tangente... (Ej: f (x , y) = sin(x2 + y))
Logaritmos. (Ej: f (x , y) = ln(x2 + y 2))
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 66 / 69
Propiedades de las funciones continuas
TeoremaSean f , g : A ⊆ Rn → Rm. Sea h : A ⊆ Rn → R. Sea a ∈ A. Si f , g y h soncontinuas en a, entonces:
1 ||f || es continua en a.
2 αf + βg , f · g y hf son continuas en a.
3 Si h(x) 6= 0 ∀x ∈ A, entonces1
hes continua en a.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 67 / 69
Composicion de funciones continuas
TeoremaConsideremos las funciones f : Rn → Rm, g : Rm → Rp y seaa ∈ Dom(g ◦ f ) 6= ∅. Si f es continua en a y g es continua en f (a) ∈ Dom(g),entonces g ◦ f : f : Rn → Rp es continua en a.
Ejemplos
f (x , y) =sin(x − y)
x2 + y 2es continua en R2 ∼ {(0, 0)}.
g(x , y) = ln(x + y 2) es continua en {(x , y) ∈ R2 | x + y 2 > 0}.h(x , y) = etan(xy) es continua en {(x , y) ∈ R2 | cos(xy) 6= 0}.
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 68 / 69
Funciones continuas en compactos
Teorema de Weierstrass
Sea f : Rn → Rm una funcion continua y K ⊂ Dom(f ) un conjunto compacto.Entonces, f tiene un maximo absoluto y un mınimo absoluto en K .
Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 69 / 69