asintotas funciones no continuas

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UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.2.4 J. Pomales septiembre 2013 Naguabo PR Curso: Funciones y Modelos ASÍNTOTAS DE FUNCIONES NO CONTINUAS

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FUNCIONES Y MODELOS - Unidad 1: FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES - A.PR.11.2.4 Explica cómo calcular asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de funciones no continuas.

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Page 1: Asintotas Funciones No Continuas

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.PR.11.2.4J. Pomales septiembre 2013Naguabo PR Curso: Funciones y Modelos

ASÍNTOTAS DE FUNCIONES NO

CONTINUAS

Page 2: Asintotas Funciones No Continuas

Objetivos

• Utilizar el GeoGebra para dibujar funciones continua y no continuas.

• Determinar las asíntotas de funciones no continuas.

Page 3: Asintotas Funciones No Continuas

Diferencia entre función continua y no continua

• Función continua– su gráfica puede dibujarse con un solo

trazo– no presenta puntos de discontinuidad.

• Función no continua (discontinua)– tiene puntos en los cuales una pequeña

variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.

Page 4: Asintotas Funciones No Continuas

Utiliza el GeoGebra para dibujar las siguientes funciones:

1) f(x) = x4 + 2x2 – 3

2) f(x) = x5 + 2x

3) f(x) = x

x 1

Determina si su gráfica es continua o no es continua.

Page 5: Asintotas Funciones No Continuas

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:

f(x) = x4 + 2x2 – 3

Es continua

¿Es par o impar?

En “Entrada” o “Input”

escribes así

f(x) = x^4 + 2x^2 – 3

presiona “Enter”

Es parsu eje de simetría es el eje y

Page 6: Asintotas Funciones No Continuas

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:

f(x) = x5 + 2x

Es continua

¿Es par o impar?

En “Entrada” o “Input”

escribes así

f(x) = x^5 + 2x

presiona “Enter”

Es imparsu eje de simetría es (0,0)

Page 7: Asintotas Funciones No Continuas

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:

f(x) =

Esno continua

¿Es par o impar?

x

x 1

En “Entrada” o “Input”

escribes así

f(x) = (x + 1) / x

presiona “Enter”

Ninguna

Page 8: Asintotas Funciones No Continuas

ASÍNTOTAS

Page 9: Asintotas Funciones No Continuas

¿Qué es una asíntota?

• Es una línea que se aproxima a una curva pero que nunca la alcanza o toca.

• Son rectas a las cuales una gráfica se acerca más y más sin tocarlas.

• Son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

• Como las asíntotas no son parte de la gráfica se dibujan como rectas punteadas.

Page 10: Asintotas Funciones No Continuas

¿Por qué estudiar las asíntotas de una función?

• Las asíntotas nos sirven de referencia al momento de dibujar su gráfica.

• Nos darían una idea del comportamiento de una función.

• Hoy trabajaremos con funciones no continuas.

Page 11: Asintotas Funciones No Continuas

Tipos de Asíntotas

• Las asíntotas se clasifican en:–Verticales:

• Eje de y o Paralelas al eje y

–Horizontales:• Eje de x o Paralelas al eje x

–Oblicuas:• Inclinadas

Page 12: Asintotas Funciones No Continuas

ASÍNTOTASEJEMPLOS DE

Page 13: Asintotas Funciones No Continuas

Gráfica de 2)2(1)(

x

xf

ASÍNTOTA VERTICAL

x = 2

ASÍNTOTA HORIZONTAL

y = 0

Recuerda:Si la gráfica tiene

asíntota horizontal no tendrá asíntota oblicua

Page 14: Asintotas Funciones No Continuas

31)(

xxxf

ASÍNTOTA VERTICAL

x = -3

ASÍNTOTA HORIZONTAL

y = 1

Recuerda:Si la gráfica tiene

asíntota horizontal no tendrá asíntota oblicua

Gráfica de

Page 15: Asintotas Funciones No Continuas

32 2

)( xxxf

ASÍNTOTA VERTICAL

x = -3

ASÍNTOTA OBLICUA

y = 2x – 6

Gráfica de

Page 16: Asintotas Funciones No Continuas

ASÍNTOTAS?¿CÓMO CALCULAR

Page 17: Asintotas Funciones No Continuas

¿Cómo calcular asíntotas?

• Sea una función racional

donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) 0, n es el grado del polinomio en el numerador p(x) ym es el grado del polinomio en el denominador q(x), entonces:

)()()(xqxpxf

Page 18: Asintotas Funciones No Continuas

Asíntota Horizontal

• Si n < m ,

entonces y = 0 es la ecuación de la asíntota horizontal, es decir , el eje de x.

• Si n = m ,

entonces

es la ecuación de la asíntota horizontal.• Si n > m ,entonces no hay asíntota horizontal

y procedemos a verificar si existe una asíntota oblicua.

)(

)(

xqdeprincipalecoeficient

xpdeprincipalecoeficientaa

m

ny

Page 19: Asintotas Funciones No Continuas

Ejemplo:Calcula la asíntota horizontal

12)( xxf

(1) Recomendación: Identifica n y m

n (grado del polinomio en el numerador) m (grado del polinomio en el denominador)

(2) En este caso: el grado del numerador es 0, la n = 0 el grado del denominador es 1, la m = 1

(3) Como n < m , y = 0 por lo que podemos concluir que la asíntota horizontal es el eje x.

Page 20: Asintotas Funciones No Continuas

Asíntota Vertical

• Simplifica la función

• Igualar el denominador a cero y resolver.

• El resultado obtenido es la asíntota vertical.

• Una función no continua puede tener más de una asíntota vertical o ninguna.

Page 21: Asintotas Funciones No Continuas

Cuidado

• Nunca debemos tener esta

situación:

• Por tal razón siempre deben

evaluar el numerador con los valores obtenidos al calcular la Asíntota Vertical.

• Si el numerador es cero deben descartar ese valor como Asíntota Vertical.

0

0

Page 22: Asintotas Funciones No Continuas

Ejemplo:Calcula la asíntota vertical

12)( xxf

(1) Recomendación: Debes simplificar al máximo la función. Luego, igualar el polinomio del denominador a cero y despejar la variable. Eso será la asíntota vertical.

En este caso ya está en su forma más simple así que procederemos a resolver:

(2) Podemos concluir que la asíntota vertical es x = 1.

1

01

x

x

Page 23: Asintotas Funciones No Continuas

Asíntota Oblicua

• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m) procedemos a dividirlo

)()()()( xRxQxqxp

cociente dela división(resultado)

residuo dela división(sobrante)

Page 24: Asintotas Funciones No Continuas

Asíntota Oblicua

• Si R(x) = 0, no tiene asíntota oblicua

• Si R(x) ≠ 0, la asíntota oblicua es dada por la ecuación Q(x) = ax + b que corresponde al cociente (resultado) de la división.

• Recuerda que si una función tiene asíntota horizontal, no podrá tener asíntota oblicua y viceversa.

Page 25: Asintotas Funciones No Continuas

Ejemplo:Calcula la asíntota oblicua

(1) Como n > m , no tiene asíntota horizontal verificamos si existe asíntota oblicua. Esto es, dividir el numerador entre el denominador:

(2) Como R(x) ≠ 0 , la asíntota oblicua será Q(x). La asíntota oblicua es y = 2x – 6

32 2

)( xxxf

Q(x)

R(x)

62

18

186)(

6

62)(

0232

2

x

x

x

xx

xxx

Page 26: Asintotas Funciones No Continuas

Si deseas practicar más puedes ir a la siguiente página:

http://www.ematematicas.net/asintotas.php?a

Es una página interactiva que te dice si has contestado correctamente

Page 27: Asintotas Funciones No Continuas

PRÁCTICA

Page 28: Asintotas Funciones No Continuas

¿Dudas o preguntas?