mecanica de materiales ii

62
Centroides y Momentos de inercia 1 Apuntes Alumno: Hernández Valverde Rubén Profesor: Ing. Cortez Olivera Ricardo Grupo: 5MM4 Mecánica de Materiales II

Upload: ruben-hernandez-valverde

Post on 10-Jun-2015

25.912 views

Category:

Documents


8 download

DESCRIPTION

Estos apuntes se basa en el programa de mecanica de materiales II del IPN México. Se tratan temas como flexion asimetrica, vigas hiperestaticas, etc. Comenten si existen errores en los calculos favor de comunicarlos para mejorar el documento.

TRANSCRIPT

Page 1: Mecanica de Materiales II

Centroides y Momentos de inercia

1

Apuntes

Alumno: Hernández Valverde Rubén

Profesor: Ing. Cortez Olivera Ricardo

Grupo: 5MM4

Mecánica de Materiales II

Page 2: Mecanica de Materiales II

Índice

Centroides y Momentos de inercia ……………………………………………………………………………………………………………………………..1

Reacciones ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3

Flexión asimétrica ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4

Deformación en vigas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….12

Método de superposición de efectos ………………………………………………………………………………………………………………..……..23

Primer Teorema de Mohr ……………………………………………………………………………………………………………………………………..….27

Segundo Teorema de Mohr ………………………………………………………………………………………………………………………………………27

Método de la viga conjugada ……………………………………………………………………………………………………………………………………28

Vigas Continuas ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..36

Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas …………………………………………………………………………….36

Esfuerzos combinados ………………………………………………………………………………………………………………………………………………46

Columnas …………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………..56

Page 3: Mecanica de Materiales II

Centroides y Momentos de inercia

1

Centroides y Momentos de Inercia

Problema: Determinar el momento de inercia (momento centroidal) de la figura que se muestra a continuación

��� � ���� � ������ � � ��� � � ��� � � �� ���� � ������ � ��� � ���� � ������ � � ��� � � ��� � � � � ���� � ������ �

��� � ��� � ���� � �������������

� � �������������� !"

�� � ��" � ��# � ��$ � ���� � ���������� �����

� � ���%&��% '��()� !"

��) � ��� � ���� � ��������$������

� � �%�%**%+���� !"

��� � ��� � ���� � �������������� � �+���������� !"

�� � ��" � ��# � ��$ � ���� � ���������� ����� � �����&��%� !"

��) � ��� � ���� � ���������$������ � ���**%+������� !"

��� � ����� ! �� � ��" � ,���%� ! ��) � ,���%� ! ��# � ��$ � ���%� ! ��� � ���%� !

��� � +�%� ! �� � ��$ � +���%� ! ��) � ��� � �� ! ��" � ��# � ,+���%� ! ��� � ,+�%� ! � � � � ���%� !��� ! � &�%� ! � " � # � $ � ����%� !���%� ! � ��&�%� ! ) � � � ���%� !�*�%� ! � +��%� ! ��� � ������������� !" �� �&�%� ! �+�%� ! �� � ����%&��% ' ��()� !" � ���&�%� ! �+���%� ! �+ ���%�%**%+���� !" � �+���%� ! ��� ! �� ��� � �+��*�%*&&&� !" �� �%�%&��%� !" � %������*&&+� !" ��� � ��*���+����-."

��� ���+�������� !" �� �&�%� ! ��� ! �� � ������&��%� !" � ���&�%� ! ����% ! �+ � ����**%+�������� !" �+���%� !����%� !�� ��� � �*�%*&&�� !" �� �����%� !" � �����*&&&&�� !" ��� � ���+������� !"

/ � �� � 0���*���+����-." � ����+������� !" �1 ���� � ��*���*&��%� !"

Page 4: Mecanica de Materiales II

Centroides y Momentos de inercia

2

Problema: Determinar el centroide y los momentos de inercia centroidales de la figura que se muestra.

� � 2" �3 , � � � 2" ���+� ! , ���� ! � � +��*+���+%� ! � 4 ' 5��1 ����� !��%� ! �� / �� � �%� ! ) � 4 ' 5��1 ����+� !��� ! �� / �� ) � �+� !

FIgura Área X Y AX AY 1 +��*+���+%� ! 8 in 8 in &�����%�� !) &�����%�� !) 2 �%� ! 0.5 in 7.5 in ��%� !) ����%� !) 3 �+� ! 8 in 0.5 in ���� !) �� !)

Total ���*+���+%� ! ++����%�� !) ++����%�� !) �6 � 7897 8 �� 1 �� ""#� �#����

#:�$"���"����; �� / �� �6 � ��&*��*��*�� ! �< � 7 8=78 �� 1 �� ""#� �#����#:�$"���"����; �� / � �< � ��&*��*��*�� !

��� � �" >?" , �" >@" � �" >��� !" , �" >��� !" �*���*�+����� !"

�� � ���� � ������������

� � �*���%� !"

��) � ���� � ��"���������

� � ����������� !"

��� � �" >?" , �" >@" � �" >��� !" , �" >��� !" �*���*�+����� !"

�� � ���� � ������������� � ���%� !"

��) � ���� � ��"���������� � ��*��������� !"

��� � ,�����*����+� ! �� � ,%�**��*��*�� ! ��) � ,�����*����+� !

��� � �����*����+� ! �� � �����*����+� ! ��) � %�**��*��*�� ! ��� � ���� � ������ � � ��� � � ��� � � �� ���� � ������ � ��� � ���� � ������ � � ��� � � ��� � � � � ���� � ������ � ��� ��*���*�+����� !" � �+��*+���+%� ! ������*����+� ! � � ��*���%� !" � ��%� ! ������*����+� ! � ������������� !" � ��+� ! �%�**��*��*�� ! � ��� � ��&�*&%��&%� !" �� ��*�%�+��*+� !" � +*������+&�� !" ��� � ��%���*���%�-."

��� ��*���*�+����� !" � �+��*+���+%� ! �,�����*����+� !� � � ����%� !" � ��%� ! �,%�**��*��*�� ! � ����*��������� !" � ��+� ! �,�����*����+� ! � ��� � ��&�*&%��%&� !" � %���+*���&&� !" � ��+������&�� !" ��� � �����&�%�*�� !"

Page 5: Mecanica de Materiales II

Reacciones en una viga (repaso)

3

Reacciones

Carga �A��BCDEFGEHI Figura �J��JCKHGECI Figura

L

�L��

�M�� M� �

2do grado

N

O� �4

2do grado

O�)�4

3er grado

Problema: Calcular las reacciones en los apoyos de la siguiente figura

7 N8 � �

����PQ���R � ���PQSR���R�+�R � &�PQ T R � U���VWSX� �X Y �*�&&&&&�R , Z?[=\���R � �

���PQ T R � ���PQ T R � &�PQ T R � +��������%�PQ T R , Z?[=\���R � �

?[= � $��######��VWTX:�X �� / �� ?[= � *��������++�PQ

] 7 =̂ � �

,���PQ , ���PQSR���R , ���VWSX� �X � ?= � �

*��������++�PQ , ���PQ , +�PQ , %PQ � ?= � �

?= � ����&��&����PQ

Page 6: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

4

Flexión Asimétrica

La flexión simple se genera con respecto aun eje principal, donde los momentos se aplican en un plano paralelo a dicho eje.

Sin embargo por lo común los momentos se aplican en planos o ejes no paralelos a los ejes principales lo que se conoce como flexión asimétrica.

La forma más sencilla de flexión asimétrica se presenta en vigas que tienen por lo menos un eje de simetría y están sometidas a momentos como se indica en la siguiente figura:

En la figura se observa que el momento se aplica sobre un eje en el plano X,Y, el cual tiene un ángulo _ con respecto al eje X.

Para poder analizar este problema, el movimiento aplicado se tendrá que descomponer sobre cada uno de los ejes principales y aplicar la ecuación de esfuerzo normal para que posteriormente utilizando la superposición de efectos se encuentre el resultado.

Para determinar la ecuación que utilizaremos en el análisis de nuestra viga, tomemos como referencia la siguiente figura, la cual tiene un momento aplicado sobre el eje “B” y tiene un ángulo _ con respecto al eje “Z”.

Si se determinan las componentes del momento sobre el eje “Y” y “Z”, se tendrá:

N` � Na bcd_ N= � Na d-. _

e � f N`g��` f N=h��=

En la última figura se observa q se genera un eje i, en el cual los esfuerzos tendrán un valor igual a cero, para esta condición de carga este es el eje neutro, por lo cual es esfuerzo resultante es igual a cero. Se observa que tiene también un ángulo j con respecto al eje “Z” el cual se puede determinar con la siguiente fórmula.

kl. j � m�`�=n �kl. _�

Page 7: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

5

Problema: La sección rectangular que se muestra en la figura está sometida al momento flexionante indicado, el cual tiene un valor de 25 kN/m. Determinar el esfuerzo normal en cada uno de los vértices del elemento.

No � N d-._ 1 ��%�PQ T R�d-.+% � � ���������%&�PQR N= � N bcd_ 1 ��%�PQ T R�bcd+%p � ���������%&�PQR

�` � ���� �� 1 ����� ��X��� ��X�

� � &��%%��*&&& ' ��("�R"

�= � ���� �� 1 ����� ��X��� ��X�

� � &��%%��*&&& ' ��("�R"

e` � qr=sr �� 1 ������#��##:�)�VWTX���� ��X)� �� �$)))'��tu�Xu � ��**���%� VWX;

e= � qv`sv �� 1 ������#��##:�)�VWTX���� ��X)� �� �$)))'��tu�Xu � ��**���%� VWX;

En el punto A (tensión, compresión)

��**���%� VWX; , ��**���%� VWX; � � VWX;

En el punto B (tensión)

��**���%� VWX; � ��**���%� VWX; � �&%���+% VWX;

En el punto C (tensión, compresión)

��**���%� VWX; , ��**���%� VWX; � � VWX;

En el punto C (compresión)

,��**���%� VWX; , ��**���%� VWX; � ,�&%���+% VWX;

Page 8: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

6

Problema: En la figura que se muestra, una viga sobre la que actúa un momento de 15 Klb*ft, determinar el esfuerzo flexionante en los puntos A y B si la flexión es asimétrica como se indica.

Cálculo del centroide

� � 4 ' 5��1 ������ !��� ! �� / ��� � ��� ! � 4 ' 5��1 ����� !���� ! �� / �� � �+� !

Figura Áreas Z AZ Y AY 1 ��� ! %� ! %�� !) ���%� ! ��%� !) 2 �+� ! %� ! ���� !) �� ! �++� !) Total &+� ! ���� !) ���� !)

w6 � 7 8`7 8 �� 1 ���������)"���; �� / �� w6 � %� !

�< � 7 8=78 �� 1 �� #:����)"���; �� / ��< � �������+���� !

Cálculo del momento de inercia

�w� � ���� � ������������

� � ��*&&&&� !"

�w � ���� � � ����� ����

� � �**� !"

��� � ���� � ������������� � *&�&&&&� !"

�� � ���� � � ������ ���� � *� !"

�w� � �� ! �w � �� ! ��� � +�%**�+� ! �� � �������� !

�w� � ��w� � ������ � � ��w � � ��� � ��� � ���� � ����w� � � ��� � � ��w � �w� � ���*&&&&� !" � ���� ! �+�%**�+� ! � � ��**� !" � ��+� ! ��������� ! � �w� � ����&%���&� !" � &�%���%*&��� !" �w� � %*����*%�+�� !" ��� � �*&�&&&&� !" � ���� ! ��� ! � � �*� !" � ��+� ! ��� ! � ��� � *&�&&&&� !" � *� !" ��� � ���&&&&� !" Cálculo del esfuerzo flexionante N � �%�Px4 T yz ;

��%�Px4 T yz����� !S���yz � �*��Px4 T ! { �*�����x4 T !

N` � N bcd_��1 ����*�����x4 T !�bcd &�p �� / ��N` � �%%**+�%����x4 T !

N= � N d|. _��1����*�����x4 T !�d|.&�p �� / ��N= � ������x4 T !

Page 9: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

7

Punto A

e` � qr=sr �� 1 ������$$"��� ��}�T������$$ "����$���#$�:"����u � �)����$ � �}���;

e= � qv`sv �� 1 ���:�����}�T�������:��))))���u � ": ��� � $�}���;

/ �&%���*�%�% }���; , +������%�*� }���; � ,&%�%��+��%� }���; ��~�R�@�� �!

Punto B

e` � qr=sr �� 1 ������$$"��� ��}�T�����:���#"��#����$���#$�:"����u � ����$�" )�}���;

e= � qv`sv �� 1 ���:�����}�T�������:��))))���u � :$��"����# }���;

/ ,�����*�+�&� }���; , �*%�+�%�%�� }���; � ,&�*�������& }���; ��~�R�@�� �!

Page 10: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

8

Problema: Se aplica un par de 20 kNm a la sección transversal de una viga como se indica en la figura. Determinar el esfuerzo en el punto A, punto B y en el punto D:

N � ���PQ T R { ������Q T R N` � N bcd_ � �������Q T R�bcd&�p �� / ��N` � ��&���%�*�*�QR N= � N d|. _ � �������Q T R�d|. &�p �� / ��N` � ������QR � � 4 ' 5��1 �������R������R �� / �� � � ��+ ' ��()�R � 4 ' 5��1 �������*�R�������R �� / �� � ��+�* ' ��()�R ) � 4 ' 5��1 �������R������R �� / �� ) � ��+ ' ��()�R

Figura Área Z AZ Y AY 1 ��+ ' ��()�R ����R ��+ ' ��("�R) ����+�R +��%� ' ��("�R) 2 ��+�* ' ��()�R ����R ��+�* ' ��("�R) ����R ��+�* ' ��("�R) 3 ��+ ' ��()�R ����R ��+ ' ��("�R) ������R ��++ ' ��(��R) Total ����* ' ��()�R ����* ' ��("�R)� ����* ' ��("�R)�

w6 � 7 8`7 8 �� 1 ��#� �$'��tu�X�#� �$'��t��X; �� / �� w6 � ����R �< � 78=78 �� 1 ��#� �$'��tu�X�

#� �$'��t��X; �� / � �< � ����R

�w� � ���� � ��� �X����� �X�

� � ��** ' ��($�R"

�w � ���� � Z$'��t��X\�����#�X�

� � &��&+%��&&& ' ��(#�R"

�w) � ���� � ��� �X����� �X�

� � ��** ' ��($�R"

��� � ���� � ��� �X������ �X� � * ' ��(#�R"

�� � ���� � Z$'��t��X�\�����#�X� � ��%��&&&& ' ��(:�R"

��) � ���� � ��� �X������ �X� � * ' ��(#�R"

�w� � ��R �w � ��R �w) � ��R ��� � ����+�R �� � ��R ��) � ,����+�R

�w� � ��w� � ������ � � ��w � � ��� � � ��w) � �)���) � ��� � ���� � ����w� � � ��� � � ��w � � ���) � �)��w) � �w� ����** ' ��($�R" � ���+ ' ��()�R �����+�R �� � �&��&+%��&&& ' ��(#�R" � ���+�* ' ��()�R ���R � �w� � +��+��+ ' ��(��R" � &��&+%��&&& ' ��(#�R" �w� � +����+���&& ' ��(���"

��� � �* ' ��(#�R" � ���+ ' ��()�R ���R� �� � ���%��&&&& ' ��(:�R" � ���+�* ' ��()�R ���R � ��� � ��� ' ��(��R" � ��%��&&&& ' ��(:�R" ��� � ������%��&& ' ��(��R"

Page 11: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

9

��� � 0�+����+���&& ' ��(���" � �������%��&& ' ��(��R" ��� �� � +�**�*����& ' ��(��R"

Punto A

e` � qr=sr �� 1 �����) ����$�$�WTX�����X"�#��":��))'��t���u � &�%��%�&�*&� WX; ����R�@�� �!

e= � qv`sv �� 1 �� �������WTX�����X��#�����:))'��t��Xu � ��+���*��++ WX; ����R�@�� �!

/ ,&�%��%�&�*&� WX; , ��+���*��++ WX; � ,����&*��+�&����R�@�� �!

Punto B

e` � qr=sr �� 1 �����) ����$�$�WTX�����X"�#��":��))'��t���u � &�%��%�&�*&� WX; ����R�@�� �!

e= � qv`sv �� 1 �� �������WTX�����X��#�����:))'��t��Xu � ��+���*��++ WX; ��z�!� �!

/ ��+���*��++ WX; , &�%��%�&�*&� WX; � �+��&�*����� WX; ��z�!� �!

Punto D

e` � qr=sr �� 1 �����) ����$�$�WTX����$$�X"�#��":��))'��t���u � &&�%�+*��%�� WX; ��z�!� �!

e= � qv`sv �� 1 ���������WTX�����"�X��#�����:))'��t��Xu � �+�**�����* WX; ��z�!� �!

/ &&�%�+*��%�� WX; � �+�**�����* WX; � &%%%*&������ WX; ��z�!� �!

Page 12: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

10

Problema: Una viga en ménsula de 3 m de longitud con la sección transversal mostrada, soporta dos cargas inclinadas como se indica. Determinar:

a.) Inclinación de la línea neutra en el empotramiento b.) Esfuerzos máximos de tensión y compresión.

N` � ,��+�PQ�bcd&�p����R , ��&�PQ�d-.+%p��&�R

N` � ,����*��&�&�PQ T R , ��&�&����&��PQ T R

N` � ,�&������+���PQ T R

N= � ,��&�PQ�bcd+%p��&�R � ��+�PQ�d-.&�p����R

N= � ,��&�&����&��PQ T R � +�PQ T R

N= � ,��&�&����&��PQ T R

Cálculo del centroide

Figura Áreas Z AZ Y AY 1 & ' ��()�R � �%�R ���% ' ��("�R) .21 m ��& ' ��("�R) 2 + ' ��()�R � �%�R & ' ��()�R) .1 m + ' ��("�R)

Total � ' ��()�R %��% ' ��("�R) ���& ' ��()�R)

w6 � �� �'��tu�X��'��t��X; � ����%�R �< � ���)'��t��X�

�'��t��X; � ���+��+�*%����R

Cálculo del momento de inercia

�w� � ���� � ������X���� �X�

� � � ' ��(��R"

�w � ���� � ���� �X��� �X�

� � ��&&& ' ��(��R"

Page 13: Mecanica de Materiales II

Flexión asimétrica

11

��� � ���� � ������X����� �X� � %���% ' ��(#�R"

�� � ���� � ���� �X���� �X� � ��&&&& ' ��(��R"

�w� ��� ' ��(��R" � �& ' ��()�R ������*%��+���R � � ���&&& ' ��(��R" � �+ ' ��()�R ����+��+�*%���R � �w� � ����%&����+ ' ��(��R" � ��������%� ' ��(��R" �w� � &�+��%*%��+ ' ��(���"

��� � �%���% ' ��(#�R" � �& ' ��()�R ���R� � � ���&&&& ' ��(��R" � �+ ' ��()�R ���R � ��� � %���% ' ��(#�R" � ��&&&& ' ��(��R" ��� � %��%*&& ' ��(#�R"

Cálculo del esfuerzo

Compresión máxima = 59126.31386 Kpa

e` � qr=sr �� 1 ����)� : �#" #�VWTX������� $���" :�X)�"���$���"'��t���u � �*&&���+++� �WX;� e= � qv`sv �� 1 ��� �)#):#��)��VWTX�������X����$))'��t��Xu � &��*�����+�� VWX;

Tensión máxima = 61329.65371 kpa

e` � qr=sr �� 1 ����)� : �#" #�VWTX������"��" $����X)�"���$���"'��t���u � %���+�&�++%+� �WX;� e= � qv`sv �� 1 ��� �)#):#��)��VWTX������X����$))'��t��Xu � +��%��*����� VWX;

Page 14: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

12

Deformación en vigas

Cuando se realiza el diseño de una viga, es importante determinar la deformación que ésta puede tener al aplicarle cargas dado que se generar varios problemas si se tiene una gran deformación.

La deformación que se puede tener en una viga se puede dividir en:

• Deformación angular, la cual se conoce como la pendiente de la viga • Deformación lineal, la cual es perpendicular el eje longitudinal de la viga y se conoce como la flecha de la misma

Cálculo de vigas en relación a su rigidez

Algunas ocasiones el diseño de una viga depende más de su rigidez que de su resistencia, por tal motivo se debe hacer que a parte de no sobrepasar los esfuerzos máximos establecidos, la flecha de la viga no debe sobrepasar cierto valor pues de lo contrario se tendría problemas, esto es muy importante en maquinaria de precisión como en tornos, cepillo y en un ámbito mas completo, en células de manufactura.

Para poder determinar la deformación de una viga se tienen varios métodos de los cuales vamos a analizar tres.

a) Método de la doble integración. El cual toma como referencia la ecuación de momentos de una viga integrando una vez para obtener la pendiente y se integra una segunda vez para obtener la flecha.

b) Método del área de momentos. En este método se toma como referencia el diagrama de momentos de la viga y utilizando los teoremas de Mohr se determina la pendiente y la flecha.

c) Método de la viga conjugada. Se genera una viga de las mismas dimensiones de la vida real y se carga con el diagrama de momentos de la viga real, obteniéndose la flecha y la pendiente de la viga utilizando los teoremas de Mohr.

Los métodos B y C son métodos semigráficos por lo cual se tiene que tomar varias consideraciones para poder aplicarlos.

Ecuación diferencial de la elástica de la viga

Para determinar esta ecuación tomaremos como referencia una viga en voladizo como se indica en la figura.

La cual se somete a una carga en el extremo B de la misma, generándose una deformación como se indica.

Page 15: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

13

Al aplicar la carga P, el eje longitudinal se flexiona tomando la forma de una viga curva. Esta forma se conoce como elástica de la viga, así mismo se observa que hay un desplazamiento lineal el cual se conoce como flecha de la viga y un desplazamiento angular conocido como pendiente de la viga. El ángulo que gira a la sección transversal con respecto a su posición original se denomina pendiente de flexión angular.

Para determinar la ecuación de la elástica de la viga tomemos como referencia un tramo de la viga, el cual tiene las siguientes condiciones:

����4�1���4�� z���_ � � ���� � ���� � / � ���� � ���� �4 � �x�1 ��� � ��1 �� � ���1 ��� � gX�9 e � ����1 �e � q=s �}� � ������ � 1 �� � �} ����� � ���} ����� � � � � � ���} e � � ���} � q����s

����� � � � � q����s � / �N � ����� ���s����

N � �s�

Basados en ecuaciones diferenciales, el valor del radio es:

� � �� � �����  ¡) � ���

como:

�����  { ��1 �� � �� ���

Sustituyendo en la ecuación que tenemos para momentos se llega a lo siguiente.

� ��� � N��

Page 16: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

14

Obteniendo así la “Ecuación diferencial de la elástica de la viga”

�� � ��� � N

La deformación en las vigas comúnmente será en el eje Y negativo, por lo tanto la ecuación anterior será afectada en el momento con un signo negativo para que al calcular las deformaciones si el valor es positivo esta sea hacia abajo.

�� � ��� � ,N

���� � _�������g � ^x��5�

Page 17: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

15

Problema: Para la viga mostrada en la figura determinar la deformación que se tiene sobre el punto C.

¢ £Na � ,��¤Q��R � ?8�%R , �*¤Q�&R , �*¤Q��R � �

?8 � � �W�X¥ "�W�X¥$�W�X� � ""�W�X� � *�*�¤Q

£ �̂ � ,�¤Q � *�*¤Q , *¤Q , *¤Q � ?a � �

?a � �����¤Q

N9 � ,��� , �� � *�*�� , �� , *�� , &� , "�9(";

�� �;=�9; � ��� , �� , *�*�� , �� � *�� , &� � "�9(";

�� �=�9 � �9(�; , $�$�9(�;

� $�9(); � "�9("�

# � ~� ����������� ��� ��g � �9(��

# , $�$�9(��# � $�9()�

# � "�9("u " � ~�� � ~ ���� ���

Si x = 1 ; g8 = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2

� � ��(��# , $�$��(��

# � $��()�# � "��("u

" � ~��� � ~ � � � ��(��

# , ~��� � ~ �� � �&�

Page 18: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

16

Si x = 6 ; ga = 0 ;

� � �#(��# , $�$�#(��

# � $�#()�# � "�#("u

" � ~��� � ~ � � � �#(��

# , $�$�#(��# � $�#()�

# � "�#("u " � ~��� � ~ �� � �+�

~� � ¦(§� �;§¨� �¦©� �# �© � �+�� ~� � ¦� (§�# ;§¨� ¦

©� �# �© � ,�+��&

NOTA. La primera integral nos determina la pendiente de la viga o deformación angular, mientras que la segunda integración nos determina la flecha de la viga o deformación lineal.

���� � _ � L�!� �!z��������g � ^x��5�

���� � �Q � R �ªQ R « ¬ �R"� � �@��� g � �Q � R)�ªQ R « ¬ �R"� � �R�

�9 � +������(�R"��������� � ����­L�

Si x = 3 ; _®=? ;

�� �=�9 � �)(�; , $�$�)(�;

� $�)(); � "�)("�

# � �+��

��_® � ��¤Q � R

_® � #9����W�X;�"�#�9��t�Xu� ��¯°� � ��%�����("@�� � ���&�p

Si x = 3 ; g®=? ;

��g � �)(��# , $�$�)(��

# � $�)()�# � "�)("u

" � �+���& � �+���

��g � ����+�¤Q � R)

g® � #��"9����W�X��"�#�9��t�Xu� ��¯°� � ��*&���()R � ��*&RR

Page 19: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

17

Problema: Se tiene una viga de madera como se indica en la figura. Determinar la ecuación de la elástica así como la deformación en el extremo libre. Se sabe que el Emadera=12GPa

£ �̂ � � ,�¤Q , �¤Q , *¤Q � ?8� � � ?8� � ��¤Q ¢ £N8 ���¤Q���%R � ��¤Q�&�%R � �*¤Q���%R ���¤Q � R

N9 � ���� , �� , ���� , �� , ��� , ��%� , )�9( ��; � )�9("��;

�� �;=�9; � ,���� , �� � ���� , �� � ��� , ��%� � )�9( ��; , )�9("��;

�� �=�9 � , ��9(�; � ���� , �� � #�9(���;

� )�9( ���# , )�9("���

# � ~� ���������� ��� ��g � , ��9(��

# � :��9(�; � #�9(����

# � )�9( ��u " , )�9("��u

" � ~�� � ~ �� ���

Si x = 0 ; g8 = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2 y aplicando las ecuaciones de singularidad

~ � ���� Si x = 0 ; _8 = 0 ; Sustituimos en la ecuación 1

~� � �

Si x = 7.5 ; ga = ? ; Sustituimos en la ecuación 2

��ga � , ������# � :�����;

� #�#�# � )��u

" , )�)u " � ����% � � � �+���¤Q � R)

ga � �"�:9����W�X�����#9��t�Xu�� ¯°� � �������R � ������RR

Page 20: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

18

Si x = 7.5 ; _a = ? ; Sustituimos en la ecuación 1

��_a � , �����; � �����%� � #�#;

� )���# , )�)�

# � � � ����%�¤Q � R

_a � #:��9����W�X;����#9��t�Xu�� ¯°� � ������@�� � ���p

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos así como la deformación al centro de la misma en función de EI.

?8± � ?a±

?8� � ?a� � �&�¤Q

¢ £N8 � ���¤Q��R � �&¤Q�+R � �%�¤Q��R , ?a��*R , N8 � Na � ��

N9 � ?8��� , �� , N8�� , �� , ���� , �� , &�� , +� , %��� , ��

�� �;=�9; � ,?8��� , �� � N8�� , �� � ���� , �� � &�� , +� � %��� , ��

�� �=�9 � , �²��9(�; � N8�� , �� � ��9( ;

� )�9("; � ���9(�;

��~� � ��� ��g � , �²��9(��

# � q²�9(�; � ��9( �

# � )�9("�# � ���9(��

# � ~�� � ~ � ���

Page 21: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

19

Si x = 0 ; g8 = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2

~ � �

Si x = 0 ; _8 = 0 ; Sustituimos en la ecuación 1

~� � �

Si x = 8 ; ga = 0 ; Sustituimos en la ecuación 2

� � , �²��$�# � q²�$;

� ��#�# � )�"�

# � �����# � *�� � �

,*%�&&?8� � &�N8 � ,����&&� �&�

Si x = 8 ; _a = 0 ; Sustituimos en la ecuación 1

��_a � , �²��$; � N8�*� � ��#;

� )�"; � ����;

� �

,&�?8� � *N8 � ,+��� �+�

,*%�&&?8� � &�N8 � ,����&&

,&�?8� � *N8 � ,+��

?8� � ���%��¤Q

N8 � &�����¤Q � R

?8� � ?a� � �&�¤Q

���%��¤Q � ?a� � �&�¤Q

?a� � �&�¤Q , ���%��¤Q � %��+*�¤Q

¢ £N8 � ���¤Q��R � �&¤Q�+R � �%�¤Q��R , ?a��*R , N8 � Na � �� � � ���¤Q��R � �&¤Q�+R � �%�¤Q��R , �%��+*¤Q�*R , &����¤Q � R � Na

Na � +*�*�¤Q � R

Page 22: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

20

Calculo de deformación al centro de la viga

Si x =4 ; g® = ? ;

��g® � , ��� �"(��# � )��:#�"(�;

� ��"( �# � )�9"("�

# � ���"(��#

��g® � %%�+��¤Q � R � ���"#�9���W�X�s

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los empotramientos

7 =̂ � �

?8= � ?a= , ���¤Q , Z)�W X« \�)X; �)X � � ?8= � ?a= � �+�%�¤Q …….(1)

N9 � ?a=�� , �� , Na�� , �� , ���� , �� , ��9()�)� � )�9(#;

� �9(#�� � N8�� , *�

�� �;=�9; � ,?a=�� , �� � Na�� , �� � ���� , �� � ��9()�)� , )�9(#;

, �9(#�� , N8�� , *�

�� �=�9 � , �³v�9(�; � Na�� , �� � ��9( ;

� ��9()u� � , )�9(#�

# , �9(#u"$ , N8�� , *� � ~�………..(2)

��� � , �³v�9(��# � q³�9(�;

� ��9( �# � ��9()�

#�� , )�9(#u " , �9(#�

"� , q²�9($; �� ~�� � ~ …………(3)

Si � � ��1 �ga � � sustituyendo en (3) y aplicando funciones singulares

� � , �³v��(��# � q³��(�;

� ~��� � ~

~ � �

Page 23: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

21

Si � � ��1�_a � � sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares

� � , �³v��(�; � Na�� , �� � ~� ~� � �

Si � � *1�g8 � � sustituyendo en (3)

� � , �³v�$(��# � q³�$(�;

� ��$( �# � ��$()�

#�� , )�$(#u " , �$(#�

"� , q²�$($; &�Na , *%� &<?a= � ,�+&���%�� ………….(4)

Si � � *1�_8 � � sustituyendo en (2)

� � , �³v�$(�; � Na�* , �� � ��$( ;

� ��$()u� � , )�$(#�

# , �$(#u"$ , N8�* , *� *Na , &�?a= � ,&*��&�%�� ………...(5)

Planteando y resolviendo el sistema de ecuaciones con (4) y (5) &�Na , *%� &<?a= � ,�+&���%�� *Na , &�?a= � ,&*��&�%��

Na � ©(�")�����# ($��)́()$��)��## () ©©) ($��)́$ () © � ($�")� �")$�()"��)))))# � �%���%���¤QR

?a= � ©) (�")�����#$ ()$��)��##©©) ($��)́$ () © � (# �)�$ �#"()"��)))))# � �*�&���+�¤Q

Sustituyendo en (1) ?8= � �*�&���+�¤Q� � �+�%�¤Q ?8= � ����*�%�

Problema: Para la viga en voladizo mostrada, determinar la pendiente la pendiente en el extremo A. Considerar que µ � ¶·¸¹º»�¼I½

U :9����}���; Y U ��;

��$))));�¾¿;Y � +��������� x4 yz «

�9 � U ;§;Y� u§;�� � %��++�&���("�yz"

Page 24: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

22

7 =̂ � � 7 9̂ � ,�¤ � , &¤ � � ?�= � � ?�=À�+�¤ �

¢ 7 N� � ,�&�¤ ����%�yz ,����¤ ��%�yz � N� � � N� � ��%�¤ ��yz N9 � ,��� , �� , ��9( ;

� N��� , %� � +�� , %�

�� �;=�9; � ��� , �� � ��9( ; , N��� , %� , +�� , %�

�� �=�9 � ��9(�; � ��9( �

# , N��� , %� , "�9(�; � ~� ……(2)

��� � ��9(��# � ��9( u

" , qÁ�9(�; , "�9(��

# � ~�� � ~ …..(3)

Si � � %1�_� � � sustituyendo en (2) � � ���(�;

� ���( �# � ~� ~� � ,��

Si � � %1�g� � � sustituyendo en (3) � � ���(��

# � ���( u " , qÁ��(�;

, "��(��# � �,���% � ~ ~ � ����������

Si � � �1�_8� � sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares �� �=�9 � ���(�;

, �� �=�9 � _8 � (��9����}��¾¿;

����""�)9��tu�¾¿u�"���#9��Ã}� ¾¿;« � ,����&������()@�� � ,��+%&+�p ←

Si � � �1�g8 � dÄdk-kÄÅ|.Æc�|.��& y aplicando funciones singulares ��g8 � ���(��

# , ����� � ����������

g8 � #���:�###�9����}��¾¿�����""�)9��tu�¾¿u�"���#9��Ã}� ¾¿;« � ����*����yz � ��&&�%� ! ←

Page 25: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

23

Método de superposición de efectos

Uno de los métodos prácticos para calcular las reacciones en vigas hiperestáticas es considerar que las vigas soportan diversas cargas las cuales pueden ser reacciones, con los cual se elimina la condición de estáticamente indeterminado, como se indica en la figura.

Para cargas básicas y condiciones de apoyos básicos, la deformación máxima lineal y angular ya se encuentran tabuladas, lo cual permite resolver de una forma sencilla algunas vigas hiperestáticas. Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos.

L � ?8= N8 � LÇ N9 � ?8=�� , �� , N8�� , �� N9 � L�� , �� , LÇ�� , �� �� �;=�9; � ,L�� , �� � LÇ�� , ��

�� �=�9 � (°�9(�; � LÇ�� , �� � ~�

��� � (°�9(��# � °È�9(�;

� ~�� � ~

Si � � �� / ��8 � ��1�_8 � � ~� � ��1�~ � �

Page 26: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

24

Si � � Ç� / � �a � �q8É�1 �_8 � _q8É� �a� � �q8É � (ÊË�� ¥ÊË�;�s � °È�

)�s _q8É� � tÊË;; ¥°È;

�s � °È; �s

N9 � ?8=�� , �� , N8�� , �� , �9(�;

?8= � MÇ�������N8 � ÌÈ;

N9 � MÇ�� , �� , ÌÈ; �� , �� , Ì�9(�;

�� �;=�9; � ,MÇ�� , �� � ÌÈ; �� , �� � Ì�9(�;

�� �=�9 � (ÌÈ�9(�; � ÌÈ;

�� , �� � �9(��# � ~�

��� � (ÌÈ�9(��# � ÌÈ;

" �� , � � �9(�u " � ~�� � ~

Si � � �� / ��8 � ��1�_8 � � ~� � ��1�~ � � Si � � Ç� / � �a � �q8É��1 �_8 � _q8É

_q8É � tÍË�; ¥ÍË�; ¥ÍË���s � ÌÈ�#�s ←

�a � �q8É � (ÍËu� ¥ÍËuu ¥ÍËu;u�s � ÌÈu$�s

�a � �a� , �a � � �a � °È�

�s , ÌÈu$�s � ��� / L � ?a=�� �³vÈ�

)�s � ÌÈu$�s ?a=À )ÌÈ$

7 =̂ � ?8= � ?a= , MÇ � � ?8= � MÇ , )ÌÈ$ � �ÌÈ$

¢ 7 N8 � ,N8 � ÌÈ; , ?a=Ç � �

N8 � ÌÈ; , )ÌÈ;

$�s � ÌÈ;$�s

Page 27: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

25

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar el valor de las reacciones y momentos

ga� � �q8É� °�;#�s �&Ç , � � ����W�)X;

#�s ��&��R , &� ga� � �q8� �)���WX�

�s

ga � �q8É� °�;#�s �&Ç , � � �#��W��X;

#�s ��&��R , %� �"����WX��s

ga) � �q8É� , °È�)�s � , �³v��X�

)�s � , �³v���"�)́�X��s

ga � ga� � ga � ga) � � �)���WX��s � "����WX�

�s , �³v���"�)́�X��s � � %&%�¤QR) , ?a=���+� &<�R) � � ?a= � +����&�¤Q

Î 7 N8 � �,%�& , ���% � �+����� � N8 � � Î N8 � ���&��¤QR

Page 28: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

26

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar las reacciones y momentos en los empotramientos

?8� � °�;

È� �&� � 4 � �����W�)X;��X� ��&�+ � &� � &��&%*��¤Q

?a� � °�;È� �� � &4 � �����W�"X;��X� �+ � �&�&� � ����+�&��¤Q

N8� � °��;È; � �����W�"X�)X;

��X; � ��&+��&*�¤Q

,Na� � , °��È; � , �����W�)X�"X;��X; � ,����%��*�¤Q

?8 � ?a � ÏÈ � Z"��W X« \��X � �+�¤Q

N8 � ,Na � ÏÈ;� � ��� &<�¤QR

?8 � ?8� � ?8 � &��&%*��¤Q � �+�¤Q � ����&%*��¤Q ?a � ?a� � ?a � ����+�&��¤Q � �+�¤Q � �����+�&��¤Q N8 � N8� � N8 � ��&+��&*�¤Q � ��� &<�¤QR � �&��*�����¤QR Na � ,Na� , Na � ����%��*�¤Q � ��� &<�¤QR � �������%��¤QR

Page 29: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

27

Primer Teorema de Mohr

El ángulo que forman las tangentes a la elástica (o deformada de la viga) entre un punto “x2” y otro “x1”, es igual al área de la ley de momentos flectores comprendida entre esos dos puntos, dividida por la rigidez (EI).

Ð �_Ñ;ѧ

��Ð N�����Ñ;ѧ

��_ ,�_� ��_� «

_� « �� ��� ��@���

Segundo teorema de Mohr

Dados dos puntos pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B con respecto a la de A es igual al momento elástico con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.

El momento elástico recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia de su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales, tales como rectángulos, triángulos, parábolas etc. El momento elástico total resulta ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.

Page 30: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

28

Método de la viga conjugada

Utilizando los teoremas de Mohr, se desarrollo un método denominado de la “Viga Conjugada”, el cual permite determinar la pendiente y la flecha en una viga, en puntos determinados sin que se tenga que desarrollar la ecuación de momentos.

En este método, la pendiente se determina utilizando el primer teorema de Mohr, con lo cual se tiene que:

_ � ^Ò�@w��~�@z�!z�����x��Ó ���~�!ÔÒ������

_ � ��

Mientras que la flecha es igual al momento elástico de la viga conjugada, con respecto al punto donde se desea determinar esta.

Este método proporciona solamente valores absolutos, por lo que se tiene que tomar en cuenta las condiciones graficas de la viga para establecer los signos correspondientes.

Procedimiento de Análisis

Para determinar la pendiente y la flecha por el método de la viga conjugada, se siguen los siguientes pasos:

1. Se determinan las reacciones en los apoyos.

2. Se establecen los diagramas de momentos que generan las reacciones y las cargas en la viga.

3. Aplicar a la viga conjugada los diagramas de cargas o momentos.

4. Determinar las reacciones de la viga conjugada.

5. Para determinar la pendiente, calcular el valor de la fuerza cortante en el punto deseado y dividirlo sobre la

rigidez (EI).

6. Para calcular la flecha, determinar el momento estático del diagrama de momentos de las áreas que se tienen a

la izquierda o derecha del punto y dividirlo entre la rigidez (EI).

Page 31: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

29

ÕÖ �� �×Ö�ØÙ

ÕÚ �� �×Ú�ØÙ

Page 32: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

30

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las pendientes en los poyos, así como la flecha en el

punto “c”, utilizando el método de la viga conjugada.

?8 ������% , � � ����*

?8 � *��&�%PQ

?� ������ � � � ����%*

?� � ������%PQ

� ��� �Û �45 � �� �Û ��*����% � � �*�PQ , R

��� �Û �45 � �� �Û ������ � �*�PQ , R

) � �45 � � �+�� � *PQ , R

" �� 45! � � ��� �&��&�%&

" � �&�%PQ , R

Î¥ £�N8� � � �?���* � ��&�%����% , *�� � �*��� , �*��%�&&&& � ��

�?�� � +��+&PQ , R

Î¥ £�N�� � �,�?8��* � ��*������� , �*��� � *�� , �&�%����% � ��

�?8� � %����PQ , R

Pendientes en los apoyos:

¢ ÕÖ �� �×Ö�ØÙ � �%����PQ , R ØÙ

Page 33: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

31

Î ÕÚ �� �×Ú�ØÙ � �+��+&PQ , R ØÙ

Flecha en el punto C

� ��� �Û �45 � �� �Û ��+�&%��% � ���%PQ , R

# ��� �Û �45 � �� �Û ������ � ��PQ , R

Î¥ £�N®� � �,?8�+ � ����%���&& , ��������

�N®� � �,����%�PQ , R)

Ü �® �� �N®��� � �����%�PQ , R)��

Page 34: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

32

Problema: Para la viga mostrada en la figura, determinar la deformación o flecha en el extremo libre, en función de EI.

ÕÖ �� �×Ö�ØÙ � �

� ��� �Û �45 � �� �Û ��*�*� � � &��PQ , R

��� &Û �45 � �� &Û ��*��+ � ������PQ , R

Î¥ £�Na� � �,��%�&& , �� �Na� � �,�����%�PQ , R)

Ü �a �� �Na��� � ������%�PQ , R)��

Page 35: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

33

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la flecha en el punto C.

E = 200GPa

I = 1x10-3 m4

?8 ��,��� � ����% � �+�%� � ����+�*PQ

?a �� �$¥:����¥�"� � � �&�&%��PQ

En el procedimiento de viga conjugada, cuando se tienen tramos en voladizos, estos se separan de la viga, analizándose

por separado los efectos y posteriormente se superponen los mismos.

� ��� �Û �45 � �� �Û ����*��% � � �*%��%PQ , R

��� �Û �45 � �� �Û ��%��� � ��%PQ , R

) ��� �Û �45 � �� �Û ��&��&�% ) � �&�%PQ , R

_aÝ � �?a��

Þ N8 � ,�*%��%�+��� � ��%�%�&&� �&�%����% � �?a��� � � �?a� � +%PQ , R

_a � +%���)Q , R ������:L������()R" � ���%���("@��

Page 36: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

34

��Ý � kl.��_a � ���&���("R � ����&RR

" ��� �Û �45 � �� �Û ����� � �PQ , R

�N��Ý � ��������� � ������PQ , R)

��ÝÝ � � �N��Ý�� � ���������)PQ , R)������:L������()R"

��ÝÝ � �&�&&���(#R

�� � ��Ý � ��ÝÝ � ���&���("R , &�&&���(#R� ���������("R ] �� � �����RR

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la pendiente en los apoyos y la deformación en el punto C mediante el método de viga conjugada.

E = 200GPa ; I = 2.5x10-3 m4

¢ 7 Na � ?8���% , ����� , ����& ,�&���� � � ?8 � ����&<�¤Q

Î 7 N8 � ?a���% , ������% , ����+�% ���,&��%�%�� ?a � �&���<�¤Q

Page 37: Mecanica de Materiales II

Deformación en vigas

35

� ��� �Û �45 � �� �Û ����%������% � � �����*�%PQ , R

��� �Û �45 � �� �Û ������� � &��PQ , R

) ��� �Û �45 � �� �Û ��&�&� � +%PQR

" � 45 � �&��� � &�PQ , R

� ��� &Û �45 � �� �Û ����� � +PQ , R

¢¥ £�N8� � ,�?a����% � �����*�%�% , &���%�% , +%���% , &��� , +��

�?a� � *+�&*PQ , R

¢¥ £�Na� � �?8����% , �����*�%���% � &���� � +%�� � &����% � +���%

�?8� � ���&PQ , R

_8 ��?8�� � ���&���)Q , R ������:L����%���()R" � ���*����("@��

_a ��?a�� � *+�&*���)Q , R ������:L����%���()R" � ���*�����("@��

# ��� �Û �45 � �� �Û ��+�%������ � ��+���PQ , R

� ��� �Û �45 � �� �Û ��&��� � ��PQ , R

N® � ���&�+�% , ��+������% � ����

N® � ������PQ , R)

�® � N®�� � ���������)Q , R)������:L����%���()R" � +��������("R � ��+����RR

Page 38: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

36

Vigas Continuas

En el diseño de elementos mecánicos, se cuenta con algunos de estos, los cuales se pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que se denomina hiperestáticos, teniéndose que recurrir a la mecánica de materiales para poderlos analizar.

En la figura se muestra que una viga continua, en un extremo puede tener un apoyo fijo o un empotramiento y posteriormente una serie de apoyos móviles; así mismo en cada apoyo actúan momentos los cuales surgen de la acción de un tramo de la viga sobre otro (denominaremos tramo a la distancia que hay entre dos apoyos). Los momentos que se generan en los apoyos pueden ser calculados por un procedimiento denominado “Ecuación de los Tres Momentos”. Conociendo estos momentos se pueden determinar las reacciones en los apoyos, diagramas de fuerzas cortantes y diagramas flexionantes, así como la deformación en la viga.

Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas

Para determinar la ecuación a utilizar en este método, tomemos en cuenta que se tiene una viga continua infinita con diferente tipo de carga en cada uno de sus extremos y tomemos de la misma dos tramos los cuales tienen longitud L1 y longitud L2 como se observa en la figura:

Page 39: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

37

_ � �

_ � _ Ý � _ ÝÝ _ ß � _ ßß

Tomemos por separado cada uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de momentos pero también aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramo de la viga.

Los dos tramos tienen un punto común el cual se ubica en el apoyo No. 2 y en el cual se sabe que θ = 0.

El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a 0. También se observa que cada uno de los tramos es afectado por las cargas y los momentos.

Tomando en consideración el teorema de área de momentos, la contribución de las cargas externas del tramo 1 a θ2´ es la siguiente:

_ Ý � ��<�Ç���

La contribución de los momentos hiperestáticos en θ2 es:

N����� �1 �N �&��

_ Ý � ��<�Ç��� � N�Ç���� � N Ç�&��

Page 40: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

38

La contribución del tramo 2 con sus cargas y momentos en θ2´ de forma similar seria:

_ ÝÝ � 4< Ç �� � N Ç &�� � N)Ç)���

Igualando θ´ con θ´´ y tomando en cuenta que el momento de inercia es constante, se tendrá lo siguiente:

J¹à¹ � ¶J¶�๠� à¶� � Jáච� ,»â¹F́¹à¹ , »â¶ã́¶à¶

Problema: Para la viga continua que se muestra en la figura, determinar los momentos hiperestáticos que se generan.

Page 41: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

39

Tramo 1-2

N�x� � �N �x� � x � � N)x � , ���<�x� , � 4< x

N��+ � �N �+ � �� � N)�� � , ��+���+ , �����&�

+N� � ��N � �N) � ,&&�ä ä ä ä ä ä ä ä ��

Tramo 2-3

N x � �N)�x � x)� � N"x) � , � �< x , �)4<)x)

N �� � �N)�� � �� � N"�� � , �����&� , ��*��&�

�N � �+N) � �N" � ,+%�ä ä ä ä ä ä ä ä ��

Si M1 y M4 son igual a 0 y resolviendo sistema con ecuaciones (1) y (2) tenemos:

��N � �N) � ,&&�

�N � �+N) � ,+%�

N � ,��PQ , R

N) � ,��PQ , R

?� � �PQ ? Ý � �&PQ

? ÝÝ � ���&&PQ ?)Ý � �����PQ

Page 42: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

40

?)ÝÝ � �����PQ ?" � ��&&PQ

Page 43: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

41

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar los momentos que se generan en los apoyos.

• Tramos 1-3:

N�x� � �N��x� � x� � N x� ��, ���<�x� , ��4<�x�

�N��� � N �� � , L4Ç �Ç , 4

N���� � N �� � , ����+� �� , + ��N� � �N ��,�������ä ��

• Tramos 2-4:

N�x� � �N �x� � x � N)x ��, ���<�x� , � 4< x

N��� ��N ��+ � N)�� � , L�Ç �Ç , �

�N� � �+N � �N) � , ������ �� , � �N� � �+N � �N) ��,��&�&&�ä ��

Page 44: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

42

• Tramos 3-5:

N x � �N)�x � x) � N"x) ��,� �< x , �)4<)x)

N �� ��N)��� � N"x) � , OÇ)+

N �� ��N)��� � �,*�% � ,��%)+ �N � ��N) � �+��%ä �&

Resolviendo el sistema de ecuaciones

N� ��,����� N-m

N � ��,���%&��N-m

N) ��,���+ N-m

Calculando las reacciones:

R1=16.523 kN R2’ =3.477 kN

R2’’=-0.6810 kN R3’=0.6810 kN

Page 45: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

43

R3’’=14.628 kN R4’=15.372 kN

Por lo tanto:

R1=16.523 kN R2=2.796 kN R3=15.309 kN R4=19.372 kN

Page 46: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

44

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos.

• Tramos 1-3:

N�x� � �N �x� � x � N)x ��, ���<�x� , � 4< x

���+ � ��N �+ � � � N)�� � , �åÇ)+ � L�Ç �Ç , � ¡ , �#�OÇ)� ���N � �N) � , ��+�+)+ � ������+ �+ , � ¡ , �#��&��)

��N � �N) ��,������ ä ��

• Tramos 2-4:

N x � �N)�x � x) � N"x) ��,� �< x , �)4<)x)

N �� ��N)��� � N"�% � , $#�OÇ) , NÇ �&4 , Ç

N �� ��N)��� � N"�% � , $#��&��) , +% �&�& , % �N � ��N) � %N" � ,**ä ��

Page 47: Mecanica de Materiales II

Vigas continuas

45

• Tramos 3-5:

N)x) � �N"�x) � x" � N�x" ��,�)�<)x) , �"4<"x"

N)�% � ��N"�% � , NÇ �&� , Ç

N)�% ��N"��� � , +% �&�� , % %N) � ���N" � ,���+ä �&

N ��,*�&%���QR N) ��,+������QR N" ��,�����*�QR

Calculando las reacciones:

R1=13.4119 kN R2’ =12.5881 kN

R2’’=4.1127 kN R3’=4.8873 KN

R3’’=0.5051kN R4’=-0.5051 kN

Por lo tanto:

R1=13.4119 kN R2=16.7014 kN

R3=5.3924 kN

R4=-0.5051 kN

Page 48: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

46

Esfuerzos combinados

En el 1 primer curso de mecánica de materiales se analizaron elementos sometidos a tensión, compresión, torsión y en lo que cabe en este curso sometido a flexión. Todos estos temas se manejan con condiciones idealizadas donde solo un efecto ocurre a la vez. Comúnmente esto es muy difícil dado que se pueden presentar 2 o mas efectos al mismo tiempo.

Como se puede ver en la siguiente figura:

Page 49: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

47

Problema: Un elemento se somete a una carga como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo que se presenta en el punto A y B del mismo.

æç � æ bcd �% � &���èé

æÅ � æ d-.�% � �����èé

ê � æë � &��� ' ��)é� ��� � �*�����æl

ê � ìíî en los puntos A y B no existe momento flexionante

Page 50: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

48

Problema: Un eje de transmisión por carrera de 40mm de diámetro esta sometido a las fuerzas que se indican en la figura. Las fuerzas sobre la polea son horizontales y las que actúan sobre B son verticales. Determinar los esfuerzos resultantes, normal y cortante máximo.

¢ 7ïÖ � �&%����% , �%����% , ïÖ � � ïÖ � &���é�

¢ 7ïð � ,������ ��% � &���� ��% � ïð�� ïð � &���é�

Page 51: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

49

Horizontalmente

Î 7 N® � ?ñ9���* , ��%������ � � ?ñ= � %���Q ¢ 7 Nñ � ?®9���* , ��%������ � � ?®9 � �����Q

Page 52: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

50

Î 7 N® � ?ñ=���* , �&������� � � ?ñ= � �����Q ¢ 7 Nñ � ?®=���* , �&������� � � ?®= � %���Q

Para punto A ïÖò � óïëô � ïëõ � 0���� � ���� ïÖò � *+*�%��é� öÖò � &���é�

Para punto B ïðò � óïô÷ � ïõ÷ � 0����� � �&�� ïðò � ��&���&�é� öðò � &���é , �

S � ìíîø � ìùT�úu�u

e � �� )#�:)�W(X���� ��Xû�ü�üuu�u� ����*��NL�

ý � þùî� � þùT�úu�;

ý � �)������ ���T�ü�üuu�;

�&�*�+�ïæl

Page 53: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

51

Problema: Diseñe un árbol circular para soportar las cargas en la figura. Si el cortante máximo es de 60 Mpa, el esfuerzo normal de 80 Mpa. Las correas de transmisión de A y B son horizontales y la polea E son verticales.

7ïÖ � ,%����� + � +%��� + , ïÖ � � ïÖ � �*���é , �

7ï� � +����� + , &%��� + , ï� � � ï� � �����é , �

7ïÚ � ����� & , ����� & , ïÚ � � ïÚ � ����é , �

Page 54: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

52

Horizontalmente

?a9 � ��*��%�Q ?ñÉ � �����%�Q

Verticalmente

?a= � ,�%���Q ?ñ= � &����Q

Para punto A ö× � �*���é�

Para punto B ï× � ��*��QR ö× � �*���é�

Para punto C ï× � 0�ïõ � �ïô � 0�*�� � ����� � � �+�+��� ö× � �*��

Para punto D

ï× � �+���é� ö× � ����é�

Page 55: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

53

Para punto E ï× � � ö× � ����QR

Condición crítica en B

ö| � ó���*���� � ��*����� � �*&��*%�é�

ï| � � �ï× � ö| � � ���*� � �*&��*% � �%�����%�é�

� � þ�T�ù�

��� ' ��# � � $):�$�T�ù�

� � � � $):�$�T�#��'���� � &���� � ��&���

Æ � �����

S � "ì�T�ù�

� � �"� ��:�: �T�$�'���� � &+��� � ��&+��

Æ � �*���

Page 56: Mecanica de Materiales II

Esfuerzos combinados

54

Problema: En un elemento actúa una carga que se indica en la figura y tienen las dimensiones mostradas en cada uno de sus lados así como la ubicación del eje neutro.

N� � �&�������+ � ���¤Q

N� � �&�������+ � ���¤Q

e� � ��� ' ��)������ ������ ' ��)��� � ��*��NL�

�� � �� �+)�� ���� � ���*�&� ' ��("�R"

�� � �� ��)�� �+�� � �*���� ' ��(��R"

e� � ��� ' ��)�� �*�*���� ' ��(� � �����*��NL�

e� � L � �&�� ' ��)��&*+ � ��*����NL�

e � e� , e� , e� � �����* , ��*� , ���*� � &���NL�

e[ � ,e� , e� , e� � ,�����* , ��*� , ���*� � ,���&&��NL�

e~ � ,e� � e� , e� � �����* � ��*� , ���*� � ,��������NL�

Page 57: Mecanica de Materiales II

Columnas

55

P

P

Columnas

Una columna es un elemento cargado axialmente, sometido a compresión, el cual tiene su sección transversal muy pequeña comparada con su longitud, por lo que al aplicársele una carga, fallará primero por pandeo, antes que por aplastamiento.

Las cargas que puede soportar una columna pueden ser concéntricas, cuando se aplican sobre su centroide, o excéntricas, cuando se aplican a cierta distancia de su eje centroidal

.

Cuando se incrementa la longitud de una columna, disminuye su capacidad de soportar carga. Cuando la excentricidad es pequeña y la columna es corta, la flexión lateral es despreciable, comparada con el efecto de la compresión; por el contrario al aumentar la longitud, una pequeña excentricidad puede producir un gran esfuerzo de flexión.

Las columnas se pueden clasificar en: a) cortas, las cuales simplemente se aplastan o comprimen y el esfuerzo se determina por la ecuación e � ʲ; b) intermedias y c) largas, para las cuales existen ecuaciones para analizarlas.

Fórmula de Euler para Columnas

Esta fórmula sólo es válida para columnas largas y permite determinar la carga crítica que puede soportar la columna antes de fallar.

P

Pe

P

P

Q

P

P

M

Page 58: Mecanica de Materiales II

Columnas

56

N � ,L�

��� � ��� � ,N � ,L�

�� ��� � ,L���

� ��� ��L��� � �

Suponiendo que: ¤ �� °�s, se tiene que:

� ��� ��¤ � � �

Resolviendo la ecuación diferencial se tiene:

� � bcd ¤� � [ d-. ¤�

En la ecuación anterior se deben determinar las constantes de integración A y B, por lo que si tomamos las condiciones en la frontera, se tendrá lo siguiente:

Si x=0; y=0

� � bcd ¤�� � [ d-. ¤��

� � ä ��

Si x=L; y=0

� � [ d-.¤Ç ä ��

La ecuación 2 tiene valores característicos de kL, los cuales son: 0, T, 2T, 3T,…,nT; por lo que considerando el valor general de kL=n, se tendrá:

�µ � G�à

� G¶�¶µà¶

Page 59: Mecanica de Materiales II

Columnas

57

�������������������L�� � > ��Ç �������������������������������L�� � +> ��Ç �����������������������������������L�� � �> ��Ç

SI:

L�� � > ��Ç

e � L

� � @

Para determinar el esfuerzo critico en una columna se tiene:

L�� � > �@ Ç

L � > �@ Ç

L � > ��Ç @« � e��

P

P

P

P

P

P

Page 60: Mecanica de Materiales II

Columnas

58

Problema: El esfuerzo que soporta una columna no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad por lo que para un

acero estructural con E=200 GPa y el σσσσy=250 MPa, se tendrá una relación de esfuerzo contra la relación de esbeltez como se indica en la figura:

e�� � > ���

�Ç@  � > �e��

Ë � �2;��Á = �2;� ��9��à ��9���

È�À�$$�$�

Si:

� � � )

�� � � � �)

/ @� � @ � @)

Longitud Efectiva de la Columna

El efecto de las condiciones que se tengan de la columna en sus extremos afecta a la carga crítica y al esfuerzo crítico, como se indica a continuación:

Page 61: Mecanica de Materiales II

Columnas

59

Probelema: Determinar la carga crítica para una columna cuadrada de 2x2 pulgadas, con una longitud de 10 pies. Si se fabrica de madera, la cual tiene un módulo elástico de 30x106 lb/in2, para:

a) Los dos extremos articulados b) Un extremo articulado y el otro empotrado c) Doblemente empotrada d) Empotrada en un extremo y libre en el otro.

� � 45)�� � ���)�� � ��&&&&&� !"

Para:

a) �� � �L�� � > �&������#���&&&&���� � ��&+�����x4

b) �� � ����L�� � > �&������#���&&&&���������� � %%*������x4

c) �� � ��%�L�� � > �&������#���&&&&����%����� � ���&**���x4

d) �� � ��L�� � > �&������#���&&&&�������� � �*&���%x4

�Problema: Se tiene una columna articulada de 2.5 metros de longitud y con sección transversal circular, se fabrica de madera, suponiendo que el módulo elástico es de 13 GPa y el esfuerzo permisible de 12 MPa, así mismo usando un factor de seguridad de 3. Determinar:

a) Las dimensiones de la columna en su sección transversal si debe soportar una carga de 110 KN.

� � >�"�+

L�� � L�^� �� � �������)�& � &&��PQ

L�� � > ��&���: >�"�+���%

L�� � �����������#�"

Page 62: Mecanica de Materiales II

Columnas

60

� � ���&+%R

e � ������)>����&+% + � ���+��NL�

@ � �� � ���&&�

/ �Ç @« � ��%���&&� � �+�&