mates 4b eso la u-8

a) Busca en las mesas del dibujo un jugador que tenga su taco en posicin correcta para conseguircarambola y otro que no lo tenga.Razona tu eleccin usando vectores.

b) Busca en alguna mesa una bolaque haya seguido trayectoriasparalelas despus de chocar con las paredes.

c) Si dos bolas son golpeadas con la misma direccin, cmo son sustrayectorias?

d) Conociendo la situacin de unabola en la mesa, qu elemento de geometra nos permitira describirsu trayectoria?

Geometra analtica

Los cuerpos en movimiento describen una trayectoriaque a veces es recta, como ocurre con las bolas de billar.Estas chocan unas con otras y con las paredes de la mesadescribiendo lneas rectas.

Un buen jugador de billar consigue que su bola golpee lasotras; es decir, hace que la trayectoria de la bola pase porel punto donde se encuentran las otras bolas.

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 150

Geometra analtica 151

Recuerda y resuelve

Qu son los vectores y cmo se utilizan en las traslaciones.

1 Dibuja el vector donde A (1, 3) y B (2, 5).

2 Calcula las coordenadas del vector de la actividad anterior.

3 Dibuja el vector (1, 3).

4 Encuentra el punto B que se obtiene al trasladar A (0, 4) mediante el vector (1, 3).

5 Encuentra el punto C que se obtiene al trasladar el punto A (0, 4)mediante el vector 2 , donde (1, 3).

6 Cmo estn los puntos A, B y C?

Cmo se representa una recta a partir de su ecuacin.

7 Representa las siguientes rectas:a) f(x) 3x 1 d) f(x) 4

b) f(x) 2x 1 e) f(x) 2x

c) f(x) x f) f(x) x 1

Qu son las ecuaciones lineales y cmo se representan sus soluciones.

8 Representa las soluciones de las siguientes ecuaciones:a) y x 3 c) 2x y 1

b) x y 5 d) 6x 2y 4

Cmo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas.

9 Resuelve estos sistemas por el mtodo que preeras. En cada caso indicasi hay solucin nica, innitas soluciones o ninguna solucin.

a) ( 2x y 1x 3y 3

b) ( x 2y 42x 4y 3

c) ( x y 1x y 1

d) ( x 2y 53x y 0

e) ( 3x y 0x y 4

v" v"

v"

v"

12

AB"

AB"

Representacin de rectas

Las funciones lineales son de la formaf(x) mxn. Para representar una recta se obtienen dos puntos y setraza la recta que pasa por ellos.

Ecuaciones lineales

Una ecuacin lineal con dosincgnitas tiene como solucionestodos los puntos de una recta.

Resolucin de sistemas de dosecuaciones lineales con dosincgnitas.

Hay tres mtodos para resolversistemas de dos ecuaciones linealescon dos incgnitas:

Reduccin Igualacin SustitucinLos sistemas de dos ecuacioneslineales con dos incgnitas puedentener una solucin, ninguna solucino infinitas soluciones.

Un vector es un segmentoorientado que tiene un punto origenA y un punto extremo B.

Las coordenadas de un vectorson las coordenadas del extremo A.

Dado un vector , se llama traslacin de vector almovimiento que hace correspondera cada punto P otro punto P de

forma que .t"

t"

PP"

t"

OA"

AB"

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 151

Vectores en el plano. Operaciones

Recuerda que en el curso pasado se utilizaban los vectores para definircon precisin las traslaciones.

Se llama vector fijo a un segmento orientado con origen en A y extremoen B.

Un vector est determinado por tres caractersticas: Mdulo: longitud del segmento. Direccin: direccin de la recta que lo contiene. Sentido: el que va del origen al extremo.

Todos los vectores con el mismo mdulo, direccin y sentido se denomi-nan equipolentes.

Se llama vector libre, , al conjunto de todos los vectores jos equipolen-tes; es decir, con el mismo mdulo, direccin y sentido.

Un vector libre se puede representar en cualquier parte del plano con cualquier origen. Dados dos puntos en el plano, A y B, el vector fijo es un representante del vector libre equipolente a l.

Dado cualquier vector libre y un punto A, siempre podemos representar el vector libre con origen en A.

v"

v"

v"v"

v

A

B

AB"

AB"

1

152 UNIDAD 8152

La siguiente gura representa las posiciones de Sergio antes y despus de realizar un desplazamiento de 3 km en tres casos distintos.

Es suciente esa informacin para saber dnde est Sergio? Qu datos nece-sitas? Expresa con exactitud dnde ha ido Sergio en cada caso. Si se mueve aotro punto que no est en la misma horizontal ni vertical, como en el caso III,necesitamos algn elemento que nos permita identicar el desplazamientocon exactitud.

CASO I CASO II CASO III

posicin 2

posicin 1

posicin 1

posicin 1

posicin 2

posicin 2

Piensa y deduce

T e n e n c u e n t a

, y tienen la misma direccin.

y tienen el mismo sentido.

tiene sentido contrario a y .

y tienen el mismo mdulo.

u"v"

v"

v"

u"w"

w"

w"w"u"

r

v

u

w

s

0S4MTLA_B_2011.08 3/4/12 07:51 P gina 152

Actividades

Di cules de estos vectores tienen el mismo mdulo,cules la misma direccin y cules el mismo sentido:

Indica cul es el nico par de vectores equipolentesde la actividad anterior.

Dibuja un rombo y nombra los vrtices consecutivoscon las letras A, B, C y D. Dibuja y nombra los vectores queresultan al realizar las siguientes operaciones:

a) b) c) d) 2 2

Traza un paralelogramo como el de la gura. Expresa

en funcin de y los siguientes vectores: , , , ,

, , , , .

Dibuja un pentgono como este.

a) Nombra cinco vectores distintos que tengan comoorigen y extremo los vrtices del pentgono.

b) Expresa el vector como suma de dos vectores.

c) Expresa como suma de tres vectores.

d) Expresa como suma de dos vectores.

e) Expresa como suma de vectores.

f) Expresa como diferencia de dos vectores.

g) Expresa como producto de un vector por un escalar.

h) Expresa el vector nulo como suma de vectores.

Traza tres vectores cuya suma sea el vector nulo.

Qu diferencia hay entre la direccin y el sentido deun vector?

BC"

v"u"

A B

C

D

E

CD"

AB"

A

B

D

C

v

u7

BA"

CD"

AE"

AC"

AD"

AD"

CA"

DB"

BD"

BA"

CD"

AC"

AD"

AB"

AD"

BC"

BC"

BC"

AB"

AB"

A

B

C D G

H

E FJ I K

L O P

N

M

3

2

6

5

4

1

1.1. Operaciones con vectores libres

Suma de vectores libres

Si y , entonces, .

El vector suma, , tiene como origen el origen de y como extremoel extremo de .

Producto de un vector libre por un escalar k

El vector k tiene la misma direccin que y su mdulo se obtiene mul-tiplicando k por el mdulo de , que tiene el mismo sentido si k es positivoy sentido contrario si k es negativo.

Mediante el producto de un vector por un escalar podemos obtener elvector opuesto de , es decir (1) , cuyo mdulo y direccin soniguales que los de y cuyo sentido es contrario al de .

En la figura del margen puedes observar que la suma de vectores es conmutativa. La suma es otro vector , con el mismo origen, repre-sentado por la diagonal del paralelogramo que forman.

Conociendo , podemos restar vectores: ( )Por ejemplo, dados los vectores y , calculamos 2 3 .

v"

u

v3v

2u2u3v

v

u

v

u" v"v"u"

u"u"

w"

w"

u"u"

u"

u"u"

u"

u"u" u"

u"u"u"

v"

v" v"

v"v"

v"v"

u"

AB" u" BC" AC"u" v"


A

B

C

uv

w u v

u

v

u

uv

v

u

v

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 153

Coordenadas de un vector

2.1. Vector de posicin de un punto Dado un punto A, se llama vector de posicin de A al vector , que

une el origen de coordenadas, (0, 0), con el punto A y tiene las mismas coordenadas que A.

2.2. Coordenadas de un vectorObserva en la siguiente figura que el

vector se calcula restando a las coor-denadas de B las de A.Por ejemplo, si A (2, 1) y B (5, 3), elvector que va de A a B es:

(52, 31) (3, 2)

Dados los puntos A (a1, a2) y B (b1, b2), las coordenadas del vector seobtienen restando a las coordenadas del punto B las coordenadas del punto A.

(b1a1, b2a2)

2.3. Operaciones con vectores mediante sus coordenadas

Suma de vectores

(u1, u2) (v1, v2) (u1 v1, u2 v2) Producto de un vector por un escalar

k k (u1, u2) (ku1, ku2) Diferencia de vectores

( ) (u1, u2) (v1, v2) (u1 v1, u2 v2)

v"

w" u" v" u" v"

u"

w" u" v"

AB"

AB"

AB"

AB"

OA"

2

154 UNIDAD 8154

Volvemos al cambio de posicin de Sergio.Segn la figura, en el caso I se ha despla-zado 5 unidades hacia arriba.

Conocemos los puntos en los que estantes y despus de desplazarse. Sabesidenticar mediante coordenadas losmovimientos que hace en los tres casos?

Piensa y deduce

T e n e n c u e n t a

Un vector libre con origen en (0, 0)tiene las mismas coordenadas que elpunto de su extremo.

v"

O X

Y

1

1

A (5, 4)

v(5, 4)

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Halla las coordenadas del vector en el que A (3, 5) y B (6, 3).

(63, 35) (3, 2)

O X

Y

1

1

v

u

AB

A (3, 5)

B (6, 3)AB"

AB"

O b s e r v a

El vector k tiene la misma direccin que . Sus coordenadas sonproporcionales.

v"

u"u"

O X

Y

1

1u (2, 3)

v (4, 6) (2 (2), 2 3) 2u

O b s e r v a

El vector nulo, , es aquel en el que el extremo y el origen coinciden. Sus

coordenadas son (0, 0).0"

0"

O X

Y

1

1(2, 1)

(2, 6)

(5, 4) (9, 4)

(14, 2)

(11, 6)CASO I CASO II CASO III

O X

Y

1

1

v

u

B (b1, b2)

ABb1 a1

b2

a2

A (a1, a2)

0S4MTLA_B_2011.08 15/3/12 12:25 P gina 154



2 Dados (1, 5) y (3, 2), realiza estas operaciones:a) (1, 5) (3, 2) (13, 5 (2)) (4, 3)

b) (1, 5) (3, 2) (13, 5 (2)) (2, 7)

c) 5 5 (1, 5) (5 1, 5 5) (5, 25)

d) 3 (3) (3, 2) ((3) 3, (3) (2)) (9, 6)

e) 3 5 3 (1, 5)5 (3, 2) (3, 15) (15, 10) (12, 25)

f) 0 (1, 5)0 (3, 2) (1, 5) (0, 0) (1, 5)v"u"v"u"

v"u"

v"u"v"u"

v"u"

Actividades

Dados los puntos A(2, 3), B(4, 1), C(1, 2) y D(2, 3),halla las coordenadas del vector indicado en cada caso yrepresntalo en unos ejes de coordenadas:

a) b) c) d) e)

Halla las coordenadas de los siguientes vectores:

Representa en unos ejes coordenados los vectoresque verifican las condiciones indicadas en cada caso:

a) Su origen es el punto A(2, 5), y su extremo, B(1, 3).

b) Sus coordenadas son (5, 2), y su origen, A(3, 3).

c) Sus coordenadas son (3, 1), y su extremo, B(2, 0).

Dibuja cinco vectores equipolentes al vector cuyosorgenes sean, respectivamente, los puntos C, D, E, F y G.Cules son las coordenadas de todos estos vectores? Hallalas coordenadas de su extremo.

Representa en unos ejes coordenados los vectoresque verifican las condiciones indicadas en cada caso:

a) (2, 3) c) (3, 1) e) (4, 0)

b) (2, 3) d) (2, 5) f) (0, 2)

Determina las coordenadas de los siguientes vectorese indica cules representan el mismo vector libre:

Dados (2, 3), (5, 2) y (2, 4), opera:

a) d) 3 g) 2

b) e) h) 3( 2 )

c) f) 3 2 i) ( )

Indica si los vectores dados en cada apartado tienenla misma direccin. Comprueba tus respuestas representn-dolos grficamente.

a) (2, 3), (6, 9) d) (4, 6), (10, 15)

b) (1, 5), (2, 10) e) (6, 2), (2, 1)

c) (4, 7), (5, 8) f) (0, 8), (0, 9)

Cmo son entre s las coordenadas de dos vectoresequipolentes?

Cules son las coordenadas del vector nulo?

Cules son las coordenadas de un vector cuyo origenes el origen de coordenadas y cuyo extremo es un puntocualquiera, P(a1, a2)?

f"

d"

c" e"

b"

a"

u"

u"

u"u"

u"

u"

u" u"

u"

u"

u"

u"

u"

u"

u"

u"

v"

v"

v"v"

v"

v"

v"

v"

v"

v"

v"

v"

w"

w"

w"w"

w"

1 2 3 4O

Y

X12

2

123

6

5 6 734

3

54

C

D

G

O

K

K

L

PA B

HFE

I

J

M

N

18

17

16

15

14

12

1 2 3 4O

Y

X12

2

123

6

34

3

54

F

A

B

G

C

D

E

5

AB"

11

CA"

DC"

BC"

AD"

AB"

1 2 3 4O

Y

X12

2

123

6

5 734

34

54

5

A

B

CD E

F

J

IK

L

G

H

10

913

8

0S4MTLA_B_2011.08 15/3/12 12:26 P gina 155

Aplicaciones de los vectores

3.1. Mdulo de un vector

El mdulo de un vector (u1, u2) corresponde a su longitud:

3.2. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento que los une;

es decir, el mdulo del vector .

d(A, B)

3.3. Punto medio de un segmento

Dado un segmento AB, con A (a1, a2) y B (b1, b2), las coordenadas del punto medio de AB son:

M

u"

u"

a1 b12 ,a2 b2

2

AB" (b1 a1)2 (b2 a2)2AB"

u21 u22

3

156 UNIDAD 8156

O X

Y

u (u1, u2)

u1

u2

O X

Y

1

1

A

B

d

Cul es la longitud del vector de la figura del margen? Observa que el vector es la hipotenusa del tringulo rectngulo.

Relaciona las coordenadas de con su longitud. Qu relacin hay si aplica-mos el teorema de Pitgoras a este tringulo rectngulo?

u"

u"Piensa y deduce

Dados A y B en el plano, cuntos vectores podemos dibujar con origen oextremo en uno de ellos? Podramos usar esos vectores para hallar la distancia

entre A y B? Qu relacin hay entre d y ?AB"

Piensa y deduce


3 Calcula el mdulo del vector (3, 5). unidades uu" 34349 25(3)2 52

u"


4 Calcula la distancia entre los puntos A (4, 3) y B (1, 3).d(A, B) u61(5)2 62(1 4)2 (3 (3))2AB"


5 Sean A (5, 4) y B (3, 2). Halla el punto medio, M.

M (4, 3)82 , 625 (3)2 , 4 22

O b s e r v a

Si M es el punto medio entre A y B,entonces B es el punto simtrico de Arespecto de M.

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 156

3.4. Relacin entre las coordenadas de tres puntosalineados

Si los puntos A (a1, a2), B (b1, b2) y C (c1, c2) estn alineados, entonces suscoordenadas cumplen estas proporciones:

Y recprocamente, es decir, si sus coordenadas verifican estas proporciones,los puntos estn alineados.

b2 a2b1 a1

c2 a2c1 a1

b2 a2c2 a2

b1 a1c1 a1


Supongamos que los puntos A (a1, a2), B (b1, b2) y C (c1, c2) estn alineados

como en la gura del margen. Qu tienen en comn los vectores , , y ? Qu operacin nos permite obtener vectores con la misma direccin a partirde uno dado?

Cmo son las coordenadas de los vectores que se obtienen multiplicando unmismo vector por un escalar?

BC"

AC"

AB"

Piensa y deduce

O X

Y

1

1

A

C

B


6 Comprueba, haciendo los clculos correspondientes, si los puntosA (1, 3), B (2, 6) y C (1, 5) estn alineados.

Hacemos las proporciones correspondientes:

Luego los puntos A, B y C no estn alineados.

31

2

2

c2 a2c1 a1

2

2b2 a2b1 a1

31

Actividades

Calcula el mdulo de los siguientes vectores:

a) (2, 5) c) (2, 4) e) (3, 3)

b) (1, 3) d) (0, 6) f) (4, 0)

Halla la longitud de los vectores representados:

Dados los puntos A(2, 3), B(2, 3) y C(5, 1), calcula:

a) b) c) d)

Dados los puntos A(0, 6), B(2, 5) y C(3, 1), halla:

a) d(A, B) b) d(A, C ) c) d(B, C )

Halla en cada caso las coordenadas del punto mediodel segmento AB. Comprueba grficamente los resultados.

a) A(1, 3), B(3, 5) c) A(5, 0), B(2, 4)

b) A(2, 3), B(5, 1) d) A(0, 0), B(7, 0)

Calcula las coordenadas del punto Q, si M es en cadacaso el punto medio del segmento PQ:

a) P(3, 2), M(5, 5) c) P(2, 4), M(0, 0)

b) P(5, 1), M d) P , M(3, 2)

Demuestra que el tringulo de vrtices A(2, 1),B(4, 2) y C(6, 2) es rectngulo. (Ayuda: un tringulo es rec-tngulo si sus lados cumplen el teorema de Pitgoras.)

Cmo son los mdulos de los vectores opuestos?

Estudia si estos puntos estn alineados:

a) A (1, 5), B (2, 6), C (4, 7)

b) A (6, 2), B (3, 5), C (9, 1)

Halla un punto alineado con A(1, 2) y B(6, 4).

f"

e"

d"

c"

b"

a"

28

27

26

83,5212,

32

24

BC"AC"AB" CA"

1 2 3 4O

Y

X12

2

123

6

5 734

54

25

22

21

23

20

19

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 157

Ecuaciones de la recta

La ecuacin de una recta r es una ecuacin que verifican todos los puntosde r y ninguno ms.

Para determinar una recta, r, es necesario conocer:

Un punto P que pertenezca a r.

Un vector que sea paralelo a r ( se llama vector director o vector dedireccin de r).

Veamos las diferentes formas en las que se puede presentar la ecuacinde una recta.

4.1. Ecuacin vectorial de una rectaTenemos una recta r de la que conocemos un punto P que pertenece a

ella (se escribe de la forma P r) y un vector director, , de r. Sea X un puntocualquiera de r.

En la figura del margen, nos damos cuenta de que cualquier punto, X, de rverifica que es paralelo a ; es decir, t . Como , enfuncin de los vectores de posicin de P y X obtendremos t .

Para obtener los puntos de la recta hay que hacer variar el parmetro t entodos los nmeros reales.

Ecuacin vectorial: t , con t

4.2. Ecuaciones paramtricas de una recta

Cuando en la ecuacin t sustituimos los vectores por suscoordenadas, obtenemos esta ecuacin:

(x, y) (p1, p2) t(u1, u2) & (x, y) (p1 tu1, p2 tu2)Igualamos la x con la primera coordenada y la y con la segunda.

Ecuaciones paramtricas:xp1 tu1 3 con t yp2 tu2

u"

u"

u"u"u"

u"

u"u"

OX"

OP"

OX" OP"OX" OP"PX" PX" PX"

4

OX" OP"

158 UNIDAD 8158

Todos los puntos de una recta r estn alineados. Todos los vectores de r tienen la misma direccin. Si llamamos a un vector en la recta r, sern vectores de la recta los vectores 2 y ? Si P y Q son dos puntos de la recta, qu relacin

habr entre y ?u"u"u"

u"

PQ"

Observa y resue lve

Tenemos una recta con vector director (3, 1) que pasa por P (2, 4).Encuentra dos puntos, Q y S, de la recta haciendo que el parmetro valga t 1y t 2 en la ecuacin vectorial. Para cada valor del parmetro t obtenemos lascoordenadas de un punto.

u"Observa y resue lve

R e c u e r d a

Las coordenadas de X(x1, x2) coincidencon las coordenadas de su vector de

posicin (x1, x2).OX"

O X

Y

1

1

P

u

2uu

Q

O X

Y

P

X

uPX

OXOPr

uA

r

O X

Y

1

1

Q

S

P (2, 4)

u (3, 1)

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 158

4.3. Ecuacin continua de una rectaDespejamos t en las dos ecuaciones paramtricas de la recta:

t t

Como el valor de t tiene que ser el mismo, se igualan los valores obtenidos.

Ecuacin continua: y p2

u2

x p1u1

y p2u2

x p1u1



7 Escribe las ecuaciones paramtricas de r, que pasa por P (1, 2) y tiene por vector director (3, 5). Halla dos puntos ms de r.

x 1 t (3) 3 & x 1 3t 3y 2 t (5) y 2 5t

Para t 3, x 1 9 10; y 2 15 13; obtenemos B (10, 13).

Para t 1, x 1 3 4; y 2 5 3; obtenemos C (4, 3).

u"


8 Halla el vector director de r y calcula dos puntos de ella.

r y4

Las coordenadas del vector director, , corresponden a los denominadores de las fracciones; es decir, (u1, u2) (3, 1). Un punto por el que pasa es P (1, 4), que hace cero los numeradores.

Para hallar otro punto, sumamos el vector a las coordenadas de P:

Q (1, 4) (3, 1) (4, 3)

x 13

u"

u"

u"

Actividades

Calcula la ecuacin vectorial de cada recta:

a) A(1, 3), (2, 1) c) A(0, 0), (2, 4)

b) A(2, 5), (3, 6) d) A(1, 0), (3, 0)

Determina en cada caso las ecuaciones paramtricasde la recta que pasa por A y tiene la direccin de :

a) A(2, 3), (4, 1) c) A(2, 1), (3, 0)

b) A(3, 1), (2, 7) d) A(6, 8), (1, 5)

Halla las ecuaciones continua y vectorial de las rectasdel ejercicio anterior.

Estudia si P(1, 0), Q(3, 2) y O(0, 0) estn en alguna deestas rectas. Indica un punto y un vector director.

a) (2, 1) t(1, 3) c)

Las siguientes ecuaciones estn en forma continua.Qu nmero divide a los miembros de la igualdad? Indicaun vector director.

a) x 3 c) y 6

b) x d) x 8 y 4

Indica, razonadamente, si estas son ecuaciones deuna recta en forma continua. En caso contrario, escrbelasen forma continua.

a) c)

b) d)

y

2

v"

v"

v"v"v"

u"u"

u"u"

x 513

y 1

25

x 135

3y 2

2

2x 32

y 1

5x 5

3

y 2

1

x 12

y 2

2

OX" x 2

5

y 3

2

34

30

33

32

31

29

b)x 1 y 4t

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 159

4.4. Ecuacin general o implcita de una rectaComo la ecuacin continua de la recta nos muestra una igualdad entre

dos fracciones, sus productos cruzados son iguales. Al realizar la operacinobtenemos la siguiente expresin:

u2(x p1) u1(y p2) & u2x u2p1 u1y u1p2 && u2x u1y u2p1 u1p2 & u2x u1y (u2p1 u1p2) 0

Llamamos: A al coeficiente de x: A u2 B al coeficiente de y: B u1 C al trmino independiente: C u1p2 u2p1

Ecuacin general o implcita: AxByC0

Es importante poder encontrar lo ms fcilmente posible las coordenadasdel vector director de una recta a partir de cualquier ecuacin.

En las ecuaciones vectorial, paramtricas y continua, las coordenadas delvector director se identifican a primera vista, pero no ocurre lo mismo en elcaso de la ecuacin implcita.

El vector director de la ecuacin implcita Ax By C 0 es:

(B, A)u"

160 UNIDAD 8160


9 Determina la ecuacin general de la recta r que pasa por el punto P (3, 0) y cuyo vector director es (1, 2). Represntala.

Como el vector director es (1, 2) (B, A), entonces los coecientes A y B de la ecuacin general son:

1 B & B 1; A 2

Sustituimos A y B en la ecuacin general:

2x 1y C 0

Si pasa por el punto P (3, 0), sus coordenadas deben vericar la ecuacin.Para ello, sustituimos, en la ecuacin, x e y por las coordenadas de Py obtenemos:

2 3 1 0 C 0 & 6 0 C 0 & C 6

La ecuacin general de la recta que buscamos es:

2x y 6 0

La representacin de la recta es la que ves en la gura del margen.

10 Encuentra un punto y el vector director de la recta cuya ecuacingeneral es 3x2y10.

A partir de los coecientes de la ecuacin calculamos el vector director de la recta:

A 3; B 2 & (B, A) ((2), 3) (2, 3)

Para calcular un punto de la recta, damos un valor cualquiera a x y calculamosla variable y. Elegimos x 1 y sustituimos en la ecuacin:

3 1 2y 1 0 & 2y 1 3 & 2y 4 & y 2

La recta pasa por el punto P (1, 2).

v"

u"

u"

O X

Y

1

1

v (1, 2)

P (3, 0)

r

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 160

4.5. Ecuacin explcita de una recta

Si B 0, podemos despejar y en la ecuacin general de la recta y obtenemosesta otra ecuacin:

y x

Ecuacin explcita: ymxn

Recuerda que en la recta y mx n, el parmetro m es la pendiente y nes la ordenada en el origen (el punto de corte de la recta con el eje Y).

A partir de la pendiente de una recta, podemos encontrar un vectordirector de la misma: (u1, u2) (B, A).

m

La pendiente, m, es el cociente entre la segunda y la primera coordenadadel vector director de la recta.

u"

O X

Y

u (u 1, u 2)

u1

u2

P m u2u1r

u2u1

u2u1

AB

CB

AB


En las ecuaciones de rectas que manejamos en 3. de ESO, aparece la coorde-nada y despejada en un miembro de la ecuacin. Cmo podemos pasar de laecuacin general a una ecuacin como las del curso pasado? Recuerda que nose puede dividir entre cero. Se puede despejar y en cualquier ecuacin general?

Piensa y deduce

Para calcular la pendiente hay que hacer un cociente. Qu ocurre si la primeracoordenada del vector director, u1, es 0? Es posible en ese caso encontrar la ecuacin explcita de la recta? Cmo son los vectores cuya primera coorde-nada es cero? Qu rectas no tiene ecuacin explcita?

Piensa y deduce


11 Encuentra la ecuacin explcita de una recta r que pasa por el puntoP (2, 1) y tiene por vector director (5, 2).

Como m , la ecuacin es y x n.

La recta pasa por P, luego, para hallar el valor de n, sustituimos lascoordenadas de P en la ecuacin:

1 2 n & n 1

Por tanto, r: y x

u"

25

95

95

45

25

25

25

u2u1

Actividades

Escribe las ecuaciones impl-cita y explcita de estas rectas:

a) d)

b) e) y 1

c) f) x 5

Determina las ecuaciones implcita y explcita de las rectas quecumplen lo siguiente:

a) Pasa por A(3, 6) y su vectordirector es (2, 1).

b) Pasa por A(2, 1) y B(5, 4).

c) Pasa por A(0, 5), y su pendientees m 3.

d) Sus ecuaciones paramtricas son

) x 5 2ty 6 t

Di si estos puntos pertenecena la recta 5x 2y 3 0:

a) A(2, 5) d) D(1, 4)

b) B(1, 1) e) E(3, 6)

c) C(1, 4) f) F(5, 11)

Estudia si A(1, 0), B(2, 6),

C y D pertene-

cen a cada una de estas rectas:

a) 2x3y10 c) 7x5y70

b) y 5x 4 d) y 2

Calcula tres puntos de cadauna de las siguientes rectas:

a) 2x y 5 0 c) x 7y 2 0

b) y x 2 d) y

Escribe un punto y un vectorde estas rectas:

a) 2xy20 d) 3xy0

b) 2x4y50 e) x 2y 4 0

c) xy 10 f) 2x3y10

Determina la pendiente de lassiguientes rectas:

a) y 3x 1 c) y 2x 1 0

b) y x 5 d) 2x y 1

41

40

u"

x 32

1, 133, 12

x2

y 3

2

39

38

37

36

x 43

y 1

1

x3

x 15

y 3

2

x 53

y 2

4x 3

2

y 4

3

35

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 161

4.6. Ecuacin punto-pendiente de una recta

Para obtener la ecuacin de la recta en la que aparecen el punto por el quepasa y su pendiente, volvemos a la ecuacin continua de la recta:

& y p2 (x p1), pero m

Ecuacin punto-pendiente: yp2m (xp1)

4.7. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

y p2u2

x p1u1

u2u1

u2u1

162 UNIDAD 8162

A partir de la pendiente de una recta podemos encontrar sin dicultad su vectordirector. Pero si conocemos el vector director, podemos encontrar siempre lapendiente de la recta? Con qu vectores no se puede?

Escribe la pendiente de la recta que tiene por vector director (3, 1). Encuentraun vector director de la recta cuya pendiente es m 2.

u"

Observa y resue lve


12 Escribe la ecuacin punto-pendiente de una recta que pasa porP (1, 4) y tiene por vector director (2, 6).

m 3 & y 4 (3) (x (1)) & y 4 (3) (x 1)

13 Identifica la pendiente, un vector director y un punto por el que pasa la siguiente recta:

y2 (x1)

Punto: P (1, 2); pendiente: m ; vector director: (3, 4).u"

43

43

62

u"

Cuntas rectas pasan por dos puntos? Dados dos puntos P y Q de la siguientegura, encuentra un vector que tenga la misma direccin que la recta que losune.

Calcula las coordenadas del vector . A partir de ellas halla la pendiente de larecta. Escribe la ecuacin punto-pendiente de la recta r que pasa por P y tiene por vector director . Escribe la ecuacin de la recta s que pasa por Q con vector director . Cmo son r y s? Podemos encontrar la ecuacin de unarecta si nos dan dos puntos por los que pasa?

O X

Y

1

1P(1, 1)

Q(4, 3)

PQ

PQ"

PQ"

PQ"

Piensa y deduce

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 162

Dada una recta, r, que pasa por P (p1, p2) y Q (q1, q2), y tiene por vectordirector (q1 p1, q2 p2). Calculamos la pendiente de r y escribimos laecuacin punto-pendiente con uno de los puntos.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos:

yp2 (xp1)q2 p2q1 p1

PQ"



14 Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P (2, 3) y Q (1, 6).

y (3) (x 2) & y 3 9(x 2)

15 Representa la recta que pasa por los puntos P (1, 2) y Q (0, 3).Encuentra su ecuacin.

Para representarla dibujamos los dos puntos y la recta que pasa por ellos.Puedes ver la representacin en el margen.

Su ecuacin es y 3 (x 0) & y 3 1 x & y 3 x.

16 Escribe la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P (1, 4) y Q (2, 4).

y 4 (x 1) & y 4 0 & y 44 4

2 1

3 20 (1)

6 (3)

1 2

O X

Y

PQP(p1, p2)

Q(q1, q2)

q1 p1

q2 p2

m q2 p2q1 p1

r

O X

Y

1

1

P (1, 2)

Q (0, 3)

r

Actividades

Escribe las ecuaciones punto-pendiente de cada unade estas rectas:

a) (A, ), donde A(2, 1) y (3, 2).

b) Pasa por P(5, 3) y Q(2, 8).

c) Pasa por A(0, 0) y tiene por pendiente m 5/2.

d) Pasa por A(2, 1) y B(3, 2).

Escribe todas las formas de la ecuacin de la recta quepasa por P (7, 0) y tiene vector de direccin (5, 2).

Representa la recta que pasa por P (4, 2) y tienependiente m 3. Halla su ecuacin y otro punto de la recta.Represntala.

Halla la ecuacin punto-pendiente estas rectas:

Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por lospuntos P (1, 2) y Q (3, 2).

Los vrtices de un cuadriltero son los puntos P (1, 4),Q (3, 6), R (7, 1) y S (5, 1).

a) Halla las ecuaciones de sus lados.

b) Halla los vectores, , , y . Cmo son? Qucuadriltero es?

Estudia si P (2, 4), Q (4, 3) y R (1, 1) estnalineados. Si no lo estn, halla las ecuaciones de los ladosdel tringulo que forman.

Determina la ecuacin de la altura sobre el lado desigual del siguiente tringulo issceles.

u"

u"u"

O X

Y

1

1

P(2, 4)

R(3, 1)

Q(3, 3)

O X

Y

1

1

r

t

s

QR"

SR"

PS"

PQ"

49

48

47

46

45

44

43

42

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 163

Incidencia y paralelismo de rectas

5.1. Posiciones relativas de dos rectasObserva estas figuras y piensa en la relacin entre sus posiciones relativas

y los vectores dibujados.

fig. I fig. II fig. III

La siguiente tabla nos presenta las posiciones relativas de dos rectas, r ys, y su relacin con los vectores directores y los coeficientes de las ecuacio-nes de las rectas. El smbolo entre dos vectores quiere decir que no sonparalelos, y el smbolo , que s lo son.

Cada recta tiene una ecuacin que verifican todos sus puntos. Encontrarlos puntos de corte de dos rectas es hallar los puntos que verifican a la vez las dos ecuaciones. Para ello, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones.

Dadas las rectas r: Ax By C 0 y s: A'x B'y C' 0, para calcularsus puntos de corte se resuelve un sistema formado por sus dos ecuaciones:

Ax By C 0)A'x B'y C' 0

La siguiente tabla relaciona el tipo de sistema de ecuaciones y la posicinrelativa de las rectas.

O X

Y

sP

Q

v

u

w

r

Q

P

O X

Y

sP

Qv

rP

Qu

w

O X

Y

r

s

PQ

QP

u

v

5

164 UNIDAD 8164

Tipo de sistema de ecuaciones

Sistema compatibledeterminado.

Nmero de soluciones

Posicin relativa de las rectas

Rectas secantes.

Una nica solucin.

Sistema compatibleindeterminado.

Rectas paralelas y coincidentes.

Infinitas soluciones.

Sistemaincompatible.

Rectas paralelas y distintas.

Representacingrfica de las rectas

No hay solucin.

figura I

Posicin relativa

Puntos en comn Tienen un punto en comn.

Rectas secantes.

figura II

No tienen ningn punto en comn.

Rectas paralelas y distintas.

figura III

Tienen infinitos puntos en comn.

Vectores (u1, u2) (v1, v2)v"u" (u1, u2) (v1, v2) (w1, w2)w

"v"u" (u1, u2) (v1, v2) (w1, w2)w"v"u"

Coordenadas de losvectores

v1u1

v2u2

v1u1

v2u2

Coeficientes de la ecuacinimplcita. (B, A)u"

B

B'AA'

CC '

B

B'AA'

CC '

B

B'AA'

Pendientes mm mm

Rectas coincidentes

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:45 P gina 164

Actividades

Estudia la posicin relativa de r y s:

a) r: (x, y) (2, 5) (1, 3)t, s: (x, y) (1, 3) (2, 6)t

b) r: , s:

c)r:

x32ts:

x4ty1 t y22t

d) r: y3x2, s: y x1

e) r:x3y10, s: 2x6y40

f) r: 3x2y30, s: 2x5y10

g) r: , s:

h)r:

x13ts:

x33ty25t y55t

i) r: y x5, s: y x3

Comprueba que r y s tienen la misma direccin. Di,despus, si ambas rectas son coincidentes.

a)r:

x25ts:

x75ty32t y12t

b) r: y3x 2, s: y3x5

c) r: 2x y40, s:4x2y80

d) r: 2x y10, s: 4x2y30

Calcula el valor de a para que las rectas, r y s, que seindican en cada uno de los siguientes apartados tengan lamisma direccin:

a) r: 3x2y40 c) r:

s: 12xay30s:

b) r: y3x6 d) r: y54(x1)s: yax5 s: y2a(x2)

Estudia la posicin relativa de r: 3x y 3 0 y larecta que pasa por P (0, 3) y Q (2, 9).

Encuentra la recta paralela a r: x y 5 0 que pasa por P (1, 1).

Estudia, mentalmente, si las rectas r y s sonsecantes o paralelas:

a) r: A(1, 2), (3, 5) y s: B(2, 3), (1, 2)

b) r: A(5, 4), (2, 1) y s: B(3, 3), (4, 2)

c) r: A(6, 2), (7, 1) y s: B(3, 1), (2, 1)

d) r: A(1, 3), (5, 4) y s: B(2, 8), (4, 5)

Si la pendiente de una recta es m 1/2 y el vector director de otra es (4, 2), cul puede ser la posicinrelativa de ambas? Y si la pendiente de una es m1/2 y el

vector director de la otra es (1, 2)?

13

5412

u"

u"

v"v"

v"v"

u"u"u"

u"

y2

1

y2

5

x46

x13

x71

x75

24

12

y3

4

y5

2

y6

12xa

y3

6x1

2

53

56

55

52

51

50



17 Estudia la posicin relativa de r y s y calcula el punto de corte.

r: ( x1 t s: r: y22t

(1, 2) y (2, 4). Como , las coordenadas no son

proporcionales y, por tanto, r y s son secantes. Calculamos las ecuacionespunto-pendiente de r y s y determinamos el punto de corte.

r: y22(x1) s: y2(x1)

( y2x4 & x , y1 & Punto de corte: Py2x2

18 Estudia la posicin relativa de r: y2x3 y s: 4x2y30.Pasamos r a forma general: 2x y30.

& Por tanto, las rectas son paralelas y distintas.

19 Indica la posicin relativa de r: 6x4y120 y s: 3x2y60.

& Por lo tanto, rectas son paralelas y coincidentes.

32, 1

v"sv"

r

y

4

126

42

63

33

42

21

32

24

12

x 12

O X

Y

1

1

(1, 2)

(1,5, 1)

(1, 0) vr (1, 2)

s

r

vs (2, 4)

O X

Y

1

1

rs

O X

Y

1

1

rs

0S4MTLA_B_2011.08 3/4/12 07:53 P gina 165

166 UNIDAD 8166

ProblemaDados tres puntos no alineados en el plano, P (1, 1), Q (2, 3) y R (1, 4),encuentra los tres paralelogramos que tienen dichos puntos como vrtices.

ResolucinLos paralelogramos tienen los lados paralelos dos a dos y de la misma longitud,luego los vectores que podemos formar con origen y extremo en sus vrtices soniguales dos a dos.

En el paralelogramo PQRS el punto S tiene coordenadas (a, b).

(1, 2); (a 1, b 4) (1, 2)

a 2, b 2 & S (2, 2)


(2, 3); (a 2, b 3) (2, 3)

a 0, b 6 & S (0, 6)


(3, 1); (a 1, b 1) (3, 1)

a 4, b 0 & S (4, 0)

ProblemaEncuentra el vector director de la recta bisectriz (figura del margen) de lassiguientes rectas: r: 4x3y10 y s: y1.

ResolucinVector director de r: (3, 4); vector director de s: (1, 0).

Encontramos vectores paralelos a y con mdulo 1 ( ya tiene mdulo 1).

Sea el vector de mdulo 1 con la misma direccin que . El vector se obtiene

al dividir cada coordenada de entre 5. Es decir, (3/5, 4/5).

Como ves al margen, el vector suma, que es la diagonal del paralelogramo delados y , divide el ngulo por la mitad porque los lados miden lo mismo.

El vector de direccin de la bisectriz es: v"

u"

v"v"u"

u'"

u'"

u'"

u'"

v"

v"

u"u"

u"

85,45

35

1,45

0

u"

PS''"

PS''"

RQ"

QS'"

QS'"

PR"

RS"

RS"

QP"

Interpretar expresiones algebraicas desde el punto de vista geomtrico

Una forma de resolver unproblema es buscar todos

los casos posibles.

Podemos trabajar solo con vectores y suspropiedades geomtricaspara encontrar ecuacionesde rectas o coordenadasde puntos.

Estrategias para resolver problemas

Otros problemas

Halla, usandovectores, las coordena-das de los vrtices dePQR de la gura sabien-do que es semejante al tringulo PQR conrazn r 3.

Halla un vectorde direccin de la bi -sectriz de las rectas r y s representada en rojoen la figura de la de-recha.

O X

Y

1

1

s

r

bisectriz

u (4, 1)

v (2, 2)

21

O X

Y

1

P(1, 1)1

R(1, 3)

R

Q(3, 2)

Q

O X

Y

1

1

P

Q

R

S

S

S

O X

Y

1

1

s

r

O X

Y

1

1

s

r

u

v

u v

bisectri

z

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:45 P gina 166


Vectores en el plano. Operaciones1 Dados los siguientes vectores:

a) Indica cules de ellos representan el mismo vector libre;es decir, son equipolentes.

b) Cules son opuestos?

c) Cules tienen el mismo mdulo y distinta direccin?

d) Cules tienen la misma direccin y distinto sentido?

2 En un pentgono regular se consideran todos los vec-tores que tienen origen en un vrtice cualquiera y extremoen otro vrtice distinto. Es posible encontrar dos vectoresque sean equipolentes?

3 Forma, con los puntos de la figura, un vector que cumplalo que se indica en cada apartado:

a) Equipolente al vector .

b) Representa el mismo vector libre que el vector .

c) Tiene el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo

sentido que .

d) Representa al vector libre opuesto al vector libre repre-

sentado por .

e) Tiene el mismo mdulo, la misma direccin y sentido

contrario al .

4 Dibuja un rombo, nombra sus vrtices consecutivos conlas letras A, B, C y D y traza los siguientes vectores:

a) c)

b) d) 2

5 Son equipolentes los vectores y ? Razona turespuesta.

BA"

AB"

BA"

DB"

DC"

CB"

DC"

AB"

BC"

AB"

ED"

GH"

CB"

HC"

AB"

D

CB

A

H

G F

E

ab

d

e

f

c

6 Realiza grficamente las operaciones indicadas en cadauno de los apartados:

a) 2 b) 3 c) d) 2 3b

7 Teniendo en cuenta que el hexgono de la figura esregular, dibuja y nombra los vectores que resultan al realizarlas siguientes operaciones:

a) d) 2

b) e)

c) f) 3

8 Expresa los resultados de las operaciones indicadas conalgn vector de la siguiente figura:

a) c) e)

b) d) f)

9 Indica en cada apartado cul de las dos representa-ciones grficas es la correcta:

a)

b)

d"

c

II

ab w

II

u

v

v

y

wu

z x

u" v" w"

c

I

ab w

I

u

v

a" b"

c"

a" b"

c" i"

d"

f"

e"a" b

"h"

i"

a" b"

c" d"

e"

a

b

d

h

f

c

g

i

e

v" z" z" x" y"u" w" y" u" v" w" x"u" v" y" x"

a" b"

c"12

b"

c" c" b"

a

b

d

c

Ejercicios y problemas

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:45 P gina 167

168 UNIDAD 8168

10 Dibuja sobre una cuadrcula cuatro vectores cuyasuma sea el vector nulo.

11 Traza sobre una cuadrcula dos vectores cuya sumasea el vector nulo.

12 Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderaso falsas:

a) Si dos vectores tienen la misma direccin y el mismosentido, el mdulo de la suma es igual a la suma de losmdulos.

b) No es posible que la suma de dos vectores sea el vectornulo.

c) El producto de un nmero por un vector, , es otro vectorque tiene la misma direccin y el mismo sentido que elvector inicial .

d) Es posible que la diferencia de dos vectores con distintadireccin sea el vector nulo.

Coordenadas de un vector. Operaciones13 Dados los puntos A(3, 1), B(5, 4), C(2, 3) y D(3, 3), calcula las coordenadas de los siguientes vectores y represntalos en unos ejes coordenados:

a) b) c) d) e)

14 Determina las coordenadas de estos vectores:

15 Representa en unos ejes de coordenadas los vectores (2, 3), (4, 6), (1, 5), (8, 12), (2, 3)

y (8, 12) y contesta las siguientes preguntas:

a) Cmo son las coordenadas de los que tienen la mismadireccin y el mismo sentido?

b) Cmo son las coordenadas de los que tienen la mismadireccin y distinto sentido?

16 Dados los siguientes vectores: (2, 1), (4, 2),

, (2, 1), (10, 5). Indica cules cumplen

lo que se indica en cada apartado:

a) Tienen la misma direccin y el mismo sentido.

b) Tienen la misma direccin y distinto sentido.

c) Tienen distinta direccin.

CB"

AC"

c" 1, 12 d" e"b"

a"

f"

e"d"

c"b"

a"

u"

u"

DA"

BC"

65

41 3 4O

Y

X12

123

34

4

a f

c

e

b

d

5

23

AB"

17 Dado (2, 1), calcula en cada caso las coorde-nadas de dos vectores que cumplen lo que se indica en lossiguientes apartados:

a) Tienen la misma direccin y sentido que .

b) Tienen la misma direccin y distinto sentido que .

c) Tienen distinta direccin que .

18 Calcula en cada uno de los apartados el valor de xpara que los siguientes pares de vectores tengan la mismadireccin:

a) (2, 3) y (6, x)

b) (3, 5) y (9, x)

c) (0, 1) y (x, 5)

d) (5, 2) y (x, 1)

19 Determina en cada caso el valor de x para que lossiguientes vectores tengan la misma direccin:

a) (1, 6), (6, x)

b) (4, 2), (x, 1)

c) (15, x), (6, 4)

d) (x, 8), (16, 1)

20 Dados los puntos P(4, 1) y Q(3, 2), representa en unos ejes coordenados el vector y dibuja cuatro vectores

equipolentes a cuyos orgenes sean A(1, 1), B(0, 0),C(5, 3) y D(0, 4).

21 Facilitados los siguientes puntos A(2, 5), B(1, 3) yC(3, 6), calcula las coordenadas del punto P para que lospares de vectores indicados en cada uno de los apartadossean equipolentes:

a) y

b) y

c) y

d) y

22 Calcula lo que se indica en cada uno de los siguientesapartados:

a) A si (7, 4) y B(5, 3).

b) B si (2, 1) y A(3, 2).

c) si es equipolente al vector (6, 1).

d) B si A(2, 0) y es equipolente a (4, 4).

e) A si B(3, 2) y es equipolente a (1, 1).

f) B si A(0, 0) y es equipolente a (4, 2).

g) A si B(1, 1) y es equipolente a .0"

AP"

BC"

BA"

CD"

AB"

v"

u"

u"

u"

u"

v"

v"

v"

v"

m" n"

u"

d"

b"

u"

u"

u"

u"

c"

a"

AB"

CD"

AB"

CB"

AB"

AB"

CD"

AB"

AB"

AC"

PB"

AB"

CP"

CA"

BP"

PQ"

PQ"


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 168


23 Dados los vectores , y , calcula las coordenadasde los vectores resultantes de las operaciones indicadas ycomprueba los resultados grficamente:

a) d)

b) e) 2

c) 2 3 f) 2( )

24 Dados los vectores , y

(2, 6), calcula:

a) d) 3 2 g)

b) e) h) 3 2

c) 5 f) 2( ) i) 5( ) 2

25 Estudia en cada caso si uniendo consecutivamentelos puntos A, B, C y D se forma un paralelogramo:

a) A(2, 1), B(4, 2), C(0, 1), D(2, 2)

b) A(3, 2), B(1, 4), C(2, 2), D(1, 1)

26 Determina en cada uno de los siguientes apartadoslas coordenadas del punto D de forma que los puntos A(2, 2), B(3, 2), C(1, 4) y D, determinen los vrtices deun paralelogramo.

a) El vrtice D es el opuesto del vrtice B.

b) El vrtice D es el opuesto del vrtice C.

Problemas de geometra analtica

27 Calcula el mdulo de los vectores , , y de lasiguiente figura:

28 Calcula el mdulo de las siguientes expresiones si

sabemos que (3, 6), (2, 3) y :

a) c)

b) 2 d) u" v" w"w"v"u"u" v"

u" v" w"12,35

2 3 4O

Y

X12

1234

5

uv

w

w"v"u"

2 3 4O

Y

X12

123

3

4

5

a

c

b

d

a" b"

c" d"

u" u" v" u" v" w"v" u" u" v" w" u" v" w"u" v" v" u" u" v" w"

w"u" 5, 13 v" 2, 23

u" v" v" w"v" w" w" u" v"

u" v"12

u"12

v"

Ejercicios y problemas29 Calcula en cada caso los valores de x para que elmdulo del vector sea el indicado:

a) (2, x), 5 u

b) (x, 3), u

c) (20, x), 841 u

d) (x, 0), 3 u

30 Calcula la distancia de los puntos A, B, C, D y E alpunto P(3, 1):

31 Calcula en cada caso los valores de x para que la dis-tancia entre los puntos A y B sea la indicada:

a) A(2, 5), B(x, 1), d(A, B) 5 u

b) A(8, x), B(4, 5), d(A, B) 13 u

32 Demuestra que los puntos A(2, 3), B(5, 0) y C(1, 0) pertenecen a una circunferencia de centro P(2, 0) y determinael radio de dicha circunferencia.

33 Calcula en cada caso las coordenadas del puntomedio del segmento AB:

a) A(1, 3), B(3, 5)

b) A(2, 8), B(1, 5)

c) A(7, 1), B(2, 7)

d) A(7, 1), B(2, 7)

34 Representa grficamente el paralelogramo cuyosvrtices consecutivos son A(2, 0), B(1, 4), C(3, 2) y D(2, 2). Calcula su permetro.

35 Dado el tringulo de vrtices A(1, 3), B(2, 1) y C(2, 1), calcula:

a) Las coordenadas de los vrtices del tringulo que se formaal unir los puntos medios de los lados del tringulo ABC.

b) La longitud de los lados de los dos tringulos.

36 Comprueba que las diagonales del paralelogramocuyos vrtices consecutivos son A(3, 1), B(4, 1), C(0, 2) y D(1, 0) se cortan en sus puntos medios.

37 Si A(2, 3), B(3, 1) y C(5, 4) son tres vrtices consecutivos de un paralelogramo, calcula las coordenadasdel cuarto vrtice.

54

2

O

Y

X12

123

3

A

B

C

D1

E

3 445

34

u" u"

u" u"

u" u" 13

u" u"

u"

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 169

170 UNIDAD 8170

38 Escribe las coordenadas de los puntos que dividenestos segmentos en otros dos iguales:

39 Comprueba en cada caso si el tringulo ABC es rectngulo. Calcula su permetro y su rea.

a) A(4, 3), B(2, 2), C(5, 3)

b) A(0, 2), B(4, 6), C(7, 5)

40 Halla las coordenadas de M si el punto simtrico deA(5, 2) respecto de M es B(3, 4).

41 Dados los puntos A(1, 2) y B(2, 1), halla las coordenadas del punto simtrico:

a) De A respecto de B.

b) De B respecto de A.

42 Determina en cada caso si el tringulo ABC es equiltero, issceles o escaleno:

a) A(3, 2), B(3, 2), C(5, 5)

b) A(1, 3), B(6, 8), C(2, 4)

c) A(3, 0), B(3, 0), C(0, )

43 Consideremos el cuadriltero cuyos vrtices consecutivos son A(4, 4), B(1, 9), C(2, 2) y D(3, 3):

a) Qu clase de cuadriltero es?

b) Calcula las longitudes de sus lados y de sus diagonales.

c) Halla las coordenadas del punto de interseccin de dichasdiagonales.

44 Calcula las longitudes de los segmentos interioresde las medianas del tringulo de vrtices A(3, 1), B(1, 2)y C(4, 2).

45 Estudia en cada caso si los puntos P, Q y R estn alineados:

a) P (2, 4), Q (5, 2), R (3, 2)

b) P (1, 0), Q (2, 1), R (3, 2)

46 Estudia si estos puntos forman un tringulo:P (1, 1), Q (2, 0), R (3, 3)

47 Encuentra un punto que est alineado con los puntosP (2, 4) y Q (3, 1).

27

541 2 3O

Y

X12

123

345 6

45

234

I

II

III

IV

Ecuaciones de la recta48 Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de larecta que tiene la determinacin lineal que se indica encada apartado:

a) A(3, 1), (1,2) c) A(0, 3), (5, 1)

b) A(2, 3), (6, 3) d) A(0, 0), (1, 4)

49 Expresa cada una de las siguientes ecuaciones detodas las formas posibles:

a) x 3 ty 2 2tb) y 5x 1

c)

d) y 5 2(x 1)

50 Determina un punto, un vector y la pendiente decada una de las rectas:

a) y 5x 2 d) (x, y) (3, 0) (0, 2)t

b) 3x 2y 5 0 e) y 1 (x 3)

c) x 3 2t f)y 2 t51 Encuentra tres puntos, un vector y la pendiente de lassiguientes rectas y despus escribe sus ecuaciones:

a) El eje de abscisas.

b) El eje de ordenadas.

c) La bisectriz del primer cuadrante.

d) La bisectriz del segundo cuadrante.

52 Estudia cules de las siguientes rectas tienen la mismapendiente:

a) 3x 2y 4 0 d) 3x 2y 5 0

b) 3x 2y 3 0 e) 6x 4y 1 0

c) y x 5 f) y x 2

53 Halla la ecuacin punto-pendiente de la recta quepasa por A(3, 2) y forma con el semieje positivo de abscisasel ngulo que se indica en cada caso:

a) 150 b) 45 c) 120 d) 135

54 Los puntos A(2, 4), B(3, 1) y C(2, 1) son los vr-tices de un tringulo. Calcula las ecuaciones paramtricasde las rectas que contienen a sus lados.

55 Halla la ecuacin punto-pendiente de la recta quepasa por el punto A(5, 2) y tiene la misma direccin que la

recta .x 2

3

y 1

2

u"

u"u"

u"

64

32

x 32

y 1

1

25

x 15

y 3

2


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 170


56 Escribe la ecuacin continua de la recta que pasapor el origen y tiene la misma pendiente que la recta5x 2y 1 0.

57 Calcula la ecuacin explcita de la recta que pasa por A(1, 1) y tiene la misma direccin que la bisectriz del primer cuadrante.

58 Estudia si las siguientes rectas se pueden expresaren forma continua:

a) x 2y 1 0

b) 2x 3 0

c) x 5 t y 359 Indica si el punto A pertenece a la recta r:a) A(2, 1), r: 2x 7y 3 0

b) A(2, 1), r:

c) A(37, 22), r: x 3 5t, y 2 3t

d) A(5, 20), r: y 6x 10

60 Encuentra tres puntos de cada una de las siguientesrectas:

a) c) x 2 3t y 1 2tb) 2x 2y 3 0 d) y 5x 1

61 Dada la recta x 2 5t, y 3 2t, determina los puntos que se obtienen para el valor del parmetro indicadoen cada caso:

a) t 0 c) t 5

b) t 2 d) t 4

62 Determina a cules de las siguientes rectas perteneceel punto (0, 0):

a) 5x 2y 3 0 c) 3x 2y 1 0

b) x 7y 0 d) 6x 5y 0

63 Halla en cada caso la ecuacin de la recta que pasapor A y B y estudia si el punto C pertenece a dicha recta:

a) A(2, 5), B(1, 0), C(3, 2)

b) A(0, 1), B(1, 2), C(1, 4)

64 Calcula el valor de k para que se verifique lo que seindica en cada caso:

a) A(2, k) pertenece a la recta que pasa por los puntos B(1, 1)y C(2, 4).

b) A(k, 1) pertenece a la recta .

c) A(k, 4) est alineado con B(4, 2) y C(1, 3).

d) A(9, k) pertenece a la recta x 5y 1 0.

x 28

y 1

2

x 52

y 3

1

x 25

y 1

3

65 Escribe la ordenada en el origen de estas rectas:a) y 3x 2 c) y 5x 4

b) y x 5 d) y x 3

66 Determina la ecuacin explcita de la recta cuyapendiente es m y cuya ordenada en el origen es b:

a) m 5, b 3 c) m 0, b 4

b) m , b 0 d) m , b 1

67 Determina cules de las siguientes rectas son paralelasa los ejes de coordenadas. Se pueden expresar en formacontinua?

a) (x, y) (2, 3) (1, 0)t d) x 4 0

b) x 3 e) x 5 2t y 2 t y 7c) y 3 f) (x, y) (1, 2) (0, 3)t

68 Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por lospuntos P (2, 2) y Q (2, 6).

69 Halla las ecuaciones de estas rectas:

70 Halla la ecuacin de la recta paralela a la bisectrizdel segundo y cuarto cuadrante que pasa por el puntoP (2, 0).

71 Halla las ecuaciones de estas rectas:

72 Determina la ecuacin de la recta paralela a la bisectrizdel primer y tercer cuadrante que pasa por el punto P (1, 1).

O X

Y

1

1

r

s

tu

O X

Y

1

1

r

s

t u

12

12

73


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 171

172 UNIDAD 8172

Incidencia y paralelismo de rectas73 Dada la recta r: x 3y 1, encuentra un punto de r.Estudia si P (1, 2) pertenece a r.

74 Estudia la posicin relativa de los siguientes pares de rectas y comprueba el resultado grficamente. Calcula el punto de interseccin de las que sean secantes.

a) r: 5x 3y 2 0 s: 2x y 1 0

b) r: y 3x 1 s:

c) r: x 1 (y 3)s:

x 3 3ty 2t

d)r:

x 3 2t s: x 2y 3 0y 5 t75 Estudia la posicin relativa de la recta r: 2x y 3 0 y la recta que pasa por los puntos P (1, 3) y Q (2 ,5).

76 Encuentra la recta paralela a r: 2x 3y 1 0 quepasa por P (1, 3).

77 Determina la posicin relativa de dos rectas, r y s, quetienen:

a) Dos puntos en comn.

b) Un punto en comn y distinta pendiente.

c) La misma pendiente y distinta ordenada en el origen.

78 Dada la recta r: 2x y 7 0, escribe las ecuacionesde dos rectas paralelas a ella.

79 Halla la ecuacin de la recta r de la gura. Calcula laecuacin punto-pendiente de una recta paralela a r quepase por P (1, 4).

80 Si los puntos A(2, 1), B(1, 1) y C(3, 1) son tresvrtices de un paralelogramo, halla:

a) Las coordenadas del vrtice D, opuesto al A.

b) Las ecuaciones de las dos rectas que pasan por los puntosmedios de los lados paralelos.

c) El punto de interseccin de las dos rectas del apartado anterior.

O X

Y

1

1

r

P

x 22

y 1

6

23

81 Determina el valor del parmetro a para que lassiguientes rectas:

r: s: 2x ay 3 0

a) Sean paralelas. b) Sean secantes.

82 Calcula en cada caso el valor de a para que las rectasr y s tengan la misma direccin. Estudia luego si para elvalor de a hallado, las rectas son coincidentes.

a) r: 3x ay 1 0 s: 2x 4y 5 0

b)r:

x 3 2t y 5 t s:83 Estudia la posicin relativa de cada una de lassiguientes rectas con los ejes de coordenadas, y en caso deser secantes con ellos, determina los puntos de corte condichos ejes:

a) 3x 2y 1 0 c) y 6x 1

b) x 2 5t y 3 2t d)84 Dada la recta y 15x 10 0, calcula la longitudde los segmentos que determina sobre cada eje de coorde-nadas, es decir, la longitud de los segmentos determinadospor cada punto de corte y el origen.

85 Calcula la ecuacin de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de interseccin de las rectas r: 2x 3y 1 0 y s: y x 3.

86 Estudia si las siguientes rectas se cortan formandoun tringulo. En caso de ser as, calcula sus vrtices.

r: x 2y 6 0

s: y 3x 10

p: 5y x 6 0

87 Los puntos A(3, 4), B(5, 1) y C(0, 3) son losvrtices de un tringulo. Calcula:

a) La ecuacin general de la recta que contiene a cada unode sus lados.

b) La ecuacin de cada una de sus medianas.

c) Las coordenadas del baricentro del tringulo.

88 Estudia si los puntos A, B y C forman un tringuloy, en caso afirmativo, calcula las coordenadas del baricentro:

a) A(0, 3), B(1, 4) y C(1, 2) b) A(0, 3), B(1, 4) y C(3, 1)

89 Comprueba que A(2, 2), B(4, 1), C(5, 1) y D(3, 0)son los vrtices de un paralelogramo. Halla:

a) La ecuacin de la recta que contiene a cada uno de suslados. Cul debe ser su posicin relativa? Comprubalo.

b) La ecuacin de cada una de las diagonales.

c) El punto en el que se cortan dichas diagonales.

x 23

y 1

1

x 32

y 2

1

x 14

y 6

a


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 172



Conoces los vectores1 En la siguiente figura, busca vectores que cumplan loque se indica en cada apartado:

a) Dos vectores que tengan el mismo mdulo, la mismadireccin y distinto sentido.

b) Dos pares de vectores equipolentes.

c) Dos vectores con la misma direccin, el mismo sentidoy distinto mdulo.

Obtienes coordenadas de vectores y sabes operarcon ellos2 Dados los puntos P(1, 3), Q(4, 0) y R(3, 5), halla lascoordenadas de los siguientes vectores y represntalosen unos ejes coordenados:

a) c)

b) d)

3 Dado el punto P(2, 5), calcula las coordenadas del punto Q para que el vector sea el que se indica encada caso:

a) (4, 3) c) (1, 9)

b) (0, 2) d) (7, 0)

4 Dados los vectores (1, 2), (4, 3) y (2, 6), calculalas coordenadas de los vectores que resultan de realizarlas siguientes operaciones:

a)

b)

c) 3

d) 2 4

Resuelves problemas de geometra analtica5 Determina el mdulo de cada uno de los siguientesvectores:

a) (2, 0)

b) (1, 3)

c) (5, 10)

d) (4, 3)

6 Calcula en cada caso la distancia entre P y Q y el puntomedio del segmento PQ:

a) P(2, 2), Q(1, 0)

b) P(4, 3), Q(5, 8)

c) P(1, 2), Q(3, 6)

d) P(6, 9), Q(1, 2)

Reconoces y expresas las distintas formas de la ecuacin de una recta

7 Escribe todas las formas posibles de la ecuacin de larecta que pasa por el punto A(6, 1) y cuyo vectordirector es (4, 5).

8 Calcula un punto, el vector director y la pendiente decada una de las siguientes rectas y expresa, despus, susecuaciones de todas las formas posibles:

a) (x, y) (1, 1) (2, 3)t

b) x 3 2t y 5 6tc) 2x 6y 1 0

d) y 4x 1

e)

f) y 8 3x

9 Halla la ecuacin general de la recta que cumple loque se indica en cada caso:

a) Pasa por A(9, 2) y B(6, 10).

b) Pasa por A(0, 3) y su pendiente es m 5.

c) Pasa por A(4, 4) y forma un ngulo de 120 con elsemieje positivo de abscisas.

d) Pasa por A(5, 1) y es paralela a la recta que pasa porB(4, 9) y C(1, 1).

e) Pasa por A(6, 3) y tiene la misma pendiente que larecta 3x y 6 0.

f) Pasa por A(1, 3) y es paralela a la bisectriz del tercercuadrante.

Estudias la posicin relativa de dos rectas10 Estudia la posicin relativa de estos pares de rectas:a)

r:x 4 t s: x 3t y 5t y 4

b) r: x 8y 5 0, s: 4x 32y 20 0

c) r: y 3x 1, s: y 6x 2

d) r: , s: y w"v"

w"v"u"

x 47

y

3

u"

QR"

u"w"v"w"

w"

w"v"

v"u"

u"

u"

s"2

3x 1x 5

9

y 1

6

PQ"

PQ"

PQ"

PQ"

PR"

OP"

PQ"

PQ"

A

BK

L

O

P

E

FM

N

H

G

J

I

C

D

Evaluacin

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 173

mates 4b eso la u-8

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